FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Versjon per 10. januar 2002, ved Hornæs
|
|
- Thomas Borgen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Versjon per 10 januar 2002, ved Hornæs 1 EMPIRISKE STATISTISKE MÅL 11 Forventningsverdi, varians og standardavvik La x {x 1,x 2, x n } være et datasett av (reelle) tall: 111 Beliggenhetsmål: Empirisk forventningsverdi (gjennomsnitt): x x 1 + x x n n (1) 112 Definisjon av noen hjelpestørrelser: x 2 i nx2, s yy yi 2 ny2, s xy s xx x i y i nxy (2) 113 Spredningsmål: Empirisk varians og standardavvik Varians: n s 2 Var(x) i x) 2 n 1 Alternativ formel: Var(x) Standardavvik: 12Ordnede data, median og kvartiler s xx (n 1) (3) s Var(x) (4) La x {x [1],x [2], x [n] } være et datasett av (reelle) tall ordnet i stigende rekkefølge: 121 Beliggenhetsmål: Median Medianen x (også benevnt md eller q 2, midterste verdi) : x ( x [(n+1)/2] ) n oddetall x 1 2 x[n/2] + x [(n/2)+1] n partall (5) 122 Spredningsmål: Kvartilavstand Nedre kvartil q 1 avgrenser nedre fjerdedel, mens øvre kvartil q 4 avgrenser øvre fjerdedel av de ordnede dataene Mer presist (inert som i matematikkprogrammet Maple, inisjonen kan variere noe mellom forskjellige bøker eller kalkulatorer): s q 1 q 3 n 4k n/4 x [s] x [n s] 13 Regresjon: n 4k +1 (n 1)/4 n 4k +2 (n 2)/4 n 4k +3 (n 3)/4 3 4 x [s] x [s+1] 1 x 2 [s] + 1 x 2 [s+1] 1 x 4 [s] + 3 x 4 [s+1] Tilpasning av n tallpar { (x 1,y 1), (x 2,y 2),(x n,y n) } til linja y a + bx: 1 4 x [n s 1] x [n s] 1 x 2 [n s 1] + 1 x 2 [n s] 3 x 4 [n s 1] + 1 x 4 [n s] Kvartilavstand: q 3 q 1 (7) (6) Stigning: Konstant: Empirisk korrelasjon: b a r s xy s xx y bx (8) s xy sxx syy 1
2 2SANNSYNLIGHETSREGNING 21 Definisjon av sannsynlighet - Kolmogoroffs aksiomer a) 0 P(A) 1 b ) P(S) 1 c) P( A i ) P(A i ) hvis i j A i A j 211 Noen umiddelbare konsekvenser av Kolmogoroffs aksiomer a) P(A B) P(A)+P(B) hvis A B b ) P(A B) P(A)+P(B) P(A B) c) P(A) 1 P(A) d) P( ) 0 (9) (10) 212 Betinget sannsynlighet 213 Uavhengighet P(A B) P(A B) / P(B) slik at P(A B) P(A B)P(B) (11) Hendelsene A og B kalles uavhengige P(A B) P(A)P(B) (12) 22 Diskrete sannsynlighetsfordelinger 221 Generelt a) Kumulativ sannsfordeling F (x) b) Punktsannsynlighet f(x) c) Forventningsverdi µ E(X) d) Varians Var(X) P(X x) P(X x) x i P(X x i ) Alternativ formel Var(X) e) Standardavvik σ (x i µ) 2 P(X x i ) x 2 i P(X x i ) µ 2 Var(X) (13) 222 Binomisk fordeling X bin(n, p) (0 p 1ognet naturlig tall) hvis X har punktsannsynlighet ( ) n f(x) p x (1 p) n x x {0, 1, 2,,n} (14) x Bruk: Gjentar et forsøk n ganger, p er sannsynligheten for gunstig utfall i hvert enkelt forsøk, og X er antall gunstige utfall i forsøksrekken Forventningsverdi E(X) np Varians Var(X) np(1 p) (15) 2
3 223 Poisson fordeling X po(λ) (λ > 0)hvis X har punktsannsynlighet f(x) λx x! e λ x {0, 1, 2,} (16) Bruk: X er antall ulykker i et enhetstidsintervall (konstant ulykkesrisiko) Forventningsverdi E(X) λ Varians Var(X) λ (17) 224 Hypergeometrisk fordeling X hyp(n,n,p) (p { 1 N, 2 N,,1} og N n>0 er naturlige tall) hvis X har punktsannsynlighet ) f(x) ( Np x )( N Np n x ( N n) x {0, 1, 2,,n} (18) Bruk i urnemodell: Trekker n kuler uten tilbakelegging Andelen gunstige kuler er p og antall kuler totalt er N X er antall gunstige kuler i utvalget Forventningsverdi E(X) np Varians Var(X) N n N 1 np(1 p) (19) 23 Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger 231 Generelt a) Kumulativ sannsfordeling F (x) b) Sannsynlighetstetthet f(x) c) Forventningsverdi µ E(X) d) Varians Var(X) P(X x) d dx F (x) Alternativ formel Var(X) e) Standardavvik σ xf(x) dx (x µ) 2 f(x) dx x 2 f(x) dx µ 2 Var(X) (20) 232 Eksponentialfordeling T exp(λ) (λ > 0)hvis T har sannsynlighetstetthet og kummulativ sannsynighetsfordeling gitt ved f(t) λe λt for t 0, (f(t) 0fort<0) F (t) t 0 λe λτ dτ 1 e λt for t 0, (F (t) 0fort<0) (21) Bruk: T er tid fram til neste ulykke (konstant ulykkesrisiko) Forventningsverdi E(X) 1/λ Varians Var(X) 1/λ 2 (22) 3
