{(1,0), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1), (3,2), (4,0), (4,1), (4,2), (4,3) } {(1,0), (1,1), (1,2), (1,3), (2,0), (2,2), (3,0), (3,3), (4,0)}

Transkript

1 Diskret matematikk - Høgskolen i Oslo Løsningsforslag for en del oppgaver fra boken Discrete athematics and Its Applications Forfatter: Kenneth H. osen Avsnitt 8. Oppgave A {,,,,4} og B {,,,} a) {( a, b B, a b} {(,), (,), (,), (,)} {( a, b B, a + b 4} {(,), (,), (,), (4,)} {( a, b B, a > b} {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (4,), (4,), (4,), (4,) } d) {( a, b B, a b} {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (4,)} e) {( a, b B, gcd( a, } {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (4,), (4,)} f) {( a, b B, lcm( a, } {(,), (,), (,)} Oppgave a) Ikke refleksiv siden (,) og (4,4) mangler. Ikke symmetrisk siden (,4) er med, men ikke (4,). Ikke antisymmetrisk siden både (,) og (,) er med. Den er transitiv. efleksiv siden både (,), (,), (,) og (4,4) er med. Symmetrisk siden det ikke finnes noen a og b der (a, er med, mens (b,a) ikke er med. Ikke antisymmetrisk siden både (,) og (,) er med. Er transitiv. Ikke refleksiv mangler (,), (,), (,) og (4,4). Symmetrisk siden både (,4) og (4,) er med. Ikke antisymmetrisk siden både (,4) og (4,) er med. Ikke transitiv. Den ville ha blitt transitiv hvis (,) og (4,4) var med i tillegg. d) Ikke refleksiv mangler (,), (,), (,) og (4,4). Ikke symmetrisk siden for eksempel (,) er med, men ikke (,). Er antisymmetrisk. Ikke transitiv siden (,) og (,) er med, men ikke (,). e) Denne oppfyller alle fire.

2 f) Ikke refleksiv mangler (,), (,), (,) og (4,4). Ikke symmetrisk siden for eksempel (,4) er med, men ikke (4,). Ikke antisymmetrisk siden både (,) og (,) er med. Ikke transitiv siden for eksempel (,) og (,) er med, men ikke (,). Oppgave 7 a) Ikke refleksiv siden (x, x) mangler. Symmetrisk siden både (x, y) og (y, x) er med for alle x forskjellig fra y. Ikke antisymmetrisk siden det finnes forskjellige verdier x og y slik at både (x, y) og (y, x) er med. Ikke transitiv siden (x, y) og (y, x) er med, men ikke (x, x). Ikke refleksiv siden (,) ikke er med. Er symmetrisk siden xy er det samme som at yx. Ikke antisymmetrisk. Hvis xy og yz, må enten alle være positive eller alle negative. Dermed må xz. Dvs. relasjonen er transitiv. d) efleksiv siden x x (mod7) for alle x. Symmetrisk siden x y (mod 7) gir at y x (mod 7). Ikke antisymmetrisk. Transitiv siden x y (mod 7) og y z (mod7) medfører at x z (mod7). Denne spesielle relasjonen kalles en ekvivalensrelasjon. er generelt: En relasjon kalles en ekvivalensrelasjon hvis den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Avsnitt 8. Oppgave a) d) Oppgave a) {(,), (,), (,), (,), (,)} {(,), (,), (,)} {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,)} Oppgave 7 a) efleksiv siden alle diagonalelementene er med. Symmetrisk siden matrisen er symmetrisk. Ikke antisymmetrisk. Den er transitiv. Ikke refleksiv siden to diagonalelementer mangler i matrisen. Ikke symmetrisk siden matrisen ikke er symmetrisk. Den er antisymmetrisk. Den er transitiv. Ikke refleksiv siden et diagonalelement mangler. Symmetrisk siden matrisen er symmetrisk. Ikke antisymmetrisk. Ikke transitiv siden (,) og (,) er med, men ikke (,) og (,).

