6 Sannsynlighetsregning
|
|
- Emil Olafsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to, tre, fire, fem eller seks øyne. Vi sier at ethvert resultat er et utfall ved forsøket. Vi kaller alle mulige utfall for utfallsrommet (UR) ved forsøket. Hvis terningen ikke er falsk, vet vi også at sjansen for å få ett øye, to øyne osv. er den samme. Det er denne sjansen vi kaller for sannsynlighet (engelsk: probability). Hvis vi kaster terningen «uendelig» mange ganger, vil vi finne ut at den relative frekvensen (hyppigheten) for to øyne vil bli 16,67 % eller 1 6. Det samme prosenttallet vil vi få for ett øye, tre øyne osv. Vi sier at sannsynligheten for å få to øyne er 16,67 % eller 1 6. Vanlig skrivemåte: Pð2 øyneþ ¼ 1 6 eller Pð2Þ ¼ 1 6 P står for sannsynlighet (probability). Definisjon: Sannsynlighet er lik den relative frekvensen (hyppigheten) «i det lange løp». «I det lange løp» betyr her at vi foretar et forsøk uendelig mange ganger. Absolutt frekvens (hyppighet) Relativ frekvens (hyppighet) ¼ Det totale antall Ivårt eksempel har vi seks mulige utfall: 91
2 fu 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 ; u 5 ; u 6 g¼f1; 2; 3; 4; 5; 6g Vi kaller et tilfeldig utfall for u i. Utfallsrommet UR kan da skrives UR ¼fu 1 ; u 2 ;...; u 6 g Ut fra det vi har sagt ovenfor, kan vi skrive Pð1Þ ¼Pð2Þ ¼Pð3Þ ¼Pð4Þ ¼Pð5Þ ¼Pð6Þ ¼ 1 6 ðaþ 0 Pðu i Þ1 Betingelsen (a) betyr at sannsynligheten for et hvilket som helst utfall alltid ligger mellom null og en, det vil si mellom 0 % og 100 %. ðbþ PðURÞ ¼Pðu 1 ÞþPðu 2 ÞþþPðu 6 Þ¼1 Betingelsen (b) betyr at summen av sannsynlighetene for alle utfallene er lik 100 %. PðURÞ ¼ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 ¼ 6 ¼ 1 ð1 ¼ 100 %Þ 6 (a) og (b) er to betingelser som er nødvendige for en sannsynlighetsmodell. Vi legger merke til at summen av alle sannsynlighetene er lik 1, dvs. 100 %, og at sannsynligheten for et enkelt utfall ligger mellom 0 og 1, dvs. mellom 0 % og 100 %. Sannsynligheten kan aldri bli negativ. 6.2 Begivenhet (hendelse) Når vi kaster en terning og får utfallet 2 øyne, kaller vi dette for en begivenhet. Det er vanlig å bruke store bokstaver for å uttrykke en begivenhet. Eksempelvis kan vi kalle utfallet «2 øyne» ved kast med en terning for begivenhet A. Begivenhet A: 2 øyne En begivenhet kan bestå av flere utfall, for eksempel 2 og/eller 4 øyne. Noen bruker begrepet hendelse i stedet for begivenhet. Begivenhet B: Løsningen på de to begivenhetene vil bli: 2 eller 4 øyne PðAÞ ¼ 1 6 og PðBÞ ¼ 1 6 þ 1 6 ¼ 2 6 ¼
3 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning Legg merke til at vi «summerte» de to sannsynlighetene når det var spørsmål om«eller» (2 eller 4 øyne). 6.3 Uavhengighet. Trediagram. Uniform sannsynlighetsmodell Når vi kaster en terning eller mynt, vil hvert utfall være uavhengig av de andre utfallene. Hvis vi for eksempel får 4øyne i et kast, er sannsynligheten fortsatt 1 6 for å få 4 øyne i neste kast. Det samme gjelder kast med mynt. Hvis vi får mynt i et kast, er dette uavhengig av hva vi har fått i tidligere kast. En terning eller mynt «husker» ikke. Det er viktig å huske på dette. Eksempel 1 Vi kaster en terning to ganger. Hva er sannsynligheten for disse begivenhetene: A: Begge kast gir 5 øyne? B: Første kast gir 5 øyne og andre kast gir 4 øyne? C: Vifår 5 og 4 øyne? Løsningsforslag PðAÞ ¼Pð5ÞPð5Þ ¼ ¼ 1 36 PðBÞ ¼Pð5ÞPð4Þ ¼ ¼ 1 36 PðCÞ ¼Pð5ÞPð4ÞþPð4ÞPð5Þ ¼ þ ¼ 1 36 þ 1 36 ¼ 2 36 ¼ 1 18 Kommentar Sannsynligheten for å få 5 øyne og 5 øyne på de to kastene er , fordi de to kastene er uavhengige av hverandre. Vi ser at vi multipliserer sannsynligheter ved spørsmål om«og». Begivenhetene B og C virker nokså like, men det er likevel en betydelig forskjell. Begivenheten B er helt klar, her skal vi ha 5 øyne i første kast og 4 øyne i andre kast. Hver gir en sannsynlighet på 1 6, fordi utfallet av det andre kastet er uavhengig av det første. Begivenheten C kan vi få ved kombinasjonene ð5; 4Þ og ð4; 5Þ, det vil si 5 øyne og 4 øyne eller 4 øyne og 5 øyne på de to kastene (eller: vi summerer sannsynlighetene). 93
