INNHOLD INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: GJØRE OM MELLOM PROSENT OG DESIMALTALL HHV BRØK... 5 NIVÅ B: «ALT» TILSVARER 100%.

Transkript

1 16. juni 2013

2 INNHOLD INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: GJØRE OM MELLOM OG DESIMALTALL HHV BRØK... 5 NIVÅ B: «ALT» TILSVARER %. FINNE HVOR MYE ET IL ER AV ET OPPGITT TALL... 6 NIVÅ C: PROMILLE, FINNE HVOR MYE ET TALL ENDRES TIL ETTER EN OPPGITT VIS ENDRING, FINNE HVOR MANGE ET TALL ER AV ET ANNET TALL... 7 NIVÅ D: FINNE TALLET SOM TILSVARER %. FINNE VIS ENDRING, BRUKE RENTEFORMELEN FOR DELER AV ET ÅR... 8 NIVÅ E: RENTESRENTER, FINNE VIS FORSKJELL PÅ TO TALL, FINNE RENTER AV ET TALL SOM STADIG ENDRES, REGNE SEG TILBAKE TIL %-TALLET FLERE GANGER, BRUKE RENTEFORMELEN FOR DELER AV ETR ÅR NÅR DAGER ELLER RENTEFOT ER UKJENT NIVÅ F: KOMBINERE UTREGNINGER NÅR TO/TRE TALL ER %, FINNE GJENNOMSNITTLIG ENDRING OVER FLERE LEDD, VURDERE ENDRING MELLOM ULIKE STØRRELSER GJENNOMGANG AV HVERT STEG NIVÅ A: GJØRE OM MELLOM OG DESIMALTALL HHV BRØK A.1.a: Gjøre om desimaltall til prosent A.1.b: Gjøre om prosent til desimaltall A.2.a: Gjøre om brøk til prosent A.2.b: Gjøre om prosent til brøk NIVÅ B: «ALT» TILSVARER %. FINNE HVOR MYE ET IL ER AV ET OPPGITT TALL B.1: Bruke at alt tilsvarer % til å finne resten B.2: Finne ut hvor mye et prosentil er av et oppgitt tall B.3: Bruke renteformelen for et helt år til å finne rentebeløpet NIVÅ C: PROMILLE, FINNE HVOR MYE ET TALL ENDRES TIL ETTER EN OPPGITT VIS ENDRING, FINNE HVOR MANGE ET TALL ER AV ET ANNET TALL C.1: Finne ut hvor mye en oppgitt promille er av et tall: C.2: Finne hvor mye et tall endres til etter en oppgitt prosentvis endring C.3: Bruke renteformelen for å finne ut hvor mye et beløp har vokst til C.4: Finne hvor mange prosent et tall er av et annet tall: NIVÅ D: FINNE TALLET SOM TILSVARER %. FINNE VIS ENDRING, BRUKE RENTEFORMELEN FOR DELER AV ET ÅR D.1: Finne hva som er % når en har oppgitt delen både i prosent og i absolutt verdi: 36 D.2: Finne prosentvis endring når en har oppgitt startverdi og sluttverdi:

3 D.3: Regne seg tilbake til hva som er % etter å ha fått oppgitt prosentvis endring og sluttresultatet D.4: Bruke renteformelen for deler av et år til å finne rentebeløpet NIVÅ E: RENTESRENTER, FINNE VIS FORSKJELL PÅ TO TALL, FINNE RENTER AV ET TALL SOM STADIG ENDRES, REGNE SEG TILBAKE TIL %- TALLET FLERE GANGER, BRUKE RENTEFORMELEN FOR DELER AV ETR ÅR NÅR DAGER ELLER RENTEFOT ER UKJENT E.1: Regne rentesrenter E.2: Finne økning hhv minskning i prosent mellom to oppgitte tall: E.3: Kan finne renter av beløp som stadig endrer seg E.4: Regne seg tilbake flere ganger hvor en hver gang må beregne tallet som er % E.5: Bruke renteformelen for deler av et år når antall dager eller rentefoten er ukjent NIVÅ F: KOMBINERE UTREGNINGER NÅR TO/TRE TALL ER %, FINNE GJENNOMSNITTLIG ENDRING OVER FLERE LEDD, VURDERE ENDRING MELLOM ULIKE STØRRELSER F.1: Kombinere prosentutregninger hvor det er to ulike tall som er % og hvor ingen av dem er eksplisitt oppgitt F.2: Finne ut gjennomsnittlig endring i prosent over flere ledd F.3: Kombinere prosentutregninger hvor det er tre ulike tall som er % og hvor ingen av dem er eksplisitt oppgitt F.4: Vurdere endringer mellom ulike størrelser (for eksempel varer/tjenester/lønn) VEIEN VIDERE

4 INNLEDNING I «Tallregning», «Algebra» og «Brøk» lærte vi regneregler. I dette temaet skal vi bruke disse reglene til å løse problemstillinger som gjelder oss selv og/eller samfunnet vi er en del av. Prosent er et tema som alle møter daglig i aviser, medier og i dagligtale. Vi har knyttet temaet til brøk og tallregning, bl.a. gjennom desimaltall. Men det er en forskjell på brøk og desimaltall på den ene siden og prosent på den andre siden: Prosent er et uttrykk for et forhold: Prosent er alltid prosent av noe. (Mens 0,4 kan plasseres på tall-linjen, kan 40 % ikke plasseres på tall-linjen.) Dermed blir det meningsløst å spørre om 5 % er mye eller lite; hvis det ikke nettopp er for å få fram at det kommer an på sammenhengen. Et sentralt punkt i undervisning i prosent er å framheve viktigheten av å bestemme hvilket tall som tilsvarer %. Det enkle svaret et at det er det tallet vi sammenlikner med. Dersom det er forskjell i tid, så er %-tallet det første tallet i tid. Det anbefales at elevene lærer å bruke en tenkning en kan kalle «å gå veien om 1»: Dersom en vet hvilket tall som er %-tallet, kan en finne størrelsen på 1%. Dermed kan en finne hvor stort for eksempel 25 % er. Promille er nevnt i stegarket. Læreren bør understreke at regnemetodene for prosentregning også kan tilpasses promille. Mange elever vil ha framgangsmåter/standard-oppskrifter på hvordan oppgaver skal løses. Elevene bør forsøke å forstå sammenhengen i faget. Derfor er det laget koplinger til stoff som er gjennomgått. Elevene bør bruke disse koplingene aktivt. Her defineres også viktige definisjoner og regler. Men her finner en også forslag til hvordan en oppgave kan løses. Elevene får også forslag til enkle huskeregler som kan være til hjelp i føringsmåter. Men det er viktig å framheve følgende advarsel: Enkle huskeregel kan være til hjelp. Men dersom en elev baserer seg på huskeregler, blir det fort veldig mye å huske. Da er det bedre å forstå sammenhengen i det som gjøres. Når en elev forstår grunnlaget for en huskeregel, huskes regelen bedre. 4

5 STEGARK NIVÅ A: GJØRE OM MELLOM OG DESIMALTALL HHV BRØK Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst lav kompetanse innen temaet prosent. A.1: Gjøre om mellom desimaltall og prosent. a) Skriv som prosent: 0,40. b) Skriv 25 % som desimaltall. A.2: Gjøre om mellom brøk og prosent. a) Skriv som prosent: 5 4. b) Skriv som brøk: 75 %. 5

6 NIVÅ B: «ALT» TILSVARER %. FINNE HVOR MYE ET IL ER AV ET OPPGITT TALL Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst nokså lav kompetanse innen temaet prosent. B.1: Bruke at alt tilsvarer % til å finne resten. I en klasse er 45 % jenter. Hvor stor prosentvis andel gutter er det i klassen? B.2: Finne ut hvor mye en gitt prosent er av et oppgitt tall. I Australia var det i opprinnelig 188 kjente fiskeslag som levde i ferskvann. I 1994 ble det rapportert at 35 % av disse var truet med utryddelse. Hvor mange australske ferskvannfisker var truet av utryddelse i 1994? B.3: Finne rentebeløpet for et helt kalenderår. Beate satte kr. i banken 1.januar. Hvor mye fikk Beate i renter når rentefoten er 2,5 % p.a. 6

7 NIVÅ C: PROMILLE, FINNE HVOR MYE ET TALL ENDRES TIL ETTER EN OPPGITT VIS ENDRING, FINNE HVOR MANGE ET TALL ER AV ET ANNET TALL Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst noe under middels kompetanse innen temaet prosent. C.1: Finne ut hvor mye en oppgitt promille er av et tall: I en by bor det innbyggere. I løpet av et år økte folketallet med 6 promille. Hvor stor var økningen regnet i antall innbyggere? C.2: Finne hvor mye et tall endres til etter en oppgitt prosentvis endring. Lønnen til Kaia er på kr. pr. måned. Den steg med 5 %. Hva ble den nye lønnen? C.3: Bruke renteformelen for å finne ut hvor mye et beløp har vokst til. Knut lot kroner stå i banken i ett år. Hvor mye sto i banken på slutten av året når rentefoten var 1,25 % p.a.? C.4: Finne hvor mange prosent et tall er av et annet tall: På en skole går det 350 elever. En dag var 27 elever borte. Hvor stor del av elevmassen var borte denne dagen. Oppgi svaret i prosent. 7

8 NIVÅ D: FINNE TALLET SOM TILSVARER %. FINNE VIS ENDRING, BRUKE RENTEFORMELEN FOR DELER AV ET ÅR Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst noe over middels kompetanse innen temaet prosent. D.1: Finne hva som er % når en har oppgitt delen både i prosent og i absolutt verdi: Et dataspill ble satt ned med 72 kr. Dette avslaget var 24 %. Hva kostet spillet før prisen ble satt ned? D.2: Finne prosentvis endring når en har oppgitt startverdi og sluttverdi: En kåpe kostet i kr. I 2006 var prisen steget til 940kr. Hvor mye steg prisen angitt i prosent? D.3: Regne seg tilbake til hva som er % etter å ha fått oppgitt prosentvis endring og sluttresultatet. I 2005 kostet en jakke 535kr. Den hadde steget med 7 %. Hva kostet jakken i 2004? D.4: Bruke renteformelen for deler av et år til å finne rentebeløpet. Arne satte kr. i banken 15.januar. Han ville bruke penger på en utenlandsreise i juli. Hvor mange penger sto det på kontoen 1.juli når rentefoten er 2 % p.a. (Du kan regne at året har 360 dager.) 8

