FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG"

Transkript

1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for ingeniørfag Versjon fra mai 2007 FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Hans Petter Hornæs ISSN:???????

2 Innledning. Denne formelsamlingen er skrevet for bruk i flere statistikkfag ved Høgskolen i Gjøvik. Den vil være tillatt brukt ved eksamener (hvis emnebeskrivelsen tillater det), og vil også bli brukt som referanse i forelesninger, oppgaver og løsningsforslag. Denbrukes(fortiden) sammenmedlærebokaløvås: Statistikk for universiteter og høgskoler [2]. Under utarbeidelsen har jeg også brukt Larsen & Marx: An Introduction to Mathematical Statistics and its Application, [1]. Dataprogrammet Maple [3] er brukt som hjelpemiddel til å lage tabellene. Formelsamlinga er med hensikt ikke fullstendig. For eksempel inneholder den testprosedyrer for hypotesetester av parameteren µ i envariabel normalfordelingsmodell (både z test med kjent σ og t test med ukjent σ). For modeller for hypotesetesting og konfidensintervaller for σ, uparet tovariabelmodell og lineær regresjonsmodell er bare et fordelingsresultat som kan brukes til å konstruere tilsvarende tester og intervaller tatt med. Dette er fordi det er med i pensum å kunne gå fra fordelingsresultat til hypotesetest eller konfidensintervall. Da dette ikke er med i klartekst kan det lages (eksamens)oppgaver av denne typen som ikke er altfor vanskelige. I denne utgaven er formler som ikke er pensum i noen av de eksisterende statistikkursene ved HiG fjernet. Det er imidlertid mye som bare er pensum i spesielle kurs. For eksempel er variansanalyse (kap. 4.3), kjikvadrattester (kap. 4.4), Fishers F -fordeling (kap ) og fraktiltabellen for denne (kap. 5.5) ikke pensum i de fleste kursene. Notasjonen avviker i en del situasjoner fra læreboka [2], og er da stort sett som i [1]. Dette gjelder for eksempel symbolbruken s xx, s yy og s xy (bl.a. i kap. 1), da det er hensiktsmessig åbrukes x og s y som notasjon for empirisk standardavvik for variabler med navn x og y. Det gjelder også φ og Φ for sannsynlighetstetthet og sannsynlighetsfunksjon for standard normalfordeling, læreboka bruker henholdsvis g og G. Jeg mener det er hensiktsmessig å ha et symbol som klart skiller seg fra andre funksjoner for dette viktige spesilatilfellet. Dessuten er notasjonen φ og Φ mest brukt i internasjonal litteratur.

3 Innhold 1 EMPIRISKE STATISTISKE MÅL Forventningsverdi, varians og standardavvik Grupperte data Ordnede data, median og kvartiler Regresjon SANNSYNLIGHETSREGNING Definisjon av sannsynlighet - Kolmogoroffs aksiomer Kombinatorikk Diskrete sannsynlighetsfordelinger Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Forventningsverdi og varians Regneregler for forventningsverdi og varians Samvariasjon Sentralgrenseteoremet STATISTISKE METODER, en variabel Generelle inisjoner Fordelingsresultat for slutninger om µ (en variabel eller paret modell) Fordelingsresultat for slutninger om σ STATISTISKE METODER, modeller med flere variable Tilfeldig utvalg, to variable (Uparet modell): Lineær regresjonsmodell Variansanalyse (ANOVA) χ 2 -tester (kjikvadrattester) TABELLER Kumulativ normalfordeling Φ(z) Fraktiler, normalfordeling Student T fordeling, fraktiltabell χ 2 fordeling, fraktiltabell Fishers F fordeling, fraktiltabell

4 1 EMPIRISKE STATISTISKE MÅL 1.1 Forventningsverdi, varians og standardavvik La x {x 1,x 2,... x n } være et datasett av (reelle) tall: Beliggenhetsmål: Empirisk forventningsverdi (gjennomsnitt): x x 1 + x x n n Definisjon av noen hjelpestørrelser: 1 n n x i (1) s xx n x 2 i n x2 n (x i x) 2 s yy n y 2 i n y2 n (y i y) 2 (2) s xy n x i y i n x y n (x i x)(y i y) Spredningsmål: Empirisk varians og standardavvik Empirisk varians s 2 er gitt ved: s 2 Var(x) n (x i x) 2 n 1 s xx (n 1) (3) Empirisk standardavvik s er gitt ved: 1.2 Grupperte data s Var(x) (4) Hvis det er flere observasjoner av hver verdi kan observasjonene organiseres i en frekvenstabell. La y i for i {1, 2,...,k} være verdiene som finnes blant de n observasjonene. Antall observasjoner av y i kalles frekvensen, betegnet F i. Andel observasjoner av y i kalles den relative frekvensen, betegnet f i.daerf i F i /n. Med utgangspunkt i at verdiene y 1,y 2,...,y k, n og frekvensene (og dermed de relative frekvensene) er kjent, får vi følgende formler: Gjennomsnitt, grupperte data x k y i f i (5) Varians, grupperte data k s 2 (y i x) 2 F i n 1 Standardavviket er fortsatt s s 2. n ( k ) yi 2 f i (x) 2 n 1 (6) 1

