6 Sannsynlighetsregning

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "6 Sannsynlighetsregning"

Transkript

1 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to, tre, fire, fem eller seks øyne. Vi sier at ethvert resultat er et utfall ved forsøket. Vi kaller alle mulige utfall for utfallsrommet (UR) ved forsøket. Hvis terningen ikke er falsk, vet vi også at sjansen for å få ett øye, to øyne osv. er den samme. Det er denne sjansen vi kaller for sannsynlighet (engelsk: probability). Hvis vi kaster terningen «uendelig» mange ganger, vil vi finne ut at den relative frekvensen (hyppigheten) for to øyne vil bli 16,67 % eller 1 6. Det samme prosenttallet vil vi få for ett øye, tre øyne osv. Vi sier at sannsynligheten for å få to øyne er 16,67 % eller 1 6. Vanlig skrivemåte: Pð2 øyneþ ¼ 1 6 eller Pð2Þ ¼ 1 6 P står for sannsynlighet (probability). Definisjon: Sannsynlighet er lik den relative frekvensen (hyppigheten) «i det lange løp». «I det lange løp» betyr her at vi foretar et forsøk uendelig mange ganger. Absolutt frekvens (hyppighet) Relativ frekvens (hyppighet) ¼ Det totale antall Ivårt eksempel har vi seks mulige utfall: 91

2 fu 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 ; u 5 ; u 6 g¼f1; 2; 3; 4; 5; 6g Vi kaller et tilfeldig utfall for u i. Utfallsrommet UR kan da skrives UR ¼fu 1 ; u 2 ;...; u 6 g Ut fra det vi har sagt ovenfor, kan vi skrive Pð1Þ ¼Pð2Þ ¼Pð3Þ ¼Pð4Þ ¼Pð5Þ ¼Pð6Þ ¼ 1 6 ðaþ 0 Pðu i Þ1 Betingelsen (a) betyr at sannsynligheten for et hvilket som helst utfall alltid ligger mellom null og en, det vil si mellom 0 % og 100 %. ðbþ PðURÞ ¼Pðu 1 ÞþPðu 2 ÞþþPðu 6 Þ¼1 Betingelsen (b) betyr at summen av sannsynlighetene for alle utfallene er lik 100 %. PðURÞ ¼ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 ¼ 6 ¼ 1 ð1 ¼ 100 %Þ 6 (a) og (b) er to betingelser som er nødvendige for en sannsynlighetsmodell. Vi legger merke til at summen av alle sannsynlighetene er lik 1, dvs. 100 %, og at sannsynligheten for et enkelt utfall ligger mellom 0 og 1, dvs. mellom 0 % og 100 %. Sannsynligheten kan aldri bli negativ. 6.2 Begivenhet (hendelse) Når vi kaster en terning og får utfallet 2 øyne, kaller vi dette for en begivenhet. Det er vanlig å bruke store bokstaver for å uttrykke en begivenhet. Eksempelvis kan vi kalle utfallet «2 øyne» ved kast med en terning for begivenhet A. Begivenhet A: 2 øyne En begivenhet kan bestå av flere utfall, for eksempel 2 og/eller 4 øyne. Noen bruker begrepet hendelse i stedet for begivenhet. Begivenhet B: Løsningen på de to begivenhetene vil bli: 2 eller 4 øyne PðAÞ ¼ 1 6 og PðBÞ ¼ 1 6 þ 1 6 ¼ 2 6 ¼

3 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning Legg merke til at vi «summerte» de to sannsynlighetene når det var spørsmål om«eller» (2 eller 4 øyne). 6.3 Uavhengighet. Trediagram. Uniform sannsynlighetsmodell Når vi kaster en terning eller mynt, vil hvert utfall være uavhengig av de andre utfallene. Hvis vi for eksempel får 4øyne i et kast, er sannsynligheten fortsatt 1 6 for å få 4 øyne i neste kast. Det samme gjelder kast med mynt. Hvis vi får mynt i et kast, er dette uavhengig av hva vi har fått i tidligere kast. En terning eller mynt «husker» ikke. Det er viktig å huske på dette. Eksempel 1 Vi kaster en terning to ganger. Hva er sannsynligheten for disse begivenhetene: A: Begge kast gir 5 øyne? B: Første kast gir 5 øyne og andre kast gir 4 øyne? C: Vifår 5 og 4 øyne? Løsningsforslag PðAÞ ¼Pð5ÞPð5Þ ¼ ¼ 1 36 PðBÞ ¼Pð5ÞPð4Þ ¼ ¼ 1 36 PðCÞ ¼Pð5ÞPð4ÞþPð4ÞPð5Þ ¼ þ ¼ 1 36 þ 1 36 ¼ 2 36 ¼ 1 18 Kommentar Sannsynligheten for å få 5 øyne og 5 øyne på de to kastene er , fordi de to kastene er uavhengige av hverandre. Vi ser at vi multipliserer sannsynligheter ved spørsmål om«og». Begivenhetene B og C virker nokså like, men det er likevel en betydelig forskjell. Begivenheten B er helt klar, her skal vi ha 5 øyne i første kast og 4 øyne i andre kast. Hver gir en sannsynlighet på 1 6, fordi utfallet av det andre kastet er uavhengig av det første. Begivenheten C kan vi få ved kombinasjonene ð5; 4Þ og ð4; 5Þ, det vil si 5 øyne og 4 øyne eller 4 øyne og 5 øyne på de to kastene (eller: vi summerer sannsynlighetene). 93

