1 Section 6-2: Standard normalfordelingen. 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen. 3 Section 6-4: Observator fordeling

Transkript

1 1 Section 6-2: Standard normalfordelingen 2 Section 6-3: Anvendelser av normalfordelingen 3 Section 6-4: Observator fordeling 4 Section 6-5: Sentralgrenseteoremet

2 Oversikt Kapittel 6

3 Kontinuerlige tilfeldige variable Kontinuerlige vs. diskrete variable I forrige kapittel handlet det om diskrete tilfeldige variable. F.eks. Hvor mye du får når du triller en terning Antall suksesser i en binomisk forsøksrekke - binomial fordelingen I kapittel 6 handler det om tilfeldige variable som er kontinuerlige. F.eks. Vekten til en tilfeldig valgt pasient Lønna til en tilfeldig valgt innbygger

4 Normalfordelingen Normalfordelingen Sannsynlighetstettheten: f (x) = 1 σ 2π exp(x µ σ )2

5 Men hvorfor er normalfordelingen viktig? Normalfordelingen Mange typer målinger fordeler seg som denne kurven Høyden på mennesker IQ er normalfordelt med µ = 100 og σ 2 = 10 2 Summen av tilfeldigheter er normalfordelt: sentralgrenseteorem

6 Tetthetskurven (eng: density curve) Grafen til sannsynlighetstettheten Krav: 1 Totale areal under grafen er 1 2 Kurven må ligge over x-aksen Areal Sannsynlighet Figur: 6-3. Uniform tetthet.

7 Standard normalfordelingen Kjennetegn ved standard normalfordeling Klokkeformet og symmetrisk Gjennomsnittet: µ = 0 Standardavviket: σ = 1

8 Finne arealet under grafen Arealet under standard normalfordeling Viktig å kunne finne arealet til et område under grafen. Slike areal tolkes som sannsynligheter Bruk tabell A-2

9 Termometer- eksempel 1 Example Du produserer termometere. Termometrene viser litt forskjellige temperaturer pga. tilfeldig variasjon. Ved 0 : Gjennomnsittlig viser termometrene µ = 0 Standardavviket er σ =1 Hva er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt termometer viser mindre enn 1.58 når temperaturen faktisk er 0? Svar: Tabell A-2 gir at sannsynligheten er

10 Termometer- eksempel 2 Example Ved 0 : Gjennomnsittlig viser termometrene µ = 0 Standardavviket er σ =1 Hva er sannsynligheten for at et tilfeldig valgt termometer viser mer enn 1.23 når temperaturen faktisk er 0? Svar: % av termometrene viser mer enn 1.23 ved 0

11 Termometer- eksempel 3 Example Et termometer velges tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at det viser mellom 2.00 og 1.50? Svar: Sannsynligheten er

12 Figure 6-10 th Finne z-verdien Finne z-verdi som passer til en sannsynlighet Vi snur problemet på hodet: Hvilken z-verdi gjør at arealet/sannsynligheten til høyre er 0.05? Finding z Scores When Given Probabilities 5% or 0.05 Svar: z = (z verdien blir positiv)

13 Finne z-verdien Finne z-verdi som passer til en sannsynlighet Hvilke z-verdier gjør at 95% av arealet ligger mellom dem? Svar: z = ±1.96

14 Samme varians σ 2 = 1 1 0,56 0,48 N(-1,1) 0,4 N(0,1) N(2,1) 0,32 0,24 1 x N(0, 1) 2 x N(2, 1) 3 x N( 1, 1) 0,16 0, ,5 0 2,5 5-0,08

15 -0,1 1 Samme µ, men forskjellig varians σ 2 0,8 0,7 N(0,0.25) 0,6 N(0,1) 0,5 0,4 0,3 1 x N(0, 1) 2 x N(0, 4) 3 x N(0, 0.25) N(0,4) 0,2 0,1-5 -2,5 0 2,5 5

16 Mange typer normalfordelinger Normalfordelinger Standard normalfordelingen er bare ett eksempel på normalfordeling, N(0, 1) For hver µ-verdi og σ-verdi så finnes det en egen normalfordeling, N(µ, σ) Omregne til z Hovedpoenget er at vi kan standardiser enhver normalfordelt verdi til en standard normalfordelt z-verdi, og så bruke tabell A-2: z = x µ σ

17 Omregne til standard normalfordeling Converting to a Standard Normal Distribution z = x µ! Figur: OmregneFigure en x-verdi 6-12til en z-verdi Copyright 2007 Pearson Education, Inc Publishing as Pearson Addison-Wesley. Slide

18 Å regne ut z-verdien Enhver normalfordelt variabel kan standariseres Anta at x er normalfordelt med µ = 45 og σ = 3 En x-verdien lik 39 vil ha standardisert z-verdi z = = 2 Alle normalfordelte variabler x kan standardiseres til z Dermed trenger vi bare sannsynlighetstabeller for z! (tabell A-2)

19 Vekteksempel 1 Example Anta at vekten på menn er normalfordelt Gjennomsnitt µ = 172 pounds Standardavvik på σ = 29 pounds. Example - cont Sannsynligheten for at tilfeldig mann veier mindre enn 174 pounds? µ = 172! = 29 z = = 0.07 Sannsynlighet:

