Permutasjoner og utvalg
|
|
- Amanda Hetland
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Permutasjoner og utvalg En permutasjon av en samling objekter er en eller annen rekkefølge objektene i samlingen kan settes opp i. Eksempel 1 Gitt bokstavene a, b, c og d. Da er følgende oppstillingen en permutasjon: a, b, c, d c, b, a, d d, a, b, c b, a, d, c De fire bokstavene kan permuteres på = 4! = 24 måter. Eksempel 2 Gitt tallene 11, 12, 13, 14, 15 og 16. Da er følgende oppstillingen en permutasjon: 11, 12, 13, 14, 15, 16 13,16, 14, 11, 12, 15 16, 15, 14, 13, 12, 11 15, 14, 11, 12, 13, 16 De seks tallene kan permuteres på = 6! = 720 måter. Antall forskjellige permutasjoner Gitt n forskjellige objekter. Det er n muligheter for å velge det som skal stå først, n-1 mulighet for å velge det som skal stå nest først, osv. Til sammen blir det: n (n-1) (n-2). 2 1 = forskjellige permutasjoner. NB! leses som «n fakultet». 1
2 Ordnede r-utvalg (eller r-permutasjoner) Gitt n forskjellige objekter. Ut fra disse n objektene skal vi velge r objekter i rekkefølge. Et slikt utvalg kalles et ordnet r- utvalg eller en r-permutasjon fordi rekkefølgen objektene velges i har betydning. Spørsmål: Hvor mange forskjellige ordnede r-utvalg er det? Svar: n muligheter for å velge det som skal stå først, n-1, mulighet for å velge det som skal stå nest først, osv. til n-r+1 muligheter for å velge det siste av de r objektene som skal velges. Dermed får vi: n (n-1) (n-2). (n-r+1) = (n r)! Læreboka bruker formelen P(n, r) = (n r)! (P står for Permutasjon, som betyr at rekkefølgen objektene velges i har betydning.) Eksempel 1 Gitt tallene 1 til 6. Hvor mange ordnede 3-utvalg er det? Her er n = 6 og r = 3. Vi får da = 6! = 6! = (n r)! (6 3)! 3! = = 120 Eksempel 2 Gitt bokstavene A til Å. Hvor mange ordnede 5-utvalg er det? Her er n = 29 og r = 5. Vi får da = 29! = 29! = = (n r)! (29 5)! 24! 2
3 Eksempel 3 En forening har 50 medlemmer. De skal velges et styre på fire personer (leder, nestleder, kasserer og sekretær). Hvor mange forskjellige styresammensetninger er det mulig å få til? Her er n = 50 og r = 4. Vi får da 50! = 50! = = (50 4)! 46! Legg merke til at antall faktorer i svaret er lik r. Uordnede r-utvalg eller r-kombinasjoner Hvis en velger et utvalg på r stykker fra en samling på n forskjellige objekter og rekkefølgen ikke er av betydning, kalles det et uordnet r-utvalg eller en r-kombinasjon. Ta som eksempel tallene fra 1 til 10. Vi skal velge tre tall, f.eks. 2, 5, 8. De samme tallene kan også velges ut i disse rekkefølgene: 2, 8, 5 5, 2, 8 8, 5, 2 8, 2, 5. De tre tallene 2, 5 og 8 kan velges på 3! forskjellige måter, men når rekkefølgen ikke betyr noe, vil alle disse 3! utvalgene utgjøre det samme utvalget. Dermed må vi dele det tilsvarende 3-permutasjonen på 3!: 10! (10 3)! 3! = 10! (10 3)! 3! = ! forskjellige uordnede r-utvalg. = = 120 3
4 Dette gir oss følgende viktige formel: (n r)! r! = (n r)! r! Læreboka bruker formelen C(n, r) = (n r)! r! (C står for Combination, som betyr at rekkefølgen objektene velges i ikke har betydning.) Eksempel Gitt en kortstokk med 52 kort. Hvor mange korthender på 5 kort finnes det. Rekkefølgen av kortene velges i spiller ingen rolle. Her er n = 52 og r = 5. Vi får: = 52! (n r)! r! = 52! = (52 5)! 5! 47! 5! = = Denne formelen er så viktig at den har fått sitt eget symbol: ( n r ) = (n r)! r! r 0, n 0 Symbolet ( n ) leses som «n over r» og kalles for en r binomialkoeffisient. Læreboka bruker som sagt 4