9 NIVÅ E: RENTESRENTER, FINNE VIS FORSKJELL PÅ TO TALL, FINNE RENTER AV ET TALL SOM STADIG ENDRES, REGNE SEG TILBAKE TIL %-TALLET FLERE GANGER, BRUKE RENTEFORMELEN FOR DELER AV ETR ÅR NÅR DAGER ELLER RENTEFOT ER UKJENT. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst høy kompetanse innen temaet prosent. E.1: Regne rentesrenter. Turid satte kroner i banken 1.juni til en rente på 2,5 % p.a. Hvor mye sto på kontoen 31.mai året etter? E.2: Finne økning hhv minskning i prosent mellom to oppgitte tall: I en butikk koster en bok 120 kr. I nabobutikken koster den samme boken 150 kr. Hvor mange prosent dyrere er den dyreste enn den billigste og hvor mange prosent billigere er den billigste enn den dyreste. E.3: Kan finne renter av beløp som stadig endrer seg. Eva lånte kr. Hun begynte å tilbakebetale etter 5 år. Hvor mye var gjelden hennes når rentefoten var 3,75 % p.a.. E.4: Regne seg tilbake flere ganger hvor en hver gang må beregne tallet som er %. I 2005 kostet en jakke 535kr. Den hadde steget hvert år siden 2000 med 4 %. Hva kostet jakken i 2000? E.5: Bruke renteformelen for deler av et år når antall dager eller rentefoten er ukjent. Tove satte 13.mars kr. inn i banken. Senere samme år fant hun ut at hun nå hadde opptjent 75 kr. i renter. På hvilken dato hadde hun opptjent 75 kr i renter? Rentefoten var 2,5 % p.a.? (Du kan regne at året har 360 dager.) 9

10 NIVÅ F: KOMBINERE UTREGNINGER NÅR TO/TRE TALL ER %, FINNE GJENNOMSNITTLIG ENDRING OVER FLERE LEDD, VURDERE ENDRING MELLOM ULIKE STØRRELSER. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst svært høy kompetanse innen temaet prosent. F.1: Kombinere prosentutregninger hvor det er to ulike tall som er % og hvor ingen av dem er eksplisitt oppgitt. I en 8. klasse kom elevene fra flere barneskoler. 25 % av elevene kom fra «Toppen skole». Rett før høstferien begynte det tre elever som ikke hadde gått på «Toppen skole». Da var det 22,22 % av elevene som hadde gått på «Toppen skole». Hvor mange elever gikk i denne 8.klassen ved skolestart? F.2: Finne ut gjennomsnittlig endring i prosent over flere ledd. I 2000 kostet en bil kr. I 2006 kostet den samme bilen som ny kr. Hva var den gjennomsnittlige årlig prosentvise økningen? F.3: Kombinere prosentutregninger hvor det er tre ulike tall som er % og hvor ingen av dem er eksplisitt oppgitt. En bonde har to åkrer. Den største åkeren er 40 % større enn den minste. Han dyrker korn på 75 % av den største åkeren og 60 % av det samlede arealet. På hvor stor del av den minste åkeren dyrker han korn? F.4: Vurdere endringer mellom ulike størrelser (for eksempel varer/tjenester/lønn). I 1950 kostet 1 kg oksekjøtt 4,25 kr. I 1975 kostet den samme varen 20,03 kr. I år 2000 kostet den 135,00 kr. De samme årene var industritimelønnen hhv 3,02 kr, 25,30 kr og 142,00 kr. Sett indeksen for oksekjøtt til for lag en tabell som viser indeksen for 1975 og Gjør tilsvarende for industritimelønnen. Gi en vurdering av utviklingen av prisen på oksekjøtt og industritimelønnen fra 1950 til

11 GJENNOMGANG AV HVERT STEG Resten av dette heftet er gjennomgang av hvert enkelt steg. Gjennomgangen er bygget opp slik: A. BEGREPER Først er det en definisjon av nye begreper. De nye begrepene er skrevet med fet, rød skrift. B. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dernest lages en kopling til tidligere gjennomgått stoff. Overskriften på disse linjene er blå fordi hyperlinker gjerne får blåfarge: C. FORKLARING I forklaringen henvises det til begrepene. I teksten henvises det også til tidligere gjennomgått steg. I den elektroniske versjonen er det hyperlinker både til definisjonene til begrepene og til de tidligere stegene som en bruker i gjennomgangen: A.1 (Tall). Slik kan du skrive: Noen elever vil ha klar beskjed om hvordan de skal gå fram for å finne riktig svar. Denne framgangsmåten er satt i en ramme med følgende tagg: «Slik kan du skrive:». Ofte er det flere forslag til føringsmåte. Hver av framgangsmåtene er satt i slike rammer. Men det er viktig å understreke påminningen fra innledningen om å forstå den matematiske tenkningen som grunnlaget for å huske reglene de møter. D. Viktige regneregler blir skrevet med fet, sort skrift og satt i en ramme med lysegrønn bakgrunn. Viktige regneregler vises slik! E. KJEKT Å VITE Noen steder er det føyd til momenter som er kjekt å vite, men som ikke er obligatorisk å kunne utenat. F. Kontrollregning Etter at en har funnet svaret på en prosent-oppgave, kan det være smart å kontrollere om svaret er riktig. 11

12 NIVÅ A NIVÅ A: GJØRE OM MELLOM OG DESIMALTALL HHV BRØK Prosent, desimaltall og brøk er ikke synonyme begreper. Men det er allikevel er klar sammenheng mellom disse. Ut fra sammenhengen kan vi skrive et desimaltall eller en brøk med samme meningsinnhold som et prosent-tall (eller «prosentil»). Vi begynner derfor med å framheve sammenhengen mellom prosent, desimaltall og brøk. 12

13 NIVÅ A A.1.a: Gjøre om desimaltall til prosent. Eksempel-oppgave: Skriv som prosent: 0,40. BEGREPER Prosent: Prosent betyr «hundredel». (Legg merke til at en dollar kan deles i hundre cent; - det er dette ordet som er i «prosent».) Hensikten med å innføre prosent, er å kunne sammenlikne for eksempel nasjoner med store forskjeller: Det brukes til å kunne sammenlikne et land med flere hundre innbyggere med et land med bare noen få millioner innbyggere. Eller for eksempel å sammenlikne situasjonen i ett land på forskjellige tidspunkter hvor forholdene er i endring. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Vi bygger her på definisjonen på prosent og på A.4 (Tall), hvor navnene på plassene ble gjennomgått. FORKLARING: I A.4 (Tall) nevnte vi navnene på plassene. I eksempel-oppgaven her (0,40) står 4-tallet på tidel-plassen og nullen bak står på hundredel-plassen. Sagt på en annen måte: 0,40 har verdien 40 hundredeler. Altså: 0,40 = 40 %. Dersom oppgaven er å skrive 0,2 som prosent, må vi føye til en null: 0,2 = 0,20 = 20 %. Dersom oppgaven er å skrive 0,357 som prosent, må vi huske at tallet er 35,7 hundredeler: 0,357 = 35,7 %. 13

14 NIVÅ A A.1.b: Gjøre om prosent til desimaltall. Eksempel-oppgave: Skriv 25 % som desimaltall. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Vi bygger her på det samme som i A.1.a (Prosent), d.v.s. definisjonen på prosent og på A.4 (Tall), hvor navnene på plassene ble gjennomgått. FORKLARING: I A.1.a (Prosent) gikk vi fra desimaltall til prosent. Her går vi motsatt vei: Prosent betyr hundredel. 25 % er altså 25 hundredeler, som kan skrives som 0,25. Altså: 25 % = 0,25. Dersom oppgaven er å skrive 42,6 % som desimaltall, må vi være nøye med hvilket tall som står på hundredel-plassen: 42,6 % = 0,426. Dersom oppgaven er å skrive 110 % som desimaltall, blir svaret: 110 % = 1,10. Legg merke til: % = 1 14

15 NIVÅ A A.2.a: Gjøre om brøk til prosent. Eksempel-oppgave: Skriv som prosent: 5 4. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Vi bygger her på definisjonen på prosent, på A.1.a (Prosent) og på B.1 (Brøk). FORKLARING: I B.1. (Brøk) regnet vi ut brøken ved å bruke at brøkstreken betyr «delt på». Vi gjør det samme her: 4 : 5 = 0, Da har vi kommet til en A.1.a (Prosent)-oppgave. Vi ser: 0,8 = 80 %. 4 Altså: 0,8 80% 5 15

16 NIVÅ A A.2.b: Gjøre om prosent til brøk. Eksempel-oppgave: Skriv som brøk: 75 %. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Vi bygger her på definisjonen på prosent og på B.3.b (Brøk). FORKLARING: Ettersom prosent betyr hundredel, skriver vi: 75 75%. Dette svaret kan vi forenkle ved å forkorte (se B.3.b (Brøk)) med 25: : % :

17 NIVÅ B NIVÅ B: «ALT» TILSVARER %. FINNE HVOR MYE ET IL ER AV ET OPPGITT TALL Et hovedpoeng i prosentregning er at det finnes et tall som tilsvarer %. «Alle sammen til sammen» er %. Hvem disse «alle sammen» er, ser man av sammenhengen. Når en vet hvilket tall som tilsvarer % og dessuten får vite hvor mange prosent et annet tall er av dette %-tallet, kan en regne ut det andre tallet. Bankene oppgir renter for et år,- rentefoten. Renter regnes ut på helt lik måte. 17

18 NIVÅ B B.1: Bruke at alt tilsvarer % til å finne resten. Eksempel-oppgave: I en klasse er 45 % jenter. Hvor stor prosentvis andel gutter er det i klassen? BEGREPER Det hele tilsvarer %: Et av de grunnleggende momentene innen prosentregning, er at det som er helheten (det totale) tilsvarer %. (Strengt tatt må vi føye til at det som på et gitt tidspunkt eller i en gitt situasjon utgjør helheten, er tallet som tilsvarer %. Det vil du se betydningen av i stegene på D-nivået og oppover.) KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Vi bygger her på innholdet i at det hele tilsvarer % og på B.2 (Tall). FORKLARING: I eksempel-oppgaven er «alle elevene i klassen» det tallet som er %. Ettersom jentene utgjør 45 % av alle elevene, må guttene utgjøre resten. Guttene: % - 45 % = 55 %. Guttene utgjør altså 55 %. 18