4 Eksempel 2 Vi kaster en «korrekt» mynt to ganger. Hva er sannsynligheten for begivenhetene A: 2 mynt B: 1 mynt og 1 kron C: 2 kron Oppfyller dette kravene til en sannsynlighetsmodell? Løsningsforslag En «korrekt» mynt betyr at det er like stor sannsynlighet for å få mynt som for å få kron. Utfallet av det andre kastet er uavhengig av det første. Utfallsrommet ðurþ for to myntkast er UR ¼fMM; MK; KM; KKg Vi kan lage oss et trediagram som er svært illustrerende: Første kast M K Andre kast M K M K Vi ser at det er totalt fire utfall, der ett utfall er gunstig for begivenhet A, dvs. PðAÞ ¼ 1 4 ¼ 0,25. Men vi kan også finne sannsynligheten ved å multiplisere sannsynlighetene for å få mynt ðmþ ved hvert kast: PðAÞ ¼PðMÞPðMÞ ¼ ¼ 1 ¼ 0,25 ¼ 25 % 4 Når det gjelder begivenhet B, måvi legge merke til at vi kan få mynt ðmþ iførste kast og kron ðkþ i andre kast, eller kron ðkþ iførste kast og mynt ðmþ i andre kast. Da kan vi sette opp PðBÞ ¼PðMÞPðKÞþPðKÞPðMÞ ¼ þ ¼ 1 4 þ 1 4 ¼ 2 4 ¼ 1 2 Det er 50 % sjanse for å få 1 mynt og 1 kron ved de to kastene. Sannsynligheten for to kron ðkkþ er den samme som sannsynligheten for to mynt ðmmþ: PðCÞ ¼PðKÞPðKÞ ¼ ¼ 1 ¼ 0,25 ð25 %Þ 4 94

5 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning Disse begivenhetene oppfyller kravene til en sannsynlighetsmodell fordi 0 PðAÞ 1, 0 PðBÞ 1 og 0 PðCÞ 1 og PðAÞ þ PðBÞ þ PðCÞ ¼ 0,25 þ 0,50 þ 0,25 ¼ 1 ð¼ 100 %Þ Eksempel 3 Et ektepar planlegger å få fire barn. Hva er sannsynligheten for å få disse begivenhetene: a) A ¼ 4 gutter b) B ¼ 2 gutter og 2 jenter Vi forutsetter at sannsynligheten for å få gutt og jente er den samme, og at vi har uavhengighet ved fødslene. Det betyr at kjønnet på et nyfødt barn er uavhengig av kjønnene på foregående barn. Løsningsforslag Svaret på a) kan finnes relativt enkelt. Ved hver fødsel er det to mulige utfall (gutt/jente) og ved fire fødsler vil det da bli ¼ 2 4 ¼ 16 mulige utfall Kun ett av disse utfallene består av 4 gutter, så svaret på a) vil bli PðAÞ ¼ 1 ¼ 0,0625 ¼ 6,25 % 16 Når det gjelder å finne svaret på b), må vi finne ut hvilke kombinasjoner/utfall som inneholder 2 gutter og 2 jenter. For å få en systematisk oversikt kan vi lage et trediagram slik som vist nedenfor: G G G G G G G G Av diagrammet ser vi at det er åtte utfall der den førstefødte er gutt ðgþ. Utfallene er GGGG, GGG, GGG, GG, GGG, GG, GG, G. 95

6 G G G G G G G Av dette diagrammet er det åtte utfall der den førstefødte er en jente ðþ: GGG, GG, GG, G, GG, G, G,. Totalt er det 16 «mulige» utfall (se løsning a), og vi finner at det er seks «gunstige» utfall, det vil si utfall som inneholder 2 gutter og 2 jenter (markert med tykkere skrift). Svaret på spørsmål b) blir da PðBÞ ¼ 6 16 ¼ 3 ¼ 0,375 ¼ 37,5 % 8 Når alle utfall er like sannsynlige i et forsøk, kaller vi dette en uniform sannsynlighetsmodell. Ovenfor har vi brukt terningkast, myntkast og fødsler som eksempler på uniforme modeller. Ved fødsler er ikke sannsynligheten lik for å få gutt eller jente (det blir født flere gutter), men som tilnærming er det forsvarlig å bruke at PðGÞ ¼PðÞ ¼ 1 2. En formel for sannsynlighet for en begivenhet (hendelse): PðbegivenhetÞ ¼ antall «gunstige» utfall antall mulige utfall 6.4 Sammensatte forsøk Ovenfor har vi kastet både terning og mynt og «organisert» fødsler ved forsøk. Men et forsøk kan bestå av flere delforsøk slik at det er viktig med riktig opptelling. Som vi har sett er et trediagram svært illustrerende i så henseende. Men det kan bli svært tidkrevende å lage et trediagram etter relativt få kast med for eksempel en terning. Eksempel 4 I en skoleklasse på 25 elever er det 14 jenter. Det skal opprettes en komité på tre elever. Hva er sannsynligheten for at komitéen består av tre jenter? 96