4 Eksempel 2 Vi kaster en «korrekt» mynt to ganger. Hva er sannsynligheten for begivenhetene A: 2 mynt B: 1 mynt og 1 kron C: 2 kron Oppfyller dette kravene til en sannsynlighetsmodell? Løsningsforslag En «korrekt» mynt betyr at det er like stor sannsynlighet for å få mynt som for å få kron. Utfallet av det andre kastet er uavhengig av det første. Utfallsrommet ðurþ for to myntkast er UR ¼fMM; MK; KM; KKg Vi kan lage oss et trediagram som er svært illustrerende: Første kast M K Andre kast M K M K Vi ser at det er totalt fire utfall, der ett utfall er gunstig for begivenhet A, dvs. PðAÞ ¼ 1 4 ¼ 0,25. Men vi kan også finne sannsynligheten ved å multiplisere sannsynlighetene for å få mynt ðmþ ved hvert kast: PðAÞ ¼PðMÞPðMÞ ¼ ¼ 1 ¼ 0,25 ¼ 25 % 4 Når det gjelder begivenhet B, måvi legge merke til at vi kan få mynt ðmþ iførste kast og kron ðkþ i andre kast, eller kron ðkþ iførste kast og mynt ðmþ i andre kast. Da kan vi sette opp PðBÞ ¼PðMÞPðKÞþPðKÞPðMÞ ¼ þ ¼ 1 4 þ 1 4 ¼ 2 4 ¼ 1 2 Det er 50 % sjanse for å få 1 mynt og 1 kron ved de to kastene. Sannsynligheten for to kron ðkkþ er den samme som sannsynligheten for to mynt ðmmþ: PðCÞ ¼PðKÞPðKÞ ¼ ¼ 1 ¼ 0,25 ð25 %Þ 4 94
5 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning Disse begivenhetene oppfyller kravene til en sannsynlighetsmodell fordi 0 PðAÞ 1, 0 PðBÞ 1 og 0 PðCÞ 1 og PðAÞ þ PðBÞ þ PðCÞ ¼ 0,25 þ 0,50 þ 0,25 ¼ 1 ð¼ 100 %Þ Eksempel 3 Et ektepar planlegger å få fire barn. Hva er sannsynligheten for å få disse begivenhetene: a) A ¼ 4 gutter b) B ¼ 2 gutter og 2 jenter Vi forutsetter at sannsynligheten for å få gutt og jente er den samme, og at vi har uavhengighet ved fødslene. Det betyr at kjønnet på et nyfødt barn er uavhengig av kjønnene på foregående barn. Løsningsforslag Svaret på a) kan finnes relativt enkelt. Ved hver fødsel er det to mulige utfall (gutt/jente) og ved fire fødsler vil det da bli ¼ 2 4 ¼ 16 mulige utfall Kun ett av disse utfallene består av 4 gutter, så svaret på a) vil bli PðAÞ ¼ 1 ¼ 0,0625 ¼ 6,25 % 16 Når det gjelder å finne svaret på b), må vi finne ut hvilke kombinasjoner/utfall som inneholder 2 gutter og 2 jenter. For å få en systematisk oversikt kan vi lage et trediagram slik som vist nedenfor: G G G G G G G G Av diagrammet ser vi at det er åtte utfall der den førstefødte er gutt ðgþ. Utfallene er GGGG, GGG, GGG, GG, GGG, GG, GG, G. 95
6 G G G G G G G Av dette diagrammet er det åtte utfall der den førstefødte er en jente ðþ: GGG, GG, GG, G, GG, G, G,. Totalt er det 16 «mulige» utfall (se løsning a), og vi finner at det er seks «gunstige» utfall, det vil si utfall som inneholder 2 gutter og 2 jenter (markert med tykkere skrift). Svaret på spørsmål b) blir da PðBÞ ¼ 6 16 ¼ 3 ¼ 0,375 ¼ 37,5 % 8 Når alle utfall er like sannsynlige i et forsøk, kaller vi dette en uniform sannsynlighetsmodell. Ovenfor har vi brukt terningkast, myntkast og fødsler som eksempler på uniforme modeller. Ved fødsler er ikke sannsynligheten lik for å få gutt eller jente (det blir født flere gutter), men som tilnærming er det forsvarlig å bruke at PðGÞ ¼PðÞ ¼ 1 2. En formel for sannsynlighet for en begivenhet (hendelse): PðbegivenhetÞ ¼ antall «gunstige» utfall antall mulige utfall 6.4 Sammensatte forsøk Ovenfor har vi kastet både terning og mynt og «organisert» fødsler ved forsøk. Men et forsøk kan bestå av flere delforsøk slik at det er viktig med riktig opptelling. Som vi har sett er et trediagram svært illustrerende i så henseende. Men det kan bli svært tidkrevende å lage et trediagram etter relativt få kast med for eksempel en terning. Eksempel 4 I en skoleklasse på 25 elever er det 14 jenter. Det skal opprettes en komité på tre elever. Hva er sannsynligheten for at komitéen består av tre jenter? 96