5 1.3 Ordnede data, median og kvartiler La x {x [1],x [2],... x [n] } være et datasett av (reelle) tall ordnet i stigende rekkefølge: Beliggenhetsmål: Median Medianen x (også benevnt md eller q 2, midterste verdi) : x x [(n+1)/2] n oddetall ) x 1 2 (x [n/2] + x [(n/2)+1] n partall (7) Spredningsmål: Kvartilavstand Nedre kvartil q 1 avgrenser nedre fjerdedel, mens øvre kvartil q 3 avgrenser øvre fjerdedel av de ordnede dataene. (Mer presist, inert som i matematikkprogrammet Maple, inisjonen kan variere noe mellom forskjellige bøker eller kalkulatorer): s q 1 q 3 n 4k n/4 x [s] x [n s] 3 n 4k +1 (n 1)/4 4 x [s] x [s+1] 1 n 4k +2 (n 2)/4 2 x [s] x [s+1] 1 n 4k +3 (n 3)/4 4 x [s] x [s+1] 1 4 x [n s 1] x [n s] 1 2 x [n s 1] x [n s] 3 4 x [n s 1] x [n s] (8) 1.4 Regresjon Kvartilavstand: q 3 q 1 (9) Tilpasning av n tallpar { (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ),...(x n,y n ) } til linja y a + bx: Stigning: Konstant: Empirisk korrelasjon: b a r s xy s xx y bx (10) s xy sxx syy 2

6 2 SANNSYNLIGHETSREGNING 2.1 Definisjon av sannsynlighet - Kolmogoroffs aksiomer a) 0 P(A) 1 b) P(S) 1 c) P( A i ) P(A i ) hvis i j A i A j Noen umiddelbare konsekvenser av Kolmogoroffs aksiomer a) P(A B) P(A)+P(B) hvis A B b) P(A B) P(A)+P(B) P(A B) c) P(A) 1 P(A) d) P( ) 0 (11) (12) Betinget sannsynlighet P(A B) P(A B)/P(B) (13) Dette gir at P(A B) P(A B)P(B) ogp(a B) P(A)P(B A) Uavhengighet Hendelsene A og B kalles uavhengige P(A B) P(A)P(B) (14) Dette er det samme som at P(A B) P(A), og også det samme som at P(B A) P(B). 2.2 Kombinatorikk Multiplikasjonsprinsippet En operasjon utføres i n etapper. I i te etappe er det N i mulige utfall. Da er det totale antall mulige utfall N 1 N 2 N 3 N n (15) Fakultet og binomialkoeffisienter Fakultet n! ( ) N Binomialkoeffisienter n ( ) N Binomialkoeff., alternativ n For n 0 inerer vi 0! n (n 1) (n 2) N! (N n)! n! N (N 1) (N 2) (N n +1) n (n 1) (n 2) 3 2 1, (16) ( ) N 1 (17) 0 3

7 2.2.3 Antall kombinasjoner Urnemodell: Trekker n kuler fra en urne med totalt N kuler. Antall måter å gjøre dette på: Ordnet utvalg Ikke ordnet utvalg Med tilbakelegging N n (Ikke pensum) ( ) (18) N Uten tilbakelegging N (N 1) (N 2) (N n +1) n 2.3 Diskrete sannsynlighetsfordelinger Generelt a) Kumulativ sanns.fordeling F (x) b) Punktsannsynlighet f(x) c) Forventningsverdi µ E(X) d) Varians Var(X) P(X x) P(X x) P(X x) alle x P(X x) alle x Alternativ formel Var(X) P(X x) µ 2 alle x e) Standardavvik σ Var(X) (19) Binomisk fordeling X bin(n, p) Parametrene p og n er konstanter, der 0 p 1ogn et naturlig tall, hvis X har punktsannsynlighet ( ) n f(x) p x (1 p) n x x {0, 1, 2,...,n} (20) x Bruk: Gjentar samme forsøk n ganger, p er sannsynligheten for gunstig utfall i hvert enkelt forsøk, og X er antall gunstige utfall i forsøksrekken. For eksempel X er antall seksere i n terningkast. Da er p 1/6. Forventningsverdi E(X) np Varians Var(X) np(1 p) Standardavvik σ np(1 p) (21) 4

