R Oppgave I - Vektorregning. Løsningsskisser

Transkript

1 R Oppgave I - Vektorregning a) Vektorene a og b er gitt ved at: a 3, b, a, b 45 Vi lager to nye vektorer u a b og v a b. i) Finn u v u v a b a b a a b a a b b b ii) Finn u og v a a 3a b b b cos u u u a b a b a a a b b b v v v a b a b a a 4a b 4b b iii) Finn vinkelen mellom u og v. uv cos u v b) I et koordinatsystem har vi punktene: A4,4, B4, og D, i) Bestem AB, AD ogbad. AB 8,, AD, 6 ABAD cosbad AB AD BAD ,, ii) Finn arealet av trekanten ABD. Areal: ABADsinBAD sin Ulven av 6 r1_09011_ls.tex

2 Eller: Areal: 1 AB AD AB AD iii) Et punkt C er gitt ved at DC er parallell med AB ogabc 90. Finn koordinatene til punktet C. BC BDDC BDtAB 6, 4 t8, 8t 6, 4 t AB BC 0 8, 8t 6, 4 t 0 64t t 0 68t 40 t BC , 4, OC OB BC 4,, 88 46, C 46, , iv) Et annet punkt E har koordinaene t, t 1. Finn t slik at E ligger på en linje gjennom C og D. DE AB DE kab t, t 3 k8, t 8k t 3 k t 8 t3 k t3 t 8t 1 k t3 14 7t k t3 t k 1 v) Hvilke verdier har t når AEB 90? EB EA 0 4 t,1 t 4 t,3 t t 4t t 3 6t t 4t 0 t 13 5 t 1 vi) Finn koordinatene til E når AE BE. 4 t 1 t 4 t 3 t 5t 4t 17 5t 0t 5 4t 8 t 1 3 (Irrasjonell ligning, så bør sjekke om dette er en virkelig løsning!) E 1 3, , 5 3 Oppgave - Algebra a) Løs ligningene og ulikhetene: i) x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x 3x 0 xx 3 0 x 0 x 3 Sjekk: x 0 : VS 0 1 1, HS 0 Falsk løsning! x 3 : VS , HS 3 Løsning! Ulven av 6 r1_09011_ls.tex

3 ): x 3 ii) lgx lgx 3 lg Betingelse: x 3 lgxx 3 lg x 3 6 x 3 egentlig litt større enn 3.) xx (forkastes) (forkastes med tre siffer, men er iii) lg x1 lg x1 1 Betingelse: x 0 lg x1 lg x1 0 0 lg x1 lg x1 lg x1 Tall-linjer: : lgx 1 : o o L 0, 1 10 iv) 5 x 7 5 x x 75 x 10 0 u 7u 10 0 u u 5 5 x 5 x 5 x lg x 1 lg 5 b) Gitt polynomet Px x 4 8x 15. i) Vis at x 3 er en faktor i Px ved hjelp av polynomdivisjon. x 4 8x 15 : x 3 x 5 ii) Faktoriser Px i fire lineære faktorer. x 3 x 3x 3 x 5 x 5x 5 ): Px x 3x 3x 5x 5 iii) Kontroller ved å løse ligningen x 4 8x 15 0 ved hjelp av substitusjonen u x. u 8u 15 0 u 5 u 3 x 5 x 3 x 5 x 5 x 3 x 3 Oppgave 3 - Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Hvis en elev får karakteren 4 eller bedre i et fag, sier vi at eleven har fått en god karakter i faget. På en videregående skole får 40% av elevene god karakter i matematikk og 50% god karakter i norsk. Hvis en tilfeldig valgt elev har fått god karakter i matematikk, er sannsynligheten 0.6 for at Ulven av 6 r1_09011_ls.tex

4 eleven har fått god karakter i norsk. a) En tilfeldig valgt elev har fått god karakter i norsk, hva er sannsynligheten for at eleven også har fått god karakter i matematikk? Baye: PM N PN MPM PN b) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev har fått god karakter i begge fagene? PM N PMPN M c) Hvor mange tresifrede tall kan vi lage med sifrene 0,, 4 og 6? Hvis vi ser bort fra tall av typen 0xy, 00x og 000, kan vi tenke at vi trekker r 3 lapper blandt n 4 lapper, med påskrift 0,,4 og 6, ordnet, med tilbakelegging: n r Vi trekker fra de andre mulighetene: 0xy : x : : 1 Antall tresifrede tall blir derfor: d) Hvor mange positive heltall mindre enn 1000 har bare oddetall i sifrene? Trekker r lapper blandt n 5 lapper, merket 1,3,5,7,9, ordnet med tilbakelegging: Tresifrede: r 3 : n r Tosifrede: r : n r 5 5 Ensiffrede: r 1 : n r Totalt: e) Hvor mange positive heltall mindre enn 1000 har minst ett partall i sifrene? Totalt antall positive heltall mindre enn 1000: 999 (1..999) - Antall uten noen partall, det vil si bare oddetall: 155 Antall med minst ett partall: 844 f) Hvor mange positive heltall mindre enn 1000 har bare forskjellige sifre? Versjon 1: Hvis vi ser bort fra tall av typen 0xy, 00x og 000, kan vi tenke at vi trekker r 3 fra n 10 lapper, merket med siffrene 0,1,,3,4,5,6,7,8,9, ordnet, uten tilbakelegging: n r Da mangler vi noen muligheter der 0 gjentar seg: 0x0 som skulle vært med: 9 muligheter 00x som skulle vært med: 9 muligheter Antall tresifrede tall blir derfor: Slike oppgaver er ofte vanskelige å få oversikt over og det er lett å Ulven av 6 r1_09011_ls.tex

5 gjøre feil, så jeg gjør det på flere måter for å være sikker: Versjon : Antall tresifrede som er forskjellige: Når vi tar med 0: xy (som er tosifret) Antall tosifrede (med 0x): Uten 0x (som er ensifret) 9 Ensifrede 00x Totalt: Versjon 3: Starter med alle: og trekker fra tall hvor noe er likt: - Tre like xxx : 000, 111,..., 999 : 10 - To like: axx : Tenk: Trekk to, a og xx : a: Hva som helst xx : Forskjellig fra a xax : x: Ikke 0, 0a0 er ok! a: Ikke x xxa : x: Ikke 00, det er ok! a: Ikke x Totalt: Versjon 4: Tungvindt, men kanskje den sikreste: Starte og jobbe seg oppover: 000 # # 01 Ulven av 6 r1_09011_ls.tex

6 Ikke 011,0,033,...,099: # 101 # Her må vi starte med 900 og trekke fra: a00 :(0a0,00a ok!) 9 aaa :(000 allerede tatt) 9 xxa :(00a ok!) xax :(0a0 ok!) axx : a ikke 0, ok x ikke 0, ikke a Totalt: Nå begynner jeg å bli rimelig overbevist om at jeg har fått til denne oppgaven :-) Ulven av 6 r1_09011_ls.tex