6.2 Eksponentiell modell

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "6.2 Eksponentiell modell"

Transkript

1 Oppgave 6.14 Du arbeider i klasse og du vil bruke oppgave 6.13 til å arbeide med formalisering. Lag en oppgavetekst der du først lar eleven regne ut lønn etterhvert som du varierer antall brosjyrer. Led dem videre til å utvikle/se sammenheng med funksjonsformelen. Vær nøye med å skrive denne oppgaven ut slik du vil legge den fram for elevene. 6. Eksponentiell modell Når vi har arbeidet med den rette linja har vi tenkt additivt, vi har lagt til like stor verdi for like lange tidsintervall (-verdier). I en eksponentiell modell tenker vi multiplikativt, vi multipliserer med like stor verdi for like lange tidsintervall (-verdier). Arbeidsoppgave Oppgaven under kan arbeides med av barn fra. 3. klasse og oppover til studenter. Den er hentet fra materialet: Leik med tall, Caspar forlag. KAPITTEL 6 79

2 Kan du finne en formel som forteller deg hvor mange mus det er til en hver tid? Fremstill dette grafisk. Sammenlign veksten du ser her med lineær vekst, hvordan vil du beskrive denne veksten? Dette er en modell for hvordan en musefamilie vokser. Har du noen innvendinger mot modellen? Hvilke spørsmål tror du en 4. klassing vil stille til en slik modell? Hvordan kan du med utgangspunkt i denne oppgaven arbeide med matematiske modeller sammen med elever? oooooo I modell B side 68 la vi til grunn en tanke om like stor prosentvis økning hvert år. At noe vokser med en fast prosent er det samme som at noe vokser eksponentielt. Vi finner det neste tallet i tabellen ved å gange med et fast tall. (Her aktualiseres potensreglene, se kapitel 1.6) La oss si at vi tipper at elevtallet har vokst med 10 % årlig i denne perioden. Vi får da følgende tabell (tallene er avrundet til nærmeste hele tall.): År etter Antall elever År etter Antall elever Vi ser at dette ikke var så dum gjetting. Tallene i tabellen får vi fram ved prosentregning som under: o.s.v. Etter 1 år : + Etter år: Etter 3 år: 11+ Etter 10 år: = 110 = 11 = 133 = ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

3 Vi kan også se dette slik: = + = + = 11, = + = + = , = ( 11, ) 11, = 11, 10 ( ) = = + = + = 11 11, = 11, 10 11, 1,1 o.s.v ( ) = = + = = 36 11, = 11, 11, 11, Det betyr altså at vi finner elevtallet etter et visst antall år ved å ta startverdien, og gange med 1,1 like mange ganger som vi har år. Elevtallet etter 7 år vil da være: 11 7,. Ser vi på elevtall som en funksjon av tiden får vi følgende funksjonsforskrift: f( ) = 11,, der er antall år etter Vi tegner funksjonens graf: f() Generelt kan alle eksponentialfunksjoner skrives på formen: f( ) = ka KAPITTEL 6 81

4 Her er k er startverdien, i vårt eksempel elevtallet i 1989, a er konstanten vi ganger med hver gang og er den uavhengige variable, ofte tid. Når noe vokser med en fast prosent, f.eks 6, får vi: a = 1+ 6 eller a = 106, I elevtall-eksempelet kan vi tenke oss at denne utviklingen også hadde pågått før Vi kan da finne elevtallet i 1988 ved å dele elevtallet i 1989 på 1,1: = 90, , Vi kan finne elevtallet for 1987 ved å ta tallet i 1988 å dele på 1,1, som altså må bli det samme som tallet i 1989 delt på 11, : Elevtallet i 1987: 91 11, = = = 8, , 11, 11, Dette kan også skrives = 11,, slik ser vi at eksponentialfunksjoner kan ha definisjonsmengde som også omfatter negative 11, tall. Slik vil det altså være mulig å fortsette. (Se kapittel 1.6 for regler for potensregning.) Oppgave 6.15 En harebestand bestod i 1985 av 5000 dyr. Bestanden har økt med 4 % i året fram til i dag. Tegn dette inn i et koordinatsystem. Se på mengden av harer som funksjon av tiden, og finn en formel som beskriver denne utviklingen. Hva vil du si om definisjons- og verdimengde her? Vi tenker oss at denne bestanden også i årene før 1985 vokste på samme måte. Finn ut hvor stor bestanden var i 1980 og i oooooo I slike tilfeller er det også aktuelt å spørre om når veksten har nådd et gitt punkt, f.eks. når vil ha 350 elever hvis denne utviklingen fortsetter?, når vil harebestanden være fordoblet? o.s.v. Det vi da leter etter er -en i uttrykket 11, = 350. Likninger hvor den 8 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

