6 Sannsynlighetsregning

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "6 Sannsynlighetsregning"

Transkript

1 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to, tre, fire, fem eller seks øyne. Vi sier at ethvert resultat er et utfall ved forsøket. Vi kaller alle mulige utfall for utfallsrommet (UR) ved forsøket. Hvis terningen ikke er falsk, vet vi også at sjansen for å få ett øye, to øyne osv. er den samme. Det er denne sjansen vi kaller for sannsynlighet (engelsk: probability). Hvis vi kaster terningen «uendelig» mange ganger, vil vi finne ut at den relative frekvensen (hyppigheten) for to øyne vil bli 16,67 % eller 1 6. Det samme prosenttallet vil vi få for ett øye, tre øyne osv. Vi sier at sannsynligheten for å få to øyne er 16,67 % eller 1 6. Vanlig skrivemåte: Pð2 øyneþ ¼ 1 6 eller Pð2Þ ¼ 1 6 P står for sannsynlighet (probability). Definisjon: Sannsynlighet er lik den relative frekvensen (hyppigheten) «i det lange løp». «I det lange løp» betyr her at vi foretar et forsøk uendelig mange ganger. Absolutt frekvens (hyppighet) Relativ frekvens (hyppighet) ¼ Det totale antall Ivårt eksempel har vi seks mulige utfall: 91

2 fu 1 ; u 2 ; u 3 ; u 4 ; u 5 ; u 6 g¼f1; 2; 3; 4; 5; 6g Vi kaller et tilfeldig utfall for u i. Utfallsrommet UR kan da skrives UR ¼fu 1 ; u 2 ;...; u 6 g Ut fra det vi har sagt ovenfor, kan vi skrive Pð1Þ ¼Pð2Þ ¼Pð3Þ ¼Pð4Þ ¼Pð5Þ ¼Pð6Þ ¼ 1 6 ðaþ 0 Pðu i Þ1 Betingelsen (a) betyr at sannsynligheten for et hvilket som helst utfall alltid ligger mellom null og en, det vil si mellom 0 % og 100 %. ðbþ PðURÞ ¼Pðu 1 ÞþPðu 2 ÞþþPðu 6 Þ¼1 Betingelsen (b) betyr at summen av sannsynlighetene for alle utfallene er lik 100 %. PðURÞ ¼ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 þ 1 6 ¼ 6 ¼ 1 ð1 ¼ 100 %Þ 6 (a) og (b) er to betingelser som er nødvendige for en sannsynlighetsmodell. Vi legger merke til at summen av alle sannsynlighetene er lik 1, dvs. 100 %, og at sannsynligheten for et enkelt utfall ligger mellom 0 og 1, dvs. mellom 0 % og 100 %. Sannsynligheten kan aldri bli negativ. 6.2 Begivenhet (hendelse) Når vi kaster en terning og får utfallet 2 øyne, kaller vi dette for en begivenhet. Det er vanlig å bruke store bokstaver for å uttrykke en begivenhet. Eksempelvis kan vi kalle utfallet «2 øyne» ved kast med en terning for begivenhet A. Begivenhet A: 2 øyne En begivenhet kan bestå av flere utfall, for eksempel 2 og/eller 4 øyne. Noen bruker begrepet hendelse i stedet for begivenhet. Begivenhet B: Løsningen på de to begivenhetene vil bli: 2 eller 4 øyne PðAÞ ¼ 1 6 og PðBÞ ¼ 1 6 þ 1 6 ¼ 2 6 ¼

3 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning Legg merke til at vi «summerte» de to sannsynlighetene når det var spørsmål om«eller» (2 eller 4 øyne). 6.3 Uavhengighet. Trediagram. Uniform sannsynlighetsmodell Når vi kaster en terning eller mynt, vil hvert utfall være uavhengig av de andre utfallene. Hvis vi for eksempel får 4øyne i et kast, er sannsynligheten fortsatt 1 6 for å få 4 øyne i neste kast. Det samme gjelder kast med mynt. Hvis vi får mynt i et kast, er dette uavhengig av hva vi har fått i tidligere kast. En terning eller mynt «husker» ikke. Det er viktig å huske på dette. Eksempel 1 Vi kaster en terning to ganger. Hva er sannsynligheten for disse begivenhetene: A: Begge kast gir 5 øyne? B: Første kast gir 5 øyne og andre kast gir 4 øyne? C: Vifår 5 og 4 øyne? Løsningsforslag PðAÞ ¼Pð5ÞPð5Þ ¼ ¼ 1 36 PðBÞ ¼Pð5ÞPð4Þ ¼ ¼ 1 36 PðCÞ ¼Pð5ÞPð4ÞþPð4ÞPð5Þ ¼ þ ¼ 1 36 þ 1 36 ¼ 2 36 ¼ 1 18 Kommentar Sannsynligheten for å få 5 øyne og 5 øyne på de to kastene er , fordi de to kastene er uavhengige av hverandre. Vi ser at vi multipliserer sannsynligheter ved spørsmål om«og». Begivenhetene B og C virker nokså like, men det er likevel en betydelig forskjell. Begivenheten B er helt klar, her skal vi ha 5 øyne i første kast og 4 øyne i andre kast. Hver gir en sannsynlighet på 1 6, fordi utfallet av det andre kastet er uavhengig av det første. Begivenheten C kan vi få ved kombinasjonene ð5; 4Þ og ð4; 5Þ, det vil si 5 øyne og 4 øyne eller 4 øyne og 5 øyne på de to kastene (eller: vi summerer sannsynlighetene). 93

