Eksponensielle klasser
|
|
- Fredrik Nygaard
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Eksponensielle klasser, de Jong & Heller, Kap. 3 Eksponensielle klasser STK september 2008 Sven Ove Samuelsen En stokastisk variabel Y sies å ha fordeling i den eksponensielle fordelingsklasse dersom tettheten (pkt.sannsh. til Y kan skrives på formen der f(;θ, = c(, exp( θ a(θ θ kalles den kanonisk parameteren Plan for 2. forelesning: 1. Definisjoner av eksponensielle klasser 2. Eksempler 3. Forventningsstruktur eksponensielle klasser 4. Likelihood GLM Eksponensielle klasser p. 1/32 kalles spredningsparameteren funksjonene a(θ og c(, er spesifikke for hver enkelt fordeling Vi kan skrive opp normalfordelingen, binomisk fordeling, poissonfordeling, gammafordeling (eksponensialfordeling og diverse andre fordelinger på denne formen. Eksponensielle klasser p. 3/32 Definisjon av GLM Uavhengige responser: Y 1,Y 2,...,Y n Vektorer av forklaringsvariable x 1,x 2,...,x n der x i = (x i1,x i2,...,x ip er p-dimensjonale. Eksponensielle klasser uten spredningsledd Noen fordelinger er uten spredningsledd, dvs. = 1. Isåfall blir den eksponensielle klassen gitt ved f(;θ = c( exp(θ a(θ En GLM = Generalisert Lineær Modell er definert ved Y 1,Y 2,...,Y n kommer fra samme eksponensiell klasse (Eksponensielle klasser defineres neste slide, men normalfordelinger, binomiske, Poisson-fordelinger er i eksp. klasser Lineære komponenter (prediktorer η i = β 0 + β 1 x i1 + + β p x ip Dette gjelder f.eks. Poissonfordeling fordeling for binære responser, Y = 1 eller 0, med π = P(Y = 1 Binomisk fordeling normalfordeling med varians σ 2 = 1 Linkfunksjon g(: Med µ i = E[Y i ] kobles forventningen til lineær komponent ved at g(µ i = η i Eksponensielle klasser p. 2/32 Eksponensielle klasser p. 4/32
2 Eks. Poissonfordeling, Y Po(λ Pkt.sannsnlighetene til Y er da f(;λ = λ exp( λ = exp( log(λ λ log(!,! altså som tetthet i den eksponensielle fordelingsklasse med θ = log(λ a(θ = λ = exp(θ c( = 1! Eksempel: Y Bin(n, π Da har Y har tetthet f(;p = ( n π (1 π n som kan omformes til c( exp(θ a(θ med θ = log( π 1 π a(θ = n log(1 + exp(θ c( = ( n Legg spesielt merke til a (θ = n exp(θ = nπ = E[Y ] 1+exp(θ a (θ = n exp(θ (1+exp(θ 2 = nπ(1 π = Var[Y ] Vi skal se at dette er generelle regler for eksponensielle klasser. Eksponensielle klasser p. 5/32 Eksponensielle klasser p. 7/32 Eksempel: Binær respons 1 med sannsnlighet π Y = 0 med sannsnlighet 1 π Dvs. Y har tetthet f(;π = π (1 π 1 π = exp( log( + log(1 π 1 π som kan omformes til c( exp(θ a(θ med θ = log( π 1 π som gir π = π(θ = exp(θ 1+exp(θ som leder til a(θ = log(1 π(θ = log(1 + exp(θ (dessuten blir c( = 1 Eksempel: Y N(µ, 1 altså normalfordelt med varians σ 2 = 1. Da blir tettheten f(;µ = 1 2π exp( 1 2 ( µ2 = 1 2π exp(µ µ som kan omformes til c( exp(θ a(θ med θ = µ a(θ = θ2 2 c( = exp( 2 2 2π Igjen genereres forventning og varians fra c(θ: a (θ = θ = µ = E[Y ] Eksponensielle klasser p. 6/32 a (θ = 1 = Var[Y ] Eksponensielle klasser p. 8/32