5 ukjente forekommer i eksponenten kalles eksponentiallikninger. For å løse disse eksakt trenger vi logaritmer, her nøyer vi oss med å prøve oss fram og å lese av på grafen. Vi går tilbake til elevtall-eksempelet, og ser at 10 % årlig økning er litt for mye hvis vi skal ha 50 elever i Hva kan vi gjøre for å finne den korrekte prosenten? Vi vet utfra formelen for eksponentiell vekst at a = 50. a repesenterer her 1+ p, der p er den årlige prosentvise veksten. Det er altså denne a-en (og p-en) vi må bestemme. Vi får følgende likning hvor a er ukjent: 10 a = 50 eller a = =, 5 Vi må finne ut hvilket tall som ganget med seg selv 10 ganger gir,5. Dette finner vi ved å ta 10.-roten av begge sider i ligningen, slik: a = 10, 5 eller a 1096,. Vi bruker kalkulator for å finne 10.-roten av et tall. p At a = 1096, betyr: a = 1+ = 1096,, altså p = 9, 6. Det vil si at elevtallet har økt med 9,6 % i året i 10 år. 10 Oppgave 6.16 Innbyggertallet i Storvik var i , i 1990 var det økt til 600. Vi antar at veksten har vært eksponentiell, finn ut hvor mange prosent det har økt med årlig. Hvis denne økningen fortsetter, hvor mange innbyggere vil det da være i Storvik i år 000? La oss anta at det også i årene før 1975 var en slik økning. Hvor stort var da innbyggertallet i 1968? Lag en graf som illustrerer denne sammenhengen. Når vil innbyggertallet passere 0? (Se på grafen.) Eksempel 6.3 Vi har til nå sett på eksempler der noe øker med en fast prosent. Vi kan også ha tilfeller der noe avtar med en fast prosent. En bil koster ny , kr. Vi regner med at verdien faller med 15 % i året. Vi skal finne bilens verdi etter tre år. Vi finner følgende sammenheng som viser verdien et gitt antall år etter utgangspunktet: f( ) = , 85, der angir antall år. KAPITTEL 6 83

6 Vi finner da at verdien etter 3 år er 98 60,. Vi tegner graf: oooooo Generelt har vi at når noe, k, synker med en fast prosent, f.eks 6 % per enhet, får vi følgende sammenheng: 6 f( ) = k 1 = k 0, 94 Ser vi på det generelle uttrykket for eksponentialfunksjoner, f( ) = ka, ser vi: når noe øker med en fast prosent vil a være større enn 1, det vokser fortere og fortere når noe avtar med en fast prosent blir a et tall mellom 0 og 1, det avtar mest i starten, saktere etter hvert. Dette vil gi følgende grafer. (Å se på a mindre enn 0 er meningsløst.) a>1 0<a<1 84 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

7 Vekstfaktor Oppgave 6.17 Vi ser på en tabell over folketallet i Skråma kommune. Det har i en periode fra 1970 og framover økt med 4 % i året. År her angir antall år etter År Folketall År Folketall År Folketall År Folketall Hva blir forholdet mellom folketallet i 1975 og 1970? Se videre på forholdet mellom folketallet i 1980 og 1975, hva blir det? Hvilken konklusjon vil du trekke? Kan du gjette deg til forholdet mellom folketallet i 1983 og 1978? Velg en annen tidsforskjell enn 5 år og se hvordan dette blir. oooooo For å finne folketallet om ett år i oppgaven over, tar vi årets tall og multipliserer med 1,04. Dette kan vi gjøre uansett hvor i tabellen vi går inn. Hvis vi ønsker å finne folketallet etter et gitt antall år, f.eks. 5, gjør vi det samme. Vi tar folketallet et år og multipliserer med 1,17. Da finner vi folketallet 5 år senere. Vi kaller det tallet vi multipliserer med for vekstfaktor, og sier at til samme tidsrom hører samme vekstfaktor. Vi er ofte interesserte i doblingstiden (eller halveringstiden) for en funksjon. I Skråma blir folketallet fordoblet etter i underkant av 18 år, det betyr at etter nye 18 år vil befolkningen ha økt til (hvis veksten fortsetter på samme måte). Altså: Til tidsrommet 18 år hører vekstfaktoren. Oppgave 6.18 Gå tilbake til elevtalleksempelet side 83, finn doblingstida her. Finn vekstfaktoren som hører til tidsrommet 3 år. KAPITTEL 6 85

8 Oppgave åringer starter en sykkelklubb. De reparerer sykler, reiser på sykkelturer og arbeider med trafikkspørsmål. De finner ut at de vil verve medlemmer og organisere en større klubb. De setter seg som mål at hvert medlem skal verve 3 nye medlemmer pr. kvartal. De vil i første rekke sette en grense på 0 medlemmer. Ved frafall vil de ha en venteliste å plukke av. a) Utviklingen går slik det første året: Måned Jan Febr Mars April Mai Juni Ant. medl Måned Juli Aug Sep Okt Nov Des Ant. medl Vis denne utviklingen grafisk i et koordinatsystem. Finn gjennomsnittlig vekst pr. måned. Vis det grafisk. Bruk grafen til å vise når veksten var under eller over gjennomsnittet. Forklar hvordan du ser dette. b) Gå tilbake og se på barnas målsetting. Uttrykk ønsket medlemstall som funksjon av tiden med utgangspunkt i denne målsettingen. Sett opp funksjonsformelen og tegn grafen i det samme koordinatsystemet som i a). Hva kalles en slik funksjon? Har denne funksjonstypen noen særegenheter? I noen perioder er veksten høyere enn planlagt, i andre er den lavere. Vis dette grafisk. Hvor lang tid ville de brukt på å nå målsettingen sin dersom de hadde klart å følge oppsatt skjema? Vis at du kan bruke det du kan om vekstfaktor til å finne medlemstallet om fem år og ti år dersom en slik utvikling hadde blitt slik de ble. c) Vi ser at barna burde vært mer realistiske og valgt en annen modell som sin målsetting. Hvilken modell ville du satt opp for den utviklingen som viste seg å være realistisk? Gi funksjonsformel og vis grafisk. Hva kalles en slik funksjon? Har denne noen særegenheter? Hvor lang tid ville det tatt før de etter en slik plan hadde 0 medlemmer? Finn dette grafisk og ved regning. Barna brukte ikke det matematiske språket i sin målsetting, de brukte dagligspråk: «Hvert medlem verver tre nye hvert kvartal». Sett slikt språk på den siste funksjonen du har valgt som modell. 86 ALGEBRA OG FUNKSJONSLÆRE