7 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning Løsningsforslag Begivenhet A: komité med 3 jenter Vi forutsetter at alle i klassen har samme mulighet (sannsynlighet) for å bli trukket ut. Det er 14 muligheter (utfall) for å trekke ut den første jenta. Det er 13 muligheter (utfall) for jente nummer to og 12 muligheter (utfall) for jente nummer tre. Dette gir til sammen ¼ 2184 muligheter eller utfall med 3 jenter («gunstige»). Det er ¼ mulige utfall ved å plukke ut 3 elever i klassen. gunstige utfall PðAÞ ¼ mulige utfall Vi kunne ha regnet slik: ¼ 2184 ¼ 0,158 ¼ 15,8 % PðAÞ ¼ ¼ 2184 ¼ 0,158 ¼ 15,8 % Sannsynligheten for at den første uttrukne er en jente, er For at den andre uttrukne er jente, er sannsynligheten 13 24, og for at den tredje uttrukne er jente, er den Som vi ser ovenfor, multipliserer vi de enkelte sannsynlighetene. Husk hva vi nevnte tidligere om «multiplikasjon» og «og». Først jente og så jente og så jente. Derfor multipliserer vi sannsynlighetene. La oss tenke oss at komitéen i den samme klassen skal bestå av 2 gutter og 1 jente. Hva vil sannsynligheten være for denne begivenheten (hendelsen)? Begivenhet B: komité med 2 gutter og 1 jente Løsningsforslag Vi kan plukke ut 2 gutter og 1 jente på tre måter: GG, GG og GG. De tre rekkefølgene er like sannsynlige. Vi får PðBÞ ¼ þ þ ¼ 4620 ¼ 0,335 ¼ 33,5 % eller PðBÞ ¼ ¼ 4620 ¼ 0,335 ¼ 33,5 %

8 For å finne antall «gunstige» utfall med 2 gutter og 1 jente kunne vi ha laget et trediagram, men vi forstår at det ville bli svært arbeidskrevende i dette tilfellet. Derfor kan vi tenke oss starten på trediagrammet (legg merke til rekkefølgen): 11 G 11 G G G 11 G 10 G = = = 1540 Til sammen ¼ 4620 «gunstige» utfall. Hadde komitéen bestått av 1 gutt og 2 jenter, ville antall «gunstige» kombinasjoner blitt slik (G, G, G): 11 G G G = = = 2002 Til sammen ¼ 6006 «gunstige» kombinasjoner. Pð1G og 2Þ ¼ 6006 ¼ 0,435 ¼ 43,5 % Alternativt: Pð1G og 2Þ ¼ ¼ 6006 ¼ 0,435 ¼ 43,5 % Sannsynligheten for at komitéen skal bestå av bare gutter finner vi nå ved å regne ut følgende: Pð3GÞ ¼1 0,158 0,435 0,335 ¼ 0,072 ¼ 7,2 % (Kontroller med «gunstige» delt på «mulige» utfall.) Hvis spørsmålet hadde vært å finne sannsynligheten for at komitéen skulle bestå av minst 1 jente, så ville det selvfølgelig bety alle de komitéene som inneholder 1, 2 eller 3 jenter. I vårt eksempel ville sannsynligheten blitt summen av 0,435, 0,335 og 0,158, dvs. 0,928 ¼ 92,8 %. Men skal komitéen inneholde minst 1 jente, kan vi se bort fra den komitéen som består av 3 gutter. Pðminst 1 jenteþ ¼1 0,072 ¼ 0,928 ¼ 92,8 % 98

9 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6.5 Komplementmengde Eksempel 5 Begivenhet A ¼ komité med minst 1 jente Begivenhet A ¼ komité uten jenter (bare gutter) Vi sier at A er komplementmengden til A. Summen av sannsynlighetene til en mengde og en komplementmengde er alltid lik 1 eller 100 %. PðAÞþPðAÞ ¼1 eller PðAÞ ¼1 PðAÞ 6.6 Avhengighet. Betinget sannsynlighet Når vi kaster en terning, vil utfallet av et kast være uavhengig av de andre kastene. Det samme vil være tilfelle ved kast med mynt. I begge tilfeller kan vi snakke om «trekning med tilbakelegging». I andre tilfeller kan vi ha «trekning uten tilbakelegging». Et eksempel på dette kan være lottotrekningen «en drøm om rikdom». Når man trekker den første kulen, vil den ikke bli lagt tilbake. Det betyr at utfallet av den andre kulen er avhengig av utfallet av den første kulen, utfallet av den tredje er avhengig av de to første osv. I dette tilfellet snakker vi om betinget sannsynlighet. Eksempel 6 Vi har en urne med 6 røde (R) og 4 blå (B) kuler, til sammen 10 kuler. Vi trekker to kuler. Hva er sannsynligheten for at den andre kulen er blå? Løsningsforslag Oppgaven er upresist formulert fordi vi har to muligheter ved trekningen, med og uten tilbakelegging. Med tilbakelegging Ved andre trekning er det fortsatt 10 kuler, og 4 av dem er blå. Derfor er sannsynligheten for at kule nummer to er blå: Pðandre blåþ ¼ 4 10 ¼ 2 ¼ 0,4 ¼ 40 % 5 Uten tilbakelegging Ved andre trekning er det 9 kuler igjen, men vi vet ikke om det er 3 99