5 C(n, r) istedenfor ( n ) og P(n, r) istedenfor r Merk! r = 0 gir mening: ( n ) = 1 fordi 0! = 1 0 (n r)! Eksempel Hvor mange bit-sekvenser av lengde 8 har nøyaktig 3 1-ere (og dermed 5 0-ere)? Vi kan velge de 3 plassene der det skal være 1-ere på ( 8 3 ) forskjellige måter: ( 8 3 ) = 8! (8 3)! 3! = = 56 Av de 2 8 = 256 mulige bit-sekvensene er det 56 som har nøyaktig 3 1-ere. Vi kunne ha tenkt omvendt: Det må være like mange bitsekvenser av lengde 8 som har nøyaktig 5 0-ere som det er bit-sekvenser med nøyaktig 3 1-ere, dvs. ( 8 3 ) = (8 5 ) ( 8 5 ) = 8! (8 5)! 5! = = = 56 Dette gir oss følgende formel: ( n r ) = ( n n r ) 5
6 Andre viktige observasjoner: 0! = 1 ( 0 0 ) = 1 (n 0 ) = 1 (n 1 ) = n (n n ) = 1 Utvalg med tilbakelegging Gitt n forskjellige objekter. Vi skal velge r objekter på en slik måte at for hvert objekt vi velger, noterer vi hvilket det er og legger det tilbake. Det betyr at vi kan velge det samme objektet flere ganger. 1. Ordnet r-utvalg med tilbakelegging. Hvis rekkefølgen objektene velges i har betydning kalles det et ordnet r-utvalg med tilbakelegging. (eng. permutation with reptition) Det første objektet kan velges på n måter. Når objektet legges tilbake vil det også være n måter å velge neste objekt, osv. Dermed får vi følgende antall mulige utvalg: n n n n n = n r Eksempel Gitt bokstavene A, B og C. Hvor mange ordnede 5-utvalg med tilbakelegging finnes det? Svar: = 3 5 = Uordnet r-utvalg med tilbakelegging. Hvis rekkefølgen objektene velges i ikke har betydning kalles det et uordnet r-utvalg med tilbakelegging. (eng. combination with repetition) Eksempel. 6
7 Gitt bokstavene A, og B. Hvor mange uordnede 3-utvalg med tilbakelegging finnes det? Vi finner først alle ordnede 3-utvalg: Vi fikk 2 3 = 8 ordnede utvalg. De tre utvalgene med to A er og en B sees på som samme utvalg når vi ser bort fra rekkefølgen. Tilsvarende for de tre utvalgene med utvalgene med to B er og en A. Dermed er har vi kun fire forskjellige uordnede utvalg: AAA, AAB, BBA, BBB. Vi har følgende formel for uordnede utvalg med tilbakelegging: n + r 1 ( ) r Oppsummering Gitt n forskjellige objekter og r objekter som vi skal velge: Ordnet Uten tilbakelegging (n r)! Med tilbakelegging n r Uordnet ( n r ) n + r 1 ( ) r Alternativ form for tilbakelegging: Vi skal nå tenke oss at samlingen av objekter vi skal velge fra har nok eksemplarer av hvert type (n forskjellige typer) til å velge alle mulige r-utvalg. 7
8 Eksempel. I fruktdisken i butikken er det epler, pærer og appelsiner. Vi skal kjøpe 4 frukter. På hvor mange måter kan dette gjøres? Vi har et uordnet 4-utvalg (med tilbakelegging 1 ) der n = 3 og r = 4. ( ) = ( ) = (6 2 ) = = 15 Permutasjon der det inngår like verdier. Hvis vi har n forskjellige objekter, kan de permuteres på forskjellige måter. Men hvis noen av objektene er like er det annerledes! Eksempel Gitt bokstavene A, A, A, B, B, C, dvs. 6 bokstaver. Hvor mange måter kan disse permuteres på? Vi kan dele hele oppgaven opp i 3 deloppgaver: 1. Vi starter med å beregne hvor mange måter vi kan plassere A ene på. Vi har 6 plasser å velge mellom og skal plassere 3 stykker. Dette kan sammenlignes med å skulle velge ut 3 plasser av 6 mulige. Dermed får vi n = 6 (antall mulige valg av plass for A) r = 3 (antall plasser som skal velges A ene) Mulige plasseringer for A ene blir: ( n r ) = (6 3 ) A A A 1 NB! «med tilbakelegging» menes det i denne forbindelse at samme type frukt kan velges flere ganger. 8
9 2. Etter at A ene er plassert skal vi plassere B ene. Det er nå 3 ledige plasser å velge mellom og skal vi velge 2 av dem (fordi vi har 2 B er). Dermed blir n = 3 og r = 2 og vi får ( n r ) = (3 2 ) mulige plasseringer av B ene etter at A ene er plassert. A B A B A 3. Etter at alle A er og begge B ene er plassert skal C en plasseres. Nå er det imidlertid kun en plass som skal velges, men også bare en ledig plass igjen slik at n = r = 1. Bruker vi samme formel får vi ( n r ) = (1 ) = 1 plass å plassere C-en. 1 Løsningen på hele oppgaven blir produktet av de tre deloppgavene: ( 6 3 ) (3 2 ) (1 1 ) = (6 3 ) ( ) =(6 3 ) ( )= 1 3 = Generelt. Gitt n objekter der k av dem er forskjellige. Anta at det er n 1 stykker av type 1, n 2 stykker av type 2, n 3 stykker av type 3, osv. til n k stykker av type k. Da har vi at n = n 1 + n 2 + n n k De n objektene kan permuteres på ( n n 1 ) ( n n 1 n 2 ) ( n n 1 n 2 n 3 ). = n 1! n 2! n 3! n k! 9