19 NIVÅ B B.2: Finne ut hvor mye en gitt prosent er av et oppgitt tall. Eksempel-oppgave: I Australia var det i opprinnelig 188 kjente fiskeslag som levde i ferskvann. I 1994 ble det rapportert at 35 % av disse var truet med utryddelse. Hvor mange australske ferskvannsfisker var truet av utryddelse i 1994? BEGREPER Prosentformelen: Et svært viktig redskap i prosentregning er prosentformelen: H p d «d» er delen, «H» utgjør helheten/det totale; altså det tallet som tilsvarer % og «p» er prosenten. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Vi bygger her på definisjonen på prosent (se A.1.a (Prosent)) og på at helheten utgjør % (se B.1.(Prosent)). I den første forklaringen (hvor vi bruker prosentformelen) bygger vi dessuten på brøkregningsreglene, blant annet forkorting (se B.3.b (Brøk)). Vi bygger også på innsetting av verdier for variabler, se B.3 (Algebra). Etter forklaringen kommer en nærmere begrunnelse på prosentformelen. Denne begrunnelsen bygger dessuten på D.1.a (Brøk). I den andre forklaringen (hvor vi gjør prosenten om til et desimaltall), bygger vi på D.2 (Tall). FORKLARING: A. BRUKE FORMELEN I eksempel-oppgaven er det 188 fiskeslag som er det totale og som altså utgjør %. Dersom vi deler 188 fiskeslag på, finner vi hvor mange fiskeslag som tilsvarer 1 %. Dette resonnementet er et eksempel på at vi «går veien om 1», altså finne ut hvor mange fiskeslag som tilsvarer 1 %. 188 fiskeslag: = 1,88 fiskeslag. Når vi nå har funnet ut hvor mange fiskeslag det er i 1 %, kan vi gange dette tallet med 35 for å finne hvor mange fiskeslag som er i 35 %: 1,88 fiskeslag 35 = 65,8 fiskeslag 66 fiskeslag. Dersom vi kan bruke kalkulator, kan utregningen forenkles: Da taster vi inn «188», så taster vi «x 35 %» og svaret kommer fram i displayet. 19

20 NIVÅ B Slik kan du skrive: d H p Vi har skrevet opp prosentformelen. 188 fiskeslag 35 d Vi har satt inn verdier for de forskjellige variablene. d = 65,8 fiskeslag 66 fiskeslag Vi har regnet ut svaret Merk 66 australske at vi avslutter ferskvannsfiskeslag besvarelsen med var en truet fullstendig av utryddelse svarsetning. i B. BRUKE DESIMALTALL Vi kunne ha regnet oss til dette svaret ved å bruke at prosenttall kan gjøres om til et desimaltall. Her: 35 % = 0,35. Slik kan du skrive: 35 % = 0,35 Vi har skrevet prosenten som et desimaltall ,35 = 65,8 Vi har multiplisert tallet som tilsvarer % med desimaltallet og regnet ut svaret. 65,8 fiskeslag 66 fiskeslag Vi avrundet svaret slik at det blir et helt tall. 66 australske ferskvannsfiskeslag var truet av utryddelse i Merk at vi avslutter besvarelsen med en fullstendig svarsetning KJEKT Å VITE I forklaringen sa vi at vi kunne dele 188 fiskeslag på for å finne hvor mange fiskeslag som utgjorde 1 %, og deretter ganget vi tallet vi da kom fram til med prosenten. Når vi bruker variabler, har vi gjort følgende utregning: d ( H :) p H p I rammen derimot brukte vi følgende formel: d. Hva er den formelle sammenhengen? H Først noterer vi oss at deletegn også kan skrives som brøkstrek: H :. Spørsmålet H H p blir altså hvorfor p. Forklaringen ligger i D.1.a (Brøk): H p Vi har skrevet opp oppgaven uforandret. 20

21 NIVÅ B H p 1 Vi har skrevet p som 1 p og dermed har vi fått en brøk ganget med en brøk, se D.1.a (Brøk). H p 1 Vi multiplisert brøk med brøk, se B.2.a (Brøk). H p Vi har ganget sammen tallene i nevner. 21

22 NIVÅ B B.3: Finne rentebeløpet for et helt kalenderår Eksempel-oppgave: Beate satte kr. i banken 1.januar. Hvor mye fikk Beate i renter når rentefoten er 2,5 % p.a. BEGREPER Renteformelen: Egentlig den sammen formelen som prosentformelen: K p r «r» er renten, «K» utgjør kapitalen og «p» er rentefoten. Innskudd i bank: Det at du setter penger i banken. Banken «låner» penger av deg og tusenvis av andre kunder. Banken bruker disse pengene til å låne kunder som skal investere i hus eller bil eller til andre formål. Det tjener banken penger på. Noe av disse pengene som banken tjener, får du fordi du setter penger i banken. Kapital: Pengene du setter i banken eller pengene du låner. Renter: Penger du får av banken for å sette penger i banken. Dersom du låner penger av banken, for eksempel til huskjøp, krever banken renter for at du skal få låne penger til å kjøpe for eksempel hus. Rentefot: Prosentsatsen som banken bruker for å regne ut hvor mye du skal få i renter eller hvor mye du må betale til banken for å få lån. Tilsvarer prosenten i B.2 (Prosent). p.a.: pro anno: Rentefoten oppgis ofte med tilføyelsen p.a. Dette er en forkortelse for pro anno. På norsk: «For året» eller «for et år». Tilføyelsen forteller at renten du får er dersom du lar pengene stå i banken nøyaktig ett kalenderår. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Oppgaven i dette punktet regnes på nøyaktig samme måte som B.2 (Prosent) med den forskjellen at en bruker litt andre begreper. FORKLARING: Også her kan vi gjøre oppgaven på to måter: Vi kan bruke renteformelen (tilsvarer at vi i forrige steg brukte prosentformelen). Men vi kan også her gjøre om rentefoten til et desimaltall og multiplisere. 22

23 NIVÅ B A. BRUKE RENTEFORMELEN Slik kan du skrive: K p r Vi har skrevet opp renteformelen. 3000kr 2,5 r Vi har satt inn verdier for de forskjellige variablene. 3000kr 2,5 r 30kr 2,5 Vi har forkortet. r = 75 kr Vi har regnet ut svaret Beate fikk 75 kroner i renter B. GJØRE OM RENTEFOTEN TIL DESIMALTALL Slik kan du skrive: 2,5 % = 0,025 Vi har skrevet rentefoten som et desimaltall. 3000kr 0,025 = 30 kr Vi har multiplisert kapitalen med desimaltallet og regnet ut svaret. Beate fikk 75 kroner i renter Merk at vi avslutter besvarelsen med en fullstendig svarsetning. 23

24 NIVÅ B 24

25 NIVÅ C NIVÅ C: PROMILLE, FINNE HVOR MYE ET TALL ENDRES TIL ETTER EN OPPGITT VIS ENDRING, FINNE HVOR MANGE ET TALL ER AV ET ANNET TALL Prosent brukes for å sammenlikne størrelser som i utgangspunktet er ganske forskjellige. Men prosent er ikke det eneste hjelpemiddelet vi har. Promille betyr tusendel. Mange assosierer «promille» med andelen alkohol som er i blodet. Men promille brukes i også mange andre sammenhenger. Dessuten utvikler vi prosentregningen her: På forrige nivå lærte vi å finne en prosentvis del av et tall. Her skal vi finne sluttresultatet etter en prosentvis endring. Dessuten skal vi lære hvordan vi finner hvor mange prosent en deler av et annet tall. 25

26 NIVÅ C C.1: Finne ut hvor mye en oppgitt promille er av et tall: Eksempel-oppgave: I en by bor det innbyggere. I løpet av et år økte folketallet med 6 promille. Hvor stor var økningen regnet i antall innbyggere? BEGREPER Promille: Promille betyr «tusendel». (Siste del av ordet, «mille», har vi også i «millimeter».) Av og til bruker vi promille i stedet for prosent. Det er for lettere å lese små deler av helheten. Promilleformelen: Et svært viktig redskap i promilleregning er promilleformelen: H p d 0 «d» er delen, «H» utgjør helheten/det totale; altså det tallet som tilsvarer 0 og «p» er promille-tallet. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Tenkningen her er helt lik tenkningen i tilsvarende oppgave med prosent, B.2 (Prosent) bortsett at vi her må tenke i tusendeler i stedet for i hundredeler. Vi bygger her på definisjonen på promille og på at helheten utgjør 0. Dessuten bygger en på brøkregningsreglene, blant annet forkorting (se B.3.b (Brøk)). Vi bygger også på innsetting av verdier for variabler, se B.3 (Algebra). Vi kan også gjøre om promille til desimaltall. Da bygger vi på D.2 (Tall). FORKLARING: I eksempel-oppgaven er det innbyggere som er det totale og som altså utgjør 0. Vi deler innbyggere på 0, og finner vi hvor mange innbyggere som tilsvarer 1. Dette resonnementet er et eksempel på at vi «går veien om 1», altså finne ut hvor mange innbyggere som tilsvarer innbyggere: 0 = 30 innbyggere. Når vi nå har funnet ut hvor mange innbyggere det er i 1, kan vi gange dette tallet med 6 for å finne hvor mange innbyggere 6 er: 30 innbyggere 6 = 180 innbyggere. De vanlige kalkulatorene har ikke egen tast for utregning av promille. 26

27 NIVÅ C Slik kan du skrive: d H p Vi har skrevet opp promilleformelen innb 6 d Vi har satt inn verdier for de forskjellige 0 variablene. Deretter har vi forkortet. d = 30 innbyggere 6 = 180 innbyggere I denne byen økte innbyggertallet med 180. Vi har regnet ut svaret Vi har skrevet svarsetning. Hvis vi vil løse oppgaven ved å gjøre om promilletallet til et desimaltall, må vi huske at «promille» betyr «tusendel». 6 promille gjøres da om til 0,006. Slik kan du skrive: 6 promille = 0,006 Vi har skrevet promilletallet som et desimaltall ,006 = 180 Vi har multiplisert tallet som tilsvarer 0 promille med desimaltallet og regnet ut svaret. I denne byen økte innbyggertallet med 180. Vi har skrevet svarsetning. 27

28 NIVÅ C C.2: Finne hvor mye et tall endres til etter en oppgitt prosentvis endring. Eksempel-oppgave: Lønnen til Kaia er på kr. pr. måned. Den steg med 5 %. Hva ble den nye lønnen? BEGREPER Vekstfaktor: Her øker lønnen med 5 %. Det vil si at lønnen øker fra % til 105 % i forhold til den opprinnelige lønnen. Når vi gjør om 105 % til desimaltallet 1,05, har vi funnet tallet vi skal multiplisere den gamle lønnen med for å få den nye. Tallet vi multipliserer med kalles vekstfaktor. Dersom vekstfaktoren er større enn 1, har vi en økning. Dersom vekstfaktoren er mindre enn 1, har vi en reduksjon. Vi har følgende formel, hvor K 1 er lønn (kapital) før økning, K 2 er lønn etter økning og v er vekstfaktor: K v 2 K 1 KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dette er en fortsettelse av B.2 (Prosent): Her skal en først finne «delen» (d) og så enten legge denne delen til eller trekke den fra tallet vi har kalt «helheten». Dette punktet er altså en kombinasjon av B.2 (Prosent) og D.1 (Tall). Også denne oppgaven kan gjøres på flere måter. FORKLARING: A. BRUKE FORMELEN I eksempel-oppgaven finner vi først 5 % av kroner. Da finner vi lønnstillegget som Kaia får. Deretter må vi legge tillegget til den gamle lønnen for å finne den nye lønnen. Slik kan du skrive: d H p Vi har skrevet opp prosentformelen kr 5 d Vi har satt inn verdier for de forskjellige variablene kr 5 d Vi har forkortet. d = 1250 kr Vi har regnet ut lønnstillegget. Siden det er et delsvar, settes én strek under svaret. Gammel lønn: 25000,00 kr Tillegget: 1250,00 kr Ny lønn: 26250,00 kr Vi har regnet ut den nye lønnen. (Det er ikke nødvendig med egen svarsetning her ettersom det er en informativ måte å sette oppstykket på.) 28