4 233 Normalfordeling En stokastisk variabel Z kalles standard normalfordelt, Z N(0, 1), om sannsynlighetstettheten er f(z) φ(z) 1 2π e 1 2 z2, ( <z< ) (23) For standard normalfordeling betegnes den kumulative sannsynlighettstettheten Φ(z) Om Z N(0, 1) kalles fordelingen til X σz + µ (der µ R og σ>0 ) (24) normalfordeling med parametre µ og σ, mednotasjonx N(µ, σ) Kumulativ sannsfordeling F (x) ( ) x µ Φ σ Forventningsverdi E(X) µ Varians Var(X) σ 2 (25) Tabell over sannsynligheter og fraktiler i standard normalfordeling er på side χ 2 fordeling Hvis Z 1,,Z n er uavhengige og standard normalfordelt inerer vi fordelinga til X som en χ 2 fordeling med parameter ν n frihetsgrader, X χ 2 ν Hvis X 1,,X n er uavhengige og N(µ, σ) fordelt, og X n X i/n, har X Zi 2 (26) ( ) 2 Xi X χ 2 fordeling med ν n 1 frihetsgrader (27) σ Forventningsverdi E(X) ν Varians Var(X) 2ν (28) χ 2 fordeling brukes ved undersøkelse av varianser, ved tester om stokastisk avhengighet (sammenheng) og om hvorvidt et datasett passer til en gitt fordelingstype (avsnitt 37) Fraktiltabell for χ 2 fordeling er på side Students t fordeling Hvis Z er standard normalfordelt og X er χ 2 fordelt med ν frihetsgrader, Z og X uavhengige, kalles fordelingen til T Z (29) X/ν Students t fordeling med parameter ν frihetsgrader, t T ν Anta X 1,,X n er uavhengige og N(µ, σ) fordelt ( n Hvis X X i /n og S ) Xi 2 nx 2 /(n 1) gjelder: T X µ S/ n er Students t-fordelt med ν n 1 frihetsgrader (30) Students t-fordeling brukes ved slutninger om forventningsverdier når standardavviket er ukjent Fraktiltabell for Students t fordeling er på side 13 4
5 236 Fisher fordeling Hvis U er χ 2 fordelt med n frihetsgrader og V er χ 2 fordelt med m frihetsgrader, U og V uavhengige, inerer vi fordelingen til F U/n (31) V/m som en Fisherfordeling med n og m frihetsgrader, F F n,m Fisherfordeling brukes i forbindelse med variansanalyse (avsnitt 35), og ved sammenlikning av varianser Fraktiltabell for Fisher fordeling er på side Forventningsverdi og varians Definisjon: Diskrete fordelinger: E(g(X)) g(x i ) f(x i ) (f(x i )P(X x i )) Kontinuerlige fordelinger: E(g(X)) g(x) f(x) dx (f(x) er sannsynlighetstettheten ) Varians: Var(X) E ( (X µ) 2) E ( X 2) µ 2 (der µ E(X)) (32) Regneregler for forventningsverdi og varians a, b, a 1, a 2 a n er konstanter X, Y, X 1, X 2 X n er stokastiske variable (diskrete eller kontinuerlige) X (X 1 + X X n)/n er gjennomsnittet av n stokastiske variable 241 Summeregler for forventningsverdier a) E(aX + b) a E(X)+b b ) E(X + Y )E(X)+E(Y ) c) E(a 1 X 1 + a 2 X a n X n + b) a 1 E(X 1 )+a 2 E(X 2 )+ + a n E(X n )+b 242 Summeregler for varians a) Var(aX + b) a 2 Var(X) b ) Var(X + Y )Var(X)+Var(Y ) hvis X og Y er uavhengige (ukorrelerte) c) Var(X + Y )Var(X)+Var(Y )+2Cov(X, Y ) d) Var(a 1 X 1 + a 2 X a n X n + b) a 2 1 Var(X 1)+a 2 2 Var(X 2)+ + a 2 n Var(X n) hvis alle X i ene er uavhengige (ukorrelerte) 243 Noen viktige konsekvenser a) σ ax+b aσ X hvis a>0, generelt σ ax+b a σ X b ) E(X) µ hvis E(X i)µ for alle i c) Var(X) 1 n σ2 hvis Var(X i)σ 2 for alle i og alle X i ene er uavhengige d) σ X σ n hvis σ Xi σ for alle i og alle X i ene er uavhengige e) E(X Y )E(X) E(Y ) f) Var(X Y )Var(X)+Var(Y ) hvis X og Y er uavhengige 5
6 25 Sentralgrenseteoremet Om X 1, X 2,, X i, alle er uavhengige, E(X i )µ og Var(X i )σ 2 er Noen konsekvenser: X ( n lim X i) nµ N(0, 1) (standard normalfordelt) (33) n nσ X i /n Y med Y N(µ, σ/ n) for store n (selv om X i ene ikke er normalfordelt) (34) Om X bin(n, p) erx Y der Y N ( np, ) np(1 p) for store n : P(a X b) P(a 1/2 Y b +1/2) (35) 6
7 3 STATISTISKE METODER 31 Generelle inisjoner: Definisjon Hvis X er en tilfeldig variabel er α fraktilen k α inert ved likningen P (X >k α )α ( eller P (X k α )1 α ) (36) Definisjon betyr fordelt som (feks betyr Z N(0, 1) at Z er standard normalfordelt) Definisjoner: Ved å bytte ut små med store bokstaver i inisjonene i avsnitt 1, Empiriske Statistiske Mål, for x og s ene i de empiriske formlene, får vi tilsvarende formler for tilfeldige variable (uobserverte verdier) Eksempel: S XX X 2 i nx2 32Tifeldig utvalg, en variabel (eller naturlige par) La X 1,X 2,,X n være uavhengige og identisk normalfordelte, X i N(µ, σ) 321 σ kjent Fordelinga til gjennomsnittet: X N(µ, σ/ n) (37) Z X µ n N(0, 1) (standard normalfordelt) (38) σ Anvendelse : (1 α) konfidensintervall for µ når σ er kjent: ( x zα/2 σ/ n, x + z α/2 σ/ n ) (39) der z α/2 betyr α/2 fraktilen til en standard normal fordeling 322 σ ukjent T X µ n Tn 1 (Students T-fordelt med n 1 frihetsgrader) (40) S Anvendelse (1) : (1 α) konfidensintervall for µ når σ er ukjent, og t α/2 betyr α/2 fraktilen til en Students T fordeling med (n 1) frihetsgrader: ( x tα/2 s/ n, x + t α/2 s/ n ) Anvendelse (2): Hypotesetesting av H 0 : µ µ 0 mot H 1 : µ>µ 0 på α nivået: Forkast H 0 om x>k µ 0 + t α s/ n (41) 323 χ 2 fordeling (Kji-kvadrat fordeling) S XX σ 2 (n 1)S 2 /σ 2 (X i X) 2 σ 2 χ 2 n 1 (χ2 ford, n 1 frihetsgrader) (42) 33 Tilfeldig utvalg, to variable (ikke naturlige par): La X 1,X 2,,X n være uavhengige og identisk normalfordelte, X i N(µ x,σ)ogy 1,Y 2,,Y m uavhengige og identisk normalfordelte, Y i N(µ y,σ) (Dvs samme standard avvik, men muligens forskjellige forventningsverdier): T (X Y ) (µ x µ y ) T n+m 2 (43) 1 S p n + 1 m (Students T-fordelt med n + m 2 frihetsgrader) SXX + S YY der S p n + m 2 (n 1)SX 2 +(m 1)S2 Y n + m 2 S X og S Y er de empiriske standardavvikene til hhv x-ene og y-ene 7
