Ekstreme bølger. Geir Storvik Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. 5. mars 2014

Transkript

1 Ekstreme bølger Geir Storvik Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 5. mars 2014

2 Bølger Timesvise max-bølger ved bøye utenfor østkyst av USA (17/12/ /2-1992) Størrelse på bølger varierer sterkt Skipsbyggere: Hva er sannsynlighet for ekstrem bølge (bølger >6 m)?

3 Normalfordeling Data entoppet, rimelig (?) symmetrisk Tilpasse normalfordeling N(3.175, 1.080)

4 Normalfordeling Data entoppet, rimelig (?) symmetrisk Tilpasse normalfordeling N(3.175, 1.080) P(X > 6) =1 P(X 6) =1 P( X ) =1 P(Z 2.616) = 1 Φ(2.616) =

5 Normalfordeling Data entoppet, rimelig (?) symmetrisk Tilpasse normalfordeling N(3.175, 1.080) P(X > 6) =1 P(X 6) =1 P( X ) =1 P(Z 2.616) = 1 Φ(2.616) = P(Minst en bølge over 6m i 30 dager) =1 P(Alle bølger under 6m i 30 dager) =1 ( ) 720 = 0.951

6 Simulering p = P(X > 6) = er relativ frekvens av X > 6 i det lange løp.

7 Simulering p = P(X > 6) = er relativ frekvens av X > 6 i det lange løp. Alternativ beregning Kan simulere mange X er og beregne relativ frekvens simulering, 5 gjentagelser: Mindre nøyaktig men enklere å bruke for mer kompliserte sannsynligheter.

8 Simulering p = P(X > 6) = er relativ frekvens av X > 6 i det lange løp. Alternativ beregning Kan simulere mange X er og beregne relativ frekvens simulering, 5 gjentagelser: Mindre nøyaktig men enklere å bruke for mer kompliserte sannsynligheter. Y =Antall X > 6 er Binomisk(100000, p)

9 Simulering p = P(X > 6) = er relativ frekvens av X > 6 i det lange løp. Alternativ beregning Kan simulere mange X er og beregne relativ frekvens simulering, 5 gjentagelser: Mindre nøyaktig men enklere å bruke for mer kompliserte sannsynligheter. Y =Antall X > 6 er Binomisk(100000, p) V (Y ) = p (1 p) =

10 Simulering p = P(X > 6) = er relativ frekvens av X > 6 i det lange løp. Alternativ beregning Kan simulere mange X er og beregne relativ frekvens simulering, 5 gjentagelser: Mindre nøyaktig men enklere å bruke for mer kompliserte sannsynligheter. Y =Antall X > 6 er Binomisk(100000, p) V (Y ) = p (1 p) = Y V ( ) = p (1 p) =

11 Simulering p = P(X > 6) = er relativ frekvens av X > 6 i det lange løp. Alternativ beregning Kan simulere mange X er og beregne relativ frekvens simulering, 5 gjentagelser: Mindre nøyaktig men enklere å bruke for mer kompliserte sannsynligheter. Y =Antall X > 6 er Binomisk(100000, p) V (Y ) = p (1 p) = Y V ( ) = p (1 p) Standardavvik σ Y / = = p (1 p) =

12 Gamma fordeling Data kun positive, antydning til asymmetri Tilpasse gammafordeling Gamma(8.641, 0.367)

13 Gamma fordeling Data kun positive, antydning til asymmetri Tilpasse gammafordeling Gamma(8.641, 0.367) Samme forventning og varians P(X > 6) =1 P(X 6) =1 F(6; 8.641, 0.367) =1 F(6/0.367; 8.641, 1) =

14 Gamma fordeling Data kun positive, antydning til asymmetri Tilpasse gammafordeling Gamma(8.641, 0.367) Samme forventning og varians P(X > 6) =1 P(X 6) =1 F(6; 8.641, 0.367) =1 F(6/0.367; 8.641, 1) = P(Minst en bølge over 6m i 30 dager) =1 ( ) 720 =