10 eller 4 blå igjen. Dette er avhengig av (betinget av) utfallet av første trekning. 1) Første kule er rød. Pðandre blåþ ¼ 4 9 Skrivemåte: PðBjRÞ ¼ 4 9. Dette leses: Sannsynligheten for blå kule, gitt at første kule er rød. 2) Første kule er blå. Pðandre blåþ ¼ 3 9 ¼ 1 3 Skrivemåte: PðBjBÞ ¼ 3 9 ¼ 1 3 Sannsynligheten for blå kule, gitt at første kule er blå. Den loddrette streken j leses gitt at. Det som står bak den loddrette streken, er det som inntraff ved første trekning. Konklusjon For å angi nøyaktig hva sannsynligheten er for å få blå kule ved andre trekning, må vi vite om det er trekning med tilbakelegging eller ikke. Hvis det er trekning uten tilbakelegging, må vi vite utfallet av første trekning. Oppgave I en bolle har vi 6 gule og 4 brune påskeegg. Eva får i oppgave å trekke ut 2 egg til frokosten sin. Hva er sannsynligheten for at hun trekker ett gult og ett brunt egg? Løsningsforslag G ¼ gule egg og B ¼ brune egg Begivenhet A: ett gult og ett brunt egg Så lenge Eva skal ha to egg til frokost, er dette trekning uten tilbakelegging. ð1þ PðAÞ ¼PðGÞPðBjGÞþPðBÞPðGjBÞ PðAÞ ¼ þ ¼ þ ¼ ¼ 8 ¼ 0,533 ¼ 53,3 % 15 Vi har løst tilsvarende problem tidligere uten å bruke betinget sannsynlighet. Men (1) er den korrekte måten å skrive dette på. PðGÞPðBjGÞ sier oss hva sannsynligheten er for at det første egget er gult ( 6 10 ), multiplisert med sannsynligheten for at det andre egget er brunt ( 4 9 ). Etter å ha trukket ut ett egg er det 9 egg igjen til andre trekning. Tilsvarende tankegang gjelder for PðBÞPðGjBÞ. Eva kan trekke et brunt egg først og deretter et gult egg. 100

11 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6.7 Venndiagram. Addisjonssetningen Eksempel 7 I en klasse med 27 elever spiller 14 elever fotball, 10 elever håndball og 4både fotball og håndball. Vi trekker en tilfeldig elev. Finn sannsynligheten for at eleven spiller a) fotball b) håndball c) verken fotball eller håndball Løsningsforslag Her ser vi at antallet som spiller ballidretter ikke kan være 14 þ 10 þ 4 ¼ 28 i en klasse på 27 elever. For å få en bedre oversikt lager vi et venndiagram: F: fotball H: håndball :hele klassen F H Snitt: F H F U H Fellesområdet mellom mengdene F (fotball) og H (håndball) kalles «snittet» mellom mengdene F og H, og skrives F \ H. 101

12 Union: F H F U H Tar vi med alle som spiller fotball eller håndball eller begge deler, kaller vi det «unionen» mellom mengdene F og H. Union skrives F [ H. Vi kan «oversette» snitt med og (multiplikasjon) og union med eller (addisjon). Symboler med en strek over, betyr «ikke denne mengden». F betyr alle som ikke spiller fotball, og H alle som ikke spiller håndball. PðF [ HÞ ¼PðF \ HÞ F H På venstre side står sannsynligheten for at de uttrukne ikke spiller fotball eller håndball. Dette er det samme som å si sannsynligheten for at de ikke spiller fotball eller håndball. F H

13 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning a) PðFÞ ¼ 14 ¼ 0,519 (14 av 27 elever spiller fotball.) 27 F H b) PðHÞ ¼ 10 ¼ 0,370 (10 av 27 elever spiller håndball.) 27 F H c) PðF \ HÞ ¼ 7 ¼ 0,259 (7 av 27 elever driver ikke med noen av de 27 to ballidrettene.) Hvis vi går videre og spør hva sannsynligheten er for at den tilfeldig uttrukne eleven spiller fotball eller håndball, vil løsningen kunne se slik ut: PðF [ HÞ ¼PðFÞþPðHÞ PðF \ HÞ ¼ þ ¼ ¼ 0,741 Legg merke til at når vi summerer mengden F og mengden H, blir fellesområdet tatt med to ganger. Derfor må vi trekke ifra F \ H som beskriver den felles mengden (her: 4 spillere). Addisjonssetningen: Hvis A og B er to begivenheter ved et tilfeldig forsøk, har vi PðA [ BÞ ¼PðAÞþPðBÞ PðA \ BÞ: Dette kalles den generelle addisjonssetningen. Eksempel 8 I en klasse på 20 elever spiller 8 elever gitar og 4 elever klarinett. 8 elever spiller ikke noen instrumenter. Vi forutsetter at en som spiller gitar, ikke spiller klarinett, og omvendt. 103