10 Eksempel 1 Hvor mange måter kan bokstavene i ordet RABARBRA stokkes om? Totalt er det 8 bokstaver hvorav det er 3 A er, 3 R er og 2 B er. Dermed blir svaret: 8! 3! 3! 2! = = = Eksempel 2 Hvor mange måter kan bokstavene i ordet SUPPEPOSE stokkes om? Totalt er det 9 bokstaver hvorav det er 3 P er, 2 S er, 2 E er, 1 U, og 1 O. Dermed blir svaret: 9! 3! 2! 2! 1! 1! = = 3 7! = Eksempel 3 Hvor mange måter kan bokstavene i ordet KULTURUKE stokkes om? Totalt er det 9 bokstaver hvorav det er 3 U er, 2 K er, 1 L, 1 T, 1 R og 1 E. Dermed blir svaret: 9! 3! 2! 1! 1! 1! 1! = = Dikteren Jan Erik Vold utgav i 1969 diktsamlingen «Kykelipi». Et av diktene handler om omstokking av bokstavene i ordet KULTURUKE. Det inneholdt følgende omstokking: 10
11 Hør dikterens egen opplesing på Youtube: Samme ide i en annen sammenheng. Anta at vi har n forskjellige objekter som skal deles i k grupper. Det skal være n 1 stykker i gruppe 1, n 2 stykker i gruppe 2, n 3 stykker i gruppe 3, osv. til n k stykker i gruppe k. Vi har at n = n 1 + n 2 + n n k Dette kan gjøres på følgende antall måter: n 1! n 2! n 3! n k! Eksempel I kortspillet Bridge fordeles hele kortstokken på 52 kort på 4 spillere slik at de hver får 13 kort. På hvor mange måter kan kortene deles ut? (NB! Her spiller rekkefølgen en rolle.) Svar: 52! 13! 13! 13! 13! = 11
12 12
Utvalg med tilbakelegging
Utvalg med tilbakelegging Gitt n forskjellige objekter. Vi skal velge r objekter på en slik måte at for hvert objekt vi velger, noterer vi hvilket det er og legger det tilbake. Det betyr at vi kan velge
DetaljerUtvalg med tilbakelegging
Utvalg med tilbakelegging Gitt n foskjellige objekte. Vi skal velge objekte på en slik måte at fo hvet objekt vi velge, notee vi hvilket det e og legge det tilbake. Det bety at vi kan velge det samme objektet
DetaljerUtvalg med tilbakelegging
Utvalg med tilbakelegging Gitt n foskjellige objekte. Vi skal velge objekte på en slik måte at fo hvet objekt vi velge, notee vi hvilket det e og legge det tilbake. Det bety at vi kan velge det samme objektet
Detaljerb) Hvis det er mulig å svare blankt (dvs. vet ikke) blir det 5 svaralternativer på hvert spørsmål, og dermed mulige måter å svare på.
Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete Mathematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. Rosen Avsnitt 5. Oppgave 3 Når et spørsmål har 4 svaralternativer
DetaljerVi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon.
Mengder En mengde (eng:set) er en uordnet samling av objekter. Vi bruker vanligvis store bokstaver, A, B, C, osv., til å betegne mengder. Objektene som inngår i mengden kalles for elementer i mengden (eller
Detaljer10.5 Mer kombinatorikk
bestemt person skal utvikle en hjertesykdom er 70 %. Har du noen forslag på hvilket grunnlag en slik sannsynlighet kan settes opp? 10.5 Mer kombinatorikk Den måten å nærme seg løsningen på kombinatoriske
DetaljerSTK1100 våren 2017 Kombinatorikk
STK1100 våren 2017 Kombinatorikk Svarer til avsnitt 2.3 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT3 Diskret Matematikk Forelesning 2: Mer kombinatorikk Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 3. april 2 (Sist oppdatert: 2-4-3 4:3) Kapittel 9: Mer kombinatorikk MAT3 Diskret Matematikk
DetaljerSTK1100 våren Kombinatorikk = = Uniform sannsynlighetsmodell. Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket.