29 NIVÅ C Dette kan en også sette opp slik: Slik kan du skrive: Gammel lønn: + Tillegget: 25000kr kr 5 250kr 5 Ny lønn: 25000,00 kr 1250,00 kr 26250,00 kr Vi kan bruke kalkulator til denne regningen, og riktig brukt er dette arbeidsbesparende. Vi skal legge 5 % av 2500kr til 2500 kr. Vi taster inn «2500». Deretter taster vi «+ 5 %» og kalkulatoren utfører hele utregningen med addisjonen. B. BRUKE VEKSTFAKTOR Vi sa at ettersom lønnen økte med 5 %, måtte den nye lønnen kunne finnes ved å multiplisere den gamle med vekstfaktoren 1,05: Slik kan du skrive: Vekstfaktoren: 1,05 Vi har skrevet vekstfaktoren kr 1,05 = kr Vi har multiplisert den gamle lønnen med vekstfaktoren. Den nye lønnen er kr. Vi har skrevet svarsetning. 29

30 NIVÅ C C.3: Bruke renteformelen for å finne ut hvor mye et beløp har vokst til. Eksempel-oppgave: Knut lot kroner stå i banken i ett år. Hvor mye sto i banken på slutten av året når rentefoten var 1,25 % p.a.? BEGREPER Saldo: Hvor mye som står på kontoen din på ethvert tidspunkt. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dette er en fortsettelse av B.3 (Prosent): Her skal en først finne renter (r) før en legger renten til kapitalen. Dette punktet er altså en kombinasjon av B.3 (Prosent) og D.1 (Tall). Dette steget er altså nesten identisk med C.2 (Prosent). Forskjellen er begrepene en bruker. FORKLARING: A. BRUKE RENTEFORMELEN I eksempel-oppgaven finner vi først 1,25 % av kroner. Da finner vi renter som banken så legger til ved overgangen til et nytt kalenderår. I det banken har lagt til rentene, øker saldoen på kontoen. Dette kan en også sette opp slik: Slik kan du skrive: Innskudd/kapital: + Renter: 20000kr 1, kr 1,25 200kr 1,25 Saldo: 20000,00 kr 250,00 kr 20250,00 kr Vi kan bruke kalkulator på samme måte som i C.2 (Prosent). B. BRUKE VEKSTFAKTOR Ettersom Knut fikk 1,25 % i renter, økte innskuddet med en vekstfaktor på 1,0125 Slik kan du skrive: Vekstfaktoren: 1,0125 Vi har skrevet vekstfaktoren kr 1,0125 = kr Vi har multiplisert den gamle lønnen med vekstfaktoren. Etter ett år var innskuddet økt til kr. Vi har skrevet svarsetning. 30

31 NIVÅ C C.4: Finne hvor mange prosent et tall er av et annet tall: Eksempel-oppgave: På en skole går det 350 elever. En dag var 27 elever borte. Hvor stor del av elevmassen var borte denne dagen. Oppgi svaret i prosent. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Det er flere måter å løse denne oppgaven på. Vi skal gå gjennom tre måter. Den ene måten bygger på A.2.a (Prosent), som er en direkte forbindelse til brøkregning. Den andre bygger på prosentformelen kombinert med likningsløsning, se B.4 (Likninger). Dette har også forbindelse med brøkregning, men forbindelsen er indirekte, altså via likningsløsning. Den siste løsningen er en enkel huskeregel. Den gir riktig svar, men mangler en logisk begrunnelse. FORKLARING: A. BRØKREGNING Når vi spør hvor stor del et tall er av et annet, spør vi om brøken mellom 27 og 350. Med andre ord: Hva er svaret på brøken. Siden vi skal oppgi svaret i prosent, bruker vi framgangsmåten fra A.2.a (Prosent): Vi regner derfor ut 27:350 på den måten vi gjorde i D.3 (Tall): Hvis du ikke har tilgang på kalkulator, kan oppgaven settes opp slik: Slik kan du skrive: 27 :350 = 0,0771 0,077 tilsvarer 7,7 % Rest: 150 7,7 % av elevene var borte Dersom du har tilgang på kalkulator, finner du svaret ved å dele 27 på 350. Vi kan sette alt på en brøkstrek: Vi deler 27 på 350 og ganger svaret med. (I D.1.a (Brøk) viste vi at å gange en brøk med et helt tall, var det samme som å gange tallet med telleren og beholde nevneren uforandret.) Slik kan du skrive: 27elever % 7,71% 7,7% 350elever 31 7,7 % av elevene var borte Vi har skrevet svarsetning.

32 NIVÅ C B. LIKNING H p Vi vil bruke prosentformelen: d. Men i denne formelen kjenner vi delen (d) og helheten (H). Det er prosenten (p) som er ukjent. Vi kan bruke likning. Slik kan du skrive: d H p Vi har skrevet opp prosentformelen. = 27 elever = 350 elever Vi har laget en liste over verdiene til de forskjellige variablene. = x % 350 x 27 Vi har satt inn verdiene fra verditabellen inn for variablene. Vi har fått en likning, se B.4 (Likning) x 27 7 x Vi har forkortet, Vi har renskrevet likningen og deretter multiplisert begge seider med 2. På høyre side har vi forkortet med = 7x Vi har regnet ut begge sider. 7x = 54 7x x = 7,71 7,7 Vi har byttet sider. Vi har dividert på begge sider med tallet foran x og deretter forkortet. Vi har regnet ut venstre side. Vi 7,7 har % flere av elevene ganger var gjort borte. noe som kan Vi har og bør skrevet begrunnes, svarsetning for eksempel forkortingen i linje 5 og bytte sider fra linje 6 til linje 7. For begrunnelsen for dette vises til B.4 (Likninger). C. BRUK AV HUSKEREGEL Det finnes en tredje måte å tenke på for å løse denne oppgaven. Brukt riktig, gir denne måten korrekt svar. Metoden baserer seg på at det i prosentoppgaver er fire tall: To tall som er angitt med prosent (som regel er det ene prosenttallet %) og to tall som har en annen benevning («elever», «kroner», «innbyggere» o.s.v.); - disse to tallene har samme benevningen. Tre av tallene må være kjent, mens det siste tallet er ukjent. I denne oppgaven er det prosentilet som er ukjent. 32

33 NIVÅ C Metoden går ut på å lage en brøk med et produkt av to tall i teller mens det er ett tall i nevner. Det viktigste ved metoden er tallet en starter med: 1. Lag en brøkstrek. 2. Skal en finne prosent, begynn med prosent. Skal en finne kroner/elever/innbyggere, begynn med kroner/elever/innbyggere. Skriv dette tallet i telleren. 3. I nevneren skriver en opp det tallet som tilsvarer det tallet en nettopp har skrevet opp i teller. 4. Det siste tallet (som må ha samme benevning som tallet i nevner) skriver en opp i teller. 5. Regn ut brøken en da får. På eksempel-oppgaven har en tre kjente tall: 350 elever, 27 elever og %. Vi merker oss at 350 elever tilsvarer %. Framgangsmåten går slik: Slik kan du skrive: % 27elever 350elever Ettersom vi skal finne prosent, starter vi med prosent. Under brøkstreken skriver vi opp tallet som tilsvarer % (som er 350 elever). Til slutt skriver vi opp det siste tallet vi har (27 elever; - som har samme benevning som tallet i nevner). 2 % Vi har forkortet. Dessuten har vi sløyfet benevningen «elever» ettersom det forekommer både i teller og nevner. 54% 7 7,71% Vi har regnet ut telleren og nevneren. 7,7 % av elevene var borte. Vi har skrevet svarsetning Forklart på den måten vi har gjort det her, virker metoden som en huskeregel uten begrunnelse. Men den kan begrunnes. Metoden er en variant av «å gå veien om 1»: Siden vi skal finne hvor mange prosent 27 elever er av 350, lønner det seg å finne ut hvor mange prosent hver elev utgjør. Derfor deler en % på alle elevene. Når en da har funnet ut hvor mange prosent én elev utgjør, ganger en svaret med

34 NIVÅ C 34

35 NIVÅ D NIVÅ D: FINNE TALLET SOM TILSVARER %. FINNE VIS ENDRING, BRUKE RENTEFORMELEN FOR DELER AV ET ÅR På forrige nivå lærte vi å bruke prosentformelen til å finne den prosentvise endringen når vi hadde fått vite hva som tilsvarer % og hvor stor delen er. Her skal vi bruke formelen til å finne hvilket tall som tilsvarer %. Vi skal også lære å finne den prosentvise endringen når vi får oppgitt startverdi og sluttverdi. Vi skal også lære å finne det tallet som tilsvarer % når vi har fått oppgitt prosentvis endring og sluttverdi. Det mest vanlige er at pengene står i banken i deler av et år. Vi utvider derfor renteformelen til at vi skal finne rentebeløpet i slike situasjoner. 35