3 Eksponensiell klasse med spredningsparameter Normalfordelinger med varians σ 2 1 kan også settes opp som en eksponensiell klasse, men den naturlige parameteren θ vil avhenge av både µ og σ 2 (vi utelater detaljene. Vi skal istedet se på slike fordelinger som en eksponensiell klasse med spredningsparameter: f(;θ, = c(, exp( θ a(θ der parameteren kalles spredningsleddet eller spredningsparameteren. Binomisk fordeling med (kjent spredningsledd Med Y Bin(n, π inngår antall forsøk n f.eks. i a(θ = n log(1 + exp(θ (der θ = log(π/(1 π. Vi kan omforme dette ved å se på andel suksesser Y 0 = Y n. Da har Y 0 tetthet ( n n 0 π n 0 (1 π n(1 0 som kan skrives som der c(, = ( n, a 0 (θ = log(1 + exp(θ c( 0, exp( 0θ a 0 (θ = 1 n I dette tilfellet er = 1 n må estimeres. kjent, vanligvis er det en parameter som Eksponensielle klasser p. 9/32 Eksponensielle klasser p. 11/32 Eksempel: Y N(µ,σ 2 altså normalfordelt med generell varians σ 2. Da blir tettheten f(;µ = 1 2πσ exp( 1 2σ 2 ( µ 2 = exp( µ µ2 /2 2 /2 σ 2 log( 2πσ som kan omformes til c(, exp((θ a(θ/ med θ = µ og a(θ = θ2 2 og med spredningsledd = σ 2 Dessuten blir c(, = exp( 2 2 2π Kan legge merke til at E[Y ] = µ = θ = a (θ Momentgenerende funksjon Hvis Y har tetthet f( defineres momentgenerende funksjon ved M Y (t = E[exp(Y t] = exp(tf(d såsant dette integralet eksisterer for alle t i en omegn om 0. Vi har da at (STK1100 E[Y ] = M Y (0 E[Y 2 ] = M Y (0 E[Y r ] = M (r Y (0 samt at M Y (0 = 1. Var[Y ] = σ 2 = = a (θ Eksponensielle klasser p. 10/32 Eksponensielle klasser p. 12/32
4 Momentgenerende funksjon for eksponensiell klasse Med tetthet f(;θ = c( exp(θ a(θ (dvs. eksp. klasse uten spredningsledd blir momentgenerende funksjon M Y (t = exp(tf(;θd = c( exp((t + θ a(θd = exp(a(t + θ a(θ (fra c( exp((t + θ a(t + θd = f(;t + θd = 1 altså integral mhp. en tetthet, og siden det kan vises at exp(tf(;θd < for t i en omegn om 0. Eksempel Poissonfordeling Med Y Po(λ var kanonisk parameter θ = log(λ og a(θ = exp(θ. Vi får altså E[Y ] = a (θ = exp(θ = λ var[y ] = a (θ = exp(θ = λ (som sikkert er velkjent Eksponensielle klasser p. 13/32 Eksponensielle klasser p. 15/32 Foventning og varians i eksponensiell klass Vi finner dermed at M Y (t = exp(a(t + θ a(θ har deriverte (mhp t M Y (t = a (t + θm Y (t M Y (t = a (t + θm Y (t + a (t + θ 2 M Y (t som gir E[Y ] = M Y (0 = a (θm Y (0 = a (θ E[Y 2 ] = M Y (0 = a (θ + a (θ 2 og dermed Var[Y ] = E[Y 2 ] (E[Y ] 2 = a (θ Dette var nettopp hva vi observerte for binomisk fordeling og normalfordeling med σ 2 = 1. Eksponensielle klasser p. 14/32 Likelihood-egenskaper Anta at vi observerer en Y fra f(; θ = c( exp(θ a(θ. Da fås Log-likelihood-bidrag l(θ = log(f(y ;θ = Y θ a(θ + log(c(y Score-bidrag U(θ = l(θ θ = Y a (θ Bidrag til "informasjon": J (θ = 2 l(θ θ 2 = a (θ Dermed blir også, ved forventnings og variansreglene for eksp.klasser, E[U(θ] = E[Y a (θ] = 0 Var[U(θ] = Var[Y a (θ] = a (θ = J (θ = E[J (θ] Dette er generelle likelihood egenskaper, som vi nå har vist for eksp.klasser. Eksponensielle klasser p. 16/32
5 M Y (t for eksp. klasse MED spredningsparameter Tetthet: f(;θ, = c(, exp( θ a(θ Da blir momentgenerende funksjon Dermed fås M Y (t = exp( M Y (t = a (t + θm Y (t a(t + θ a(θ M Y (t = a (t + θm Y (t + a (t + θ 2 M Y (t som leder til Eks. Binomisk fordeling Y Bin(n, π For Y 0 = Y n spesifiserte vi θ = log(π/(1 π a(θ = log(1 + exp(θ = 1 n som gir E[Y 0 ] = a (θ = exp(θ 1+exp(θ = π Var[Y 0 ] = a (θ = exp(θ = 1 π(1 π (1+exp(θ 2 n E[Y ] = M Y (t = a (θ E[Y 2 ] = M Y (0 = a (θ + a (θ 2 og dermed Var[Y ] = a (θ Eksponensielle klasser p. 17/32 Eksponensielle klasser p. 19/32 Eks: Normalfordeling N(µ,σ 2 Vi fant da at θ = µ og a(θ = θ2 2 = σ 2 som gir kjente formler E[Y ] = a (θ = θ = µ Var[Y ] = a (θ = = σ 2 Likelihood-egenskaper Med Y fra f(;θ = c(, exp( θ a(θ fås l(θ = log(f(y ;θ = Y θ a(θ U(θ = l(θ θ J (θ = 2 l(θ θ 2 = Y a (θ = a (θ + log(c(y, som leder til de generelle likelihood-egenskapene E[U(θ] = 1 E[Y a (θ] = 0 Var[U(θ] = a (θ 2 = E[J (θ] Vi skal senere se utledning av disse formlene for generelle (regulære likelihooder. Eksponensielle klasser p. 18/32 Eksponensielle klasser p. 20/32