ST1100 våren 2017 ombinatorikk Uniform sannsynlighetsmodell Et stokastisk forsøk har N utfall. Det er de mulige utfallene for forsøket. Vi antar at de N utfallene er like sannsynlige. Svarer til avsnitt
DetaljerØvingsforelesning 6. Kombinatorikk, generaliserte permutasjoner, og MP13. TMA4140 Diskret Matematikk. 08. og 10. oktober 2018
Kombinatorikk, generaliserte permutasjoner, og MP13 Øvingsforelesning 6 TMA4140 Diskret Matematikk 08. og 10. oktober 2018 Dagen i dag Per forespørsmål, MP15.4 Trediagram Produktssetningen Permutasjoner
DetaljerMatematikk for IT, høsten 2016
Matematikk for IT, høsten 0 Oblig 1 Løsningsforslag 6. august 0 1..1 a) 19 76? 76 : 19 = 4 Vi ser at vi får 0 i rest ved denne divisjonen. Vi kan derfor konkludere med at 19 deler 76. b) 19 131? 131 :
DetaljerStatistikk og økonomi, våren 2017
Statistikk og økonomi, våren 207 Obligatorisk oppgave 3 Løsningsforslag Oppgave Produsenten av en type bærbar datamaskin har registrert at sannsynligheten er 0.2 for at tastaturet svikter, 0.09 for at
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2011 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2007 Kp. 2 Sannsynlighetsregning (sannsynlighetsteori) 1 Grunnbegrep Stokastisk forsøk: forsøk med uforutsigbart utfall Enkeltutfall: et av de mulige
DetaljerInnføring i bevisteknikk
Innføring i bevisteknikk (Kun det som undervises på forelesningen er pensum. NB! Avsnitt 1.6 og 1.7 inngår ikke i pensum) Et bevis går ut på å demonstrere at implikasjonen p q er sann. p kalles for premissen
DetaljerGeoGebra for Sinus 2T
GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side
DetaljerØvingsforelesning 5. Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk. TMA4140 Diskret Matematikk
Binær-, oktal-, desimal- og heksidesimaletall, litt mer tallteori og kombinatorikk Øvingsforelesning 5 TMA4140 Diskret Matematikk 1. og 3. oktober 2018 Dagen i dag Repetere binære, oktale osv. heltallsrepresentasjoner,
DetaljerMicrosoft Mathematics Brukermanual matematikk vgs
Microsoft Mathematics Brukermanual matematikk vgs Generelt om Microsoft Mathematics... 2 Nedlasting... 2 Innholdsoversikt... 2 Fremgangsmåte... 3 Tall og algebra... 4 Omgjøring mellom enheter... 4 Likninger...
DetaljerSannsynlighet oppgaver
Sannsynlighet oppgaver Innhold 3.1 Pascals talltrekant... 2 3.2 Kombinatorikk... 4 3.3 Sannsynlighetsberegninger... 8 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 9 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell...
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 21: Mer kombinatorikk Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo 15. april 2009 (Sist oppdatert: 2009-04-15 00:05) Kapittel 9: Mer kombinatorikk
DetaljerSannsynlighet løsninger
Sannsynlighet løsninger Innhold 3.1 Pascals talltrekant... 2 3.2 Kombinatorikk... 5 3.3 Sannsynlighetsberegninger... 10 3.4 Hypergeometrisk sannsynlighetsmodell... 12 3.5 Binomisk sannsynlighetsmodell...
DetaljerSannsynlighet S1, Prøve 1 løsning
Sannsynlighet S, Prøve løsning Del Tid: 60 min Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave a) Bruk figuren til høyre og fyll inn tall i rutene slik at figuren viser de fem første linjene i Pascals trekant. I et
DetaljerVi definerer en mengde ved å fortelle hva den inneholder. Vi kan definere den på listeform eller ved hjelp av en utsagnsfunksjon.
Mengder En mengde (eng:set) er en uordnet samling av objekter. Vi bruker vanligvis store bokstaver, A, B, C, osv., til å betegne mengder. Objektene som inngår i mengden kalles for elementer i mengden (eller
DetaljerHvorfor sannsynlighetsregning og kombinatorikk?
Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/
DetaljerSannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole
Sannsynlighet og kombinatorikk i videregående skole Helmer Aslaksen Institutt for lærerutdanning og skoleforskning/matematisk institutt Universitetet i Oslo helmer.aslaksen@gmail.com www.math.nus.edu.sg/aslaksen/
DetaljerNotater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I
Notater til forelesning i Sannsynlighetsregning SK 101 Matematikk i grunnskolen I 4 Kombinatorikk Vi må lære tellemetoder når valgtrær, som vi brukte tidligere, blir for store og vanskelig å håndtere.
DetaljerOppgaver som utfordrer og engasjerer
1 av 5 Oppgaver som utfordrer og engasjerer Forfatter: Anne-Gunn Svorkmo Publisert: 8. januar 2019 2 av 5 Alle elever trenger å bli utfordret kognitivt i matematikkundervisningen, også elever som presterer
DetaljerKapittel 2, Sannsyn. Definisjonar og teorem på lysark, eksempel og tolking på tavla. TMA september 2016 Ingelin Steinsland
Kapittel 2, Sannsyn 2.1 Utfallsrom Onsdag 2.2 Hendingar Onsdag 2.3 Telle mogeleg utfall: I dag 2.4 Sannsyn for ei hending: Onsdag 2.5 Addetive reglar: Onsdag 2.6 Betinga sannsyn, uavhengighet og produktregelen
DetaljerKapittel 2: Sannsynlighet [ ]
Kapittel 2: Sannsynlighet [2.3-2.5] TMA4240 Statistikk (F2 og E7) 2.3, 2.4, 2.5: Kombinatorikk og sannsynlighet [18.august 2004] Ole.Petter.Lodoen@math.ntnu.no p.1/21 Produktregel for valgprosess TEO 2.1
DetaljerSannsynlighet og statistikk
Sannsynlighet og statistikk Arkeologiske utgravinger har vist at mennesker har underholdt seg med forskjellige spill i tusener av år. Terninger fra India som ble brukt i spill, er faktisk 5000 år gamle.