14 En tilfeldig elev blir trukket ut. Finn sannsynligheten for at den uttrukne eleven spiller a) gitar b) klarinett c) verken gitar eller klarinett d) enten gitar eller klarinett G K a) PðGÞ ¼ 8 20 ¼ 0, ¼ 2 5 b) PðKÞ ¼ 4 20 ¼ 0, ¼ 1 5 c) PðG \ KÞ ¼ 8 20 ¼ 0,40 d) PðG [ KÞ ¼PðGÞþPðKÞ ¼ 2 5 þ 1 5 ¼ 3 5 ¼ 0,60 eller 0,40 þ 0,20 ¼ 0,60 Vi har brukt en «amputert» addisjonssetning i tilfellet d). Grunnen til det er at de to mengdene G og K ikke har noe til felles, og derfor får vi ikke dobbel telling her. Vi sier at de to mengdene er «disjunkte» (atskilte). I d) blir altså PðG \ KÞ ¼0. Addisjonssetningen for to disjunkte begivenheter A og B: PðA [ BÞ ¼PðAÞþPðBÞ PðA \ BÞ ¼0 104

15 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6.8 Produktsetningene ved sannsynligheter Uavhengige begivenheter Vi har tidligere nevnt at utfallene ved kast med terninger og mynter ikke vil påvirke de neste utfallene. Terningene og myntene «husker» ikke. Begivenheter knyttet til uavhengige delforsøk kalles uavhengige begivenheter. Eksempel 9 Vi kaster en terning to ganger: Begivenhet A: 2øyne i første kast Begivenhet B: 3øyne i andre kast Begivenhetene A og B er uavhengige. Hva er sannsynligheten for å få 2 øyne i første kast og 3 øyne i andre kast? Pðførst 2 og så 3øyneÞ ¼ ¼ 1 0,028 ð2,8 %Þ 36 PðAÞ ¼ 1 6 og PðBÞ ¼ 1 6 PðA \ BÞ ¼PðAÞPðBÞ ¼ ¼ 1 36 PðA \ BÞ leses som sannsynligheten for å få begivenhetene A og B, det vil si å få 2 øyne i det første kastet og 3 øyne i det andre kastet. Dette leder til en produktregel for uavhengige begivenheter A og B: PðA \ BÞ ¼PðAÞPðBÞ Avhengige begivenheter I avsnitt 6.7 tok vi for oss betinget sannsynlighet, dvs. at ett utfall var avhengig av et annet utfall. Som illustrasjon brukte vi trekking av blå og røde kuler fra en bolle. 105

16 Eksempel 10 Fra en bolle med 6 røde og 4 blå kuler trekker vi to kuler uten tilbakelegging. Vi har Begivenhet A: Den første kulen er rød. Begivenhet B: Den andre kulen er blå. PðAÞ ¼ 6 10 ¼ 3 5 og PðBÞ ¼ 4 9 Etter første trekning er det 9 kuler igjen i bollen. Hvis den første kulen er rød, er det fortsatt 4 blå kuler igjen til andre trekning. Derfor er sannsynligheten 4 av 9 for å trekke blå kule andre gang. Den korrekte skrivemåten for PðBÞ er PðBjRÞ, fordi den uttrykker sannsynligheten for at den andre kulen er blå, gitt at den første kulen er rød. Hva er da sannsynligheten for å få en rød kule i første trekning og en blå kule i andre trekning? Pðførst rød ogsåblåþ ¼ ¼ ¼ 4 ¼ 0,267 ¼ 26,7 % 15 Produktregelen for avhengige begivenheter A og B kan skrives PðA \ BÞ ¼PðAÞPðBjAÞ 106

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

4.4 Sum av sannsynligheter

4.4 Sum av sannsynligheter 4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk) 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Læreplan. Forsøk og simuleringer. Sannsynlighet 3.3 Sum av sannsynligheter 5.4 Multiplikasjonsprinsippet 9.5 Uavhengige hendinger 0. Avhengige hendinger 5 Symboler, formler og eksempler

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall ÅM110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallen

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge

Detaljer

Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang Grunnleggende sannsynlighetsregning Det er mulig

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

4: Sannsynlighetsregning

4: Sannsynlighetsregning Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni

Detaljer

Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning

Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning Innhold: Produktsetning, avhengighet, betinget sannsynlighet (.2,.) Setningen om total sannsynlighet (.4) Bayes setning (.4) Disse tingene henger

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4]

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] Kapittel 4: Sannsynlighet 4.4: Disjunkte hendelser, 4.5: Uavhengige hendelser 4.6: Er disjunkthet og uavhengighet relatert til hverandre? Bruk av sannsynlighetsregning

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning i (sannsynlighetsteori) t i) 2.5 Betinget sannsynlighet 1 Betinget sannsynlighet (kp. 2.5) - innledning Eks.: Et terningkast;

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 4: Sannsynlighetsregning Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.1) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

10.5 Mer kombinatorikk

10.5 Mer kombinatorikk bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene

Detaljer

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på. Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet Basisoppgaver til P kap. 4 Sannsynlighet 4. Sannsynlighet og relativ frekvens 4.2 Sannsynlighetsmodeller 4.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 4.4 Addisjonssetningen 4.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN 1 I GRUNNSKOLEN Etterutdanningskurs for lærere på grunnskolens ungdomstrinn Opplegget som her presenteres til fordypning i STATISTIKK / SANNSYNLIGHETSDELEN av MATEMANIA er i utgangspunktet skrevet for