36 NIVÅ D D.1: Finne hva som er % når en har oppgitt delen både i prosent og i absolutt verdi: Eksempel-oppgave: Et dataspill ble satt ned med 72 kr. Dette avslaget var 24 %. Hva kostet spillet før prisen ble satt ned? BEGREPER Avslag/prisreduksjon: Når du får avslag på en vare, blir varen billigere. I eksempeloppgaven ble prisen på et dataspill redusert med 72 kroner. Avslaget var altså 72 kroner. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Også her vil vi gå gjennom tre løsningsmåter. Den ene måten bygger på definisjonen på prosent, se A.1.a (Prosent) og anvender tenkningen som vi sier er «å gå veien om 1 én». Den andre bygger på prosentformelen kombinert med likningsløsning, se B.4 (Likninger). Dette har også forbindelse med brøkregning, men forbindelsen er indirekte, altså via likningsløsning. Den siste løsningen er ny bruk av den enkle huskeregelen vi gikk gjennom i C.4 (Prosent). FORKLARING: A. GÅ VEIEN OM 1 - ÉN I innledningen nevnte vi at elevene måtte kunne «gå veien om 1». Vi har allerede brukt denne tenkningen flere ganger (prosentformelen og renteformelen er eksempler på denne tenkningen). I denne eksempel-oppgaven er det prisen på spillet før det ble satt ned som er %. (Det er dette tallet en sammenlikner med; - det er den opprinnelige prisen.) Vi får vite at 72 kroner tilsvarer 24 %. Det vil si at 1 % tilsvarer 3 kroner (72 kroner : 24). Da må % være 300 kroner. Prisen før den ble satt ned må være 300 kroner. Dette kan føres på to måter: Slik kan du skrive: 72 kr : 24 % = 3 kr pr prosent. Vi har funnet hvor mange kroner som tilsvarer 1 %. 3 kroner pr prosent % = 300 kroner Vi ganger verdien for 1 % med hundre for å finne verdien for %. Spillet kostet opprinnelig 300 kroner Vi har skrevet svarsetning. 36

37 NIVÅ D Vi kan også føre slik: Slik kan du skrive: 72kr % 24% Vi har formulert tenkningen som en brøk 3 72 kr % Vi har forkortet. 24% kroner Vi har regnet ut verdien på brøken. Spillet kostet opprinnelig 300 kroner. Vi har skrevet svarsetning. B. LIKNING Vi tar utgangspunkt i prosentformelen. Slik kan du skrive: d H p Vi har skrevet opp prosentformelen. = 72 kroner = x kroner Vi har laget en liste over verdiene til de forskjellige variablene = 24 % x Vi har satt inn verdiene fra verditabellen inn for variablene. Vi har fått en likning, se B.4 (Likning). 72 x x 6 25 Vi har forkortet brøken med 4 og deretter regnet ut brøken. x Vi har multiplisert på begge sider med nevneren: = 6x Vi har regnet ut venstre og høyre side. 6x = x Vi har latt sidene bytte plass. Vi har delt med tallet foran x og forkortet. x = 300 Vi har regnet ut høyre side og har funnet verdien for x. 37 Spillet kostet opprinnelig 300 kroner. Vi har skrevet svarsetning.

38 NIVÅ D C. BRUK AV HUSKEREGEL Vi bruker den samme tenkningen som alternativ C i C.4 (Prosent): De tre tallene vi skal operere med her er 72 kroner, 24 % og %. Det ukjente tallet (det fjerde) er tallet som tilsvarer %. Siden vi skal finne et kronebeløp, begynner vi utregningen med tallet som er oppgitt i kroner, nemlig 72 kroner. Så deler vi på prosenttallet som tilsvarer 72 kroner, nemlig 24 %. Svaret på denne delingen ganger vi med %. Vi kan skrive slik: 72kr % Når vi setter dette opp på en brøkstrek, får vi dette:. Resten går på samme måte 24% som i alternativ A, siste føringsmåte. 38

39 NIVÅ D D.2: Finne prosentvis endring når en har oppgitt startverdi og sluttverdi: Eksempel-oppgave: En kåpe kostet i kr. I 2006 var prisen steget til 940kr. Hvor mye steg prisen angitt i prosent? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Denne oppgaven er en utvidelse av C.4 (Prosent). Utvidelsen består i at en må regne ut hvor stor forandringen har vært før en kan regne ut hvor mange prosent denne forandringen er av %-tallet. Her vil vi gå gjennom de samme tre løsningsmåtene som i C.4 (Prosent). Etter at en har regnet ut denne forandringen, er det ikke nye momenter i utregningen. Vi vil bare kort nevne de to siste framgangsmåtene. FORKLARING: A. BRØKREGNING Forskjellen fra oppgaven i C.4 (Prosent) til oppgaven her, er at en først regner ut forandringen av prisen, - det som kalles for delen i prosentformelen. (I denne utregningen bruker vi det vi lærte i B.2 (Tall).) Når vi har funnet denne delen, går resten av løsningen som C.4 (Prosent). Men først må vi bestemme hvilket tall som tilsvarer %. Det er det opprinnelige tallet, altså det prisen forandrer seg fra. Med andre ord: 890 kroner. (Det er en alternativ framgangsmåte. Den kommer vi tilbake til nedenfor.) Slik kan du skrive: Prisstigningen i kroner: 940 kr 890 kr = 50 kr Vi har regnet ut prisstigningen 50 kr : 890 kr = 0,0561 5,6% Vi har delt delen på helheten, se A.2.a (Prosent) og C.4 (Prosent). Prisstigningen var på 5,6 % Vi har skrevet svar setning Den alternative framgangsmåten er å dividere resultatet av forandringen på tallet som tilsvarer %. Resultatet gjøres om til prosent ved å multiplisere svaret med. Vi finner den prosentvise prisstigningen ved å trekke fra : Slik kan du skrive: 940 kr : 890 kr = 1, ,6 % Vi har dividert den nye prisen på den opprinnelige prisen, se C.4 (Prosent). 105,6 % - % = 5,6 % Ettersom 940 kroner er 105,6 % av 890 kroner, finner vi pris-stigningen i prosent ved å trekke % fra 105,6 % Prisstigningen var på 5,6 % Vi har skrevet svar setning 39

40 NIVÅ D Vi kan også finne vekstfaktoren. Vi gjør om til prosent ved å trekke 1 fra svaret og gjøre om desimaltallet til prosent: Slik kan du skrive: 940 kr : 890 kr = 1,0561 1,056 Vi har dividert den nye prisen på den opprinnelige prisen, se C.4 (Prosent). Vi har funnet vekstfaktoren. 1,056-1 = 0,056 = 5,6 % Vi har gjort om fra vekstfaktor til prisstigning. Prisstigningen var på 5,6 % Vi har skrevet svar setning B. LIKNING Dersom vi først finner endringen i kroner (940 kroner 890 kroner = 50 kroner) er denne løsningsmetoden helt i samsvar med C.4 (Prosent). Listen over verdiene blir da: d = 50 kroner H = 890 kroner p = x % Framgangsmåten blir ellers helt lik. C. BRUK AV HUSKEREGEL Vi kan også bruke huskeregelen fra C.4 (Prosent). Da må vi regne ut at prisstigningen er 50 kroner. Resten går på samme måten som i C.4 (Prosent). Brøken vi skal regne ut blir: % 50kr. 890kr 40

41 NIVÅ D D.3: Regne seg tilbake til hva som er % etter å ha fått oppgitt prosentvis endring og sluttresultatet. Eksempel-oppgave: I 2005 kostet en jakke 535kr. Den hadde steget med 7 %. Hva kostet jakken i 2004? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her vil vi gå gjennom tre løsningsmåter. Den ene er en fortsettelse av D.1 (Prosent). Den andre bygger på prosentformelen kombinert med likningsløsning, se D.3 (Likninger). Det siste løsningsforslaget bygger på begrepet vekstfaktor. FORKLARING: A. GÅ VEIEN OM 1 - ÉN I innledningen nevnte vi at elevene måtte kunne «gå veien om 1». I denne oppgaven har vi ikke fått opplyst hvor mye % er. Men vi bruker en variant over den alternative løsningsmetoden i D.2 (Prosent): Vi legger merke til at dersom prisstigningen har vært på 7 %, må den nye prisen være 107 % av den gamle. Vi vet altså hvor mye 107 % er. Det bruker vi: Slik kan du skrive: 535 kr : 107 % = 5 kr pr prosent. Vi har funnet hvor mange kroner som tilsvarer 1 %. 5 kroner pr prosent % = 500 kroner Vi ganger verdien for 1 % med hundre for å finne verdien for %. Kåpen kostet 500 kroner Vi har skrevet svarsetning. Vi kan også føre slik: Slik kan du skrive: 535kr % 107% 5 535kr % 107% 1 Vi har skrevet regneoperasjonen på en brøkstrek. Vi har forkortet. 500 kroner Vi har regnet ut verdien på brøken. Kåpen kostet 500 kroner. Vi har skrevet svarsetning. 41

42 NIVÅ D B. LIKNING Vi skal også her bruke prosentformelen. Men vi må huske at prisen i 2005 er lik prisen i 2004 pluss prisøkningen. Prosentformelen vil derfor se slik ut: K 1 K 0 K 0 p H H 1 0 H 0 p K 0 er den opprinnelige kapitalen/prisen. K 1 er kapitalen/prisen i p er prosenten/prosentvis endring. H 0 er den opprinnelige helheten. H 1 er helheten etter forandringen. Oppgaven kan føres slik: Slik kan du skrive: H 1 H 0 p H 0 Vi har skrevet opp prosentformelen. H 1 = 535 kroner H 0 = x kroner = 7 % Vi har laget en liste over verdiene til variablene. x x Vi har satt inn verdiene for variablene. x x Vi har multiplisert på begge sider med og har forkortet = x + 7x Vi har regnet ut hvert ledd = 107x Vi har trukket sammen leddene på høyre side. 107x = x x = 500 Kåpen kostet 500 kroner. Vi har byttet sider. Vi har dividert begge sider med tallet foran x. Vi har regnet ut høyre side og har funnet svaret. Vi har skrevet svarsetning. For begrunnelse av de forskjellige stegene i likningsløsningen, se D.3 (Likninger). 42

43 NIVÅ D C. VEKSTFAKTOR Vi ser at vekstfaktoren her har vært 1,07. Dette kan vi bruke ved på to måter: Enten å regne som likning eller brøkregning. Vi går gjennom brøkregningen: Prisen har økt med faktoren 1,07. Det innebærer at vi multipliserte den gamle prisen med 1,07. Svaret ble 535 kr. Vi finner derfor den gamle prisen ved å dividere 535 kr med 1,07: 535 kr : 1,07 = 500 kr 43

44 NIVÅ D D.4: Bruke renteformelen for deler av et år til å finne rentebeløpet. Eksempel-oppgave: Arne satte kr. i banken 15.januar. Han ville bruke penger på en utenlandsreise i juli. Hvor mange penger sto det på kontoen 1.juli når rentefoten er 2 % p.a. (Du kan regne at året har 360 dager.) BEGREPER Renteformelen for deler av et år: Ganske ofte står pengene i banken i deler av et år. Dersom en får opplyst hvor mange hele måneder pengene står i banken, regner vi ut renten etter denne formelen: r K p m 12 «r» står for renter i kroner. «K» står for kapitalen/innskuddet/lånet. «p» står for rentefoten. «m» står for antall måneder. Dersom en får opplyst eller kan finne ut antall dager pengene står i banken, bruker vi denne formelen: K p d r 360 «d» står for antall dager. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på B.3 (Prosent) og kombinerer det med brøkregning: D.1.a (Brøk) og D.1.b (Brøk). I tenkningen bygger vi også på det som er kalt «å gå veien om én 1». FORKLARING: Oppgaven går ut på å finne hvor mye Arne fikk i renter for perioden pengene sto på kontoen. Disse rentene skal så legges til innskuddet Arne har betalt inn. Vi må altså først finne rentene som Arne fikk. Da må vi begynne med å finne ut hvor mange dager pengene sto i banken. Da kan det være smart å tegne en linje som skal representere året. Vi regner 30 dager i hver måned. På linja markerer vi datoer: 15.januar 1.juli Antall dager:

45 NIVÅ D Vi ser at antall dager er: = 165 dager. Når vi løser denne oppgaven, går vi ut fra at vi klarer å finne renter for et helt år: 5000 kr 2 r 50kr 2 kr. Men det er rentene Arne ville fått dersom pengene sto inne et helt kalenderår. For å komme videre, finner vi ut hvor mye Arne får for hver dag pengene står i banken: kr : 360 dager = 0,27777 kr. pr. dag Ettersom pengene sto i banken i 165 dager, kan vi multiplisere dette beløpet med 165: 0,27777 kr. pr. dag 165 dager = 45,83 kr. Dette beløpet skal legges til innskuddet: 5000 kr + 45,83 kr = 5045,83 kr. Dette er en oversiktlig måte å tenke på. Men det er samtidig ganske arbeidskrevende. Vi bruker derfor i praksis brøkregning. Da kan vi forkorte, noe som forenkler utregninga: Slik kan du skrive: K p d r Vi har skrevet opp prosentformelen kr r Vi har satt inn verdier for variablene og forkortet. 825kr r 45, 83kr Vi har regnet ut verdien av brøken kr + 45,83kr = 5045,83 kr 1.juli sto det 5045,83 kr på kontoen til Arne Vi har lagt sammen innskuddet og rentene. Vi har skrevet svarsetning. KJEKT Å VITE (Dette er en begrunnelse/et bevis for renteformelen for deler av et år. Den følger logikken som ble brukt i B.2 (Prosent).) I forklaringen sa vi at vi kunne dele beløpet Arne ville fått dersom pengene sto i banken et helt kalenderår med 360 for å finne renter for én dag. Men i formelen står det at en ganger 360 med i nevneren. Og hvorfor kan en gange med antall dager i teller; - og da betyr det gange? Hvor er sammenhengen? Vi skal ta disse to momentene hver for seg: Først: Vi har funnet ut at for å finne renter for et kalenderår, skal en bruke følgende formel: K p r. 45

46 NIVÅ D Dette beløpet skal altså deles på 360 dager for å finne renter for én dag. Vi bruker resonnementet i D.1.b (Brøk): K p : 360 Vi har skrevet opp oppgaven K p 360 : Vi har skrevet det hele tallet 360 som en brøk. Dermed har vi 1 fått en oppgave med brøk delt på brøk. K p K p Vi har snudd den siste brøken og gjort om til multiplikasjon. Vi har brukt regnereglene for multiplikasjon av to brøker, -og vi har sløyfet 1-tallet i teller: Når vi ganger telleren med 1 blir ikke verdien forandret. Nå gjenstår det å vise at å gange dette uttrykket med antall dager, blir formelen slik den er gitt her. Det resonnementet er det samme som vi gjennomførte i B.2 (Prosent), som bygde på det vi gikk gjennom D.1.a (Brøk). Renteformelen for hele måneder blir bevist på samme måte. 46

47 NIVÅ E NIVÅ E: RENTESRENTER, FINNE VIS FORSKJELL PÅ TO TALL, FINNE RENTER AV ET TALL SOM STADIG ENDRES, REGNE SEG TILBAKE TIL %-TALLET FLERE GANGER, BRUKE RENTEFORMELEN FOR DELER AV ETR ÅR NÅR DAGER ELLER RENTEFOT ER UKJENT. Hvilket tall skal vi regne prosent av? Eller: hvilket tall tilsvarer % når det er oppgitt flere tall som kunne vært %? Svaret er: Det kommer an på sammenhengen. Hvordan dette svaret skal forstås, utdyper vi her. På forrige nivå fant vi ut rentene når beløpet sto inne i deler av et år. Hva når beløpet står inne i en periode som går over to kalenderår? Hva når et beløp står inne over mange år? På D-nivået lærte vi å regne oss tilbake til tallet som tilsvarte %. Hva skjer når dette må gjentas flere ganger? På D-nivået lærte vi også å finne renter for deler av et år. Men hva når dette er oppgitt, og vi skal finne antall dager /måneder pengene står i banken eller vi skal finne rentefoten? Alt dette får du svar på her. 47

48 NIVÅ E E.1: Regne rentesrenter. Eksempel-oppgave: Turid satte kroner i banken 1.juni til en rente på 2,5 % p.a. Hvor mye sto på kontoen 31.mai året etter? BEGREPER Rentesrenter: Det å få renter også av rentene. I det vi passerer nyttårsskiftet legges rentene til pengene en har lånt eller innskuddet vi har i banken. Etter nyttår øker kapitalen som vi skal regne renter av. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bruker vi D.4 (Prosent) to ganger. Tidsperioden skal deles utelukkende ved nyttår. FORKLARING: Først må vi bestemme rentene for perioden 1. juni 31. desember, d.v.s sju måneder. Dette rentebeløpet legges så til kapitalen som står i banken. Denne forhøyet kapitalen skal en så bestemme rentene til for perioden 1. januar 31. mai, d.v.s. fem måneder. Slik kan du skrive: For perioden 1. juni 31. desember: K p m r Vi har skrevet opp prosentformelen kr 2,5 7 r Vi har satt inn verdier for variablene kr 2,5 7 r 291, 67kr Vi har forkortet og funnet renten For perioden 1. januar 31. mai: Kapital: 20000kr + 291,67kr = 20291,67kr K p m r Vi har skrevet opp prosentformelen ,67kr 2,5 5 r 211, 37kr Vi har satt inn verdier for variablene. 12 Totalt: 20291,67kr + 211,37kr = 20503,04kr Vi har lagt sammen kapitalen og rentene. Det sto 20503,04kr på kontoen 31.mai. Vi har skrevet svarsetning. 48

49 NIVÅ E Dersom kroner hadde stått i et kalenderår, ville renten blitt 500kr. Rentesrenten gir altså 3,04 kroner i tillegg. Det virker ikke så mye, men dersom en regner rentesrenter over mange år, blir forskjellen meget stor. 49

50 NIVÅ E E.2: Finne økning hhv minskning i prosent mellom to oppgitte tall: Eksempel-oppgave: I en butikk koster en bok 120 kr. I nabobutikken koster den samme boken 150 kr. Hvor mange prosent dyrere er den dyreste enn den billigste og hvor mange prosent billigere er den billigste enn den dyreste. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP I innledningen sa vi at et sentralt punkt i undervisning i prosent er å framheve viktigheten av å bestemme hvilket tall som tilsvarer %. I denne oppgaven er dette satt på spissen: Her er det to tall som hver sin gang er %. Men når vi har bestemt %-tallet, er denne oppgaven helt i samsvar med D.2 (Prosent). FORKLARING: Det enkle svaret på spørsmålet om hvilket tall som tilsvarer %, er at det er det tallet vi sammenlikner med. Når vi spør hvor mange prosent dyrere er den dyreste enn den billigste, sammenlikner vi altså den dyreste med den billigste. Omvendt når vi spør hvor mye billigere den billigste er enn den dyreste. Slik kan du skrive: Første del: Når oppgaven er å finne ut hvor mye dyrere 150 kroner er sammenliknet med 120 kroner setter vi 120 kroner til %: Prisforskjell: 150 kr 120 kr = 30 kr Vi har skrevet forklarende innledning. Vi har regnet ut prisforskjellen. 30 kr : 120 kr = 0,25 25% Vi har delt delen på helheten, se D.2 (Prosent). Den dyreste er 25 % dyrere enn den billigste Vi har skrevet svarsetning Andre del: Når oppgaven er å finne ut hvor mye billigere 120 kroner er sammenliknet med 150 kroner setter vi 150 kroner til %: Prisforskjell: 150 kr 120 kr = 30 kr Vi har skrevet en forklarende innledning. Vi har regnet ut prisforskjellen. 30 kr : 150 kr = 0,20 20% Vi har delt delen på helheten, se D.2 (Prosent). Den billigste er 20 % billigere enn den dyreste Vi har skrevet svarsetning 50

51 NIVÅ E Som i D.2 (Prosent), kunne vi regne ut svarene på minst to andre måter. Vi må være fokusert på å sette inn korrekte tall for delen og helheten. 51

52 NIVÅ E E.3: Kan finne renter av beløp som stadig endrer seg. Eksempel-oppgave: Eva lånte kr. Hun begynte å tilbakebetale etter 5 år. Hvor mye var gjelden hennes når rentefoten var 3,75 % p.a.. BEGREPER Avdrag: Den delen av lånebeløpet du betaler tilbake til banken. Når du låner penger av banken, må du betale pengene tilbake til banken. De færreste betaler alt samtidig. De fleste vil betale tilbake med mindre beløp over mange år. Du kan for eksempel betale ned lånet ditt med like store avdrag over 10 år. Hvert avdrag blir en tidel av det du har lånt. (I tillegg til avdraget, må du betale renter på lånet.) KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her kopler vi B.3 (Prosent) sammen med rentesrenter, se E.1 (Prosent). Vi vil også bruke renteformelen slik den ble satt opp i D.3 (Prosent). FORKLARING: For å få oversikt over oppgaven, sier vi at Eva lånte kroner i år 0. Hun betalte verken renter eller avdrag i løpet av disse fem årene. Det medfører at beløpet Eva skylder banken øker hvert år med 3,75 %. Akkurat som i E.1 (Prosent), må vi tenke rentesrenter, - og vi må gjøre det fem ganger. I år 0 var lånet på kr. Rentene ble: kr 3, kr. I år 1 var lånet vokst til kr. Rentene ble: I år 2 var lånet vokst til kr. Rentene ble: I år 3 var lånet vokst til kr. Rentene ble: I år 4 var lånet vokst til kr. Rentene ble: kr 3, kr kr 3,75 91kr kr 3, kr kr 3, kr I år 5 var lånet vokst til kr. Dermed har vi funnet svaret. Noen vil kanskje si at her ble det mye regning før en kom fram til svaret. Dersom en bruker kalkulator, er det ikke så mye utregning: En skriver og setter dette tallet i minnet. Så trykker en «x 3,75 %» og trykker på «M+». (Da legger en til rentene til kapitalen som allerede står i minnet. På den måten finner vi den nye kapitalen.) Deretter må du få fram beløpet som nå står i minnet (ved hjelp av «MRC»-knappen). Denne operasjonen gjentar en fire ganger. Men dette kan også gjøres ved hjelp av regneark. Når vi bruker regneark, kan vi angi kapitalen med benevningen «kroner». Rentefoten kan angis i prosent. (Se etter at rentefoten 52