DetaljerTema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel ST1101 (Gunnar Taraldsen) :19
Tema 1: Hendelser, sannsynlighet, kombinatorikk Kapittel 2.1-2.7 ST1101 (Gunnar Taraldsen) 2019-01-12 17:19 Sentrale definisjoner og regneregler Definisjoner: Stokastisk forsøk, utfallsrom, hendelser (snitt,
Detaljer2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Foreleses onsdag 25. august 2010
TMA4240 Statistikk H2010 2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Mette Langaas Foreleses onsdag 25. august 2010 2 Sist - Kap 0 Hva er statistikk, og hvorfor skal du lære det?
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 2.3: Kombinatorikk 2.4: Sannsynlighet, og Monte Carlo simulering. Mette Langaas Foreleses onsdag 25. august 2010 2 Sist - Kap 0 Hva er statistikk, og hvorfor skal du lære det?
DetaljerKapittel 3: Kombinatorikk
Kapittel 3: Kombinatorikk Kombinatorikk handler om å telle opp antall muligheter i ulike situasjoner (for eksempel telle opp antall gunstige og antall mulige i forbindelse med sannsynlighetsberegninger.
DetaljerBacktracking: Kombinatorikk og permutasjoner
Backtracking: Kombinatorikk og permutasjoner Litt kombinatorikk Kombinatorikk: Metoder og formler for å telle opp antall mulige måter som vi kan gjennomføre steg-for-steg prosesser på Eksempler: Hvor mange
DetaljerKompetansemål Sannsynlighet, S Innledning Pascals talltrekant Binomialkoeffisienter Kombinatorikk...
Sannsynlighet Innhold Kompetansemål Sannsynlighet, S1... 2 Innledning... 2 3.1 Pascals talltrekant... 3 Binomialkoeffisienter... 6 3.2 Kombinatorikk... 9 Ordnet og uordnet utvalg... 10 Med og uten tilbakelegging...
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 115 og IN 110 Algoritmer og datastrukturer Eksamensdag: 14. mai 1996 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerLøsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk. 29. november 2017
Løsningsforlag til eksamen i Diskret matematikk 29. november 2017 Oppgave 1, 2, 3, 4, 5 og 6 teller likt. For å få full score må man vise hvordan man har kommet frem til svarene (ved f. eks. figurer eller
DetaljerKapittel 3: Kombinatorikk
Kapittel 3: Kombinatorikk Kombinatorikk handler om å telle opp antall muligheter i ulike situasjoner (for eksempel telle opp antall gunstige og antall mulige i forbindelse med sannsynlighetsberegninger).
DetaljerLøsningsforslag til 3. oblogatoriske oppgave i Diskret Matematikk. Høsten 2018
Løsningsforslag til 3. oblogatoriske oppgave i Diskret Matematikk Oppgave 1. ( 9 3 ) = 9 8 7 3 2 1 = 3 4 7 = 84 Høsten 2018 {1, 5, 9}, {1, 6, 8}, {2, 4, 9}, { 2, 5, 8}, {2, 6, 7}, {3, 4, 8}, {3, 5, 7},
DetaljerINF1800 Forelesning 2
INF1800 Forelesning 2 Mengdelære Roger Antonsen - 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste av det vi gjør her kan leses uavhengig av boken. Følgende avsnitt i boken
DetaljerRelasjoner - forelesningsnotat i Diskret matematikk 2017
Relasjoner Utdrag fra avsnitt 9.1, 9.3, 9.4 og 9.5 i læreboka 9.1 - Relasjoner 9.3 - Operasjoner på relasjoner 9.4 - Utvidelser av relasjoner - tillukninger 9.5 - Ekvivalensrelasjoner og ekvivalensklasser
DetaljerOpptelling - counting
Opptelling - counting Kombinatorikk og sannsynlighetsregning er en viktig del av diskret matematikk. Her studeres ulike beregnings- og telleteknikker for å beregne sannsynlighet, antall, kapasitet eller
DetaljerOppgaver i sannsynlighetsregning 3
Oppgaver i sannsynlighetsregning 3 Oppgave 1 Vi har et lykkehjul med 8 like sektorer som er nummerert fra 1 til 8. Du har valgt sektor nummer 3. a) Tenk deg at du snurrer lykkehjulet en gang. Hva er sjansen
DetaljerLøsningsforslag til tidligere mappeoppgaver
til tidligere mappeoppgaver Avdeling for Lærerutdanning Høgskolen i Vestfold M1 høst 007 9. november 007 Her legger vi ut løsningsforslag til noen oppgaver fra tidligere i år. Se på http://www-lu.hive.no/team/t06ab/todelt-logg.htm
DetaljerMengdelære INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE. Læreboken. Mengder. Definisjon (Mengde) Roger Antonsen
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Mengdelære Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Læreboken Mengder Definisjon
DetaljerForelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk.
Forelesning 6, kapittel 3. : 3.6: Kombinatorikk. Kombinatorikk betyr her: Formler for opptelling av antall kombinasjoner. Generelt er denne grenen av matematikk videre, og omfatter blant annet grafteori.