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

Simulering - Sannsynlighet

Simulering - Sannsynlighet Simulering - Sannsynlighet Når regnearket skal brukes til simulering, er det et par grunninnstillinger som må endres i Excel. Hvis du får feilmelding om 'sirkulær programmering', betyr det vanligvis at

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel

Detaljer

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Trekking uten tilbakelegging ST0202 Statistikk for samfunnsvitere o Lindqvist Institutt for matematiske fag En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (). To kuler trekkes uten tilbakelegging,

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten

Detaljer

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Sannsynlighet og statistikk

Sannsynlighet og statistikk Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.

Detaljer

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Vi så i forrige kapittel at utvalgsfordeling til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene til statistikken over alle utvalg av samme størrelse

Detaljer

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser.

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Kast med to terninger, A er sekser på første terning og B er sekser på andre terning. Sekser på begge terningene er Fra definisjonen av betinget

Detaljer

Lottotrekningen i Excel

Lottotrekningen i Excel Peer Andersen Lottotrekningen i Excel Mange leverer ukentlig inn sin lottokupong i håp om å vinne den store gevinsten. Men for de aller fleste blir den store gevinsten bare en uoppnåelig drøm. En kan regne

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.5: Addisjonsregler (union) 2.6: Betinget sannsynlighet 2.7: Multiplikasjonsregler (snitt) 2.8: Bayes regel (starte litt) Mette Langaas Foreleses mandag 30. august 2010 2 Kapittel

Detaljer

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU 3 Utfallsrom og hendelser Kapittel 2: Sannsynlighet 2., 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel DEF 2. Ufallsrom:

Detaljer

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

Sannsynlighet Venndiagram 1

Sannsynlighet Venndiagram 1 6 Sannsynlighet Venndiagram 1 Illustrer oppgaven med brikker og mengderinger. I hver oppgave må du først skrive på mengderingene hva de skal inneholde, enten med ord eller med forkortelser. Skriv deretter

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ 2 2 2 Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall.

Detaljer

Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet.

Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Eksempel 1 (begrunnelse for definisjonen av betinget sannsynlighet): Hendelse A er "sum minst 8 på kast med 2 terninger" P(A) = 15/36 P(A) < 1/2

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

Mappeoppgave om sannsynlighet

Mappeoppgave om sannsynlighet Mappeoppgave om sannsynlighet Statistiske eksperimenter Første situasjon Vi kom frem til å bruke Yatzy som et spill vi ønsket å beregne sannsynlighet ut ifra. Vi valgte ut tre like og to par. Etter en

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

a) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en rød kule? Det er til sammen 10 kuler, og 2 av disse er røde. Det betyr at P (Rød kule) =

a) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en rød kule? Det er til sammen 10 kuler, og 2 av disse er røde. Det betyr at P (Rød kule) = Oppgaver sannsynlighetsregning Oppgave 1. a) Hva er sannsynligheten for at et terningkast gir 3 eller 4 som resultat? Et terningkast har 6 mulige utfall. 2 av utfallene gir 3 eller 4 som resultat. Det

Detaljer

Datainnsamling, video av forelesning og referansegruppe

Datainnsamling, video av forelesning og referansegruppe Datainnsamling, video av forelesning og referansegruppe Datainnsamling Om du ikkje alt har gjort det: https://wiki.math.ntnu.no/tma4240/2015h/start Video http://video.adm.ntnu.no/serier/55d47b463d96a Referansegruppe

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 5

Statistikk 1 kapittel 5 Statistikk 1 kapittel 5 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 5 Sannsynlighetsmodeller I kap. 4 så vi et eksempel om en s.v. X som hadde en uniform sannsynlighetsfordeling: alle verdier av x har like

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012 Introduksjon Prakstisk informasjon, s. 1 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk (5sp), våren 2012 BMF100 Sannsynlighetsregning og statistikk 1 (10sp), våren 2012 Ny rammeplan for ingeniørfag Sannsynlighetsregning

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko

Detaljer

Beskrivende statistikk.

Beskrivende statistikk. Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut

Detaljer

FORMELHEFTE ENT3R UMB 2012

FORMELHEFTE ENT3R UMB 2012 FORMELHEFTE ENT3R UMB 2012 2 Innhold TALL OG ALGEBRA... 4 Å REGNE MED NEGATIVE TALL: ADDISJON OG SUBTRAKSJON... 4 Å REGNE MED NEGATIVE TALL: MULTIPLISERE MED NEGATIVE TALL... 5 Å REGNE MED NEGATIVE TALL:

Detaljer

8 Likninger med to ukjente rette linjer

8 Likninger med to ukjente rette linjer 8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin.

Detaljer

Eksplosjon av data! Innledning til STK1100. Stokastiske forsøk STK1100. Statistisk analyse. Deterministiske fenomener. Data samles inn overalt

Eksplosjon av data! Innledning til STK1100. Stokastiske forsøk STK1100. Statistisk analyse. Deterministiske fenomener. Data samles inn overalt Eksplosjon av data! Innledning til STK1100 Januar 2014 Ørnulf Borgan/Geir Storvik Matematisk institutt Universitetet i Oslo Data samles inn overalt Medisinske undersøkelser Aksjekurser Metrologi-miljø

