1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter

Transkript

1 T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter Løsninger til oppgavene i oka Oppgave 4. a Vi tegner grafene til y = og y = + 3 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (, ). Løsningen på likningssystemet er altså = y =. Vi finner først y uttrykt ved i egge likningene. 4+ y = y = 4 y = 6 y = 6 y = 6 6 y = 3 3 Så tegner vi grafene i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (, 3). Løsningen på likningssystemet er altså = y = 3. Oppgave 4. a 3 y 7 y + = () = () Vi ruker likning () til å finne et uttrykk for y. 3+ y = 7 y = 7 3 Vi setter dette uttrykket inn i likning (). y = (7 3 ) = 7+ 3= + 3= = = 4 4 = Til slutt setter vi = inn i uttrykket for y. y = 7 3= 7 3 = 7 6= Likningssystemet har løsningen = y =. Aschehoug Side av 4

2 y = 7 () + y = () Vi ruker likning () til å finne et uttrykk for. y = 7 = y+ 7 Vi setter dette uttrykket inn i likning (). + y = (y+ 7) + y = 4y+ 4 + y = 4y+ y = 4 5y = 3 3 y = 5 Til slutt setter vi dette inn i uttrykket for = y+ 7= + 7= + = + = Likningssystemet har løsningen = y =. 5 5 c + y = 5 () 4= 6 y () Vi ruker likning () til å finne et uttrykk for. + y = 5 = 5 y Vi setter dette uttrykket inn i likning (). 4= 6 y 4 (5 y) = 6 y 8y = 6 y 8y+ y = 6 7y = 4 7y 4 = 7 7 y = Til slutt setter vi y = inn i uttrykket for. = 5 y = 5 = 5 4= Likningssystemet har løsningen = y =. Aschehoug Side av 4

3 d + y = () 4+ y+ 4 = () Vi ruker likning () til å finne et uttrykk for y. + y = y = Vi setter dette uttrykket inn i likning (). 4+ y+ 4 = 4+ ( ) + 4 = = 4+ 4= 4 8 = 8 = = Til slutt setter vi dette inn i uttrykket for y. 3 3 y = = = = 3 = 4 3 Likningssystemet har løsningen = y = 4. Oppgave 4.4 Én kopp kaffe og to kakestykker koster til sammen 6 kr. Det gir likningen + y = 6. To kopper kaffe og tre kakestykker koster til sammen 44 kr. Det gir likningen + 3y = 44. Vi ruker den første likningen til å finne et uttrykk for. + y = 6 = 6 y Så setter vi dette inn i den andre likningen. + 3y = 44 (6 y) + 3y = y+ 3y = 44 4y+ 3y = 44 5 y = 8 y = 8 Innsatt i uttrykket for gir dette = 6 y = 6 8 = 6 6 =. Én kopp kaffe koster kr, og ett kakestykke koster 8 kr. Aschehoug Side 3 av 4

4 Oppgave 4.5 Vi lar år være alderen til tante Lise, og y år alderen til Lars. Til sammen er de 54 år. Det gir likningen + y = 54. Differansen mellom alderene er 3 år. Det gir likningen y = 3. Fra den første likningen er y = 54. Innsatt i den andre likningen gir det (54 ) = = 3 + = = 84 = 4 Dermed er y = 54 = 54 4 =. Tante Lise er 4 år, og Lars er år. Oppgave 4.6 Vi lar være antall arn og y antall voksne. Det gir likningene + y = 6 5+ y = 9 Fra den første likningen er y = 6. Innsatt i den andre likningen gir det 5+ (6 ) = = 9 5 = = = 5 5 = 86 Dermed er y = 6 = 6 86 = 784. Det er 86 arn og 784 voksne på fotallkampen. Oppgave 4.7 a y 3+ 6= y = 3 6 y+ = y = + y = 3 Løsninger til oppgavene i oka Grafene til linjene y = 3 6 og y = 3 har samme stigningstall, men forskjellige konstantledd. Grafene er derfor parallelle uten å falle sammen. Det etyr at likningssystemet ikke har noen løsning. Aschehoug Side 4 av 4

5 Oppgave 4.8 y a Likningen = + er allerede løst med hensyn på y. y+ = 4 y = 4 y = + De to likningene i oppgave a er identiske. Grafene faller derfor sammen. Det etyr at likningssystemet har uendelig mange løsninger. Oppgave 4.9 a Vi finner først y uttrykt ved i den andre likningen. 4+ y 7= y = 7 4 Vi tegner grafene til y = 3 og y = 7 4 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (, ). Løsningen på likningssystemet er altså = y =. Løsninger til oppgavene i oka Vi finner først y uttrykt ved i egge likningene. y = y = + 3y = 5 3y = 5 5 y = 3 3 Så tegner vi grafene i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene ( 8, 7). Løsningen på likningssystemet er altså = 8 y = 7. Aschehoug Side 5 av 4

6 Oppgave 4. a + 3y = () 3+ y = () Vi ruker likning () til å finne et uttrykk for y. 3y = y = 3 3 Så setter vi dette uttrykket inn i likning (). 3+ y = 3 + = = = = 3 3 = 6 = Til slutt setter vi = inn i uttrykket for y. ( ) 4 6 y = = = + = = Likningssystemet har løsningen = y =. 3+ y = 7 () 3y = 3,5 () Vi ruker likning () til å finne et uttrykk for. = 3,5 + 3y = 3,5 3y Så setter vi dette uttrykket inn i likning (). 3+ y = 7 3 (3,5 3 y) + y = 7,5 9y+ y = 7 7 y = 3,5 y =,5 Til slutt setter vi y =,5 inn i uttrykket for. = 3,5 3y = 3,5 3,5 = 3,5,5 = Likningssystemet har løsningen = y =,5. Aschehoug Side 6 av 4

