D.3: Kan anvende omgjøring av tidsenheter og/eller fart for å beregne strekning, anvendt tid eller fart D.4: Kan anvende omgjøring av enheter

Transkript

1 19. januar 015

2 INNHOLD INNHOLD... INNLEDNING... 4 STEGARK... 5 GJENNOMGANG AV HVERT STEG NIVÅ A: STREKNING UTEN OMGJØRING AV ENHETER. MASSE UTEN OMGJØRING AV ENHETER A.1: Kan finne hvor langt noen forflytter seg på hele timer når en har fått oppgitt hastigheten i km/h (ikke omgjøring av enheter) A.: Kan finne hvor langt noen forflytter seg i løpet av sekunder når en har fått oppgitt hastigheten i m/s (ikke omgjøring av enheter) A.: Kan finne massen til et legeme når en får tettheten er oppgitt (ikke omgjøring av enheter) NIVÅ B: HASTIGHET OG TID UTEN OMGJØRING AV ENHETER. TID MELLOM TO KLOKKESLETT. TETTHET OG VOLUM UTEN OMGJØRING AV ENHETER... 1 B.1: Kan finne hastigheten når anvendt tid er hele timer (eventuelt minutter eller sekunder) og strekningen er oppgitt slik at en omgjøring av enheter ikke er nødvendig.... B.: Kan finne hvor mange hele timer (eventuelt minutter eller sekunder) noen forflytter seg når hastigheten og avstanden er oppgitt slik at omgjøring av enheter ikke er nødvendig.... B.: Kan finne hvor lang tid det er mellom to klokkeslett B.4: Kan finne tettheten til et legeme når en får oppgitt masse og volum. Ikke omgjøring av enheter B.5: Kan finne volumet til en gjenstand når en får oppgitt massen og tettheten. Ikke omgjøring av enheter NIVÅ C: OMGJØRING AV ENHETER ANVENDT PÅ TEMAENE. REGNE UT VOLUM OG DERETTER FINNE MASSE EVENTUELT TETTHET C.1.a: Kan gjøre om tid skrevet som timer/minutter/sekunder til tid skrevet som desimaltall (én omgjøring av enheter) C.1.b: Kan gjøre om tid skrevet som desimaltall til tid skrevet som timer/minutter/sekunder (én omgjøring av enheter) C.: Kan anvende omgjøring av tidsenheter for å beregne strekning, anvendt tid eller fart (én omgjøring av enheter) C.: Kan finne tetthet eller masse når en må regne ut volumet til en standardgjenstand. Ikke omgjøring av enheter.... C.4: Kan gjøre om enheter for tetthet NIVÅ D: GJØRE OM ENHETER I KOMPLEKSE SITUASJONER OG BRUKE DET TIL Å LØSE OPPGAVER I TEMAENE D.1.: Kan gjøre om fart mellom benevningene m/s og km/h D.: Kan gjøre om enheter for tid flere ganger

3 D.: Kan anvende omgjøring av tidsenheter og/eller fart for å beregne strekning, anvendt tid eller fart D.4: Kan anvende omgjøring av enheter for å finne masse, tetthet eller volum NIVÅ E: GJØRE OM ENEHETER UTENFOR SI-SYSTEMET. BEREGNE SAMMENSATTE SITUASJONER INNENFOR TEMAENE E.1: Kan gjøre om enheter for fart mellom knop og km/h E.: Kan finne endret tidsforbruk/endret strekning når bare farten endres E.: Kan kombinere opplysninger om flere som forflytter seg samtidig til å finne sted eller tid for bestemte begivenheter E.4: Kan bruke tetthet til å finne lengder eller arealer i en gjenstand E.5: Kan finne masse eller tetthet etter å ha funnet volumet til sammensatte gjenstander.. 55 NIVÅ F: MER SAMMENSATTE PROBLEMER INNENFOR TEMAENE F.1: Kan kombinere opplysninger om flere som forflytter seg delvis samtidig til å finne sted eller tid for bestemte begivenheter F.: Kan finne gjennomsnittsfart, strekning eller tidsbruk ut fra opplysninger om endringer i fart og strekning eller tid F.: Kan kombinere massetetthet og opplysninger i sammensatte gjenstander F.4: Kan løse konkrete, sammensatte problemer fra temaene F.5: Kan utvikle formel for sammensatte problemer fra temaene VEIEN VIDERE... 71

4 INNLEDNING Det er to ganske forskjellige temaer som behandles i dette heftet. Felles for temaene er at de er anvendt matematikk: Her skal en bruke matematikkens regler til å løse praktiske problemstillinger innen temaene «vei/fart/tid» og «masse/volum/tetthet». I stegarket ser en at de fleste stegene omhandler «vei/fart/tid». Grunnen til dette er at «tid» måles i enheter som av historiske grunner er bygd opp på et 60-tall-system: Hadde vi innført sekunder, minutter og timer i våre dager, hadde vi kanskje sagt at 1 minutt består av 100 sekunder og at 1 time består av 100 minutter. I stedet vet vi at 1 minutt består av 60 sekunder og at 1 time består av 60 minutter. Dette gjør at omgjøring mellom m/s og km/h blir ganske komplisert. I temaet «masse/volum/tetthet» er enhetene bygd opp på 10-tall-systemet. Omgjøring av enhetene blir dermed ganske mye enklere. I heftet finner en forslag til hvordan en oppgave kan løses. Elevene får også forslag til enkle huskeregler som kan være til hjelp i føringsmåter. Men det er viktig å framheve følgende advarsel: Enkle huskeregel kan være til hjelp. Men dersom en elev baserer seg på huskeregler, blir det fort veldig mye å huske. Da er det bedre å forstå sammenhengen i det som gjøres. Når en elev forstår grunnlaget for en huskeregel, huskes regelen bedre. 4

5 STEGARK NIVÅ A: STREKNING UTEN OMGJØRING AV ENHETER. MASSE UTEN OMGJØRING AV ENHETER. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst lav kompetanse innen temaet Fart og massetetthet. A.1: Kan finne hvor langt noen forflytter seg på hele timer når en har fått oppgitt hastigheten i km/h (ikke omgjøring av enheter). Hvor langt kommer en bil på timer når den kjører med jevn fart på 60 km/h? A.: Kan finne hvor langt noen forflytter seg i løpet av sekunder når en har fått oppgitt hastigheten i m/s (ikke omgjøring av enheter). Hvor langt løper en gaselle på 10 sekunder når den løper med en jevn fart på 0 m/s? A.: Kan finne massen til et legeme når en får tettheten er oppgitt (ikke omgjøring av enheter). Hvor mye veier 5cm når 1cm veier 5,9 gram 5

6 NIVÅ B: HASTIGHET OG TID UTEN OMGJØRING AV ENHETER. TID MELLOM TO KLOKKESLETT. TETTHET OG VOLUM UTEN OMGJØRING AV ENHETER Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst nokså lav kompetanse innen temaet Fart og massetetthet. B.1: Kan finne hastigheten når anvendt tid er hele timer (eventuelt minutter eller sekunder) og strekningen er oppgitt slik at en omgjøring av enheter ikke er nødvendig. Hvor stor gjennomsnittsfart hadde Eva da hun syklet 7 km på timer? B.: Kan finne hvor mange hele timer (eventuelt minutter eller sekunder) noen forflytter seg når hastigheten og avstanden er oppgitt slik at omgjøring av enheter ikke er nødvendig. Hans løp 60 meter. Han holdt en gjennomsnittsfart på 5 m/s. Hvor lang tid brukte han? B.: Kan finne hvor lang tid det er mellom to klokkeslett. Peter skal reise med tog til Trondheim. Toget starter i Oslo kl.1450 og er framme kl.15. Hvor lang tid tar togreisen? B.4: Kan finne tettheten til et legeme når en får oppgitt masse og volum. Ikke omgjøring av enheter. En gjenstand veier 70 kg. Volumet er 0dm. Hvor stor er tettheten til denne gjenstanden? B.5: Kan finne volumet til en gjenstand når en får oppgitt massen og tettheten. Ikke omgjøring av enheter. En gjenstand med tetthet 4,6 kg/dm veier 18,4 kg. Hvor stort er volumet til denne gjenstanden? 6

