2 Likninger. 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent

Transkript

1 MATEMATIKK: 2 Likninger 2 Likninger 2.1 Førstegradslikninger med én ukjent Ulike problemer kan løses på ulike måter. I den gamle folkeskolen brukte man delingsregning ved løsning av enkelte oppgaver. Eksempel på et problem der dette var aktuelt, var blanding av saft og vann. Blander vi 1 dl saft med 4 dl vann, får vi selvsagt 5 dl saftblanding. Vi sier at blandingsforholdet er 1 : 4 (leses: en til fire). Hvis vi skal lage 2 liter (20 dl) saftblanding, hvor mange dl av henholdsvis saft og vann må vi bruke? For å løse problemet brukte man deler. Én del saft og fire deler vann gir totalt fem deler. Man tok 20 dl og delte på fem for å finne hvor mange dl én del var. I dette tilfellet er det 20 dl : 5 ¼ 4 dl. Det betyr at mengden ren saft er 4 dl, og at mengden vann er 4 dl 4 ¼ 16 dl. Dette problemet kan løses på en annen måte, en metode som er langt gunstigere å bruke i mange sammenhenger: likninger. Vi innfører en ukjent størrelse vi kan kalle for, og setter opp regnestykket med denne størrelsen som om vi kjente den. Antall dl ren saft: Antall dl vann: 4 (4 ganger mer vann enn saft) Mengden av saftblandingen kan vi skrive på to måter: þ 4 og 20. Disse to uttrykkene må være like, og da får vi þ 4 ¼ 20 5 ¼ 20 ðvi deler med 5 på begge sider.þ ¼ 4 Mengden ren saft er 4 dl, og mengden vann er 4 dl 4 ¼ 16 dl. Førsteinntrykket her er at «gammelmetoden» virker mye enklere, at det 25

2 var en mer praktisk måte å regne på. Vi skal aldri slutte å tenke praktisk, men som vi senere skal se, vil bruk av likninger være å foretrekke. En likning (en likhet) består av to sider som vi setter et likhetstegn mellom. Likninger kan illustreres med vektstangprinsippet: Endrer vi den ene siden, må vi endre den andre siden tilsvarende for å få likevekt. Eksempel 1 Et bankinnskudd med kr 1000 i renter utgjorde kr Hvor stort var innskuddet? Noen lurer på hva likninger har med dette eksemplet å gjøre. Det er jo bare å ta kr og trekke ifra kr 1000, så får vi svaret. Korrekt, men skal vi lære å løse likninger, må vi begynne fra grunnen av. Løsning ved bruk av likning Sett innskuddet lik. Innskuddet med renter kan skrives på to måter, og vi kan sette opp likningen aþ þ 1000 ¼ Ved løsning av likningen gjør vi slik: På venstre side av «vekta» tar vi vekk For at «vekta» fortsatt skal være i likevekt, må vi ta vekk 1000 på høyre side også. «Vekta» er her likningen. Dette gir bþ cþ þ ¼ ¼ ¼ Innskuddet er på kr Kommentar Hvis vi sammenlikner a) med c), ser vi at 1000 har skiftet side, men har fått motsatt fortegn. Rent teknisk flytter vi et tall (ledd) over likhetstegnet og skifter fortegn. Forklaringen i eksemplet ovenfor finner du i b). Eksempel 2 Knut og Eva er til sammen 62 år. Eva er 8 år eldre enn Knut. Hvor gamle er de? Alderen til Eva er oppgitt i forhold til Knuts alder. Da kan det være lurt å sette opp følgende: 26