9 Oppgave 6.0 (utsatt årsprøve kvartårskurs Bergen Lærerhøgskole 1987) a) I 1987 har kaffeprisene gått ned. I en butikk vil vi finne at en pose kaffe kostet 16, kr. pr. 1/1 og at prisen 1/11 var sunket til 8, kr. Vi ber deg ta utgangspunkt i følgende modell: Prisen har sunket jevnt, med det mener vi at den har sunket med like stort beløp per tidsenhet. Se på prisen som en funksjon av tiden, tegn graf og gi funksjonsformel. (Råd: bruk måned som enhet på tidsaksen.) Bruk denne modellen og finn prisen per 1/ og 1/5, grafisk og ved regning. b) Ta utgangspunkt i prisen du fant per 01.0 i a), hvor stor er nedgangen i prosent fra 1/1 til 1/? Kall denne prosentsatsen n. La oss si at prisen hadde utviklet seg etter en annen modell: prisen avtar med n % per mnd. Tegn graf og gi formel for denne funksjonen. Sammenlign de resultatene du finner her med resultatene du kom fram til i a). Vi har bedt deg arbeide med to typer funksjoner, en i a) og en i b). Hvilke kjennetegn har disse? c) Som sagt: Prisen sank fra 16, til 8, kr. på disse 10 månedene. Hvor mange prosent ville den ha sunket med per måned hvis vi velger å anta en like stor prosentvis nedgang per måned, og vi tar utgangspunkt i at den sank med 50 % på 10 mnd.? d) Du underviser i 7. klasse. Elevene har organisert sparing i denne klassen, de betaler av lommepengene sine og får inn penger til ulike tiltak. De har satt seg et stort mål; om to år skal pengene brukes (Resten av rammen avgjør du selv.) Vis hvordan du vil bruke denne bakgrunnen til å arbeide med sentrale begrep innenfor funksjonslæra. Det må være et mål at disse begrepene skal være nyttige for elevene i denne situasjonen. KAPITTEL 6 87

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + =

( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) = + = 6. Lineær modell I modell A (foregående side) la vi til grunn en tanke om like stor tilvekst pr. tidsenhet. Vi kan lage tabell: År 989 990 99 992 993 994 År etter 989 0 2 3 4 5 Antall elever 00 5 30 År

Detaljer

Prosent og eksponentiell vekst

Prosent og eksponentiell vekst 30 2 Prosent og eksponentiell vekst MÅL for opplæringen er at eleven skal kunne gjøre suksessive renteberegninger og regne praktiske oppgaver med eksponentiell vekst 2.1 Prosentfaktorer Når vi skal regne

Detaljer

( ) ( ) Vekstfaktor. Vekstfaktor

( ) ( ) Vekstfaktor. Vekstfaktor Vekstfaktor Fagstoff Listen [1] Hvis folketallet i en by vokser med 5 % hvert år i perioden 1995 til 2015, så sier vi at folketallet har en eksponentiell vekst i disse årene. Eva setter 10 000 kroner på

Detaljer

Tallet 0,04 kaller vi prosentfaktoren til 4 %. Prosentfaktoren til 7 % er 0,07, og prosentfaktoren til 12,5 % er 0,125.

Tallet 0,04 kaller vi prosentfaktoren til 4 %. Prosentfaktoren til 7 % er 0,07, og prosentfaktoren til 12,5 % er 0,125. Prosentregning Når vi skal regne ut 4 % av 10 000 kr, kan vi regne slik: 10 000 kr 4 = 400 kr 100 Men det er det samme som å regne slik: 10 000 kr 0,04 = 400 kr Tallet 0,04 kaller vi prosentfaktoren til

Detaljer

Kapittel 3. Prosentregning

Kapittel 3. Prosentregning Kapittel 3. Prosentregning I dette kapitlet skal vi repetere prosentregningen fra Matematikk 1P. Hovedemnene er: Forstå hva prosent er. Regne ut hvor mange prosent noe er av noe annet (finne prosenttallet).

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

2P kapittel 2 Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Av tabellen ser vi at y minker like mye hver gang x øker med 1. Tallene passer derfor med en lineær funksjon. b Hver gang x øker med 1, minker

Detaljer

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner

Funksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den

Detaljer

Løsningsforslag Prøve kapittel 1-2PY, Klasse 4B

Løsningsforslag Prøve kapittel 1-2PY, Klasse 4B Løsningsforslag Prøve kapittel 1-2PY, Klasse B Henrik Vikøren October 1, 201 Del 1 - Uten hjelpemiddel 30 min Oppgave 1 Regn ut: (2 2 ) 3 2 2 = 2 2 3 2 2 = 2 6 +1 = 2 3 = 8 (2 3 2 2 16a = 23 a 3 2 2 2

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Oppgave 1 (2 poeng) Nedenfor ser du hvor mange snegler Astrid har plukket i hagen hver kveld de ti siste kveldene. 10 5 22 28 2 8 50 15 40 10 Bestem gjennomsnittet

Detaljer

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene

2T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene T kapittel 3 Modellering og bevis Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Modellen gir følgende verdier for årene i oppgaven: År 1955 1985 015 Folketall (millioner) 3,5 4, 4,8 b Setter vi inn for = 00

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

3 Prosentregning vekstfaktor og eksponentiell vekst

3 Prosentregning vekstfaktor og eksponentiell vekst 3 Prosentregning vekstfaktor og eksponentiell vekst Prosent (pro cent) betyr «av hundre» eller «hundredeler». I mange sammenhenger står prosentregning svært sentralt. Prisstigning (inflasjon) måles i prosent.