DetaljerEmnekode: LGU Emnenavn: Matematikk 2 (5 10), emne 2. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig
Sensurveiledning Emnekode: LGU 52003 Emnenavn: Matematikk 2 (5 10), emne 2 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Grafen i Vedlegg 1 viser farten som en deltaker i et ultramaraton holder
DetaljerINF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET
INF1800 LOGIKK OG BEREGNBARHET FORELESNING 2: MENGDELÆRE Roger Antonsen Institutt for informatikk Universitetet i Oslo 20. august 2008 (Sist oppdatert: 2008-09-03 12:36) Mengdelære Læreboken Det meste
DetaljerKapittel 2: Sannsynlighet
Kapittel 2: Sannsynlighet 2.1, 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel Eirik Mo Institutt for matematiske fag,
DetaljerI tillegg trengs 2 terninger.
SORIA MORIA 1 Informasjonsdokument Element - og andre spill - Spilleregler for kortspillene Element, Guldag, Slagmark, Svinepels/Niding & Kul Spillene består av en kortstokk med 72 kort. På kortene finner
DetaljerForelesning 19. Kombinatorikk. Dag Normann mars Oppsummering. Oppsummering. Oppsummering
Forelesning 19 Dag Normann - 26. mars 2008 Oppsummering Før påske gikk vi gjennom kapitlene 1-7 i læreboka. De omfattet Eksempler på algoritmer og bruk av pseudokoder. Forskjellige tallsystemer. Hvordan
DetaljerNotat kombinatorikk og sannsynlighetregning
Notat kombinatorikk og sannsynlighetregning av Peer Andersen Peer Andersen 2010 1 SANNSYNLIGHETSREGNING MED FLERE TRINN Sannsynlighetsregning med et trinn kan være situasjoner der vi spør hva sjansen er
DetaljerOppsummering. MAT1030 Diskret matematikk. Oppsummering. Oppsummering. Forelesning 19: Kombinatorikk
Oppsummering MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 19: Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 26. mars 2008 Før påske gikk vi gjennom kapitlene 1-7 i læreboka. De omfattet Eksempler på
DetaljerRekurrens. MAT1030 Diskret matematikk. Rekurrens. Rekurrens. Eksempel. Forelesning 16: Rekurrenslikninger. Dag Normann
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 16: likninger Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo INGEN PLENUMSREGNING 6/3 og 7/3 5. mars 008 MAT1030 Diskret matematikk 5. mars 008 Mandag ga
DetaljerOpptelling - forelesningsnotat i Diskret matematikk 2015. Opptelling
Opptelling Produktregelen. Anta at en oppgave kan deles opp i to deloppgaver og at hver av dem kan løses uavhengig av hverandre. Anta et første deloppgave kan løses på m forskjellige måter og at andre
DetaljerMAT1140: Kort sammendrag av grafteorien
MAT1140, H-15 MAT1140: Kort sammendrag av grafteorien Dette notatet gir en kort oppsummering av grafteorien i MAT1140. Vekten er på den logiske oppbygningen, og jeg har utelatt all motivasjon og (nesten)
DetaljerSANNSYNLIGHETSREGNING
SANNSYNLIGHETSREGNING Er tilfeldigheter tilfeldige? Når et par får vite at de skal ha barn, vurderes sannsynligheten for pike eller gutt normalt til rundt 50/50. Det kan forklare at det fødes omtrent like
DetaljerMatriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles matriseelementer eller bare elementer. En matrise har
Detaljer- Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking av et lottotall o.l.
SANNSYNLIGHETSREGNING Terminologi Kombinatorikk Stokastisk Utfallsrom / utfall (enkeltutfall) - Et stokastisk forsøk er et forsøk underlagt tilfeldige variasjoner, for eks. kast med en terning, trekking
DetaljerBinomialkoeffisienter
Binomialkoeffisienter Litt repetisjon: ( n r ) = n! (n r)! r! r 0, n 0 Dette gir oss fordi ( n r ) = ( n n r ) ( n n 1 ) = n ( n n 1 ) = ( n n (n 1) ) = (n 1 ) = n Andre viktige observasjoner: 0! = 1 (
DetaljerForelesningsnotat i Diskret matematikk 27. september 2018
Kvadratiske matriser Hvis en matrise A er kvadratisk kan den multipliseres med seg selv. Vi skriver vanligvis A 2 istedenfor AA, A 3 istedenfor AAA, osv. Spesielt er A 1 = A. Enhetsmatriser, også kalt
DetaljerMatriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler:
Matriser En matrise er en rektangulær oppstilling av tall og betegnes med en stor bokstav, f.eks. A, B, C,.. Eksempler: Tallene i en matrise kalles elementer. En matrise har rader (vannrett, horisontalt)
DetaljerKapittel 5: Mengdelære
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 9: Mengdelære Roger Antonsen Institutt for informatikk, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2009 (Sist oppdatert: 2009-02-17 15:56) MAT1030 Diskret