15 Log-normal fordeling La Y = log(x) og anta Y normalfordelt N(1.100, 0.357)

16 Log-normal fordeling La Y = log(x) og anta Y normalfordelt N(1.100, 0.357) P(X > 6) =1 P(Y log(6)) =1 P( Y log(6) ) =1 P(Z 1.938) = 1 Φ(1.938) =

17 Log-normal fordeling La Y = log(x) og anta Y normalfordelt N(1.100, 0.357) P(X > 6) =1 P(Y log(6)) =1 P( Y log(6) ) =1 P(Z 1.938) = 1 Φ(1.938) = P(Minst en bølge over 6m i 30 dager) =1 ( ) 720 =

18 Uavhengighet? Beregningene ovenfor basert på uavhengighet mellom bølger på ulike tidspunkter

19 Uavhengighet? Beregningene ovenfor basert på uavhengighet mellom bølger på ulike tidspunkter Alternativ modell: X t =µ + 4 a j (X t j µ) + Z t Z t N(0, σ) j=1 der µ = 3.191, σ = 0.254, a = (1.003, 0.075, 0.015, 0.133).

20 Sannsynlighet for ekstrem bølge ved avhengighet Hva er nå P(Minst en bølge over 6m i 30 dager)?

21 Sannsynlighet for ekstrem bølge ved avhengighet Hva er nå P(Minst en bølge over 6m i 30 dager)? Vanskelig å beregne, enkelt å simulere! Anta X normalfordelt: mu = 3.191; sigma =0.254; a=[ ]; %Set første 4 l i k observasjoner x = zeros ( 1, 365); x ( 1 : 4 ) = [ ] ; M=1000;y=zeros (1,M) ; for m = 1:M for j = 5:720 x ( j ) = mu + a ( 1 ) ( x ( j 1) mu)+a ( 2 ) ( x ( j 2) mu)+... a ( 3 ) ( x ( j 3) mu)+a ( 4 ) ( x ( j 4) mu)+... normrnd ( 0, sigma, 1, 1 ) ; end y (m) = max( x ) >6; end mean( y )

22 Sannsynlighet for ekstrem bølge ved avhengighet Hva er nå P(Minst en bølge over 6m i 30 dager)? Vanskelig å beregne, enkelt å simulere! Anta X normalfordelt: mu = 3.191; sigma =0.254; a=[ ]; %Set første 4 l i k observasjoner x = zeros ( 1, 365); x ( 1 : 4 ) = [ ] ; M=1000;y=zeros (1,M) ; for m = 1:M for j = 5:720 x ( j ) = mu + a ( 1 ) ( x ( j 1) mu)+a ( 2 ) ( x ( j 2) mu)+... a ( 3 ) ( x ( j 3) mu)+a ( 4 ) ( x ( j 4) mu)+... normrnd ( 0, sigma, 1, 1 ) ; end y (m) = max( x ) >6; end mean( y ) Gir sannsynlighet 0.450, mye lavere enn ved uavhengighet (0.951)!!!

23 Oppsummering Hva slags modell som brukes kan bety mye for resultatene Sjekk/valg av modell eget viktig statistisk tema

24 Oppsummering Hva slags modell som brukes kan bety mye for resultatene Sjekk/valg av modell eget viktig statistisk tema Neglisjering av avhengigheter kan gi feil svar Modellering av avhengighet vil komme i senere kurs

25 Oppsummering Hva slags modell som brukes kan bety mye for resultatene Sjekk/valg av modell eget viktig statistisk tema Neglisjering av avhengigheter kan gi feil svar Modellering av avhengighet vil komme i senere kurs Simulering av sannsynligheter et viktig numerisk verktøy Vi vil diskutere dette i en mer generell ramme senere (Monte Carlo integrasjon)