Detaljer

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering

Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering Basisoppgaver til Tall i arbeid Påbygging kap. 4 Modellering 4.1 Mer om lineær vekst 4.2 En lineær modell på øyemål 4.3 Lineær regresjon 4.4 Modellering med polynomfunksjoner 4.5 Modellering med eksponentialfunksjoner

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Nedenfor ser du hvor mange snegler Astrid har plukket i hagen hver kveld de ti siste kveldene. 10 5 22 28 2 8 50 15 40 10 Bestem gjennomsnittet, medianen og

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for

Detaljer

En fjerdedel er 25 %. En halv er 50 %. Tre fjerdedeler er 75 %. En hel (det hele) er 100 %

En fjerdedel er 25 %. En halv er 50 %. Tre fjerdedeler er 75 %. En hel (det hele) er 100 % En fjerdedel er 25 %. En halv er 50 %. Tre fjerdedeler er 75 %. En hel (det hele) er % = pv gv er grunnverdien ps er prosentsatsen pv er prosentverdien pv er ps prosent av gv Når vi kjenner to av de tre

Detaljer

Kapittel 3. Prosentregning

Kapittel 3. Prosentregning Kapittel 3. Prosentregning I dette kapitlet skal vi repetere og utvide prosentregningen fra grunnskolen. Hovedemnene er: Forstå hva prosent er. Regne ut hvor mange prosent noe er av noe annet (finne prosenttallet).

Detaljer

Kapittel 4. Prosentregning

Kapittel 4. Prosentregning Kapittel 4. Prosentregning I dette kapitlet skal vi repetere og utvide prosentregningen fra grunnskolen. Hovedemnene er: Forstå hva prosent er. Regne ut hvor mange prosent noe er av noe annet (finne prosenttallet).

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner 14 4 Grafer og funksjoner Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder omforme en praktisk problemstilling

Detaljer

Her er C en funksjon av F

Her er C en funksjon av F Kapittel 9 FUNKSJONER C F 50 58 40 40 0 0 4 0 4 0 0 50 0 68 0 86 40 04 50 9 F C + 5 Her er F en funksjon av C Dette er like ra C 5 9 F 60 9 Her er C en funksjon av F Kapittel 9 FUNKSJONER Det norske oljeeventyret

Detaljer

Regning med tall og algebra

Regning med tall og algebra Regning med tall og algebra Dette er en variert samling av oppgaver. De kan alle løses ved algebraisk, men det fins også andre måter å løse dem på. Man kan bruke kvadratsetningene, potensregning, prosentregning

Detaljer

R1 -Fagdag

R1 -Fagdag R1 -Fagdag 3-05.11.2015 Kommentarer Hovedfokus: Trene på å bruke GeoGebra. Fordype oss i fagstoff om logaritmer, funksjoner og grenseverdier I Logaritmer 1) Bevis at lgx ln x ln 10 og at lgx lge ln x.

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

Utvalgte løsninger oppgavesamlingen P kapittel Modellering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 01 a Snitthøyden i 1910 lir 170,0 171, 4 170,7. I 1970 lir den 177,1 179, 4 178,3. Med som antall år etter 1900 og y som snitthøyden i entimeter

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

2 Prosent og eksponentiell vekst

2 Prosent og eksponentiell vekst 2 Prosent og eksponentiell vekst 196 KATEGORI 1 2.1 Prosentfaktorer Oppgave 2.110 Finn prosentfaktoren til a) 18 % b) 60 % c) 11 % d) 99 % e) 49 % f) 1 % Oppgave 2.111 Finn prosenten når prosentfaktoren

Detaljer

Løsningsforslag eksamen matematikk 2P 26. mai 2014. Del 1. Setter tallene i stigende rekkefølge for å lettere finne medianen og variasjonsbredden

Løsningsforslag eksamen matematikk 2P 26. mai 2014. Del 1. Setter tallene i stigende rekkefølge for å lettere finne medianen og variasjonsbredden Oppgave 1 Del 1 Gjennomsnitt= 10+5+22+28+2+8+50+15+40+10 = 190 10 10 =19 Astrid plukket i gjennomsnitt 19 snegler i hagen hver kveld Setter tallene i stigende rekkefølge for å lettere finne medianen og

Detaljer

Eksamen 2P, Høsten 2011

Eksamen 2P, Høsten 2011 Eksamen P, Høsten 011 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) a) Skriv på standardform 1) 533 milliarder 9 11

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) Nedenfor ser du hvor mange snegler Astrid har plukket i hagen hver kveld de ti siste kveldene. 10 5 22 28 2 8 50 15 40 10 Bestem gjennomsnittet og medianen for

Detaljer

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene

2P kapittel 2 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene P kapittel Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene.1 a c d e y = 4x+ 1 Stigningstallet er 4. Konstantleddet er 1. Linja skjærer altså y-aksen i punktet (0,1). y = 3x 4 Stigningstallet er 3. Konstantleddet

Detaljer

Kapittel 4. Prosentregning

Kapittel 4. Prosentregning Kapittel 4. Prosentregning I dette kapitlet skal vi repetere og utvide prosentregningen fra grunnskolen. Hovedemnene er: Forstå hva prosent er. Regne ut hvor mange prosent noe er av noe annet (finne prosenttallet).