Detaljer

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler

Prøve 6 1T 24.02.12 80 minutter. Alle hjelpemidler Prøve 6 T 24.02.2 80 minutter. Alle hjelpemidler Oppgave I boks A er det 6 svarte og 2 hvite kuler. I boks B er det 8 svarte og 4 hvite kuler. Vi trekker en kule fra en av krukkene. a) va er sannsynligheten

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Innledning og litt historie Flere almanakker viser hvilke dager det er fullmåne og når

Detaljer

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet

Forsøk med sannsynlighetsregning/fra forsøk til sannsynlighet Sannsynlighet Sannsynligheter angis som 1. (desimal)tall fra 0 til 1, der 0 angir at noe aldri vil skje og at 1 angir at noe vil skje hver gang 2. prosent mellom 0 og 100 %, der 0 % angir at noe aldri

Detaljer

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT

JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT JULETENTAMEN, 9. KLASSE, 2015. FASIT DELPRØVE 1. OPPGAVE 1.1: 367 + 254 = 621 c: 67. 88 536 536 = 5896 e: 18,4-9,06 = 9,34 24,8 + 7,53 = 32,33 d: 3,2 : 0,8 = 32 : 8 = 4 32 f: 12 2. 5 2 = 12 2. 25 = 12

Detaljer

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i oka 7.1 a c d 4 1 P (sum antall øyne lir 5) = = 36 9 6 1 P (sum antall øyne lir minst 10) = = 36 6 6 1 P (sum antall øyne lir høyst 4) = = 36 6 11

Detaljer

Tall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013

Tall og mengder. Per G. Østerlie. 30. september 2013 Tall og mengder Per G. Østerlie 30. september 2013 1 Introduksjon Nå skal vi se på hva mengder og intervaller er og hvilke symboler vi benytter. Vi starter med å se på tall og hvordan vi kan dele opp i

Detaljer

Heldagsprøve. Matematikk - S2. 6 Mai 2010

Heldagsprøve. Matematikk - S2. 6 Mai 2010 S2 -Heldagsprøve V0 Heldagsprøve Matematikk - S2 6 Mai 200 Løsningsskisser Del Oppgave a) En rekke er gitt ved 7 3 9... ) Finn ledd nummer 25 i rekken. a 25 a d n 6 25 45 2) Finn summen av de første 50

Detaljer

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5

Forelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5 Forelesning 9 Mengdelære Dag Normann - 11. februar 2008 OVER TIL KAPITTEL 5 De fleste som tar MAT1030 har vært borti mengder i en eller annen form tidligere. I statistikk og sannsynlighetsteori på VGS

Detaljer

Simulering på regneark

Simulering på regneark Anne Berit Fuglestad Simulering på regneark Trille terninger eller kaste mynter er eksempler som går igjen i sannsynlighetsregningen. Ofte kunne vi trenge flere forsøk for å se en klar sammenheng og få

Detaljer

Sannsynlighet (Kap 3)

Sannsynlighet (Kap 3) Sannsynlighet (Kap 3) Medisinsk statistikk Del I 3 sept. 2008 Eirik Skogvoll, 1.amanuensis/ overlege Hva er sannsynlighet? Grunnleggende sannsynlighetsregning 1 Brystkreft (Eks. 3.1) Forekomst av brystkreft

Detaljer

Betinget sannsynlighet

Betinget sannsynlighet Betinget sannsynlighet Multiplikasjonsloven for sannsynligheter (s. 49 i bok): P( AB ) = P( A B ) P(B) Veldig viktig verktøy for å finne sannsynligheter for snitt. (Bevises ved rett fram manipulering av

Detaljer

1 Sannsynlighetsrgning

1 Sannsynlighetsrgning 1 Sannsynlighetsrgning 1.1 Det er 13 grønne og 18 røde baller i en eske. Vi trekker ut to baller etter hverandre. a) Hva er sannsynligheten for å få to grønne baller? Svar: P(g 1, g 2 ) = p(g 1 ) p(g 2

Detaljer

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål

Fasit. Grunnbok. Kapittel 5. Bokmål Fasit Grunnbok Kapittel 5 Bokmål Kapittel 5 Fra erfaring til sannsynlighet 5. a P = 3 5.2 a P = 2 5.3 B har rett 5.4 a P = 4 b P = 4 b P = 2 b c P = 7 c P = 5 2 c d P = 25 d P = 5 2 5.5 a b Den eksperimentelle

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Noen viktige sannsynlighetsmodeller

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Noen viktige sannsynlighetsmodeller. Noen viktige sannsynlighetsmodeller ÅMA0 Sannsnlighetsregning med statistikk, våren 008 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsnlighetsmodeller Noen viktige sannsnlighetsmodeller Binomisk modell (kp. 3.6) Hpergeometrisk modell

Detaljer

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012

Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2012 Eksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 01 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (18 poeng) a) Regn ut 1) 8 33 10 1 833 8 694 1 ) 1 9 3 3 1 3 3 3 33 3 3 3 6 6 3 3 1 3 6 4 3 3 81 b) Regn ut og skriv svaret på standardform