4 Eksempel 2 Vi kaster en «korrekt» mynt to ganger. Hva er sannsynligheten for begivenhetene A: 2 mynt B: 1 mynt og 1 kron C: 2 kron Oppfyller dette kravene til en sannsynlighetsmodell? Løsningsforslag En «korrekt» mynt betyr at det er like stor sannsynlighet for å få mynt som for å få kron. Utfallet av det andre kastet er uavhengig av det første. Utfallsrommet ðurþ for to myntkast er UR ¼fMM; MK; KM; KKg Vi kan lage oss et trediagram som er svært illustrerende: Første kast M K Andre kast M K M K Vi ser at det er totalt fire utfall, der ett utfall er gunstig for begivenhet A, dvs. PðAÞ ¼ 1 4 ¼ 0,25. Men vi kan også finne sannsynligheten ved å multiplisere sannsynlighetene for å få mynt ðmþ ved hvert kast: PðAÞ ¼PðMÞPðMÞ ¼ ¼ 1 ¼ 0,25 ¼ 25 % 4 Når det gjelder begivenhet B, måvi legge merke til at vi kan få mynt ðmþ iførste kast og kron ðkþ i andre kast, eller kron ðkþ iførste kast og mynt ðmþ i andre kast. Da kan vi sette opp PðBÞ ¼PðMÞPðKÞþPðKÞPðMÞ ¼ þ ¼ 1 4 þ 1 4 ¼ 2 4 ¼ 1 2 Det er 50 % sjanse for å få 1 mynt og 1 kron ved de to kastene. Sannsynligheten for to kron ðkkþ er den samme som sannsynligheten for to mynt ðmmþ: PðCÞ ¼PðKÞPðKÞ ¼ ¼ 1 ¼ 0,25 ð25 %Þ 4 94

5 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning Disse begivenhetene oppfyller kravene til en sannsynlighetsmodell fordi 0 PðAÞ 1, 0 PðBÞ 1 og 0 PðCÞ 1 og PðAÞ þ PðBÞ þ PðCÞ ¼ 0,25 þ 0,50 þ 0,25 ¼ 1 ð¼ 100 %Þ Eksempel 3 Et ektepar planlegger å få fire barn. Hva er sannsynligheten for å få disse begivenhetene: a) A ¼ 4 gutter b) B ¼ 2 gutter og 2 jenter Vi forutsetter at sannsynligheten for å få gutt og jente er den samme, og at vi har uavhengighet ved fødslene. Det betyr at kjønnet på et nyfødt barn er uavhengig av kjønnene på foregående barn. Løsningsforslag Svaret på a) kan finnes relativt enkelt. Ved hver fødsel er det to mulige utfall (gutt/jente) og ved fire fødsler vil det da bli ¼ 2 4 ¼ 16 mulige utfall Kun ett av disse utfallene består av 4 gutter, så svaret på a) vil bli PðAÞ ¼ 1 ¼ 0,0625 ¼ 6,25 % 16 Når det gjelder å finne svaret på b), må vi finne ut hvilke kombinasjoner/utfall som inneholder 2 gutter og 2 jenter. For å få en systematisk oversikt kan vi lage et trediagram slik som vist nedenfor: G G G G G G G G Av diagrammet ser vi at det er åtte utfall der den førstefødte er gutt ðgþ. Utfallene er GGGG, GGG, GGG, GG, GGG, GG, GG, G. 95

6 G G G G G G G Av dette diagrammet er det åtte utfall der den førstefødte er en jente ðþ: GGG, GG, GG, G, GG, G, G,. Totalt er det 16 «mulige» utfall (se løsning a), og vi finner at det er seks «gunstige» utfall, det vil si utfall som inneholder 2 gutter og 2 jenter (markert med tykkere skrift). Svaret på spørsmål b) blir da PðBÞ ¼ 6 16 ¼ 3 ¼ 0,375 ¼ 37,5 % 8 Når alle utfall er like sannsynlige i et forsøk, kaller vi dette en uniform sannsynlighetsmodell. Ovenfor har vi brukt terningkast, myntkast og fødsler som eksempler på uniforme modeller. Ved fødsler er ikke sannsynligheten lik for å få gutt eller jente (det blir født flere gutter), men som tilnærming er det forsvarlig å bruke at PðGÞ ¼PðÞ ¼ 1 2. En formel for sannsynlighet for en begivenhet (hendelse): PðbegivenhetÞ ¼ antall «gunstige» utfall antall mulige utfall 6.4 Sammensatte forsøk Ovenfor har vi kastet både terning og mynt og «organisert» fødsler ved forsøk. Men et forsøk kan bestå av flere delforsøk slik at det er viktig med riktig opptelling. Som vi har sett er et trediagram svært illustrerende i så henseende. Men det kan bli svært tidkrevende å lage et trediagram etter relativt få kast med for eksempel en terning. Eksempel 4 I en skoleklasse på 25 elever er det 14 jenter. Det skal opprettes en komité på tre elever. Hva er sannsynligheten for at komitéen består av tre jenter? 96

