Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig

Transkript

1 Sensurveiledning Emnekode: 4MX230UM1 Emnenavn: Matematikk 2 (5-10) KfK, emne 1 Semester: Høst År: 2015 Eksamenstype: Individuell skriftlig Oppgave 1 I denne oppgaven får du oppgitt tre situasjoner som kan løses som likninger. For hver situasjon skal du benytte minst to løsningsmetoder for å finne det som er ukjent. Diskuter fordeler og ulemper med tanke på å bruke de ulike metodene i undervisning. Ved likningsløsing har vi mange metoder. I denne oppgaven er viktig å få vist flere av dem for så å diskutere didaktiske fordeler og ulemper. Alle oppgavene kan settes opp som uttrykk med en eller flere ukjente. For bruk av modeller bør det bl.a. argumenteres for/mot disse punktene er dette en modell også for eleven? knytter eleven lengde eller areal til kjente og ukjente størrelser hva med verdier som ikke kan illustreres i en modell (negative) i mange tilfeller ikke den mest effektive veien til svaret Argumenter for oppstilling og utregning med symboler kan være at det det fører raskt til svaret. Hvis elevene behersker algebra er det også en sikker metode. a. Farfar var 23 år da far ble født. I dag er han dobbelt så gammel som far. Sett opp ei likning og finn ut hvor gamle far og farfar er. Det er flere modeller som kan benyttes for å løse denne likninga. En lengdemodell kan med fordel benyttes for å vise at alderen til farfar må være 46 år.

2 Likningen kan også illustreres på ei tallinja. Oppstilt som likning, hvor alderen til far er satt som x, vil den se slik ut : x + 23 = 2x. b. På en aktivitetsdag ved skolen valgte 60 % av elevene fotball. En fem del valgte volleyball. De siste 12 elevene hadde fått fritak. Finn ut hvor mange elever det er ved skolen. En modell hvor bredden av et rektangel viser alle elevene delt i femdeler kan framstille problemet oversiktlig. Modellen viser at 60% = ⅗av elevene har valgt fotball. Det er framstilt med grønn farge. ⅕valgte volleyball. Da er det igjen ⅕som vi vet hadde fritak. Et alternativ er å benytte prosent i modellen. Denne modellen krever både at elevene kjenner godt til brøk og prosent samt kan knytte det til en helhet (antall elever). En kakemodell kan også benyttes, men da vil det trolig være vanskeligere for elever å dele i fem like store deler. Antall elever kan vi også finne ved å stille opp likninga: 0.6x + ⅕x + 12 = x c. Ta utgangspunkt i figuren under og finn ut hva ei flaske vann og ett skolebrød koster. (Hentet fra Eksamen 10. trinn våren 2014) side 2 av 6

3 Bildene innbyr til bruk av addisjonsmetoden. Trekker vi fra innholdet i bildet til høyre fra det vi har til venstre vil vi stå igjen med to flasker vann til 30 kr. Ei flaske må da koste 15 kr. Av bildet til høyre får vi at to skolebrød koster 40 kr og da vil ett koste 20 kr. Et alternativ er å sette opp det samme som et likningssett hvor s er prisen på et skolebrød og f prisen på ei flaske vann. I 2s + 3f = 85 II 2s + f = 55 Likningssettet kan løses både med addisjonsmetoden, slik det ressoneres over, eller ved innsettingsmetoden. Oppgave 2 I et rektangel er den ene siden 8 cm lengre enn den andre siden. Arealet av rektanglet er 153 cm 2. Benytt fullstendig kvadrat og finn sidene i rektanglet. Vis framgangsmåten med figurer. Figurene må vise hvordan det kan dannes et fullstendig kvadrat og samsvare med algebraiske uttrykk som viser løsningen av oppgaven. Metoden må også beskrives i teksten. Det er viktig at de algebraiske uttrykkene er knyttet til sidelengdene og arealet av firkantene. Oppdelingene og hvordan rektanglet omformes til et kvadrat må være med. Oppgave 3 a. Gjør rede for begrepet undersøkelseslandskap. Vis et eksempel som er ment å styrke elevenes forståelse av et matematisk begrep. Velg tema selv. Her kan man ta utgangspunkt i å gjøre rede for forskjellen mellom læringsmiljøene oppgaveparadigmet og undersøkelseslandskapet, og at man innen begge disse kan operere med oppgaver som har referanser til ren matematikk, semivirkelighet eller reelle referanser. Aktiviteten skal defineres som undersøkelseslandskap blant annet gjennom vekt på undersøkelser, eksperimentering, hypotesetesting og ikke være lukket til bestemte strategier. Det bør fremgå hvilket matematisk begrep det er fokus på og hvilken forståelse av dette begrepet det er ønskelig å oppnå. Det kan nevnes hvilke kommunikasjonsformer man legger opp til og at man tar hensyn til elevenes interesser. b. Gjør rede for begrepet metakognitivt skift. side 3 av 6