8 34 Lineær regresjonsmodell La (x 1,Y 1 ), (x 2,Y 2 ),(x n,y n ) være uavhengige par der vi antar Y ene stokastiske, og x ene under vår kontroll Vi har en lineær regresjonsmodell om vi gjør følgende antagelse: Y i α + βx i + e i der e i N(0,σ) eller ekvivalent at Y i N(α + βx i,σ) (44) α estimeres ved a, ogβ ved b, dera og b er som i inisjonene i avsnitt 13 Før observasjonene (som tilfeldige variable) bruker vi de store Y ene istedenfor de små, og kaller størrelsene A og B: 341 Fordelingsresultater: A N α, σ B N ( β, (B β) / T n 2 Se 2 sxx x 2 i ns xx ) σ sxx (45) der Se 2 S YY B 2 s xx (punktestimator for σ 2 ) n 2 Eksempel på anvendelse: Hypotesetesting av H 0 : β 0motH 1 : β 0 med signifikansnivå δ Vi bruker testobservatoren t: b t se/ 2 sxx Forkast H 0 om t>t δ/2 eller t< t δ/2 (der t δ/2 er δ/2 fraktilen i students T fordeling med n 2 frihetsgrader) 342 Konfidensintervall for regresjonslinjen a + bx t α/2 s e 1 (x x)2 +,a+ bx + t α/2 s e n s xx 1 (x x)2 + n s xx (46) der t α/2 er fraktilen i en Students t fordeling med n 2 frihetsgrader 343 Prediksjonsintervall a + bx t α/2 s e 1+ 1 n + (x x)2 s xx,a+ bx + t α/2 s e 1+ 1 n + (x x)2 s xx (47) der t α/2 er fraktilen i en Students t fordeling med n 2 frihetsgrader 8
9 35 Variansanalyse (ANOVA) 351 Enveis variansanalyse Datastruktur: Data Snitt Antall Gruppe 1 y 11,y 12,, y 1n1 y 1 n 1 Gruppe 2 y 21,y 22,, y 2n2 y 2 n 2 Gruppe g y k1,y k2,, y kng y g n g Total y n (48) Modell: Y ij µ i + e ij der e ij N(0,σ), e ij ene uavhengige Hypoteser: H 0 : µ 1 µ 2 µ g H 1 : Ikke alle µ i ene like Kvadratsummer: Variasjon Symbol Definisjon Utregning Frihetsgrader n g g n g g Total SS T (y ij y ) 2 yij 2 ny2 n 1 j1 n g g Mellom grupper SS G (y i y ) 2 j1 n g j1 g n i y 2 i ny 2 g 1 g Residual SS E (y ij y i ) 2 SS T SS G n g j1 (49) Varianser: S 2 G SS G g 1 S 2 E SS E n g (50) F observator: Det vil si at F er Fisher-fordelt med g 1ogn g frihetsgrader hvis H 0 er sann F S2 G SE 2, Hvis H 0 er sann er F F g 1,n g (51) Testprosedyre: Forkast H 0 for store verdier av observasjon av F 352 Toveis variansanalyse Antall grupper: g Antall blokker: b Antall elemnter i hvert felt r Antall observasjoner totalt: n g b r Datastruktur: Blokk 1 Blokk b Gruppesnitt Gruppe 1 y 111,,y 11r y 1b1,,y 1br y 1 Gruppe g y g11,,y g1r y gb1,,y gbr y g Blokksnitt y 1 y b y (52) Modell: Y ijk α + β i + β j + e ijk, i {1,,g}, j {1,,b}, k {1,,r} og e ijk N(0,σ), uavhengige g b β i 0, β j 0 (53) j1 9
10 Kvadratsummer: Variasjon Symbol Formel Frihetsgrader g b r Total SS T yijk 2 ny2 n 1 j1 k1 g Mellom grupper SS G br y 2 i ny2 g 1 b Mellom blokker SS B gr y 2 j ny 2 b 1 j1 Residual SS E SS T SS G SS B n b g +1 (54) 353 Hypotesetester Generelt F F r,s betyr at F er Fisherfordelt med r og s frihetsgrader Forkast H 0 for store verdier av observasjon av F Grupper H 0 : β 1 β 2 β g, Testobservator: F Blokker H 0 : β 1 β 2 β b, Testobservator: F 36 Ikke parametriske tester 361 Uparet Mann-Witney-Wilcoxon test Datastruktur : H 1 : Ikke alle β i ene er like SS G / (g 1) SS E / (n b g +1) Hvis H 0 er sann er F F g 1,n b g+1 (55) H 1 : Ikke alle β j ene er like SS B / (b 1) SS E / (n b g +1) Hvis H 0 er sann er F F b 1,n b g+1 (56) Gruppe 1 x 1 x 2 x n Gruppe 2 y 1 y 2 y m Definisjon av W : Sett opp alle dataene i en enkelt ordnet liste, og nummerer observasjonene i stigende rekkefølge W er summen av numrene som tilhører x er Hypoteser H 0 : x ỹ (medianene like) H 1 : x ỹ (medianene forskjellige) Testobservator Bruk W som testobservator Hvis fordelingen på observasjonene er like og n > 10 og m > 10 er W tilnærmet normalfordelt: n(n + m + 1) W X N(µ, σ), µ, σ 2 nm(n+m+1) 2 12 Er medianene (svært) ulike, er W vanligvis langt fra µ Ensidige tester: Er x (mye) større (hhv mindre) enn ỹ er W vanligvis større (hhv mindre) enn µ 362 Paret Wilcoxon test Datastruktur: {(x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),,(x n,y n )} Definisjon av W : Sett opp differensen x i y i i en enkelt liste ordnet etter tallverdiene x i y i,og nummerer observasjonene i stigende rekkefølge W er summen av numrene som tilhører positive verdier Hypoteser H 0 : x ỹ (medianene like) H 1 : x ỹ (medianene forskjellige) (57) 10