7 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning Løsningsforslag Begivenhet A: komité med 3 jenter Vi forutsetter at alle i klassen har samme mulighet (sannsynlighet) for å bli trukket ut. Det er 14 muligheter (utfall) for å trekke ut den første jenta. Det er 13 muligheter (utfall) for jente nummer to og 12 muligheter (utfall) for jente nummer tre. Dette gir til sammen ¼ 2184 muligheter eller utfall med 3 jenter («gunstige»). Det er ¼ mulige utfall ved å plukke ut 3 elever i klassen. gunstige utfall PðAÞ ¼ mulige utfall Vi kunne ha regnet slik: ¼ 2184 ¼ 0,158 ¼ 15,8 % PðAÞ ¼ ¼ 2184 ¼ 0,158 ¼ 15,8 % Sannsynligheten for at den første uttrukne er en jente, er For at den andre uttrukne er jente, er sannsynligheten 13 24, og for at den tredje uttrukne er jente, er den Som vi ser ovenfor, multipliserer vi de enkelte sannsynlighetene. Husk hva vi nevnte tidligere om «multiplikasjon» og «og». Først jente og så jente og så jente. Derfor multipliserer vi sannsynlighetene. La oss tenke oss at komitéen i den samme klassen skal bestå av 2 gutter og 1 jente. Hva vil sannsynligheten være for denne begivenheten (hendelsen)? Begivenhet B: komité med 2 gutter og 1 jente Løsningsforslag Vi kan plukke ut 2 gutter og 1 jente på tre måter: GG, GG og GG. De tre rekkefølgene er like sannsynlige. Vi får PðBÞ ¼ þ þ ¼ 4620 ¼ 0,335 ¼ 33,5 % eller PðBÞ ¼ ¼ 4620 ¼ 0,335 ¼ 33,5 %
8 For å finne antall «gunstige» utfall med 2 gutter og 1 jente kunne vi ha laget et trediagram, men vi forstår at det ville bli svært arbeidskrevende i dette tilfellet. Derfor kan vi tenke oss starten på trediagrammet (legg merke til rekkefølgen): 11 G 11 G G G 11 G 10 G = = = 1540 Til sammen ¼ 4620 «gunstige» utfall. Hadde komitéen bestått av 1 gutt og 2 jenter, ville antall «gunstige» kombinasjoner blitt slik (G, G, G): 11 G G G = = = 2002 Til sammen ¼ 6006 «gunstige» kombinasjoner. Pð1G og 2Þ ¼ 6006 ¼ 0,435 ¼ 43,5 % Alternativt: Pð1G og 2Þ ¼ ¼ 6006 ¼ 0,435 ¼ 43,5 % Sannsynligheten for at komitéen skal bestå av bare gutter finner vi nå ved å regne ut følgende: Pð3GÞ ¼1 0,158 0,435 0,335 ¼ 0,072 ¼ 7,2 % (Kontroller med «gunstige» delt på «mulige» utfall.) Hvis spørsmålet hadde vært å finne sannsynligheten for at komitéen skulle bestå av minst 1 jente, så ville det selvfølgelig bety alle de komitéene som inneholder 1, 2 eller 3 jenter. I vårt eksempel ville sannsynligheten blitt summen av 0,435, 0,335 og 0,158, dvs. 0,928 ¼ 92,8 %. Men skal komitéen inneholde minst 1 jente, kan vi se bort fra den komitéen som består av 3 gutter. Pðminst 1 jenteþ ¼1 0,072 ¼ 0,928 ¼ 92,8 % 98
9 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6.5 Komplementmengde Eksempel 5 Begivenhet A ¼ komité med minst 1 jente Begivenhet A ¼ komité uten jenter (bare gutter) Vi sier at A er komplementmengden til A. Summen av sannsynlighetene til en mengde og en komplementmengde er alltid lik 1 eller 100 %. PðAÞþPðAÞ ¼1 eller PðAÞ ¼1 PðAÞ 6.6 Avhengighet. Betinget sannsynlighet Når vi kaster en terning, vil utfallet av et kast være uavhengig av de andre kastene. Det samme vil være tilfelle ved kast med mynt. I begge tilfeller kan vi snakke om «trekning med tilbakelegging». I andre tilfeller kan vi ha «trekning uten tilbakelegging». Et eksempel på dette kan være lottotrekningen «en drøm om rikdom». Når man trekker den første kulen, vil den ikke bli lagt tilbake. Det betyr at utfallet av den andre kulen er avhengig av utfallet av den første kulen, utfallet av den tredje er avhengig av de to første osv. I dette tilfellet snakker vi om betinget sannsynlighet. Eksempel 6 Vi har en urne med 6 røde (R) og 4 blå (B) kuler, til sammen 10 kuler. Vi trekker to kuler. Hva er sannsynligheten for at den andre kulen er blå? Løsningsforslag Oppgaven er upresist formulert fordi vi har to muligheter ved trekningen, med og uten tilbakelegging. Med tilbakelegging Ved andre trekning er det fortsatt 10 kuler, og 4 av dem er blå. Derfor er sannsynligheten for at kule nummer to er blå: Pðandre blåþ ¼ 4 10 ¼ 2 ¼ 0,4 ¼ 40 % 5 Uten tilbakelegging Ved andre trekning er det 9 kuler igjen, men vi vet ikke om det er 3 99
