Eksamen MAT 1015 Matematikk 2P Høsten 2015

Transkript

1 Eksamen MAT 1015 Matematikk P Høsten 015 Tid: timer Hjelpemiddel: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (1 poeng) Prisen på en vare er satt ned med 30 %. I dag koster varen 80 kroner. Hvor mye kostet varen før prisen ble satt ned? Vekstfaktoren er , Ny pris Opprinnelig pris vekstfaktor 80 kr Opprinnelig pris 0,7 Opprinnelig pris 400 kr Varen kostet 400 kroner før prisen ble satt ned. Oppgave (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform ,4 10 4,0 10 3,4 4, ,6 10 1,36 10 Oppgave 3 (1 poeng) Regn ut ( ) ( ) Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 1 av 19

2 Oppgave 4 ( poeng) For 10 år siden vant Lea i Lotto. Hun opprettet en konto i banken og satte inn hele gevinsten. Beløpet har stått urørt på kontoen siden. Renten har hele tiden vært 3, % per år. I dag har Lea kroner på kontoen. Sett opp et uttrykk som du kan bruke til å regne ut hvor stor gevinsten til Lea var. Vekstfaktoren er 1,03. Vi får uttrykket: Gevinst 1, kr kr Gevinst 10 1,03 Gevinst kr 1,03 10 Oppgave 5 ( poeng) Omkretsen av jordkloden ved ekvator er ca km. Tenk deg at voksne og barn står hånd i hånd og danner en ring rundt jordkloden. Hver person favner i gjennomsnitt 1,6 m. Omtrent hvor mange personer må stå hånd i hånd for å nå rundt jordkloden ved ekvator? Skriv svaret på standardform m m 1,6 m m m km ,5 10, ( 1) 8 7 Omtrent 7,5 10 mennesker må stå hånd i hånd for å nå rundt hele jordkloden ved ekvator. Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side av 19

3 Oppgave 6 (3 poeng) Alder Bedrift A Frekvens Bedrift B Frekvens 0, , , Sum Hver av de to bedriftene A og B har 100 ansatte. Tabellen ovenfor viser aldersfordelingen for de ansatte i bedriftene. a) I hvilken bedrift er medianalderen lavest? Grunngi svaret. Medianen blir gjennomsnittsalderen til ansatt nr. 50 og 51 når de plasseres i stigende rekkefølge. I bedrift A finner vi disse to i aldersintervallet 0,40, mens vi finner de i intervallet i 40,60 bedrift B. Medianalderen er derfor lavest i bedrift A. b) Bestem gjennomsnittsalderen for de ansatte i bedrift B Gjennomsnittsalderen for ansatte i bedrift B er 46 år. Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 3 av 19

4 Oppgave 7 (3 poeng) I koordinatsystemet til høyre har Liv markert hvor mange minutter hun trente i uke 1 og i uke 5. Liv har som mål at antall minutter hun trener, skal øke lineært for hver uke. a) Bestem en modell som Liv kan bruke for å regne ut hvor mange minutter hun må trene hver uke framover for å nå dette målet. Jeg trekker en rett linje gjennom punktene på grafen Jeg finner stigningstallet som vist på figuren: a 7, Konstantleddet er andrekoordinaten til punktet D. Siden stigningstallet er 7,5, må andrekoordinaten til D være 60 7,5 5,5. Modellen blir f() = 7,5 + 5,5, der f er antall minutter hun må trene, og er uke nr. b) Hvor mange minutter må hun trene i uke 40 ifølge denne modellen? (40) 7,5 40 5, ,5 35,5 f Liv må trene i 35,5 minutter i uke 40 ifølge denne modellen. Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 4 av 19

5 Oppgave 8 ( poeng) Lars observerer en bakteriekultur. Fra han startet observasjonene, har antall bakterier avtatt eksponentielt. Se grafen til funksjonen B ovenfor. Bestem vekstfaktoren og sett opp utrykket for B(). Alternativ 1: Vi ser at antall bakterier starter med Den førte timen avtar antallet med 1000, fra til Det tilsvarer 0,1 10% Siden B avtar eksponentielt, avtar antall bakterier med 10 % for hver time. 10 Vekstfaktoren 1 1 0,1 0,9 100 Det betyr at B ,9 Alternativ : Siden B avtar eksponentielt, kan vi skrive B a b B Det betyr at Grafen viser at ab a a Vi ser videre at B Det betyr at b b 0, Vekstfaktoren 0,9 b og B ,9 hvor b er vekstfaktoren. Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 5 av 19