11 Testobservator Bruk W som testobservator Hvis fordelingen på observasjonene er like og n > 20 er W tilnærmet normalfordelt: n(n + 1) W X N(µ, σ), µ, σ 2 n(n + 1)(2n + 1) 4 24 Er medianene (svært) ulike, er W vanligvis langt fra µ (58) 37 χ 2 -tester (kjikvadrattester) 371 Krysstabeller- Test av uavhengighet En oppdeling av utfallsrommet S i hendelser A 1,A 2,A r kalles en partisjon hvis A 1 A2 Ar S og A i Aj når i j La A 1,A 2,A r og B 1,B 2,B k være partisjoner av S Da sier vi partisjonene er uavhengige hvis P ( A i Bj ) P(Ai) P(B j) for alle par A i,b j Hypoteser H 0 : Partisjonene A 1,A 2,A r og B 1,B 2,B k er uavhengige H 1 : Partisjonene A 1,A 2,A r og B 1,B 2,B k er avhengige Vi skal foreta n observasjoner av uavhengige gjentagelser, og telle opp antall resultater i hver mengde A i Bj, og kalle dette tallet X ij Summen av antall observasjoner i A i kalles R i,ogsummenavantallobservasjonerib j kalles K jhvish 0 er sann er E ij R i K j/n forventet antall observasjoner i A i Bj Definer: Q r j1 k (X ij E ij ) 2 E ij (59) Hvis alle E ij 5ogH 0 er sann er Q tilnærmet χ 2 (r 1)(k 1), χ2 fordelt med (r 1)(k 1) frihetsgrader Forkast H 0 for store verdier av Q (60) 372 Modelltest Tester om et datasett med n verdier passer til en fordelingstype (feks normalfordeling) der vi må estimerer parametre (feks µ og σ, r 2) fra dataene: H Hypoteser 0 : Dataene passer til en fordeling fra en familie med r ukjente parametre H 1 : Dataene passer ikke til denne fordelingstypen Del den reelle aksen inn i k intervaller [x i 1,x i](derx 0 og x k ), og regn ut p i P(x i 1 X i <x i) (fra fordelingen med de estimerte dataene) Definer E i n p i,oglax i være antall observasjoner i intervallet [x i 1,x i ] Definer: Q k (X i E i ) 2 E i (61) Hvis alle E i 5ogH 0 er sann er Q tilnærmet χ 2 k r 1, χ2 fordelt med k r 1 frihetsgrader Forkast H 0 for store verdier av Q (62) 11
12 4 Tabeller 41 Kumulativ normalfordeling Φ(z) z 1 Φ(z) P (Z z) e x2 /2 dx 2π For z<0brukatφ( z) 1 Φ(z) der Z N(0, 1) (standard normalfordelt) z, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 0 0, , , , , , , , , , , 1 0, , , , , , , , , , , 2 0, , , , , , , , , , , 3 0, , , , , , , , , , , 4 0, , , , , , , , , , , 5 0, , , , , , , , , , , 6 0, , , , , , , , , , , 7 0, , , , , , , , , , , 8 0, , , , , , , , , , , 9 0, , , , , , , , , , , 0 0, , , , , , , , , , , 1 0, , , , , , , , , , , 2 0, , , , , , , , , , , 3 0, , , , , , , , , , , 4 0, , , , , , , , , , , 5 0, , , , , , , , , , , 6 0, , , , , , , , , , , 7 0, , , , , , , , , , , 8 0, , , , , , , , , , , 9 0, , , , , , , , , , , 0 0, , , , , , , , , , , 1 0, , , , , , , , , , , 2 0, , , , , , , , , , , 3 0, , , , , , , , , , , 4 0, , , , , , , , , , , 5 0, , , , , , , , , , , 6 0, , , , , , , , , , , 7 0, , , , , , , , , , , 8 0, , , , , , , , , , , 9 0, , , , , , , , , , 9986 z 3, 0 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 3, 7 3, 8 3, 9 Φ(z) 0, , , , , , , , , , Fraktiler, normalfordeling Tabell over z α,gittved P(Z>z α )α der Z N(0, 1) (standard normalfordelt) α 0, , , , , , , , , α% 10% 5% 2, 5% 1% 0, 5% 0, 1% 0, 05% 0, 01% 0, 005% z α 1, 282 1, 645 1, 960 2, 326 2, 576 3, 091 3, 291 3, 719 3, 891 For nedre fraktil, P(Z >z 1 α) 1 α, brukatz 1 α z α For tosidige tester og intervaller brukes at P( z α/2 Z z α/2 )1 α 12
13 43 Student T fordeling, fraktiltabell Tabell over t α,gittvedp(t>t α )α der T T ν DetvilsiT er Students T-fordelt med ν frihetsgrader ν α 0, , , , , , , ,078 6,314 12,706 31,821 63, , , ,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 31, ,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,215 12, ,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8, ,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6, ,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5, ,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5, ,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5, ,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4, ,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4, ,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4, ,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4, ,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4, ,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4, ,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4, ,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4, ,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3, ,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 