10 eller 4 blå igjen. Dette er avhengig av (betinget av) utfallet av første trekning. 1) Første kule er rød. Pðandre blåþ ¼ 4 9 Skrivemåte: PðBjRÞ ¼ 4 9. Dette leses: Sannsynligheten for blå kule, gitt at første kule er rød. 2) Første kule er blå. Pðandre blåþ ¼ 3 9 ¼ 1 3 Skrivemåte: PðBjBÞ ¼ 3 9 ¼ 1 3 Sannsynligheten for blå kule, gitt at første kule er blå. Den loddrette streken j leses gitt at. Det som står bak den loddrette streken, er det som inntraff ved første trekning. Konklusjon For å angi nøyaktig hva sannsynligheten er for å få blå kule ved andre trekning, må vi vite om det er trekning med tilbakelegging eller ikke. Hvis det er trekning uten tilbakelegging, må vi vite utfallet av første trekning. Oppgave I en bolle har vi 6 gule og 4 brune påskeegg. Eva får i oppgave å trekke ut 2 egg til frokosten sin. Hva er sannsynligheten for at hun trekker ett gult og ett brunt egg? Løsningsforslag G ¼ gule egg og B ¼ brune egg Begivenhet A: ett gult og ett brunt egg Så lenge Eva skal ha to egg til frokost, er dette trekning uten tilbakelegging. ð1þ PðAÞ ¼PðGÞPðBjGÞþPðBÞPðGjBÞ PðAÞ ¼ þ ¼ þ ¼ ¼ 8 ¼ 0,533 ¼ 53,3 % 15 Vi har løst tilsvarende problem tidligere uten å bruke betinget sannsynlighet. Men (1) er den korrekte måten å skrive dette på. PðGÞPðBjGÞ sier oss hva sannsynligheten er for at det første egget er gult ( 6 10 ), multiplisert med sannsynligheten for at det andre egget er brunt ( 4 9 ). Etter å ha trukket ut ett egg er det 9 egg igjen til andre trekning. Tilsvarende tankegang gjelder for PðBÞPðGjBÞ. Eva kan trekke et brunt egg først og deretter et gult egg. 100
11 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6.7 Venndiagram. Addisjonssetningen Eksempel 7 I en klasse med 27 elever spiller 14 elever fotball, 10 elever håndball og 4både fotball og håndball. Vi trekker en tilfeldig elev. Finn sannsynligheten for at eleven spiller a) fotball b) håndball c) verken fotball eller håndball Løsningsforslag Her ser vi at antallet som spiller ballidretter ikke kan være 14 þ 10 þ 4 ¼ 28 i en klasse på 27 elever. For å få en bedre oversikt lager vi et venndiagram: F: fotball H: håndball :hele klassen F H Snitt: F H F U H Fellesområdet mellom mengdene F (fotball) og H (håndball) kalles «snittet» mellom mengdene F og H, og skrives F \ H. 101
12 Union: F H F U H Tar vi med alle som spiller fotball eller håndball eller begge deler, kaller vi det «unionen» mellom mengdene F og H. Union skrives F [ H. Vi kan «oversette» snitt med og (multiplikasjon) og union med eller (addisjon). Symboler med en strek over, betyr «ikke denne mengden». F betyr alle som ikke spiller fotball, og H alle som ikke spiller håndball. PðF [ HÞ ¼PðF \ HÞ F H På venstre side står sannsynligheten for at de uttrukne ikke spiller fotball eller håndball. Dette er det samme som å si sannsynligheten for at de ikke spiller fotball eller håndball. F H