8 2.3.3 Poissonfordeling X po(λ t) (Parameteren λ t>0 er en konstant) hvis X har punktsannsynlighet (λ t)x f(x) e λ t x {0, 1, 2,...} (22) x! Bruk: X er antall ulykker i et tidsintervall med lengde t (konstant ulykkesrisiko, forventet antall ulykker per tidsenhet er λ). Forventningsverdi E(X) λ t Varians Var(X) λ t (23) Hypergeometrisk fordeling X hyp(n,m,n) (dern n>0, M N er naturlige tall) hvis X har punktsannsynlighet ( M )( N M ) x n x f(x) ( N x {0, 1, 2,...,n} (24) n) Bruk i urnemodell: Trekker n kuler uten tilbakelegging. Antall gunstige kuler er M og antall kuler totalt er N. X er antall gunstige kuler i utvalget. Ved å innføre p M/N, (p er andelen gunstige kuler ) har vi: Forventningsverdi E(X) np Varians Var(X) N n N 1 np(1 p) (25) 2.4 Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Generelt a) Kumulativ sanns.fordeling F (x) b) Sannsynlighetstetthet f(x) c) Forventningsverdi µ E(X) d) Varians Var(X) P(X x) Alternativ formel Var(X) e) Standardavvik σ d dx F (x) xf(x) dx (x µ) 2 f(x) dx x 2 f(x) dx µ 2 Var(X) (26) 5

9 2.4.2 Eksponentialfordeling T exp(λ) (λ>0 en konstant) hvis T har sannsynlighetstetthet og kummulativ sannsynighetsfordeling gitt ved f(t) λe λt for t 0, (f(t) 0fort<0) F (t) t 0 λe λτ dτ 1 e λt for t 0, (F (t) 0fort<0) Bruk: T er tid fram til neste ulykke (konstant ulykkesrisiko, samme forutsetninger som for Poissonfordeling) Normalfordeling (27) Forventningsverdi E(X) 1/λ Varians Var(X) 1/λ 2 (28) En stokastisk variabel Z kalles standard normalfordelt, Z N(0, 1), om sannsynlighetstettheten er f(z) φ(z) 1 e 1 2 z2, ( <z< ) (29) 2π For standard normalfordeling betegnes den kumulative sannsynlighettstettheten Φ(z). Om Z N(0, 1), og µ, σ er konstanter, kalles fordelinga til normalfordeling med parametre µ og σ, med notasjon X σz + µ (der µ R og σ>0 ) (30) X N(µ, σ). Kumulativ sanns.fordeling F (x) ( ) x µ Φ σ Forventningsverdi E(X) µ Varians Var(X) σ 2 Tabell over sannsynligheter og fraktiler i standard normalfordeling er på side15 (31) χ 2 fordeling Hvis Z 1,...,Z n er uavhengige og standard normalfordelt inerer vi fordelinga til n X Zi 2 (32) som en χ 2 fordeling med parameter ν n frihetsgrader, X χ 2 ν Hvis X 1,...,X n er uavhengige og N(µ, σ) fordelt, og X n X i /n, har ( ) n 2 Xi X X χ 2 fordeling med ν n 1 frihetsgrader (33) σ Forventningsverdi E(X) ν Varians Var(X) 2ν χ 2 fordeling brukes ved undersøkelse av varianser, ved tester om stokastisk avhengighet (sammenheng) og om hvorvidt et datasett passer til en gitt fordelingstype (avsnitt 4.4). Fraktiltabell for χ 2 fordeling er på side (34)

10 2.4.5 Students t fordeling Hvis Z er standard normalfordelt og X er χ 2 fordelt med ν frihetsgrader, Z og X uavhengige, kalles fordelingen til T Z (35) X/ν Students t fordeling med parameter ν frihetsgrader, t T ν Anta X 1,...,X n er uavhengige og N(µ, σ) fordelt. ( n n ) Hvis X X i /n og S Xi 2 nx 2 /(n 1) gjelder: T X µ S/ n er Students t-fordelt med ν n 1 frihetsgrader (36) Students t-fordeling brukes ved slutninger om forventningsverdier når standardavviket er ukjent. Fraktiltabell for Students t fordeling er på side Fisher fordeling Hvis U er χ 2 fordelt med n frihetsgrader og V er χ 2 fordelt med m frihetsgrader, U og V uavhengige, inerer vi fordelingen til F U/n V/m (37) som en Fisherfordeling med n og m frihetsgrader, F F n,m. Fisherfordeling brukes i forbindelse med variansanalyse (avsnitt 4.3), og ved sammenlikning av varianser. Fraktiltabell for Fisher fordeling er på side Forventningsverdi og varians Definisjon: Diskrete fordelinger: E(g(X)) Kontinuerlige fordelinger: E(g(X)) Varians: Var(X) E Som oftest er g(x) X. g(x) f(x) alle x (f(x) P(X x)) g(x) f(x) dx (f(x) er sannsynlighetstettheten ) ( (X µ) 2) ( E X 2) µ Regneregler for forventningsverdi og varians (der µ E(X)) a, b, a 1, a 2... a n er konstanter og X, Y, X 1, X 2... X n er stokastiske variable (diskrete eller kontinuerlige). X (X 1 + X X n )/n er gjennomsnittet av n stokastiske variable. (38) 7

