Løsningsforslag til tidligere mappeoppgaver

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Løsningsforslag til tidligere mappeoppgaver"

Transkript

1 til tidligere mappeoppgaver Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold M1 høst november 007 Her legger vi ut løsningsforslag til noen oppgaver fra tidligere i år. Se på for de opprinnelige oppgavene. Vennligst send beskjed til dersom du legger merke til noen feil. Tall og tallære 1. Gulvfliser (a) Et kvadratisk gulv er belagt med kvadratiske fliser, alle like store. Noen av flisene er hvite, noen er svarte. De svarte flisene er samlet i et kvadratisk felt av gulvet. Det er i alt 3 hvite fliser på dette gulvet. Hvor mange svarte fliser er det? Og hvor mange fliser er det altså totalt? (b) Utforsk mest mulig hvordan det går dersom det er et annet antall enn 3 hvite fliser. (Det vil si bytt ut 3 med andre tall, og forsøk å svare på de samme spørsmålene som i (a).) Er det alltid mulig å finne minst én løsning? Hender det at det fins flere løsninger? Hva er det som eventuelt bestemmer hvor mange løsninger det fins i hvert tilfelle? Hvordan går det hvis vi insisterer på at det svarte felte skal ligge symmetrisk midt på gulvet? Osv. osv... (a) Antall svarte fliser må være et kvadrattall, altså lik m der m er et positivt heltall (som vi skal finne). Antall alle fliser er også et kvadrattall n der n er et positivt heltall (som vi skal finne). Vi har likningen antall alle flisene = antall svarte fliser + antall hvite fliser 1

2 som blir n = m + 3 siden vi har 3 hvite fliser. Vi omgjør denne til n m = 3. Nå skal vi bruke den følgende nyttige faktum: for alle tall n og m, vi har (n + m)(n m) = n(n m) + m(n m) = n nm + nm m = n m. Derfor leter vi etter to heltall n og m slik at (n + m)(n m) = 3. Først legger vi merke til at n + m er positiv fordi at både n og m er positive. Men siden n m = 3, vi ser at n er større enn m. Derfor er n m positiv. Det er klar at n + m er større enn n m. Vi skriver ut mulighetene for (n + m) og (n m), ved å se på hvordan 3 kan skrives som produkt av forskjellige positive heltall: 3 = 3 1, 3 = 16 og 3 = 8 4. Vi sjekker hver av disse. Kan vi ha n + m = 3 og n m = 1? Vi legger sammen disse likningene: n + m = 3 + n m = 1 n = 33 Men da må n være lik 16 1, som ikke er et heltall. Derfor er det ikke mulig at n + m = 3 og n m = 1. La oss prøve med n + m = 16 og n m = : n + m = 16 + n m = n = 18 Derfor er n = 9. Fra den første likningen ser vi at m = 16 n = 16 9 = 7. Derfor kan det være at vi har 49 svarte fliser og 81 = tilsammen. På samme måte løser vi n + m = 8 og n m = 4 og finner frem til n = 6 og m =. Derfor eksisterer det en annen løsning: at vi har 4 svarte fliser og 36 = tilsammen. Men fra bildet 1 ser det kanskje mest sannsynlig ut at den første løsningen gjelder: det ser ikke ut som det er åtte ganger så mange hvite fliser som svarte. (b) Som eksempel, la oss tenke på om istedenfor 3 hvite fliser vi hadde 33. Vi antar igjen at det er m svarte fliser og n fliser tilsammen, der m og n er positive heltall, med n > m, som vi skal finne. Akkurat som i (a) er vi 1 Se på

3 ført til likningen n = 33 + m, som vi omskriver til (n + m)(n m) = 33. Det er bare to måter å skrive 33 som produkt: 33 = 1 33 og 33 = Vi prøver å løse likningene n + m = 33 og n m = 1. Som ovenfor finner vi ut at n = 17 og m = 16. Derfor kan vi ha 16 = 56 svarte fliser i et kvadrat, og 17 = 89 = fliser tilsammen. Hvis vi ser på den andre muligheten, nemlig 33 = 11 3, vi må prøve å løse n + m = 11 og n m = 3. Denne gir n = 7 og m = 4. Derfor kan vi ha 4 = 16 svarte fliser og 7 = 49 = fliser tilsammen. Slik ser vi at det fungerer også når vi har 33 hvite fliser (faktisk, igjen på flere enn én måte). I både dette og det forrige tilfell var det mulig å finne en løsning fordi at antall hvite fliser (3 eller 33) lot seg skrives som produkt av to heltall som var slik at vi kunne finne heltall n og m som passet. Men vi så også at det gikk ikke med alle faktoriseringene av 3: det var ikke mulig dersom vi brukte 3 = 1 3. Med andre ord, hvis antall hvite fliser ikke lar seg faktorisere på en passende måte (selv om vi ikke ennå vet hva passende betyr) da kan det hende at der ikke er mulig. La oss betrakte ett eksempel til: 34 hvite fliser. Vi leter igjen etter kvadrattall n og m som er slik at n = 34 + m, eller (n + m)(n m) = 34. Det er bare to faktoriseringer av 34, nemlig 34 = 1 34 og 34 = 17. Hvis vi prøver å løse n+m = 34 og n m = 1, så finner vi ut at n = 35, som ikke har en løsning n som er heltall. Prøver vi med n + m = 17 og n m =, så ser vi at n = 19, som igjen har ingen løsning i heltallene. Derfor har 34 ingen passende faktorisering. Kanskje vi nå kan si litt mer om hva en passende faktorisering er. I alle tilfell hittil har vi skrevet antall hvite fliser som et produkt av to tall, og prøvd å løse likningen n = summen av de to faktorene Slik ser det ut som en passendefaktorisering må være slik at summen av faktorene er et partall. Derfor er det rimelig å formode: Vi kan legge opp k hvite fliser sammen med et kvadratisk antall svarte fliser i et større kvadrat, hvis og bare hvis k kan skrives som produkt av to forskjellige heltall a og b der a + b er et partall. Kan du bevise det? 3