Detaljer

Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag

Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag Stigningstall og konstantledd, løsningsforslag Oppgave: Løsningsforslag Listen [1] Oppgave Oppgave 1 a) Skriv ned stigningstallet og konstantleddet i de tre funksjonene under. 1. f(x) = x + Stigningstall

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Va ren 2014 Oppgave 1 (2 poeng) Nedenfor ser du hvor mange snegler Astrid har plukket i hagen hver kveld de ti siste kveldene. 10 5 22 28 2 8 50 15 40 10 Bestem gjennomsnittet

Detaljer

9 Potenser. Logaritmer

9 Potenser. Logaritmer 9 Potenser. Logaritmer 9.1 Potenser Regneregler 2 3 ¼ 2 2 2 Vi kaller 2 3 for en potens. 2 kaller vi for potensens grunntall og 3 for eksponenten. En potens er per definisjon produktet av like store tall.

Detaljer

Karakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p

Karakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p 06.02.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Rette linjer / Lineære funksjoner DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 50 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 40 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 50 minutter og før hjelpemidlene

Detaljer

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013

MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA0002 Brukerkurs i matematikk B Vår 2013 Løsningsforslag Øving 3 8.2.1 Anta at dy = y2 y) dx a) Finn likevektspunktene til

Detaljer

Eksamen 1P, Høsten 2011

Eksamen 1P, Høsten 2011 Eksamen 1P, Høsten 2011 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (18 poeng) a) Bjørn skal lage havregrøt. Han har 6 dl

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer

Eksamen REA3026 Matematikk S1

Eksamen REA3026 Matematikk S1 Eksamen 02.12.2009 REA3026 Matematikk S1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Bruk av kilder: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen:

Detaljer

Høgskoleni østfold EKSAMEN. V3: Tall og algebra, funksjoner 2 ( trinn) Dato: Eksamenstid: Fra kl til kl

Høgskoleni østfold EKSAMEN. V3: Tall og algebra, funksjoner 2 ( trinn) Dato: Eksamenstid: Fra kl til kl Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: LSV3MAT12 Emne: V3: Tall og algebra, funksjoner 2 (5.-10. trinn) Dato: Eksamenstid: Fra kl. 09.00 til kl. 15.00 3. desember 2015 Hjelpemidler: Numerisk lommeregner

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

Løsningsforslag for 2P våren 2015

Løsningsforslag for 2P våren 2015 Del 1 Oppgave 1 Sortert i stigende rekkefølge blir det: 4 5 6? 10 12 Medianen, som er 7, skal ligge midt mellom de to midterste tallene 6 og det ukjente tallet, som derfor må være 8. Oppgave 2 Opprinnelig

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014 Eksamen MAT1005 Matematikk P-Y Høsten 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,0003 500000000 0,00,0 10,0 4 8 3,0 10 5,0 10 3,0 5,0 4 8 ( 3) 7 3 10 7,5 10 Oppgave (1 poeng) Prisen

Detaljer

Terminprøve Sigma 1T høsten 2009

Terminprøve Sigma 1T høsten 2009 Terminprøve Sigma 1T høsten 2009 Prøvetid 5 klokketimer for Del 1 og Del 2 til sammen. Vi anbefaler at du ikke bruker mer enn to klokketimer på Del 1. Du må levere inn Del 1 før du tar fram hjelpemidler.

Detaljer

Løsningsforslag til utsatt eksamen 2. desember 2015

Løsningsforslag til utsatt eksamen 2. desember 2015 Løsningsforslag til utsatt eksamen 2. desember 2015 Oppgave 1 (vekt 20 %) a) Løs ligningen 3x 2 7x + 2 = 0 ved å bruke formelen for løsning av andregradsligninger. Løsning. 3x 2 7x + 2 = 0 x = ( 7) ( 7)2

Detaljer

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015

Enkel matematikk for økonomer 1. Innhold. Parenteser, brøk og potenser. Ekstranotat, februar 2015 Ekstranotat, februar 205 Enkel matematikk for økonomer Innhold Enkel matematikk for økonomer... Parenteser, brøk og potenser... Funksjoner...4 Tilvekstform (differensialregning)...5 Nyttige tilnærminger...8

Detaljer

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM02O - Emneplan for: Matematikk på ledelsesnivå

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM02O - Emneplan for: Matematikk på ledelsesnivå Skipsoffisersutdanningen i Norge 00TM02O - Emneplan for: Matematikk på ledelsesnivå Generelt Utarbeidet av: Fysikk på ledelsesnivå Godkjent av: Anne Sjøvold Versjon: 1.02 Gjelder fra: 11.08.2016 Sidenr:

Detaljer

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i MAT1003 Matematikk 2P Privatister - 27.05.2008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i 2P er gratis, og

Detaljer

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.

Tallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle. Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget

Detaljer

Kapittel 4. Prosentregning

Kapittel 4. Prosentregning Kapittel 4. Prosentregning Mål for Kapittel 4, Prosentregning. Kompetansemål Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke og bruke formler som gjelder dagligliv og yrkesliv regne med forhold, prosent,

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

Algebra for alle. Gunnar Nordberg

Algebra for alle. Gunnar Nordberg Algebra for alle Gunnar Nordberg 1 Om dette verkstedet Fra konkreter til tall Fra tall til variabler(bokstaver) Kan algebraen bli meningsfull Å undervise i algebraisk forståelse Ideer til gode oppgaver

Detaljer

INNHOLD INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: GJØRE OM MELLOM PROSENT OG DESIMALTALL HHV BRØK... 5 NIVÅ B: «ALT» TILSVARER 100%.

INNHOLD INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: GJØRE OM MELLOM PROSENT OG DESIMALTALL HHV BRØK... 5 NIVÅ B: «ALT» TILSVARER 100%. 16. juni 2013 INNHOLD INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 NIVÅ A: GJØRE OM MELLOM OG DESIMALTALL HHV BRØK... 5 NIVÅ B: «ALT» TILSVARER %. FINNE HVOR MYE ET IL ER AV ET OPPGITT TALL... 6 NIVÅ C: PROMILLE, FINNE

Detaljer

Formler, likninger og ulikheter

Formler, likninger og ulikheter 58 3 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

8 Likninger med to ukjente rette linjer

8 Likninger med to ukjente rette linjer 8 Likninger med to ukjente rette linjer 8. Likninger med to ukjente Per vil teste kameratens matematiske kunnskaper. Han forteller at han har ni mnter med en samlet verdi på 40 kroner i lommeboken sin.

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

Løsningsforslag til Eksamen 2P vår 2008

Løsningsforslag til Eksamen 2P vår 2008 Løsningsforslag til Eksamen P vår 008 Delprøve 1 OPPGAVE 1 a) Avlesning av grafen viser at 50 stoler koster 40.000 kroner. Gjennomsnittskostnaden per stol blir da: 40000 = 800 kroner. 50 b) c) = = 4,46

Detaljer

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man

System av likninger. Den andre likningen løses og gir x=1, hvis man setter x=1 i første likning får man System av likninger System av likninger er en mengde likninger med flere ukjente. I økonomiske sammenheng er disse svært vanlige ved optimering. Ofte må vi kreve deriverte lik null for å optimere. I kurset

Detaljer

På reise Nivå: Formål: Program: Henvisning til plan: 8. klasse Matematikk i dagliglivet: Tall og algebra: Grafer og funksjoner:

På reise Nivå: Formål: Program: Henvisning til plan: 8. klasse Matematikk i dagliglivet: Tall og algebra: Grafer og funksjoner: På reise Nivå: 8. og 9. klasse Formål: Arbeide med lineære funksjoner og verktøyprogram Program: Regneark, kurvetegningsprogram Henvisning til plan: 8. klasse Matematikk i dagliglivet: registrere og formulere

Detaljer

ELEVAKTIVE METODER: Snakke matte, samarbeidslæring og problemløsing. PÅBYGG TIL GENERELL STUDIEKOMPETANSE Skolering av lærere

ELEVAKTIVE METODER: Snakke matte, samarbeidslæring og problemløsing. PÅBYGG TIL GENERELL STUDIEKOMPETANSE Skolering av lærere ELEVAKTIVE METODER: Snakke matte, samarbeidslæring og problemløsing PÅBYGG TIL GENERELL STUDIEKOMPETANSE Skolering av lærere MATEMATIKK 2P-Y 15.januar 2013 Tone Elisabeth Bakken tone.bakken@ohg.vgs.no

Detaljer

Lineære funksjoner - Elevark

Lineære funksjoner - Elevark Lineære funksjoner - Elevark -Navn: Oppgave 1 a) Hva koster det å reise for to personer? b) Hvor mange kan reise for 160 kr? c) Hva koster en billett? d) Vi kaller antall personer for x, og utgiftene for

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

10 Funksjoner. Men vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnen for L og antall timer for t, kan vi skrive LðtÞ ¼70 t

10 Funksjoner. Men vi kan skrive dette enklere rent matematisk. Hvis vi kaller lønnen for L og antall timer for t, kan vi skrive LðtÞ ¼70 t 10 Funksjoner En funksjon er i matematisk forstand en (entydig) sammenheng mellom to eller flere variabler. Hvis Mari, som er en skoleelev på 16 år, har en lørdagsjobb og tjener kr 70 per time, vil hennes

Detaljer

Logaritmer i norsk skole

Logaritmer i norsk skole Logaritmer i norsk skole I dag vil en elev i videregående skole som følger løpet fra 1T på vg1 til programfagene R1 og R2, møte Briggske og naturlige logaritmer. Slik var det også tidligere for elever

Detaljer

Full fart med funksjoner, prosent og potens Vg1T, TY, P, PY og Vg2P 75 minutter

Full fart med funksjoner, prosent og potens Vg1T, TY, P, PY og Vg2P 75 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Full fart med funksjoner, prosent og potens Vg1T, TY, P, PY og Vg2P 75 minutter Full fart med funksjoner, prosent og potens er et skoleprogram hvor elevene går fra

Detaljer

.ASJONALE -ATEMATIKK 1MY 3KOLENR

.ASJONALE -ATEMATIKK 1MY 3KOLENR Delprøve 1MY Du skal prøve så godt du kan å svare på alle oppgavene i dette heftet, selv om noen kan være vanskeligere eller annerledes enn du er vant til. Noen svar skal du regne ut, noen ganger skal

Detaljer

Tallsystemet vi vanligvis bruker, er et plassverdisystem med grunntall 10. Det finnes også plassverdisystemer med andre grunntall.