11 2.6.1 Summeregler for forventningsverdier a) E(aX + b) a E(X)+b b) E(X + Y )E(X)+E(Y ) c) E(a 1 X 1 + a 2 X a n X n + b) a 1 E(X 1 )+a 2 E(X 2 )+ + a n E(X n )+b Summeregler for varians a) Var(aX + b) a 2 Var(X) b) Var(X + Y )Var(X)+Var(Y ) hvis X og Y er uavhengige (ukorrelerte) c) Var(X + Y )Var(X)+Var(Y )+2Cov(X, Y ) d) Var(a 1 X 1 + a 2 X a n X n + b) a 2 1 Var(X 1 )+a 2 2 Var(X 2 )+ + a 2 n Var(X n ) hvis alle X i ene er uavhengige (ukorrelerte) Noen viktige konsekvenser a) σ ax+b aσ X hvis a>0, generelt σ ax+b a σ X b) E(X) µ hvis E(X i )µ for alle i c) Var(X) 1 n σ2 hvis Var(X i )σ 2 for alle i og alle X i ene er uavhengige d) σ X σ n hvis σ Xi σ for alle i og alle X i ene er uavhengige e) E(X Y )E(X) E(Y ) f) Var(X Y )Var(X)+Var(Y ) hvis X og Y er uavhengige 2.7 Samvariasjon La X og Y værer stokastiske variable med E(X) µ x,var(x) σ 2 x,e(y )µ y og Var(Y )σ 2 y a) Def. av kovarians Cov(X, Y ) b) Ekvivalent inisjon: Cov(X, Y ) c) Korrelasjon: ρ E ((X µ x )(Y µ y )) E(X Y ) µ x µ y Cov(X, Y ) σ x σ y d) 1 ρ 1 e) ρ(ax + b, CY + d) ρ(x, Y ) (a, b, c og d konstanter) (39) Hvis X og Y er diskrete er den todimensjonale punktsannsynligheten f til (X, Y )gitt ved f(x, y) P(X x Y y). Da kan kovariansen regnes ut ved Cov(X, Y ) alle x xyf(x, y) µ x µ y (40) alle y 8

12 2.8 Sentralgrenseteoremet Om X 1, X 2,..., X i,... alle er uavhengige, E(X i )µ og Var(X i )σ 2 er ( n lim X i ) nµ N(0, 1) (standard normalfordelt) (41) n nσ I praksis betyr dette at summen av mange uavhengige observasjoner fra samme fordeling er tilnærmet normalfordelt. For mange fordelingene i utgangspunktet er tilnærmet symmetriske behøver ikke n være videre stor for at tilnærmingen blir god. Dette gjelder spesielt hvis fordelingen er noenlunde symmetrisk og ikke har tunge haler, som betyr at P( X µ >kσ) ikke er relativt stor i forhold til normalfordeling, for store k (f.eks. k>4). Eksponentialfordelingen er et eksempel på skjev fordeling med tung hale. Diskrete fordelinger med svært få mulige x verdier kan også væreetproblem Noen konsekvenser av sentralgrenseteoremet n X X i /n Y med Y N(µ, σ/ n) for store n (42) Det vil si at gjennomsnittet av mange uavhengige observasjoner fra samme fordeling er tilnærmet normalfordelt. ( Om X bin(n, p) erx Y der Y N np, ) np(1 p) P(a X b) P(a 1/2 Y b +1/2) for store n : (43) Det vil si at for store n er binomisk fordeling tilnærmet normalfordeling. Tommelfingerregel : np > 5 og n(1 p) > 5. For bedre tilnærming ta med en halv enhet ekstra i hver retning (halvkorreksjon). Også Poissonfordeling er tilnærmet normalfordelt for store λ ( Tommelfingerregel : λ > 15). Også her brukes halvkorreksjon. 9