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2P er gratis, og

Detaljer

Kombinatorikk og sannsynlighetsregning

Kombinatorikk og sannsynlighetsregning Kombinatorikk og sannsynlighetsregning Aasum, Jon-Henning & Maers, Rafael Lukas 1. april 2014 Sammendrag Denne artikkelen forsøker å gi en god forklaring på grunnleggende kombinatorikk og sannsynlighetsregning,

Detaljer

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable

Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Kapittel 4.3: Tilfeldige/stokastiske variable Litt repetisjon: Sannsynlighetsteori Stokastisk forsøk og sannsynlighet Tilfeldig fenomen Individuelle utfall er usikre, men likevel et regulært mønster for

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON2130 - Statistikk 1 Eksamensdag: 19.06.2014 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Tillatte hjelpemidler: Alle trykte

Detaljer

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform

Studentene skal kunne. gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall. skrive mengder på listeform 1 10 Tall og tallregning Studentene skal kunne gjøre rede for begrepene naturlige, hele, rasjonale og irrasjonale tall definere og benytte de anerkjente skrivemåtene for åpne, halvåpne og lukkede intervaller

Detaljer

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 3.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 300, 301, 303, 306, 308 313, 314, 315, 317, 318 324, 325, 326, 329,

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 3.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 300, 301, 303, 306, 308 313, 314, 315, 317, 318 324, 325, 326, 329, 3 Sannsynlighet Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne lage eksempler og simuleringer av tilfeldige begivenheter og gjøre rede for sannsynlighetsbegrepet beregne sannsynligheter ved

Detaljer

Regn i hodet: 46 + 28. Å uttrykke tall. Ulike uttrykksmåter. Det vesentlige er utvikling. Hvordan jobbe med dette? Hvordan jobbe med dette? 10.09.

Regn i hodet: 46 + 28. Å uttrykke tall. Ulike uttrykksmåter. Det vesentlige er utvikling. Hvordan jobbe med dette? Hvordan jobbe med dette? 10.09. Hva er Hvorfor Singaporematematikk er folk interesserte i Singapore-matematikk Fordi elevene i Singapore stadig får best resultat på En samling undervisningsstrategier vanlig i Singapore internasjonale

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015

Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Oppgaver i Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V våren 2015 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Oppgave 1 Et forsøk er deterministisk hvis vi kan forutsi resultatet. Hvis

Detaljer

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418

Sannsynlighet. Sti 1 Sti 2 Sti 3 4.1 Sannsynlighet og relativ frekvens 400, 401, 402, 406, 410 411, 412, 415, 416, 418 4 Sannsynlighet STIFINNEREN Kompetansemål: Mål for opplæringen er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkeuniforme sannsynlighetsmodeller beregne sannsynligheter

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1

Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1 ECON 130 EKSAMEN 005 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 10 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom , Oppgave 1 I denne oppgaven kan du anta at

Detaljer

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1. Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten

Detaljer

Kompendium V-2014 MAT110. Statistikk 1. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal

Kompendium V-2014 MAT110. Statistikk 1. Del 1 av 2. Per Kristian Rekdal Kompendium V-2014 MAT110 Statistikk 1 Del 1 av 2 Per Kristian Rekdal 2 Figur 1: But under a different accounting convention... 3 4 Forord Dette er del I (av II) av kompendiet i faget MAT110 Statistikk

Detaljer

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal

Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Regning som grunnleggende ferdighet Ny GIV! Møre og Romsdal Hefte med praktiske eksempler Tone Elisabeth Bakken Molde, 29.januar 2013 Ønsker du beskrivelse av og informasjon om flere metoder, - ta kontakt!

Detaljer

Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke

Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke Løsningsforslag til seminar 4 Undervisningsfri uke Iman Ghayoornia February 22, 2016 Oppgave 2.1 Se Excel-filen som er tilgjengelig på emnesiden. Hvis du lurer på hvordan jeg fikk verdiene i cellene så

Detaljer

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm

Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI. 1. Måleenheter. 1.1 Lengdeenheter. 1.2 Arealenheter. Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm Matematikk GS3 Temaer våren 2013 DEL 1: GEOMETRI 1. Måleenheter 1.1 Lengdeenheter Eksempel 1: Gjør om 5 m til dm, cm og mm m dm 5 m = 5 10 dm = 50 dm m cm 5 m = 5 10 10 cm = 5 10 2 cm = 500 cm m mm 5 m

Detaljer

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

TRINN 1: HVA ER ET SET?

TRINN 1: HVA ER ET SET? ALDER: 8 år til voksen ANTALL SPILLERE: 2 til 4 FORMÅL MED SPILLET: Å skåre flest poeng. Skår poeng ved å lage SET med din terning og de som allerede er på brettet. Jo flere SET du lager, jo flere poeng

Detaljer

En kort innføring i sannsynlighetsregning

En kort innføring i sannsynlighetsregning En kort innføring i sannsynlighetsregning Harald Goldstein Sosialøkonomisk institutt Januar 2000 Innhold 1 Innledning 1 2 Begivenheter og sannsynlighet 4 2.1 Matematiskbeskrivelseavbegivenheter... 4 2.2

Detaljer