Tallsystemet vi vanligvis bruker, er et plassverdisystem med grunntall 10. Det finnes også plassverdisystemer med andre grunntall. Oppgave 4 (1 poeng) Skriv så enkelt som mulig a a 3 0 a a 3 2 5 Oppgave 5 (1 poeng) Tallsystemet vi vanligvis bruker, er et plassverdisystem med grunntall 10. Det finnes også plassverdisystemer med andre

Detaljer

Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 31.05.2011. REA3028 Matematikk S2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 1.05.2011 REA028 Matematikk S2 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer. Del 2 skal leveres

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Våren 2012

Eksamen REA3026 S1, Våren 2012 Eksamen REA306 S1, Våren 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (16 poeng) a) 1) Skriv så enkelt som mulig a b a b

Detaljer

EKSAMEN. Hva er defmisjonsmengden og verdimengden til en funksjon?

EKSAMEN. Hva er defmisjonsmengden og verdimengden til en funksjon? EKSAMEN Emnekode: MA94 Emnenavn: FUNKSJONER Dato: 9. mai 202 Varighet: 09.00 5.00 Antall sider inkl. forside 8 Tillatte hjelpemidler: Kalkulator Formelark følger med oppgaven Merknader: alle oppgavene

Detaljer

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM01O - Emneplan for: Matematikk på ledelsesnivå

Skipsoffisersutdanningen i Norge. Innholdsfortegnelse. 00TM01O - Emneplan for: Matematikk på ledelsesnivå Skipsoffisersutdanningen i Norge 00TM01O - Emneplan for: Matematikk på ledelsesnivå Generelt Utarbeidet av: Maritime fagskoler i Norge Godkjent av: Anne Sjøvold Versjon: 4.01 Gjelder fra: 06.10.2016 Sidenr:

Detaljer

EKSAMEN. Emne: V1: Tall og algebra, funksjoner 1. Eksamenstid: 6 timer, kl til kl

EKSAMEN. Emne: V1: Tall og algebra, funksjoner 1. Eksamenstid: 6 timer, kl til kl EKSAMEN Emnekode: LSV1MAT12 Emne: V1: Tall og algebra, funksjoner 1 Dato: 13. desember 2012 Eksamenstid: 6 timer, kl. 09.00 til kl. 15.00 Hjelpemidler: Kalkulator uten grafisk vindu Faglærer: Andrea Hofmann

Detaljer

Oppgavesett med fasit

Oppgavesett med fasit TIL ENT3R ELEVENE Oppgavesett med fasit Tommy Odland Sist oppdatert: 1. november 2013 http://is.gd/ent3rknarvik http://tommyodland.com/ent3r 1 INNHOLD 1 Om dette dokumentet 3 1.1 Formål og oppbygging..................................

Detaljer

Eksamen 23.11.2011. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål

Eksamen 23.11.2011. MAT1011 Matematikk 1P. Nynorsk/Bokmål Eksamen 23.11.2011 MAT1011 Matematikk 1P Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del 1: Hjelpemidler på Del 2: Framgangsmåte: 5 timer: Del 1 skal leveres inn etter 2 timer.

Detaljer

Eksempelsett 2P, Høsten 2010

Eksempelsett 2P, Høsten 2010 Eksempelsett 2P, Høsten 2010 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Grete og Per fyller etanol i et beger.

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (3 poeng) Dato Temperatur 01.03 2 02.03 0 03.03 4 04.03 6 05.03 2 06.03 6 Guro målte temperaturen utenfor hytta de seks første dagene i mars. Se tabellen ovenfor. Bestem

Detaljer

NASJONALE PRØVER. Matematikk 10. trinn delprøve 2. Skolenr. Elevnr. Oppgaver som kan løses ved hjelp av lommeregner. Tid: 90 minutter.

NASJONALE PRØVER. Matematikk 10. trinn delprøve 2. Skolenr. Elevnr. Oppgaver som kan løses ved hjelp av lommeregner. Tid: 90 minutter. Bokmål Skolenr. Elevnr. NASJONALE PRØVER Matematikk 10. trinn delprøve 2 Tid: 90 minutter 15. april 2004 Gutt Jente Oppgaver som kan løses ved hjelp av lommeregner. Tillatte hjelpemidler: lommeregner,

Detaljer

Løsninger til innlæringsoppgavene

Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 4 Modellering Løsninger til innlæringsoppgavene 4.1 a Modellen gir følgende verdier for årene i oppgaven: År 1955 1985 015 Folketall (millioner) 3,5 4, 4,8 b Setter vi

Detaljer

5.9 Momentan vekstfart

5.9 Momentan vekstfart 5.9 Momentan vekstfart I kapittel 5.8 fant vi den gjennomsnittlige vekstfarten til en funksjon i et intervall. Nå skal vi finne den momentane vekstfarten. Det er vekstfarten i et punkt. Den er vanskeligere

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål

Eksamen REA3024 Matematikk R2. Nynorsk/Bokmål Eksamen 30..00 REA304 Matematikk R Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på Del : Hjelpemidler på Del : Framgangsmåte: 5 timer: Del skal leveres inn etter timer. Del skal

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

Obs. Læreren må være klar over at det er mulig å få riktig svar ved å regne feil her,

Obs. Læreren må være klar over at det er mulig å få riktig svar ved å regne feil her, Oppgave 1 b 3b Hva er 3a 8a b hvis a 2? A 5 B 7 C 8 D 24 E 70 Er det nødvendig å finne tall for a og b? Hvor i uttrykket finnes a b? b Hva blir verdien av første ledd når a 2? Skriv om potensen i andre

