Om fordelingen tilx +Y

Transkript

1 Variansen til X +Y Om fordelingen til X +Y Vi viste at generelt, dvs. også når X og Y er avhengige gjelder E[X +Y] = E[X]+E[Y] Med µ X og µ Y forventningen til X og Y har vi da STK1100 V11 1. Variansen til X + Y 2. Direkte tledninger av fordelingen til X +Y 3. Brk av momentgenererende fnksjoner 4. Konvolsjonsformelen V(X +Y) = E[{(X +Y) (µ X +µ Y )} 2 ] = E[{(X µ X )+(Y µ Y )} 2 ] = E[(X µ X ) 2 +(Y µ Y ) 2 +2(X µ x )(Y µ Y )] = E[(X µ X ) 2 ]+E[(Y µ Y ) 2 ] +2E[(X µ x )(Y µ Y )] = V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y) Om fordelingen til X + Y p. 1/20 som altså gjelder generelt for avhengige stokastiske variable X og Y (med eksisterende varianser). Om fordelingen til X + Y p. 3/20 Om fordelingen tilx +Y Det er i en rekke sitasjoner av interesse å finne fordelingen til X +Y når vi kjenner fordelingene til X og Y. Vi skal se at mange fordelinger er "lkket" med respekt til smmer, dvs. X +Y har samme type fordelingen som X og Y Dette er også et første skritt mot å finne fordelingen til gjennomsnittet X = 1 n X i n selv om vi for gjennomsnittet skal se at vi kan tilnærme med en normalfordeling. i=1 Variansen til X +Y, forts. Spesielt hvis Cov(X, Y) = 0 får vi da V(X +Y) = V(X)+V(Y) Det ble vist at hvis X og Y er avhengige stokastiske variable så gjelder nettopp og vi har da at Cov(X,Y) = 0 Variansen til en sm = Smmen av variansene Om fordelingen til X + Y p. 2/20 Om fordelingen til X + Y p. 4/20

2 Fordelingen tilx +Y, Generelt Vi kan finne fordelingen til X +Y ved 3 typer framgangsmåter Direkte argment Ved hjelp av momentgenererende fnksjoner Ved "konvolsjonsformelen" Eksempel: Direkte argment Anta at X Bin(n, p), Y Bin(m, p) og X og Y avhengige, dvs. X og Y binomiske med samme sksess-sannsynlighet p, men mligens like n og m. Vi har da X = antall sksesser inforsøk Y = antall sksesser i m forsøk der forsøkene er avhengige med like sksess-sannsynlighet p (Bernolli-sekvens). Men da er jo også X +Y = antall sksesser in+m forsøk i en Bernolli-sekvens på n+m forsøk. Altså X +Y Bin(n+m,p) Om fordelingen til X + Y p. 5/20 Om fordelingen til X + Y p. 7/20 Fordelingen tilx +Y, Generelt Et direkte argment kan bare brkes i noen tilfeller momentgenererende fnksjoner kan benyttes i noen ytterligere sitasjoner Begge disse metodene vil kreve avhengige X og Y Konvolsjonsformelen gir en generell metode for å generere fordelingen til X +Y X + Y ved momentgenererende fnksjoner Vi skal tlede det samme resltatet ved hjelp av momentgenererende fnksjoner M X (t) = E[e Xt ]. Hsk atm X (t) identifiserer fordelingen til X. Vi skal brke følgende resltat Proposisjon Anta atx og Y er avhengige med momentgenererende fnksjoner M X (t) og M Y (t). Da holder M X+Y (t) = M X (t)m Y (t) Om fordelingen til X + Y p. 6/20 Om fordelingen til X + Y p. 8/20

3 Momentgenererende fnksjon for binomiske X og Y Anta igjen atx Bin(n,p),Y Bin(m,p) og X og Y avhengige. Da har (vist tidligere) X mom.gen. fnk. M X (t) = [1 p+pe t ] n og tilsvarende fory. I henhold til Proposisjonen får dax +Y mom.gen. fnk. M X+Y (t) = M X (t)m Y (t) = [1 p+pe t ] n [1 p+pe t ] m = [1 p+pe t ] n+m Men dette er den mom.gen. fnk. for Bin(n+m,p), dvs. for en binomisk variabel medn+m forsøk og sksess-sannsynlighet p, altså X +Y Bin(n+m,p) Om fordelingen til X + Y p. 9/20 Når fører et direkte argment fram? Det er ihvertfall tre sitasjoner hvor et direkte probabilistisk argment kan brkes Binomisk fordeling (som vist) Negativt binomiske (og geometriske) fordelinger med sammep Poisson-fordelinger: Anta X og Y avhengige med X Po(λ),Y Po(µ). Da erx +Y Po(λ+µ). For Poisson-fordeling benyttes sammenhengen med Poisson-prosess. Oppgave: Benytt et direkte argment for å finne fordelingen til X +Y i de to siste tilfellene. Om fordelingen til X + Y p. 11/20 Bevis for proposisjon Siden X og Y er avhengige har de simltantetthet f(x,y) = f X (x)f Y (y) dvs. som prodktet av marginaltetthetene. Da får vi, med dobbelt-integral overr 2, for fnksjoner g(x) og h(y), E[g(X)h(Y)] = g(x)h(y)f X (x)f Y (y)dxdy = [ g(x)f X (x)dx][ h(y)f Y (y)dy] = E[g(X)]E[h(Y)] Dermed blir, siden X og Y er avhengige, Når fører argment basert på mom.gen. fnk. fram? Binomisk (som vist) Neg. bin. (og geometriske) fordelinger med sammep Poisson-fordelinger Eksponensial-fordelinger med sammeλ Gamma-fordelinger med sammeβ Normalfordelinger Selvfølgelig måx og Y være avhengige. Oppgave Utled disse resltatene. M X+Y (t) = E[e t(x+y) ] = E[e tx e ty ] = E[e tx ]E[e ty ] = M X (t)m Y (t) Om fordelingen til X + Y p. 10/20 Om fordelingen til X + Y p. 12/20