7 NIVÅ C: OMGJØRING AV ENHETER ANVENDT PÅ TEMAENE. REGNE UT VOLUM OG DERETTER FINNE MASSE EVENTUELT TETTHET. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst noe under middels kompetanse innen temaet Fart og massetetthet. Nr. C.1.a: Kan gjøre om tid skrevet som timer/minutter/sekunder til tid skrevet som desimaltall (én omgjøring av enheter). Skriv som desimaltall med minutt som måleenhet: minutter og 15 sekunder. Nr. C.1.b: Kan gjøre om tid skrevet som desimaltall til tid skrevet som timer/minutter/sekunder (én omgjøring av enheter). Hvor mange timer og minutter er 1, timer? Nr. C.: Kan anvende omgjøring av tidsenheter for å beregne strekning, anvendt tid eller fart (én omgjøring av enheter). Tove kjørte bil fra hjemmet og til hytta. Da hun kom fram, viste speedometeret at hun hadde holdt en gjennomsnittsfart på 58,9 km/h. Turen tok 1time og 6 minutter. Hvor langt var det mellom hjemmet og hytta? Nr. C.: Kan finne tetthet eller masse når en må regne ut volumet til en standardgjenstand. Ikke omgjøring av enheter. Dette prismet har en masse på 100 gram. Hva er tettheten til prismet? 0cm 15cm 10cm Nr. C.4: Kan gjøre om enheter for tetthet. Skriv som g/cm : kg/dm. 7

8 NIVÅ D: GJØRE OM ENHETER I KOMPLEKSE SITUASJONER OG BRUKE DET TIL Å LØSE OPPGAVER I TEMAENE. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst noe over middels kompetanse innen temaet Fart og massetetthet. Nr. D.1.: Kan gjøre om fart mellom benevningene m/s og km/h. Skriv som s m : 15 h km. Nr. D.: Kan gjøre om enheter for tid flere ganger. Skriv på desimalform med timer som enhet: 1time 1minutter og sekunder. Nr. D.: Kan anvende omgjøring av tidsenheter og/eller fart for å beregne strekning, anvendt tid eller fart. Under de olympiske vinterlekene i 195 vant finnen Veikko Hakulinen 50 km langrenn på tiden timer, minutter og sekunder. Hvor stor gjennomsnittsfart holdt Hakulinen i dette løpet? (Gi svaret i km/h.) Nr. D.4: Kan anvende omgjøring av enheter for å finne masse, tetthet eller volum En pakke som har et volum på 6dl veier 850 g. Hvor stor er tettheten målt i kg/dm? 8

9 NIVÅ E: GJØRE OM ENEHETER UTENFOR SI-SYSTEMET. BEREGNE SAMMENSATTE SITUASJONER INNENFOR TEMAENE. Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst høy kompetanse innen temaet Fart og massetetthet. Nr. E.1: Kan gjøre om enheter for fart mellom knop og km/h. km Hvor stor fart (angitt som h ) holder en båt som kjører 15 nautiske mil på 40 minutter? Nr. E.: Kan finne endret tidsforbruk/endret strekning når bare farten endres. En bilfører reduserte gjennomsnittsfarten fra 100 km/h til 80 km/h. Hvor mye lenger tid brukte han på hver mil? Nr. E.: Kan kombinere opplysninger om flere som forflytter seg samtidig til å finne sted eller tid for bestemte begivenheter. Tina skulle kjøre fra Kristiansand til Larvik. Hun holdt en gjennomsnittsfart på 6 km/h? Samtidig som Tina startet å kjøre fra Bergen, startet Jørgen å kjøre fra Larvik mot Kristiansand. Han holdt en gjennomsnittsfart på 57 km/h. Hvor langt var de fra Larvik da de møttes? Det er 194 km mellom Kristiansand og Larvik. Nr. E.4: Kan bruke tetthet til å finne lengder eller arealer i en gjenstand. En sylinder har en masse på 880 gram. Tettheten er,5g/cm Radien i grunnflaten er cm. Hva er høyden i sylinderen? Nr. E.5: Kan finne masse eller tetthet etter å ha funnet volumet til sammensatte gjenstander. I en sylinder er det hulet ut en kule. Kulas overflate tangerer sylinderens sideflate. Diameteren i kula er 1 cm. Høyden i sylinderen er 18 cm. Gjenstanden veier 6,1 kg. Hva er tettheten til stoffet som gjenstanden er laget av? (Gi svaret i kg/dm.) 9

10 NIVÅ F: MER SAMMENSATTE PROBLEMER INNENFOR TEMAENE Når du behersker oppgavene som er på dette nivået, har du oppnådd minst svært høy kompetanse innen temaet Fart og massetetthet. Nr. F.1: Kan kombinere opplysninger om flere som forflytter seg delvis samtidig til å finne sted eller tid for bestemte begivenheter. Fredrik skulle kjøre fra Oslo til Hamar. Han startet kl Han holdt en gjennomsnittsfart på 68 km/h? Turid skulle kjøre samme strekning men i motsatt retning. Hun startet kl Hun holdt en gjennomsnittsfart på 60 km/h. Hva var klokka da de møttes? Det er 1,4 km mellom Oslo og Hamar. Nr. F.: Kan finne gjennomsnittsfart, strekning eller tidsbruk ut fra opplysninger om endringer i fart og strekning eller tid. Maria kjørte fra Arendal til Brunlanes, en strekning på 1 km. Første tredel av turen kjørte hun med en fart av 60 km/h. Da hun kom fram fant hun ut at hun hadde holdt en gjennomsnittsfart på de siste to tredelene av turen 70 km/h. Hva var gjennomsnittsfarten på hele turen sett under ett? Nr. F.: Kan kombinere massetetthet og opplysninger i sammensatte gjenstander. Fra en terning er det skåret vekk en liten terning. Siden i den lille terningen er halvparten av siden i den store terningen. Gjenstanden veier, kg og er laget av et stoff med massetetthet på 4, g/cm. Hvor lang er siden i den store terningen? Nr. F.4: Kan løse konkrete, sammensatte problemer fra temaene. En gullsmed laget en legering: Hun smeltet 18 g kobber og 75 g sink sammen. Etter at legeringen var stivnet, var volumet 6 % mindre enn summen av kobberet og sinket før sammensmeltingen. Hva ble tettheten til denne legeringen? Tettheten til kobber er 8,96 g/cm. Sink har tetthet 7,14 g/cm. (Vi forutsetter at ikke noe av massen blir borte i smelteprosessen.) Nr. F.5: Kan utvikle formel for sammensatte problemer fra temaene. Vi kjører på en vei med farten v m/s. Vi skal kjøre forbi en bil som har farten u m/s. (u<v) Forbikjøringen starter a meter bak den forankjørende bilen, og avsluttes når vi er a meter foran. Strekningen vi trenger for denne forbikjøringen er s meter. Finn et uttrykk for s. 10