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 26: Trær Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 28. april 2008 Oppsummering Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk
DetaljerSist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot. barn
Forelesning 26 Trær Dag Normann - 28. april 2008 Oppsummering Sist forelesning snakket vi i hovedsak om trær med rot, og om praktisk bruk av slike. rot barn barn barnebarn barnebarn barn blad Her er noen
Detaljer6 Sannsynlighetsregning
6 Sannsynlighetsregning Det anbefales å lese orienteringsstoffet om kombinatorikk som følger etter oppgave 34. 1 a) Sett opp alle mulige kombinasjoner for et kast med to terninger. b) Regn ut sannsynlighetene
DetaljerSekventkalkyle for utsagnslogikk
Sekventkalkyle for utsagnslogikk Tilleggslitteratur til INF1800 Versjon 11. september 2007 1 Hva er en sekvent? Hva er en gyldig sekvent? Sekventkalkyle er en alternativ type bevissystem hvor man i stedet
DetaljerUtfallsrom og hendelser. Disjunkte hendelser. Kapittel 2: Sannsynlighet. Eirik Mo Institutt for matematiske fag, NTNU
3 Utfallsrom og hendelser Kapittel 2: Sannsynlighet 2., 2.2: Utfallsrom og hendelser 2.3, 2.4: Kombinatorikk og sannsynlighet 2.5, 2.6, 2.7: Regneregler, betinget sanns. 2.8: Bayes regel DEF 2. Ufallsrom:
DetaljerINF1040 Oppgavesett 6: Lagring og overføring av data
INF1040 Oppgavesett 6: Lagring og overføring av data (Kapittel 1.5 1.8) Husk: De viktigste oppgavetypene i oppgavesettet er Tenk selv -oppgavene. Fasitoppgaver Denne seksjonen inneholder innledende oppgaver
Detaljer1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet. 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning. 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger
1 Section 4-1: Introduksjon til sannsynlighet 2 Section 4-2: Enkel sannsynlighetsregning 3 Section 5-1: Introduksjon til sannsynlighetsfordelinger 4 Section 5-2: Tilfeldige variable 5 Section 5-3: Binomisk
DetaljerDersom spillerne ønsker å notere underveis: penn og papir til hver spiller.
"FBI-spillet" ------------- Et spill for 4 spillere av Henrik Berg Spillmateriale: --------------- 1 vanlig kortstokk - bestående av kort med verdi 1 (ess) til 13 (konge) i fire farger. Kortenes farger
DetaljerMAT1030 Diskret Matematikk
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:40) Kapittel 5: Mengdelære MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerUtforskende samarbeidsoppgaver som metode for dybdelæring
Utforskende samarbeidsoppgaver som metode for dybdelæring Kjerneelementer matematikk utforsking og problemløsing modellering og anvendelser resonnering og argumentasjon representasjon og kommunikasjon
DetaljerKapittel 5: Mengdelære
MAT1030 Diskret Matematikk Forelesning 10: Mengdelære Dag Normann Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo Kapittel 5: Mengdelære 17. februar 2010 (Sist oppdatert: 2010-02-17 12:41) MAT1030 Diskret Matematikk
DetaljerEgenskaper til relasjoner på en mengde A.
Egenskaper til relasjoner på en mengde A. Refleksivitet Relasjonen er refleksiv hvis (a, a) R for alle a A. Vi kan se det ut fra: 1) Grafen: R er refleksiv hvis alle punktene i grafen har en sløyfe. 2)
Detaljer1 av 7. Institutt for lærerutdanning Matematikksenteret. Hvordan utfordre? Forfatter: Anne-Gunn Svorkmo. Publisert: 8. januar Matematikksenteret
1 av 7 Hvordan utfordre? Forfatter: Anne-Gunn Svorkmo Publisert: 8. januar 2019 2 av 7 For å lykkes i matematikk er det blant annet viktig å kunne arbeide systematisk og strukturert. Dette er noe alle
Detaljersannsynlighet for hendelse = antall ganger hendelsen inntreffer antall forsøk
Forrige forelesning oppsummert på 90 sekunder "stokastisk forsøk": myntkast, terningkast, trekking av kort,... utfallsrom: alle de mulige utfallene av et stokastisk forsøk eksempel på utfallsrom: kaster
DetaljerSannsynlighetsregning
Sannsynlighetsregning Læreplan. Forsøk og simuleringer. Sannsynlighet 3.3 Sum av sannsynligheter 5.4 Multiplikasjonsprinsippet 9.5 Uavhengige hendinger 0. Avhengige hendinger 5 Symboler, formler og eksempler
DetaljerSannsynlighetsregning og kombinatorikk
Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Introduksjon Formålet med sannsynlighet og kombinatorikk er å kunne løse problemer i statistikk, somoftegårutpååfattebeslutninger i situasjoner der tilfeldighet rår.