Detaljer

DEL 1 Uten hjelpemidler

DEL 1 Uten hjelpemidler DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 y (kroner) x (antall stoler) a) Grafen ovenfor viser hva det koster for en fabrikk for å produsere x stoler. Hva blir kostnadene per stol dersom bedriften produserer 50

Detaljer

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh

Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009. Hossein Rostamzadeh Formelsamling i matematikk vg1 Tillatt hjelpemiddel under tentamen del 2 Bleiker vgs. 2008/2009 Hossein Rostamzadeh 5. mai 2009 2 Kapittel 1 Algebra 1.1 Brøkregler 1.1.1 Addisjon av brøker a b + c d =

Detaljer

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Sensorveiledning nasjonal deleksamen

Sensorveiledning nasjonal deleksamen Sensorveiledning nasjonal deleksamen 10.05.2017 Karakterer gis i henhold til total poengskår og følgende karakterskala fastsatt av eksamensgruppen: A: 36 40 B: 31 35 C: 23 30 D: 18 22 E: 16 17 F: 0 15

Detaljer

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(.

Algebra. Likningsløsning. tasten) for å komme ned til S, og bla videre nedover til du finner solve(. Algebra Algebra blir ofte referert til som bokstavregning, selv om man nok mister noe av det helhetlige bildet ved å holde seg til en slik oppfatning. Vi velger her å ta med ting som likningsløsning og

Detaljer

Eksamen. Fag: VG1341 Matematikk 1MY. Eksamensdato: 3. mai 2006. Felles allmenne fag Privatistar/Privatister

Eksamen. Fag: VG1341 Matematikk 1MY. Eksamensdato: 3. mai 2006. Felles allmenne fag Privatistar/Privatister Eksamen Fag: VG1341 Matematikk 1MY Eksamensdato: 3. mai 2006 Felles allmenne fag Privatistar/Privatister Oppgåva ligg føre på begge målformer, først nynorsk, deretter bokmål. / Oppgaven foreligger på begge

Detaljer

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet

Detaljer

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om

Talsnes ONE - 995850168 Enhver form for mangfoldiggjørelse av hele eller deler av innholdet av dette materiale er i henhold til norsk lov om 1 Eksponentielt vekst: En størrelse vokser eller avtar med en fast prosent per tidsenhet. Eulers tall e: En matematisk konstant, e=2,7 1828.. ln a gir det tallet du må opphøye Eulers tall e i for å få

Detaljer

DEN LILLE KALKULATOREN

DEN LILLE KALKULATOREN DEN LILLE KALKULATOREN ELLER KANSKJE DEN LILLE MED DE MANGE MULIGHETER (Det er ikke størrelsen det kommer an på men hvordan den blir brukt) Bjørn Bjørneng Forord: Dette ideheftet tar for seg den enkle

Detaljer

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (3 poeng) Oppgave 4 (2 poeng) Løs likningene nedenfor

DEL 1. Uten hjelpemidler. Oppgave 1 (5 poeng) Oppgave 2 (3 poeng) Oppgave 3 (3 poeng) Oppgave 4 (2 poeng) Løs likningene nedenfor DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene nedenfor a) b) x 3x 0 3 1 17 x 4 c) lg(x ) 3 lg Oppgave (3 poeng) Skriv uttrykkene så enkelt som mulig a) 8 a ( a b) ( ab) 3 1 b) ( x y)( x y)

Detaljer

Løsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org

Løsningsforslag for eksamen i REA3026 Matematikk S1-08.05.2008. eksamensoppgaver.org Løsningsforslag for eksamen i REA306 Matematikk S1-08.05.008 eksamensoppgaver.org eksamensoppgaver.org Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i S1 er gratis, og det er lastet ned

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

KOSTRA 2015 UTVALGTE OMRÅDER BASERT PÅ FORELØPIGE TALL PR. 15. MARS Verdal , Levanger og Kostragruppe

KOSTRA 2015 UTVALGTE OMRÅDER BASERT PÅ FORELØPIGE TALL PR. 15. MARS Verdal , Levanger og Kostragruppe KOSTRA 2015 UTVALGTE OMRÅDER BASERT PÅ FORELØPIGE TALL PR. 15. MARS 2016 Verdal 2011-2015, Levanger 2014-2015 og Kostragruppe 8 2015 Alle tall er hentet fra: ressursportal.no Oversikten viser fordeling

Detaljer

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1

Funksjoner oppgaver. Innhold. Funksjoner S1 Funksjoner oppgaver Innhold.1 Funksjoner.... Lineære funksjoner... 5 Ettpunktsformelen.... 9 Skjæringspunkt mellom rette linjer. Nullpunkt for en funksjon... 11.3 Andregradsfunksjon... 1.4 Tredjegradsfunksjon...

Detaljer

Høgskoleni østfold EKSAMEN. Ikke-programmerbar lommeregner uten grafisk skjerm Monica Nordbakke Marianne Maugesten

Høgskoleni østfold EKSAMEN. Ikke-programmerbar lommeregner uten grafisk skjerm Monica Nordbakke Marianne Maugesten Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: LUMAT10115 Tall, algebra og funksjoner 1 Dato: 16.12.2015 Eksamenstid: kl. 9 til k1.15 Hjelpemidler: Faglærere: Ikke-programmerbar lommeregner uten grafisk skjerm

Detaljer