3 Oppgave 9 a) er en x-matrise. atrisen vil inneholde -ere på alle plassene under diagonalen siden } ), {( b a b a > og -er på resten av plassene. Det er elementer på diagonalen. Dermed vil (* )/ 495 av elementene være forskjellige fra. Det er kun på diagonalen det blir -er. Dermed vil * 99 av elementene være forskjellige fra. Oppgave 4 o o ( betyr eksklusiv eller) Oppgave 8

4 Oppgave Oppgave {( a,, ( a,, ( b,, ( c, } Oppgave 4 {( a, a), ( a,, ( b, a),( b,,( b,,( c, } Oppgave 5 {( a,,( b, a),( c, d ),( c, a)} Oppgave 6 {( a, a), ( a,,( b, a), ( b,,( c, a),( c,, ( c, d ),( d, d )} Avsnitt 8.4 Oppgave A {,,, } og {(,), (,), (,),(,),(,), (,)} a) Vi finner den refleksive tillukningen ved å ta med de parene (a,a) som måtte mangle, dvs. (,) og (,). Vi finner den symmetriske tillukningen ved å ta med, for hvert par (a, som er med, også paret (b,a) hvis det ikke er med. Dvs. vi må ta med (,), (,), (,), (,). Oppgave 9 A {,,, 4,5} og {(,), (,4), (,), (,5), (4,), (5,), (5,),(5,4)} a) Et par ( a, hører med i hvis og bare hvis det finnes en b slik at både ( a, og ( b, er i. Vi har at (,) og (,) er i og dermed er (,) i dette opp i tabellform: ( a, b, ( a, (,) (,) (,) (,) (,5) (,5) (,4) (4,) (,) (,) (,) (,) (. Vi kan sette 4

5 (,5) (5,) (,) (,5) (5,) (,) (,5) (5,4) (,4) (4,) (,) (4,) (4,) (,5) (4,5) (5,) (,) (5,) (5,) (,4) (5,4) (5,) (4,) (5,) Par som står oppført to eller flere ganger tas med bare en gang. Dermed får vi {(,), (,5), (,),(,),(,), (,), (,4), (4,), (4,5), (5,), (5,4)} Et par a, hvis og bare hvis det finnes en b slik at både ( ( b,. Vi har for eksempel at kan sette dette opp i tabellform: (,) a (,) (,) (,) (,5) (5,) (,) (,5) (5,) (,) (,5) (5,4) (,4) (,) (,) (,) (,) (,5) (,5) (,) (,) (,) (,) (,4) (,4) (,) (,) (,) (,) (,5) (,5) (,4) (4,) (,) (4,) (,) (4,) (4,5) (5,) (4,) (4,5) (5,) (4,) (4,5) (5,4) (4,4) (5,) (,) (5,) (5,) (,5) (5,5) (5,4) (4,) (5,) a, ( b, (, ( og,) (. Dermed er a, og ( (, ) Par som står oppført to eller flere ganger tas med bare en gang. Dermed får vi {(,), (,), (,), (,4), (,),(,5), (,), (,), (,4), (,5), } ( 4,),(4,),(4,),(4,4),(5,),(5,),(5,5)} Oppgave 9 kan også løses ved hjelp av matriseregning, dvs. vi kan finne matrisene til og.. Vi 5

6 6, [], [] Her finner vi og ved å plukke ut tallparene ved hjelp av [] og []. Oppgave 9 kan også løses ved å studere grafen til relasjonen. Vi har at et par ), ( b a hvis og bare hvis det går en vei fra a til b med lengde. Vi ser på grafen til at veien,4, har lengde og går fra til. Dermed vil,) (. Veien,, har lengde og går fra til, dvs.,) (. Osv. Tilsvarende har vi at et par ), ( b a hvis og bare hvis det går en vei fra a til b med lengde. Det betyr for eksempel at,) ( siden er starten og er slutten på veien,4,,. Osv. Oppgave 5 a) [ ] [ ] [ ] 4 *, [ ], [ ] [ ] 4, *