3, ,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3, ,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3, ,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3, ,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3, ,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3, ,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3, ,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3, ,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3, ,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3, ,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3, ,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3, ,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3, ,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3, ,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3,261 3, ,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3, ,294 1,667 1,994 2,381 2,648 3,211 3, ,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,195 3, ,290 1,660 1,984 2,364 2,626 3,174 3, ,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,160 3,373 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,091 3,291 For store ν bruker vi at Students t-fordeling er tilnærmet standard normalfordelt Fraktilene til standard normalfordeling er i tabellen plassert som ν 13
14 44 χ 2 fordeling, fraktiltabell Tabell over k α,gittvedp(x>k α )α der X χ 2 ν Det vil si X er χ 2 fordelt med ν frihetsgrader ν α ,000 0,000 0,001 0,004 3,84 5,02 6,63 7,88 2 0,010 0,020 0,051 0,103 5,99 7,38 9,21 10,60 3 0,072 0,115 0,216 0,352 7,82 9,35 11,34 12,84 4 0,207 0,297 0,484 0,711 9,49 11,14 13,28 14,86 5 0,412 0,554 0,831 1,15 11,07 12,83 15,09 16,75 6 0,676 0,872 1,24 1,64 12,59 14,45 16,81 18,55 7 0,99 1,24 1,69 2,17 14,07 16,01 18,48 20,28 8 1,34 1,65 2,18 2,73 15,51 17,53 20,09 21,95 9 1,74 2,09 2,70 3,33 16,92 19,02 21,67 23, ,16 2,56 3,25 3,94 18,31 20,48 23,21 25, ,60 3,05 3,82 4,58 19,68 21,92 24,72 26, ,07 3,57 4,40 5,23 21,03 23,34 26,22 28, ,57 4,11 5,01 5,89 22,36 24,74 27,69 29, ,08 4,66 5,63 6,57 23,68 26,12 29,14 31, ,60 5,23 6,26 7,26 25,00 27,49 30,58 32, ,14 5,81 6,91 7,96 26,30 28,85 32,00 34, ,70 6,41 7,56 8,67 27,59 30,19 33,41 35, ,27 7,02 8,23 9,39 28,87 31,53 34,81 37, ,84 7,63 8,91 10,12 30,14 32,85 36,19 38, ,43 8,26 9,59 10,85 31,41 34,17 37,57 40, ,03 8,90 10,28 11,59 32,67 35,48 38,93 41, ,64 9,54 10,98 12,34 33,92 36,78 40,29 42, ,26 10,20 11,69 13,09 35,17 38,08 41,64 44, ,89 10,86 12,40 13,85 36,42 39,36 42,98 45, ,52 11,52 13,12 14,61 37,65 40,65 44,31 46, ,16 12,20 13,84 15,38 38,89 41,92 45,64 48, ,81 12,88 14,57 16,15 40,11 43,19 46,96 49, ,46 13,56 15,31 16,93 41,34 44,46 48,28 50, ,12 14,26 16,05 17,71 42,56 45,72 49,59 52, ,79 14,95 16,79 18,49 43,77 46,98 50,89 53, ,71 22,16 24,43 26,51 55,76 59,34 63,69 66, ,99 29,71 32,36 34,76 67,50 71,42 76,15 79, ,53 37,48 40,48 43,19 79,08 83,30 88,38 91, ,28 45,44 48,76 51,74 90,53 95,02 100,4 104, ,17 53,54 57,15 60,39 101,9 106,6 112,3 116, ,20 61,75 65,65 69,13 113,1 118,1 124,1 128, ,33 70,06 74,22 77,93 124,3 129,6 135,8 140,2 For store ν kan vi bruke at sentralgrenseteoremet gir at X N(ν, 2ν), slik at k α ν + 2ν z α 14
15 45 Fishers F fordeling, fraktiltabell Tabell over k α,gittvedp(f>k α )α der F F r,s,dvsf er Fisher fordelt med r og s frihetsgrader r er antall frihetsgrader i teller, i første rad, s er antall frihetsgrader i nevner, i første kolonne 451 α 005 (ogα 095 ) s \ r ,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,5 19,5 3 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,85 8,79 8,70 8,63 8,58 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,96 5,86 5,77 5,70 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,82 4,74 4,62 4,52 4,44 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,06 3,94 3,83 3,75 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,73 3,64 3,51 3,40 3,32 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,35 3,22 3,11 3,02 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,23 3,14 3,01 2,89 2, ,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,98 2,85 2,73 2, ,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,0 2,85 2,75 2,62 2,50 2, ,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,64 2,54 2,40 2,28 2, ,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,45 2,35 2,20 2,07 1, ,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,13 2,03 1,87 1,73 1, ,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,03 1,93 1,77 1,62 1,48 For α 095 bruk at k 095 1/l 005 der l 005 er fraktilen for F fordeling med s og r frihetsgrader (omvendt rekkefølge på frihetsgradene) 452 α 001 (og α 099) s \ r ,5 99,0 99,2 99,2 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,5 99,5 3 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,5 27,2 26,9 26,6 26,4 4 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 14,8 14,5 14,2 13,9 13,7 5 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,3 10,1 9,72 9,45 9, ,7 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,10 7,87 7,56 7,30 