53 NIVÅ E får riktig verdi.) Da kan vi gange kapitalen med rentefoten uten å dele med : Maskinen gjør det for oss! Slik kan du bruke excel: Vi har regnet ut oppgaven ved hjelp av regneark. I celle C3 skrev vi inn følgende formel: «=B3*C$1» og kopierte den nedover. Dette er renteformelen slik den er gitt i B.3 (Prosent) oversatt til excel-språk. I celle B4 skrev vi inn følgende formel: «=B3+C3» og kopierte den nedover. (Når vi i renteformelen i celle C3skriver $-tegnet, vil maskinen hele tiden bruke verdien i C1 selv om vi kopierer. $-tegnet låser altså verdien fast til denne cellen.) Lånebeløpet hadde steget til kr ,95 i løpet av fem år. Vi har skrevet forklarende tekst i en tekstboks. Vi har bl.a. skrevet inn formlene vi har brukt. (I stedet kan vi skrive ut formelark.) Vi har skrevet svarsetning. Vi kan forenkle dette ved å bruke prosentformelen slik vi formulerte den i D.3 (Prosent): Slik kan du bruke excel: Vi har regnet ut oppgaven ved hjelp av regneark. I celle B4 skrev vi inn følgende formel: «=B3+B3*C$1» og kopierte den nedover. Dette er renteformelen slik den er gitt i D.3 (Prosent) oversatt til excel-språk. Lånebeløpet hadde steget til kr ,95 i løpet av fem år. 53 Vi har skrevet forklarende tekst i en tekstboks. Vi har bl.a. skrevet inn formlene vi har brukt. (I stedet kan vi skrive ut formelark.) Vi har skrevet svarsetning.

54 NIVÅ E Dette kunne også forklares ved hjelp av begrepet vekstfaktor: Vekstfaktoren her er 1,0375. I celle C1 setter vi inn vekstfaktoren. I celle B4 kunne vi ha satt inn formelen «=B3*C$1». KJEKT Å VITE I grunnskolen er denne oppgaven blitt gitt for at elevene skal dokumentere hvordan de på en effektiv måte kan bruke regneark. Men den kan også løses ved hjelp av en utviklet renteformel. Forutsetningen er at det gjennom flere år er den samme rentefoten. I år 0 er kapitalen (innskuddet/lånet) på K 0. Etter et år kaller vi kapitalen for K 1, som vi kan K 0 p skrive slik det ble gjort i D.3 (Prosent): K1 K 0. I henhold til E.1 (Algebra) kan en faktorisere dette uttrykket slik: (1 p K1 K 0 ). Etter ytterligere ett år, kan vi kalle kapitalen for K 2, som kan skrives slik: K1 p p K 2 K1 K1(1 ). Nå kan vi sette inn den verdien vi nettopp har funnet for K 1 : K1 p p p p K 2 K1 K1(1 ) K0 (1 )(1 ). I henhold til reglene for potenser (E.1 (Tall)), kan det siste skrives slik: p 2 K 2 K 0 (1 ). p p 2 p p 3 K 3 kan vi skrive slik: K3 K 2 (1 ) K0 (1 ) (1 ) K0 (1 ). Slik kan vi fortsette. Generelt kan vi skrive formelen etter n år slik: p K n K 0 (1 ) n Denne formelen kan vi bruke til å løse oppgaven. Det går fint å bruke kalkulator: Vi regner først ut potensen: I denne oppgaven er p = 3,75 %. Parentesen blir 1,0375. Dette tallet plasserer vi i minnet ved å trykke på «M+» samtidig som vi har det framme i displayet. Vi trykker deretter «x MRC =» fire ganger. Etter den fjerde gangen trykker vi «x =». Legg merke til at tallet 1,035 er det vi har kalt vekstfaktoren. Vi kaller vekstfaktoren for «v». Formelen kan derfor forenkles til: Kn K0 v n 54

55 NIVÅ E Vi kan også bruke regneark: Slik kan du bruke excel: Vi har regnet ut oppgaven ved hjelp av regneark I celle B3 skrev jeg inn følgende formel: «=B2*(1+B1)^5». Dette er renteformelen slik den er presentert her oversatt til excel-språk. Lånebeløpet hadde steget til kr ,95 i løpet av fem år. Vi har skrevet forklarende tekst i en tekstboks. Vi har bl.a. skrevet inn formlene vi har brukt. (I stedet kan vi skrive ut formelark.) Vi har skrevet svarsetning. KJEKT Å VITE Den formelen vi utledet ovenfor, kan vi intuitivt se at er korrekt. Men vi har strengt tatt ikke formelt bevist formelen. Når vi nå ønsker å gjennomføre et formelt bevis, flytter vi oss enda et steg vekk fra det en forventer fra grunnskole-elever. Grunnen til at vi allikevel tar med dette beviset her er at denne formelen er velegnet til å forklare en svært viktig måte å gjennomføre bevis på. Denne bevismåten er så viktig og velegnet at den har fått et eget navn: Induksjonsbevis: Induksjonsbevis har som utgangspunkt at vi har en regel eller formel som vi ønsker å bevise. Regelen/formelen har én variabel som har utelukkende hele, naturlige tall. I dette tilfellet er p n vår regel/formel slik: K n K0(1 ). Her kan K n, K 0 og p være hele tall eller desimaltall (eller brøk). Men n kan være hvilket som helst helt naturlig tall. Induksjonsbevis har da to viktige momenter. Disse kalles induksjons-grunnlaget og induksjons-steget. Induksjons-grunnlaget er at vi kan bevise at formelen er riktig for n = 1. Induksjons-steget er at dersom regelen gjelder for en bestemt generell verdi (altså for verdien n), så kan vi bevise at formelen er riktig også for den neste verdien av n, altså n+1. Dersom vi klarer å gjennomføre disse to bevisene, så har vi klart å bevise at formelen er riktig for alle heltallige verdier av n. Induksjons-grunnlaget er at denne formelen er riktig: (1 p K1 K0 ). Det har vi allerede bevist i foregående «Kjekt å vite». I induksjons-steget går vi ut fra at formelen er riktig for verdien n, altså at p n K n K0(1 ) 55

56 NIVÅ E Kapitalen vil i år n+1 vokse til følgende verdi: p Kn 1 Kn (1 ). Nå setter vi inn verdien for K n : p n p n n 1 K n 1 K0(1 ) (1 ) K0(1 ) Hvilket skulle bevises. Siden vi har bevist at formelen er riktig for n = 1, og at den er riktig for n som er 1 mer enn det vi har bevist, må formelen være riktig for alle heltallige verdier av n. 56

57 NIVÅ E E.4: Regne seg tilbake flere ganger hvor en hver gang må beregne tallet som er %. Eksempel-oppgave: I 2005 kostet en jakke 535kr. Den hadde steget hvert år siden 2000 med 4 %. Hva kostet jakken i 2000? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dette steget er en kombinasjon av D.3 (Prosent) og E.1 (Prosent). I praksis betyr det at en flere ganger må regne D.3 (Prosent)-oppgaver. FORKLARING: Vi må regne først tilbake fra 2005 til 2004 akkurat som i D.3 (Prosent). Deretter må en regne tilbake til 2003, så tilbake til 2002, 2001 og (I denne forklaringen bruker vi den siste føringsmåten under «A. GÅ VEIEN OM 1-ÉN») 535kr % I 2004 var prisen: 514,42kr 104% I 2003 var prisen: I 2002 var prisen: I 2001 var prisen: I 2000 var prisen: 514,42kr % 494,64kr 104% 494,64kr % 475,61kr 104% 475,61kr % 457,32kr 104% 475,61kr % 439,73kr 104% I stedet for å dele med 104 og deretter gange med, kunne en dele med 1,04. For 2004 ville det se ut slik: 535 kr : 1,04 = 514,42 kr. Tallene blir akkurat de samme. 535kr 535kr Begrunnelsen for at det er lov å dele med 1,04 er at en forkorter med : 104 1,04 Dersom en bruker kalkulator, kan en taste inn 535. Så trykker vi «delt med» og tallet «1,04». En trenger ikke å taste «=»: En kan fortsette å taste «delt med» og «1,04». Dette gjør en til en kommer fram til år Dette kan gjøres ved hjelp av regneark: Slik kan du bruke excel: 1,04 1 Prisen i 2000 var 440kr I celle B4 skrev vi inn følgende formel: «=B3/(1+B$1)». Dette er renteformelen slik den ble brukt ovenfor. Denne kopierte 57 vi nedover. Vi har regnet ut ved hjelp av regneark, skrevet forklarende tekstboks og avsluttet med svar setning.

58 NIVÅ E Også her kunne vi bruke vekstfaktor: I celle B4 kunne vi ha skrevet «=B3/1,04». KJEKT Å VITE I grunnskolen er også denne oppgaven blitt gitt for at elevene skal dokumentere hvordan de på en effektiv måte kan bruke regneark. Men oppgaven kan også løses ved hjelp av p n renteformelen som vi brukte i E.3 (Prosent): H n H0(1 ). Vi har byttet ut K (for kapital) med H (for «helhet» eller her «pris»). Oppgaven går ut på å finne H 0. Vi kan for eksempel løse den som en likning: Slik kan du skrive: H p Vi har skrevet opp prosentformelen. 5 5 H0(1 ) H 5 = 535 kr H 0 = x kr = 4 % Vi har laget en liste over verdiene til de forskjellige variablene x (1 ) Vi har satt inn verdiene fra verditabellen inn for variablene. Vi har fått en likning x 1,04 x 1,21665 Vi har regnet ut parentesen. 1,21665x 1, ,21665 x = 439, Venstre og høyre side har byttet plass og vi har delt begge sidene med tallet foran x og har forkortet. Vi har regnet ut begge sider. Prisen i år 2000 var 440 kr. Vi har skrevet svarsetning. Oppgaven kan også regnes ved hjelp av regneark: Slik kan du bruke excel: Vi har regnet ut ved hjelp av excel. I celle B3 har vi skrevet inn følgende formel: «=B2/(1+B1)^5». Prisen i 2000 var kr.440 Vi har skrevet forklarende tekstboks Vi har skrevet svarsetning. 58