13 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning a) PðFÞ ¼ 14 ¼ 0,519 (14 av 27 elever spiller fotball.) 27 F H b) PðHÞ ¼ 10 ¼ 0,370 (10 av 27 elever spiller håndball.) 27 F H c) PðF \ HÞ ¼ 7 ¼ 0,259 (7 av 27 elever driver ikke med noen av de 27 to ballidrettene.) Hvis vi går videre og spør hva sannsynligheten er for at den tilfeldig uttrukne eleven spiller fotball eller håndball, vil løsningen kunne se slik ut: PðF [ HÞ ¼PðFÞþPðHÞ PðF \ HÞ ¼ þ ¼ ¼ 0,741 Legg merke til at når vi summerer mengden F og mengden H, blir fellesområdet tatt med to ganger. Derfor må vi trekke ifra F \ H som beskriver den felles mengden (her: 4 spillere). Addisjonssetningen: Hvis A og B er to begivenheter ved et tilfeldig forsøk, har vi PðA [ BÞ ¼PðAÞþPðBÞ PðA \ BÞ: Dette kalles den generelle addisjonssetningen. Eksempel 8 I en klasse på 20 elever spiller 8 elever gitar og 4 elever klarinett. 8 elever spiller ikke noen instrumenter. Vi forutsetter at en som spiller gitar, ikke spiller klarinett, og omvendt. 103
14 En tilfeldig elev blir trukket ut. Finn sannsynligheten for at den uttrukne eleven spiller a) gitar b) klarinett c) verken gitar eller klarinett d) enten gitar eller klarinett G K a) PðGÞ ¼ 8 20 ¼ 0, ¼ 2 5 b) PðKÞ ¼ 4 20 ¼ 0, ¼ 1 5 c) PðG \ KÞ ¼ 8 20 ¼ 0,40 d) PðG [ KÞ ¼PðGÞþPðKÞ ¼ 2 5 þ 1 5 ¼ 3 5 ¼ 0,60 eller 0,40 þ 0,20 ¼ 0,60 Vi har brukt en «amputert» addisjonssetning i tilfellet d). Grunnen til det er at de to mengdene G og K ikke har noe til felles, og derfor får vi ikke dobbel telling her. Vi sier at de to mengdene er «disjunkte» (atskilte). I d) blir altså PðG \ KÞ ¼0. Addisjonssetningen for to disjunkte begivenheter A og B: PðA [ BÞ ¼PðAÞþPðBÞ PðA \ BÞ ¼0 104
15 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6.8 Produktsetningene ved sannsynligheter Uavhengige begivenheter Vi har tidligere nevnt at utfallene ved kast med terninger og mynter ikke vil påvirke de neste utfallene. Terningene og myntene «husker» ikke. Begivenheter knyttet til uavhengige delforsøk kalles uavhengige begivenheter. Eksempel 9 Vi kaster en terning to ganger: Begivenhet A: 2øyne i første kast Begivenhet B: 3øyne i andre kast Begivenhetene A og B er uavhengige. Hva er sannsynligheten for å få 2 øyne i første kast og 3 øyne i andre kast? Pðførst 2 og så 3øyneÞ ¼ ¼ 1 0,028 ð2,8 %Þ 36 PðAÞ ¼ 1 6 og PðBÞ ¼ 1 6 PðA \ BÞ ¼PðAÞPðBÞ ¼ ¼ 1 36 PðA \ BÞ leses som sannsynligheten for å få begivenhetene A og B, det vil si å få 2 øyne i det første kastet og 3 øyne i det andre kastet. Dette leder til en produktregel for uavhengige begivenheter A og B: PðA \ BÞ ¼PðAÞPðBÞ Avhengige begivenheter I avsnitt 6.7 tok vi for oss betinget sannsynlighet, dvs. at ett utfall var avhengig av et annet utfall. Som illustrasjon brukte vi trekking av blå og røde kuler fra en bolle. 105
16 Eksempel 10 Fra en bolle med 6 røde og 4 blå kuler trekker vi to kuler uten tilbakelegging. Vi har Begivenhet A: Den første kulen er rød. Begivenhet B: Den andre kulen er blå. PðAÞ ¼ 6 10 ¼ 3 5 og PðBÞ ¼ 4 9 Etter første trekning er det 9 kuler igjen i bollen. Hvis den første kulen er rød, er det fortsatt 4 blå kuler igjen til andre trekning. Derfor er sannsynligheten 4 av 9 for å trekke blå kule andre gang. Den korrekte skrivemåten for PðBÞ er PðBjRÞ, fordi den uttrykker sannsynligheten for at den andre kulen er blå, gitt at den første kulen er rød. Hva er da sannsynligheten for å få en rød kule i første trekning og en blå kule i andre trekning? Pðførst rød ogsåblåþ ¼ ¼ ¼ 4 ¼ 0,267 ¼ 26,7 % 15 Produktregelen for avhengige begivenheter A og B kan skrives PðA \ BÞ ¼PðAÞPðBjAÞ 106
Sannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å
DetaljerSannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter
Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Fagstoff Listen [] Hendelse En hendelse i en sannsynlighetsmodell består av ett eller flere utfall. Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast
DetaljerKompetansemål Hva er sannsynlighet?... 2
3 Sannsynlighet Innhold Kompetansemål... 2 3. Hva er sannsynlighet?... 2 Utfall og utfallsrom... 3 Tilfeldig forsøk... 3 Definisjon av sannsynlighet... 5 Sannsynlighetsmodeller... Andre eksempler på tilfeldige
DetaljerSannsynlighetsregning og kombinatorikk
Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.