4 3. Summer (a) Velg tre påfølgende naturlige tall (f. eks. 4, 5 og 6) og legg dem sammen (4+5+6). Gjenta for tre andre påfølgende naturlige tall. Prøv noen ganger til. Se på svarene. Er det noe system? Har de noe felles? Hypoteser? Test ut på nye eksempler. Stemte gjetningene? Mulig forklaring? (b) Hvordan går det hvis vi legger istedenfor legger sammen fire påfølgende, naturlige tall? NB: gjett først!! Prøv etterpå!! Hypoteser? Forklaringer? (c) Forsøk å generalisere til summer av fem påfølgende tall, seks påfølgende tall osv. osv... Mønster? System? Kan vi enkelt forutsi hva som vil skje med summer av f. eks. tretten påfølgende tall? Eller hva med en sum av tjuefem påfølgende tall? (a) La oss ta noen eksempler: Tall Summen 5, 6, , 7, 8 1 7, 8, 9 4 Vi legger merke til at svaret er alltid tre ganger det innerste tallet. La oss sjekke om dette stemmer med noen større eksempler: 1, 13, , 79, , 151, Ja, slik ser det ut: 39 = 3 1, 37 = 3 79 og 453 = La oss se på det generelle tilfellet. Vi kaller det første av våre tre påfølgende tallene for n. Da blir det andre og det tredje lik n + 1 og n +. (Ovenfor så vi på tilfellene der n er lik 5, 6, 7, 1, 78 og 150.) Summen av disse tre tall er da n + (n + 1) + (n + ) = n + n + n = 3n + 3. Dette kan vi faktorisere: 3 deler hvert ledd. Vi får 3(n + 1). Men n + 1 er nok det innerste av tallene i rekken n, n + 1, n +. Slik ser vi at summen av tre påfølgende tall er tre ganger den innerste, som vi formodet. 4

5 (b) La oss igjen se på noen eksempler: Tall Summen 5, 6, 7, 8 6 6, 7, 8, , 8, 9, , 46, 47, , 103, 104, Her er litt vanskeligere å gjette regelen, men etter hvert ser vi én mulighet: summen er (fire ganger det første tallet i rekken) + 6. Kanskje vi kan bevise det som vi gjorde i det forrige eksempelet. Vi benevner det første tallet i rekken n, og da blir de andre n + 1, n + og n + 3. Summen blir da n + (n + 1) + (n + ) + (n + 3) = 4n + 6. Derfor stemmer det vi tenkte: summen av de fire tallene er lik fire ganger den første plus seks. (c) La oss tenke på en rekkefølge av k tall som starter med n. Ovenfor har vi fått visse svar i tilfellene k = 3 og k = 4. Summen blir da n + (n + 1) + (n + ) + + (n + k 1) (1) (Hvis ikke du ser umiddelbart hvorfor det slutter med n+k 1 og ikke n+k, prøv å telle leddene i rekken.) Vi samler n-ene og andre tall hver for seg i summen. Det er en n i hvert ledd, og det er k ledd, så får vi k ganger n. I tillegg kommer en 1 i det andre leddet, en i det tredje, en 3 i det fjerde og så videre inn til en (k 1) i det siste (altså det k-te) leddet. Derfor er summen lik kn + ( (k ) + (k 1)). Hva er summen 1++ +(k 1)? Jo, dette er ikke annet enn det (k 1)-te trekanttall T k 1, som er lik (k 1)k/. Derfor er summen (1) lik kn + (k 1)k = kn + (k 1)k = k(n + k 1). () La oss sjekke noen av våre forrige eksempler. I summen er n = 5 og k = 3. Formelen () gir da 3((5) + 3 1) = 3(1) 5 = 36 = 18.

6 La oss prøve Her er n = 45 og k = 4. Formelen () gir da 4((45) + 4 1) = 4(93) = 93 = 186 som det skal. Så har vi funnet en generell formel for å legge sammen påfølgende naturlige tall. Med denne innsikten er det fornuftig å gå tilbake til det første eksempelet vi så på, der k = 3. For å få sluppet den inn i det generelle mønstret er det lurt å si at summen av tre påfølgende naturlige tall er lik tre ganger det første plus tre, istedenfor tre ganger det innerste. I symboler: summen n + (n + 1) + (n + ) = 3n + 3. Vi lar være å faktorisere det. (Husk at det andre trekanttall T er nok lik 3.) Naturlig Spørsmål: Stemmer formelen () også for vilkårlige heltall (altså, som kan være negative)? 4. Tallpyramide Vi utforsker her en tallpyramide, i første omgang en på tre etasjer. I nederste etasje velges fritt tre naturlige tall. I etasjen over skriver en så inn summen av de to tallene nedenfor. Regnemåten gjentas så videre oppover i neste etasje. For eksempel, hvis de opprinnelige tallene hadde vært 1, 5 og 3 da hadde vi fått Tallet som blir stående alene på toppen, kalles heretter topptallet. Hva skal til for at topptallet er et oddetall, eventuelt et partall? (I eksemplet fikk vi altså et partall.) Utforsk mest mulig. Hypoteser? Forklaringer? Utvid så pyramiden til å bestå av fire etasjer, dvs slik at det er de fire tallene i nederste etasje som velges fritt. Hvordan går det nå? Hva er det nå som avgjør om topptallet blir oddetall eller partall? Hva skjer hvis pyramiden har fem etasjer? Enn seks etasjer? (Eller flere?) Generaliser mest mulig. La oss prøve et par andre tilfell, f. eks. (, 6, 3) og (, 5, 4):

7 Her fikk vi et oddetall og et nytt partall. La oss se på det generelle tilfellet: en pyramid med tallene a, b og c på bunnen. Denne ser slik ut: a + b + c (a + b) (b + c) a b c Hva skal da til for at topptallet blir et oddetall? Vi ser at svaret er faktisk uavhengig av b fordi at a + b + c er et partall hvis og bare hvis a + c er. Spørsmålet blir da når er a + c et oddetall? Men dette kan vi svare på: det er et oddetall dersom ett av a og c er et partall og det andre et oddetall. På samme måten kan vi si at topptallet er et partall dersom a og c er begge to partall eller begge to oddetall. En pyramid på fire etasjer med tallene a, b, c og d på bunnen ser slikt ut: a + 3b + 3c + d (a + b + c) (b + c + d) (a + b) (b + c) (c + d) a b c d Her undersøker vi når summen a+3b+3c+d kan være oddetall. Først legger vi merke til at det er det hvis og bare hvis a + b + c + d er et oddetall, siden differansen mellom a+3b+3c+d og a+b+c+d er b+c, som er et partall. Når er a + b + c + d et oddetall? Først, hvis vi har ingen oddetall blant a, b, c og d da er alle fire partall, og a + b + c + d er også et partall. Hva om vi har akkurat to oddetall? Summen av to oddetall er et partall, så hvis vi har to oddetall og to partall da er summen av de fire tallene et partall. På en liknende måte kan man sjekke at dersom enten ett eller tre tall blant a, b, c og d er oddetall, da er a + b + c + d et oddetall. (Prøv det!) Kombinatorikk og sannsynlighet Køkultur Tre personer (Ole, Petter og Katrine) står i kinokø. (i) Hvor mange forskjellige rekkefølger kan de stå i? (ii) Hvor mange forskjellige rekkefølger kunne vi hatt i køen dersom Mari også hadde vært med på kino? Med andre ord, hvor mange forskjellige køer kan en lage med fire køståere? (iii) Generaliser: Hvor mange forskjellige køer kan en lage med n køståere? 7