13 3 STATISTISKE METODER, en variabel. 3.1 Generelle inisjoner Definisjon Hvis X er en tilfeldig variabel er α fraktilen k α inert ved likningen P (X >k α )α ( eller P (X k α )1 α ) (44) Definisjon betyr fordelt som. (f.eks betyr Z N(0, 1) at Z er standard normalfordelt) Definisjoner: Ved å bytte ut små med store bokstaver i inisjonene i avsnitt 1, Empiriske Statistiske Mål, for x og s ene i de empiriske formlene, får vi tilsvarende formler for tilfeldige variable (uobserverte verdier). Eksempel: S XX Xi 2 nx2 3.2 Fordelingsresultat for slutninger om µ (en variabel eller paret modell) La X 1,X 2,...,X n være uavhengige og identisk normalfordelte, X i N(µ, σ). Fordelinga til gjennomsnittet: X N(µ, σ/ n) (45) σ kjent Z X µ n N(0, 1) (standard normalfordelt) (46) σ På grunn av sentralgrenseteoremet er dette fordelingsresultatet robust mot moderate avvik fra normalfordeling på X i ene. Anvendelse, konfidensintervall: (1 α) konfidensintervall for µ når σ er kjent (z intervall): ( ) σ σ x z α/2 n, x + z α/2 n (47) der z α/2 betyr α/2 fraktilen til en standard normal fordeling. Anvendelse, hypotesetesting: Hvis nullhypotesen er H 0 : µ µ 0 og signifikansnivået er α er testprosedyrene (envariabel z tester): a) H 1 : µ>µ 0 (høyresidetest): Forkast H 0 hvis x>µ 0 + z α σ/ n. b) H 1 : µ<µ 0 (venstresidetest): Forkast H 0 hvis x<µ 0 z α σ/ n. c) H 1 : µ µ 0 (tosidig test): Forkast H 0 hvis x µ 0 >z α/2 σ/ n σ ukjent T X µ n Tn 1 (Students T-fordelt med n 1 frihetsgrader) (49) S Anvendelse, konfidensintervall: (1 α) konfidensintervall for µ når σ er ukjent, og t α/2 betyr α/2 fraktilen til en Students T fordeling med (n 1) frihetsgrader (t intervall): ( x t α/2 s n, x + t α/2 ) s n (48) (50) og signifi- Anvendelse, hypotesetesting: Hvis nullhypotesen er H 0 : µ µ 0 og t x µ 0 s/ n kansnivået er α er testprosedyren (envariabel t tester): a) H 1 : µ>µ 0 (høyresidetest): Forkast H 0 hvis t>t α. b) H 1 : µ<µ 0 (venstresidetest): Forkast H 0 hvis t< t α. c) H 1 : µ µ 0 (tosidig test): Forkast H 0 hvis t >t α/2. (51) 10

14 3.3 Fordelingsresultat for slutninger om σ. χ 2 fordeling (Kji-kvadrat fordeling): S XX σ 2 (n 1)S 2 /σ 2 n (X i X) 2 σ 2 χ 2 n 1 (χ 2 ford., n 1 frihetsgrader) (52) Dette kan brukes til å konstruere konfidensintervall og hypotesetester om σ. 4 STATISTISKE METODER, modeller med flere variable 4.1 Tilfeldig utvalg, to variable (Uparet modell): La X 1,X 2,...,X n være uavhengige og identisk normalfordelte, X i N(µ x,σ)ogy 1,Y 2,...,Y m uavhengige og identisk normalfordelte, Y i N(µ y,σ). (Dvs samme standard avvik, men muligens forskjellige forventningsverdier): T (X Y ) (µ x µ y ) S p 1 n + 1 m T n+m 2 (53) (Students T-fordelt med n + m 2 frihetsgrader.) Det polariserte standardavviket S p er estimator for σ, og er gitt ved formelen S p S XX + S YY n + m 2 (n 1)SX 2 +(m 1)S2 Y n + m 2 (54) S X og S Y er de empiriske standardavvikene til hhv. x-ene og y-ene. 4.2 Lineær regresjonsmodell La (x 1,Y 1 ), (x 2,Y 2 )...,(x n,y n ) være uavhengige par der vi antar Y ene stokastiske, og x ene under vår kontroll. Vi har en lineær regresjonsmodell om vi gjør følgende antagelse: Y i α + βx i + e i der e i N(0,σ) eller ekvivalent at Y i N(α + βx i,σ) (55) α estimeres ved a, ogβ ved b, dera og b er som i inisjonene i avsnitt 1.4. Før observasjonene (som tilfeldige variable) bruker vi de store Y ene istedenfor de små, og kaller størrelsene A og B: Fordelingsresultater: A x 2 N α, σ i ( B N β, ns xx ) σ sxx (56) (B β) S e / s xx T n 2 11

15 der Se 2 S YY B 2 s xx (punktestimator for σ 2 ) n 2 Eksempel på anvendelse: Hypotesetesting av H 0 : β β 0 mot H 1 : β β 0 med signifikansnivå δ. Vi bruker testobservatoren t: t b β 0 s 2 e /s xx Forkast H 0 om t >t δ/2 (der t δ/2 er δ/2 fraktilen i students T fordeling med n 2 frihetsgrader). 4.3 Variansanalyse (ANOVA) Enveis variansanalyse Datastruktur: Data Snitt Antall Gruppe 1 y 11,y 12,..., y 1n1 y 1 n 1 Gruppe 2 y 21,y 22,..., y 2n2 y 2 n 2.. Gruppe g y g1,y g2,..., y gng y g n g Total y n.. (57) Modell: Y ij µ i + e ij der e ij N(0,σ), e ij ene uavhengige Hypoteser: H 0 : µ 1 µ 2 µ g H 1 : Ikke alle µ i ene like Kvadratsummer: Variasjon Symbol Definisjon Utregning Frihetsgrader g n g g n g Total SS T (y ij y ) 2 yij 2 ny 2 n 1 j1 j1 g n g g Mellom grupper SS G (y i y ) 2 n i y 2 i ny 2 g 1 j1 g n g Residual SS E (y ij y i ) 2 SS T SS G n g j1 (58) Varianser: S 2 G SS G g 1 S 2 E SS E n g (59) F observator: F S2 G SE 2, Hvis H 0 er sann er F F g 1,n g (60) Det vil si at F er Fisher-fordelt med g 1ogn g frihetsgrader hvis H 0 er sann. Testprosedyre: Forkast H 0 for store verdier av observasjon av F. 12