7 Avsnitt 8.5 Oppgave a) Dette er en ekvivalensrelasjon siden den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Dette er ikke en ekvivalensrelasjon. Den er symmetrisk, men ikke refleksiv og ikke transitiv. For eksempel må (,) være med for at den skal være refleksiv. Videre er for eksempel (,) og (,) med, men da må også (,) være med for at den skal være transitiv. Dette er en ekvivalensrelasjon siden den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. d) Dette er ikke en ekvivalensrelasjon. elasjonen er refleksiv og symmetrisk, men ikke transitiv. For eksempel er (,) og (,) med, men ikke (,). e) Dette er ikke en ekvivalensrelasjon. elasjonen er refleksiv, men ikke symmetrisk og ikke transitiv. Den er ikke symmetrisk siden (,) er med, men ikke (,). Den er ikke transitiv siden (,) og (,) er med, men ikke (,). Oppgave Grafen forteller at den tilhørende relasjonen er refleksiv og symmetrisk, men ikke transitiv. Vi har ( c, a) og ( a, d ), men ( c, d ). Oppgave Grafen forteller at den tilhørende relasjonen er refleksiv, symmetrisk, og transitiv. Dermed er det en ekvivalensrelasjon. Oppgave Grafen forteller at den tilhørende relasjonen er refleksiv og symmetrisk, men ikke transitiv. Vi har ( a, og ( b,, men ( a,. Oppgave 4 a) Vi kan tenke oss at dette er matrisen til en relasjon på {,,}. Dette er ikke en ekvivalensrelasjon. Den er refleksiv (alle diagonalelementene) er, men den er verken symmetrisk eller transitiv. Den er ikke symmetrisk fordi (, ), men (,). Den er ikke transitiv fordi (,) og (,), men (,). Vi kan tenke oss at dette er matrisen til en relasjon på {,,,4}. Det er en ekvivalensrelasjon siden den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. Vi kan tenke oss at dette er matrisen til en relasjon på {,,,4}. Det er en ekvivalensrelasjon siden den er refleksiv, symmetrisk og transitiv. 7

8 Oppgave 4 a) La S {,,,4}, A {,}, B {,,4} og C {4,5,6}. Både A, B og C er ikke-tomme. Videre er A B C S. en de tre mengdene er ikke parvis disjunkte. Vi har A B og B C. Dermed utgjør A, B og C ikke en partisjon av S. La S {,,,4}, A {}, B {,,6}, C {4} og D {5}. Både A, B, C og D er ikke-tomme. Videre er A B C D S og de fire mengdene er åpenbart parvis disjunkte. Dermed utgjør A, B, C og D en partisjon av S. La S {,,,4}, A {,4,6} og B {,,5}. Både A og B er ikke-tomme. Videre er A B S og A B. Dermed utgjør A og B en partisjon av S. d) La S {,,,4}, A {,4,5} og B {,6}. Både A og B er ikke-tomme. Videre er A B, men A B S. Dermed utgjør A og B ikke en partisjon av S. Oppgave 47 a) engdene {}, {,} og {,4,5} skal utgjøre ekvivalensklassene for relasjonen. Dermed må ha med alle mulige par innenfor hver av de tre mengdene. Dvs. {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,4), (,5), (4,), (4,4), (4,5), (5,), (5,4), (5,5)}. engdene {,}, {,} og {4,5} skal utgjøre ekvivalensklassene for relasjonen. Dermed må ha med alle mulige par innenfor hver av de tre mengdene. Dvs. {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (,), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5)}. Avsnitt 8.6 Oppgave 5 Husk at poset betyr partially ordered set eller partielt ordnet mengde på norsk. a) Dette kalles identitetsrelasjonen og den gir en partiell ordning. Spørsmålet er om relasjonen på Z gitt ved {( a, a Z, b Z og a b} er en partiell ordning. en det er galt at a a og dermed er ikke relasjonen refleksiv. Da er heller ikke dette en partiell ordning. elasjonen {( a, a Z, b Z og a b} gir en partiell ordning. Den er refleksiv siden vi alltid har a a. Den er antisymmetrisk fordi hvis a b og b a, så er a b. Den er transitiv fordi hvis a b og b c, så er a c. Her skal a og b være relatert hvis a ikke går opp i b. Den er ikke refleksiv og dermed ingen partiell ordning. 8

9 Oppgave 7 a) elasjonen som denne matrisen hører til, er refleksiv og antisymmetrisk, men ikke transitiv. Hvis dette er en relasjon på for eksempel {,,}, så er (,) og (,), men (,). Det er derfor ingen partiell ordning. elasjonen som denne matrisen hører til, er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv. Det er derfor en partiell ordning elasjonen som denne matrisen hører til, er refleksiv og antisymmetrisk, men ikke transitiv. Hvis dette er en relasjon på for eksempel {,,,4}, så er (,) og (, 4), men (,4). Det er derfor ingen partiell ordning. Oppgave 9 Grafen representerer en relasjon som er refleksiv og antisymmetrisk, men ikke transitiv. For eksempel er ( a, og ( b, d ), men ( a, d ). Det er derfor ingen partiell ordning. Oppgave Grafen representerer en relasjon som er refleksiv og antisymmetrisk, men ikke transitiv. For eksempel er ( c, d ) og ( d,, men ( c,. Det er derfor ingen partiell ordning. Oppgave Grafen representerer en relasjon som er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv. Det er derfor en partiell ordning. 9