Detaljer4.4 Sum av sannsynligheter
4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten
DetaljerSannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske
DetaljerQuiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet
Quiz, 4 Kombinatorikk og sannsynlighet Innhold 4.1 Begreper i sannsynlighetsregning... 2 4.2 Addisjon av sannsynligheter... 6 4.3 Produktsetningen for sannsynlighet... 12 4.4 Kombinatorikk og sannsynlighetsberegning...
DetaljerLøsninger. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y
Løsninger Innhold 3. Hva er sannsynlighet?... 2 3.2 Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 3.3 Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 2 3.4 Beregne sannsynligheter ved å bruke
DetaljerØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver. 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir
ØVINGER 017 Løsninger til oppgaver Øving 3.1 Myntkast For et enkelt myntkast har vi to mulige utfall, M og K. Utfallsrommet blir S = {M, K}. Med to etterfølgende myntkast blir utfallsrommet S = {MM, MK,
Detaljer10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)
10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes
DetaljerSannsynlighetsbegrepet
Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis
DetaljerOppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P
Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter
DetaljerFagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?
Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon
DetaljerNotat kombinatorikk og sannsynlighetregning
Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning av Peer Andersen Peer Andersen 2010 1 SANNSYNLIGHETSREGNING MED FLERE TRINN Sannsynlighetsregning med et trinn kan være situasjoner der vi spør hva sjansen er
DetaljerOppgaver. Innhold. Sannsynlighet 1P, 1T og 2P-Y
Oppgaver Innhold 3.1 Hva er sannsynlighet?... 2 3.2 Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 5 3.3 Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 9 3.4 Beregne sannsynligheter ved å bruke
DetaljerInnledning kapittel 4
Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne
DetaljerSannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning Læreplan. Forsøk og simuleringer. Sannsynlighet 3.3 Sum av sannsynligheter 5.4 Multiplikasjonsprinsippet 9.5 Uavhengige hendinger 0. Avhengige hendinger 5 Symboler, formler og eksempler
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall
ÅM110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallen
DetaljerLøsninger. Innhold. Sannsynlighet Vg1P
Løsninger Innhold Modul. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 7 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 3 Modul 4. Beregne sannsynligheter
DetaljerSANNSYNLIGHETSREGNING
SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
DetaljerMULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016
MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 SETT RING RUNDT DET RIKTIGE SVARET FOR HVER OPPGAVE. Oppgave 1 Stokastisk forsøk Stokastiske forsøk karakteriseres ved to av følgende egenskaper.
DetaljerInnledning kapittel 4
Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne
DetaljerSannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for
DetaljerStatistikk og økonomi, våren 2017
Statistikk og økonomi, våren 207 Obligatorisk oppgave 3 Løsningsforslag Oppgave Produsenten av en type bærbar datamaskin har registrert at sannsynligheten er 0.2 for at tastaturet svikter, 0.09 for at
Detaljer- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.
SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
DetaljerOppgaver i sannsynlighetsregning 3
Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgave 1 Vi har et lykkehjul med 8 like sektorer som er nummerert fra 1 til 8. Du har valgt sektor nummer 3. a) Tenk deg at du snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sjansen
DetaljerSTK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka
STK1100 våren 2017 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Eksempel 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel
DetaljerINNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet
INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...
DetaljerSTK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka
STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge
DetaljerSannsynlighetsregning og Statistikk
Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2
DetaljerSTK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk
STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Løsningsforslag Øving 1 2.1 Frekvenstabell For å lage en frekvenstabell må vi telle
DetaljerDeterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang Grunnleggende sannsynlighetsregning Det er mulig
DetaljerForelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.
Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.
