Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2014

Transkript

1 Eksamen MAT1005 Matematikk P-Y Høsten 014 Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0, ,00,0 10, ,0 10 5,0 10 3,0 5,0 4 8 ( 3) ,5 10 Oppgave (1 poeng) Prisen for en vare er satt opp med 5 %. Nå koster varen 50 kroner. Hva kostet varen før prisen ble satt opp? Vekstfaktoren er 1,5 x 1, x 1,5 x 00 Varen kostet 00 kroner før prisen ble satt opp. Oppgave 3 ( poeng) I en klasse er det 1 elever. 4 av elevene har vært på kino i løpet av den siste måneden. Vi trekker tilfeldig to elever fra klassen. Bestem sannsynligheten for at nøyaktig én av elevene har vært på kino i løpet av den siste måneden P (nøyaktig én har vært på kino)

2 Oppgave 4 (1 poeng) Regn ut Oppgave 5 (4 poeng) I 014 er det 350 elever ved en skole. Anta at det vil være 75 elever ved skolen i 09, og at antall elever avtar lineært i denne perioden. a) Bestem en modell som viser hvor mange elever A(x) det vil være ved skolen x år etter 014. En lineær modell vil være på formen A() x ax b, der a er stigningstallet og b er konstantleddet. Konstantleddet b angir elevtallet når x = 0, altså i 014. b er derfor lik 350. I 09 er x = 15. y a 5 x En lineær modell for antall elever ved skolen etter x antall år blir A(x) = -5x b) Hvor mange elever vil det være ved skolen i 04 ifølge modellen i oppgave a)? I 04 er x = 10. A (10) Ifølge denne modellen vil det være 300 elever ved skolen i 04. Ved en annen skole antar ledelsen at funksjonen B gitt ved Bx ( ) 00 1,03 x kan brukes som modell for antall elever ved skolen x år etter 014. c) Hva kan du si, uten å gjøre beregninger, om antall elever ved denne skolen ut fra modellen? I denne modellen øker antall elever med 3 % årlig, fra 00 elever i 014.

3 Oppgave 6 (3 poeng) I september 014 ble en mobilapplikasjon lastet ned 1500 ganger. Antall nedlastinger har økt med 8 % per måned det siste året, og vi antar at denne utviklingen vil fortsette. a) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å bestemme hvor mange ganger mobilapplikasjonen vil bli lastet ned i desember ,08 3 b) Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å bestemme hvor mange ganger mobilapplikasjonen til sammen ble lastet ned i juli, august, september og oktober ,08 1,08 1, ,08 1,08 1,08

4 Oppgave 7 (4 poeng) Histogrammet ovenfor viser aldersfordelingen blant de besøkende på en kinoforestilling. a) Forklar at det var 30 besøkende mellom 30 og 50 år. 0 1,5 30 Vi multipliserer klassebredden med 1,5 og får da 30. Det var 30 besøkende mellom 30 og 50 år. b) Hvor mange prosent av de besøkende var mellom 0 og 10 år? Det er ,5 40 0, besøkende totalt. Ti av disse er mellom 0 og 10 år % 100 Ti prosent av de besøkende var mellom 0 og 10 år. c) Bestem gjennomsnittsalderen blant de besøkende. Gjennomsnittsalderen er summen av klassemidtpunkt multiplisert frekvens, dividert på det totale antall besøkende: , Gjennomsnittsalderen blant de besøkende var 34,5 år.