7 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning Løsningsforslag Begivenhet A: komité med 3 jenter Vi forutsetter at alle i klassen har samme mulighet (sannsynlighet) for å bli trukket ut. Det er 14 muligheter (utfall) for å trekke ut den første jenta. Det er 13 muligheter (utfall) for jente nummer to og 12 muligheter (utfall) for jente nummer tre. Dette gir til sammen ¼ 2184 muligheter eller utfall med 3 jenter («gunstige»). Det er ¼ mulige utfall ved å plukke ut 3 elever i klassen. gunstige utfall PðAÞ ¼ mulige utfall Vi kunne ha regnet slik: ¼ 2184 ¼ 0,158 ¼ 15,8 % PðAÞ ¼ ¼ 2184 ¼ 0,158 ¼ 15,8 % Sannsynligheten for at den første uttrukne er en jente, er For at den andre uttrukne er jente, er sannsynligheten 13 24, og for at den tredje uttrukne er jente, er den Som vi ser ovenfor, multipliserer vi de enkelte sannsynlighetene. Husk hva vi nevnte tidligere om «multiplikasjon» og «og». Først jente og så jente og så jente. Derfor multipliserer vi sannsynlighetene. La oss tenke oss at komitéen i den samme klassen skal bestå av 2 gutter og 1 jente. Hva vil sannsynligheten være for denne begivenheten (hendelsen)? Begivenhet B: komité med 2 gutter og 1 jente Løsningsforslag Vi kan plukke ut 2 gutter og 1 jente på tre måter: GG, GG og GG. De tre rekkefølgene er like sannsynlige. Vi får PðBÞ ¼ þ þ ¼ 4620 ¼ 0,335 ¼ 33,5 % eller PðBÞ ¼ ¼ 4620 ¼ 0,335 ¼ 33,5 %

8 For å finne antall «gunstige» utfall med 2 gutter og 1 jente kunne vi ha laget et trediagram, men vi forstår at det ville bli svært arbeidskrevende i dette tilfellet. Derfor kan vi tenke oss starten på trediagrammet (legg merke til rekkefølgen): 11 G 11 G G G 11 G 10 G = = = 1540 Til sammen ¼ 4620 «gunstige» utfall. Hadde komitéen bestått av 1 gutt og 2 jenter, ville antall «gunstige» kombinasjoner blitt slik (G, G, G): 11 G G G = = = 2002 Til sammen ¼ 6006 «gunstige» kombinasjoner. Pð1G og 2Þ ¼ 6006 ¼ 0,435 ¼ 43,5 % Alternativt: Pð1G og 2Þ ¼ ¼ 6006 ¼ 0,435 ¼ 43,5 % Sannsynligheten for at komitéen skal bestå av bare gutter finner vi nå ved å regne ut følgende: Pð3GÞ ¼1 0,158 0,435 0,335 ¼ 0,072 ¼ 7,2 % (Kontroller med «gunstige» delt på «mulige» utfall.) Hvis spørsmålet hadde vært å finne sannsynligheten for at komitéen skulle bestå av minst 1 jente, så ville det selvfølgelig bety alle de komitéene som inneholder 1, 2 eller 3 jenter. I vårt eksempel ville sannsynligheten blitt summen av 0,435, 0,335 og 0,158, dvs. 0,928 ¼ 92,8 %. Men skal komitéen inneholde minst 1 jente, kan vi se bort fra den komitéen som består av 3 gutter. Pðminst 1 jenteþ ¼1 0,072 ¼ 0,928 ¼ 92,8 % 98

9 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6.5 Komplementmengde Eksempel 5 Begivenhet A ¼ komité med minst 1 jente Begivenhet A ¼ komité uten jenter (bare gutter) Vi sier at A er komplementmengden til A. Summen av sannsynlighetene til en mengde og en komplementmengde er alltid lik 1 eller 100 %. PðAÞþPðAÞ ¼1 eller PðAÞ ¼1 PðAÞ 6.6 Avhengighet. Betinget sannsynlighet Når vi kaster en terning, vil utfallet av et kast være uavhengig av de andre kastene. Det samme vil være tilfelle ved kast med mynt. I begge tilfeller kan vi snakke om «trekning med tilbakelegging». I andre tilfeller kan vi ha «trekning uten tilbakelegging». Et eksempel på dette kan være lottotrekningen «en drøm om rikdom». Når man trekker den første kulen, vil den ikke bli lagt tilbake. Det betyr at utfallet av den andre kulen er avhengig av utfallet av den første kulen, utfallet av den tredje er avhengig av de to første osv. I dette tilfellet snakker vi om betinget sannsynlighet. Eksempel 6 Vi har en urne med 6 røde (R) og 4 blå (B) kuler, til sammen 10 kuler. Vi trekker to kuler. Hva er sannsynligheten for at den andre kulen er blå? Løsningsforslag Oppgaven er upresist formulert fordi vi har to muligheter ved trekningen, med og uten tilbakelegging. Med tilbakelegging Ved andre trekning er det fortsatt 10 kuler, og 4 av dem er blå. Derfor er sannsynligheten for at kule nummer to er blå: Pðandre blåþ ¼ 4 10 ¼ 2 ¼ 0,4 ¼ 40 % 5 Uten tilbakelegging Ved andre trekning er det 9 kuler igjen, men vi vet ikke om det er 3 99