3 MATEMATIKK: 2 Likninger Knut Eva Sum þ 8 62 Vi har to uttrykk for sum alder, og vi kan sette opp følgende: (a) þð þ 8Þ ¼62 (b) þ þ 8 ¼ 62 (c) 2 ¼ 62 8 (d) 2 ¼ 54 j Vi deler med 2: ¼ 27 Knut er 27 år, og Eva er 5 år ð27 þ 8Þ. Kommentar Venstre side i (a) uttrykker summen av alderen til de to, og høyre side viser hva den faktisk er. I (c) er þ blitt til 2. Endringen fra (b) til (c) går utpåat 8 har byttet side og fått motsatt fortegn. (Vi trekker fra 8påbegge sider i (c).) VIKTIG! 1) Vi kan multiplisere, dividere, addere og subtrahere på begge sider i en likning med det samme tallet. 2) Vi kan flytte et tall (ledd) over på den andre siden av likhetstegnet i en likning, men da må fortegnet skiftes. ) Vi skal alltid finne eller 1. (,5 ¼ 10,5 er ikke et svar på en likning.) Eksempler på løsninger av likninger: ð1þ 2 þ 5 ¼ þ 2 Vi samler antall ledd med på den ene siden og tallene på den andre siden av likhetstegnet. Det spiller ingen rolle hvilken side vi samler - ene på. 2 ¼ 2 5 ¼ ¼ j : 1 ðvi deler med ( 1) på begge sider.þ I dette eksemplet hadde det kanskje vært lettest å samle -ene på høyre side og tallene på venstre side: 5 2 ¼ 2 ¼ 27

4 ð2þ ð 2Þþ5 ¼ 5 2ð þ 4Þ Først multipliserer vi ut parentesene, og så løser vi dem opp: ð 6Þþ5 ¼ 5 ð2 þ 8Þ 6 þ 5 ¼ þ 2 ¼ 5 8 þ ¼ 2 ¼ 2 5 ð 0,4Þ ðþ 2 ð Þþ1 ð þ 2Þ ¼5 ð 1Þ 6 Problemet her er todelt fordi vi skal beherske både brøkregning og løsning av likninger. Det finnes ulike strategier for å løse slike likninger. Det lønner seg å bestemme seg for en måte å løse problemet på, og holde fast ved den. Alternativ þ 1 1 þ 2 1 ¼ Vi multipliserer inn i parentesene: 2 9 þ 2 þ 2 ¼ Vi løser opp parentesene: þ þ 2 ¼ ðvi multipliserer med 6.Þ Fellesnevneren for brøkene er 6. Ifølge «vektstangprinsippet» kan vi øke begge sider av likhetstegnet med like mye og samtidig ha likevekt. Her er det naturlig å multiplisere med 6 på begge sider. Det gjør vived å multiplisere tellerne med þ 6 þ 12 ¼ Dette gir etter forkorting: 18 2 ¼ 9; 54 2 ¼ 27; þ 2 þ 4 ¼ 5 þ 5 6 ¼ 18 ¼ ¼ 2; osv: : 6 28

5 MATEMATIKK: 2 Likninger Alternativ 2 2 ð Þþ1 ð þ 2Þ ¼5 ð 1Þ j6 6 9ð Þþ2ð þ 2Þ ¼5ð 1Þ 9 27 þ 2 þ 4 ¼ ¼ 18 j : 6 ¼ Her er det viktig å være oppmerksom på at vi multipliserer brøkene (tallene) foran parentesene med fellesnevneren og ikke brøkene (tallene) inni dem. Vi må se på 2 ð Þ som ett ledd. Hvis vi multipliserer både utenfor og inni parentesen, har vi egentlig multiplisert hele leddet med 6 6 ¼ 6. Likning () hadde vært lettere å behandle hvis vi hadde skrevet den litt om, f.eks. slik: ð Þ 1ð þ 2Þ 5ð 6Þ þ ¼ ð Þ 6ð þ 2Þ 0ð 6Þ þ ¼ 2 6 9ð Þþ2ð þ 2Þ ¼5ð 6Þ osv: Vi har multiplisert tellerne med 6 og forkortet brøkene. 1 2 þ ð4þ ¼ 2 5 Alternativ þ ¼ 11 6 þ þ 2 15 ¼ þ þ ¼ 0 5 þ þ 4 ¼ 110 j0 9 ¼ 45 j : 9 ¼ 5 29