DetaljerECON Statistikk 1 Forelesning 3: Sannsynlighet. Jo Thori Lind
ECON2130 - Statistikk 1 Forelesning 3: Sannsynlighet Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Hva er sannsynlighet? 2. Grunnleggende regler for sannsynlighetsregning 3. Tilfeldighet i datamaskinen
DetaljerEmnenavn: Geometri, måling, statistikk og sannsynlighetsregning 2 (5-10) Eksamenstid: 09:00 15:00 Faglærere: Russell Hatami
EKSAMEN Emnekode: LMAT10415 og LUMAT10415 Dato: Torsdag 14. juni 2018 Hjelpemidler: Kalkulator Emnenavn: Geometri, måling, statistikk og sannsynlighetsregning 2 (5-10) Eksamenstid: 09:00 15:00 Faglærere:
DetaljerMAT1030 Diskret matematikk. Mengder. Mengder. Forelesning 9: Mengdelære. Dag Normann OVER TIL KAPITTEL februar 2008
MAT1030 Diskret matematikk Forelesning 9: Mengdelære Dag Normann OVER TIL KAPITTEL 5 Matematisk Institutt, Universitetet i Oslo 11. februar 2008 MAT1030 Diskret matematikk 11. februar 2008 2 De fleste
DetaljerINNHOLD. Matematikk for ungdomstrinnet
INNHOLD STATISTIKK... 2 FREKVENS... 2 RELATIV FREKVENS... 2 FREKVENSTABELL... 2 KLASSEDELING... 3 SØYLEDIAGRAM (STOLPEDIAGRAM)... 3 LINJEDIAGRAM... 4 SEKTORDIAGRAM... 4 HISTOGRAM... 4 FRAMSTILLING AV DATA...
DetaljerÅ ARBEIDE MED MATEMATIKK SAMMEN MED BARNET DITT
Å ARBEIDE MED MATEMATIKK SAMMEN MED BARNET DITT Matema&kk kan omhandle både antall, rom og form. Barn trenger mange og varierte erfaringer med å telle, tegne og snakke om tall. Kanskje er den matema&kken
DetaljerForelesning 9. Mengdelære. Dag Normann februar Mengder. Mengder. Mengder. Mengder OVER TIL KAPITTEL 5
Forelesning 9 Mengdelære Dag Normann - 11. februar 2008 OVER TIL KAPITTEL 5 De fleste som tar MAT1030 har vært borti mengder i en eller annen form tidligere. I statistikk og sannsynlighetsteori på VGS
DetaljerBacktracking som løsningsmetode
Backtracking Backtracking som løsningsmetode Backtracking løser problemer der løsningene kan beskrives som en sekvens med steg eller valg Kan enten finne én løsning eller alle løsninger Bygger opp løsningen(e)
DetaljerAvsnitt 6.1 Opptelling forts.
Avsnitt 6.1 Opptelling forts. Sumregelen. Anta at en oppgave kan løses ved hjelp av kun en av to teknikker. Oppgaven kan løses på m måter ved hjelp av første teknikk og n måter ved hjelp av andre teknikk.
DetaljerPlenumsregning 10. Diverse ukeoppgaver. Roger Antonsen april Vi øver oss litt på løse rekurrenslikninger.
Plenumsregning 10 Diverse ukeoppgaver Roger Antonsen - 17. april 2008 Vi øver oss litt på løse rekurrenslikninger. Oppgave 7.23 Løs følgende rekurrenslikning (c) t(n) 6t(n 1) + 9t(n 2) = 0, t(1) = 3, t(2)
DetaljerPensum: 3. utg av Cormen et al. Øvingstime: I morgen, 14:15
http://www.idi.ntnu.no/~algdat algdat@idi.ntnu.no Pensum: 3. utg av Cormen et al. Øvingstime: I morgen, 14:15 b c g a f d e h The pitch drop experiment. Foreløpig kjørt fra 1927 til nå. Åtte dråper har
DetaljerOppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8
1 HG Februar 2013 Oppgaveløsninger til undervisningsfri uke 8 Oppgave 3.17 Definer to begivenheter Oppgitt A = løgntesten sier at Per lyver B = Per lyver faktisk PAB ( ) = 0.85 PA ( B) = 0.70 PB ( ) =
DetaljerQED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL
QED 5-10, Bind 1 TRYKKFEIL S 34: Linja rett over Eksempel 7: Skal være = 30, = 40, = 50 Tallet 34 i Eksempel 7 skal være δ S 37: Andre linje i 124: Det skal være «kile og hakk», dvs at symbolet som står
DetaljerA)8 B) 10 C) 14 D) 20 E) Sidekantene i en terning økes med 20%. Hvor mye øker terningens volum? A) 20 % B) 44 % C) 56,2 % D) 60 % E) 72,8 %
SETT 29 OPPGAVER FRA ABELS HJØRNE I DAGBLADET DAG 1 1. Per er i butikken for å kjøpe frukt. En appelsin koster 3 kroner, en banan koster 2 kroner, og et eple koster 1 krone. Per skal kjøpe for nøyaktig
DetaljerBacktracking som løsningsmetode
Backtracking Backtracking som løsningsmetode Backtracking brukes til å løse problemer der løsningene kan beskrives som en sekvens med steg eller valg Kan enten finne én løsning eller alle løsninger Bygger
DetaljerFørst litt repetisjon
Først litt repetisjon En relasjon er en mengde av verdipar, der første koordinaten a er fra mengden A og andrekoordinaten b er fra mengden B. Verdiparet beskriver en forbindelse (en relasjon) fra a til
DetaljerS1-eksamen høsten 2017
S1-eksamen høsten 017 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Løs likningene a) x x 80, a 1, b, c 8 b b 4ac 4 1 ( 8) 4 6 1
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.
1 ECON213: EKSAMEN 217 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i
DetaljerLØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 7 LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN V06, MA0301 Oppgave 1 a) Sett opp en sannhetsverditabell(truth table) for det logiske uttrykket
Detaljer