11 GJENNOMGANG AV HVERT STEG Resten av dette heftet er gjennomgang av hvert enkelt steg. Gjennomgangen er bygget opp slik: A. BEGREPER Først er det en definisjon av nye begreper. De nye begrepene er skrevet med fet, rød skrift. B. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dernest lages en kopling til tidligere gjennomgått stoff. Overskriften på disse linjene er blå fordi hyperlinker gjerne får blåfarge: C. FORKLARING I forklaringen henvises det til begrepene. I teksten henvises det også til tidligere gjennomgått steg. I den elektroniske versjonen er det hyperlinker både til definisjonene til begrepene og til de tidligere stegene som en bruker i gjennomgangen: A.1 (Lengde Areal Volum). Slik kan du skrive: Noen elever vil ha klar beskjed om hvordan de skal gå fram for å finne riktig svar. Denne framgangsmåten er satt i en ramme med følgende tagg: «Slik kan du skrive:». Ofte er det flere forslag til føringsmåte. Hver av framgangsmåtene er satt i slike rammer. Men det er viktig å understreke påminningen fra innledningen om å forstå den matematiske tenkningen som grunnlaget for å huske reglene de møter. D. Viktige regneregler blir skrevet med fet, sort skrift og satt i en ramme med gul bakgrunn. Viktige regneregler vises slik! E. KJEKT Å VITE Noen steder er det føyd til momenter som er kjekt å vite, men som ikke er obligatorisk å kunne utenat. 11

12 1

13 NIVÅ A NIVÅ A: STREKNING UTEN OMGJØRING AV ENHETER. MASSE UTEN OMGJØRING AV ENHETER. Vi begynner med de grunnleggende begrepene: Vei, fart, tid, masse, volum og massetetthet. Noen av disse begrepene er hverdagskunnskap, mens andre er ganske abstrakte. Spesielt er nok begrepet masse et krevende begrep. Tetthet er dermed også vanskelig. En kunne bytte det ut med egenvekt, men da roter en med det viktige skillet mellom vekt og masse. Selv om en ikke får skikkelig grep om alle begrepene, er problemstillingene på dette nivået i stor grad hentet fra hverdagslivet og mange elever vet hvordan oppgavene skal løses ut fra egne erfaringer. 1

14 NIVÅ A A.1: Kan finne hvor langt noen forflytter seg på hele timer når en har fått oppgitt hastigheten i km/h (ikke omgjøring av enheter). Eksempel-oppgave: Hvor langt kommer en bil på timer når den kjører med jevn fart på 60 km/h? BEGREPER Benevning: Når vi måler noe, f.eks. hvor langt en kaster en ball, må vi fortelle om vi har målt i f.eks. meter eller i desimeter. Dersom vi måler i meter, er benevningen meter. Vei: I denne sammenhengen: Den avstanden/ strekningen en person eller gjenstand har forflyttet seg. Symbolet for «vei» er s, dvs «strekning». Strekningen kan måles på mange måter. Den grunnleggende enheten er meter (symbolet er m). Av denne enheten har vi laget en rekke andre. Den vanligste er kilometer (symbolet er km). En kan møte andre mål for strekning, f.eks. lysår (hvor langt lyset går på ett år), som altså er en avstand. Til sjøs, brukes enheten nautisk mil (1 nautisk mil er 185 meter) Denne enheten brukes også i luftfart og i meteorologi. Dessuten finnes det enheter som ikke er definert ut fra meter: Fot, yard, engelsk mile er tre eksempler. Tid: Den tiden personen (eller gjenstanden) har brukt på forflyttingen. Symbolet for «tid» er t. Tid kan også måles på mange måter. Den grunnleggende enheten er sekunder (symbolet er s). Av denne enheten har vi laget to andre: 1 minutt (symbolet er min) er 60 sekunder. 1 time (symbolet er h, - «hour») er 60 minutter. Fart: Hvor fort personen (eller gjenstanden) har brukt på forflyttingen. Symbolet for fart er v (velocity). Fart kan måles på ulike måter. Når en bruker de grunnleggende enhetene for vei og tid får en m/s (meter pr sekund) og km/h (km pr time). Til sjøs brukes knop (nautisk mil pr time). FORKLARING: Vi vet at jo mindre tid en bruker på en strekning, jo raskere er forflyttingen. Og hvor større fart, jo lenger kommer personen på en oppgitt tid. Vi kan derfor si at farten er strekningen en tilbakelegger hver tidsenhet (sekund eller time). Eller: Farten er strekningen delt på tiden. Strekningen blir derfor farten en beveger seg med multiplisert med tiden en beveger seg. Det gir oss denne sammenhengen: s = v t s v t s t v En huskeregel er denne trekanten: 14

15 NIVÅ A Den horisontale streken står for en brøkstrek, og den vertikale står for et gangetegn. Dersom vi skal finne strekningen, holder vi hånda over s og ser at strekningen er fart ganger tid. Dersom vi skal finne farten, holder vi hånda over v og ser at farten er strekningen delt på tiden. Eksempel-oppgaven kan løses slik: At bilen kjører med jevn fart betyr at hver time kommer den 60 km. På tre timer kommer den: 60 km = 180 km 15

16 NIVÅ A A.: Kan finne hvor langt noen forflytter seg i løpet av sekunder når en har fått oppgitt hastigheten i m/s (ikke omgjøring av enheter). Eksempel-oppgave: Hvor langt løper en gaselle på 10 sekunder når den løper med en jevn fart på 0 m/s? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A.1 (Fart & Tetthet). FORKLARING: Når en gaselle løper med en jevn fart, betyr det at den hvert sekund har løpt 0 meter. I løpet av 10 sekunder har derfor løpt: 0 m 10 = 00 m 16

17 NIVÅ A A.: Kan finne massen til et legeme når en får tettheten er oppgitt (ikke omgjøring av enheter). Eksempel-oppgave: Hvor mye veier 5cm når 1cm veier 5,9 gram BEGREPER Masse: Dette begrepet blandes ofte sammen med vekt. Men det er en vesentlig forskjell: På månen er vekten din 1/6 av vekten din på jorda. Dersom du er ute i et romskip, er du vektløs. Men du er like fullt deg. Det som er det samme både på jorda, på månen og ute i verdensrommet, kaller vi massen din. Symbolet for masse er m. Den grunnleggende enheten er kg. 1 kg kan deles opp i 1000 gram. Volum: Rominnholdet (se C.1 (Lengde Areal Volum).) Symbolet for volum er V. Det er mange måleenheter for volum. Disse måleenhetene bygger på måleenhetene for lengde. De vanligste for volum er liter, dm og cm. (Legg merke til at 1 liter = 1 dm ). Massetetthet: Masse pr volum. Dersom to gjenstander har det samme volumet, vil gjenstanden med størst massetetthet ha den største massen. Det brukes flere symboler for massetetthet. Her vil vi bruke d (density). Det er mange måleenheter for massetetthet. Disse enhetene bygger på måleenhetene for masse og volum. De vanligste er g/cm og kg/dm. Måltall: Et tall som har en benevning. Alt som på en eller annen måte blir målt (lengde, areal, volum, tid, fart, antall o.s.v.), bør beskrives med både tall og benevning. Prefiks: «Pre»: «Før» eller «foran», «fiks»: Noe som festes til noe annet. Prefiks er altså et ord som settes foran et annet ord. Prefiksene i dette steget forteller om størrelser. FORKLARING: Vi begynner med prefiksene: Prefiks: kilo hekto deca deci centi milli Betyr: tusen hundre ti en tidel hundredel tusendel I B. (Lengde Areal Volum) gikk vi gjennom hvordan disse prefiksene anvendes på lengder. Når vi anvender dette på masse, får vi denne tabellen: Masse Kilogragragrametemeter Hekto- Deca- Gram Deci- Centi- Millimeter Tusen gram Hundre gram Ti gram Et gram Tidels gram Hundredels gram Tusendels gram Forkortes kg hg g mg Merk: (Brukes sjelden) (Brukes sjelden) (Brukes sjelden) 17