8 (iv) Hvor mange forskjellige køer hadde vi fått i (ii) dersom vi insisterte på at Petter alltid måtte stå like bak Mari? (Kan han være interessert i henne, mon tro...?) (v) Hvor mange forskjellige køer kan en lage med n køståere (inklusive Petter og Mari) dersom vi fortsatt insisterer på at Petter må stå like bak Mari? (i) Det er tre muligheter for den første som skal stå i køen, to for den andre og bare én for den siste. Derfor er det 3 1 = 6 mulige rekkefølger. Eksplisitt, de er OPK, OKP, POK, PKO, KOP og KPO. (ii) Hvis én person til blir med, da er det fire muligheter for den første i køen, tre for den andre, to for den tredje og én for den siste. Tilsammen har vi = 4 mulige rekkefølger. (iii) Hvis vi har n køståere, da er det n muligheter for den første i køen, (n 1) for den andre, (n ) for den tredje og så videre, helt ned til to muligheter for den nest siste og én for den siste. I symboler, antall mulige rekkefølger blir da n (n 1) (n ) 1. Dette tallet skrives som n!, uttalt n fakultet. (iv) I denne situasjonen får Petter ikke bestemme hvor han skal stå. Hans posisjon i køen er bestemmt rett og slett av Mari sin. Derfor skal vi tenke på Mari og Petter som en enhet (samme hva Mari synes det er tross alt bare en matteoppgave). Det blir da tre enheter i køen: Ole, Katrine og Mari plus Petter. Vi kan sette disse tre enhetene i alle mulige rekkefølger. Derfor blir det 6 mulige rekkefølger. Eksplisitt, her er de: OKMP, OMPK, MPOK, KOMP, KMPO, og MPKO. Obs: Det å betrakte enheter, som kan innholde forskjellige antall mennesker på denne måten, er en meget viktig og sterk teknikk i kombinatorikken. (v) På samme måte er Petters posisjon alltid bestemmt av Mari sin. Derfor betrakter vi Mari og Petter som enhet igjen. Det er (n 1) enheter i 8

9 køen: Mari plus Petter og de andre (n ) køståere. Derfor har vi (n 1) muligheter for den første enhet i køen, (n ) for den andre, og så videre frem til to muligheter for den nest siste og én for den siste. Tilsammen har vi (n 1) (n ) 1 = (n 1)! mulige rekkefølger. Sifferkortene Du har en eske med de tre sifferkortene 1, og 3. (i) Du tar opp ett og ett kort uten å legge tilbake. Slik lager du et tresifret tall. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages på denne måten? (ii) Nå tar du opp ett kort, noterer tallet, legger kortet tilbake og trekker et nytt osv. Hvor mange forskjellige tresifrede tall kan lages på denne måten? (iii) Legg nå også sifferkortene 4 og 5 i esken. (Det er da fem kort i esken: 1,, 3, 4 og 5.) Bruk metoden i (i) (dvs. uten tilbakelegging). Hvor mange tresifrede tall kan du nå lage? (iv) Bruk metoden i (ii) (dvs. med tilbakelegging). Hvor mange tresifrede tall kan du nå lage? (v) Anta til slutt at tre av de fem kortene skal trekkes tilfeldig ut. Hvor mange forskjellige utvalg av tre og tre kort kan vi da få? (Her er altså rekkefølgen til de tre kortene ikke viktig, kun hvilke tre kort vi får.) (i) Det er tre muligheter for det første sifferet i tallet, to for det andre og ett for det siste; altså 3 1 = 3! = 6 tilsammen. (ii) Her er det tre muligheter for hvert siffer. Derfor er det = 7 mulige tresiffrede tall vi kan lage på denne måten. (iii) Her har vi fem muligheter for det første sifferet, fire for det andre og tre for det siste. Så kan vi lage = 60 forskjellige tresiffrede tall på denne måten. 9

10 (iv) Når vi legger kortene tilbake etter hvert trekk, så er det fem muligheter for hvert siffer. Derfor er det = 15 muligheter i dette tilfellet. (v) Hva er forskjellen mellom dette spørsmålet og (iii)? Jo, svaret i (iii) er nå for stor. Dette, fordi at vi nå skal betrakte utvalg som inneholder de samme siffrene som det samme, uavhengig av rekkefølgen de oppstår i. For eksempel, før tenkte vi om rekkefølgene 35 og 53 som forskjellige utfall, men siden de inneholder de samme siffrene, bare i en forskjellig rekkefølge, så tenker vi nå at de er det samme. Derfor kan vi løse problemet ved å finne ut hvor mange ganger vi har talt hver kombinasjon av tre av de fem siffrene, og da dele svaret i (iii) med det. Vi har talt hver mulige rekkefølge én gang, så det vi må dele med blir antall mulige rekkefølger tre objekter kan settes i, nemlig 6. (For eksempel, kombinasjonen {, 3, 5} oppstod fra de følgende utvalgene: 35, 53, 35, 35, 53 og 53 så har vi nok talt utfall, 3, 5 seks ganger. Det samme gjelder for alle andre kombinasjoner av tre kort fra de fem. Forresten, mengdenotasjonen {, 3, 5} gjør bl. a. at vi ikke tar hensyn til orden: for eksempel, {, 3, 5} = {5,, 3}.) Deler vi svaret i (iii) med 6, så får vi 60/6 = 10. Eksplisitt, kombinasjonene er {1,, 3}, {1,, 4}, {1,, 5}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 4, 5}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 4, 5}, og {3, 4, 5}. Memory Spillet Memory er populært blant såvel små barn som voksne. I én av utgavene består spillet av 16 billedbrikker der to og to har identiske bilder på forsiden i alt 63 par. Målet i spillet er å få flest mulig par. Før spillet starter, blandes brikkene godt og legges utover bordet med baksiden opp. Spillerne snur så etter tur to brikker. (Det er tillatt å se på bildet på den første brikken før en snur nr. to.) Dersom de to brikkene er et par, beholder spilleren paret, og får snu to brikker til. Er de to bildene forskjellige, snus de igjen med baksiden opp, og turen går videre til neste spiller. Slik fortsetter spillet til alle parene er tatt. (i) Av og til skjer det at spilleren som åpner spillet snur to like brikker i første forsøk. (De øvrige spillerne ryster kanskje oppgitt på hodet over 10