6 de J & H s bevis for E[Y ] = a (θ og Var(Y = a (θ Vi har f (;θ,d = θ f(;θ,d = θ (1 = 0 Siden f (;θ, = a (θ f(;θ, blir dermed 0 = f (;θ,d = E[Y ] a (θ, dvs. E[Y ] = a (θ Tilsvarende fås 0 = f (;θ,d samt [ ( a ] 2 f (;θ, = (θ a (θ f(;θ, som gir 0 = Var(Y 2 a (θ Var(Y = a (θ Eksponensielle klasser p. 21/32 Variansfunksjon for noen fordelinger For normalfordelingen er a (θ = 1. Dermed blir variansfunksjonen V (µ = 1 (konstantfunksjonen For Poissonfordelingen er a (θ = exp(θ = µ, dvs. V (µ = µ (identitetsfunksjonen For binomisk fordeling, med Y 0 = Y/n, er a (θ = = π(1 π, dermed blir variansfunksjonen V (π = π(1 π eθ (1+e θ 2 Eksponensielle klasser p. 23/32 Variansfunksjon V (µ For eksponensielle klasser med spredningsparameter har vi vist Var(Y = a (θ Det er en 1-1 sammenheng mellom µ = E[Y ] = a (θ og θ. Derfor kan vi uttrkke θ = θ(µ som en funksjon av µ. Dermed kan vi definere variansfunksjonen V (µ = a (θ(µ slik at Var(Y = V (µ. For de vanligste fordelingene gis uttrkket for V (µ direkte. Andre medlemmer i den eksponensielle fordelingsklasse I tillegg til normalfordelinger, binomisk fordelinger og Poisson-fordelinger inneholder den eksponensiell fordelingsklasse bl.a. Gamma-fordelinger (og spesielt eksponensialfordelinger Negativt binomisk fordeling (og spesielt geometrisk fordeling Invers gaussisk fordeling Trunkerte fordelinger fra andre fordelinger i eksponensiell klasse Eksponensielle klasser p. 22/32 Eksponensielle klasser p. 24/32
7 Eksponensial- og gammafordeling Eksponensialfordeling g(; λ = λ exp( λ for > 0 µ = E[Y ] = 1 λ, Var[Y ] = 1 λ 2 = µ 2 Eksp. klasse uten spredningsledd og med var.fu. V (µ = µ 2 Gammafordeling g(;λ,ν = ν 1 λ ν Γ(ν exp( λ for > 0 µ = E[Y ] = ν λ, Var[Y ] = ν λ 2 = µ2 ν Eksp. klasse med spredningsledd = 1/ν og var.fu. V (µ = µ 2 Hensiktsmessig å reparametrisere til tetthet f(;µ,ν = ν 1 µ ν Γ(ν exp( ν/µ Geometrisk og negativ binomisk fordeling Geometrisk fordeling: P(Y = = π(1 π for = 0, 1, 2,... Eksp. kl. med µ = (1 π/π, ingen spredningsparameter og Var(Y = V (µ = µ(1 + µ Negativ binomisk fordeling, r = antall suksesser, Y = antall Bernoulli forsøk r: ( + r 1 P(Y = = π r (1 π for = 0, 1, 2,... r 1 Fordeling på = 0, 1, 2,... istedefor r,r + 1,... som i STK1100 (Rice Dette blir også en eksponensiell klasse med µ = E[Y ] = r(1 π/π, uten spredningsparameter, og med V (µ = µ(1 + µ/r. Eksponensielle klasser p. 25/32 Eksponensielle klasser p. 27/32 Invers gaussisk fordeling: Y har tetthet, for > 0, f(;µ,σ 2 = 1 2π3 σ exp( 1 ( µ µ 2 σ 2 der µ = E[Y ] og Var(Y = σ 2 µ 3. Dette blir en eksponensiell klasse med spredningsledd = σ 2 og var.fu. V (µ = µ 3. Negativ binomisk fordeling, generalisering Vi kan skrive ( + r 1 Γ( + r = r 1!Γ(r Dette gir oss muligheten til å generalisere Neg.bin. fordeling til ikke-heltallige r ved punktsannsnligheter f( mu=5, sigma2=0.01 mu=20, sigma2=0.01 f( mu=5, sigma2=0.05 mu=20, sigma2=0.05 f( mu=5, sigma2=0.1 mu=20, sigma2=0.1 P(Y = = Γ( + r!γ(r πr (1 π for = 0, 1, 2,... Med κ = 1/r blir dette også en eksp. kl. med µ = E[Y ] = r(1 π/π, uten spredningsparameter, og med V (µ = µ(1 + κµ. f( f( f( Eksponensielle klasser p. 26/32 Denne fordelingen kan oppstå ved at Y λ Po(λ der λ er en stokastisk variabel med gammafordeling med forventing µ og formparameter r = 1/κ. Eksponensielle klasser p. 28/32