6 Alternativ þ 5 15 þ ¼ ¼ Vi multipliserer med 0: ð5 þ 75Þ ð10 4Þ ¼110 5 þ þ 4 ¼ ¼ 45 j : 9 ¼ 5 Kommentarer til de to alternativene Alternativ 1 er den tryggeste metoden. Her multipliserer vi brøkene inn i parentesen og beholder parentesene. Minustegnet foran den andre parentesen venter vi med å bruke til vi løser opp parentesen. (Husk fortegnsskifte.) 2 er et blandet tall som vi med en gang gjør om til 11 þ 2 Alternativ 2 krever kanskje mer trening i likninger og brøkregning, for her er det ikke så lett å se hva som er fellesnevneren. OBS! Husk at det bare er brøkene (tallene) foran parentesene som skal multipliseres! Vi kan kontrollere svaret ved å sette prøve på likningen. Det sikreste er å regne hver side for seg selv. Vi setter inn det svaret vi fikk, i stedet for på begge sider av den opprinnelige likningen. 0

7 MATEMATIKK: 2 Likninger Prøve på likning () Venstre side (VS) 2 ð Þþ1 ð þ 2Þ ¼ 2 0 þ 1 5 ¼ 0 þ 5 ¼ 5 Høyre side (HS) 5 6 ð 1Þ ¼5 6 2 ¼ 10 6 ¼ 5 Konklusjon VS ¼ HS, dvs. at ¼ er riktig løsning. OBS! Vi setter alltid inn -verdien i den opprinnelige likningen når vi setter prøve på den. ð5þ Omkretsen av et rektangel er 4 cm. Den lengste siden er cm lengre enn den korteste siden. Finn sidene. Løsningsforslag Her er det naturlig å tegne et rektangel: + Vi setter den korte siden lik. Da er den lengste siden lik ð þ Þ. ( þ betyr at den lengste siden er cm lengre enn den korteste siden. ville ha betydd at den lengste siden var ganger lengre enn den korteste.) Omkretsen av rektanglet kan uttrykkes på to måter, og vi kan sette opp likningen: 1

8 2ð þ Þþ2 ¼ 4 2 þ 6 þ 2 ¼ 4 4 ¼ ¼ 28 j : 4 ¼ 7 Den korteste siden er 7 cm, og den lengste siden er ð7 þ Þ cm ¼ 10 cm. ð6þ Summen av fire tall som følger etter hverandre, er 66. Finn tallene ved bruk av likning. Løsningsforslag 1. tall 2. tall. tall 4. tall þ 1 þ 2 þ Vi kan skrive summen av tallene på to måter og får likningen þð þ 1Þþð þ 2Þþð þ Þ ¼66 þ þ 1 þ þ 2 þ þ ¼ 66 4 ¼ ¼ 60 j : 4 ¼ 15 De fire tallene er 15, 15 þ 1, 15 þ 2, 15 þ, dvs. 15, 16, 17 og Proporsjoner (et vanskelig ord, men enkelt å bruke) I mange problemstillinger vil vi kunne bruke proporsjoner. «Pro» betyr «per» eller «for», og porsjoner betyr «deler». Vi bruker denne typen regning i bakeoppskrifter, ved valutakursregning, i prosentregning osv. Proporsjonsregning er forholdsregning (forhold = brøk). Eksempel I en skoleklasse er forholdet mellom antall gutter og antall jenter 4 : (leses: 4 til ). Det er 16 gutter i klassen. Hvor mange elever er det i klassen? 2

9 MATEMATIKK: 2 Likninger Løsningsforslag Vi må finne ut hvor mange jenter det er i klassen. Vi setter antall jenter lik : ð1þ 4 4 ¼ 16 ¼ 16 Vi multipliserer med : Vi forkorter på begge sider: ð2þ 4 ¼ 16 Vi deler på 4: ¼ 12 Det er 12 jenter i klassen. Antall elever i klassen er 16 þ 12 ¼ 28. Kommentar Et forhold på 4 : kan også skrives som 4. I eksemplet ovenfor betyr det at det er 4 gutter per jenter, eller 1, gutter per jente ( 4 ¼ 1,). På venstre side i (1) har vi satt opp det gitte forholdet, og på høyre side står antall gutter delt på antall jenter. Vi vet at dette skal være det samme som 4 delt på. Likning (1) kalles en proporsjon. Proporsjonen kan løses som en vanlig likning (multiplisere med på begge sider). Likning (2) ovenfor viser derimot at vi kan bruke «kryssmultiplisering». Telleren på venstre side multipliseres med nevneren på høyre side. Dette settes lik nevneren på venstre side multiplisert med telleren på høyre side. Dette er en generell regel, som vi kan bevise og bruke videre. a b ¼ c jbd d eller abd b ¼ cbd d a d ¼ c b a d ¼ b c Vi kan bytte om på leddene og få samme svar: a c ¼ b d a d ¼ b c Vi forkorter på begge sider: jcd Brøken i de to proporsjonene som vi satte opp, kan snus på hodet. Vi vil likevel få samme svar. Vis dette!