7, ,2 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,84 6,62 6,31 6,06 5, ,3 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,03 5,81 5,52 5,26 5, ,6 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,47 5,26 4,96 4,71 4, ,0 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,06 4,85 4,56 4,31 4, ,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,50 4,30 4,01 3,76 3, ,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,0 3,80 3,52 3,28 3, ,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,56 3,37 3,09 2,84 2, ,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 2,89 2,70 2,42 2,17 1, ,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,69 2,50 2,22 1,97 1,74 For α 099 bruk at k 099 1/l 001 der l 001 er fraktilen for F fordeling med s og r frihetsgrader (omvendt rekkefølge på frihetsgradene) 15
FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG
FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Versjon per 18. februar 2004 Innhold 1 EMPIRISKE STATISTISKE MÅL 1 1.1 Forventningsverdi, varians og standardavvik.....................
DetaljerFORMELSAMLING STATISTIKK, HiG
Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Versjon fra mai 2007 FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no ISSN:??????? Innledning. Denne formelsamlingen er skrevet for bruk
DetaljerHøgskolen i Telemark. Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING Statistikk I. Til bruk ved eksamen. Per Chr. Hagen
Høgskolen i Telemark Institutt for økonomi og informatikk FORMELSAMLING 6005 Statistikk I Til bruk ved eksamen Per Chr. Hagen . Sannsynlighetsregning. Regneregler Komplementsetningen: Addisjonssetningen:
DetaljerKapittel 2: Hendelser
Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA1081 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: Ingeniørklasser. TID: kl. 9.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: HIS 05 08. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside)
DetaljerFormelsamling i medisinsk statistikk
Formelsamling i medisinsk statistikk Versjon av 6. mai 208 Dette er en formelsamling til O. O. Aalen (red.): Statistiske metoder i medisin og helsefag, Gyldendal, 208. Gjennomsnitt x = n (x + x 2 + x 3
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 1. juni 2010. KLASSE: HIS 08 11. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl. forside)
DetaljerOppfriskning av blokk 1 i TMA4240
Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 11. november 2017) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,..., B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
Detaljer1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m
Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a
DetaljerObservatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter
Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerDEL 1 GRUNNLEGGENDE STATISTIKK
INNHOLD 1 INNLEDNING 15 1.1 Parallelle verdener........................... 18 1.2 Telle gunstige.............................. 20 1.3 Regneverktøy og webstøtte....................... 22 1.4 Oppgaver................................
DetaljerSFB LØSNING PÅ EKSAMEN HØSTEN 2018
SFB107111 - LØSNING PÅ EKSAMEN HØSTEN 018 Eksamen høsten 018 Oppgave 1 Anta at 70% av studentene spiller fotball og at 0% ikke spiller fotball. Anta at av de som spiller fotball så er det 40% som spiller
DetaljerBernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling
Bernoulli forsøksrekke og binomisk fordeling Bernoulli forsøksrekke i) gjentar et forsøk n ganger ii) hvert forsøk gir enten suksess eller fiasko iii) sannsynligheten for suksess er p i alle forsøkene
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
HØGSKOLEN I STAVANGER Avdeling for TEKNISK NATURVITEN- EKSAMEN I: TE199 SANNSYNLIGHETSREGNING MED STATISTIKK SKAPELIGE FAG VARIGHET: 4 TIMER DATO: 5. JUNI 2003 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR OPPGAVESETTET
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerLøsningsforslag, eksamen statistikk, juni 2015
Løsningsforslag, eksamen statistikk, juni 0 Oppgave 1 Siden det spørres om tall fra et intervall, som oppgaven viser kan være et reelle, er det tydelig at tallene er tatt fra en kontinuerlig fordeling.
DetaljerLøsning eksamen desember 2016
Løsning eksamen desember 016 Oppgave 1 a) En drone har to uavhengige motorer. Vi innfører hendelsene A: motor 1 svikter B: motor svikter Dronen er avhengig av at begge virker, slik at sannsynligheten for
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
I dag I dag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve 3 a og b (inkl SME) Om eksamen (Truleg) 10 punkt.