11 slik flaks.) Hvor stor er sannsynligheten for å lykkes i nettopp dette, dvs. å snu to like brikker ved spillets start? Forklar hvilke forutsetninger du bygger på. (ii) Anta at spillet istedenfor består av N par til å begynne med. Hvor stor er da sannsynligheten for å snu to like brikker ved spillets start, uttrykt ved N? (iii) Figuren nedenfor viser en situasjon mot slutten av spillet, og det er altså kun tre par igjen. Det er Stines tur til å snu to brikker. Hun husker nøyaktig hvilke bilder som er på brikkene A og B, og at disse er forskjellige. Men hun aner ikke noe om de øvrige brikkene. (Vi kan for enkelhets skyld anta at de ikke har vært snudd tidligere i spillet.) Diskuter, ved hjelp av sannsynlighetsregning, følgende alternative strategier Stine kan følge når hun nå skal snu to brikker: (a) Snur først tilfeldig én av brikkene A og B, og deretter tilfeldig én av C, D, E og F, og håper derved å få et par. (b) Snur tilfeldig én av brikkene C, D, E og F, og håper at denne er maken til A eller B (som hun jo husker). I så fall kan hun snu denne som brikke nr. to, og derved få et par. (c) Snur samtidig (med begge hender) to av brikkene C, D, E og F, og håper at disse er et par. (i) Antall mulige utfall er lik antall mulige uordnete utvalg av brikker fra 16 uten tilbakelegging. Det er 16 muligheter for det første valget og 15 for det andre, som gir tilsammen. Men slik har vi talt ordnete utvalg, som gjør at vi har talt hvert utfall to ganger. Derfor deler vi med : det er = mulige utfall. Et utfall er gunstig dersom det er et par. Det er 63 mulige par. Derfor er sannsynlighet for å få et par på første rundet lik = Obs: Fra denne beregningen ser vi at det kan være lurt å ikke beregne antall gunstige og mulige utfall før vi absolutt må. Hvis vi lar det stå som et produkt (som vi gjorde ovenfor med 15 63), så blir sannsynlighet en brøk 11

12 med nevneren og telleren delvis faktorisert. En slik brøk er som regel lettere å forkorte enn en der vi må begynne med og faktorisere nevneren og telleren. 63 Det er for eksempel ikke like klar at er lik 1/ (ii) Antall mulige utfall er antall måter å velge to brikker fra N, uordnet og uten tilbakelegging. På samme måten som ovenfor blir dette N(N 1) = N(N 1). Antall gunstige utfall er lik antall par, altså N. Derfor er sannsynlighet for å trekke et par på første trekk lik N N(N 1) = 1 N 1. For eksempel, hvis N = 63 som ovenfor, så er N 1 = (63) 1 = 16 1 = 15, og vi får tilbake at sannsynligheten med 63 par er nok 1. I tillegg ser 15 vi at jo større N blir, jo mindre blir sannsylighet for slik flaks, som stemmer med intuisjonen. (iii) (a) Hvis hun snur én av A og B og da én av C, D, E og F, da er det 8 mulige utfall. Det er to gunstige utfall: at hun får paret som inneholder A eller det som inneholder B. Derfor har hun sannsynlighet 1/4 for å få et par. (b) La oss skrive ut de mulige utfallene med denne strategien. La oss kalle brikkene A 1, B 1, A, B, C 1 og C der A 1 og B 1 er brikkene hun husker, A og B er brikkene som går sammen med A 1 og B 1, og C 1 og C er det siste paret. Da er A, A 1, B, B 1, C 1, A, C 1, B, C 1, C, C, A, C, B alle mulige utfall, hvorav 3 er gunstige. Derfor er sannsynligheten for å få et par lik 3/7. (c) Det er bare ett gunstig utfall, nemlig at hun får det eneste paret igjen som ikke involverer A eller B. Antall mulige utfall er antall uordnete valg av to brikker fra fire, som er 4 3 = 6. Sannsynligheten for å få et par er da 1/6. Slik ser vi at den beste strategien å følge er (b). 1

13 Glemsomme Peder Peder Olsen hadde problemer med å huske sitt eget telefonnummer. Dette var på den tiden da alle i Oslo hadde nummer som begynte med, så akkurat det husket Peder. Videre husket han at det var tre femtall, to sekstall og ett sjutall i nummeret. En dag han skulle ringe hjem for å si at han ikke rakk hjem til middag, hadde han glemt nummeret igjen. Og nummeropplysningen, som han pleide å bruke i slike tilfeller, var midlertidig ute av drift. Hvor mange forskjellige telefonnummer måtte Peder maksimalt ringe for å være garantert å komme fram til far på telefonen? De første to sifferne vet Peder er. Han vet hva de siste seks sifferne er: 5, 5, 5, 6, 6 og 7, men ikke rekkefølgen de oppstår i. Som første forsøk kunne vi tenke at svaret er lik antall mulige rekkefølger seks objekter kan settes i: = 70 = 6!. Men her har vi talt noen muligheter flere ganger enn vi skal. Der er som om vi hadde tatt de seks objektene første 5er, andre 5er, tredje 5er, første 6er, andre 6er og 7er og talt antall mulige rekkefølger, betraktende for eksempel og (første 5er) (andre 5er) (tredje 5er) (første 6er) (andre 6er) (7er) (første 5er) (andre 5er) (tredje 5er) (andre 6er) (første 6er) (7er) som forskjellige. Såklart dette skal vi ikke gjøre, fordi at de fører begge to til samme nummer: Vi har talt i hvert fall to ganger for mange muligheter: vi kan bytte posisjonene av sekserne (bytte første 6er og andre 6er ) uten å forendre nummeret. Derfor må vi i hvert fall dele våre første forsøk med. På samme måte ser vi at vi kan permutere første 5er, andre 5er og tredje 5er på hvilket som helst vis uten at vi forendrer nummeret. Derfor må vi dele videre med antall måter å permutere de tre femmere. Det blir 3 1 = 3! = 6. For å oppsummere: vi skal dele 70 med 6 = 1. Derfor må Peder prøve maks. 70 = 60 nummer. Det er nok lite sannsynlig at han rekker hjem 1 til middag :-). 13

Vi sier også at for eksempel 16 er kvadratet av 4. Kvadrattallene kan vi framstille som figurtall av kuler på denne måten:

Vi sier også at for eksempel 16 er kvadratet av 4. Kvadrattallene kan vi framstille som figurtall av kuler på denne måten: 10 Tall og figurer Tallene 1,, 3, 4,, kaller vi de naturlige tallene De naturlige tallene deler vi ofte i partall og oddetall Partallene er de tallene vi kan dele med Det er tallene, 4, 6, 8, 10, Oddetallene

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Planleggingsdokument Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.

- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l. SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort

Fire kort. Mål. Gjennomføring. Film. Problemløsing Fire kort Fire kort Mål Generelt: Søke etter mønster og sammenhenger. Gjennomføre undersøkelse og begrunne resultat. Utfordre elevene på å resonnere og kommunisere. Spesielt: Finne alle kombinasjoner når de adderer

Detaljer

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6

Oppgave 1. Del A. (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. som desimaltall. 3x 6 Oppgave 1 (i) Skriv de to desimaltallene 0, 7 og 3, 12 som vanlig brøk og forkort hvis mulig. (ii) Skriv 314 100 og 4 5 (iii) Forkort brøkene som desimaltall. 12 15 og 3x 6 9x. (iv) Sorter disse seks tallene

Detaljer

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.

b) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på. Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer

Detaljer

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet

6. kurskveld Ila, 7. juni - 06 Statistikk og sannsynlighet . kurskveld Ila, 7. juni - 0 Statistikk og sannsynlighet Sannsynlighet og kombinatorikk Sannsynlighet er noe vi omgir oss med nesten daglig. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner.

