b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på."

Transkript

1 Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer og vi må avgi et svar, kan vi svare på 4 forskjellige måter. Hvis det er to spørsmål der begge har 4 svaralternativer, kan vi for hvert av de 4 alternativene på første spørsmål velge fritt blant de 4 alternativene på andre spørsmål. Dette gir 4 6 muligheter. a) Når det er 0 spørsmål blir det dermed mulige måter å svare på. b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på. Oppgave 4 På nytt er det produktreglen som gjelder. Det er farger. For hver farge er det 3 størrelser og hvert valg av farge og størrelse finnes i to modeller: gutt/jente. Dette gir 3 kombinasjoner. Oppgave Three-letter initials betyr initialer på 3 bokstaver for eksempel ABC, ABA, BAB, osv. Med andre ord er dette utvalg med tilbakelegging. Hvis vi bruker det engelske alfabetet blir det 6 mulige bokstaver på. plass, 6 mulige på. plass og 6 mulige på 3. plass. Det blir mulige kombinasjoner. Oppgave 8 Nå blir det utvalg uten tilbakelegging. Dvs. 6 mulige bokstaver på. plass, 5 mulige på. plass og 4 mulige på 3. plass. Det blir 6*5* mulige kombinasjoner. Oppgave 9 Hvis det skal være A på. plass, er det 6 mulige bokstaver på. plass og 6 mulige på 3. plass. Dermed 6 66.

2 Oppgave 0 I en bitstreng på lengde 8 kan det være 0 eller på hver plass, dvs. to muligheter på hver plass. Til sammen 8 56 muligheter. Oppgave Det må være både på første og siste plass, men på de 8 andre plassene er det 8 8 muligheter på hver plass. Dermed 56 muligheter. Oppgave k Generelt har vi at antall bitstrenger av lengde k er. Antall bitstrenger av lengde eller mindre må derfor bli. Dette er en geometrisk 6 k rekke og summen blir. k0 Teori til oppgavene 9, 0 og La n og k være positive heltall. Hvor mange av tallene,,..., n er delelige med k? Svar: n div k. La n, k og k være positive heltall. Hvor mange av tallene,,..., n er delelige med både k og k? Svar: n div k der k er minste felles multiplum for k og k. Obs: hvis k og k er innbyrdes primiske, så er minste felles multiplum for k og k lik k k. Oppgave 9 a) Flg. tall mellom 50 og 00 er delelige med : 56, 63, 0,, 84, 9, 98. Dette antallet er også gitt ved ( 99 div ) (50 div ) 4. b) Flg. 5 tall mellom 50 og 00 er delelige med : 55, 66,, 88, 99. Dette antallet er også gitt ved ( 99 div ) (50 div ) c) Tallene og er innbyrdes primiske. Et tall er derfor delelig med både og hvis og bare hvis det er delelig med. Derfor er kun av tallene mellom 50 og 00 delelig med. Antallet er også gitt ved ( 99 div ) (50 div ) 0. Oppgave 0 La A og A være mengden av tallene fra og med til og med 999 som er delelige med henholdsvis og. A betyr antallet tall i A og A antallet i A. 999 a) A 999 div 4.

3 999 b) Vi har A A 999 div. Dermed A A c) Fra b) får vi A A. 999 d) Vi har A 999 div 90 og dermed A A A A A A e) A A A A A A 30 (90 ) f) 999 A A g) Vi regner med at ingen tall har ledende 0-er. Her ser vi først på de tallene som har kun ett siffer, så de som har to siffer og til slutt de som har tre siffer. Alle tall med kun ett siffer har forskjellige siffer og det er 9 slike tall. Av de 90 tallene med to siffer er det kun,,..., 99 som har like siffer. Dermed er det av dem som har forskjellige siffer. Vi kan konstruere et tall med tre forskjellige siffer ved å velge et vilkårlig et fra til 9 først (vi kan ikke ha 0 først). Som neste siffer har vi 0 muligheter, men vi må unnta det sifferet som står først. Dermed 9 muligheter som andre siffer. Tilsvarende er det 8 muligheter for det tredje sifferet. Til sammen tall med tre siffer der alle er forskjellige. Dermed vil av de positive tallene mindre enn 000 ikke ha like sifre (alle sifrene forskjellige). h) Blant tallene med kun ett siffer er det 4 partall. Et partall med to siffer og der sifrene er forskjellige, må ende på enten 0,, 4, 6 eller 8. Hvis det ender på 0, er det 9 muligheter som på første siffer. Hvis det ender på, 4, 6 eller 8 er det kun 8 muligheter på første siffer siden 0 ikke kan være første siffer. Til sammen partall med to siffer der sifrene er forskjellige. Et partall med tre siffer og der sifrene er forskjellige, må ende på enten 0,, 4, 6 eller 8. Hvis det ender på 0, er det 9 muligheter på første siffer og deretter 8 muligheter på andre siffer. Til sammen 8 9. Hvis tallet ender på, 4, 6 eller 8, er det kun 8 muligheter på første siffer siden vi ikke kan ha 0 der. Deretter er det 8 muligheter på andre siffer. Til sammen Sammenlagt for alle tall med tre siffer blir det Sammenlagt for tall med et, to og tre siffer blir det Oppgave a) ( 999div ) (99 div ) b) Fra og med 00 til og med 999 er det 900 tall og halvparten av dem er oddetall, dvs. 450 oddetall. c) Det er tallene,,..., 999. Til sammen 9 stykker. 3