18 NIVÅ A I tillegg brukes også tonn: 1 tonn = 1000 kg Massetetthet er massen til en gjenstand delt på volumet av gjenstanden. Sagt på en annen måte: Massetettheten er hvor stor masse hver kubikkcentimeter av stoffet har: Alle stoffer er bygd opp av partikler. I et stoff med stor tetthet, f.eks. et fast stoff, er partiklene store og ligger tett. I et stoff med liten tetthet, f.eks. en gass, ligger partiklene med store mellomrom. Dersom vi vet hvor stor massetettheten og volumet er, kan vi finne massen ved å multiplisere massetettheten med volumet. Dersom vi vet hvor stor massen og massetettheten er, kan vi finne volumet ved å dividere massen på massetettheten. Det gir oss denne sammenhengen: m = d V m d V m V d En huskeregel er denne trekanten: 18

19 NIVÅ A Den horisontale streken står for en brøkstrek, og den vertikale står for et gangetegn. Dersom vi skal finne massen, holder vi hånda over m og ser at massen er massetettheten ganger volumet. Dersom vi skal finne volumet, holder vi hånda over V og ser at volumet er massen delt på massetettheten. Eksempel-oppgaven kan løses slik: Når det er opplyst hva 1 cm : av stoffet veier, betyr det at vi har fått opplyst massetettheten. Samtidig er det opplyst hva hver cm av stoffet veier. Vi finner hva 5 cm av stoffet veier ved å gange, - helt i tråd med det vi sa: 5,9 g 5 = 9,5 g 19

20 NIVÅ A 0

21 NIVÅ B NIVÅ B: HASTIGHET OG TID UTEN OMGJØRING AV ENHETER. TID MELLOM TO KLOKKESLETT. TETTHET OG VOLUM UTEN OMGJØRING AV ENHETER På nivå A gikk vi gjennom hvordan vi skal finne avstanden noen beveger seg når farten og tiden er oppgitt. Vi lærte også hvordan vi kan finne massen av et legeme når vi får vite volumet og massetettheten. Her skal vi gå gjennom hvordan vi kan regne ut de andre variablene: Farten og tiden innenfor «vei, fart, tid» og massetettheten og volumet innenfor «masse, massetetthet, volum». Dessuten skal vi vise hvordan en kan finne hvor lang tid det er mellom to tidspunkter. 1

22 NIVÅ B B.1: Kan finne hastigheten når anvendt tid er hele timer (eventuelt minutter eller sekunder) og strekningen er oppgitt slik at en omgjøring av enheter ikke er nødvendig. Eksempel-oppgave: Hvor stor gjennomsnittsfart hadde Eva da hun syklet 7 km på timer? BEGREPER Gjennomsnittsfart: I praksis klarer en ikke holde helt jevn fart: En sjåfør må hele tiden ta hensyn til omgivelsene: Sjåføren må bremse ned ved veikryss, fotgjengeroverganger og lyskryss. På lange, rette strekninger kan sjåføren øke farten. Farten vil derfor hele tiden variere. På samme måten er det med en som jogger eller sykler: I oppoverbakke vil farten synke og i nedoverbakker vil den øke. Vi snakker derfor ofte om gjennomsnittsfarten: Dersom du skal fra et sted til et annet, bruker du en viss tid. Dersom du tenker deg at du holdt den samme farten hele tiden og brukte den samme tiden, kaller vi den tenkte farten gjennomsnittsfarten. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A.1 (Fart og tetthet) dersom strekningen er oppgitt i km og tiden i timer. Dersom strekningen er oppgitt i meter og tiden i sekunder, bygger vi på A. (Fart og tetthet). FORKLARING: Vi finner gjennomsnittsfarten ved å dele hvor langt Eva syklet på antall timer hun brukte: Strekningen 7km km Gjennomnsi ttsfarten 9 Tiden h h

23 NIVÅ B B.: Kan finne hvor mange hele timer (eventuelt minutter eller sekunder) noen forflytter seg når hastigheten og avstanden er oppgitt slik at omgjøring av enheter ikke er nødvendig. Eksempel-oppgave: Hans løp 60 meter. Han holdt en gjennomsnittsfart på 5 m/s. Hvor lang tid brukte han? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A. (Fart og tetthet) dersom strekningen er oppgitt i meter og farten i m/s. Dersom strekningen er oppgitt i km og farten i km/h, bygger vi på A.1 (Fart og tetthet). FORKLARING: Vi finner tiden på Hans ved å dele strekningen som Hans løp på gjennomsnittsfarten han holdt: Tiden Strekningen 60m s Gjennomsnittsfarten 5m / s 1 Vi vet at tiden måles i sekunder, minutter, timer og/eller uker, måneder og år. Ettersom gjennomsnittsfarten er oppgitt i meter pr sekund, betyr det at i denne oppgaven, måles iden i sekunder. Vi kan finne ut benevningen i svaret ved å se på benevningene som brukes i de opplysningene vi får i oppgave: Strekningen: Gjennomsnittsfarten meter meter sekund Vi ser at det er samsvar mellom benevningen for strekningen og benevningen for gjennomsnittsfarten. Det må være samsvar også mellom benevningen for farten og benevningen for tiden. Vi kan finne ut om vi har tenkt riktig, ved å regne på benevningene som om de var variabler: Tiden Strekningen Gjennomsnittsfarten m m s m s m s s m s m s MERK: Benevninger er ikke variabler. Strengt tatt er det ikke lov å regne på den måten vi nå har gjort!

24 NIVÅ B B.: Kan finne hvor lang tid det er mellom to klokkeslett. Eksempel-oppgave: Peter skal reise med tog til Trondheim. Toget starter i Oslo kl.1450 og er framme kl.15. Hvor lang tid tar togreisen? FORKLARING: En kan finne svaret ved å bruke en tidslinje. Vi setter inn de aktuelle start- og slutttidspunktene: Vi skriver inn tiden mellom punktene våre: Vi legger sammen tiden. Togreisen tar 6 timer 5 minutter. Vi kan også finne differansen mellom to tidspunkter ved å trekke fra. Vi må huske på at det er 6 ti-minutter i en time. Det er viktig når vi låner fra timer til 10-minutter: = 6.5 4

25 NIVÅ B B.4: Kan finne tettheten til et legeme når en får oppgitt masse og volum. Ikke omgjøring av enheter. Eksempel-oppgave: En gjenstand veier 70 kg. Volumet er 0dm. Hvor stor er tettheten til denne gjenstanden? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A. (Fart og tetthet). Dessuten bygger vi på kravet om at benevningene skal være i samsvar med hverandre, se B. (Fart og tetthet). FORKLARING: Tetthet forteller hvor mye 1 dm av et stoff veier. Her får vi greie på hvor mye 0 dm veier, - nemlig 70 kg. Vi finner hvor mye 1 dm veier ved å dele 70 kg med 0 dm : 70 kg : 0 dm =,5 kg/dm. Dette er akkurat det samme som vi sa i A. (Fart og tetthet): Der skrev vi opp sammenhengen mellom masse, volum og tetthet bl.a. med denne formelen: Tettheten Massen Volumet 70kg 0dm, 5 kg dm 5