Detaljer

Fagdag 1 - S2. Kommentarer og oppsummering. Oppgave 1 - Tre grunnleggende aritmetiske følger og rekker

Fagdag 1 - S2. Kommentarer og oppsummering. Oppgave 1 - Tre grunnleggende aritmetiske følger og rekker Fagdag - S Kommentarer og oppsummering Oppgave - Tre grunnleggende aritmetiske følger og rekker De naturlige tallene: Det n-te leddet er rett og slett det samme som nummeret (indeksen) i rekken: (Kunne

Detaljer

Fasit og løsningsforslag til Julekalenderen for ungdomstrinnet

Fasit og løsningsforslag til Julekalenderen for ungdomstrinnet Fasit og løsningsforslag til Julekalenderen for ungdomstrinnet 0.: Svaret er Hvert kutt kan maksimalt skjære hvert av de andre kuttene gang. Ett kutt går gjennom ett område mer enn antall kutt det skjærer.

Detaljer

R2-01.09.14 - Løsningsskisser

R2-01.09.14 - Løsningsskisser R - 0.09.4 - Løsningsskisser Algebra Oppgave Finn den eksplisitte formelen for n te ledd i tallfølgene: a), 4, 6, 8, 0,... b),, 5, 7, 9,... c), 4, 9, 6, 5,... d),, 4, 5 4, 6 5,... a) Vi ser at følgen med

Detaljer

Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a

Vi kan finne formler som gir oss neste tall i tallfølgen dersom vi kjenner ett tall. Det er den rekursive formelen. gir oss gir oss alle tallene a Tallfølger, figurtall, algebra (utgave beregnet for GLU1-7). Av Geir Martinussen, Høgskolen i Oslo og Akershus (Se også: http://www.matematikk.org/uopplegg.html?tid=114140 ) Tallfølger er en nyttig ressurs

Detaljer

En divisor til et heltall N er et heltall som går opp i N. Både 1 og N regnes blant divisorene til N.

En divisor til et heltall N er et heltall som går opp i N. Både 1 og N regnes blant divisorene til N. Oppgave 1 Hvilket av disse tallene er ikke heltall? 11! 12345678910 11 11! 11! 11! 11! 11! A B C D E 20 21 22 23 24 Hva må være oppfylt for at brøkene i løsningsalternativene skal bli hele tall? Hvilke

Detaljer

Utfordringer med tall

Utfordringer med tall Utfordringer med tall e følgende oppgavene er øvinger for å utdype tallforståelse. e første fem oppgavene handler om faktorer og faktorisering. I de to siste handler det om å vurdere størrelsen av tall

Detaljer

Tall, forståelse og eksamen Videregående skole (1P, 2P og 2PY)

Tall, forståelse og eksamen Videregående skole (1P, 2P og 2PY) Tall, forståelse og eksamen Videregående skole (1P, 2P og 2PY) Oslo, 16.-17.10.14 Astrid Bondø 19-Nov-15 Bygda Alvfjord Eksamen har i dag 5000 innbyggere. 2P 2014 Man regner med at innbyggertallet vil

Detaljer

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være:

Vi anbefaler at elevene blir introdusert for likninger via en praktisk problemstilling. Det kan for eksempel være: Likninger og algebra Det er større sprang fra å regne med tall til å regne med bokstaver enn det vi skulle tro. Vi tror at både likninger og bokstavregning (som er den algebraen elevene møter i grunnskolen)

Detaljer

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I

Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.

Detaljer

Algebra og likninger tips til bruk av Smart tavle

Algebra og likninger tips til bruk av Smart tavle 1 av 5 Algebra og likninger tips til bruk av Smart tavle Maximum Smart Tavle har to delverktøy: bokrommet og tavlerommet. I bokrommet kan du hente opp bokoppslagene på skjermen. Verktøyet gir deg mulighet

Detaljer

Julekalender mellomtrinn -

Julekalender mellomtrinn - Julekalender 2004 - mellomtrinn - 1. desember Vi har noen underlige terninger. De viser tallene 1, -2, 3, -4, 5, -6. Om vi slår to terninger samtidig, hvilken av summene listet opp under klarer vi IKKE

Detaljer

A) 13 B) 15 C) 18 D) 23 E) 24

A) 13 B) 15 C) 18 D) 23 E) 24 SETT 35 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. En digital klokke viser tiden i timer og minutter. Av og til er klokkeslettet det samme om man leser det baklengs, for eksempel klokken 02:20 eller

Detaljer

MAT1030 Plenumsregning 5

MAT1030 Plenumsregning 5 MAT1030 Plenumsregning 5 Ukeoppgaver Mathias Barra - 13. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-03-06 18:29) Oppgave 4.18 Uttrykk følgende påstander i predikatlogikk, og finn deres sannhetsverdier. (a) Det

Detaljer

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser

1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser MATEMATIKK: 1 Algebra 1 Algebra 1.1 Tall- og bokstavregning, parenteser Matematikk er et morsomt fag hvis vi får det til. Som på de fleste områder er det er morsomt og givende når vi lykkes. Skal en f.eks.

Detaljer

Realfagsglede VG2 80 minutter

Realfagsglede VG2 80 minutter Lærerveiledning: Passer for: Varighet: Realfagsglede VG2 80 minutter INSPIRIA science center: Bjørnstadveien 16, 1712 GRÅLUM Telefon: 03245/ 69 13 93 00 E-post: post@inspiria.no www.inspiria.no «Realfagsglede»

Detaljer

3 x 3 ruter. Hvilke matematiske utfordringer finnes det i et spillebrett på 3x3 ruter? Her er noen eksempler på spill og problemløsningsoppgaver

3 x 3 ruter. Hvilke matematiske utfordringer finnes det i et spillebrett på 3x3 ruter? Her er noen eksempler på spill og problemløsningsoppgaver 3 x 3 ruter Hvilke matematiske utfordringer finnes det i et spillebrett på 3x3 ruter? Her er noen eksempler på spill og problemløsningsoppgaver som kan brukes i matematikktimene. Magisk kvadrat Du har

Detaljer

Kommentarer til oppgavene

Kommentarer til oppgavene Kommentarer til oppgavene 7.4, 7.7, 7.0, 7.4, 7., 7.98, 7.9 Teknikker: Se/gjette/prøve, gjerne i kombinasjon med tabeller, differanser og: Figurtall. (Eksempel 5, eksempel og figuren nederst side 59, 7.5,

Detaljer

Spill "Lag det tallet" - transkripsjon av samtalen

Spill Lag det tallet - transkripsjon av samtalen Spill "Lag det tallet" - transkripsjon av samtalen Elevene på 7. trinn sitter i lyttekroken foran tavla. Olaug er lærer. Klassen skal spille Lag det tallet. Det er første gang elevene skal spiller det.

