1 9-3: Sammenligne gjennomsnitt for to uavhengige stikkprøver : Sammenligne gjennomsnitt for to relaterte stikkprøver

Transkript

1 1 9-3: Sammenligne gjennomsnitt for to uavhengige stikkprøver 2 9-4: Sammenligne gjennomsnitt for to relaterte stikkprøver 3 Oppvarming til kap 10: Rette linjer

2 Sammenligne to populasjoner Data fra to stikkprøver Ofte ønsker vi å sammenligne data som kommer fra to stikkprøver I kapittel 9 så bruker vi stoffet fra kap 7 (estimering) og kap 8 (hypotesetesting) til å sammenligne to populasjoner Section 9-3 Pensum er Part 1. Variansen i de to populasjonen antas ikke å være like.

3 Relaterte stikkprøver Relaterte stikkprøver Vi sier at stikkprøvene er relaterte dersom en verdiene i de to stikkprøvene høres naturlig sammen i par To relaterte stikkprøver har derfor alltid den samme størrelsen Relaterte stikkprøver får vi fra: 1 Matchede par, eller 2 Samme objektet målt to ganger (før og etter) Example Slankeprogram: Du sammenligner vekten før og etter dietten. En vekt til en person i den første stikkprøven matches naturlig med vekten til den samme personen etter dietten

4 Uavhengige stikkprøver Uavhengige stikkprøver Vi sier at stikkprøvene er uavhengige dersom en verdi i den ene stikkprøven ikke kan matches med en bestemt verdi fra den andre stikkprøven Example To uavhengige stikkprøver kan derfor ha forskjellig størrelse Sammenligne gjennomsnittsvekt hos røykere og ikke-røykere En stikkprøve med røykere, og en annen stikkprøve med ikke-røykere En røyker kan ikke naturlige matches med en bestemt ikke-røyker Stikkprøvene er uavhengige

5 Forutsetninger Sjekk disse kravene For at prosedyrene i seksjon 9-3 skal virke må: Begge stikkprøvene er uavhengige og tilfeldige Enten er begge stikkprøvene store (mer enn 30 i hver stikkprøve) Eller så kommer begge stikkprøvene fra normalfordelte populasjoner

6 Hypoteser for to uavhengige stikkprøver Hypoteser Vi ønsker å teste om gjennomsnittet er det samme i de to populasjonene: H 0 : µ 1 = µ 2 og alternativet kan være en- eller tosidig. Et tosidig alternativ skrives H 1 : µ 1 µ 2. Et ensidig alternativ kan f.eks. være H 1 : µ 1 > µ 2.

7 Testobservator for to uavhengige stikkprøver Testobservatoren t = x 1 x 2 s 2 1 n 1 + s2 2 n2 x 1 og x 2 er stikkprøve gjennomsnittene s 1 og s 2 er stikkprøve standardavvikene Hvis H 0 er sann, så har t i formelen over en t-fordeling Frihetsgraden er lik en mindre enn den størrelsen på den minste stikkprøven. Da kan tabell A-3 brukes til å finne kritiske verdier.

8 Eksempel: Lønn 1 Example Du ønsker å sammenligne gjennomsnittlig startlønn BI master kandidater i Bergen og Stavanger. H 0 : µ S = µ B vs.h 1 : µ B µ S Figur: Boksplott lønn menn vs kvinner og vi bruker α = Stikkprøvene gir: Stavanger n = 70, x S = og s S = Bergen n = 73, x B = og s B = 30600

9 Eksempel: Lønn 2 Example Vi har df = 69 (rund ned til 65 for å være på den sikre siden) Tabell A-3 gir da kritisk verdi Testobservatoren blir t = t = = Testobservatoren er mer ekstrem enn kritisk verdi: Forkast H 0 Konklusjon: Det er grunn til å hevde at det er en forskjell i startlønn mellom Stavanger og Bergen

10 Figur: Testobservator og kritisk verdi for lønns-eksempelet

11 Eksempel: Reisetid Drammen vs. Trondheim Example BI Drammen ligger mer sentralt enn BI Trondheim. Vi ønsker å teste på α = 0.1 nivået om det er lengre reisetid i Trondheim. H 0 : µ D = µ T vs. H 1 : µ D < µ T Figur: Boksplott reisetid I fila klassens data alle: Drammen n = 65, x D = og s D = Trondheim n = 291, x T = og s B = 15.86

12 Example Tabell A3 gir kritisk verdi (df=64, rundes ned til 60) t 0.1 = mens testobservatoren blir t = = 1.17 Vi forkaster ikke H 0. Det er ikke tilstrekkelig grunnlag til å hevde at reisetiden i Trondheim er høyere enn i Drammen.