26 NIVÅ B B.5: Kan finne volumet til en gjenstand når en får oppgitt massen og tettheten. Ikke omgjøring av enheter. Eksempel-oppgave: En gjenstand med tetthet 4,6 kg/dm veier 18,4 kg. Hvor stort er volumet til denne gjenstanden? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bygger vi på A. (Fart og tetthet). Dessuten bygger vi på kravet om at benevningene skal være i samsvar med hverandre, se B. (Fart og tetthet). FORKLARING: Vi får greie på at hver dm veier 4,6 kg. Hvor mange dm er da en gjenstand som veier 18,4 kg? For hver 4,6 kg vi finner, har vi funnet 1 dm. Vi finner antall dm ved å dele 18,4 kg med 4,6 kg/dm : 18,4 kg : 4,6 kg/dm = 4 dm. Dette er akkurat det samme som vi sa i A. (Fart og tetthet): Der skrev vi opp sammenhengen mellom masse, volum og tetthet bl.a. med denne formelen: Volumet Massen Tettheten 18,4kg 4,6kg / dm 4 dm Merk at benevningene samsvarer med hverandre. Vi kan finne ut om vi har tenkt riktig, ved å regne på benevningene som om de var variabler, slik vi gjorde i B. (Fart og tetthet): Volum Massen Tettheten kg kg dm kg dm kg dm dm kg dm kg dm 6

27 NIVÅ C NIVÅ C: OMGJØRING AV ENHETER ANVENDT PÅ TEMAENE. REGNE UT VOLUM OG DERETTER FINNE MASSE EVENTUELT TETTHET. På forrige nivå gjennomgikk vi hvordan en kan finne strekning, hhv fart og anvendt tid når de andre størrelsene var oppgitt. Tilsvarende for masse, volum og massetetthet. Vi antydet at tid kan være et problem ettersom tiden blir målt i timer, minutter og sekunder; - som ikke er dekadiske enheter: Det er 60 sekunder (og ikke f.eks, 100) i et minutt og 60 minutter i en time. Her går vi løs på problemene som oppstår av dette forholdet. Hovedtemaet blir derfor omgjøringer av enheter. Tilsvarende er omgjøring av enheter utfordringer dersom det ikke er samsvar mellom enhetene også innenfor temaet massetetthet. (Men alle vanlige enheter innenfor massetetthet er dekadiske.) Et tema som strengt tatt ikke faller inn under denne overskriften er dersom vi må regne ut volumet av en gjenstand for å finne massen eller massetettheten. Det behandles i C.. 7

28 NIVÅ C C.1.a: Kan gjøre om tid skrevet som timer/minutter/sekunder til tid skrevet som desimaltall (én omgjøring av enheter). Eksempel-oppgave: Skriv som desimaltall med minutt som måleenhet: minutter og 15 sekunder. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Vanskeligheten i denne oppgaven springer ut av definisjonen på hva en time er hhv hva et minutt er. Vi nevnte problemstillingen så vidt i B. (Fart og tetthet). Problemstillingene henger sammen med måten vi skriver tallene våre på og at det gjenspeiler at plassen sifferet har angir verdien; - noe som henger sammen med ti- tallsystemet vårt. Dette ble omtalt i A.4 (Tall). Selve utregningene bygger på C.4 (Tall). FORKLARING: Vi vet at 75 sekunder er 1 minutt og 15 sekunder. Vi vet derfor også at v i ikke kan skrive 75 sekunder som 0,75 minutter (det er jo mindre enn 1 minutt). Derfor blir det galt å skrive minutter og 15 sekunder som,15 minutter! 15 Løsningen ligger nettopp i at 15 sekunder er minutt. Vi regner derfor ut denne brøken 60 (husk at brøkstrek betyr delt på.): 15 : 60 = 0, Altså. 15 sekunder = 0,5 minutter Vi har gjort om 15 sekunder som 0,5-del av et minutt: 15 sekunder = 0,5 minutt Vi konkluderer med: minutter og 15 sekunder = minutter + 0,5 minutter =,5 minutter På tilsvarende måte regner vi om fra timer og minutter til timer. 8

29 NIVÅ C C.1.b: Kan gjøre om tid skrevet som desimaltall til tid skrevet som timer/minutter/sekunder (én omgjøring av enheter). Eksempel-oppgave: Hvor mange timer og minutter er 1, timer? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her bruker vi den samme tenkningen som i C.1:b (Fart og tetthet), med den forskjellen at vi går i motsatt retning. Utregningen bygger på D. (Tall). FORKLARING: I foregående punkt sa vi at 15 sekunder = 0,5 minutter. Da må: 1, time = 1 time + 0, time. Oppgaven består derfor i å finne ut hvor mange minutter 0, time er: 0, time = 0, 60 minutter = 1 minutter. (Vi har regnet ut 0, 60.) Altså: 1, time = 1 time + 0, time = 1 time og 1 minutter.. 9

30 NIVÅ C C.: Kan anvende omgjøring av tidsenheter for å beregne strekning, anvendt tid eller fart (én omgjøring av enheter). Eksempel-oppgave 1: Tove kjørte bil fra hjemmet og til hytta. Da hun kom fram, viste speedometeret at hun hadde holdt en gjennomsnittsfart på 58,9 km/h. Turen tok 1time og 6 minutter. Hvor langt var det mellom hjemmet og hytta? Eksempel-oppgave : Lars gikk en skitur på 8 km. Han brukte timer og 0 minutter. Hvor stor gjennomsnittsfart hadde han holdt? (Oppgi svaret i km/h.) Eksempel-oppgave : Familien Ovesen var på bilferie. De kjørte fra Zürich til Berlin med en gjennomsnittsfart på 10 km/timen. Det er 850 kilometer mellom disse to byene. Hvor lang tid brukte de på turen? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP I eksempel-oppgave 1 skal vi finne en avstand. Vi kombinerer A.1 (Fart og tetthet) (eventuelt A. (Fart og tetthet)) med C.1.a (Fart og tetthet). I eksempel-oppgave skal vi finne gjennomsnittsfarten. Vi kombinerer B.1 (Fart og tetthet) med C.1.a (Fart og tetthet). Denne oppgaven kan løses som likning. Da bygger vi på A..c (Likninger). I eksempel-oppgave skal vi finne hvor lang tid som er gått. Vi kombinerer B. (Fart og tetthet) (og kanskje B. (Fart og tetthet)) med C.1.b (Fart og tetthet). Denne oppgaven kan løses som likning. Da bygger vi på A..c (Likninger). FORKLARING: Oppgavene kan løses på flere måter. Vi går gjennom en eller to måter. Her starter vi alltid med en formel. Det gir oss flere viktige sjekk-momenter: Hvilke variabler vi skal finne verdiene til. Svarer benevningene til hverandre, se B. (Fart og tetthet). Hvordan skal vi regne for å finne svaret. Eksempel-oppgave 1: Slik kan du skrive: s = v t Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. s = x km Vi har skrevet opp verdiene for variabelen. v = 58,9km/h Vi sørger for at benevningene samsvarer, se 6 t 1h6min (1 ) h 1, 6h 60 B. (Fart og tetthet). x = 58,9 1,6 = 94,4 Vi har satt inn verdiene for variablene, se E. (Algebra) og regnet ut svaret, se D. (Tall). Det er 94,4 km mellom hjemmet og hytta 0 Vi har skrevet svarsetning