10 eller 4 blå igjen. Dette er avhengig av (betinget av) utfallet av første trekning. 1) Første kule er rød. Pðandre blåþ ¼ 4 9 Skrivemåte: PðBjRÞ ¼ 4 9. Dette leses: Sannsynligheten for blå kule, gitt at første kule er rød. 2) Første kule er blå. Pðandre blåþ ¼ 3 9 ¼ 1 3 Skrivemåte: PðBjBÞ ¼ 3 9 ¼ 1 3 Sannsynligheten for blå kule, gitt at første kule er blå. Den loddrette streken j leses gitt at. Det som står bak den loddrette streken, er det som inntraff ved første trekning. Konklusjon For å angi nøyaktig hva sannsynligheten er for å få blå kule ved andre trekning, må vi vite om det er trekning med tilbakelegging eller ikke. Hvis det er trekning uten tilbakelegging, må vi vite utfallet av første trekning. Oppgave I en bolle har vi 6 gule og 4 brune påskeegg. Eva får i oppgave å trekke ut 2 egg til frokosten sin. Hva er sannsynligheten for at hun trekker ett gult og ett brunt egg? Løsningsforslag G ¼ gule egg og B ¼ brune egg Begivenhet A: ett gult og ett brunt egg Så lenge Eva skal ha to egg til frokost, er dette trekning uten tilbakelegging. ð1þ PðAÞ ¼PðGÞPðBjGÞþPðBÞPðGjBÞ PðAÞ ¼ þ ¼ þ ¼ ¼ 8 ¼ 0,533 ¼ 53,3 % 15 Vi har løst tilsvarende problem tidligere uten å bruke betinget sannsynlighet. Men (1) er den korrekte måten å skrive dette på. PðGÞPðBjGÞ sier oss hva sannsynligheten er for at det første egget er gult ( 6 10 ), multiplisert med sannsynligheten for at det andre egget er brunt ( 4 9 ). Etter å ha trukket ut ett egg er det 9 egg igjen til andre trekning. Tilsvarende tankegang gjelder for PðBÞPðGjBÞ. Eva kan trekke et brunt egg først og deretter et gult egg. 100

11 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6.7 Venndiagram. Addisjonssetningen Eksempel 7 I en klasse med 27 elever spiller 14 elever fotball, 10 elever håndball og 4både fotball og håndball. Vi trekker en tilfeldig elev. Finn sannsynligheten for at eleven spiller a) fotball b) håndball c) verken fotball eller håndball Løsningsforslag Her ser vi at antallet som spiller ballidretter ikke kan være 14 þ 10 þ 4 ¼ 28 i en klasse på 27 elever. For å få en bedre oversikt lager vi et venndiagram: F: fotball H: håndball :hele klassen F H Snitt: F H F U H Fellesområdet mellom mengdene F (fotball) og H (håndball) kalles «snittet» mellom mengdene F og H, og skrives F \ H. 101

12 Union: F H F U H Tar vi med alle som spiller fotball eller håndball eller begge deler, kaller vi det «unionen» mellom mengdene F og H. Union skrives F [ H. Vi kan «oversette» snitt med og (multiplikasjon) og union med eller (addisjon). Symboler med en strek over, betyr «ikke denne mengden». F betyr alle som ikke spiller fotball, og H alle som ikke spiller håndball. PðF [ HÞ ¼PðF \ HÞ F H På venstre side står sannsynligheten for at de uttrukne ikke spiller fotball eller håndball. Dette er det samme som å si sannsynligheten for at de ikke spiller fotball eller håndball. F H

13 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning a) PðFÞ ¼ 14 ¼ 0,519 (14 av 27 elever spiller fotball.) 27 F H b) PðHÞ ¼ 10 ¼ 0,370 (10 av 27 elever spiller håndball.) 27 F H c) PðF \ HÞ ¼ 7 ¼ 0,259 (7 av 27 elever driver ikke med noen av de 27 to ballidrettene.) Hvis vi går videre og spør hva sannsynligheten er for at den tilfeldig uttrukne eleven spiller fotball eller håndball, vil løsningen kunne se slik ut: PðF [ HÞ ¼PðFÞþPðHÞ PðF \ HÞ ¼ þ ¼ ¼ 0,741 Legg merke til at når vi summerer mengden F og mengden H, blir fellesområdet tatt med to ganger. Derfor må vi trekke ifra F \ H som beskriver den felles mengden (her: 4 spillere). Addisjonssetningen: Hvis A og B er to begivenheter ved et tilfeldig forsøk, har vi PðA [ BÞ ¼PðAÞþPðBÞ PðA \ BÞ: Dette kalles den generelle addisjonssetningen. Eksempel 8 I en klasse på 20 elever spiller 8 elever gitar og 4 elever klarinett. 8 elever spiller ikke noen instrumenter. Vi forutsetter at en som spiller gitar, ikke spiller klarinett, og omvendt. 103