4 d) 900 ((999div 4) (99 div 4)) e) Delelig med 4: Delelig med 3: ( 999div 3) (99 div 3) Delelig med : ( 999div ) (99 div ) Delelig med 3 eller 4: f) g) (dvs. delelig med 3, men ikke med ). h) Delelig med 3 og 4 er det samme som delelig med. Svar (se punkt e) ): 5 Oppgave 9 License plate betyr registreringsnummer for eksempel for bil. Her må en lese teksten nøye. Det står enten to eller tre (engelske) bokstaver fulgt av enten to eller tre siffer. Det betyr nr. av typen AB, AB3, ABC eller ABC3. To bokstaver og to siffer: To bokstaver og tre siffer: Tre bokstaver og to siffer: Tre bokstaver og tre siffer: Sammenlagt blir dette Oppgave 3 På engelsk er det 6 bokstaver. Det er litt uenighet om hvor mange av dem som er vokaler. Bokstavene a, e, i, o og u er vokaler, og noen sier at også y er vokal. I læreboken i diskret matematikk regnes det med at det er fem vokaler. a) Det kan være forskjellige konsonanter på hver av de 8 plassene i strengen, dvs forskjellige strenger. b) Her kan en konsonant forekomme bare én gang i strengen. Det blir da mulige konsonanter på. plass, 0 på.plass, osv. Totalt c) Det er 5 mulige vokaler på. plass, så 6 mulige bokstaver på. plass, 6 mulige på 3. plass, osv. Totalt d) Det er 5 mulige vokaler på. plass, så 5 mulige bokstaver på. plass siden den på. plass ikke kan brukes på nytt, 4 mulige på 3. plass, 3 mulige på 4. plass osv. Totalt

5 e) Her kan vi bruke negasjonsreglen. Det motsatte av minst én vokal er ingen 8 8 vokaler. Det kan lages forskjellige strenger uten vokaler og totalt 6 strenger. Differansen mellom disse blir antallet strenger med minst én vokal. Dvs. antallet blir f) Når det skal bare være én vokal kan den plasseres på 8 forskjellige steder og vi har 5 vokaler å velge mellom. For hver slik plassering kan de andre plassene fylles med hvilken som helst av de vokalene. Dermed blir det g) Strengen skal starte med X og inneholde minst én vokal. Her kan vi bruke negasjonsreglen. Det er totalt 6 strenger som starter med en X og totalt stykker som starter med en X og som ikke inneholder noen vokaler (dvs. bare konsonanter). Negasjonsreglen gir dermed at det er strenger som starter med X og som inneholder minst én vokal. h) Samme type argumentasjon som i g) gir svaret Oppgave 4 a) Vi kan se på brud og brudgom som en enhet y. Da blir det igjen 4 personer x. vi kan plassere y på 5 forskjellige steder: først, nest først, osv. y x x x x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x y De 4 andre personene kan plasseres på 4! måter. I tillegg kan brud og brudgom bytte plass innbyrdes. Dermed blir det 5 4! 40 muligheter. b) Vi kan ha 6! 0 mulige plasseringer. Negasjonsregelen sier at når det er 40 av dem der bruden står ved siden av brudgommen, så må det bli plasseringer der brud og brudgom ikke står ved siden av hverandre. c) I halvparten av plasseringene må bruden stå til venstre for brudgommen og i den andre halvparten til høyre for brudgommen. Svaret blir derfor 0/ 360. Oppgave 4 Dette er en enkel anvendelse av prinsippet om inklusjon/eksklusjon. Hvis A og B er to mengder, så er A B A B A B. Dvs. antallet elementer i unionen av to mengder er lik summen av antallene i de to mengdene minus antallet i snittet. Gitt tallene S {,,..., 00}. La A være mengden av de n fra S slik at 4 går opp i n, og la B være mengden av de n slik at 6 går opp i n. Vi skal finne A B. Vi ser at 4 går opp i 4, 8,, 6,..., 96, 00. Til sammen 5 stykker. Tallet 6 går opp i 6, 5

6 , 8, 4,..., 96 til sammen 6 stykker. Hvilke tall er det som både 4 og 6 går opp i? Det er, 4, 36, 48, 60,, 84 og 96. Til sammen 8 stykker. Dermed A B A B A B Oppgave 53 Vi skal kombinere bokstavene a, b, c og d slik at b ikke kommer rett etter a. Da vil for eksempel acbd og bacd være lovlige, mens abcd og dcab er ulovlige. Her kan det lønne seg å se på det motsatte, dvs. hvor mange muligheter er det der b kommer rett etter a. La x bety c eller d. Da har vi disse tre mulighetene: abxx, xabx og xxab. Hver gang kan x være c eller d. Dermed 3 6 tilfeller der b kommer rett etter a. De fire bokstavene kan kombineres på 4! 4 måter. Dermed vil gi oss antallet der b ikke kommer rett etter a. Avsnitt 5. Oppgave Hvis det er 30 studenter kan det maksimalt være 9 (6 på engelsk) forskjellige forbokstaver i deres etternavn siden det ikke finnes flere enn 9 bokstaver. Oppgave 3 a) Det holder å ta ut 3 sokker. Hvis sokkene er brune eller svarte, må to av dem ha samme farge. De tre sokkene kan ikke ha forskjellige farger siden vi bare har to farger brun og svart. b) Vi må ta ut minst 4 sokker. Tar vi ut bare kan alle være brune. Tar vi ut 3 kan det være svarte og en brun. Men tar vi ut 4 må det være minst to svarte. Oppgave 4 a) Det holder å ta ut 5 kuler. Når det bare er to farger kan det være 5 av samme farge, 4 av en farge og av den andre eller 3 av en farge og av den andre. I alle tilfellene er det minst 3 av en farge. Det holder ikke å ta ut 4 siden vi da kan ha to av hver farge. b) Vi må ta ut minst 3 for å være sikre på at vi har minst 3 blå kuler. Oppgave 3 a) Gitt mengden S {,,3,4,5,6,,8} og de disjunkte delmengdene A {,8}, B {,}, C {3,6} og D {4,5}. Hvis vi velger 5 tall fra S, må minst to av dem komme fra samme delmengde siden det bare er 4 delmengder. Tallene i hver delmengde har sum lik 9. b) Velger vi kun 4 tall stemmer det ikke. F.eks. vil det ikke blant tallene,, 3 og 4 finnes to som ah sum lik 9. 6