13 Test for to relaterte stikkprøver Regn ut differansen i hvert par Er stikkprøven relatert, så regner vi ut differansene parvis Da har vi egentlig bare en stikkprøve av differanser d Da vil µ 1 = µ 2 være det samme som at gjennomsnittet av differansene er null: µ d = 0 Forutsetninger Tilfeldig stikkprøve Enten større enn n = 30 Eller par av differanser kommer fra en normalfordelt populasjon

14 Notasjon d er differansen mellom to verdier i et par µ d er populasjonsgjennomsnittet for alle differansene d er gjennomsnittet av differansene i stikkprøven s d er standardavviket for differansene i stikkprøven n er antall par i stikkprøvene (begge stikkprøvene har denne størrelsen)

15 Test for to relaterte stikkprøver Testobservator For to relaterte stikkprøver: Nullhypotesen er H 0 : µ 1 = µ 2 Testobservatoren blir da Har n 1 frihetsgrader t = d s d n

16 Test for to relaterte stikkprøver To relaterte stikkprøver og t-testen To relaterte stikkprøver x og y: Regn ut de parvise differansene Regn ut differansenes gjennomsnitt d og standardavvik s d Hypotesene er H 0 : µ x = µ y vs. H 1 : µ x µ y Dersom H 0 er sann, er d gjennomsnittlig lik null. Da blir testobservatoren t = d s d n Forkast H 0 dersom t går utenfor kritisk verdi t α fra tabell A-3

17 Example Selger man flere pakker Cornflakes hvis pakkene står i øyehøyde? Her er salgstall for 13 par av butikker, der hvert par er likt iforhold til beliggenhet, nabolag, størrelse. x er salgstall for øyehøyde, y er for plassering nede ved gulvet. x y d Ensidig test: Er øyehøyde best? H 0 : µ x = µ y vs. H 1 : µ x > µ y d = 15.8 og s d = 26.2 gir t- verdi t = = 2.17 Kritisk verdi fra tabell A-3 t α = 1.78 (for α = 0.05). t-verdien er større enn kritisk verdi: Forkast H 0 Det er tilstrekkelig grunnlag til å hevde at øyehøyde selger bedre

18 Example Værmeldingen angir minimumstemperaturen fem dager frem i tid. For fem datoer noterte vi den meldte temperaturen og den faktiske temperaturen (i F ) 4 dager senere. Vi ønsker å teste om værmeldingen i gjennomsnitt har rett (bruker α = 0.5): H 0 : µ meldt = µ faktisk vs H 1 : µ meldt µ faktisk d = 13.2, s = 10.7, n = 5 og t α/2 = med df = 4. Testobservatoren t = / 5 = Vi kan ikke forkaste H 0, det er ikke tilstrekkelig grunnlag til å hevde at værmeldingen i gjennomsnitt bommer

19

20 JMP Example BI Drammen: Bruker studentene i gjennomsnitt like mye tid på jobb som på studier? JMP for relaterte stikkprøver Analyze > Matched Pairs

21 Example Vi setter α = 0.05 H 0 : µ jobb = µ studier vs. H 1 : µ jobb µ studier Figur: klassens data alle ny Testobservatoren t = d s d / n = = 1.23 Vi kan bruke tradisjonell metode med kritisk verdi fra tabell A3. Men JMP gir p-verdien: 0.22 Siden 0.22 > α = 0.05, forkastes ikke H 0. Det er ikke grunnlag til å hevde at antall timer brukt på jobb og på studier i gjennomsnitt er forskjellige ved BI Drammen

22 Alle rette linjer har sin egen formel Rett linje Formelen for en rett linje i x y koordinatsystemet er y = b 0 + b 1 x b 0 er et tall som angir hvor linja krysser y-aksen b 1 er stigningstallet som angir hva stigningen til linja er

23 Example Krysser y-aksen i 1: b 0 = 1 Stiger med 2 hver gang x øker med 1: b 1 = 2 Formelen til linja er derfor y = 1 + 2x

24 Øvingsoppgaver y = 1 + 2x y = 2 + 3x y = 1 + x y = 1 + x y = 4x y = 1 x

25 Skriv opp likningen for disse linjene: y = x y = 1 + 4x y = 2 y = x

26 Oppgaver Les Bla gjennom kapittel 10 i boka til neste gang. Oppgaver kapittel 9 9-3: 5, 7, 10, : 3, 5, 23