14 En tilfeldig elev blir trukket ut. Finn sannsynligheten for at den uttrukne eleven spiller a) gitar b) klarinett c) verken gitar eller klarinett d) enten gitar eller klarinett G K a) PðGÞ ¼ 8 20 ¼ 0, ¼ 2 5 b) PðKÞ ¼ 4 20 ¼ 0, ¼ 1 5 c) PðG \ KÞ ¼ 8 20 ¼ 0,40 d) PðG [ KÞ ¼PðGÞþPðKÞ ¼ 2 5 þ 1 5 ¼ 3 5 ¼ 0,60 eller 0,40 þ 0,20 ¼ 0,60 Vi har brukt en «amputert» addisjonssetning i tilfellet d). Grunnen til det er at de to mengdene G og K ikke har noe til felles, og derfor får vi ikke dobbel telling her. Vi sier at de to mengdene er «disjunkte» (atskilte). I d) blir altså PðG \ KÞ ¼0. Addisjonssetningen for to disjunkte begivenheter A og B: PðA [ BÞ ¼PðAÞþPðBÞ PðA \ BÞ ¼0 104

15 MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6.8 Produktsetningene ved sannsynligheter Uavhengige begivenheter Vi har tidligere nevnt at utfallene ved kast med terninger og mynter ikke vil påvirke de neste utfallene. Terningene og myntene «husker» ikke. Begivenheter knyttet til uavhengige delforsøk kalles uavhengige begivenheter. Eksempel 9 Vi kaster en terning to ganger: Begivenhet A: 2øyne i første kast Begivenhet B: 3øyne i andre kast Begivenhetene A og B er uavhengige. Hva er sannsynligheten for å få 2 øyne i første kast og 3 øyne i andre kast? Pðførst 2 og så 3øyneÞ ¼ ¼ 1 0,028 ð2,8 %Þ 36 PðAÞ ¼ 1 6 og PðBÞ ¼ 1 6 PðA \ BÞ ¼PðAÞPðBÞ ¼ ¼ 1 36 PðA \ BÞ leses som sannsynligheten for å få begivenhetene A og B, det vil si å få 2 øyne i det første kastet og 3 øyne i det andre kastet. Dette leder til en produktregel for uavhengige begivenheter A og B: PðA \ BÞ ¼PðAÞPðBÞ Avhengige begivenheter I avsnitt 6.7 tok vi for oss betinget sannsynlighet, dvs. at ett utfall var avhengig av et annet utfall. Som illustrasjon brukte vi trekking av blå og røde kuler fra en bolle. 105

16 Eksempel 10 Fra en bolle med 6 røde og 4 blå kuler trekker vi to kuler uten tilbakelegging. Vi har Begivenhet A: Den første kulen er rød. Begivenhet B: Den andre kulen er blå. PðAÞ ¼ 6 10 ¼ 3 5 og PðBÞ ¼ 4 9 Etter første trekning er det 9 kuler igjen i bollen. Hvis den første kulen er rød, er det fortsatt 4 blå kuler igjen til andre trekning. Derfor er sannsynligheten 4 av 9 for å trekke blå kule andre gang. Den korrekte skrivemåten for PðBÞ er PðBjRÞ, fordi den uttrykker sannsynligheten for at den andre kulen er blå, gitt at den første kulen er rød. Hva er da sannsynligheten for å få en rød kule i første trekning og en blå kule i andre trekning? Pðførst rød ogsåblåþ ¼ ¼ ¼ 4 ¼ 0,267 ¼ 26,7 % 15 Produktregelen for avhengige begivenheter A og B kan skrives PðA \ BÞ ¼PðAÞPðBjAÞ 106

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter

Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Sannsynlighet i uniforme modeller. Addisjon av sannsynligheter Fagstoff Listen [] Hendelse En hendelse i en sannsynlighetsmodell består av ett eller flere utfall. Vi ser på det tilfeldige forsøket «kast

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Per G. Østerlie Thora Storm vgs per.osterlie@stfk.no 5. april 203 Hva og hvorfor? Hva? Vi får høre at det er sannsynlig at et eller annet kommer til å skje. Sannsynligheten for å

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

4.4 Sum av sannsynligheter

4.4 Sum av sannsynligheter 4.4 Sum av sannsynligheter Nina trekker kort fra en vanlig kortstokk med 52 kort. Vi innfører hendingene H: Kortet er en hjerter S: Kortet er en spar Det er 13 hjerter og 13 spar i stokken. Sannsynligheten

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning 1 Sannsynlighet Mål for opplæringa er at eleven skal kunne formulere, eksperimentere med og drøfte enkle uniforme og ikkje-uniforme sannsynsmodellar berekne sannsyn ved hjelp av systematiske

Detaljer

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning av Peer Andersen Peer Andersen 2010 1 SANNSYNLIGHETSREGNING MED FLERE TRINN Sannsynlighetsregning med et trinn kan være situasjoner der vi spør hva sjansen er