16 4.3.2 Toveis variansanalyse Antall grupper: g Antall blokker: b Antall elementer i hvert feltr Antall observasjoner totalt: n g b r Datastruktur: Blokk 1... Blokk b Gruppesnitt Gruppe 1 y 111,...,y 11r... y 1b1,...,y 1br y Gruppe g y g11,...,y g1r... y gb1,...,y gbr y g Blokksnitt y 1... y b y (61) Modell: Y ijk α + β i + β j + e ijk, i {1,,g}, j {1,...,b}, k {1,...,r} og e ijk N(0,σ), uavhengige. g b β i 0, β j 0 (62) j1 Kvadratsummer: Variasjon Symbol Formel Frihetsgrader g b r Total SS T yijk 2 ny 2 n 1 j1 k1 g Mellom grupper SS G br y 2 i ny2 g 1 Mellom blokker SS B b gr y 2 j ny2 b 1 j1 Residual SS E SS T SS G SS B n b g +1 (63) Hypotesetester Generelt F F r,s betyr at F er Fisherfordelt med r og s frihetsgrader. Forkast H 0 for store verdier av observasjon av F. Grupper H 0 : β 1 β 2 β g, H 1 : Ikke alle β i ene er like. SS Testobservator: F G /(g 1) SS E /(n b g +1). Hvis H 0 er sann er F F g 1,n b g+1 (64) Blokker H 0 : β 1 β 2 β b, H 1 : Ikke alle β j ene er like. SS Testobservator: F B /(b 1) SS E /(n b g +1). Hvis H 0 er sann er F F b 1,n b g+1 (65) 4.4 χ 2 -tester (kjikvadrattester) Krysstabeller- Test av uavhengighet En oppdeling av utfallsrommet S i hendelser A 1,A 2,...A r kalles en partisjon hvis A 1 A 2... A r S og A i A j når i j. La A 1,A 2,...A r og B 1,B 2,...B k være partisjoner av S.. Da sier vi partisjonene er uavhengige hvis P(A i B j )P(A i ) P(B j ) for alle par A i,b j. 13

17 Hypoteser H 0 : Partisjonene A 1,A 2,...A r og B 1,B 2,...B k er uavhengige. H 1 : Partisjonene A 1,A 2,...A r og B 1,B 2,...B k er avhengige. Vi skal foreta n observasjoner av uavhengige gjentagelser, og telle opp antall resultater i hver mengde A i B j, og kalle dette tallet X ij. Summen av antall observasjoner i A i kalles R i, og summen av antall observasjoner i B j kalles K j.hvish 0 er sann er E ij R i K j /n forventet antall observasjoner i A i B j. Definer: Q r k j1 (X ij E ij ) 2 E ij (66) Hvis alle E ij 5ogH 0 er sann er Q tilnærmet χ 2 (r 1)(k 1), χ2 fordelt med (r 1)(k 1) frihetsgrader Modelltest Forkast H 0 for store verdier av Q (67) Tester om et datasett med n verdier passer til en fordelingstype (f.eks normalfordeling) der vi må estimere r parametre (f.eks µ og σ, r 2) fra dataene: Hypoteser H 0 : Dataene passer til en fordeling fra en fordelingstype med r ukjente parametre H 1 : Dataene passer ikke til denne fordelingstypen. Del den reelle aksen inn i k intervaller [x i 1,x i ](derx 0 og x k ), og regn ut p i P(x i 1 X i <x i ) (fra fordelingen med de estimerte dataene). Definer E i n p i,oglax i være antall observasjoner i intervallet [x i 1,x i ]. Definer: Q k (X i E i ) 2 E i (68) Hvis alle E i 5ogH 0 er sann er Q tilnærmet χ 2 k r 1, χ2 fordelt med k r 1 frihetsgrader. Forkast H 0 for store verdier av Q (69) 14