20 Vekteksempel 2 Example Gjennomsnitt µ = 172 pounds Standardavvik på σ = 29 pounds. Hvilken vekt skiller de 0.5% tyngste fra de 99.5% letteste? Svar x = x =

21 Rekrutter 1 Example Høyden på1 rekruttene er normalfordelt med µ = og σ = 6.4. Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig rekrutt er høyere enn 195 cm? 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Regn ut z-verdien til 1.95: z = = Hva er sannsynligheten for at z er større enn 2.42? 3 P(z > 2.42) = 1 P(z < 2.42) = (Se Tabell A2) 4 Det er bare 0.78% sannsynlighet for at en rekrutt er over 195 cm -0,05

22 Rekrutter 2 Example Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig rekrutt er høyere enn 175 cm? 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 1 z-verdien til 175: z = = P(z > 0.70) = 1 P(z < 0.70) = = % sannsynlighet for at en rekrutt er høyere enn 175cm -2,4-1,6-0,8 0 0,8 1,6 2,4-0,05

23 IQ 1 Example IQ er normalfordelt med µ = 100 og σ = 10. Hva er sannsynligheten for at en person har IQ over 115? Under 95? z-verdien til 115: z = = Tabell a2: P(z > 1.5) = 1 P(z < 1.5) = = Sannsynligheten for at en person har IQ over 115 er 6.7% 4 z-verdien til 95: z = = P(z < 0.5)i tabell A2 6 P(z < 0.5) = Det er 30.9% sannsynlighet for at en person har IQ under 95

24 Fordelingen til en observator Observatorfordeling (eng: sampling distribution) I seksjon 6-4 handler det om å forstå at en observator er en tilfeldig variabel. Den har derfor en sannsynlighetsfordeling. Denne kalles observatorfordelingen. Estimator Ofte er en observator ment å skulle estimere en populasjonsparameter. Da kalles observatoren for en estimator. Example Tenk deg at du tar mange stikkprøver, hver på størrelse n. x er en estimator for µ Denne estimatoren variererer fra stikkprøve til stikkprøve (eng: sampling variability)

25 Forventningsrette estimatorer Alle stikkprøver av størrelse n = 2 Noen estimatorer er forventningsrette x s 2 ˆp Noen er ikke: Median Variasjonsbredde s

26 Seksjon 6-5 Prosedyrene i denne seksjone er grunnlaget for å estimere populasjonsparameter og for hypotesetesting. Notasjon µ x er gjennomsnittet til x σ x er standardavviket til x Sentralgrenseteoremet Anta at vi har en stor stikkprøve av x-er fra en populasjon med gjennomsnitt µ og standardavvik σ Da vil gjennomsnittet x være normalfordelt med µ x = µ, σ x = σ n

27 Sentralgrenseteoremet Vi antar at: 1 Den tilfeldige variabelen x har gjennomsnitt µ og standardavvik σ. 2 Man tar mange tilfeldige utvalg av størrelse n fra populasjonen Da følger det at: Sentralgrenseteoremet 1 Fordelingen til x blir mer og mer lik en normalfordeling når n er vokser 2 Gjennomsnittet til x er µ 3 Standardavviket til x er σ/ n

28 Sentralgrenseteorem demo i JMP JMP Demo 1 Åpne fila C:\Program Files \SAS \JMP \8 \Support Files English \Sample Data 2 Velg Rows>Add rows og legg til 200 rader Variabelen N = 50 inneholder en formel for gjennomsnittet av n = 50 tilfeldige variable. Når vi adderer 200 rader, så simulerer vi 200 stikkprøver på størrelse n = 50.

29 Praktiske regler + Notasjon Når kan vi stole på sentralgrenseteoremet? 1 Når stikkprøven er større enn n = 30 2 Hvis x ene selv er normalfordelte, så gjelder sentralgrenseteoremet for alle stikkprøvestørrelser.

30 Vekt igjen Example Anta at vekten på menn er normalfordelt Finn: Gjennomsnitt µ = 172 pounds Standardavvik på σ = 29 pounds. 1 Sannsynligheten for at tilfeldig mann veier mer enn 175 pounds? 2 20 menn er tilfeldig utvalgt. Hva er sannsynligheten for at deres gjennomsnittsvekt er mer enn 175 pounds?

31 a) if one man is randomly selected, find t probability that his weight is greater th 175 lb. Vekt igjen, spørsmål 1 z = = Figur: Sannsynligheten er for at en mann veier mer enn 175

32 b) if 20 different men are randomly select find the probability that their mean wei greater than 172 lb. Vekt igjen, spørsmål 2 z = = Figur: Sannsynligheten er for at 20 mann veier mer enn 175 i snitt Copyright 2007 Pearson Education, Inc Publishing as Pearson Addison-Wesley.

33 Vekt igjen, Oppsummering Sannsynligheten for at 1 mann veier mer enn 175 er P(x > 175) = Sannsynligheten for at 20 mann i snitt veier mer enn 175 er P(x > 175) = Det er lettere for en enkelt mann å veie mer enn 175 enn det er for 20 menn å veier mer enn 175 i snitt!

34 95% Kritiske verdier til 2.5% 95%

35 To viktige kritiske verdier % % % 90%

36 Eksamen Met