Detaljer

Sannsynlighetsbegrepet

Sannsynlighetsbegrepet Sannsynlighetsbegrepet Notat til STK1100 Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo Januar 2004 Formål Dette notatet er et supplement til kapittel 1 i Mathematical Statistics and Data Analysis

Detaljer

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter

Detaljer

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk)

10.4 Sannsynligheter ved flere i utvalget (kombinatorikk) 10. er ved flere i utvalget (kombinatorikk) Så langt i framstillingen har vi diskutert den språklige siden, den matematiske tolkningen av sannsynlighetsbegrepet og presentert ulike modeller som kan anvendes

Detaljer

Sannsynlighetsregning

Sannsynlighetsregning Sannsynlighetsregning Læreplan. Forsøk og simuleringer. Sannsynlighet 3.3 Sum av sannsynligheter 5.4 Multiplikasjonsprinsippet 9.5 Uavhengige hendinger 0. Avhengige hendinger 5 Symboler, formler og eksempler

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Grunnbegrep. Grunnbegrep, sannsynligheten for et utfall ÅM110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 006 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige utfallen

Detaljer

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 SETT RING RUNDT DET RIKTIGE SVARET FOR HVER OPPGAVE. Oppgave 1 Stokastisk forsøk Stokastiske forsøk karakteriseres ved to av følgende egenskaper.

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgave 1 Vi har et lykkehjul med 8 like sektorer som er nummerert fra 1 til 8. Du har valgt sektor nummer 3. a) Tenk deg at du snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sjansen

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka STK1100 våren 2017 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Eksempel 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økonomi, våren 207 Obligatorisk oppgave 3 Løsningsforslag Oppgave Produsenten av en type bærbar datamaskin har registrert at sannsynligheten er 0.2 for at tastaturet svikter, 0.09 for at

Detaljer

ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014

ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Løsningsforslag Øving 1 2.1 Frekvenstabell For å lage en frekvenstabell må vi telle

Detaljer

Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Deterministiske fenomener MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang Grunnleggende sannsynlighetsregning Det er mulig

Detaljer

Innledning kapittel 4

Innledning kapittel 4 Innledning kapittel 4 Sannsynlighet og tilfeldighet Basert på materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne

Detaljer

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet

INNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske fenomener Almanakk for Norge

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk STK1100 våren 2017 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Deterministiske fenomener Almanakk for Norge viser: når det er fullmåne når det er soloppgang og solnedgang

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

Oppgaver i sannsynlighetsregning 1

Oppgaver i sannsynlighetsregning 1 Oppgaver i sannsynlighetsregning 1 Oppgave 1 Forklar hva som menes med en uniform sannsynlighetsmodell. Gi minst et eksempel på en uniform sannsynlighetsmodell. Begrunn hvorfor den er uniform. Gi også

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2014 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

4: Sannsynlighetsregning

4: Sannsynlighetsregning Plan for hele året: - Kapittel 5: Januar - Kapittel 6: Februar - Kapittel 7: Februar/mars 4: Sannsynlighetsregning - Kapittel 8: Mars/april - Repetisjon: April/mai - Økter, prøver, prosjekter: Mai - juni

Detaljer

Sannsynlighetsregning og Statistikk

Sannsynlighetsregning og Statistikk Sannsynlighetsregning og Statistikk Leksjon 2. Leksjon 2 omhandler begreper og regneregler for sannsynligheter. Dette er behandlet i kapittel 3.1 og 3.2 i læreboka. Du bør når du har fullført leksjon 2

Detaljer

Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning

Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning Betinget sannsynlighet, Total sannsynlighet og Bayes setning Innhold: Produktsetning, avhengighet, betinget sannsynlighet (.2,.) Setningen om total sannsynlighet (.4) Bayes setning (.4) Disse tingene henger

Detaljer

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk

STK1100 våren Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet. Deterministiske fenomener. Stokastiske forsøk. Litt historikk STK1100 våren 2016 Introduksjon til sannsynlighetsbegrepet Svarer til avsnittene 2.1 og 2.2 i læreboka Geir Storvik Basert på presentasjon av Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Deterministiske

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet og Bayes' setning Betinget sannsynlighet Vil repeterer først et eksempel

Detaljer

Blokk1: Sannsynsteori

Blokk1: Sannsynsteori Blokk1: Sannsynsteori Statistikk er vitskapen om læring frå data, og måling, kontroll og kommunikasjon av usikkerheit (Davians Louis, Science, 2012). Vi lærer frå data ved å spesifisere ein statistisk

Detaljer

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet!