7 c + 5 = y () 3+ y = () Vi ruker likning () til å finne et uttrykk for. + 5 = y = y 5 Så setter vi dette uttrykket inn i likning (). 3+ y = 3 ( y 5) + y = 3y 5 + y = y = 4 y = 4 Til slutt setter vi y = 4 inn i uttrykket for. = y 5 = ( 4) 5 = 4 5 = Likningssystemet har løsningen = y = 4. d y = () + y = 4 () Vi ruker likning () til å finne et uttrykk for y. y = y = + Så setter vi dette uttrykket inn i likning (). + y = 4 + (+ ) = = 4 5 = = 4 Til slutt setter vi = 4 inn i uttrykket for y. y = + = 4 + = 8 + = Likningssystemet har løsningen = 4 y =. Oppgave 4. a Vi løser likningssystemet med CAS i GeoGera. Likningssystemet har løsningen 6 = y =. 5 5 Likningssystemet har løsningen = 4 y =. Aschehoug Side 7 av 4

8 Oppgave 4. Tre arn og fire voksne koster 335 kr: 3+ 4y = 335 To arn og to voksne koster 75 kr: + y = 75 Vi ruker den andre likningen til å finne et uttrykk for y. y = 75 y = 375 Så setter vi dette uttrykket inn i den første likningen. 3+ 4y = (375 ) = = 335 = 65 = 65 Til slutt setter vi = 65 inn i uttrykket for y. y = 375 = = Billettprisen er 65 kr for arn og kr for voksne. Oppgave 4.3 a Tenk at det er gutter og y jenter. Til sammen er det 56 elever på skolen. Det gir likningen + y = 56. Det er 4 flere gutter enn jenter. Det gir likningen y = 4. Fra den første likningen i oppgave a er y = 56. Innsatt i den andre likningen gir det (56 ) = = 4 = 6 = 3 Dermed er y = 56 = 56 3 = 6. Likningssystemet har løsningen = 3 y = 6. Det er 3 gutter og 6 jenter på skolen. Oppgave 4.4 a Tenk at det er liter eplesaft og y liter konsentrert juice i én liter SommerSol. Til sammen inneholder landingen én liter. Det gir likningen + y =. liter eplesaft koster kr, og y liter konsentrert juice koster 4 y kr. Til sammen koster dette 6 kr. Det gir likningen + 4y = 6. Fra den første likningen i oppgave a er y =. Innsatt i den andre likningen gir det + 4 ( ) = = 6 = 4 =,7 Dermed er y =,7 =,3. Likningssystemet har løsningen =,7 y =,3. Én liter SommerSol inneholder 7 dl eplesaft og 3 dl konsentrert juice. Aschehoug Side 8 av 4

9 Oppgave 4.5 a 3y = 4 () 3+ 4y = () Vi multipliserer likning () med 4 og likning () med 3, og legger sammen likningene. 8 y = 6 9+ y = 33 7 = 7 = Til slutt setter vi = inn i likning () for å finne y. 3+ 4y = 3 + 4y = 4y = 8 y = Likningssystemet har løsningen = y =. 3 y = 5 () y = () Vi multipliserer likning () med og likning () med, og legger sammen likningene. 3+ y = 5 4 y = 4 = Til slutt setter vi = inn i likning () for å finne y. y = ( ) y = y = y = 4 Likningssystemet har løsningen = y = 4. Aschehoug Side 9 av 4

10 Oppgave 4.6 a = 4y 6 () + 3y 8= 3y () Vi ruker likning () til å finne et uttrykk for. = y 3 Så setter vi dette uttrykket inn i likning (). (y 3) + 3y 8 = (y 3) 3y 4y 6+ 3y 8= 4y+ 6 3y 7y 4 = 7y+ 6 4y = y = 7 Til slutt setter vi dette inn i uttrykket for. = y 3= 3= = Likningssystemet har løsningen = y =. 7 7,49 7, y = () 4 3 y = () 6 Vi ruker likning () til å finne et uttrykk for. 3 = y = y = 6 y 3 3 Så setter vi dette uttrykket inn i likning (). 8 6 y y = y y = y = y = 9 y = 9 Til slutt setter vi y = 9 inn i uttrykket for. 8 8 = 6 y = 6 9 = = 3 3 Likningssystemet har løsningen = y = 9. Aschehoug Side av 4

11 Oppgave 4.7 a Vi løser likningssystemet med CAS i GeoGera. Likningssystemet har løsningen = 3 y =. Likningssystemet har løsningen = 3 y =. Oppgave 4.8 Vi setter inn = og y = i formelen for y for å finne den ene likningen, og = og y = for å finne den andre likningen. y = a + = a+ = a+ Vi legger sammen de to likningene for å finne. = = 5 Så setter vi = 5 inn i den andre likningen for å finne a. = a + ( 5) a = + 5 a = 3 Likningssystemet har løsningen a = 3 = 5. Den rette linja har altså formelen y = 3 5. Oppgave 4.9 a Grafen går gjennom punktene (,3), (, 5) og (,3). Det første punktet gir likningen f() = a + + c= 3, og dermed c = 3. Vi ruker de to andre punktene til å finne to likninger for de ukjente størrelsene a og. f() = a = 5 a+ + 3 = 5 () () 3 3 f = a + + = 4a+ + 3 = 3 () Fra likning () får vi = a. Innsatt i likning () gir det 4a+ ( a) + 3 = 3 4a+ 4 a+ 3= 3 a = 4 a = Dermed er = a = ( ) = 4. Funksjonen er gitt ved f( ) = Aschehoug Side av 4

12 Med CAS-delen av GeoGera går det an å skrive inn tre likninger for de tre ukjente størrelsene a, og c. Vi løser derfor likningssystemet c = 3 a+ + c= 5 4a+ + c= 3 Likningssystemet har løsningen a = = 4 c= 3. Funksjonsuttrykket er gitt ved f( ) = Oppgave 4. Tenk at det var kvinner og y menn som deltok i undersøkelsen. Til sammen deltok personer. Det gir likningen + y = () Tre av ti, altså 3 personer totalt, deltok på organiserte treningsaktiviteter. Dette utgjør 3 % av mennene (,3y personer) og 38 % av kvinnene (,38 personer). Dermed får vi likningen,3y+,38= 3 () Fra likning () får vi y =. Innsatt i likning () gir det,3 ( ) +,38= 3 3,3+,38= 3, 5 = 7 = 68 Dermed er y = = 68 = 3. Det var 68 kvinner og 3 menn som deltok i undersøkelsen. Oppgave 4. a Grafene skjærer hverandre i punktet (3, ). Likningssystemet har derfor løsningen = 3 y =. Det er uendelig mange likninger som svarer til de to linjene. Vi kan for eksempel skrive likningene som y uttrykt ved. (): Når øker med, minker y med. Stigningstallet er. Linja skjærer y-aksen for y = 4. Konstantleddet er 4. Likningen for linja er dermed y = 4. (): Når øker med, øker y med. Stigningstallet er. Linja går gjennom punktet (3, ). Vi ruker ettpunktsformelen til å finne likningen. y y = a ( ) y = ( 3) y = 3+ y = Et likningssystem som svarer til linjene kan altså være y = 4 og y =. Aschehoug Side av 4