31 NIVÅ C Eksempel-oppgave : Vi skal vise to måter å løse denne oppgaven på: Først hvor vi bruker formelen andre løsningsmåten bruker vi formelen s = v t og løser oppgaven som likning. Slik kan du skrive: s v Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. t v = x km/h Vi har skrevet opp verdiene for variabelen. s = 8 km Vi sørger for at benevningene samsvarer, se 0 t h0min h h, h 60 B. (Fart og tetthet). v s t. I den 8 x 1,0 Vi har satt inn verdiene for variablene, se, E. (Algebra) og regnet ut svaret, se E. (Tall). Lars gjennomsnittsfart var 1,0km/h Vi har skrevet svarsetning Dersom vi ikke vil huske tre formler og bare holde seg til én formel (s = v t), kan vi løse oppgaven som likning: Slik kan du skrive: s = v t Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. s = 8 km Vi har skrevet opp verdiene for variabelen. v = x km/h Vi sørger for at benevningene samsvarer, se 0 t h0min h h, h 60 B. (Fart og tetthet). 8 = x, Vi har satt inn verdiene for variablene, se E. (Algebra). 8 x 1,0 Vi har løst likningen, se A..c (Likninger)., Lars gjennomsnittsfart var 1,0km/h Vi har skrevet svarsetning Eksempel-oppgave : Vi skal også til denne oppgaven vise to løsningsmåter: Først hvor vi bruker formelen den andre løsningsmåten bruker vi formelen s = v t og løser oppgaven som likning. t s v. I 1

32 NIVÅ C Slik kan du skrive: s t Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. v t = x h s = 850 km v = 10 km/h Vi har skrevet opp verdiene for variabelen. Vi sørger for at benevningene samsvarer, se B. (Fart og tetthet). 850 t 8, Vi har satt inn verdiene for variablene, se 10 E. (Algebra) og regnet ut svaret, se C.4 (Tall). t = 8,h = 8h + 0, 60min = 8h + 0 min Vi har gjort om tiden, se C.1.b (Fart og tetthet). De brukte 8 timer og 0 minutter på turen Vi har skrevet svarsetning Som likning: Slik kan du skrive: s = v t s = 850 km v = 10 km/h t = x h Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. Vi har skrevet opp verdiene for variabelen. Vi sørger for at benevningene samsvarer, se B. (Fart og tetthet). 850 = 10 x Vi har satt inn verdiene for variablene, se E. (Algebra). 850 x 8, Vi har løst likningen, se A..c (Likninger). 10 t = 8,h = 8h + 0, 60min = 8h + 0 min Vi har gjort om tiden, se C.1.b (Fart og tetthet). De brukte 8 timer og 0 minutter på turen Vi har skrevet svarsetning

33 NIVÅ C C.: Kan finne tetthet eller masse når en må regne ut volumet til en standardgjenstand. Ikke omgjøring av enheter. Eksempel-oppgave 1: Dette prismet har en masse på 100 gram. Hva er tettheten til prismet? 0cm 15cm 10cm Eksempel-oppgave : Tettheten til denne kjeglen er 7,8 kg/dm. Høyden er dm og radien er 1 dm. Hva er massen til kjeglen? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP I denne steget kombinerer vi C.1 (Lengde Areal Volum) med A. (Fart og tetthet) dersom oppgaven er å finne massen eller med B.4 (Fart og tetthet) dersom oppgaven er å regne ut tettheten. Sagt på en annen måte: Det nye i oppgaven er å regne ut volumet av en standardgjenstand og bruke det til å finne massen, eventuelt tettheten. Når det gjelder hva som dekkes av begrepet standardgjenstander, vises det til A. (Lengde Areal Volum). FORKLARING: Ettersom det er seks forskjellige standardgjenstander, er det mange oppgavetyper som faller inn under dette steget. Dessuten kan lengdene i gjenstandene oppgis med forskjellige lengdeenheter.; - dog er lengdene i oppgaven gitt med den samme lengdeenheten. Det er altså ikke nødvendig å gjøre om enheter. Vi skal her gå gjennom to måter å løse eksempel-oppgave 1. Det er ganske parallelt til det som ble gjort i eksempel-oppgavene og i C. (Fart og tetthet). Vi går bare gjennom én løsningsmåte til eksempel-oppgave. Eksempel-oppgave 1: m Første metode bygger på formelen d. Den andre metoden bygger på formelen m=d V. V Da bruker vi likning. Men før vi bruker den ene eller andre formelen, må vi finne volumet. Formlene for volumet av standardgjenstandene finnes i C.1 (Lengde Areal Volum).

34 NIVÅ C Slik kan du skrive: V = l b h = 15cm 10cm 0cm = 00cm Vi har regnet ut volumet, se C.1 (Lengde Areal Volum). m d Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. V d = x g/cm m = 100 g V = 00 cm Vi har skrevet opp verdiene for variabelen. Vi sørger for at benevningene samsvarer, se B. (Fart og tetthet). 100 d 7 Vi har satt inn verdiene for variablene, se 00 E. (Algebra) og regnet ut svaret, se C.4 (Tall). Tettheten er 7 g/cm Vi har skrevet svarsetning Den andre måten innebærer å løse en likning: Slik kan du skrive: V = l b h = 15cm 10cm 0cm = 00cm m = d V m = 100 g d = x g/cm V = 00cm Vi har regnet ut volumet, se C.1 (Lengde Areal Volum). Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. Vi har skrevet opp verdiene for variabelen. Vi sørger for at benevningene samsvarer, se B. (Fart og tetthet). 100 = x 00 Vi har satt inn verdiene for variablene, se E. (Algebra). 100 x 7 Vi har løst likningen, se A..c (Likninger). 00 Tettheten er 7 g/cm Vi har skrevet svarsetning 4

35 NIVÅ C Eksempel-oppgave : Slik kan du skrive: V r h,14 1dm 1dm dm,1 dm Vi har regnet ut volumet, se C.1 (Lengde Areal Volum). m = d V m = x kg d = 7,8kg/dm V =,1dm x = 7,8,1 = 4,18 Massen er 4,18 kg Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. Vi har skrevet opp verdiene for variabelen. Vi sørger for at benevningene samsvarer, se B. (Fart og tetthet). Vi har satt inn verdiene for variablene, se E. (Algebra) og regnet ut svaret, se D. (Tall). Vi har skrevet svarsetning 5

36 NIVÅ C C.4: Kan gjøre om enheter for tetthet. Eksempel-oppgave 1: Skriv som g/cm : kg/dm. Eksempel-oppgave : Skriv som kg/dm : 15g/dm. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Her kombinerer vi sammenhengene mellom måleenheten for volum, se B.1 (Lengde Areal Volum) med sammenhengen mellom masse, se A. (Fart og tetthet). FORKLARING: Eksempel-oppgave 1: Vi kan løse denne oppgaven ved å skrive: kg = tusengram = 000 gram Ut fra D.4.b (Lengde Areal Volum) noterer vi: 1 dm = 1000 cm Det leder oss til: kg dm kg dm 000g 1000cm g cm kg 1 dm 1 g cm Eksempel-oppgave : Forskjellen fra den første eksempel-oppgaven er at en går fra små (cm) enheter til store. Denne oppgaven kan vi løse ved å se på sammenhengen mellom enhetene på masse og volum: 1 1gram kg 1000 Det leder oss til: g 15 dm 1000g 1000dm kg dm 15 0, 015 kg dm 6