18 5 TABELLER 5.1 Kumulativ normalfordeling Φ(z) Φ(z) P(Z z) der Z N(0, 1) (standard normalfordelt) Φ(z) z 1 2π e x2 /2 dx Φ(z) P(Z z) z z Normalfordelingstabell for z 0 z.,.0.,.1.,.2.,.3.,.4.,.5.,.6.,.7.,.8.,.9 0, 0 0, , , , , , , , , , , 1 0, , , , , , , , , , , 2 0, , , , , , , , , , , 3 0, , , , , , , , , , , 4 0, , , , , , , , , , , 5 0, , , , , , , , , , , 6 0, , , , , , , , , , , 7 0, , , , , , , , , , , 8 0, , , , , , , , , , , 9 0, , , , , , , , , , , 0 0, , , , , , , , , , , 1 0, , , , , , , , , , , 2 0, , , , , , , , , , , 3 0, , , , , , , , , , , 4 0, , , , , , , , , , , 5 0, , , , , , , , , , , 6 0, , , , , , , , , , , 7 0, , , , , , , , , , , 8 0, , , , , , , , , , , 9 0, , , , , , , , , , , 0 0, , , , , , , , , , , 1 0, , , , , , , , , , , 2 0, , , , , , , , , , , 3 0, , , , , , , , , , , 4 0, , , , , , , , , , , 5 0, , , , , , , , , , , 6 0, , , , , , , , , , , 7 0, , , , , , , , , , , 8 0, , , , , , , , , , , 9 0, , , , , , , , , , 9986 z 3, 0 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 3, 7 3, 8 3, 9 Φ(z) 0, , , , , , , , , ,

19 5.1.2 Normalfordelingstabell for z 0 Bruk at Φ( z) 1 Φ(z) eller tabellen: z.,.0.,.1.,.2.,.3.,.4.,.5.,.6.,.7.,.8.,.9 0, 0 0, , , , , , , , , , , 1 0, , , , , , , , , , , 2 0, , , , , , , , , , , 3 0, , , , , , , , , , , 4 0, , , , , , , , , , , 5 0, , , , , , , , , , , 6 0, , , , , , , , , , , 7 0, , , , , , , , , , , 8 0, , , , , , , , , , , 9 0, , , , , , , , , , , 0 0, , , , , , , , , , , 1 0, , , , , , , , , , , 2 0, , , , , , , , , , , 3 0, , , , , , , , , , , 4 0, , , , , , , , , , , 5 0, , , , , , , , , , , 6 0, , , , , , , , , , , 7 0, , , , , , , , , , , 8 0, , , , , , , , , , , 9 0, , , , , , , , , , , 0 0, , , , , , , , , , , 1 0, , , , , , , , , , , 2 0, , , , , , , , , , , 3 0, , , , , , , , , , , 4 0, , , , , , , , , , , 5 0, , , , , , , , , , , 6 0, , , , , , , , , , , 7 0, , , , , , , , , , , 8 0, , , , , , , , , , , 9 0, , , , , , , , , , 0014 z 3, 0 3, 1 3, 2 3, 3 3, 4 3, 5 3, 6 3, 7 3, 8 3, 9 Φ(z) 0, , , , , , , , , , Generell normalfordeling, X N(µ, σ) ( ) x µ F (x) P(X x) Φ σ a P(a X b) b x P(a X b) ( ) ( ) b µ a µ Φ Φ σ σ ( ) a µ P(X >a)1 Φ σ 16

20 5.2 Fraktiler, normalfordeling 1 α z α α z Tabell over z α,gittved P(Z>z α )α der Z N(0, 1) (standard normalfordelt): α 0, , , , , , , , , α% 10% 5% 2, 5% 1% 0, 5% 0, 1% 0, 05% 0, 01% 0, 005% z α 1, 282 1, 645 1, 960 2, 326 2, 576 3, 091 3, 291 3, 719 3, 891 For nedre fraktil, P(Z >z 1 α )1 α, brukatz 1 α z α eller: α 0, , , , , , , , , α% 90% 95% 97, 5% 99% 99, 5% 99, 9% 99, 95% 99, 99% 99, 995% z α 1, 282 1, 645 1, 960 2, 326 2, 576 3, 091 3, 291 3, 719 3, 891 For tosidige tester og intervaller brukes at P( z α/2 Z z α/2 )1 α 17

21 5.3 Student T fordeling, fraktiltabell Tabell over t α,gittvedp(t>t α )α der T T ν,detvilsit er Students T-fordelt med ν frihetsgrader, ν α 0, , , , , , , ,078 6,314 12,706 31,821 63, , , ,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 31, ,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,215 12, ,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,173 8, ,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6, ,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5, ,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,785 5, ,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5, ,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,297 4, ,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4, ,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4, ,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4, ,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4, ,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4, ,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4, ,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4, ,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3, ,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 3, ,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3, ,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3, ,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3, ,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3, ,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3, ,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3, ,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3, ,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3, ,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3, ,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3, ,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3, ,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3, ,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3, ,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3,261 3, ,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3, ,294 1,667 1,994 2,381 2,648 3,211 3, ,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,195 3, ,290 1,660 1,984 2,364 2,626 3,174 3, ,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,160 3,373 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,091 3,291 For store ν bruker vi at Students t-fordeling er tilnærmet standard normalfordelt. Fraktilene til standard normalfordeling er i tabellen plassert som ν. 18