7 Avsnitt 5.3 Oppgave Tre verdier kan permuteres på 3! 6 måter. For a, b og c blir det: a,b,c a,c,b b,a,c b,c,a c,a,b, c,b,a Oppgave Det er verdier og antall permutasjoner blir derfor! Oppgave 3 Permutasjonen skal ende med a, men de 6 andre bokstavene foran kan permuteres på 6! 0 måter. Dermed blir det 0 permutasjoner av a, b, c, d, e, f, g der a står sist. Oppgave b) Til sammen 0 3-kombinasjoner (uordnede utvalg på 3). Det er: Oppgave 5 a) P(6,3) b) P(6,5) c) P(8,) 8 d) P(8,5) e) P(8,8) 8! 4030 f) P(0,9) 0! Oppgave a) C ( 5,) 5 b) C ( 5,3) c) C ( 8,4) 0 d) C ( 8,8) e) C ( 8,0) f) C (,6) Oppgave a) Nøyaktig 4 av de 0 plassene skal inneholde -ere. Vi kan velge de 4 plassene på

8 måter. b) Da skal 0,,, 3 eller 4 av plassene inneholde -ere. Antallet muligheter blir måter. c) Minst 4 er det motsatt av maksimalt 3. Husk formelen n k0 n k n. Svaret blir dermed ( ) ( ) d) Da må det være nøyaktig 5 -ere, dvs Oppgave Her blir det samme tankegang som i oppgave. 0 a) b) c) ( ) 4096 ( 66) 40 0 Oppgave 3 La K stå for kvinne og M for mann. Vi har flg. to mulige oppstillinger: ) KMKMKM..... KM ) MKMKMK..... MK I hver av de to mulige oppstillingene kan de n kvinnene og den n mennene omstokkes uavhengig av hverandre. Til sammen blir det n! n! n! n! ( n!) muligheter. Oppgave 5 Vi skal plukke ut en mengder på 5 bokstaver fra det engelske alfabetet. Dette må vi tolke som uordnet utvalg (uten tilbakelegging). Svaret blir dermed 8

9 Oppgave En mynt som kastes 0 ganger gir oss enten mynt eller krone. a) Hvor mange utfall blir det? Det er to utfall i første kast, to nye utfall i. kast, osv. Til sammen mulige utfall b) Nøyaktig to av kastene må gi krone og det kan skje på c) Kastene må gi mynt 0,, eller 3 ganger, dvs. 0 3 måter d) Oppgave Gitt bokstavene A, B, C, D, E, F, G. a) Vi kan se på BCD som en enhet, dvs. vi har de 5 enhetene A, BCD, E, F og G og disse 5 enhetene kan settes sammen på 5! 0 måter. b) Nå ser vi på CFGA som en enhet, dvs. vi har de 4 enhetene B, CFGA, D og E, og disse 4 enhetene kan settes sammen på 4! 4 måter. c) Nå ser vi på BA og GF som hver sine enheter, dvs. vi har de 5 enhetene BA, GF, C, D og E, og disse 5 enhetene kan settes sammen på 5! 0 måter. d) Nå ser vi på ABC og DE som hver sine enheter, dvs. vi har de 4 enhetene ABC, DE, F og G. De kan settes sammen på 4! 4 måter. e) Skal en streng inneholde både ABC og CDE må den inneholde ABCDE. Dermed blir det 3 enheter som kan permuteres på 3! 6 måter. f) Dette er umulig å få til, dvs. 0 muligheter. Oppgave 3 De 8 mennene kan stille seg opp på 8! forskjellige måter. To kvinner kan ikke stå ved siden av hverandre. En kvinne må derfor plasseres lengst til venstre, lengst til høyre eller mellom to menn. Det gir 9 mulige plasseringer for hver enkelt kvinne. Første kvinne kan plasseres på 9 steder, andre kvinne på 9

10 8 steder,...., femte kvinne på 5 steder. Til sammen muligheter. Kvinnenes og mennenes innbyrdes plasseringer er uavhengige av hverandre. Produktregelen gir dermed at det blir muligheter. Avsnitt 5.4 Oppgave ( x y) x 6x y 5x y 0x y 5x y 6xy y Oppgave 6 i i i ( x) x x. Koeffisienten til Vi har i0 i i0 i x blir dermed Oppgave i i 9 Vi har ( x ) ( x). Koeffisienten til x blir dermed i0 i ( ) Avsnitt 5.5 Oppgave Her er det et ordnet utvalg med tilbakelegging. Det er n 3 objekter tilgjengelig og r utvalget skal inneholde r 5 objekter. Det gir til sammen n muligheter. Oppgave 5 Dette er også ordnet utvalg med tilbakelegging. Det er n 5 personer og r 3 jobber og vi trekker ut (med tilbakelegging) 3 personer til å utføre de 3 jobbene. Det gir til r sammen n muligheter. Oppgave Her er det et uordnet utvalg med tilbakelegging. Det er n 5 objekter og utvalget skal n r 6 5 inneholde r 3 objekter. Det gir til 35 muligheter. r 3 3 0