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
Plan vidare Onsdag Gjere ferdig kap 11 + repetisjon Fredag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve
DetaljerForelesing 27 Oppsummering. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU
Forelesing 27 Oppsummering Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU 18.04.2018 I dag Lineær regresjon (sjekk av modellantagelser) Praktisk informasjon Andre statistikk-kurs Oversikt over
DetaljerFormelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal
Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
DetaljerEKSAMEN. Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA 1081F REA1081) EKSAMENSDATO: 1. juni 2010. KLASSE: Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg. TID: kl. 9.00 12.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL
DetaljerKapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering
Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett
DetaljerOppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.
Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerLøsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010
Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100
DetaljerGammafordelingen og χ 2 -fordelingen
Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafunksjonen Gammafunksjonen er en funksjon som brukes ofte i sannsynlighetsregning. I mange fordelinger dukker den opp i konstantleddet. Hvis man plotter n-fakultet
DetaljerLøsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002
Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]
DetaljerLøsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår
Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2008
TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har
DetaljerLØSNINGSFORSLAG ) = Dvs
LØSNINGSFORSLAG 12 OPPGAVE 1 D j er differansen mellom måling j med metode A og metode B. D j N(µ D, 0.1 2 ). H 0 : µ D = 0 mot alternativet H 1 : µ D > 0. Vi forkaster om ˆµ D > k Under H 0 er ˆµ D =
DetaljerOppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i:
MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 010, s 1 Oppgave 1 a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA) Modell for y ij ekspedisjonstid nr j for skrankeansatt nr i: Y ij µ i + ε ij,
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 24. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren
DetaljerA) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.
Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:
DetaljerStatistikk og dataanalyse
Njål Foldnes, Steffen Grønneberg og Gudmund Horn Hermansen Statistikk og dataanalyse En moderne innføring Kapitteloversikt del 1 INTRODUKSJON TIL STATISTIKK Kapittel 1 Populasjon og utvalg 19 Kapittel
DetaljerEKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 Ei bedrift produserer elektriske komponentar. Komponentane kan ha to typar
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Tlf: Eksamensdato: august 2015 Eksamenstid (fra til): Hjelpemiddelkode/Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: 4 timer. Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
EKSAMEN Emnekode: SFB107111 Emnenavn: Metode 1, statistikk deleksamen Dato: 16. mai 2017 Hjelpemidler: Godkjent kalkulator og vedlagt formelsamling m/tabeller Eksamenstid: 4 timer Faglærer: Hans Kristian
DetaljerInnhold. Innledning. Del I
Del I Innledning 1 Hva er statistikk?... 19 1.1 Bokas innhold 20 1.1.1 Noen eksempler 20 1.1.2 Historie 23 1.1.3 Bokas oppbygning 25 1.2 Noen viktige begreper 26 1.2.1 Populasjon og utvalg 26 1.2.2 Variasjon
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 16. juni 2009. KLASSE: HIS 07 10. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 innkl. forside)
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2007
TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,
DetaljerTo-dimensjonale kontinuerlige fordelinger
To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger Noen resultater for diskrete fordelinger Vi har tidligere definert punktsannsynligheten p(x, y) for en todimensjonal variabel (X, Y ) som p(x, y) = P ({X = x}
DetaljerNormal- og eksponentialfordeling.
Ukeoppgaver i Statistikk, uke 8 : Normal- og eksponentialfordeling. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 8 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt
DetaljerLøsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007
Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren
DetaljerEmnenavn: Deleksamen i Statistikk. Eksamenstid: Faglærer: Tore August Kro. Oppgaven er kontrollert:
EKSAMEN Emnekode: IRB22515, IRBIO22013, IRE22518, IRM23116 Emnenavn: Deleksamen i Statistikk Dato: Sensurfrist: 03.01.19 24.01.19 Eksamenstid: 09.00 12.00 Antall oppgavesider: 6 Antall vedleggsider: 9
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
DetaljerEKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Statistikk. FAGNUMMER: Rea 1082 EKSAMENSDATO: 14. mai 2009. KLASSE: Ing. TID: kl. 9.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl. forside) TILLATTE
DetaljerRegler i statistikk STAT 100
TORIL FJELDAAS RYGG - VÅREN 2010 Regler i statistikk STAT 100 Innhold side Sannsynlighetsregning 3 - Uttrykk 3 - Betinget sannsynlighet 4 - Regler for sannsynlighet 4 - Bayes teorem 4 - Uavhengige begivenheter
DetaljerKap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar
Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar
DetaljerHøgskoleni østfold EKSAMEN
et) Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode:Emne: SFB10711Metode 1 Statistikkdel Dato: 5. feb. 2016Eksamenstid: kl. 1400 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling til kl. 1800 Faglærer: Nils Ingar Arvidsen
DetaljerHØGSKOLEN I STAVANGER
EKSAMEN I: MOT0 STATISTISKE METODER VARIGHET: TIMER DATO:. NOVEMBER 00 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV OPPGAVER PÅ 7 SIDER HØGSKOLEN
DetaljerHøgskoleni Øs fold EKSAMEN. Om noe er uklart eller mangelfullt i oppgaven inngår det som en del av oppgaven å ta de nødvendige forutsetninger.