5 Oppgave 8 (3 poeng) Torbjørn og Tore padler fra Flekkefjord til Torsøy. Der går de i land og tar en pause før de padler tilbake. Ovenfor ser du en forenklet grafisk framstilling av padleturen til Torbjørn (blå graf) og padleturen til Tore (rød graf). a) Hvem kommer først til Torsøy? Hvor lenge er hver av de to guttene på Torsøy? Vi ser av den grafiske framstillingen over at Torbjørn kom først fram til Torsøy, 10 minutter før Tore. Begge drar samtidig fra øya, Torbjørn etter 30 minutter og Tore etter 0 minutter. b) Hvor fort padler Tore på vei ut til Torsøy? s 4 km 4000 m v 100 m/min t 40 min 40 min Tore padler med en fart på 100 m/min på vei ut til Torsøy. c) Hva kan du si om hjemturen ut fra grafene ovenfor? Tore padlet med en konstant fart, mens Torbjørn sin fart varierer. Torbjørn padler fortere enn Tore til å begynne med, men tar det så rolige, før han så legger inn en innspurt de siste 10 minuttene. Han legger også inn to pauser på fem minutter underveis. Tore er tilbake i Flekkefjord 10 minutter før Torbjørn.

6 Oppgave 9 (5 poeng) Antall mål per kamp Frekvens Kumulativ frekvens Oda spiller ishockey. Tabellen ovenfor viser hvor mange mål hun skåret per kamp i løpet av forrige sesong. a) Bestem gjennomsnittet og medianen. Gjennomsnitt = , Jeg setter opp alle antall mål i hver kamp i stigende rekkefølge Medianen blir gjennomsnittet av 1 og. 1 1,5 I snitt skårer Oda 1,75 mål per kamp. Medianen er 1,5. b) Bestem den kumulative frekvensen for to mål per kamp. Jeg regner ut de kumulative frekvensene i en ny kolonne i tabellen over. Den kumulative frekvensen for to mål per kamp er 11. c) Bestem den relative frekvensen for tre mål per kamp , Den relative frekvensen for tre mål per kamp er 5 %. d) Forklar hva svarene i b) og c) forteller om antall mål Oda skåret denne sesongen. I 11 av 16 kamper skårer Oda to mål eller færre. I 5 % av kampene skårer hun tre mål.

7 Oppgave 1 (3 poeng) I kroppsøvingstimen kastet Svein spyd seks ganger. Nedenfor ser du hvor langt han kastet i hvert av de seks kastene. 3,5 m 6,1 m 18,4 m,8 m 5,1 m 0,3 m a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket. Jeg legger tallene inn i et regneark i GeoGebra, markerer dem, høyreklikker og velger Lag liste. Listen får navnet Liste1. Jeg finner så gjennomsnitt og standardavvik i CAS-verktøyet ved å bruke kommandoene Gjennomsnitt[Liste1] og Standardavvik[Liste1]. Gjennomsnittskastet er på,7 meter. Standardavviket er på,65 meter. Kjell kastet også spyd seks ganger. Standardavviket for kastene til Kjell var 3, m. b) Hva kan du ut fra dette si om kastene til Kjell sammenliknet med kastene til Svein? Kjell har større spredning i resultatene på sine seks kast sammenliknet med Svein.

8 Oppgave (5 poeng) En tankbil med gift har vært innblandet i en ulykke. Noe av giften har havnet i en innsjø. Innsjøen brukes som drikkevannskilde. Giftkonsentrasjonen f(x) mg/l i drikkevannet x døgn etter ulykken er gitt ved fx ( ) 1,4 0,87 x a) Bestem giftkonsentrasjonen i drikkevannet rett etter ulykken. Hvor mange prosent avtar giftkonsentrasjonen i drikkevannet per døgn? 0 f (0) 1,4 0,87 1,4 Vekstfaktoren er 0,87. Da avtar konsentrasjonen med 1 0,87 = 0,13 per døgn. Giftkonsentrasjonen er på 1,4 mg/l rett etter ulykken, og av tar så med 13 % per døgn. b) Hvor mye avtok giftkonsentrasjonen i drikkevannet i gjennomsnitt per døgn den første uken etter ulykken? Regner i CAS i GeoGebra: Giftkonsentrasjonen avtok i gjennomsnitt med 0,13 mg/l per døgn den første uken etter ulykken. Når giftkonsentrasjonen kommer under 0,40 mg/l, er det ikke lenger farlig å drikke vannet. c) Hvor mange døgn tar det før vannet igjen kan drikkes? Regner i CAS i GeoGebra: Det tar litt over 9 døgn før vannet igjen kan drikkes.