6 Oppgave 9 (5 poeng) Diagrammene ovenfor viser hvordan karakterene i klasse 1A og 1B fordelte seg ved forrige matematikkprøve. a) Bestem gjennomsnittskarakteren i hver av de to klassene. 1A: , B: 3, Gjennomsnittskarakteren er 3,4 i 1A og 3,6 i 1B. b) I hvilken klasse er standardavviket for karakterfordelingen størst? Grunngi svaret. I 1B har de fleste en karakter i nærheten av gjennomsnittet, mens det er motsatt i 1A; her har mange fått karakterene 1,, 5 og 6. Standardavviket er derfor større i 1A enn i 1B. c) Bestem den kumulative frekvensen for karakteren 3 i hver av de to klassene. Kumulativ frekvens for 3 i 1A = Kumulativ frekvens for 3 i 1B 1A = d) Bestem den relative frekvensen for karakteren 6 i hver av de to klassene. 5 Relativ frekvens for 6 i 1A = 100 % 5 % 0 Relativ frekvens for 6 i 1B = % 5 % 0 Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 6 av 19

7 Oppgave 10 (4 poeng) Hos familien Vassdal er termostaten i varmtvannstanken satt til 70 C. Når familien bruker varmtvann fra tanken, renner kaldt vann inn, og gjennomsnittstemperaturen på vannet i tanken avtar. Varmeelementet slår seg da automatisk på, og vannet varmes opp igjen. Grafen ovenfor viser hvordan temperaturen i tanken varierte en morgen. Det varme vannet ble bare brukt til å dusje. a) Hvor mange familiemedlemmer dusjet denne morgenen? Temperaturen i vannet synker hver gang en person dusjer. Fire familiemedlemmer dusjet denne morgenen. Datteren Vanda var den som brukte lengst tid i dusjen. b) Hvor lenge dusjet hun? Vanda dusjet fra kl. 06:5 til ca. kl. 06:37. Vanda dusjet i ca. 1 minutter. Da familien forlot hjemmet klokka 7.30, var temperaturen i varmtvannstanken 58 C. c) Hvor lang tid tok det før temperaturen var steget til 70 C igjen? Dersom temperaturen fortsetter å stige lineært, ser jeg av grafen at den bruker 0 minutter på grader (fra kl. 07:10 til kl. 07:30). Stigningstallet er da 0,1 0 Temperaturen stiger med 0,1 grader i minuttet. Dermed tar det 10 minutter for vannet og stige 1 grader (fra 58 C til 70 C). Det tok to timer før vannet var steget til 70 C igjen. Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 7 av 19

8 Tid: timer Hjelpemidler: Alle hjelpemiddel er tillat, unntak Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Oppgave 1 (3 poeng) Tabellen ovenfor gir en oversikt over de viktigste varmekildene for husstander i ulike deler av Norge. Bruk regneark til å lage ett diagram der du presenterer opplysningene i tabellen på en oversiktlig måte. Jeg skriver av tabellen i Ecel. Deretter markerer jeg tabellen, og velger kommandoen «sett inn stående stolpediagram». 70,0 % 60,0 % 50,0 % 40,0 % 30,0 % 0,0 % 10,0 % Viktigste varmekilder for husstander i ulike deler av Norge 0,0 % Oslo Østlandet for øvrig Sør-Norge Vestlandet Midt-Norge Nord-Norge Elektriske ovner Varmepumper Vannbåren varme Sentralvarme Vedfyring Annet eller vet ikke Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 8 av 19