37 NIVÅ D NIVÅ D: GJØRE OM ENHETER I KOMPLEKSE SITUASJONER OG BRUKE DET TIL Å LØSE OPPGAVER I TEMAENE. Dette steget går videre i omgjøring av enheter. Innenfor vei/fart/tid lager vi to kombinasjoner: Den ene måten er å endre enhetene både for lengde og tid (og da endrer vi enheter for fart). Den andre måten er å endre enheter for tid flere ganger. Dette bruker vi til å løse praktiske oppgaver. Innenfor masse/tetthet/volum løser vi problemer ved å kombinerer omgjøring av enheter for to av disse størrelsen. I alle oppgavene på dette steget holder vi oss innenfor det såkalte SI-systemet. Dette er et system som er bygget opp på noen grunnleggende måleenheter: meter, sekund, kilo. Det finnes lengde-enheter som ikke er i SI-systemet: Fot, yard, engelsk mile. Fart til sjøs og i lufta måles i knop. 7

38 NIVÅ D D.1.: Kan gjøre om fart mellom benevningene m/s og km/h.. Eksempel-oppgave 1: Skriv som km m : 7. h s m km Eksempel-oppgave : Skriv som : 15. s h BEGREPER Gjeldende siffer: Når vi måler noe (lengde, fart, tid, masse, tetthet etc) kan vi aldri bli hundre prosent nøyaktige: Det er alltid en usikkerhet. Når vi skal angi f.eks. hvor langt et linjestykke er, tar vi med alle siffer vi er sikre på; - pluss det første sifferet vi vet kan være unøyaktig. Når vi forteller at en vegg er,64 meter har vi sagt at vi er helt sikker på at lengden er hele meter pluss 6 hele desimeter. Men vi er ikke sikre på om det er 4 hele centimeter. Vi er sikre på at det er et sted mellom,5 cm og 4,4 cm. Hele lengden er derfor et sted mellom,65 m og,644 m. Når vi teller antall gjeldende siffer bruker vi følgende regler: Vi skal telle alle sifre f.o.m. 1 t.o.m. 9. Sifferet 0 skal telles med dersom det står mellom andre sifre. Sifferet 0 skal telles med dersom det sår bak andre sifre og samtidig bak komma. Sifferet 0 skal ikke telles med dersom det står foran andre sifre uansett om =-tallet er foran eller bak komma. Tallet,64 m har gjeldende siffer. Tallet,45 m har også gjeldende sifre. Tallet 0,80 m har to gjeldende siffer: De to grønne sifrene. Det røde sifferet telles ikke. Selv om vi skriver denne lengden som 0,00080 km har det fortsatt to gjeldende sifre. Regneregler for gjeldende siffer: Reglene kan forklares ved hjelp av eksempler: Addisjon og subtraksjon: Vi vil legge sammen 4,19 m og, m. Vi markerer det usikre sifferet med rødt: 4,19 m +, m = 7,59 m Vi ser at svaret har to usikre siffer. Det godtas ikke. Her er korrekt svar 7,54. (Vi har avrundet svaret.) Ved addisjon og subtraksjon tar vi med så mange siffer at vi har ett usikkert siffer Multiplikasjon og divisjon: Vi multipliserer,7 m og 1,8 m:,7 m 1,8 m = 4,66 m 8

39 NIVÅ D For å finne ut hvilket siffer som er usikkert, legger vi merke til at 1,8 har færrest sifre (to) og at den nøyaktige lengden ligger mellom 1,75 m og 1,84 m. Vi ganger,7 med disse grense-tallene:,7 m 1,75 m = 4,147 m,7 m 1,84 m = 4,60 m Vi ser at usikkerheten kommer allerede med det andre sifferet: Det er bare 4-tallet vi kan stole på i denne oppgaven. Hva dersom vi tar hensyn til at,7 m også er unøyaktig. Den nøyaktige lengde ligger mellom,65 m og,74 m. Vi ganger 1,8 m med begge disse grense-tallene:,65 m 1,8 m = 4,57 m,74 m 1,8 m = 4,7 m Vi ser her at usikkerheten kommer i det tredje sifferet. Det er altså tallet med færrest gjeldende siffer som avgjør hvor mange gjeldene siffer vi skal ha i svaret: Ved multiplikasjon og divisjon skal svaret ha så mange gjeldende siffer som den faktoren som har færrest gjeldende siffer. En skal allikevel ta med minst to gjeldende siffer. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Når vi løser eksempel-oppgavene, bygger vi på sammenhengen mellom sekunder og timer at det er 60 sekunder i ett minutt og 60 minutter i en time. Se A.1 (Fart og tetthet). Dessuten bygger vi på sammenhengen mellom meter og kilometer, se B. (Lengde Areal Volum). FORKLARING: Eksempel-oppgave 1: Sett at en person beveger seg med en fart på 1m/s. De betyr at denne personen kommer 60 meter på 1 minutt. På én time kommer vedkommende meter, som er 600 meter. Siden det er 1000 meter i én km, vil det si at personen beveger seg,6 km på en time. Det er det samme som å si at farten er,6 km/h. Vi kan skrive dette slik: m m m m km ,6 s min h h h Nøyaktig samme måte å tenke på kan vi bruke i eksempel-oppgaven: m m m m km km , 97 s min min h h h Når vi løser oppgaven på denne måte, viser vi at vi forstår hva det vil si å bevege seg med en fart på 7m/s. Men vi kan løse oppgaven raskere ved å bruke at 1m/s =,6km/h: Vi kan gange 7m/s med,6: km h 9

40 NIVÅ D m km km 7 7,6 97, 97 s h h Eksempel-oppgave : Ordet kilometer er delt i to: Kilo og meter. Kilo betyr tusen. Når noen beveger seg med en fart km på 15, betyr det at hver time kommer vedkommende 15 km, eller 15 tusenmeter eller h meter. På ett minutt kommer vedkommende m 50m På ett sekund kommer vedkommende m 4,1667m 4, m Det er det samme som å si at 60 m farten er 4,. Dermed har vi funnet svaret. s Vi kunne skrive dette slik: km m m m 50 m m m ,166 4, h h 60 min min 60 s s s Vi kunne ha brukt at 1m/s =,6km/h: km m,6 1 Vi har skrevet opp sammenhengen. h s,6,6 km h km 1 m 1. h,6 s km h Vi kan altså komme fra km/h til m/s ved å dele med,6. Oppgaven kan derfor løses slik: 1 m Vi har delt på begge sider med,6.,6 s km 15 m m m 15 4,1667 4, h,6 s s s 40