11 Oppgave 9 Det er n 8 forskjellige typer bagels. Hvis en skal kjøpe et bestemt antall vil ikke rekkefølgen en får dem være av betydning. Det er antallet av hver type som teller. Her må vi også tenke oss at det er nok av hver enkelt type slik at dette reelt sett ikke er tilbakelegging. Men logisk sett fungerer dette på samme måte som tilbakelegging. n r a) Med n 8 og r 6 blir det r b) Nå er n 8 og r. Dermed c) Nå er n 8 og r 4. Dermed d) Vi skal ha stykker og minst et av hvert slag. Vi starter med å velge et av hvert slag, til sammen 8. Det kan vi gjøre på bare én måte. De 4 siste kan vi kombinere som vi måtte ønske. Det betyr at vi skal velge 4 blant de 8 slagene og det kan gjøres på e) Vi velger først 3 egg-bagels og det kan gjøre på bare en måte. De 9 øvrige kan vi velge ved å ha a) ingen salte bagels, b) nøyaktig én salt bagel og c) nøyaktig to salte bagels. I tilfelle a) velger vi de 9 blant de andre slagene enn de salte, i tilfelle b) velger vi en salt bagel og de øvrige 8 blant de andre slagene enn de salte og i c) to salte bagels og de øvrige blant de andre slagene enn de salte. Til sammen blir dette ( ) Oppgave 3

12 Ordet ABRACADABRA inneholder 5 A-er, B-er, C, D og R-er, til sammen! bokstaver. Antall forskjellige omstokkinger er da gitt ved 5!!!!! ! !4 4 Oppgave 4 5! Hver hand i bridge er på 3 kort og dermed muligheter. 3!3!3!3! Svaret blir et tall med 9 siffer, dvs. dette tallet: Oppgave 43 48! !5!5!5!5!5!8!

Chapter 6 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver

Chapter 6 - Discrete Mathematics and Its Applications. Løsningsforslag på utvalgte oppgaver Avsnitt 6. Chapter 6 - Discrete Mathematics and Its Applications Løsningsforslag på utvalgte oppgaver Oppgave a) Valget av en fra matematikk og en fra data er uavhengig av hverandre. Dermed blir det 35

Detaljer

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden

b) 17 går ikke opp i 84 siden vi får en rest på 16 når 84 deles med 17 c) 17 går opp i 357 siden Avsnitt. Oppgave Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen a) 7 går opp i 68 siden 68 7 b)

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2016

Matematikk for IT, høsten 2016 Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :

Detaljer

Oppgaver med et odde nummer har fasit bakerst i læreboken. Her er løsningsforslag med mellomregninger for de gitte øvingsoppgavene.

Oppgaver med et odde nummer har fasit bakerst i læreboken. Her er løsningsforslag med mellomregninger for de gitte øvingsoppgavene. Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Oppgaver med et odde nummer har fasit bakerst i

Detaljer

Permutasjoner og utvalg

Permutasjoner og utvalg Permutasjoner og utvalg En permutasjon av en samling objekter er en eller annen rekkefølge objektene i samlingen kan settes opp i. Eksempel 1 Gitt bokstavene a, b, c og d. Da er følgende oppstillingen

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT3 Diskret Matematikk Forelesning 2: Mer kombinatorikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 3. april 2 (Sist oppdatert: 2-4-3 4:3) Kapittel 9: Mer kombinatorikk MAT3 Diskret Matematikk

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

INF1800 Forelesning 2

INF1800 Forelesning 2 INF1800 Forelesning 2 Mengdelære Roger Antonsen - 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste av det vi gjør her kan leses uavhengig av boken. Følgende avsnitt i boken

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning MATEMATIKK: 6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning 6.1 Forsøk. Utfallsrom. Sannsynlighet (sjanse). Sannsynlighetsmodell Ved ett kast med en terning vet vi at terningen vil vise enten ett, to,

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 10: Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. april 2008 Vi øver oss litt på løse rekurrenslikninger. Oppgave 7.23 Løs

Detaljer

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010

Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 Løsningsforslag Øving 5 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2010 1. a) Ingen andre tall enn en deler en, og en deler fire, så (1, 4) = 1 b) 1 c) 7 er et primtall og 7 er ikke en faktor i 41, så største felles

Detaljer

Mengdelære INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE. Læreboken. Mengder. Definisjon (Mengde) Roger Antonsen

Mengdelære INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE. Læreboken. Mengder. Definisjon (Mengde) Roger Antonsen INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Mengdelære Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Læreboken Mengder Definisjon

Detaljer

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET

INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301 Oppgave 1 a) Sett opp en sannhetsverditabell(truth table) for det logiske uttrykket

Detaljer

Opptelling - counting

Opptelling - counting Opptelling - counting Kombinatorikk og sannsynlighetsregning er en viktig del av diskret matematikk. Her studeres ulike beregnings- og telleteknikker for å beregne sannsynlighet, antall, kapasitet eller

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 6: Ukeoppgaver fra kapittel 5 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 21. februar 2008 Oppgave 5.1 Skriv følgende mengder på listeform. (a) Mengden