9 Oppgave (7 poeng) Funksjonene G og J gitt ved G( ) 0, ,088 1,17 3, J( ) 0,0017 0,057 0,93 3,7 0 1 viser hvordan vekten til to babyer, Geir og Janne, utviklet seg det første leveåret. Geir veide G() kilogram, og Janne veide J() kilogram måneder etter fødselen. a) Bruk graftegner til å tegne grafen til G og grafen til J i samme koordinatsystem. Jeg tegner grafene i GeoGebra: b) Hvor mange kilogram la hver av de to babyene på seg i løpet av det første leveåret? Bruker CAS i GeoGebra til å regne ut hvor mye de veier etter 1 måneder Det første leveåret la Geir på seg 6,6 kg og Janne 5,9 kg. c) Hvor mange måneder gikk det før hver av de to babyene hadde doblet fødselsvekten sin? De veier 7,4 kg når de har doblet fødselsvekta. Jeg tegner linja y = 7,4 i koordinatsystemet, og finner skjæringspunktet mellom denne og grafene til G og J ved å bruke kommandoen «skjæring mellom to objekt». Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 9 av 19

10 Det gikk nesten fire og en halv måned før Geir hadde doblet fødselsvekta, og litt over fem og en halv måned før Janna hadde doblet fødselsvekta. G(1) G(0) G() G(0) d) Bestem og 1 Hva forteller disse svarene om vekten til Geir? Regner i CAS i GeoGebra: Disse tallene forteller oss at vekta til Geir i gjennomsnitt økte med 0,55 kg per måned det første året. Gjennomsnittsøkningen per måned de to første månedene var derimot 1,01 kg. Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 10 av 19

11 Oppgave 3 (6 poeng) Tabellen nedenfor viser hvor mange nye elbiler som ble solgt i Hordaland i 010 og 014. År Antall nye elbiler 6 96 a) La være antall år etter 010. Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme en eksponentiell modell f() for elbilsalget i Hordaland. Jeg lar være antall år etter 010, og lager følgende tabell i regnearket i GeoGebra: Jeg markerer så disse fire cellene, og bruker kommandoen «lag liste med punkt». Listen får da navnet Liste1, og jeg bruker kommandoen RegEksp[Liste1] til å finne en eksponentiell modell f() for elbilsalget i Hordaland. Jeg får da følgende modell: f ( ) 6 3,7 b) Hvor mange prosent steg elbilsalget per år i perioden fra 010 til 014 ifølge modellen fra oppgave a)? Vekstfaktoren er 3,7. Det svarer til en prosentvis økning på 7 %. Ifølge denne modellen steg elbilsalget med 7 % hvert år i perioden 010 til 014. Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 11 av 19

12 Diagrammet ovenfor viser utviklingen i salget av nye elbiler i Hordaland i perioden c) Gjør beregninger og vurder om modellen fra oppgave a) er en god modell for å beskrive denne utviklingen. Jeg regner ut f(1), f() og f(3) i CAS i GeoGebra. Vi ser at disse tre beregningene fra modellen stemmer nokså dårlig med tallene fra diagrammet over, spesielt for 011 og 01. Det er lite trolig at det selges over 3,6 millioner elbiler i Hordaland i 00. Modellen er ikke god for å beskrive utviklingen. Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 1 av 19

13 Oppgave 4 (4 poeng) Figuren ovenfor viser sterkeste middelvind ulike steder i Sør-Norge under ekstremværet «Nina» i januar 015. Vi lar den røde streken være skillet mellom Vestlandet og Sør-Østlandet. a) Bruk regneark til å bestemme gjennomsnitt og standardavvik for sterkeste middelvind på Vestlandet og sterkeste middelvind på Sør-Østlandet. Jeg skriver tallene fra Vestlandet og Sør-Østlandet inn i to kolonner i et regneark i GeoGebra. Jeg markerer så hver av kolonnene, og velger kommandoen «lag liste med punkt». Listen med temperaturer fra Vestlandet får da navnet Liste1, mens listen med temperaturer fra Sør-Østlandet får navnet Liste. Jeg bruker så kommandoene Gjennomsnitt[Liste1], Standardavvik[Liste1], Gjennomsnitt[Liste], Standardavvik[Liste]. Gjennomsnitt for sterkeste middelvind på Vestlandet var 9,9, med et standardavvik på 3,9. Gjennomsnitt for sterkeste middelvind på Sør-Østlandet var 4,4, med et standardavvik på,6. b) Hva forteller svarene i oppgave a) om sterkeste middelvind på Vestlandet sammenliknet med sterkeste middelvind på Sør-Østlandet? Det var i snitt en sterkere middelvind på Vestlandet enn på Sør-Østlandet. Det var også større variasjoner i vindstyrken på Vestlandet. Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 13 av 19