8 Oversikt (noen fordelinger i eksp. klasse Distrib. θ a(θ E[Y ] V (µ Bin(n,π log( π 1 π log(1 + eθ 1 nπ nπ(1 π Po(µ log(µ exp(θ 1 µ µ N(µ,σ 2 θ µ 2 σ 2 µ 1 2 Gamma(µ,ν 1 1 log( µ µ µ 2 µ ν Inv.G.(µ,σ 2 1 2θ σ 2 µ µ 3 2µ 2 NegBin(µ,κ log( κµ 1 log(1 1+κµ κ κeθ 1 µ µ(1 + κµ Estimering av spredningsparameter kan nå gjøres ved momentprinsippet siden ˆ = 1 n n i=1 (Y i ˆµ 2 V (ˆµ E[ (Y i µ 2 ] = Var(Y i = V (µ V (µ For normalfordeling blir ˆ også MLE, men for gammafordeling er MLE for mer kompleks. Eksponensielle klasser p. 29/32 Eksponensielle klasser p. 31/32 Estimering i eksponensielle klasser Anta at Y 1,,Y n er uavhengige og har samme tetthet f(;θ, = c(, exp( θ a(θ. Dette gir likelihood L(θ = n i=1 f(y i;θ, og log-likelihood l(θ = samt score-funksjon n i=1 U(θ = l(θ θ [ Y iθ a(θ = 1 + log(c(y i,] n [Y i a (θ], dvs. maximum likelihood estimatoren (MLE for θ gis ved å løse ligningen 1 n Y i = a (ˆθ = ˆµ n i=1 i=1 Eksponensielle klasser p. 30/32 Eksponensiell klasse definert noe annerledes Y har tetthet/pkt.sanns. f(;θ = exp(a(b(θ + c(θ + d( for gitte funksjoner a(,b(θ,c(θ,d(. Ser at med a( = og b(θ = θ fås eksp. kl. uten spredningsparameter. Ekspempler: Paretofordeling f(;θ = θ θ+1 for > 1 Weibullfordeling med kjent formparameter α med tetthet f(;λ = αλ α α 1 exp( (λ α for > 0 Kan vise at for V = a(y og γ = b(θ har V tetthet i "vanlig" eksponensiell klasse uten spredningsledd. Eksponensielle klasser p. 32/32
Eksponensielle klasser og GLM
!! 3 ksponensielle klasser, Dobson, Kap 3 ksponensielle klasser GLM n stokastisk variabel sies å ha fordeling i den eksponensielle fordelingsklasse som tettheten pktsannsh til kan skrives på formen STK3-3
DetaljerGeneraliserte Lineære Modeller
Lineær regresjon er en GLM Generaliserte Lineære Modeller Responser (Y i -er) fra normalfordelinger Lineær komponent η i = β 0 + β 1 x i1 + + β p x ip E[Y i ] = µ i = η i, dvs. linkfunksjonen g(µ i ) =
DetaljerGeneraliserte Lineære Modeller
Eksponensiell klasse Generaliserte Lineære Modeller Y i f(y i ;θ i ) = c(y i ;φ) exp((θ i y i a(θ i ))/φ) µ i = E[Y i ] = a (θ i ) σ 2 i = Var[Y i ] = φa (θ i ) = φv (µ i ) STK3100-4. september 2011 Geir
DetaljerIntroduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM)
Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) p. 1/25 Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) STK3100-23. august 2010 Sven Ove Samuelsen/Anders Rygh Swensen Plan for første forelesning:
DetaljerKap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar
Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar
DetaljerKap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar
Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform Onsdag Normal Onsdag Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Student-T (Kap
DetaljerIntroduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) og blandede modeller
Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) og blandede modeller p. 1/34 Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) og blandede modeller STK3100/4100-23. august 2011 Geir Storvik (Oppdatert
DetaljerForelesning 6 STK3100
Scorefunksjon og estimeringsligninger for GLM Forelesning 6 STK3100 29. september 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Observert og forventet informasjon 2. Optimeringsrutiner 3. Iterative revektede
DetaljerKap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar
Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar
DetaljerForelesning 5 STK3100/4100
Forelesning 5 STK3100/4100 p. 1/4 Forelesning 5 STK3100/4100 27. september 2012 Presentasjon laget av S. O. Samuelsen (modifisert av Geir H12) Plan for forelesning: 1. Poissonfordeling 2. Overspredning