Detaljer

A)8 B) 10 C) 14 D) 20 E) Sidekantene i en terning økes med 20%. Hvor mye øker terningens volum? A) 20 % B) 44 % C) 56,2 % D) 60 % E) 72,8 %

A)8 B) 10 C) 14 D) 20 E) Sidekantene i en terning økes med 20%. Hvor mye øker terningens volum? A) 20 % B) 44 % C) 56,2 % D) 60 % E) 72,8 % SETT 29 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Per er i butikken for å kjøpe frukt. En appelsin koster 3 kroner, en banan koster 2 kroner, og et eple koster 1 krone. Per skal kjøpe for nøyaktig

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Foreleses onsdag 25. august 2010

2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Foreleses onsdag 25. august 2010 TMA4240 Statistikk H2010 2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Mette Langaas Foreleses onsdag 25. august 2010 2 Sist - Kap 0 Hva er statistikk, og hvorfor skal du lære det?

Detaljer

Kapittel 3: Kombinatorikk

Kapittel 3: Kombinatorikk Kapittel 3: Kombinatorikk Kombinatorikk handler om å telle opp antall muligheter i ulike situasjoner (for eksempel telle opp antall gunstige og antall mulige i forbindelse med sannsynlighetsberegninger).

Detaljer

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige

Detaljer

Utvalg med tilbakelegging

Utvalg med tilbakelegging Utvalg med tilbakelegging Gitt n forskjellige objekter. Vi skal velge r objekter på en slik måte at for hvert objekt vi velger, noterer vi hvilket det er og legger det tilbake. Det betyr at vi kan velge

Detaljer

Sannsynlighet og statistikk

Sannsynlighet og statistikk Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.

Detaljer

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)}

{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)} Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete athematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. osen Avsnitt 8. Oppgave A {,,,,4} og B {,,,} a) {( a,

Detaljer

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket.

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. ST1100 våren 2017 ombinatorikk Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. Vi antar at de N utfallene er like sannsynlige. Svarer til avsnitt

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige

Detaljer

Plenumsregning 10. Diverse ukeoppgaver. Roger Antonsen april Vi øver oss litt på løse rekurrenslikninger.

Plenumsregning 10. Diverse ukeoppgaver. Roger Antonsen april Vi øver oss litt på løse rekurrenslikninger. Plenumsregning 10 Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen - 17. april 2008 Vi øver oss litt på løse rekurrenslikninger. Oppgave 7.23 Løs følgende rekurrenslikning (c) t(n) 6t(n 1) + 9t(n 2) = 0, t(1) = 3, t(2)

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 21: Mer kombinatorikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 15. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-15 00:05) Kapittel 9: Mer kombinatorikk

Detaljer

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.

Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.

Detaljer

ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014

ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST0103 Brukerkurs i statistikk Høst 2014 Løsningsforslag Øving 1 2.1 Frekvenstabell For å lage en frekvenstabell må vi telle

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN VÅR07, MA0301

LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN VÅR07, MA0301 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN VÅR07, MA0301 Oppgave 1 Om mengder. a) (10%) Sett opp en medlemsskapstabell (membership

Detaljer

6 Sannsynlighetsregning

6 Sannsynlighetsregning 6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene

Detaljer

i Dato:

i Dato: c:- høgskolen i oslo I Emne I EmnlekOde: I FagligvelIeder: Diskret matematikk FO 019A UJfUttersrud raruppe( r): i Dato: - I Eksamenstid: 12.12.2005 9-14 I Eksam-ensopp gavenbestår av: I Antall sid~nkl

Detaljer

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk

TALL. 1 De naturlige tallene. H. Fausk TALL H. Fausk 1 De naturlige tallene De naturlige tallene er 1, 2, 3, 4, 5,... (og så videre). Disse tallene brukes til å telle med, og de kalles også telletallene. Listen med naturlige tall stopper ikke

Detaljer

Realfagsglede VG2 80 minutter

Realfagsglede VG2 80 minutter Lærerveiledning: Passer for: Varighet: Realfagsglede VG2 80 minutter INSPIRIA science center: Bjørnstadveien 16, 1712 GRÅLUM Telefon: 03245/ 69 13 93 00 E-post: post@inspiria.no www.inspiria.no «Realfagsglede»

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Opptelling - forelesningsnotat i Diskret matematikk 2015. Opptelling

Opptelling - forelesningsnotat i Diskret matematikk 2015. Opptelling Opptelling Produktregelen. Anta at en oppgave kan deles opp i to deloppgaver og at hver av dem kan løses uavhengig av hverandre. Anta et første deloppgave kan løses på m forskjellige måter og at andre

Detaljer

Diskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015

Diskret matematikk tirsdag 13. oktober 2015 Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. a = 7358. Tverrsummen til a er lik 7 + 3 + 5 + 8 = 23. Setning. La sum(a) stå for tverrsummen

Detaljer

Avsnitt 6.1 Opptelling forts.

Avsnitt 6.1 Opptelling forts. Avsnitt 6.1 Opptelling forts. Sumregelen. Anta at en oppgave kan løses ved hjelp av kun en av to teknikker. Oppgaven kan løses på m måter ved hjelp av første teknikk og n måter ved hjelp av andre teknikk.

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse okmål Niels Henrik bels matematikkonkurranse 008 009 Første runde 6. november 008 Ikke bla om før læreren sier fra! belkonkurransens første runde består av 0 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet av

Detaljer

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016

MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 MULTIPLE CHOICE ST0103 BRUKERKURS I STATISTIKK September 2016 SETT RING RUNDT DET RIKTIGE SVARET FOR HVER OPPGAVE. Oppgave 1 Stokastisk forsøk Stokastiske forsøk karakteriseres ved to av følgende egenskaper.