41 NIVÅ D D.: Kan gjøre om enheter for tid flere ganger. Eksempel-oppgave 1: Skriv på desimalform med timer som enhet: 1time 1minutter og sekunder. Eksempel-oppgave : Skriv som timer, minutter og sekunder:,887 timer. KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Når vi løser eksempel-oppgave 1, bruker vi C.1.a (Fart og tetthet) to ganger. Eksempeloppgave løses ved å bruke C.1.b (Fart og tetthet) to ganger. FORKLARING: Eksempel-oppgave 1: Hovedgrepet er først å gjøre om 1 minutter og sekunder til desimaltall med minutter som enhet. Her bruker vi C.1.a (Fart og tetthet). Dermed har en tiden målt i timer og minutter. Videre bruker vi C.1.a (Fart og tetthet) enda en gang for å gjøre om til desimaltall med timer som enhet: Først gjør vi om fra minutter og sekunder til desimaltall angitt i minutter: 1min s 1min min 1min 0,7 min 1,7 min 60 Dermed har vi fått tiden angitt som 1 time 1,67 minutter. Vi gjør nå om fra timer og minutter til desimaltall angitt i timer: 1,7 1h 1,7 min 1h h 1h 0,8min 1, 8h 60 I praksis kan du regne dette i en operasjon. Det er kanskje raskest å bruke kalkulator: 1. Trykk «delt på» 60.. Trykk «+» 1. Trykk «delt på» Trykk «+» 1 5. Trykk «=». Da får du 1,777.. Dette avrundes til 1,8 etter reglene for gjeldende siffer, se D.1 (Fart og tetthet). Eksempel-oppgave : Her går vi motsatt vei i forhold til eksempel-oppgave 1: Først gjør vi om desimaltallet til timer og minutter:,887h h 0,887h h 0,887 60min h 5,8min h 5,4min Så gjør vi 5,4 min til minutter og sekunder: 5,4min 5min 0,4min 5min 0,4 60s 5min 14,4s 5min 14s,887h h 5 min 14s 41

42 NIVÅ D Også her kan vi gjøre utregningen raskere ved å bruke kalkulator: 1. Skriv opp «timer».. Trykk «0,887 X 60=». Du får 5,8. Skriv opp «5 minutter» 4. Trykk «- 5 X 60 =». 5. Du får «14,8». Skriv opp «14 sekunder». 4

43 NIVÅ D D.: Kan anvende omgjøring av tidsenheter og/eller fart for å beregne strekning, anvendt tid eller fart. Eksempel-oppgave: Under de olympiske vinterlekene i 195 vant finnen Veikko Hakulinen 50 km langrenn på tiden timer, minutter og sekunder. Hvor stor gjennomsnittsfart holdt Hakulinen i dette løpet? (Gi svaret i km/h.) KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Dette steget er tatt med for å illustrere oppgavetyper hvor vi må gjøre om enheter i hht D.1 (Fart og tetthet) og/eller D. (Fart og tetthet). I denne sammenheng er det viktig å understreke følgende moment: Våre prosedyrer for å regne med tall forutsetter at tallene er innenfor 10-tall-systemet. Men «tid» måles vha et 60-tall-system. Det betyr at dersom vi skal finne strekning eller fart, har vi som regel fått oppgitt tiden i timer, minutter og sekunder. Da må vi først gjøre om til desimaltall i henhold til D. (Fart og tetthet). Dersom vi skal finne tiden, vil vi få svaret som desimaltall. Da må vi bruke samme steg for å finne tiden oppgitt på den vanlige måten i timer/minutter/sekunder. Oppgavene kan dessuten regnes slik at en må bruke D.1 (Fart og tetthet). I eksempel-oppgaven skal vi finne en fart. Da kombinerer vi B.1 (Fart og tetthet) med D. (Fart og tetthet). FORKLARING: En kan tenke seg en rekke eksempel-oppgaver som kommer innenfor dette steget. Vi har bare tatt med dette eksempelet for å illustrere hovedpoenget: Når vi bruker formelen s = v t, er det svært viktig at det er samsvar mellom enhetene: Strekningen er oppgitt i km, og svaret skal gis i km/h. Da er det samsvar mellom strekningen og farten. Tilsvarende må det være samsvar mellom tiden og farten. Det betyr at tiden må angis i timer. Første steg er derfor å gjøre om anvendt tid slik at den er angitt som et desimaltall med timer som enhet. Vi følger nå prosedyren fra D. (Fart og tetthet), eksempel-oppgave 1: min s min min min 0,55min,55min 60,55 h,55min h min h 0,55916h,55916h, 559h 60 Nå bruker vi formelen s v (se C. (Fart og tetthet), eksempel-oppgave ). t 50km km km v 14,048 14, 048,559h h h Hakulinens gjennomsnittsfart var 14,048 km/h. 4

44 NIVÅ D Vi kunne ha løst oppgaven ved å si at distansen var meter og at Hakulinen brukte 1.81 sekunder (x60x60 + x60 + ). Farten var,90 m/s. Dette tallet ganger vi med,6 for å få svarer i km/h. Vi kunne ha brukt likninger i løsningen slik det ble gjort i C. (Fart og tetthet). KJEKT Å VITE Et annet problem er hvor nøyaktig vi skal gi svaret; - hvor mange gjeldende siffer skal svaret ha. Det kommer an på hvor nøye arrangørene var da de målte opp løypa: Når vi skriver 50 km, mener vi som regel toppen gjeldende siffer. Men en kan gå ut fra at i olympiske leker måler de distanser med stor grad av nøyaktighet. Her har vi gått ut fra at nøyaktigheten er på nærmeste meter. En annen sak er hvor langt Hakulinen gikk. Han har ganske sikkert gått lenger enn løypa er målt til: I stedet for å bremse for å følge den korteste ruta, har han nok gått slik at han bruker kreftene på å holde farten oppe. En kan også problematisere hvor nøyaktig tidtakningen var og hvor veldefinert starten og målgangen var. Poenget er at når en skal angi nøyaktighet i svaret er det en konkret vurdering av opplysningene som foreligger. 44

45 NIVÅ D D.4: Kan anvende omgjøring av enheter for å finne masse, tetthet eller volum Eksempel-oppgave: En pakke som har et volum på 6dl veier 850 g. Hvor stor er tettheten målt i kg/dm? KOPLING TIL GJENNOMGÅTT KUNNSKAP Også dette steget fanger opp en rekke oppgave-typer. I D. (Lengde Areal Volum) viste vi hvordan en kunne gjøre om lengde-enheter for å finne volumet av en gjenstand. I D.4 (Lengde Areal Volum) gikk vi gjennom hvordan vi gjorde om enheter for volum. Alle disse oppgavetypene kombinerer vi nå med det å finne masse, tetthet elle volum. I eksempeloppgaven skal vi kombinere omgjøring av enheter for volum med B.4 (Fart og tetthet). FORKLARING: Framgangsmåten for å løse eksempel-oppgaven, er avhengig av hva slags omgjøring oppgaven krever. I eksempel-oppgaven er det ikke vanskelig å finne volumet av gjenstanden; - det er oppgitt. Utfordringen her liger i å få enhetene for masse, tetthet og volum til å være i samsvar med hverandre. Men når en har klart det, er oppgaven ikke vanskeligere enn den i B.4 (Fart og tetthet). Her er det viktig å vite 1 kg = 1000 g 1 dl = 0,1 l 1 liter = 1 dm. Slik kan du skrive: m d Vi har skrevet opp formelen vi skal bruke. V d = x kg/dm m = 850 g = 0,85 kg V = 6 dl = 0,6 l = 0,6 dm Vi har skrevet opp verdiene for variablene. Vi sørger for at benevningene samsvarer, se B. (Fart og tetthet). 0,85 d 1,416 1,4 Vi har satt inn verdiene for variablene, se 0,6 E. (Algebra) og regnet ut svaret, se C.4 (Tall). Tettheten er 1,4 kg/dm Vi har skrevet svarsetning I stedet for å løse oppgaven på denne måten, kunne vi ha brukt likninger, se C. (Fart og tetthet). 45

46 NIVÅ D 46