13 Oppgave 4. a Løsninger til oppgavene i oka Betingelsen for at likningssystemet skal ha nøyaktig én løsning, er at de to linjene har forskjellige stigningstall. Vi løser derfor likningene med hensyn på y for lettere å se hva stigningstallet er. k + y = 3 y = k + 3 () y = y = y = () Linjene har stigningstallene k og. Likningssystemet har én løsning når k, altså når k. Når k = er de to linjene parallelle. Konstantleddene er hhv. 3 og. Siden konstantleddene er forskjellige, er linjene ikke sammenfallende. Likningssystemet har derfor ingen løsninger når k =. (Hvis konstantleddene hadde vært like, ville likningssystemet hatt uendelig mange løsninger når k =.) Oppgave 4.3 Tenk at kg av landingen Super inneholder kg Aroma og y kg Lu. Da er + y =. Aroma koster 9 kr/kg, Lu koster kr/kg og Super koster 99 kr/kg. Det gir 9+ y = 99. Fra den første likningen er y =. Innsatt i den andre likningen gir det 9+ ( ) = = 99 3 = =,7 Dermed er y = =,7 =,3. kg av landingen Super inneholder,7 kg Aroma og,3 kg Lu. Blandingen inneholder altså 7 % Aroma og 3 % Lu. Oppgave 4.4 Tenk at en tom eske veier gram, og at hver talett veier y gram. Det gir likningene + y = 8 + y = 5 Vi trekker den andre likningen fra den første likningen. Det gir y = 3 y = 3 Hver talett veier 3 gram. Den tomme esken veier da (8 3) gram = gram. En eske med taletter veier dermed ( + 3) gram = 4 gram. Aschehoug Side 3 av 4

14 Oppgave 4.5 a = 4y y = 4 Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y. y = + 4 y = + Så setter vi dette inn i andregradslikningen. = 4 + ( ) 8 = + 8 = Vi ruker ac-formelen og finner løsningene = = 4. = gir y = + = ( ) + = + =. = 4 gir y = + = 4+ = + = 4. Likningssystemet har løsningene (, ) og (4, 4). c 3y = 6 y = Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y. y = Så setter vi dette inn i andregradslikningen. 3 ( ) = = 6 3 = Vi ruker ac-formelen og finner løsningene = = 5. = gir y = = = 4. = 5 gir y = = 5 = 3. Likningssystemet har løsningene (, 4) og (5, 3). y + = 3 6 y = 7 Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y. y = 6 7 Så setter vi dette inn i andregradslikningen. + (6 7) = = = Vi ruker ac-formelen og finner at andregradslikningen har én løsning, =. Det gir y = 6 7= 6 7= 7= 5. Likningssystemet har løsningen (,5). Aschehoug Side 4 av 4

15 d + y = y = 3 Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y. y = 3 Så setter vi dette inn i andregradslikningen. + ( 3) = + + 3= + = = = ± = = = gir y = 3= 3= 4. = gir y = 3= 3=. Likningssystemet har løsningene (, 4) og (, ). Oppgave 4.7 a + y = 3 y = Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y. y = 3 Så setter vi inn i den andre likningen. (3 ) = = 3 + = 3 Vi ruker ac-formelen og finner løsningene = =. = gir y = 3 = 3 =. = gir y = 3 = 3 =. Likningssystemet har løsningene (, ) og (, ). = y = y+ 6 Her er egge likningene løst med hensyn på. Vi setter derfor uttrykkene lik hverandre. y = y+ 6 y y 6= Vi ruker ac-formelen og finner løsningene y = y = 3. y = gir = y+ 6= + 6= 4. y = 3 gir = y+ 6= 3+ 6= 9. Likningssystemet har løsningene (4, ) og (9,3). Aschehoug Side 5 av 4

16 c 3= y y = Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y. 3 y = Så setter vi dette inn i andregradslikningen. 3 = = Vi ruker ac-formelen og finner løsningene =,5 = (,5) =,5 gir y = = = 3, = 4 gir y = = = 6. Likningssystemet har løsningene (,5, 3, 75) og (4, 6). Oppgave 4.8 a Vi skriver inn likningene i GeoGera, og finner skjæringspunktene mellom linjene. Likningssystemet har løsningene (,33,, 67) og (5, 3). Likningssystemet har løsningene (, 3) og (3, ). Aschehoug Side 6 av 4

17 Oppgave 4.9 a Tenk at lengden av rektanglet er meter, og at redden er y meter. Arealet av rektanglet er da y = 4. Omkretsen er + y = 6. Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y. y = 6 y = 3 Så setter vi dette inn i likningen y = 4. (3 ) = 4 3 = = Vi ruker ac-formelen og finner løsningene = 5 = 8. = 5 gir y = 3 5 = 8, og = 8 gir y = 3 8 = 5. De to løsningene av andregradslikningen gir oss altså de to sidene i rektanglet direkte. Dette skyldes at vi fritt kan velge hvilken side vi kaller og hvilken side vi kaller y. Rektanglet har altså sidene 5 m og 8 m. Oppgave 4.3 a og y er sidene i rektanglet. Arealet av et rektangel er gitt ved y Omkretsen av rektanglet er gitt ved y. Altså er arealet er altså halve omkretsen. Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y. Det gir y = 6. Vi setter dette inn i likningen y = 48. (6 ) = = = Vi ruker ac-formelen og finner løsningene = 4 =. = 4 gir y = 6 4 =, og = gir y = 6 = 4. Likningssystemet har løsningene (4,) og (, 4). Sidene i rektanglet er altså 4 og. Som i oppgave 4.9 finner vi egge sidene i rektanglet direkte fra andregradslikningen, på grunn av symmetrien mellom og y. Aschehoug Side 7 av 4