14 Oppgave 5 (4 poeng) Tenk deg at du oppretter en BSU-konto 1. januar neste år og setter inn kroner. Du setter inn kroner 1. januar de neste sju årene også. Renten er 4,7 % per år. a) Lag et regneark som gir en oversikt over hvor mye du vil ha på kontoen ved slutten av hvert år disse åtte årene Oversikt over kontobeholdning og formler som er brukt Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 14 av 19

15 b) Hvor mye vil du få til sammen i renter i løpet av disse åtte årene? Jeg vil til sammen få 47 81,80 kr i renter i løpet av disse åtte årene. Oppgave 6 (6 poeng) Tenk deg at du låner penger i banken og vil betale lånet tilbake med termin én gang i året. Du betaler første terminbeløp ett år etter at du tok opp lånet. Sett lånesummen lik L kroner p renten lik p prosent per år, slik at vekstfaktoren blir v antall terminer (år) lik det årlige terminbeløpet lik T kroner Da gjelder formelen L ( v 1) v T v 1 Du tar opp et lån på kroner med rente 3,5 % per år. a) Vis at formelen for terminbeløpet nå blir ,035 T ( ) 1,035 1 Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 15 av 19

16 L v 1 v T ( ) v , ,035 T ( ) 1, ,035 1,035 T ( ) 1, ,035 T ( ) 1,035 1 b) Bruk graftegner til å tegne grafen til T for 1 Tegner grafen i GeoGebra: c) Bestem det årlige terminbeløpet dersom du vil betale tilbake lånet på 0 år. Regner i CAS i GeoGebra: Det årlige terminbeløpet blir kroner dersom jeg vil betale tilbake lånet på 0 år. d) Hvor mange år vil det ta før du har betalt tilbake lånet dersom du bestemmer deg for å betale et årlig terminbeløp på kroner? Regner i CAS i GeoGebra: Dersom jeg vil betale et årlig terminbeløp på kroner, vil det ta litt over 0 år før jeg har betalt tilbake hele lånet. Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 16 av 19

17 Oppgave 7 (6 poeng) Figur 1 Figur Figur 3 Ovenfor ser du de tre første figurene i en serie som kan fortsettes. De store kvadratene er sammensatt av hvite og svarte kvadrater. Hvert av de hvite kvadratene har areal lik 1. De svarte kvadratene har areal som øker i størrelse. a) Bestem det totale arealet av de svarte kvadratene i den neste figuren, figur 4. Figur 1: Areal 1 Figur : Areal Figur 3 Areal Prøver å finne et mønster: Figur 1: 4 Areal Figur : 4 Areal 16 Figur 3: 4 Areal Figur 4: Areal 4 56 Arealet til figur 4 er 56. b) Sett opp et uttrykk som viser det totale arealet av de svarte kvadratene i figur n uttrykt ved n. A() n n 4 Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 17 av 19

18 Antall hvite kvadrater i den nederste raden i hver figur kan uttrykkes med et andregradsuttrykk Sn ( ) c) Bestem Sn ( ) Figur 1: Antall hvite i nederste rad Figur : Antall hvite i nederste rad 1 3 Figur 3: Antall hvite i nederste rad S( n) 3n d) Sett opp et uttrykk for det totale arealet av de hvite kvadratene i figur n uttrykt ved n. Arealet blir S( n) A( n ) 3n n 9n n 8n Totalt areal av de hvite kvadratene 8n Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 18 av 19

19 Bildeliste Jordkloden: ( ) Varmekilder: ( ) Nina: ( ) BSU: ( ) Andre bilder, tegninger og grafiske framstillinger: Utdanningsdirektoratet Løsninger: Roar Edland-Hansen, NDLA matematikk. Eksamen MAT1015 Matematikk P Høsten løsning Side 19 av 19