Detaljer

TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning

TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning TMA 4140 Diskret Matematikk, 3. forelesning Haaken Annfelt Moe Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology (NTNU) September 5, 2011 Haaken Annfelt Moe (NTNU) TMA

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen høst 2016

Løsningsforslag til eksamen høst 2016 Løsningsforslag til eksamen høst 2016 Hver oppgave tildeles maksimalt 10 poeng. Høyeste poengsum er 100 Karaterer: 90 A 75 B < 90 60 C < 75 50 D < 60 0 E < 50 F < 40 Oppgave 1 a) 3 poeng Ingen av de tre

Detaljer

Løsningsforslag oblig. innlevering 1

Løsningsforslag oblig. innlevering 1 Løsningsforslag oblig. innlevering 1 IN1150 Logiske metoder Høsten 2017 Oppgave 1 - Mengdelære (10 poeng) a) Ut fra opplysningene under, angi hvilke mengder A og B er. A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A B = {2,

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Bokmål Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2007 2008 Første runde 1. november 2007 Ikke bla om før læreren sier fra! Abelkonkurransens første runde består av 20 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet

Detaljer

Eksamen i Elementær Diskret Matematikk - (MA0301)

Eksamen i Elementær Diskret Matematikk - (MA0301) Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Steffen Junge (73 59 17 73 / 94 16 27 27) Eksamen i Elementær Diskret Matematikk -

Detaljer

SAMMENDRAG OG FORMLER

SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER SAMMENDRAG OG FORMLER Nye Mega 8A Kapittel A GEOMETRI LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE linje stråle linjestykke VINKLER VINKELBEIN OG TOPPUNKT En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen

Detaljer

Jan Erik Gulbrandsen Randi Løchsen. nye MEGA 8. Terminprøve høst. matematikk. Bokmål CAPPELEN DAMM AS. Terminprøver høst for 8. trinn 2012 nye MEGA 1

Jan Erik Gulbrandsen Randi Løchsen. nye MEGA 8. Terminprøve høst. matematikk. Bokmål CAPPELEN DAMM AS. Terminprøver høst for 8. trinn 2012 nye MEGA 1 Jan Erik Gulbrandsen Randi Løchsen nye MEGA 8 Terminprøve høst matematikk 2012 Bokmål CAPPELEN DAMM AS Terminprøver høst for 8. trinn 2012 nye MEGA 1 Terminprøver høst 2012 nye MEGA Høstens terminprøver

Detaljer

Største felles divisor. (eng: greatest common divisors)

Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) Største felles divisor. (eng: greatest common divisors) La a og b være to tall der ikke begge er 0. Største felles divisor (eller faktor) for a og b er det største heltallet som går opp i både a og b.

Detaljer

Rekker (eng: series, summations)

Rekker (eng: series, summations) Rekker (eng: series, summations) En rekke er summen av leddene i en følge. Gitt følgen a 0, a 1, a,, a n,, a N Da blir den tilsvarende rekken a 0 + a 1 + a + + a n + + a N Bokstaven n er en summasjonsindeks.

Detaljer

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K

Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K Løsningsforslag Matematikk for ungdomstrinnet Del 1, Modul 1, 4MX130UM1-K ORDINÆR EKSAMEN 11.1.009 Oppgave 1 a) En følge av parallellaksiomet er at samsvarende vinkler ved parallelle linjer er like store.

Detaljer

Teori og oppgaver om 2-komplement

Teori og oppgaver om 2-komplement Høgskolen i Oslo og Akershus Diskret matematikk høsten 2014 Teori og oppgaver om 2-komplement 1) Binær addisjon Vi legger sammen binære tall på en tilsvarende måte som desimale tall (dvs. tall i 10- talssystemet).

Detaljer

Vi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon.

Vi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon. Mengder En mengde (eng:set) er en uordnet samling av objekter. Vi bruker vanligvis store bokstaver, A, B, C, osv., til å betegne mengder. Objektene som inngår i mengden kalles for elementer i mengden (eller

Detaljer

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Fagdag 5-08.01.09. 2) Du skal fylle ut en tippekupong. På hvor mange måter kan dette gjøres? Fagdag Plan Fagdag - 08.01.0 1,2 time: Repetisjon kapittel 3 - Sannsynlighet Oppgaver Teori (lesestoff) 3, time: Arbeide med.1 og.2: 16, 17, 18, 1 3, time: Ekstra vurdering før terminoppgjør Repetisjon

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i INF1080 Logiske metoder for informatikk Eksamensdag: 28. november 2014 Tid for eksamen: 08.15 12.15 Oppgave 1 Mengdelære (10 poeng)

Detaljer

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0

Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008. i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. 0 1 0 0 Løsningsforslag Øving 9 TMA4140 Diskret matematikk Høsten 2008 8.4.27 Vi beregner matrisene W i for i = 0, 1, 2, 3, 4, og så er W 4 svaret. a) W 0 = W 1 = W 2 = 1 0 0 0 1 1 0 0 b) W 0 = c) W 0 = d) W 0

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 2: Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 14. januar 2009 (Sist oppdatert: 2009-01-14 16:45) Kapittel

Detaljer

Løsningsforslag til tidligere mappeoppgaver

Løsningsforslag til tidligere mappeoppgaver til tidligere mappeoppgaver Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold M1 høst 007 9. november 007 Her legger vi ut løsningsforslag til noen oppgaver fra tidligere i år. Se på http://www-lu.hive.no/team/t06ab/todelt-logg.htm

Detaljer

DAG 2 1. Hans og Grete er til sammen 63 år. Hans er dobbelt så gammel som det Grete var da Hans var så gammel som Grete er nå. Hvor gammel er Hans?