4 X og Y normalfordelte Anta X N(µ X,σ X ) og Y N(µ Y,σ Y ). Da er M X (t) = e µ Xt+σ 2 X t2 /2 og tilsvarende fory. Dermed blir momentgenererende for X +Y M X+Y (t) = M X (t)m Y (t) = e µ Xt+σ 2 X t2 /2 e µ Y t+σ 2 Y t2 /2 = e (µ X+µ Y )t+(σ 2 X +σ2 Y )t2 /2 som er mom.gen. fnksjon for N(µ X +µ Y, σx 2 +σ2 Y ), dvs. X +Y har en normalfordeling med forventning µ X +µ Y og variansσx 2 +σ2 Y. Om fordelingen til X + Y p. 13/20 Smmen av to Poisson-fordelte variable Anta X Po(λ),Y Po(µ) og X og Y avhengige. Da blir ved konvolsjonsformelen, for U = X + Y, p X (x)p Y ( x) = p X (x)p Y ( x) x=0 siden p X (x)p Y ( x) > 0 når x = 0,1,2,...,. Dermed x=0 λ x µ x e λ x! ( x)! e µ = 1e (λ+µ)!! x=0 x!( x)! λx µ x = 1! e (λ+µ) (λ+µ) der den siste likheten følger av Newton s binomialformel. Men dette er nettopp en Poisson-sannsynlighet med forventning λ+µ, dvs. U = X +Y Po(λ+µ). Om fordelingen til X + Y p. 15/20 Konvolsjonsformelen, diskret fordelinger Anta atx og Y er diskrete stokastiske variable med simltane pkt.sh p(x, y) og la U = X + Y. Vi kan skrive begivenheten {U = } = {X = x,y = x} som er en disjnkt nion. Dermed får vi P{X = x,y = x} = p(x, x) Spesielt hvisx ogy er avhengige ogp(x,y) = p X (x)p Y (y) fås p X (x)p Y ( x) Dette kalles konvolsjonsformelen. Om fordelingen til X + Y p. 14/20 Konvolsjonsformelen for kontinerlige stok. var. Tilsvarende det diskrete tilfelle vil vi ha for (X,Y) kontinerlig fordelt med simltantetthet f(x, y) at tettheten til U = X + Y gis ved f U () = f(x, x)dx Spesielt når X og Y er avhengige med tettheter f X (x) og f Y (y) fås konvolsjonsformelen f U () = f X (x)f Y ( x)dx Om fordelingen til X + Y p. 16/20

5 Eksempel: X og Y avhengige og N(0, 1) Når X og Y begge er standard normalfordelte gir konvolsjonsformelen at U = X + Y har tettet f U () = 1 2π e x2 /2 1 2π e ( x)2 /2 dx = 1 2π 2 e 2 /4 1 2π e 2(x /2)2 /2 2dx = 1 2π 2 e 2 /4 siden x 2 +( x) 2 = (x 2 )2 og det siste integralet blir lik 1 (er over en tetthet). Men dette betyr atu N(0, 2), normalfordelt med forventning 0 og varians lik 2. Noe som også følger av argmentet med mom.gen.f. Om fordelingen til X + Y p. 17/20 "Påskefordeling" (?) La U = tid fra vårjevndøgn til 1. påskedag = X + Y der X = tid fra vårjevndøgn til første fllmåne Y = tid fra fllmåne til første søndag Rimelig å anta X U[0, 29.5] og Y U[0, 7]. Antar også at X og Y er avhengige. Får < < f U () = f X (x)f Y ( x)dx = 1 7 < < < < fu Om fordelingen til X + Y p. 19/20 Fordelingen til smmen av to U[0,1]-variable Anta at både X og Y er avhengige og niformt fordelt på [0,1], dvs. begge har tetthet 1 0 < x < 1 f(x) = 0 ellers Fordelingen til U = X +Y blir da 1 0 f U () = f(x)f( x)dx = 1dx = 0 < < dx = 2 1 < < påskedag fu Freqency Dag fra vårjevndøgn Om fordelingen til X + Y p. 18/20 Om fordelingen til X + Y p. 20/20