18 Oppgave 4.3 a + y = 4 y = + Vi setter førstegradslikningen inn i andregradslikningen. + ( + ) = = = = 4 ( + ) = = = = gir y = + = + =. = gir y = + = + =. Likningssystemet har løsningene (, ) og (, ). c + y = 5 3+ y = 7 Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y. y = 7 3 Så setter vi dette inn i andregradslikningen = 5 3+ = Vi ruker ac-formelen og finner løsningene = =. = gir y = 7 3= 7 3 = 4. = gir y = 7 3= 7 3 =. Likningssystemet har løsningene (, 4) og (, ). y + 3 = 4 y = Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y, som gir y = 4. Innsatt i andregradslikningen gir det + 3 4= 3= Vi ruker ac-formelen og finner løsningene = = 3. = gir y = 4= 4 ( ) = 4. = 3 gir y = 4= 4 3 =. Likningssystemet har løsningene (, 4) og (3,). Aschehoug Side 8 av 4

19 d + y = y = 5 Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y. y = 5 y = + 5 Så setter vi dette inn i andregradslikningen. + ( + 5) = + + = + = ( + ) = = = = gir y = + 5= + 5= 3, og = gir y = + 5= + 5= 5. Likningssystemet har løsningene (,3) og (,5). Oppgave y = 3 a + y = 5 Vi løser førstegradslikningen med hensyn på, som gir = 3 y. Innsatt i andregradslikningen gir det 3 y+ y = 5 y y = Vi ruker ac-formelen og finner løsningene y = 3 y = 4. y = 3 gir = 3 y = 3 ( 3) = 6, og y = 4 gir = 3 y = 3 4=. Likningssystemet har løsningene (, 4) og (6, 3). = 3y y + 4y = Vi løser førstegradslikningen med hensyn på, som gir = 4y. Innsatt i røklikningen gir det 4y = 3y 4y y 4y = 3y 3y 4 = 3y 3 4 y = Dermed er = 4y = 4 =. Likningssystemet har løsningen , 9 9. Aschehoug Side 9 av 4

20 c + y = 5 + y = 3 Vi løser den andre likningen med hensyn på y, som gir y = 3. Innsatt i den første likningen gir det + (3 ) = ( ) = = = Dette er en andregradslikning med som ukjent. Vi ruker ac-formelen og finner løsningene = 9 = 6, som gir =± 3 =± 4. = 9 gir = 6 gir y = 3 = 3 9 = 4. y Likningssystemet har fire løsninger: ( 4, 3), ( 3, 4), (3, 4) og (4, 3). = 3 = 3 6 = 3. d y = 4 + y = 4 Vi løser den andre likningen med hensyn på y, som gir y = 4. Innsatt i den første likningen gir det = = Vi ruker ac-formelen og finner løsningene = = 6. = gir y = 4 = 4 = 8 4= 4. = 6 gir y = 4 = = 4 36 =. Likningssystemet har løsningene (, 4) og (6, ). Oppgave 4.33 a Vi skriver inn likningene i GeoGera, og finner skjæringspunktene mellom linjene. Likningssystemet har løsningene (, 33, ) og (4,). Aschehoug Side av 4

21 Likningssystemet har løsningene ( 5, 46, 9, 46) og (,46,,54). Oppgave 4.34 y 3= 9 a y + = a Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y. y = 3+ 9 y =,5+ 4,5 Så setter vi dette inn i andregradslikningen. (,5+ 4,5) + = a = a a = () Med a = 4 får vi andregradslikningen =. Vi ruker ac-formelen og finner løsningene = = 5. = gir y =,5+ 4,5=,5 ( ) + 4,5=,5 + 4,5= 3. = 5 gir y =,5+ 4,5=,5 5+ 4,5= 7,5+ 4,5 =. Likningssystemet har løsningene (, 3) og (5,). Vi setter = inn i likning () i oppgave a. ( ) + 4 ( ) + 9 a = a = a = 3 Så setter vi a = 3 inn i likning (). Det gir andregradslikningen + 4+ = Vi ruker ac-formelen og finner løsningene = = 6. = er den løsningen som allerede er oppgitt. Med = 6 lir y =,5 6+ 4,5 = 3,5. Den andre løsningen på likningssystemet er (6, 3,5). Aschehoug Side av 4

22 c Vi løser likning () i oppgave a «for hånd» ved hjelp av ac-formelen. ± = ( ) ( ) (9 a) 4 ± (9 a) 4 ± a 4 ± 5 4a = = = Likningen har én løsning når tallet under rottegnet er lik null. 5 4a = 5 a = 4 a = 3 Likningssystemet har én løsning når a = 3. Likning () har to løsninger når tallet under rottegnet er større enn null. 5 4a > 4a < 5 a < 3 Likningssystemet har to løsninger når a < 3. () Oppgave 4.35 y = y+ = a Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y, som gir y = a. Innsatt i andregradslikningen gir det a = + a = Vi ruker ac-formelen til å estemme hvor mange løsninger andregradslikningen har. ± = ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( a ) ± ( a ) ± 4+ 4a 8 ± 4a 4 = = = () Likningen har ingen løsninger når tallet under rottegnet er negativt. 4a 4< 4a < 4 a < Likningssystemet har ingen løsninger når a <. Likning () har to løsninger når tallet under rottegnet er positivt. 4a 4> a > Likningssystemet har to løsninger når a >. 3 Likning () har én løsning når tallet under rottegnet er lik null, altså når a =. Likningssystemet har én løsning når a =. Aschehoug Side av 4

23 Oppgave 4.36 a 5< 3 + < < 8 < Løsningsmengden for ulikheten er L =, Løsningsmengden for ulikheten er L = 8,. c > > + > Løsningsmengden for ulikheten er L =,. d Løsningsmengden for ulikheten er L =,. Aschehoug Side 3 av 4

24 Oppgave 4.38 a 3 + 4< 5 4+ < < < Løsningsmengden er L =, Løsningsmengden er c + > 3 > 3 > 5 L =,. < 5 Løsningsmengden er L =,5. d Løsningsmengden er 8 L =, 5. Oppgave 4.39 a 5( 4) < 4+ + < < < < 8 8 > > 3 Løsningsmengden er L =,. 3 Aschehoug Side 4 av 4