DAG 2 1. Hans og Grete er til sammen 63 år. Hans er dobbelt så gammel som det Grete var da Hans var så gammel som Grete er nå. Hvor gammel er Hans? SETT 12 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Hvilket av følgende tall er delelig med 9? A) 309 B) 456 C) 696 D) 783 E) 939 2. To esker inneholder to røde og to hvite kuler hver. Vi tar en tilfeldig

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2014 2015

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2014 2015 Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 204 205 Første runde. november 204 Ikke bla om før læreren sier fra! Abelkonkurransens første runde består av 20 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet av 00 minutter.

Detaljer

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt

Total sannsynlighet. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk = Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt MAT000V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Total sannsynlighet Vi kan skrive en hendelse B som en disjunkt union av A B og A B Total sannsynlighet og Bayes' setning Kombinatorikk Ordnede utvalg med

Detaljer

Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning.

Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Eksempler på praktisk bruk av modulo-regning. Se http://www.cs.hioa.no/~evav/dm/emner/modulo1.pdf Tverrsum Tverrsummen til et heltall er summen av tallets sifre. Eksempel. a = 7358. Tverrsummen til a er

Detaljer

SANNSYNLIGHETSREGNING

SANNSYNLIGHETSREGNING SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like

Detaljer

Kengurukonkurransen 2017

Kengurukonkurransen 2017 2017 «Et sprang inn i matematikken» Benjamin (6. 8. trinn) Løsninger og registreringsskjema Dette heftet inneholder: Fasit og korte løsningsforslag Registreringsskjema Fasit med korte kommentarer Mange

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 2: Ukeoppgaver fra kapittel 1 & 2 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. januar 2008 Oppgave 1.1 Modifiser algoritmen fra 1.2.1 slik at

Detaljer

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning

Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning av Peer Andersen Peer Andersen 2010 1 SANNSYNLIGHETSREGNING MED FLERE TRINN Sannsynlighetsregning med et trinn kan være situasjoner der vi spør hva sjansen er

Detaljer

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall.

Emne 12 Mengdelære. ( bokstaven g er ikke et element i mengden B ) Betyr: B er mengden av alle positive oddetall. Emne 12 Mengdelære En mengde er en samling elementer. Mengden er veldefinert hvis vi entydig kan avgjøre om et vilkårlig element tilhører mengden eller ikke. Mengder på listeform. Endelige mengder:, Uendelige

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

A)4 B) 6 C) 12 D) 24 E) 64

A)4 B) 6 C) 12 D) 24 E) 64 SETT 29 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Nils abonnerer på Aftenposten, og en morgen består avisen av fire deler. Hvis Nils leser en del av gangen, i hvor mange forskjellige rekkefølger kan

Detaljer

Grafteori. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis

Grafteori. MAT1030 Diskret matematikk. Induksjonsbevis Grafteori MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 11: Ukeoppgaver fra kapittel 10 & Induksjonsbevis Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 24. april 2008 Vi regner oppgavene på tavlen

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statistikk og økonomi, våren 207 Obligatorisk oppgave 3 Løsningsforslag Oppgave Produsenten av en type bærbar datamaskin har registrert at sannsynligheten er 0.2 for at tastaturet svikter, 0.09 for at

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret

Detaljer

Repetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Kapittel 4. Kapittel 1 3. Forelesning 20: Kombinatorikk. Roger Antonsen

Repetisjon. MAT1030 Diskret Matematikk. Kapittel 4. Kapittel 1 3. Forelesning 20: Kombinatorikk. Roger Antonsen MAT3 Diskret Matematikk orelesning 2: Kombinatorikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Repetisjon 4. april 29 (Sist oppdatert: 29-4-4 2:42) MAT3 Diskret Matematikk 4. april

Detaljer

1. Per og Kari kaster hver sin terning. Hva er sannsynligheten for at Karis terning viser mer enn Pers? A) 1/6 B) 1/3 C) 1/2 D) 3/8 E) 5/12

1. Per og Kari kaster hver sin terning. Hva er sannsynligheten for at Karis terning viser mer enn Pers? A) 1/6 B) 1/3 C) 1/2 D) 3/8 E) 5/12 SETT 28 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Per og Kari kaster hver sin terning. Hva er sannsynligheten for at Karis terning viser mer enn Pers? A) 1/6 B) 1/3 C) 1/2 D) 3/8 E) 5/12 2. Hvis summen

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2012 2013

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2012 2013 okmål Niels Henrik bels matematikkonkurranse 2012 201 Første runde 8. november 2012 Ikke bla om før læreren sier fra! belkonkurransens første runde består av 20 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet

Detaljer

Kapittel 5: Mengdelære

Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) MAT1030 Diskret

Detaljer

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.