DetaljerForelesning 7 STK3100/4100
Gamma regresjon Forelesning 7 STK3100/4100 26. september 2008 Geir Storvik Plan for forelesning: 1. Kontinuerlige positive responser 2. Gamma regresjon 3. Invers Gaussisk regresjon Modell: Har y Gamma(µ,ν),
DetaljerForelesning 7 STK3100/4100
Forelesning 7 STK3100/4100 p. 1/2 Forelesning 7 STK3100/4100 8. november 2012 Geir Storvik Plan for forelesning: 1. Kontinuerlige positive responser 2. Gamma regresjon 3. Invers Gaussisk regresjon Forelesning
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 11. november 2017) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,..., B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerKontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.
Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x) er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom: 1. f(x) 0 for alle x R 2. f(x)dx =1 3. P (a
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte
DetaljerIntroduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM)
Literatur / program Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) STK3100-20. august 2007 Sven Ove Samuelsen Plan for første forelesning: 1. Introduksjon, Literatur, Program 2. ksempler 3. Uformell
DetaljerDekkes av kap , 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene.
Estimering 2 -Konfidensintervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene. En (punkt-)estimator ˆΘ gir oss et anslag på en ukjent parameterverdi, men gir oss ikke noen direkte informasjon
DetaljerForelesning 4 STK3100
! * 2 2 2 Bevis : Anta Forelesning 4 STK3 september 27 S O Samuelsen Plan for annen forelesning: Likelihood-egenskaper 2 Konsistens for ML 3 Tilnærmet fordeling for ML 4 Likelihoodbaserte tester 5 Multivariat
DetaljerSTK Oppsummering
STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
I dag I dag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve 3 a og b (inkl SME) Om eksamen (Truleg) 10 punkt.
Detaljer(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x].
FORMELSAMLING TIL STK2100 (Versjon Mai 2018) 1 Tapsfunksjoner (a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. (b)
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.4-5.7: Normalfordelingen, normalapproksimasjon, eksponensial og gamma. Mette Langaas Foreleses mandag 27. september 2010 2
Detaljer(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x].
FORMELSAMLING TIL STK2100 (Versjon Mai 2017) 1 Tapsfunksjoner (a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. (b)
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
Plan vidare Onsdag Gjere ferdig kap 11 + repetisjon Fredag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve
Detaljerj=1 (Y ij Ȳ ) 2 kan skrives som SST = i=1 (J i 1) frihetsgrader.
FORMELSAMLING TIL STK2120 (Versjon av 30. mai 2012) 1 Enveis variansanalyse Anta at Y ij = µ + α i + ɛ ij ; j = 1, 2,..., J i ; i = 1, 2,..., I ; der ɛ ij -ene er uavhengige og N(0, σ 2 )-fordelte. Da
DetaljerIntroduksjon Lineære blanda modellar Generaliserte lineære blanda modellar Analyser av modellar Eit randproblem Oppsummering. Blanda modellar i R
Blanda modellar i R Jorunn Slagstad Universitetet i Bergen 20. desember 2006 1 Introduksjon 2 Lineære blanda modellar 3 Generaliserte lineære blanda modellar 4 Analyser av modellar 5 Eit randproblem 6
DetaljerSiden vi her har brukt første momentet i fordelingen (EX = EX 1 ) til å konstruere estimatoren kalles denne metoden for momentmetoden.