9 Oppgave 3 (4 poeng) Da Mads og Malin ble konfirmert, opprettet de hver sin konto i banken. Begge satte inn kroner. Renten er,5 % per år. a) Hvor mye vil Mads ha på kontoen 10 år etter konfirmasjonen dersom han lar pengene stå urørt? Hvor mange prosent har beløpet på kontoen hans til sammen økt i denne perioden? Regner i CAS i GeoGebra: Mads vil ha kroner på kontoen etter 10 år. Beløpet har da vokst med til sammen 5 %. Malin lar pengene stå urørt i 5 år. Så setter hun inn kroner til på kontoen sin. b) Hvor mye vil Malin ha på kontoen 10 år etter konfirmasjonen? Regner i CAS i GeoGebra: Malin vil ha kroner på kontoen etter 10 år.

10 Oppgave 4 (4 poeng) Ole lager figurer av runde perler. Ovenfor ser du tre figurer, F 1, F og F 3. a) Følg samme mønster, og tegn figuren F 4. b) Sett opp en modell som viser hvor mange perler det vil være i figur F n uttrykt ved n. F F 4 4 F F F ( n ) n n c) Bruk modellen til å bestemme hvor mange perler det vil være i figuren F 50. F 50 (50 ) Det vil være 604 perler i figuren F 50.

11 Oppgave 5 (4 poeng) Du skal lage et fuglebur av hønsenetting. Buret skal ha form som et rett, firkantet prisme. Buret skal bygges langs en mur slik at muren utgjør den ene veggen. Buret skal stå på bakken og trenger ikke bunn. Sett bredden av buret lik x meter og høyden lik h meter. Buret skal være fire ganger så langt som det er bredt. Se skissen ovenfor. a) Vis at overflaten O(x) m som skal lages av hønsenetting, er gitt ved O( x) 4x 6hx O( x) x h 4x h 4x x hx 4hx 4x 4x 6hx Du skal bruke 40 m hønsenetting. b) Vis at høyden h meter av buret da er gitt ved 40 4x h 6x 4x 6hx 40 6hx 40 4x 40 4x h 6x

12 c) Hvordan må du lage buret for at volumet skal bli størst mulig? 40 4x V( x) G h 4x 40x 4x 6x 3 3 Jeg tegner grafen til V(x) i GeoGebra, og finner topp- og bunnunkt ved å bruke kommandoen Ekstremalpunkt[V]. Jeg må lage buret med en bredde på 6,67 meter for at volumet skal bli størst mulig.

13 Oppgave 6 (8 poeng) Diagrammet ovenfor viser hvor mange liter melk hver person i Norge drakk i gjennomsnitt hvert år i perioden Sett x = 0 i 007, x = 1 i 008 og så videre. a) Bruk opplysningene i diagrammet til å bestemme en lineær funksjon som viser hvordan forbruket av melk har endret seg i denne perioden en andregradsfunksjon som viser hvordan forbruket av melk har endret seg i denne perioden b) Tegn grafene til funksjonene du fant i oppgave a) i et koordinatsystem for 0 x 5. a) og b): Jeg lager en tabell i regnearket i GeoGebra, markerer tallene og velger Lag liste med punkt. Listen får navnet liste 1. Jeg skriver så kommandoene RegLin[Liste1] og RegPoly[Liste1, ] i innskrivingsfeltet, og får de to modellene: f ( x) 1,44x 99,49 g( x) 0,09x 0,9x 99,05 Grafer:

14 c) Hvor mange liter melk vil hver person i Norge i gjennomsnitt drikke hvert år om ti år ifølge hver av de to funksjonene? Jeg skriver x = 10 i innskrivingsfeltet, og finner skjæringspunktet mellom denne linjen og de to grafene ved å bruke kommandoen «Skjæring mellom to objekt»: I følge den lineære modellen, vil hver person drikke 85,1 liter melk i 017. I følge andregradsmodellen, vil hver person drikke 81, liter melk i 017.