25 4 5( + 5) Løsningsmengden er L =, 3. c 3 < + ( ) 3 < < + 3 < + < Løsningsmengden er L =,. d 3( + ) ( + 3) Løsningsmengden er L =, 5. Oppgave 4.4 4( 5) > > 3 > > Jon Arne glemte å multiplisere hele parentesen med 4, og han glemte å snu ulikhetstegnet da han delte på et negativt tall. Den riktige løsningen er 4( 5) > 3 4+ > 3 > 7 < 7 Aschehoug Side 5 av 4

26 Oppgave 4.4 Løsninger til oppgavene i oka Uten medlemskap må du etale 85 kr for å trene ganger i løpet av en måned. Med medlemskap etaler du 55 kr per måned uansett hvor mange ganger du trener. Det lønner seg å li medlem hvis prisen for enkelttreningene er større enn eller lik månedsprisen: , 47 Det lønner seg å li medlem hvis du trener minst 7 ganger per måned. Oppgave 4.4 a Temperaturen etter timer er gitt ved (8, 5 ) C. Temperaturen er over 7 C når 8,5 > 7. Temperaturen er under 65 C når 8,5 < 65. c a 8,5 > 7, 5 > <, 5 < 7,3 Temperaturen er over 7 C før det har gått 7,3 timer. 8,5 < 65, 5 < 6 6 >, 5 >,7 Temperaturen er under 65 C etter at det har gått,7 timer. Oppgave 4.43 a 4 ( ) ( ) Løsningsmengden er L =,. Aschehoug Side 6 av 4

27 c d 3 ( ) + > ( ) + > > 8 6 8> 4 3 > 8 8 < 3 8 Løsningsmengden er L =,. 3 3( ) + ( + ) < 3 3( ) ( + ) < < 9+ < < 7 7 < 7 Løsningsmengden er L =,. < < < < 4+ < 3 < 3 Den siste ulikheten er feil. Den opprinnelige ulikheten har derfor ingen løsninger. Løsningsmengden er tom, L =. Aschehoug Side 7 av 4

28 Oppgave 4.44 a Løsninger til oppgavene i oka Inntektene fra illettsalget er på 5 kr. Utgiftene er på til sammen 4 kr. Overskuddet er altså gitt ved 5 4. Elevrådet vil at overskuddet skal li større enn 5 kr. Det gir ulikheten 5 4 > > 5 5 > 9 9 > 5 > 6,7 Siden antall elever er heltallig, lir løsningen på ulikheten 7. Det må komme minst 7 elever på festen for at overskuddet skal li større enn 5 kr. Oppgave 4.45 a Tenk at vi tar turer på Badeussen i løpet av en sesong. Med sesongkort etaler vi da til sammen ( ) kr. Uten sesongkort etaler vi 4 kr. Ulikheten < 4 forteller oss altså hvor mange turer vi må ta for at det skal lønne seg med sesongkort < 4 5 4< 35 5 < > 5 > 3,3 Vi må ta minst 4 turer med Badeussen for at det skal lønne seg med sesongkort. Oppgave 4.46 a Ulikheten + > 3 4 forteller oss når det er mest vann i eholder B. Det er altså ( + ) L vann i eholder B, og (3 4 ) L vann i eholder A. Beholder B inneholder liter vann til å egynne med, og det renner liter vann per minutt inn i eholderen. Beholder A inneholder 3 liter vann til å egynne med, og det renner 4 liter vann per minutt ut av eholderen. + > > 3 5 > >, 9 Etter,9 minutter er det mest vann i eholder B. Aschehoug Side 8 av 4

29 Oppgave 4.47 a Vi tegner grafen til funksjonen f( ) = + og linja y = 7 i samme koordinatsystem. Grafene skjærer hverandre i punktene ( 4, 7) og (, 7). Grafen til f ligger under linja y = 7 for 4. Ulikheten + 7 er oppfylt når 4. L = 4,. Løsningsmengden for ulikheten er [ ] Vi tegner grafene til f( ) = og g ( ) = + i samme koordinatsystem. Grafen til f ligger over grafen til g for < < 3. Ulikheten > + er oppfylt når < < 3. Løsningsmengden for ulikheten er L =,3. c d 3 Vi tegner grafene til f( ) = og 3 g ( ) = + i samme koordinatsystem. Grafen til f ligger under grafen til g for < og for > 5. Ulikheten f( ) < g ( ) er oppfylt når, 5,. Løsningsmengden for ulikheten er L =, 5,. Vi tegner grafene til f( ) = 3+ 4 og g ( ) = +,5 + =,5 + i samme koordinatsystem. Grafen til f ligger under grafen til g for,58 < < 7,58. Ulikheten f( ) < g ( ) er oppfylt når,58 < < 7,58. Løsningsmengden for ulikheten er L =,58, 7,58. Oppgave 4.48 a Vi løser først likningen + 3=, og får da = 3. Så velger vi en -verdi som er mindre enn 3, og en -verdi som er større enn 3. For = 5 får vi + 3= 5+ 3=, altså negativt fortegn. For = får vi + 3= + 3= 3, altså positivt fortegn. Uttrykket + 3 er negativt for < 3, null for = 3 og positivt for > 3. Aschehoug Side 9 av 4

30 Vi løser likningen + =, og får da = 5. Så velger vi en -verdi som er mindre enn 5, og en -verdi som er større enn 5. For = 7 får vi + = ( 7) + = 4, altså negativt fortegn. For = 3 får vi + = ( 3) + = 4, altså positivt fortegn. Uttrykket + er negativt for < 5, null for = 5 og positivt for > 5. c Uttrykket er åpenart negativt for <, null for = og positivt for >. d Vi løser likningen =, og får da =. For = er = =, altså positivt fortegn. For = 4 er = 4=, altså negativt fortegn. Uttrykket er positivt for <, null for = og negativt for >. Oppgave 4.49 a Vi løser likningen + = med ac-formelen, og får løsningene = =. Vi ruker testmetoden, og velger testverdiene 3, og. = 3: ( 3) + ( 3) = 9 3 = 4 + er positivt når <. = : + = + er negativt når < <. = : + = 4+ = 4 + er positivt når >. Av fortegnslinja ser vi at + > for < og for >. Løsningsmengden for ulikheten er altså L =,,. Vi løser likningen 3+ = med ac-formelen, og får løsningene = =. Vi ruker testmetoden, og velger testverdiene,,5 og 3. = : 3 + = 3+ er positivt når <. =, 5 :,5 3,5 + =, 5 4,5 + =, 5 3+ er negativt når < <. = 3: = 9 9+ = 3+ er positivt når >. Av fortegnslinja ser vi at 3+ for. L =,. Løsningsmengden for ulikheten er altså [ ] Aschehoug Side 3 av 4