Estimeringsmetoder Momentmetoden La X, X 2,..., X n være uavhengige variable som er rektangulært fordelte på intervallet [0, θ]. Vi vet da at forventningsverdiene til hver observasjon og forventningen
DetaljerForelesning 9 STK3100
Poissonfordelingen: Forelesning 9 STK3100 20. oktober 2007 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Poissonregresjon 2. Overspredning 3. Quasi-likelihood 4. Andre GLM-er Poissonfordelingen kan oppstå ved
DetaljerKapittel 2: Hendelser
Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en
DetaljerForelesning 11 STK3100/4100
Forelesning STK300/400 Plan for forelesning: 3. oktober 20 Geir Storvik. Generaliserte lineære blandede modeller Eksempler R-kode - generell formulering av modell Tillater innbygging av avhengigheter mellom
DetaljerInferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"
Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.
DetaljerST1101/ST6101 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag ST111/ST611 Sannsynlighetsregning og statistikk Vår 219 Løsningsforslag Øving 12 22. mars 219 Side 1 av 18 Løsningsforslag
DetaljerSTK1100 våren 2019 Mere om konfidensintevaller
STK1100 våren 2019 Mere om konfidensintevaller Svarer til avsnitt 8.2 i læreboka Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo 1 Konfidensintervall for µ i store utvalg Anta at de stokastiske
DetaljerGammafordelingen og χ 2 -fordelingen
Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafunksjonen Gammafunksjonen er en funksjon som brukes ofte i sannsynlighetsregning. I mange fordelinger dukker den opp i konstantleddet. Hvis man plotter n-fakultet
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerFunksjoner av stokastiske variable.
Funksjoner av stokastiske variable. Dekkes av pensumsidene i kap. 7 I ulike sammenhenger, blant annet for å finne fordelingen til estimatorer, er vi interesserte i fordelingen til funksjoner av stokastiske
DetaljerForelesning STK september 2011
Forelesning STK3100 12. setember 2011 Geir Storvik (S. O. Samuelsen) Plan for forelesning: 1. Mer om evians 2. Devians og Gooness-of-fit tester 3. GLM og resiualer En Mettet (saturate) moell er en moell
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
DetaljerModellrisiko i porteføljeforvaltning
Modellrisiko i porteføljeforvaltning Hans Gunnar Vøien 12. mai 2011 1/25 Innhold Problem og introduksjon Problem og introduksjon Lévyprosesser Sammenlikning GBM og eksponentiell NIG Oppsummering 2/25 Problem
DetaljerKontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.
Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom:. f(x 0 for alle x R 2. f(xdx = 3. P (a
DetaljerST0103 Brukerkurs i statistikk Høsten Momentestimatoren og sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren
ST0103 Brukerkurs i statistikk Høsten 2016 Momentestimatoren og sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren (SME) Boka har bare ett eksempel med sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren. Vi gjengir dette nedenfor,
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Oppgave 1 X er kontinuerlig fordelt med sannsynlighetstetthet f(x) = 2xe
DetaljerLØSNINGSFORSLAG ) = Dvs
LØSNINGSFORSLAG 12 OPPGAVE 1 D j er differansen mellom måling j med metode A og metode B. D j N(µ D, 0.1 2 ). H 0 : µ D = 0 mot alternativet H 1 : µ D > 0. Vi forkaster om ˆµ D > k Under H 0 er ˆµ D =
DetaljerFunksjoner av stokastiske variable.
Funksjoner av stokastiske variable. Dekkes av pensumsidene i kap. 7 I ulike sammenhenger, blant annet for å finne fordelingen til estimatorer, er vi interesserte i fordelingen til funksjoner av stokastiske
DetaljerForelesing 27 Oppsummering. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU
Forelesing 27 Oppsummering Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU 18.04.2018 I dag Lineær regresjon (sjekk av modellantagelser) Praktisk informasjon Andre statistikk-kurs Oversikt over
Detaljer6.1 Kontinuerlig uniform fordeling
Kapittel 6 Noen kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 6.1 Kontinuerlig uniform fordeling Kontinuerlig uniform fordeling: Sannsynlighetstettheten til den kontinuerlige uniforme
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Funksjoner av stokastiske variabler (kapittel 7+notat) Fokus på start med kumulativ fordeling 7.2 Funksjon av en SV (inkludert en-entydighet). Fordeling til max/min (fra notat).