4 Med metakognitivt skift menes skift i kommunikasjonen, der elevene fra å løse et problem går til å reflektere rundt egne løsningsstrategier. Et slikt skift kan være å gå fra enkeltstående tilfeller til å finne alle tilfeller, eller fra å finne mange svar til å begrunne hvorfor det ikke kan være flere svar. Et slikt skift er noe mer enn bare det å generalisere, det innebærer at gjenstand for diskusjon/samtaler ER generaliseringen. Oppgave 4 Elever på 8. trinn fikk følgende oppgave: Stine og Tore hadde i 2012 lik lønn. I januar 2013 fikk Stine 3 % lønnsøkning, mens Tore fikk 12 % lønnsøkning. I januar 2014 fikk Tore 11 % og Stine 20 % lønnsøkning. Hva kan du si om lønna til Stine og Tore i 2014? a. Løs oppgaven og lag en figur/illustrasjon som understøtter strategien du benytter. Tore ender totalt opp med 24,3% lønnsøkning og Stine 23,6%. En relevant og hurtig strategi er å benytte vekstfaktorer 1,12 1,13 og 1,03 1,2. Dette kan illustreres gjennom søylediagram, arealmodell. Mer tungvint er det å operere med et bestemt beløp eller ukjent størrelse og addere. b. Lars påstår at Stine ender opp med høyest lønn fordi hun er helt oppe i 20 % et år, mens Bente sier at De får like mye i 2014 fordi 11+12=3+20. Foreslå en åpen oppgave som du mener kan hjelpe Lars og Bente videre med hensyn til forståelse av dette matematiske innholdet. Begrunn hvorfor aktiviteten kan defineres som en åpen oppgave. side 4 av 6

5 Samme oppgave kan endres på ulike måter dersom vi antar at Bente og Lars kan finne n% av et tall. I første omgang bør man innføre konkrete størrelser for lønnen i 2012 gjerne 10000kr, kr. For både Lars og Bentes del kan det være nyttig å undersøke om økning på 50% fulgt av 50% er det samme som 100% fulgt av 0%. Med utgangspunkt i dette kan et spørsmål være: Hva måtte sistnevne ha i lønnsøkning i prosent siste året for å få omtrent samme lønn? Dette er en åpen oppgave. Her har elevene ingen kjente strategier til rådighet og oppgaven stiller høye kognitive krav. De involverte begrepene er knyttet til en kontekst og ikke prosedyrer uten mening. Påstandene til elevene kan ikke generaliseres, om man arbeider med et eksempel der differansene blir større. Da vekstfaktor ikke er tema for trinnet kan tilnærminger av verdier, prøve og feile, og bruk av tabeller være strategier for å arbeide med misoppfatningene de har. Et enklere eksempel med det samme matematiske innholdet kan være å sammenligne størrelser som tidligere, men med å redusere/bruke 50% av et beløp i første omgang og 50% senere, mot for eksempel 0%, 100% eller 2%, 98%. Tilsvarende oppgaver kan formuleres omkring en rekke kontekster, for eksempel om rettferdig fordeling, når er beløpet brukt opp? Hva må til for at de har de like mye? Oppgave 5 a. Her er tre påstander om tall og regning. Hvis påstanden er riktig, vis hvorfor. Hvis den ikke er riktig, vis hvorfor ikke. i. Produktet av to oddetall er også et oddetall. ii. Kvadratet av et partall er også et partall. iii. Påstand i er riktig. Kan vises ved å regne ut (2m+1)(2n+1) = noe ganget med Trekk for å skrive (2n+1)(2n+1) da det vil være SAMME tall. Påstand ii er også riktig. For (2n)^2 = 4n^2 = 2(2n^2). Trekk for å si at 4n^2 er partall uten å vise at det er to ganget med noe. Påstand iii er feil. Vi får for eksempel: ½ + ½ = 2/4, noe som ikke kan stemme. b. Per Øyvind viser fram uttrykket n 2 + n + 41 til Gunnar. PØ: Læreren sier at dette uttrykket alltid er primtall. Nå har jeg prøvd å sette inn n = 1, n = 2 osv, helt opp til tjue! Og det blir alltid primtall! Er ikke det litt rart? Det fins da vel ikke en formel som alltid gir oss primtall, det er jo det datamaskiner driver og leter etter hele tida! G: Neida, dette uttrykket blir ikke alltid primtall, skjønner du. Hvis du setter inn n = 41 så ser du lett at det ikke blir primtall! Hvordan tenker Gunnar her? side 5 av 6

6 Det vet vi ikke! Så her må vi bruke en naturlig argumentasjonsrekke. Her har vi prøvd alle tall opp til tjue (det vil si, vi må bare gå ut fra at eleven har gjort det). Så kan man enten prøve resterende tall opp til 41 eller bare gå rett på 41. Ved utregning får man ikke primtall. Innsetting gir Dette er det ikke så lett å se faktoriseringen av direkte, men vi vet jo at 41^ = 4*41=1763. Oppgave 6 For hvilke verdier av a har likningssystemet I: ax + y = a II: x + ay = a a. en løsning b. ingen løsning c. uendelig mange løsninger? Argumenter for svaret. Likningsystemet som er gitt har to ukjente, x og y, a er en parameter. Det kan løses enten ved addisjonsmetoden eller innsettingsmetoden. Korrekt løsning vil gi en av alternativene under: (1 a 2 )y = a a 2 (1 a 2 )x = a a 2 Ved å drøfte verdier for a kan vi komme fram til at a = 1 gir uendelig mange løsninger a = 1 gir ingen løsning alle andre verdier enn de to over gir en løsning. Et annet alternativ er å studere likningssystemet slik det står. Hvis uttrykkene i begge likninger er like er det uendelig mange løsninger. Hvis de er mostridende vil det ikke være noen løsning. Det legges vekt på argumentasjon og notasjon også om utregningene ikke er korrekte. side 6 av 6