31 c d 3> > Vi prøver å løse likningen 3+ 4=, og finner at den ikke har noen løsning. Det etyr at 3+ 4 enten er større enn null eller mindre enn null for alle verdier av. Vi setter = og får 3 + 4= er altså større enn null for alle verdier av. Ulikheten 3> 4 er oppfylt for alle reelle tall. Løsningsmengden for ulikheten er L =. (CAS-delen av GeoGera skriver dette som =.) Vi løser likningen 4= med ac-formelen, og får løsningene =,56 =,56. Vi ruker testmetoden, og velger testverdiene 3, og 4. = 3: ( 3) ( 3) 4 = = 8 = : = 4 : 4 er positivt når <, 56. 4= 4 4 er negativt når,56 < <, = 6 4 4= 8 4 er positivt når >,56. Av fortegnslinja ser vi at 4 for, 56 og for,56. Løsningsmengden for ulikheten er altså L =,,56,56, (GeoGera oppgir først den eksakte løsningen. Vi kan få en tilnærmet verdi ved først å trykke på det eksakte uttrykket, og så trykke på knappen.) Oppgave 4.5 a Vi løser likningen 6+ 9= med ac-formelen, og får løsningen = 3. Vi velger testverdiene og 5. = : 6 + 9= er positivt når < 3. = 5: = = er positivt når > 3. Ulikheten 6+ 9> har løsningsmengden L =,3 3,. Løsningsmengden er alle reelle tall unntatt 3. Vi kan også skrive dette som L = \{ 3}. Aschehoug Side 3 av 4

32 c d Vi prøver å løse likningen + 3+ =, og finner at den ikke har noen løsning. Det etyr at + 3+ enten er større enn null eller mindre enn null for alle verdier av. Vi setter = og får = er altså større enn null for alle verdier av. Ulikheten + 3+ > er oppfylt for alle reelle tall. Løsningsmengden for ulikheten er L =. Vi løser likningen 8 6 = med ac-formelen, og får løsningen = 4. Vi velger testverdiene 6 og. = 6 : ( 6) 8 ( 6) 6 = = er negativt når 4 <. = : 8 6 = er negativt når > 4. Ulikheten 8 6 har løsningen = 4. L = 4. Løsningsmengden er altså { } I oppgave c fant vi at 8 6 for alle reelle tall. Ulikheten 8 6 > har derfor ingen løsning. Løsningsmengden er tom, L =. Oppgave 4.5 a Vi løser likningen 3 + 6=, og får da =. Så velger vi en -verdi som er mindre enn, og en -verdi som er større enn. For = 4 får vi = 3 ( 4) + 6 = 6, altså negativt fortegn. For = får vi 3 + 6= 3 + 6= 6, altså positivt fortegn. Uttrykket er negativt for <, null for = og positivt for >. Vi løser likningen + 6=, og får da = 3. Så velger vi en -verdi som er mindre enn 3, og en -verdi som er større enn 3. For = får vi + 6= + 6= 6, altså positivt fortegn. For = 5 får vi + 6= 5+ 6= 4, altså negativt fortegn. Uttrykket + 6 er positivt for < 3, null for = 3 og negativt for > 3. c Tallet 3 er positivt for alle verdier av. Aschehoug Side 3 av 4

33 d Vi løser likningen =, og får løsningene = =. Vi velger testverdiene, og. = gir = ( ) = 4 = 3, altså positivt fortegn. = gir = gir = =, altså negativt fortegn. = = 4 = 3, altså positivt fortegn. Oppgave 4.5 Uttrykket skal være negativt for <, null for = og positivt for >. Et uttrykk som passer til fortegnslinja kan derfor være f.eks.. Oppgave 4.53 Uttrykket skal være positivt for < 4, null for = 4 og negativt for > 4. Uttrykket 4 har riktig nullpunkt. Hvis vi multipliserer med lir også fortegnet riktig. Et uttrykk som passer til fortegnslinja kan derfor være f.eks. ( ) ( 4) = 4. Oppgave 4.54 Uttrykket skal være negativt for <, null for = og positivt for >. Det er akkurat det fortegnet vi får fra selv. Uttrykket kan derfor være f.eks.. Oppgave 4.55 Fortegnslinja viser at uttrykket er positivt for < 5 og for > 3, og null for = 5 og = 3. Uttrykket er altså større enn eller lik null for 5 og for 3. Oppgave 4.56 Vi ser at ( ) f = for = og for =. Funksjonen har altså nullpunktene og. Grafen til f ligger under førsteaksen for < <. Ulikheten f( ) har derfor løsningen L =,. Oppgave 4.57 a. Løsningsmengden er [ ] Vi løser likningen 6= med ac-formelen, og får løsningene = = 3. Vi ruker testmetoden, og velger testverdiene 4, og 5. = 4 : ( 4) ( 4) 6 = = 4 6 er positivt når <. = : 6= 6 6 er negativt når < < 3. = 5: = = 4 6 er positivt når > 3. Av fortegnslinja ser vi at 6 for 3. L =,3. Løsningsmengden for ulikheten er altså [ ] Aschehoug Side 33 av 4