Detaljer

Forelesning 2. Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer

Forelesning 2. Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER. Kontrollstrukturer. Kontrollstrukturer Forelesning 2 Flere pseudokoder. Representasjoner av tall. Dag Normann - 16. januar 2008 KONTROLLSTRUKTURER Mandag innførte vi pseudokoder og kontrollstrukturer. Vi hadde tre typer grunn-instruksjoner:

Detaljer

MAT1030 Forelesning 20

MAT1030 Forelesning 20 MAT3 orelesning 2 Kombinatorikk Roger Antonsen - 4. april 29 (Sist oppdatert: 29-4-4 2:42) Repetisjon Kapittel 3 algoritmer pseudokoder kontrollstrukturer representasjon av tall (hele og reelle tall) tallsystemer

Detaljer

Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016

Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016 Løsningsforslag til 1. obligatorisk oppgave i Diskret matematikk, høsten 2016 Oppgave 1 a) b) r = p q p q s = p q q p q p t = p q p q c) Vi ser av sannehetsverditabellen at uttrykkene (p q) r og p (q r)

Detaljer

MAT1030 Forelesning 10

MAT1030 Forelesning 10 MAT1030 Forelesning 10 Mengdelære Roger Antonsen - 24. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-25 08:27) Kapittel 5: Mengdelære Oversikt Vi har nå innført de Boolske operasjonene, union snitt komplement

Detaljer

Modulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m.

Modulo-regning. hvis a og b ikke er kongruente modulo m. Modulo-regning Definisjon: La m være et positivt heltall (dvs. m> 0). Vi sier at to hele tall a og b er kongruente modulo m hvis m går opp i (a b). Dette betegnes med a b (mod m) Vi skriver a b (mod m)

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse Løsninger Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 20 202 Løsninger Finale 8 mars 202 Oppgave a (i) Om Berit veksler to femkroner og en tjuekrone til tre tikroner, og så to femkroner og tre tikroner til to tjuekroner,

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 16: Rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 17. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4) Forelesning 16 MAT1030 Diskret

Detaljer

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2011 2012

Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 2011 2012 Bokmål Niels Henrik Abels matematikkonkurranse 011 01 Første runde. november 011 Ikke bla om før læreren sier fra! Abelkonkurransens første runde består av 0 flervalgsoppgaver som skal løses i løpet av

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2017

Matematikk for IT, høsten 2017 Matematikk for IT, høsten 017 Oblig 5 Løsningsforslag 0. september 017 Oppgave 1 (eksamen desember 013) Gitt følgende logiske utsagn: ( p ( p q)) Benytt lovene i logikk til å finne hvilket av følgende

Detaljer

Matematisk julekalender for trinn, 2009

Matematisk julekalender for trinn, 2009 Matematisk julekalender for 8. - 10. trinn, 2009 Årets julekalender for 8.-10. trinn består av 9 enkeltstående oppgaver med tilsammen 14 svar. Oppgavene kan løses uavhengig av hverandre, og alle svar tilsvarer

Detaljer

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 SETT 21 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. En bonde skal sette opp et gjerde rundt et trekantet område med sider 20 m, 20 m og 30 m. Han planlegger å sette opp stolper med 5 meters avstand

Detaljer

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Empirisk sannsynlighet. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere 2 Sannsynligheten for en hendelse (4.2) Sannsynligheten for en hendelse sier oss hvor ofte vi forventer at hendelsen inntreffer, dvs. den forventede relative frekvens av hendelsen. ST0202 Statistikk for

Detaljer

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013

TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 TMA4100 Matematikk 1, høst 2013 Teknostart Forelesning 3 www.ntnu.no TMA4100 Matematikk 1, høst 2013, Teknostart Forelesning 3 Tema Logikk Definisjoner og Teoremer Mengder og Egenskaper ved de Reelle Tall

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka

STK1100 våren Betinget sannsynlighet og uavhengighet. Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka STK1100 våren 2017 Betinget sannsynlighet og uavhengighet Svarer til avsnittene 2.4 og 2.5 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Eksempel 1 Vi vil først ved hjelp av et eksempel

Detaljer

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger

1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk

Detaljer

Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å "legge sammen" tall.

Ordliste matematikk. Addere (addisjon) Areal. Divisjon. Addere er å legge sammen tall. Ordliste matematikk Addere (addisjon) Addere er å "legge sammen" tall. Regnetegnet for addisjon er +. 3+4 er en addisjon. Summen er 7. Tallene som adderes kalles ledd. Areal Areal er et mål for hvor stor

Detaljer

Konvertering mellom tallsystemer

Konvertering mellom tallsystemer Konvertering mellom tallsystemer Hans Petter Taugbøl Kragset hpkragse@ifi.uio.no November 2014 1 Introduksjon Dette dokumentet er ment som en referanse for konvertering mellom det desimale, det binære,

Detaljer

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet . kurskveld Ila, 7. juni - 0 Statistikk og sannsynlighet Sannsynlighet og kombinatorikk Sannsynlighet er noe vi omgir oss med nesten daglig. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner.

Detaljer

MAT1030 Forelesning 2

MAT1030 Forelesning 2 MAT1030 Forelesning 2 Kontrollstrukturer, tallsystemer, basis Dag Normann - 20. januar 2010 (Sist oppdatert: 2010-01-20 12:31) Kapittel 1: Algoritmer (fortsettelse) Kontrollstrukturer I går innførte vi

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Høgskolen i Gjøvik. Avdeling for elektro- og allmennfag K O N T I N U A S J O N S E K S A M E N. EKSAMENSDATO: 11. august 1995 TID:

Høgskolen i Gjøvik. Avdeling for elektro- og allmennfag K O N T I N U A S J O N S E K S A M E N. EKSAMENSDATO: 11. august 1995 TID: Høgskolen i Gjøvik Avdeling for elektro- og allmennfag K O N T I N U A S J O N S E K S A M E N FAGNAVN: FAGNUMMER: Algoritmiske metoder LO 164A EKSAMENSDATO: 11. august 1995 TID: 09.00-14.00 FAGLÆRER:

Detaljer