Høgskoleni Øs fold EKSAMEN Emnekode: Emne: SFB10711 Metodekurs 1: Grunnleggende matematikk og statistikk Deleksameni statistikk Dato: 3. januar 2014 Eksamenstid: kl. 0900 til kl. 1300 Hjelpemidler: Faglærer:
DetaljerKap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar
Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform I går Normal I går Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Nokre eigenskapar
DetaljerEKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 10. juni Ingeniørutdanning. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. Rea181 EKSAMENSDATO: 1. juni 28 KLASSE: Ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl.
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1110 FASIT. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerSTK Oppsummering
STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b5 Løsningsskisse Oppgave 1 Vi ønsker å finne ut om et nytt serum kan stanse leukemi.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: STK Sannsynlighetsregning og statistisk modellering Eksamensdag: Mandag 4. mars 26 Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er
DetaljerForventning og varians.
Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.1) Forventningsverdi = gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: x xf(x),x
DetaljerInferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"
Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.
DetaljerLøsning eksamen desember 2017
Løsning eksamen desember 017 Oppgave 1 Innfører hendelsene D: enheten er defekt K: enheten blir kassert a i Disse sannsynlighetene kan leses ut av oppgaveteksten: P D = 0, 10 P K D = 0, 07 P K D = 0, 95
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Oppgave 1 En bedrift produserer en type medisin i pulverform Medisinen selges på flasker
DetaljerKontinuerlige sannsynlighetsfordelinger.
Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger. Dekkes av kap. 6 og deler av kap. 8.5 i boka. Husk: f(x) er sannsynlighetstettheten til en kontinuerlig X dersom: 1. f(x) 0 for alle x R 2. f(x)dx =1 3. P (a
DetaljerÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3
ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlege stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynstettleik
DetaljerHogskoleni Østfold EKSAMEN. Eksamenstid: kl til k
Hogskoleni Østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 5. jan 2015 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metodekurs I: Grunnleggende matematikk og statistikk (Statistikk, ny og utsatt eksamen)
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 / TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato: 10. august 2017 Eksamenstid (fra til): 09.00-13.00
DetaljerForelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable
Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med
DetaljerFormelsamling V MAT110 Statistikk 1. Per Kristian Rekdal
Formelsamling V-2016 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal Figur 1: Statistikk. 3 Innhold 1 Beskrivende statistikk 9 1.1 Populasjon og utvalg.................................. 9 1.2 Statistiske mål
DetaljerObservatorar og utvalsfordeling. Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU
Observatorar og utvalsfordeling Torstein Fjeldstad Institutt for matematiske fag, NTNU 08.10.2018 I dag Til no i emnet Observatorar Utvalsfordelingar Sentralgrenseteoremet 2 Til no i emnet definisjon av
DetaljerHypotesetesting av λ og p. p verdi.
Forelesning 7, kapittel 6 Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Det som gjøres i denne forelesningen er nær opptil det vi gjorde da vi konstruerte z test for µ, og styrkefunksjon for denne. I tillegg til
DetaljerEKSAMEN. Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg m.fl.
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA 1081 og REA1081F EKSAMENSDATO: 1. juni 2011. KLASSE: Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg m.fl. TID: kl. 9.00 12.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs
DetaljerLøsningsforslag til oppgaver brukt i STA100
Universitetet i Stavanger Løsningsforslag til oppgaver brukt i STA100 Oppgave 1 a) Populasjonen er alle studenter ved Universitetet i Stavanger, og utvalget er de (ca 100) studentene hun velger ut i undersøkelsen
DetaljerForelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen. Jo Thori Lind
Forelesning 5: Kontinuerlige fordelinger, normalfordelingen Jo Thori Lind j.t.lind@econ.uio.no Oversikt 1. Kontinuerlige fordelinger 2. Uniform fordeling 3. Normal-fordelingen 1. Kontinuerlige fordelinger
DetaljerTyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4
3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF
DetaljerKap. 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar
Kapittel 6, Kontinuerlege Sannsynsfordelingar Sjå på eit utval av ofte brukte kontinuerlege sannsynsfordelingar Uniform Onsdag Normal Onsdag Eksponensial I dag Gamma I dag Kji-kvadrat I dag Student-T (Kap
DetaljerMedisinsk statistikk Del I høsten 2009:
Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Pål Romundstad Beregning av sannsynlighet i en binomisk forsøksrekke generelt Sannsynligheten for at suksess intreffer X
DetaljerForventning og varians.
Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.) Forventningsverdi gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: E(X) f(),x diskret
DetaljerSTK1100 våren Normalfordelingen. Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger
STK00 våren 206 Normalfordelingen Svarer til avsnitt 4.3 i læreboka Geir Storvik Matematisk institutt Universitetet i Oslo Normalfordelingen er den viktigste av alle sannsynlighetsfordelinger Normalfordelingen
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis
DetaljerEksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i TMA4240 Statistikk Fagleg kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerEksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Sara Martino a, Torstein Fjeldstad b Tlf: a 994 03 330, b 962 09 710 Eksamensdato: 28. november 2018 Eksamenstid
DetaljerSTK Oppsummering
STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer
DetaljerEmnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard
Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emnenavn: Metodekurs 1: statistikk, deleksamen Dato: Eksamenstid: 4. januar 2017 4 timer Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling m/tabeller Faglærer:
DetaljerEKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs
KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. BtG27 EKSAMENSDATO: 11. juni 28 KLASSE: HiS 6-9 Jørstadmoen. TID: kl. 8. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.
DetaljerTMA4245 Statistikk. Innlevering 3. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag
TMA4245 Statistikk Vår 2017 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Innlevering 3 Dette er den første av to innleveringer i blokk 2 Denne øvingen skal oppsummere pensum
DetaljerEksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Fagleg kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (frå til): 09:00
Detaljer