34 c Vi løser likningen 4+ 3= med ac-formelen, og får løsningene = = 3. Vi ruker testmetoden, og velger testverdiene, og 4. = : 4 + 3= er positivt når <. = : 4 + 3= = 4+ 3 er negativt når < < 3. = 4 : = = er positivt når > 3. Av fortegnslinja ser vi at 4+ 3> for < og for > 3. Løsningsmengden for ulikheten er altså L =, 3,. Vi løser likningen + + =, og får løsningene = =. Vi velger testverdiene, og 3. = : ( ) + ( ) + = 4 + = er negativt når <. = : + + = + + er positivt når < <. = 3: = = er negativt når >. Av fortegnslinja ser vi at + + < for < og for >. Løsningsmengden for ulikheten er altså L =,,. d Vi løser likningen ( + )( 4) =. ( + )( 4) = + = 4= = = 4 Uttrykket ( + )( 4) er allerede faktorisert. Vi ruker derfor faktoriseringsmetoden. Da tegner vi én fortegnslinje for hver av de to faktorene, og finner fortegnslinja for uttrykket ( + )( 4) utfra dette. Av fortegnslinja for ( + )( 4) ser vi at ( + )( 4) < for < < 4. Løsningsmengden for ulikheten er altså L =,4. Aschehoug Side 34 av 4

35 Oppgave 4.58 Vi løser likningen a ( + 3)( ) =. Løsninger til oppgavene i oka a ( + 3)( ) = a + 3= = = 3 = Uttrykket er skrevet på faktorisert form. Vi tegner derfor en fortegnslinje for hver av de tre faktorene, og må da huske at a er negativ. + 3 er negativt for < 3, null for = 3 og positivt for > 3. er positivt for <, null for = og negativt for >. Dermed er a ( + 3)( ) positivt for < 3, null for = 3, negativt for 3< <, null for = og positivt for >. Oppgave 4.59 Uttrykket har to nullpunkter, nemlig 4 og. Dette stemmer med faktorene + 4 og. Vi må sjekke at fortegnet lir riktig i hvert av de tre områdene < 4, 4< < og >. Det kan vi gjøre ved å tegne en fortegnslinje for hver av de to faktorene, og dermed finne fortegnslinja for uttrykket ( + 4)( ). Vi ser at fortegnslinja stemmer med figuren i oppgaven. Et uttrykk som passer til fortegnslinja kan derfor være f.eks. ( + 4)( ) = = + 8 Oppgave 4.6 Av fortegnslinja ser vi at uttrykket er positivt for <, null for =, positivt for < < 7, null for = 7 og negativt for > 7. Uttrykket er altså større enn null for,,7. Oppgave 4.6 a Vi ser at ( ) f = for = 3 og for = 4. Funksjonen har altså nullpunktene 3 og 4. Grafen til f ligger over førsteaksen for 3< < 4. Ulikheten f( ) > har derfor løsningen 3< < 4. Løsningsmengden er L = 3,4. Grafene til f( ) og g= ( ) 6 skjærer hverandre i punktene (, 6) og (3, 6). Grafen til f ligger over grafen til g for < < 3. Ulikheten f( ) > 6 har derfor løsningen < < 3. Løsningsmengden er L =,3. c Grafen til f ligger under grafen til g for < og for > 3. Ulikheten f( ) < g ( ) har altså løsningsmengden L =, 3,. Aschehoug Side 35 av 4

36 Oppgave 4.6 a Vi ser at ( ) f = for = og for = 3. Funksjonen har altså nullpunktene og 3. Grafen til f ligger over førsteaksen for < og for > 3. Ulikheten f( ) > har derfor løsningsmengden L =, 3,. Grafene til f og g skjærer hverandre i punktene ( 4, 7) og (6,). Grafen til f ligger under grafen til g for 4< < 6. Ulikheten f( ) < g ( ) har derfor løsningen 4< < 6. Løsningsmengden er L = 4,6. c Grafen til f ligger over grafen til g for 4 og for 6. Ulikheten f( ) g ( ) har altså løsningsmengden L =, 4 6,. Oppgave 4.63 a + 4> > Vi løser likningen = med ac-formelen, og får løsningene = 3 =. Vi ruker testmetoden, og velger testverdiene 4, og. = 4 : ( 4) + 4 ( 4) + 3 = = 3 = : er positivt når < 3. ( ) + 4 ( ) + 3 = = er negativt når 3< <. = : = er positivt når >. Av fortegnslinja ser vi at > for < 3 og for >. Løsningsmengden for ulikheten + 4> 3 er altså L =, 3,. Vi løser likningen = med ac-formelen, og får løsningene = = 8. Vi ruker testmetoden, og velger testverdiene 4, og. = 4 : ( 4) + ( 4) + 3 = = 48 = : = : er negativt når < = er positivt når < < = = er negativt når > 8. Av fortegnslinja ser vi at < for < og for > 8. Løsningsmengden for ulikheten er altså L =, 8,. Aschehoug Side 36 av 4

37 c + 5< < Vi prøver å løse likningen + =, og finner at den ikke har noen løsning. Det etyr at + enten er større enn null eller mindre enn null for alle verdier av. Vi setter = og får + =. + er altså større enn null for alle verdier av. Ulikheten + < har derfor ingen løsning. Løsningsmengden er tom, L =. d Vi løser likningen 3( )( + 3) =. 3( )( + 3) = = + 3= = = 3 Uttrykket 3( )( + 3) er allerede faktorisert. Vi ruker derfor faktoriseringsmetoden. Da tegner vi én fortegnslinje for hver av de tre faktorene, og finner fortegnslinja for uttrykket 3( )( + 3) utfra dette. Av fortegnslinja ser vi at 3( )( + 3) > for < 3 og for >. Løsningsmengden for ulikheten er altså L =, 3,. Oppgave 4.64 a Vi løser likningen ( + )( 8) =. ( + )( 8) = + = 8= = = 4 Så tegner vi en fortegnslinje for hver av de tre faktorene, og for uttrykket ( + )( 8). Av fortegnslinja ser vi at ( + )( 8) > for < < 4. Løsningsmengden for ulikheten er altså L =,4. Vi løser likningen (4 ) =. (4 ) = = 4 = = = 4 Vi tegner en fortegnslinje for hver av de to faktorene, og for uttrykket (4 ). Av fortegnslinja ser vi at (4 ) for og for 4. Løsningsmengden for ulikheten er altså L =, 4,. Aschehoug Side 37 av 4