15 d) Hvor mange liter vil forbruket per person avta med per år om ti år ifølge hver av de to funksjonene? I den lineære modellen avtar forbruket per person konstant med 1,44 liter per år hele perioden. For å finne hvor mye forbruket avtar per år i andregradsmodellen, bruker vi kommandoen «Tangenter», og lager en tangent (grønn linje) i punktet (10, 81.). Stigningstallet til denne tangenten forteller oss hvor mye forbruket avtar med per år dette året. Ifølge den lineære modellen avtar forbruket per person med 1,44 liter per år i 017. Ifølge andregradsmodellen avtar forbruker per person med,65 liter per år i 017.

16 Oppgave 7 (8 poeng) I displayet på en tredemølle kan farten justeres mellom 0 km/h og 0 km/h. Det er mistanke om at båndet på tredemøllen går for fort i forhold til farten som angis i displayet (angitt fart). En gruppe P-elever får i oppgave å undersøke dette. Elevene måler at løpebåndet på tredemøllen er 3,5 meter langt. Når båndet har gått én runde, har man altså løpt 3,5 meter. For å undersøke sammenhengen mellom angitt fart og reell fart teller elevene antall runder båndet går i løpet av ett minutt ved ulike fartsangivelser. Angitt fart x km/h Antall runder i løpet av ett minutt Reell fart f(x) km/h,5 18 3,51 5, , ,0 95 0,0 14 a) Skriv av tabellen ovenfor i besvarelsen din, gjør beregninger, og fyll inn verdiene for reell fart i kolonnen til høyre. Angitt fart x km/h Antall runder i løpet av ett minutt Antall runder i løpet av en time, , , , , Reell fart f(x) km/h ,5 3, ,5 6, ,5 1, ,5 18, ,5 4, Elevene vil lage en modell som viser den reelle farten f(x) km/h som funksjon av den angitte farten x km/h. b) Bestem den lineære funksjonen som passer best som modell for denne sammenhengen. Bestem den potensfunksjonen som passer best som modell for denne sammenhengen. Hvilken av disse to modellene mener du elevene bør velge? Begrunn svaret.

17 Jeg lager en tabell i regnearket i GeoGebra, markerer tallene og velger Lag liste med punkt. Listen får navnet liste 1. Jeg skriver så kommandoene RegLin[Liste1] og RegPot[Liste1, ] i innskrivingsfeltet. Den lineære funksjonen: f( x) 1,18x 0,79 Potensfunksjonen: g( x) 1,5 x 0,9

18 Begge modellene passer godt med tallene, men jeg mener elevene bør velge potensfunksjonen, ettersom den starter i 0 og passer veldig godt med tallene vi har. Henrik vil løpe i 15 km/h. c) Hvilken fart bør han angi i displayet på tredemøllen ifølge modellen du valgte i oppgave b)? Jeg tegner linja y = 15, og finner skjæringspunktet mellom denne og grafen til potensfunksjonen ved å bruke kommandoen «skjæring mellom to objekt». Hvis Henrik vil løpe i 15 km/h må han angi displayet på 11,9 km/h.

19 Elevene vil lage et oppslag som skal henge ved siden av tredemøllen, slik at de som løper, kan finne den reelle farten. d) Lag et forslag til oppslag. Undersøkelser har vist at farten som er angitt på displayet er lavere enn den reelle farten. Grafen under viser sammenhengen mellom angitt fart og reell fart.

20 Bildeliste Kilder for bilder, tegninger osv.: Melk: ( ) Andre bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Løsninger: Roar Edland-Hansen, NDLA matematikk.