Detaljer

Løsningsforslag. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer:

Løsningsforslag. Emnekode: Emne: Matematikk for IT ITF Eksamenstid: Dato: kl til kl desember Hjelpemidler: Faglærer: Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 7. desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To -ark med valgfritt innhold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer: Christian

Detaljer

Regler for: Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! 3 2 Regler for: getsmart Lilla 9 Graf y 4 7 3 2 2 3 Funksjon 1-4 4-3 -2-1 -1 1 2 3-2 x f(x)= f(x)= 3 2 2 3 3 2 2 3-3 -4 Graf 9 3 2 2 3 Funksjon 7 Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når

Detaljer

Matematisk julekalender for trinn, 2010

Matematisk julekalender for trinn, 2010 Matematisk julekalender for 8. - 10. trinn, 2010 Årets julekalender for 8.-10. trinn består av 9 enkeltstående. Oppgavene kan løses uavhengig av hverandre, og alle svar tilsvarer en bokstav. Bokstavene

Detaljer

Matematisk induksjon

Matematisk induksjon Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 9 oppgaver med i alt 20 deloppgaver. Ved sensur vil alle deloppgaver telle omtrent like mye. Løsningsforslag Emnekode: ITF75 Dato: 5 desember Emne: Matematikk for IT Eksamenstid: kl 9 til kl Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt innhold på begge sider Kalkulator er ikke tillatt Faglærer: Christian

Detaljer

Lineære likningssystemer og matriser

Lineære likningssystemer og matriser Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger

Detaljer

Dersom spillerne ønsker å notere underveis: penn og papir til hver spiller.

Dersom spillerne ønsker å notere underveis: penn og papir til hver spiller. "FBI-spillet" ------------- Et spill for 4 spillere av Henrik Berg Spillmateriale: --------------- 1 vanlig kortstokk - bestående av kort med verdi 1 (ess) til 13 (konge) i fire farger. Kortenes farger

Detaljer

Kortryllekunst og matematikk.

Kortryllekunst og matematikk. Kortryllekunst og matematikk. Innlevert av 7. trinn, Ulsmåg skole ved Ulsmåg skole (Bergen, Hordaland) Årets nysgjerrigper 201 Kjære leser Nå skal du få lese en rapport om et korttriks og mattematikk.

Detaljer

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.

a) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det. Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave

Detaljer

Familiematematikk MATTEPAKKE. 7. Trinn

Familiematematikk MATTEPAKKE. 7. Trinn Familiematematikk MATTEPAKKE 7. Trinn Tangoes: Tangram er basert på et gammelt kinesiske puslespillet med former som kan settes sammen til et bilde eller et mønster. Tangram ble oppfunnet for mange århundrer

Detaljer

Telle med 120 fra 120

Telle med 120 fra 120 Telle med 120 fra 120 Mål Generelt: Søke etter mønstre og sammenhenger. Gi grunner for at mønstrene oppstår. Lage nye mønstre ved å utnytte mønstre en allerede har funnet. Utfordre elevene på å resonnere

Detaljer

Tall Vi på vindusrekka

Tall Vi på vindusrekka Tall Vi på vindusrekka Tall og siffer... 2 Dekadiske enheter... 3 Store tall... 4 Avrunding... 5 Tverrsum... 8 Partall og oddetall... 9 Primtall... 10 Sammensatte tall... 11 Faktorisering... 13 Negative

Detaljer

Gøy med pizza-stykker

Gøy med pizza-stykker Gøy med pizza-stykker Første gang elevene får materialet i hånden bør de få tid til selv å undersøke det, slik at de blir fortrolige med de forskjellige delene. Det kan også være en god idé å la elevene

Detaljer

2.3 Delelighetsregler

2.3 Delelighetsregler 2.3 Delelighetsregler Begrepene multiplikasjon og divisjon og regneferdigheter med disse operasjonene utgjør sentralt lærestoff på barnetrinnet. Det er mange tabellfakta å huske og operasjonene skal kunne

Detaljer

Det du skal gjøre i denne oppgava er først å sette opp bakgrunnen til spillet og så rett og slett å få firkanter til å falle over skjermen.

Det du skal gjøre i denne oppgava er først å sette opp bakgrunnen til spillet og så rett og slett å få firkanter til å falle over skjermen. Tetris Introduksjon Processing Introduksjon Lag starten på ditt eget tetris spill! Det du skal gjøre i denne oppgava er først å sette opp bakgrunnen til spillet og så rett og slett å få firkanter til å

Detaljer

Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen

Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen Faktorisering og multiplisering med konjugatsetningen De følgende oppgavene er øvinger i faktorisering og multiplisering ved hjelp av konjugatsetningen /3. kvadratsetning. Gjennom oppgavene gir vi elevene

Detaljer

Når tallene varierer.

Når tallene varierer. Når tallene varierer. Innføring i algebra med støtte i konkreter Astrid Bondø Ny GIV, februar/mars 2013 Når tallene varierer Det første variable skritt! Treff 10 Hesteveddeløp Rød og sort (Et Ess i Ermet,

Detaljer

Diofantiske likninger Peer Andersen

Diofantiske likninger Peer Andersen Diofantiske likninger av Peer Andersen Peer Andersen 2013 Innhold Når en diofantisk likning har løsning... 3 Generell løsning av den diofantiske likningen... 4 Løsningsmetode når vi kjenner en spesiell

Detaljer

Familiematematikk MATTEPAKKE. 1. Trinn. May Renate Settemsdal og Ingvill Merete Stedøy

Familiematematikk MATTEPAKKE. 1. Trinn. May Renate Settemsdal og Ingvill Merete Stedøy Familiematematikk MATTEPAKKE 1. Trinn May Renate Settemsdal og Ingvill Merete Stedøy Aktiviteter Hvor mange? Sorter og tell alle tingene som er i kofferten. Hva er det flest av? Hva er det færrest av?

Detaljer

Regler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: Videregående. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! (x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Algebra Videregående 8 _ (x²) 1 2 Algebra 4 (2 2³) 1 4 _ xy (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy (x²) 1 2 _ (2 2³) 1 4 _ xy 4 Algebra Algebra _ 8 Det anbefales at

Detaljer

Matematikk for IT, høsten 2016

Matematikk for IT, høsten 2016 Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :

Detaljer

Regelhefte for: getsmart Kids: Opp til 10

Regelhefte for: getsmart Kids: Opp til 10 Regelhefte for: getsmart Kids: Opp til 10 Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk hjemmesiden for flere powerpoint-presentasjoner.