10 Valutakursregning (fremmed mynt) Norge har en svært åpen økonomi, dvs. at landet har en relativt stor utenrikshandel. Dette innebærer at endringer i valutakurser får store konsekvenser for landets inntekter og utgifter. For den vanlige nordmann vil endringer i enkelte valutakurser vekke glede eller fortvilelse ved turistreiser til utlandet. Valuta er per definisjon utenlandske betalingsmidler. For oss nordmenn regnes ikke norske kroner som valuta, men alle andre land vil selvfølgelig definere dem som det. I Norge noteres vanligvis kursene per 100 enheter av valutaene, unntaket er dollar og pund, hvor kursen noteres per 1 enhet. De fleste dagsavisene oppgir valutakurser daglig (en midtkurs). For mer spesifikke kurser bør vi kontakte en bank eller søke på Internett. Bankene opererer med både salgskurser og kjøpskurser på sedler og sjekker osv. Av de mest brukte valutaene er kursene for tiden (cirka): 100 SEK (svenske kroner) ¼ 95,00 NOK (norske kroner) 100 DKK (danske kroner) ¼ 110,00 NOK 100 DEM (tyske mark) ¼ 410,00 NOK 1 GBP (britiske pund) ¼ 1,20 NOK 1 USD (amerikanske dollar) ¼ 8,0 NOK Når vi skal regne med valutakurser, er det naturlig å starte med en proporsjon: kurs 100 ¼ norsk beløp utenlandsk beløp 100 byttes ut med 1 ved dollar og pund: Legg merke til at det er norske kroner som står over brøkstreken på begge sider, og utenlandske enheter under brøkstreken! Eksempel 4 Et ektepar dro til Sverige for å handle tradisjonelle husholdningsvarer. De kjøpte varer for til sammen 2588,76 svenske kroner. Hva kostet varene i norske kroner når kursen på svenske kroner var kr 95,80 inklusive gebyr? 4

11 MATEMATIKK: 2 Likninger Løsningsforslag Innsatt i formelen: 95, ¼ 2588, ¼ 95, ,76 j : 100 ¼ Varene kostet kr 2480, ,76 95, ¼ 2480; 0 Hvis vi ikke har formelen til disposisjon eller ikke husker den, er det likevel ganske greit å regne med fremmed mynt (valuta). I vårt eksempel kunne vi ha tenkt slik: 100 SEK 95,80 NOK 2588,76 SEK NOK hvor tegnet kan oversettes med tilsvarer. Proporsjonen kan settes opp slik: ,76 ¼ 95, ¼ 95, ,76 j : 100 ¼ 2480,0 Vi bekrefter her at vi får samme svar ved å bytte om på rekkefølgen av tallene i en proporsjon. Det er altså opp til oss selv å velge framgangsmåte ved proporsjoner. Eksempel 5 Per skal på tur til England og Frankrike. Han har et budsjett på kr 6000 som han veksler til pund og franske franc. I banken finner han ut at kursen på engelske pund (GBP) er kr 1,25, og han bestemmer seg for å kjøpe GBP 250. For restbeløpet får han FRF Hva er kursen på franske franc (FRF)? Løsningsforslag (uten formel) 250 GBP til NOK: kr 1, ¼ kr 12,50 NOK til FRF: kr 6000 kr 12,50 ¼ kr 2687,50 5

12 Kursen på FRF: 100 FRF NOK 2200 FRF 2687,50 NOK Proporsjon: ¼ 2687; 50 ¼ 122,16 Kursen på franske franc er kr 122,16, dvs. at 100 FRF koster 122,16 NOK. Sagt på en annen måte: Man får kr 122,16 hvis man veksler inn 100 franske franc. 6