59 NIVÅ E E.5: Bruke renteformelen for deler av et år når antall dager eller rentefoten er ukjent. Eksempel-oppgave: Tove satte 13.mars kr. inn i banken. Senere samme år fant hun ut at hun nå hadde opptjent 75 kr. i renter. På hvilken dato hadde hun opptjent 75 kr i renter? Rentefoten var 2,5 % p.a.? (Du kan regne at året har 360 dager.) KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her går vi tilbake til D.4 (Prosent). Formelen som ble gjennomgått der, er aktuell også i dette punktet. Forskjellen er at mens det i D.4 (Prosent) er rentebeløpet som skulle regnes ut, så er det enten kapitalen, rentefoten eller antall dager/måneder som det spørres etter i dette punktet. FORKLARING: Det er (minst) to måter å løse denne oppgaven på: «Gå veien om 1 én» eller «Likning». Den første løsningsmåten vil variere noe ettersom det er kapitalen, rentefoten eller antall dager som er ukjent. Den andre løsningsmåten er den samme uavhengig av hvilken størrelse som er ukjent. A. «GÅ VEIEN OM 1 ÉN» Vi skal forklare hvordan vi løser alle løsningsmetodene: a. KAPITALEN ER UKJENT: Oppgave: Peter har på 140 dager har opptjent 583,33 kr i renter. Hvor mange penger sto i banken? (Rentefoten var 3 % p.a.) Løsning: Her kan en finne hvor mye en tjener på 1 dag: 583,33 kr : 140 dager = 4,17 kr/dag På 360 dager: 4,17 kr/dag 360 dager = 1500 kr Så finner en hvor mye renter 1 % ville gi: 1500 kr : 3 % = 500 kr/% Hundre prosent vil da bli: 500 kr/% % = kr. b. RENTEFOTEN ER UKJENT: Oppgave: Mariann satte kr i banken og lot dem stå i 5 måneder. Hun fikk 33,33 kr i renter. Hva var rentefoten? Løsning: Her kan en finne hvor mye Mariann vill fått dersom rentefoten var 1 % p.a.: 4000kr ,67kr 12 For å finne ut rentefoten deler vi rentene Mariann fikk på antall kroner for hver prosent: 33,33 kr : 16,67 kr/% = 1,999 % 2,0 % c. ANTALL DAGER ER UKJENT: Oppgave: Her bruker vi eksempel-oppgaven. Legg merke til at i eksempel-oppgaven spør en etter en dato. For å finne denne datoen, må en først finne antall dager: Løsning: Først finner vi hvor mye Tove ville fått dersom kr sto i banken i én dag: 59

60 NIVÅ E 12000kr 2,5 1 0,83kr 360 Ettersom Tove får 75 kroner i renter, må en finne ut hvor mange ganger 0,83kr går opp i 75 kr: 75 kr : 0,83 kr/dag = 90 dager. Tove satte pengene i banken 13. mars. 90 dager tilsvarer 3 måneder. Tove hadde tjent 75 kroner i renter 13. juni. (Datoen kan finnes ved hjelp av tidslinje, se D.4 (Prosent).) B. LIKNING Her er løsningsmetoden lik for alle tre problemstillingene. Vi går derfor bare gjennom eksempel-oppgaven: Slik kan du skrive: K p d r Vi har skrevet opp prosentformelen. 360 r = 75 kr K = kr p = 2,5 % d = x dager ,5 x ,5 x Vi har laget en liste over verdiene til de forskjellige variablene. Vi har satt inn verdiene fra verditabellen inn for variablene. Vi har fått en likning, se B.4 (Likning). Vi har forkortet ,5 x 75 Vi har fortsatt med å forkorte ,5 x 75 Vi har forenklet brøken. 3 2,5 x Vi har ganget på begge sider med nevneren og har forkortet. 2,5x = 225 Venstre og høyre side har byttet plass. 2,5x 2, ,5 x = 90 Vi har delt på begge sider med tallet foran x og har forkortet. Vi har funnet verdien for x; - vi har funnet antall dager pengene sto i banken Pengene hadde stått i banken til 13. juni 60 Vi har skrevet svarsetning.

61 NIVÅ F NIVÅ F: KOMBINERE UTREGNINGER NÅR TO/TRE TALL ER %, FINNE GJENNOMSNITTLIG ENDRING OVER FLERE LEDD, VURDERE ENDRING MELLOM ULIKE STØRRELSER. Vi har flere ganger regnet fra det ene tallet som tilsvarer % til neste tall som tilsvarer %. Men hva gjør vi når vi ikke finner en slik trinnvis vei fra det ene %-tallet til det neste? I første omgang skal vi se på situasjoner der det teksten henviser til to tall som tilsvarer %. Senere skal vi se på oppgaver der tre tall tilsvarer %. Vi har også lært å regne bakover flere ganger og hver gang finne tallet som tilsvarer %. Men hva dersom vi har endringene over flere ledd (f.eks. flere år) og skal finne prosentilet? Hva har steget mest: Lønningene eller prisene? Vi skal se hvordan vi kan finne svar på slike oppgaver. 61

62 NIVÅ F F.1: Kombinere prosentutregninger hvor det er to ulike tall som er % og hvor ingen av dem er eksplisitt oppgitt. Eksempel-oppgave: I en 8. klasse kom elevene fra flere barneskoler. 25 % av elevene kom fra «Toppen skole». Rett før høstferien begynte det tre elever som ikke hadde gått på «Toppen skole». Da var det 22,22 % av elevene som hadde gått på «Toppen skole». Hvor mange elever gikk i denne 8.klassen ved skolestart? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her går vi helt tilbake til A.1 (Prosent). Dessuten bygger vi på D.2 (Likninger). FORKLARING: I denne teksten er det to forskjellige tall som tilsvarer %. I andre periode i oppgaveteksten er antall elever i klassen før elevtallsøkningen %-tallet. I fjerde periode er det antall elever i klassen etter elevtallsøkningen som er %-tallet. Det er heller ikke noen direkte måte først å regne det ene %-talletfor deretter å regne det andre %-tallet. Det kan være flere måter å løse oppgaven på, for eksempel «prøve-og-feile». Her bruker vi likning. Da må vi finne en opplysning som vi kan skrive på to måter. Disse to måtene å skrive opplysningen på, må være like store; - og da får vi en likning. Slik kan du skrive: Antall elever som gikk i klassen ved skolestart: x elever Antall elever etter økning i antall elever: (x+3) elever Antall elever som gikk på Toppen skole ved 0,25 x elever skolestart: Antall elever som gikk på Toppen skole etter 0,2222 (x+3) elever økning: Siden ingen av de nye elevene har gått på Toppen skole, vet vi at de to uttrykkene er like store Vi har skrevet en forklarende tekst. (Her har vi gjort det i form av en tabell.) Prosent-tallene i oppgaveteksten er skrevet som desimaltall, se A.1.a (Prosent). 0,25 x = 0,2222 (x + 3) Vi har satt opp en likning, se D.2 (Likninger). 0,25x = 0,2222x + 0,6666 Vi har brukt den distributive lov. 0,25x 0,2222x = 0,6666 Vi har trukket fra 0,22x på begge sider. 0,0278x = 0,6666 Vi har regnet ut venstre side. 0,0278x 0,0278 0,6666 0,0278 x = 23,98 24 Ved skolestart var det 24 elever. Vi har dividert med tallet foran x på begge sider. Vi har forkortet venstre side og regnet ut høyre side. Vi har skrevet svarsetning. 62

63 NIVÅ F Vi ønsker å forsikre oss om vi har regnet riktig. Det gjør vi ved å finne ut om tallet vi har funnet, stemmer med opplysningene i oppgaveteksten: 24elever Hvor mange hadde gått på Toppen skole ved skolestart: 6elever. 2. Etter elevtallsøkningen er det 27 elever i klassen. 6elever 3. Andelen disse seks elevene er av 27: 0, elever Tallene stemmer: Vi har regnet riktig! 63

64 NIVÅ F F.2: Finne ut gjennomsnittlig endring i prosent over flere ledd. Eksempel-oppgave: I 2000 kostet en bil kr. I 2006 kostet den samme bilen som ny kr. Hva var den gjennomsnittlige årlig prosentvise økningen? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Oppgaven er innenfor samme tenkningen som i E.3 (Prosent) og E.4 (Prosent). Forskjellen er at det på dette steget er det prosenten som skal finnes. FORKLARING: A. BRUKE RENTEFORMELEN Det er mulig å finne svaret uten å bruke regneark, men det er arbeidskrevende. Derfor går vi gjennom en løsningsmåte hvor en bruker regneark. Vi går gjennom fire løsningsmåter. De tre første er egentlig en «prøve-og-feile»-metode. Slik kan du bruke excel: Vi har regnet ut ved hjelp av regneark, skrevet forklarende tekstboks og avsluttet med svar setning. KJEKT Å VITE I celle B3 skrev vi inn følgende formel: «=B2*(1+C$2)». Denne kopierte vi nedover. Så prøvde vi oss fram med verdier for prosentvis økning til vi hadde funnet et tall i celle B8 som var så nært kr som mulig. Den årlige prisstigningen har vært 6,49 % Nå ser en den store fordelen ved å bruke «faste adresser», d.v.s. låse formelen i regnearket til én bestemt celle ved å bruke $-tegnet; - vi trenger ikke kopiere hele regnearket: Vi setter inn nye verdier i celle C1 og følger med hvor stort beløpet i 2006 blir. 64

65 NIVÅ F B. BRUKE VEKSTFAKTOR I stedet for å bruke renteformelen, kan en bruke formelen med vekstfaktoren, se C.2 (Prosent). Slik kan du bruke excel: Vi har regnet ut ved hjelp av regneark, skrevet forklarende tekstboks og avsluttet med svar setning. KJEKT Å VITE I celle B3 skrev vi inn følgende formel: «=B2*C$2». Denne kopierte vi nedover. Så prøvde vi oss fram med verdier for prosentvis økning til vi hadde funnet et tall i celle B8 som var så nært kr som mulig. Den årlige prisstigningen har vært 6,49 % Vi har tolket vekstfaktoren til en prosentverdi. KJEKT Å VITE I E.3 (Prosent) utviklet vi en formel for hva en kapital vokser til i løpet av n år ved fast rentefot. Denne formelen brukte vi i E.3 (Prosent) og i E.4 (Prosent). Vi kan bruke den her også: Slik kan du bruke excel: Vi har regnet ut ved hjelp av regneark, skrevet forklarende tekstboks og avsluttet med svar setning. I celle B3 skrev vi inn følgende formel: «=B2*(1+C2)^6». Så prøvde vi oss fram med verdier KJEKT for prosentvis Å VITE økning til vi hadde funnet et tall i celle B8 som var så nært kr som mulig. KJEKT Å VITE Den årlige prisstigningen har vært 6,49 % 65