Betinget sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Betinget sannsynlighet Vi repeterer først et eksempel fra samlingen for sist uke Betinget sannsynlighet og uavhengige hendelser Produktsetningen Total sannsynlighet

Detaljer

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4]

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] ST0202 Statistikk for samfunnsvitere [4] Kapittel 4: Sannsynlighet 4.4: Disjunkte hendelser, 4.5: Uavhengige hendelser 4.6: Er disjunkthet og uavhengighet relatert til hverandre? Bruk av sannsynlighetsregning

Detaljer

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på. Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet

Kapittel 2: Sannsynlighet Kapittel 2: Sannsynlighet Definisjoner: Noen grunnleggende begrep. Stokastisk forsøk: Et forsøk/eksperiment der det er tilfeldig hva utfall blir. Utfallsrom, : Mengden av alle mulige utfall av et stokastisk

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning i (sannsynlighetsteori) t i) 2.5 Betinget sannsynlighet 1 Betinget sannsynlighet (kp. 2.5) - innledning Eks.: Et terningkast;

Detaljer

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Uordnet utvalg uten tilbakelegging (repetisjon) Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Ørnulf Borgan

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene

Detaljer

10.5 Mer kombinatorikk

10.5 Mer kombinatorikk bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske

Detaljer

Simulering - Sannsynlighet

Simulering - Sannsynlighet Simulering - Sannsynlighet Når regnearket skal brukes til simulering, er det et par grunninnstillinger som må endres i Excel. Hvis du får feilmelding om 'sirkulær programmering', betyr det vanligvis at

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kapittel 4.5 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel se

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅM0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 00 Kp. Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori).5 (kp..5) - innledning Eks.: Et terningkast; {,, 3, 4, 5, 6}. Ved bruk av uniform modell: hvert utfall

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 2 Sannsynlighetsregning Løsninger til innlæringsoppgavene 2.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene

1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 1T kapittel 4 Sannsynlighet Løsninger til innlæringsoppgavene 4.4 a Du kan få 1, 2, 3, 4, 5 eller 6 øyne på terningen. Utfallsrommet er U = {1,2,3,4,5,6}. b Hvert av de seks utfallene har samme sannsynlighet.

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer,

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 4: Sannsynlighetsregning Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.1) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte

Detaljer

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Total sannsynlighet Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt union av A B og A B Total sannsynlighet og Bayes' setning Kombinatorikk Ordnede utvalg med

Detaljer

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel

Detaljer

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet

Basisoppgaver til 1P kap. 4 Sannsynlighet Basisoppgaver til P kap. 4 Sannsynlighet 4. Sannsynlighet og relativ frekvens 4.2 Sannsynlighetsmodeller 4.3 Uniforme sannsynlighetsmodeller 4.4 Addisjonssetningen 4.5 Produktsetningen for uavhengige hendelser

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA0 Statistikk Høst 0 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer, blokk I Løsningsskisse Oppgave Hendelsene A og B er ikke disjunkte, det vil si at de kan

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN

SANNSYNLIGHETSREGNING I GRUNNSKOLEN 1 I GRUNNSKOLEN Etterutdanningskurs for lærere på grunnskolens ungdomstrinn Opplegget som her presenteres til fordypning i STATISTIKK / SANNSYNLIGHETSDELEN av MATEMANIA er i utgangspunktet skrevet for

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012)

Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 ( februar 2012) 1 ECON 130 HG - februar 01 Løsningskisse for oppgaver til undervisningsfri uke 8 (0.-. februar 01) Oppg..1. Variabel: x = antall kundehenvendelser pr. dag 1. Antall observasjoner: n = 100 dager. I Excel

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

Sannsynlighet og statistikk

Sannsynlighet og statistikk Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.

Detaljer

Sannsynlighet for alle.

Sannsynlighet for alle. Sannsynlighet for alle. Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2015 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 1 Sannsynlighet for alle.

Detaljer

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Trekking uten tilbakelegging. Disjunkte hendelser (4.5) Forts. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Trekking uten tilbakelegging ST0202 Statistikk for samfunnsvitere o Lindqvist Institutt for matematiske fag En bolle inneholder 7 kuler, 5 gule (Y) og to røde (). To kuler trekkes uten tilbakelegging,

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11 Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning Kap. 4.5 STK1000 H11 På bakgrunn av materiale fra Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA0 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 0 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable Noen viktige sannsynlighetsmodeller Noen viktige sannsynlighetsmodeller ( Sanns.modell : nå betyr det klasse/type sanns.fordeling.

Detaljer

Kapittel 2: Sannsynlighet

Kapittel 2: Sannsynlighet Kapittel 2: Sannsynlighet 2.1, 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel Eirik Mo Institutt for matematiske fag,

Detaljer

9.5 Uavhengige hendinger

9.5 Uavhengige hendinger 9. Uavhengige hendinger Vi kaster en terning to ganger og innfører hendingene A: Det første kastet gir sekser B: Det andre kastet gir sekser Om vi får sekser på det første kastet, endrer ikke det sannsynligheten

Detaljer

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk?

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk? Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 3

Statistikk 1 kapittel 3 Statistikk 1 kapittel 3 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2016 Kapittel 3 Sannsynlighetsregning Formål: å kvantifisere usikkerhet ved hjelp av sannsynligheter Viktige begreper stokastisk forsøk: et forsøk der

Detaljer

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse.

Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Forelesning 3, kapittel 3. : 3.2: Sannsynlighetsregning. Kolmogoroffs aksiomer og bruk av disse. Den klassiske definisjonen (uniform modell) av sannsynlighet for en hendelse A i et utfallsrom S er at sannsynligheten

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Tilfeldige variabler og sannsynlighetsfordelinger (repetisjon) Hypergeometrisk fordeling (repetisjon) Binomisk fordeling Forventningsverdi Tilfeldige variabler

Detaljer

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige

Detaljer

Lottotrekningen i Excel

Lottotrekningen i Excel Peer Andersen Lottotrekningen i Excel Mange leverer ukentlig inn sin lottokupong i håp om å vinne den store gevinsten. Men for de aller fleste blir den store gevinsten bare en uoppnåelig drøm. En kan regne

Detaljer

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser.

Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Forelesning 5, kapittel 3. : 3.5: Uavhengige hendelser. Kast med to terninger, A er sekser på første terning og B er sekser på andre terning. Sekser på begge terningene er Fra definisjonen av betinget

Detaljer

Eksamen i matematikk løsningsforslag

Eksamen i matematikk løsningsforslag Fakultet for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning Eksamen i matematikk 102 - løsningsforslag BOKMÅL Emnekode: MAT102 Ordinær prøve Tid: 5 timer Dato: 1.6.2015 Hjelpemidler: Kalkulator, linjal,

Detaljer

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har

Detaljer

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksempel 1 STK00 våren 07 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Esempel Vi vil først ved hjelp av et esempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr. Vi legger fire røde ort og to svarte ort i en bune.

Detaljer

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning

Betinget sannsynlighet, total sannsynlighet og Bayes setning etinget sannsynlighet, total sannsynlighet og ayes setning Vi vil først ved hjelp av et eksempel se intuitivt på hva betinget sannsynlighet betyr: Vi legger fire røde kort og to svarte kort i en bunke

Detaljer

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning

Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Kapittel 10. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket.

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. ST1100 våren 2017 ombinatorikk Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. Vi antar at de N utfallene er like sannsynlige. Svarer til avsnitt

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Foreleses onsdag 25. august 2010

2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Foreleses onsdag 25. august 2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Mette Langaas Foreleses onsdag 25. august 2010 2 Sist - Kap 0 Hva er statistikk, og hvorfor skal du lære det?

Detaljer

Mappeoppgave om sannsynlighet

Mappeoppgave om sannsynlighet Mappeoppgave om sannsynlighet Statistiske eksperimenter Første situasjon Vi kom frem til å bruke Yatzy som et spill vi ønsket å beregne sannsynlighet ut ifra. Vi valgte ut tre like og to par. Etter en

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.5: Addisjonsregler (union) 2.6: Betinget sannsynlighet 2.7: Multiplikasjonsregler (snitt) 2.8: Bayes regel (starte litt) Mette Langaas Foreleses mandag 30. august 2010 2 Kapittel

Detaljer

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet

Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Kapittel 4: Sannsynlighet - Studiet av tilfeldighet Vi så i forrige kapittel at utvalgsfordeling til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene til statistikken over alle utvalg av samme størrelse

Detaljer

DAG 2 1. Hans og Grete er til sammen 63 år. Hans er dobbelt så gammel som det Grete var da Hans var så gammel som Grete er nå. Hvor gammel er Hans?

DAG 2 1. Hans og Grete er til sammen 63 år. Hans er dobbelt så gammel som det Grete var da Hans var så gammel som Grete er nå. Hvor gammel er Hans? SETT 12 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Hvilket av følgende tall er delelig med 9? A) 309 B) 456 C) 696 D) 783 E) 939 2. To esker inneholder to røde og to hvite kuler hver. Vi tar en tilfeldig

Detaljer

Følgelig vil sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer være null,

Følgelig vil sannsynligheten for at begge hendelsene inntreffer være null, Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 3, blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 Hvis hendelsene A og B er uavhengige, vil enhver kunnskap om hvorvidt A har

Detaljer

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning

Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Kapittel 9. Sannsynlighetsregning Sannsynlighet handler om å finne ut hvor ofte noe vil skje i en prosess som kan gjentas mange ganger. Kapitlet handler blant annet om dette: Hva er sannsynlighet. Beregne

Detaljer

a) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en rød kule? Det er til sammen 10 kuler, og 2 av disse er røde. Det betyr at P (Rød kule) =

a) Hva er sannsynligheten for å trekke ut en rød kule? Det er til sammen 10 kuler, og 2 av disse er røde. Det betyr at P (Rød kule) = Oppgaver sannsynlighetsregning Oppgave 1. a) Hva er sannsynligheten for at et terningkast gir 3 eller 4 som resultat? Et terningkast har 6 mulige utfall. 2 av utfallene gir 3 eller 4 som resultat. Det

Detaljer

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU

Utfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU 3 Utfallsrom og hendelser Kapittel 2: Sannsynlighet 2., 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel DEF 2. Ufallsrom:

Detaljer

Sannsynlighet Venndiagram 1

Sannsynlighet Venndiagram 1 6 Sannsynlighet Venndiagram 1 Illustrer oppgaven med brikker og mengderinger. I hver oppgave må du først skrive på mengderingene hva de skal inneholde, enten med ord eller med forkortelser. Skriv deretter

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet.

Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Forelesning 4, kapittel 3. : 3.4: Betinget sannsynlighet. Eksempel 1 (begrunnelse for definisjonen av betinget sannsynlighet): Hendelse A er "sum minst 8 på kast med 2 terninger" P(A) = 15/36 P(A) < 1/2

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ 2 2 2 Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall.

Detaljer