Detaljer

Brøkregning og likninger med teskje

Brøkregning og likninger med teskje Brøkregning og likninger med teskje Dette heftet gir en uformell trinn for trinn gjennomgng v grunnleggende regler for brøkregning og likninger. Dette er sto som vi i FYS 000 egentlig forventer t dere

Detaljer

Kapittel 1 Tall og tallregning Mer øving Oppgave 1 Hva er verdien av hvert av sifrene i tallene? a 123,45 b 305,29 c 20,406 d 0,235

Kapittel 1 Tall og tallregning Mer øving Oppgave 1 Hva er verdien av hvert av sifrene i tallene? a 123,45 b 305,29 c 20,406 d 0,235 Kapittel 1 Tall og tallregning Mer øving Oppgave 1 Hva er verdien av hvert av sifrene i tallene? a 123,45 b 305,29 c 20,406 d 0,235 Oppgave 2 Skriv tallene med sifre a To hundrere, en tier, fem enere og

Detaljer

Regler for: getsmart Gul og Blå. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: getsmart Gul og Blå. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Regler for: getsmart Gul og Blå 6 Diagram Brøk Diagram 6 Brøk Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk hjemmesiden for flere powerpoint-presentasjoner.

Detaljer

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3

Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgave 1 Vi har et lykkehjul med 8 like sektorer som er nummerert fra 1 til 8. Du har valgt sektor nummer 3. a) Tenk deg at du snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sjansen

Detaljer

http://www.nelostuote.fi/norja/discoveryregler.html

http://www.nelostuote.fi/norja/discoveryregler.html Sivu 1/6 Innhold 2 kart (spillebrett), 2 gjennomsiktige plastark (som legges oppå spillebrettene), Sjekkometer, 28 sjekkometerkort, 18 utstyrskort, 210 terrengbrikker, 2 tusjpenner. Hvem vinner? I Discovery

Detaljer

Oppgaver til julekalenderen 2005 for mellomtrinnet; 5. - 7.trinn

Oppgaver til julekalenderen 2005 for mellomtrinnet; 5. - 7.trinn Oppgaver til julekalenderen 2005 for mellomtrinnet; 5. - 7.trinn Løsningsord for kalenderen er RAKETTBASE PRESIS KLOKKA TO A B C D E F G H I J K L M N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 P Q R S T U

Detaljer

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b.

TALLÆRE UKE 34. Rest. Hvis vi deler a med b og det ikke går opp har vi rest som er mindre enn b. TALLÆRE UKE 34. Faktor. Hva er en faktor i et heltall? Vi fant ut at hvis et heltall b er med i et regnestykke med kun multiplikasjon som gir heltallet a som svar da er b faktor i a. Eksempel: 3 8=24 og

Detaljer

Regler for: getsmart Kids. - Regning med sedler og mynt!

Regler for: getsmart Kids. - Regning med sedler og mynt! Regler for: getsmart Kids - Regning med sedler og mynt! Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk hjemmesiden for flere powerpoint-presentasjoner.

Detaljer

R Oppgave I - Vektorregning. Løsningsskisser

R Oppgave I - Vektorregning. Løsningsskisser R1-09.01.1 Oppgave I - Vektorregning a) Vektorene a og b er gitt ved at: a 3, b, a, b 45 Vi lager to nye vektorer u a b og v a b. i) Finn u v u v a b a b a a b a a b b b ii) Finn u og v a a 3a b b b 3

Detaljer

Konkurranse 1. Tommy Odland 22. desember 2015 ENT3R UiB

Konkurranse 1. Tommy Odland 22. desember 2015 ENT3R UiB Konkurranse 1 Tommy Odland 22. desember 2015 ENT3R UiB Oppgave 1 (1 poeng per deloppgave) (1) Dersom h = 2 og b = 2, hva er arealet av det grå området i figuren under? (2) Klarer du å utlede en generell

Detaljer

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent

2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel

Detaljer

I Spillet Mathable er et spill basert på matematiske likninger som må være dannet på spillbrettet. For å gjøre dette, må spillerne gjøre bruk av et spillebrett med normale ruter(hvite), ruter med en begrensning

Detaljer

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1.

Legg merke til at summen av sannsynlighetene for den gunstige hendelsen og sannsynligheten for en ikke gunstig hendelse, er lik 1. Sannsynlighet Barn spiller spill, vedder og omgir seg med sannsynligheter på andre måter helt fra de er ganske små. Vi spiller Lotto og andre spill, og håper vi har flaks og vinner. Men hvor stor er sannsynligheten

Detaljer

Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor.

Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor. Tall og figurer Eksamensoppgaver Våren 016 OPPGAVE 4 (MED HJELPEMIDLER) Figur 1 Figur Figur 3 Tenk deg at du skal lage figurer av blå og hvite ruter som vist ovenfor. a) Skriv av tabellen nedenfor, og

Detaljer

I tillegg trengs 2 terninger.

I tillegg trengs 2 terninger. SORIA MORIA 1 Informasjonsdokument Element - og andre spill - Spilleregler for kortspillene Element, Guldag, Slagmark, Svinepels/Niding & Kul Spillene består av en kortstokk med 72 kort. På kortene finner

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

Familiematematikk MATTEPAKKE 4. Trinn

Familiematematikk MATTEPAKKE 4. Trinn Familiematematikk MATTEPAKKE 4. Trinn May Renate Settemsdal og Ingvill Merete Stedøy Aktiviteter Penta-blokker Bygg noe fint med penta-blokkene. Se om du klarer å bygge noen av de store klossene ved å

Detaljer

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK

ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK ARBEIDSHEFTE I MATEMATIKK Temahefte nr Hvordan du regner med brøk Detaljerte forklaringer Av Matthias Lorentzen mattegrisenforlag.com Opplysning: Et helt tall er delelig på et annet helt tall hvis svaret

Detaljer

Permutasjoner og utvalg

Permutasjoner og utvalg Permutasjoner og utvalg En permutasjon av en samling objekter er en eller annen rekkefølge objektene i samlingen kan settes opp i. Eksempel 1 Gitt bokstavene a, b, c og d. Da er følgende oppstillingen

Detaljer

Funksjoner, M1 høst 2007 Fasit til skriftlige oppgavene

Funksjoner, M1 høst 2007 Fasit til skriftlige oppgavene Funksjoner, M1 høst 2007 Fasit til skriftlige oppgavene Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold M1 høst 2007 5. oktober 2007 Legger du merke til noen feil, vennligst send beskjed til george.h.hitching@hive.no.

Detaljer

Løsningskisse seminaroppgaver uke 15

Løsningskisse seminaroppgaver uke 15 HG April 0 Løsningskisse seminaroppgaver uke 5 Oppg. 5.6 La X = antall barn i utvalget som har lærevansker. Andel barn med lærevansker i populasjonen av barn antas å være p = 0,5. Utvalgsstørrelsen er

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 16: Rekursjon og induksjon Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 17. mars 009 (Sist oppdatert: 009-03-17 11:4) Forelesning 16 MAT1030 Diskret

Detaljer

Hva er det største tallet du kan lage med disse sifrene?

Hva er det største tallet du kan lage med disse sifrene? Hva er det største tallet du kan lage med disse sifrene? Hvor mange tall tror du det er mellom 0 og? Tall og tallforståelse MÅL I dette kapitlet skal du lære om ulike typer tall plassverdisystemet og tall

Detaljer

MAT1030 Diskret Matematikk

MAT1030 Diskret Matematikk MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk

Detaljer

Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn.

Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn. Plenumsregning 5 Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen - 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse og den kontrapositive av følgende utsagn. Husk at hvis p q er påstanden,

Detaljer

Forskjellige typer utvalg

Forskjellige typer utvalg Forskjellige typer utvalg Det skal deles ut tre pakker til en gruppe på seks. Pakkene inneholder en TV, en PC og en mobiltelefon. På hvor mange måter kan pakkene deles ut? Utdelingen skal være tilfeldig

Detaljer

Sannsynlighet for alle.

Sannsynlighet for alle. Sannsynlighet for alle. Signe Holm Knudtzon Høgskolen i Buskerud og Vestfold Novemberkonferansen 2015 Novemberkonferansen 2015 Signe Holm Knudtzon. HBV. Sannsynlighet for alle 1 Sannsynlighet for alle.

Detaljer

Regler for: Ungdomstrinnet. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: Ungdomstrinnet. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! (x²) 1 2 Regler for: getsmart Grå Ungdomstrinnet 8 _ (x²) 1 2 4 (x²) 1 2 _ (x²) 1 2 _ 4 _ 8 Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk

Detaljer

3. kurskveld. Gjennomgang av hjemmeleksa. Hvilke tall tenker jeg på?

3. kurskveld. Gjennomgang av hjemmeleksa. Hvilke tall tenker jeg på? 3. kurskveld Gjennomgang av hjemmeleksa Hvilke tall tenker jeg på? Læreren tenker på to etterfølgende tall mellom 1 og 10. To elever får en lapp med hvert sitt av de to tallene. Elev A: Jeg vet ikke hvilket

Detaljer

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk

STK1100 våren 2017 Kombinatorikk STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige

Detaljer

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015

Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Løsningsforslag til eksamenen i MAT103, våren 2015 Oppgave 1 (vekt 10%) a) Et tall a er et partall hvis a er delelig med 2, dvs a 0(mod 2). Et tall a er et oddetall hvis a ikke delelig med 2, dvs a 1(mod

Detaljer

Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8

Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8 1 HG Februar 2013 Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8 Oppgave 3.17 Definer to begivenheter Oppgitt A = løgntesten sier at Per lyver B = Per lyver faktisk PAB ( ) = 0.85 PA ( B) = 0.70 PB ( ) =

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Algebra trinn. Nord-Gudbrandsdalen Januar 2015

Algebra trinn. Nord-Gudbrandsdalen Januar 2015 Algebra 8.-10. trinn Nord-Gudbrandsdalen Januar 2015 Hva er algebra? Diskuter i grupper. Finn en enkel forklaring. Algebra i skolen Når bør vi starte algebraundervisningen? Bli enige om et synspunkt. Argumenter

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

TERNINGER. - variasjon i matematikkundervisningen. Astrid Bondø NSMO. 18-Aug-13

TERNINGER. - variasjon i matematikkundervisningen. Astrid Bondø NSMO. 18-Aug-13 TERNINGER - variasjon i matematikkundervisningen Astrid Bondø NSMO 18-Aug-13 Siffer blir tall Lamis skriftserie: Et ess i ermet Bruk en vanlig 6-er terning eller en 0-9 terning. Kast terningene. Du får

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

MAT1030 Diskret matematikk

MAT1030 Diskret matematikk MAT1030 Diskret matematikk Plenumsregning 5: Ukeoppgaver fra kapittel 4 Roger Antonsen Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 14. februar 2008 Oppgave 4.4 Skriv ned setninger som svarer til den konverse

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet

Detaljer

Regler for: getsmart Måling. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: getsmart Måling. Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Regler for: getsmart Måling Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk hjemmesiden for flere PowerPoint presentasjoner. Det vil bli lagt

Detaljer

Regler for: - Regning med tall! Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene!

Regler for: - Regning med tall! Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Regler for: getsmart Kids - Regning med tall! Det anbefales at man først ser på powerpoint-reglene når man skal lære seg ulike spill med kortstokkene! Sjekk hjemmesiden for flere powerpoint-presentasjoner.

Detaljer

Plan for fagdag 1. Plan: Viktig å få gjort arbeidsoppgavene! Differanse- og summefølger. Bruk av kurvetilpasning. Fagdag R

Plan for fagdag 1. Plan: Viktig å få gjort arbeidsoppgavene! Differanse- og summefølger. Bruk av kurvetilpasning. Fagdag R Plan for fagdag 1 R2-04.09.2014 Plan: Teori: Litt om de vanlige teknikkene for å finne ut av følger og rekker: - Differanse- og summefølger. - Bruk av kurvetilpasning. (Regresjon.) - Figur-tall. - Sammenhengen:

Detaljer

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P

Oppgaver. Innhold. Sannsynlighet Vg1P Oppgaver Innhold Modul 1. Hva er sannsynlighet?... 2 Modul 2. Addisjon av sannsynligheter. Gunstige og mulige utfall... 6 Modul 3. Beregne sannsynligheter ved å bruke tabeller... 10 Modul 4. Beregne sannsynligheter

Detaljer

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk?

Hvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk? Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole

Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket.

STK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. ST1100 våren 2017 ombinatorikk Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. Vi antar at de N utfallene er like sannsynlige. Svarer til avsnitt

Detaljer

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik

Løsningsforslag 1T Eksamen. Høst 26.11.2012. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Løsningsforslag 1T Eksamen 6 Høst 26.11.2012 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere

Detaljer

Familiematematikk MATTEPAKKE 2. Trinn

Familiematematikk MATTEPAKKE 2. Trinn Familiematematikk MATTEPAKKE 2. Trinn May Renate Settemsdal og Ingvill Merete Stedøy Sauen Erik Du trenger 50 tellebrikker som skal være sauene foran Erik i køen. Oppgave: Sauen Erik skulle få klippet

Detaljer

Multiplikasjon 1. Introduksjonsoppgave:

Multiplikasjon 1. Introduksjonsoppgave: Multiplikasjon 1 Multiplikasjon er en av de fire regneartene som i mange tilfeller er en effektiv måte å skrive og regne ut gjentatt addisjon på. Svaret i et multiplikasjonsstykke kalles produkt, og tallene

Detaljer

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup

Brukerveiledning for webapplikasjonen. Mathemateria 01.02.2015. Terje Kolderup Brukerveiledning for webapplikasjonen Mathemateria 01.02.2015 Terje Kolderup Innhold Brukerveiledning for webapplikasjonen...1 Mathemateria...1 Introduksjon...3 Typisk eksempel og bryterstyring...3 Innlogging...4

Detaljer

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag

Notater fra forelesning i MAT1100 mandag Notater fra forelesning i MAT00 mandag 3.08.09 Amandip Sangha, amandips@math.uio.no 8. august 009 Følger og konvergens (seksjon 4.3 i Kalkulus) Definisjon.. En følge er en uendelig sekvens av tall {a,a,a

Detaljer