DetaljerForelesning 6 STK3100/4100
Forelesning 6 STK3100/4100 p. 1/4 Forelesning 6 STK3100/4100 4. oktober 2012 Presentasjon av S. O. Samuelsen (modifisert av Geir H12) Plan for forelesning: 1. GLM Binære data 2. Link-funksjoner 3. Parameterfortolkning
DetaljerTilleggsoppgaver for STK1110 Høst 2015
Tilleggsoppgaver for STK0 Høst 205 Geir Storvik 22. november 205 Tilleggsoppgave Anta X,..., X n N(µ, σ) der σ er kjent. Vi ønsker å teste H 0 : µ = µ 0 mot H a : µ µ 0 (a) Formuler hypotesene som H 0
DetaljerDEL 1 GRUNNLEGGENDE STATISTIKK
INNHOLD 1 INNLEDNING 15 1.1 Parallelle verdener........................... 18 1.2 Telle gunstige.............................. 20 1.3 Regneverktøy og webstøtte....................... 22 1.4 Oppgaver................................
Detaljer6.5 Normalapproksimasjon til. binomisk fordeling
....3.4.5..5..5..5...4.6.8....4.6.8....3.4..5..5 Kaittel 6: Kontinuerlige sannsynsfordelingar TMA445 Statistikk Ka 6.5-6.8. 6.5: Normal aroksimasjon til binomisk fordeling, 6.6-6.8: Eksonensialfordeling,
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
DetaljerForelesning 11 STK3100/4100
Forelesning 11 STK3100/4100 Plan for forelesning: 1. november 2012 Geir Storvik 1. Generaliserte lineære blandede modeller Eksempler R-kode GLMM - generell formulering av modell Likelihood og estimering
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Sara Martino a, Torstein Fjeldstad b Tlf: a 994 03 330, b 962 09 710 Eksamensdato: 28. november 2018 Eksamenstid
DetaljerForelesning 5 STK3100
Devians Forelesning 5 STK3100 22. setember 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Mer om evians 2. Devians og Gooness-of-fit tester 3. GLM og resiualer 4. Observert og forventet informasjon 5. Otimeringsrutiner
DetaljerStatistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent)
TMA440 Statistikk H010 Statistisk inferens: 9.14: Sannsynlighetsmaksimeringsestimatoren 8.5: Fordeling til gjennomsnittet 9.4: Konfidensintervall for µ (σ kjent) Mette Langaas Foreleses mandag 11.oktober,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1100 Statistiske metoder og dataanalyse 1 - Løsningsforslag Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30
DetaljerEksamensoppgave i TMA4295 Statistisk inferens
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4295 Statistisk inferens Faglig kontakt under eksamen: Vaclav Slimacek Tlf: 942 96 313 Eksamensdato: Tirsdag 2. desember 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00-13:00
DetaljerSTK Oppsummering
STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter
DetaljerForelesning 10 STK3100
Momenter i multinomisk fordeling Forelesning 0 STK300 3. november 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning:. Multinomisk fordeling 2. Multinomisk regresjon - ikke-ordnede kategorier 3. Multinomisk regresjon
DetaljerEKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Ingelin Steinsland (92 66 30 96) EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Tirsdag
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK2120 Skisse til løsning/fasit. Eksamensdag: Torsdag 5. juni 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 5 sider.
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i STK2120 Statistiske metoder og dataanalyse 2 Eksamensdag: Mandag 6. juni 2011. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato: 10. august 2017 Eksamenstid (fra til): 09.00-13.00
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 8, blokk II Løsningsskisse Oppgave 1 Da komponentene danner et parallellsystem, vil systemet fungere dersom minst
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlege stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynstettleik
DetaljerPrøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011.
Prøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011. Oppgave 1 (a) Angi tetthet/punktsannsynlighet for eksponensielle klasser med og uten sprednings(dispersjons)ledd. Nevn alle fordelingsklassene du kjenner som kan
DetaljerBernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling
Bernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling Bernoulli forsøksrekke i) gjentar et forsøk n ganger ii) hvert forsøk gir enten suksess eller fiasko iii) sannsynligheten for suksess er p i alle forsøkene
DetaljerSkadebeløpsmodellering i skadeforsikring
Skadebeløpsmodellering i skadeforsikring Hege Kristine Kristvik Holmedal Masteroppgave i statistikk Finansteori og forsikringsmatematikk Matematisk institutt Universitetet i Bergen 1. juni 2009 Takk Jeg
DetaljerEKSAMEN I FAG TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Torsdag 14. desember 2006 Tid: 09:0013:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist, tlf. 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4240 / TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato: 10. august 2017 Eksamenstid (frå til): 09.00-13.00
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerOppfriskning av blokk 1 i TMA4240
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2012
TMA424 Statistikk Høst 212 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving 5 blokk I Løsningsskisse Oppgave 1 X N(18,2.5 2 ) P(X < 15) = P ( X 18 < 15 18 ) = P(Z < 1.2)
DetaljerTransformasjoner av stokastiske variabler
Transformasjoner av stokastiske variabler Notasjon merkelapper på fordelingene Sannsynlighetstettheten og den kumulative fordelingen til en stokastisk variabel X betegnes hhv. f X og F X. Indeksen er altså
DetaljerEkstraoppgaver for STK2120
Ekstraoppgaver for STK2120 Geir Storvik Vår 2011 Ekstraoppgave 1 Anta X 1 og X 2 er uavhengige med X 1 N(1.0, 1.0) og X 2 N(2.0, 1.5). La X = (X 1, X 2 ) T. Definer c = ( ) 2.0 3.0, A = ( ) 1.0 0.5 0.0
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1110 FASIT. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST 202 Statistiske slutninger for den eksponentielle fordelingsklasse. Eksamensdag: Fredag 15. desember 1995. Tid for eksamen:
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerOle Johan Sørensen Schei
Ole Johan Sørensen Schei Oppgave for graden master i statistikk Finansteori og forsikringsmatematikk Universitetet i Bergen, Norge 15. september 2009 Regresjonsmodeller i skipsforsikring Denne oppgaven
DetaljerLøsning eksamen desember 2016
Løsning eksamen desember 016 Oppgave 1 a) En drone har to uavhengige motorer. Vi innfører hendelsene A: motor 1 svikter B: motor svikter Dronen er avhengig av at begge virker, slik at sannsynligheten for
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: Eksamensdag: Torsdag 2. juni 24 Tid for eksamen: 4.3 8.3 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte hjelpemidler: STK429
DetaljerForelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind
Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007
Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren
DetaljerEkstreme bølger. Geir Storvik Matematisk institutt, Universitetet i Oslo. 5. mars 2014
Ekstreme bølger Geir Storvik Matematisk institutt, Universitetet i Oslo 5. mars 2014 Bølger Timesvise max-bølger ved bøye utenfor østkyst av USA (17/12/1991-23/2-1992) Størrelse på bølger varierer sterkt
DetaljerOm fordelingen tilx +Y
Variansen til X +Y Om fordelingen til X +Y Vi viste at generelt, dvs. også når X og Y er avhengige gjelder E[X +Y] = E[X]+E[Y] Med µ X og µ Y forventningen til X og Y har vi da STK1100 V11 1. Variansen
DetaljerObservatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter
Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30
Detaljer3.1.1 Eksempel: "Student's" t-fordeling Lognormal-fordeling... 7
Kristian R. Hansen Innhold 1 Innlending... 3 1.1 Hjelp og dokumentasjon... 3 1.2 Kommandolinje... 3 1.3 Dokumentasjon... 3 1.4 Data import og eksport... 3 1.4.1 Regneark... 3 1.4.2 Import Wizard... 3 1.4.3
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2007
TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,
DetaljerHypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:
Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.
DetaljerL12-Dataanalyse. Introduksjon. Nelson Aalen plott. Page 76 of Introduksjon til dataanalyse. Levetider og sensurerte tider
Page 76 of 80 L12-Dataanalyse Introduksjon Introduksjon til dataanalyse Presentasjonen her fokuserer på dataanalyseteknikker med formål å estimere parametere (MTTF,, osv) i modeller vi benytter for vedlikeholdsoptimering
DetaljerMatematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s. 1. Oppgave 1
Matematisk statistikk og stokastiske prosesser B, høsten 2006 Løsninger til oppgavesett 5, s AR2-modell: Oppgave X t φ X t φ 2 X t 2 Z t Antas å være kausal slik at X t ψ j Z t j er ukorrelert med Z t+,
DetaljerKapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.4-5.7: Normalfordelingen, normalapproksimasjon, eksponensial og gamma.
TMA4240 Statistikk H2010 Kapittel 6: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 6.4-5.7: Normalfordelingen, normalapproksimasjon, eksponensial og gamma. Mette Langaas Foreleses mandag 27. september 2010 2
Detaljer