38 c Vi løser likningen (3 ) ( ) + = (3 ) ( ) + =. 3 = + = = 3 = Uttrykket (3 ) ( + ) inneholder fire faktorer, siden hver av faktorene 3 og + er kvadrert. Vi tegner en fortegnslinje for hver av de fire faktorene, og ruker dette til å finne fortegnslinja for uttrykket (3 ) ( + ). Av fortegnslinja ser vi at (3 ) ( + ) for alle reelle tall. Løsningsmengden for ulikheten er altså L =. Kapitteltest Del Uten hjelpemidler Oppgave a + < < 8 4 < > 4 > 3 Løsningsmengden er L = 3,. Vi løser likningen 5 = med ac-formelen. ( ) ( ) 4 ( 5) ± ± + ± ± = = = = = ± = 3 = 5 Vi ruker testmetoden, og velger testverdiene 4, og 6. = 4 : ( 4) ( 4) 5 = = 9 5 er positivt når < 3. = : 5 = 5 5 er negativt når 3< < 5. = 6 : = 36 5 = 9 5 er positivt når > 5. Av fortegnslinja ser vi at 5 < for 3< < 5. Løsningsmengden for ulikheten er altså L = 3,5. Aschehoug Side 38 av 4

39 c ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3 ) ( 3)( 5) Likningen ( 3)( 5) = har løsningene = 3 = 5. Vi tegner én fortegnslinje for hver av faktorene 3 og 5, og ruker dette til å finne fortegnslinja for uttrykket ( 3)( 5). Av fortegnslinja ser vi at ( 3)( 5) for 3 5. Løsningsmengden for ulikheten er altså L = [ 3,5]. Oppgave Vi finner først y uttrykt ved i egge likningene. + 3y = 3y = y = y = 4 y = y = Så tegner vi grafene i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (4, ). Løsningen på likningssystemet er altså = 4 y =. Oppgave 3 + y = 7 () y + = 4 () Vi ruker likning () til å finne et uttrykk for, som gir = 7 y. Så setter vi dette uttrykket inn i likning (). (7 y) y+ 7 y = 4 7y y + 7 y 4= y + 5y+ 3= 5 ± 5 4 ( ) 3 5 ± ± 49 5 ± 7 y = = = = ( ) y = y = 3 y = gir = 7 y = 7 ( ) = 7+ = 8. y = 3 gir = 7 y = 7 3= 7 6=. Likningssystemet har løsningene (, 3) og 8,. Aschehoug Side 39 av 4

40 Oppgave 4 Vi ser at uttrykket for ( ) U er positivt for < 5, null for = 5, positivt for 5< <, null for = og negativt for >. Det etyr at U( ) for = 5 og for. Løsningsmengden for ulikheten er { } L = 5,. Oppgave 5 3y = () 3+ 4y = 5 () Vi ruker likning () til å finne et uttrykket for y. 3y = y = 3 3 Så setter vi dette uttrykket inn i likning () = = = = 45 = = Til slutt setter vi = inn i uttrykket for y. 9 y = = = = = Likningssystemet har løsningen = y = 3. Del Med hjelpemidler Oppgave 6 a Vi løser likningen k 4 + = med ac-formelen. ( 4) ± ( 4) 4 k 4 ± 6 4k = = Likningen har ingen løsning når tallet under rottegnet er negativt, altså når 6 4k < 4k < 6 k > 4 Når k > 4 er uttrykket 4+ k enten negativt eller positivt for alle verdier av. = gir 4 + k = k. Siden k > 4 er altså 4+ k positivt for alle verdier av. Dermed har ulikheten 4+ k ingen løsning når k > 4. Aschehoug Side 4 av 4

41 Hvis andregradslikningen i oppgave a har to løsninger, vil uttrykket 4+ k være åde negativt og positivt for forskjellige verdier av. Det er are når andregradslikningen har én løsning at uttrykket vil ha samme fortegn for alle verdier av. Andregradslikningen har én løsning når tallet under rottegnet er lik null. 6 4k = k = 4 Løsningen av andregradslikningen er dermed =. Vi sjekker fortegnet til uttrykket 4+ 4 med testverdiene og 4. = : 4 + 4= er positivt når <. = 4 : = = er positivt når >. Av fortegnslinja ser vi at 4+ 4 for =. Ulikheten 4+ k har altså én løsning når k = 4. Oppgave 7 y+ = 7 y = Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y, som gir y = +. Så setter vi dette inn i andregradslikningen. (+ ) + = = = Vi løser andregradslikningen med ac-formelen, og får løsningene = 5 =. = 5 gir y = + = ( 5) + = + = 9. = gir y = + = + = + = 3. Likningssystemet har løsningene ( 5, 9) og (, 3). Oppgave 8 Vi tegner grafene til f( ) = og g ( ) = 7+ i samme koordinatsystem i GeoGera. Grafen til f ligger over grafen til g for < og for >, 5. Ulikheten > 7+ er oppfylt når < og når >, 5. Løsningsmengden for ulikheten er L =,, 5,. Aschehoug Side 4 av 4

42 Oppgave 9 Tenk at det var arn og y voksne på konserten. Løsninger til oppgavene i oka Til sammen le det solgt 64 illetter. Det gir likningen + y = 64. Billettinntektene var på til sammen 7 kr. Det gir likningen + 8y = 7. Vi løser den første likningen med hensyn på y, som gir y = 64. Innsatt i den andre likningen gir det + 8 (64 ) = = 7 8= = 7 8 = 4 Dermed er y = 64 = 64 4 = 39. Det var 4 arn og 39 voksne på konserten. Oppgave a Vi skriver inn likningene i GeoGera, og finner skjæringspunktene mellom linjene. Likningssystemet har løsningene (,5) og (5, ). + y = 5 + y = k Vi løser førstegradslikningen med hensyn på y, som gir y = k. Innsatt i andregradslikningen gir det + ( k ) = 5 + k k + = 5 k + k = 5 ( k) ± ( k) 4 ( k 5) k ± 4k 8k + k ± 4k = = = 4 4 Likningen har én løsning når tallet under rottegnet er lik null. 4k = k = 5 k = ± 5 k = ± 7,7 Likningssystemet har nøyaktig én løsning når k = 7,7 k = 7,7. Aschehoug Side 4 av 4