Detaljer4: Sannsynlighetsregning
Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni
DetaljerSTK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk
STK1100 våren 2016 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Geir Storvik Basert på presentasjon av Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske
DetaljerStatistikk 1 kapittel 3
Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der
DetaljerOppgaver i sannsynlighetsregning 1
Oppgaver i sannsynlighetsregning 1 Oppgave 1 Forklar hva som menes med en uniform sannsynlighetsmodell. Gi minst et eksempel på en uniform sannsynlighetsmodell. Begrunn hvorfor den er uniform. Gi også
DetaljerBlokk1: Sannsynsteori
Blokk1: Sannsynsteori Statistikk er vitskapen om læring frå data, og måling, kontroll og kommunikasjon av usikkerheit (Davians Louis, Science, 2012). Vi lærer frå data ved å spesifisere ein statistisk
DetaljerBetinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning
Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning Innhold: Produktsetning, avhengighet, betinget sannsynlighet (.2,.) Setningen om total sannsynlighet (.4) Bayes setning (.4) Disse tingene henger
DetaljerNotater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I
Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.
DetaljerForskjellige typer utvalg
Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig
Detaljer6 Sannsynlighet. Læreplanmål for 1P og 2P-Y. Læreplanmål for 1T
6 Sannsynlighet 6.1 Læreplan 6A Sannsynlighet og relativ frekvens 6B Sannsynlighet for en hendelse 6C Antall utfall i sammensatte forsøk 6D Komplementære hendelser 6E Krysstabell og venndiagram 6F Addisjonssetningen
Detaljer6 Sannsynlighetsregning
6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene
DetaljerBetinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel
DetaljerBetinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!
MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel
DetaljerKapittel 2: Sannsynlighet
Kapittel 2: Sannsynlighet Definisjoner: Noen grunnleggende begrep. Stokastisk forsøk: Et forsøk/eksperiment der det er tilfeldig hva utfall blir. Utfallsrom, : Mengden av alle mulige utfall av et stokastisk
DetaljerBetinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet Vi repeterer først et eksempel fra samlingen for sist uke Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet
Detaljer2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent
MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel
DetaljerECON Statistikk 1 Forelesning 3: Sannsynlighet. Jo Thori Lind
ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 3: Sannsynlighet Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Hva er sannsynlighet? 2. Grunnleggende regler for sannsynlighetsregning 3. Tilfeldighet i datamaskinen
DetaljerSimulering - Sannsynlighet
Simulering - Sannsynlighet Når regnearket skal brukes til simulering, er det et par grunninnstillinger som må endres i Excel. Hvis du får feilmelding om 'sirkulær programmering', betyr det vanligvis at
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning i (sannsynlighetsteori) t i) 2.5 Betinget sannsynlighet 1 Betinget sannsynlighet (kp. 2.5) - innledning Eks.: Et terningkast;
DetaljerSannsynlighet 1P, Prøve 1 løsning
Sannsynlighet P, Prøve løsning Del Tid: 0 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave Klassen holder på med brøkregning. Elevene sitter i grupper. Hver gruppe har en bunke med fem røde kort merket med tallene,,,
DetaljerMAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Uordnet utvalg uten tilbakelegging (repetisjon) Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan
DetaljerMappeoppgave om sannsynlighet
Mappeoppgave om sannsynlighet Statistiske eksperimenter Første situasjon Vi kom frem til å bruke Yatzy som et spill vi ønsket å beregne sannsynlighet ut ifra. Vi valgte ut tre like og to par. Etter en
Detaljer10.5 Mer kombinatorikk
bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske
Detaljer9.5 Uavhengige hendinger
9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten
DetaljerKapittel 2: Sannsynlighet [ ]
Kapittel 2: Sannsynlighet [2.3-2.5] TMA4240 Statistikk (F2 og E7) 2.3, 2.4, 2.5: Kombinatorikk og sannsynlighet [18.august 2004] Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/21 Produktregel for valgprosess TEO 2.1
Detaljersannsynlighet for hendelse = antall ganger hendelsen inntreffer antall forsøk
Forrige forelesning oppsummert på 90 sekunder "stokastisk forsøk": myntkast, terningkast, trekking av kort,... utfallsrom: alle de mulige utfallene av et stokastisk forsøk eksempel på utfallsrom: kaster
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010
ÅM0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 00 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4]
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] Kapittel 4: Sannsynlighet 4.4: Disjunkte hendelser, 4.5: Uavhengige hendelser 4.6: Er disjunkthet og uavhengighet relatert til hverandre? Bruk av sannsynlighetsregning
DetaljerLottotrekningen i Excel
Peer Andersen Lottotrekningen i Excel Mange leverer ukentlig inn sin lottokupong i håp om å vinne den store gevinsten. Men for de aller fleste blir den store gevinsten bare en uoppnåelig drøm. En kan regne
Detaljerb) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.
Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer
DetaljerForelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.
Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten
Detaljer1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene
1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 4.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks utfallene har samme sannsynlighet.
DetaljerForelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser.
Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Kast med to terninger, A er sekser på første terning og B er sekser på andre terning. Sekser på begge terningene er Fra definisjonen av betinget
DetaljerTema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel ST1101 (Gunnar Taraldsen) :19
Tema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel 2.1-2.7 ST1101 (Gunnar Taraldsen) 2019-01-12 17:19 Sentrale definisjoner og regneregler Definisjoner: Stokastisk forsøk, utfallsrom, hendelser (snitt,
DetaljerTall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene
Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene 2.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks
DetaljerKompetansemål Sannsynlighet, S Innledning Pascals talltrekant Binomialkoeffisienter Kombinatorikk...
Sannsynlighet Innhold Kompetansemål Sannsynlighet, S1... 2 Innledning... 2 3.1 Pascals talltrekant... 3 Binomialkoeffisienter... 6 3.2 Kombinatorikk... 9 Ordnet og uordnet utvalg... 10 Med og uten tilbakelegging...
DetaljerSannsynlighet for alle.
Sannsynlighet for alle. Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2015 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 1 Sannsynlighet for alle.
DetaljerST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST/ST Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 9 Oppgaver fra boka 3..9 Ved et terningkast anses utfallet antall øyne lik for
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.
DetaljerSannsynlighet oppgaver
Sannsynlighet oppgaver Innhold 3.1 Pascals talltrekant... 2 3.2 Kombinatorikk... 4 3.3 Sannsynlighetsberegninger... 8 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 9 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell...
DetaljerSANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN
1 I GRUNNSKOLEN Etterutdanningskurs for lærere på grunnskolens ungdomstrinn Opplegget som her presenteres til fordypning i STATISTIKK / SANNSYNLIGHETSDELEN av MATEMANIA er i utgangspunktet skrevet for
DetaljerBasisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet
Basisoppgaver til P kap. 4 Sannsynlighet 4. Sannsynlighet og relativ frekvens 4.2 Sannsynlighetsmodeller 4.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 4.4 Addisjonssetningen 4.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA0 Statistikk Høst 0 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer, blokk I Løsningsskisse Oppgave Hendelsene A og B er ikke disjunkte, det vil si at de kan
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 4: Sannsynlighetsregning Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.1) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte
DetaljerBetinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5
Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel se
DetaljerSannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for
DetaljerLøsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)
1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel
Detaljer9.5 Uavhengige hendinger
9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten
DetaljerTilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger (repetisjon) Hypergeometrisk fordeling (repetisjon) Binomisk fordeling Forventningsverdi Tilfeldige variabler
Detaljer9 Potenser. Logaritmer
9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ 2 2 2 Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall.
DetaljerTotal sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt
MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Total sannsynlighet Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt union av A B og A B Total sannsynlighet og Bayes' setning Kombinatorikk Ordnede utvalg med
Detaljer1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser
MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.
DetaljerSannsynlighet og statistikk
Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.
DetaljerSannsynlighet løsninger
Sannsynlighet løsninger Innhold 3.1 Pascals talltrekant... 2 3.2 Kombinatorikk... 5 3.3 Sannsynlighetsberegninger... 10 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 12 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell...
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer,
DetaljerSannsynlighet 1P, Prøve 2
Sannsynlighet 1P, Prøve 2 Del 1 Tid: 90 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave 1 Du snurrer et lykkehjul som stanser tilfeldig på en av bokstavene. Se figuren ovenfor. a) Hvor mange mulige utfall finnes
DetaljerKapittel 2: Sannsynlighet
Kapittel 2: Sannsynlighet 2.1, 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel Eirik Mo Institutt for matematiske fag,
DetaljerKapittel 10. Sannsynlighetsregning
Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne
DetaljerForelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet.
Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Eksempel 1 (begrunnelse for definisjonen av betinget sannsynlighet): Hendelse A er "sum minst 8 på kast med 2 terninger" P(A) = 15/36 P(A) < 1/2
DetaljerSTK1100 våren 2017 Kombinatorikk
STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige
DetaljerStatistikk 1 kapittel 3
Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der
DetaljerTrekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere
2 Trekking uten tilbakelegging ST0202 Statistikk for samfunnsvitere o Lindqvist Institutt for matematiske fag En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (). To kuler trekkes uten tilbakelegging,
DetaljerPrøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler
Prøve 6 T 24.02.2 80 minutter. Alle hjelpemidler Oppgave I boks A er det 6 svarte og 2 hvite kuler. I boks B er det 8 svarte og 4 hvite kuler. Vi trekker en kule fra en av krukkene. a) va er sannsynligheten
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har
DetaljerSTK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket.
ST1100 våren 2017 ombinatorikk Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. Vi antar at de N utfallene er like sannsynlige. Svarer til avsnitt
Detaljer