22 5.4 χ 2 fordeling, fraktiltabell Tabell over k α,gittvedp(x>k α )α der X χ 2 ν. Det vil si X er χ 2 fordelt med ν frihetsgrader. ν α ,000 0,000 0,001 0,004 3,84 5,02 6,63 7,88 2 0,010 0,020 0,051 0,103 5,99 7,38 9,21 10,60 3 0,072 0,115 0,216 0,352 7,82 9,35 11,34 12,84 4 0,207 0,297 0,484 0,711 9,49 11,14 13,28 14,86 5 0,412 0,554 0,831 1,15 11,07 12,83 15,09 16,75 6 0,676 0,872 1,24 1,64 12,59 14,45 16,81 18,55 7 0,99 1,24 1,69 2,17 14,07 16,01 18,48 20,28 8 1,34 1,65 2,18 2,73 15,51 17,53 20,09 21,95 9 1,74 2,09 2,70 3,33 16,92 19,02 21,67 23, ,16 2,56 3,25 3,94 18,31 20,48 23,21 25, ,60 3,05 3,82 4,58 19,68 21,92 24,72 26, ,07 3,57 4,40 5,23 21,03 23,34 26,22 28, ,57 4,11 5,01 5,89 22,36 24,74 27,69 29, ,08 4,66 5,63 6,57 23,68 26,12 29,14 31, ,60 5,23 6,26 7,26 25,00 27,49 30,58 32, ,14 5,81 6,91 7,96 26,30 28,85 32,00 34, ,70 6,41 7,56 8,67 27,59 30,19 33,41 35, ,27 7,02 8,23 9,39 28,87 31,53 34,81 37, ,84 7,63 8,91 10,12 30,14 32,85 36,19 38, ,43 8,26 9,59 10,85 31,41 34,17 37,57 40, ,03 8,90 10,28 11,59 32,67 35,48 38,93 41, ,64 9,54 10,98 12,34 33,92 36,78 40,29 42, ,26 10,20 11,69 13,09 35,17 38,08 41,64 44, ,89 10,86 12,40 13,85 36,42 39,36 42,98 45, ,52 11,52 13,12 14,61 37,65 40,65 44,31 46, ,16 12,20 13,84 15,38 38,89 41,92 45,64 48, ,81 12,88 14,57 16,15 40,11 43,19 46,96 49, ,46 13,56 15,31 16,93 41,34 44,46 48,28 50, ,12 14,26 16,05 17,71 42,56 45,72 49,59 52, ,79 14,95 16,79 18,49 43,77 46,98 50,89 53, ,71 22,16 24,43 26,51 55,76 59,34 63,69 66, ,99 29,71 32,36 34,76 67,50 71,42 76,15 79, ,53 37,48 40,48 43,19 79,08 83,30 88,38 91, ,28 45,44 48,76 51,74 90,53 95,02 100,4 104, ,17 53,54 57,15 60,39 101,9 106,6 112,3 116, ,20 61,75 65,65 69,13 113,1 118,1 124,1 128, ,33 70,06 74,22 77,93 124,3 129,6 135,8 140,2 For store ν kan vi bruke at sentralgrenseteoremet gir at X N ( ν, 2ν ), slik at k α ν + 2ν z α 19

23 5.5 Fishers F fordeling, fraktiltabell Tabell over k α,gittvedp(f>k α )α der F F r,s,dvs.f er Fisher fordelt med r og s frihetsgrader. r er antall frihetsgrader i teller, i første rad, s er antall frihetsgrader i nevner, i første kolonne α 0.05 (ogα 0.95 ) s \ r ,5 19,0 19,2 19,2 19,3 19,3 19,4 19,4 19,4 19,5 19,5 3 10,1 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,85 8,79 8,70 8,63 8,58 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,96 5,86 5,77 5,70 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,82 4,74 4,62 4,52 4,44 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,06 3,94 3,83 3,75 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,73 3,64 3,51 3,40 3,32 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,35 3,22 3,11 3,02 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,23 3,14 3,01 2,89 2, ,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,98 2,85 2,73 2, ,75 3,89 3,49 3,26 3,11 3,0 2,85 2,75 2,62 2,50 2, ,54 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,64 2,54 2,40 2,28 2, ,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,45 2,35 2,20 2,07 1, ,03 3,18 2,79 2,56 2,40 2,29 2,13 2,03 1,87 1,73 1, ,94 3,09 2,70 2,46 2,31 2,19 2,03 1,93 1,77 1,62 1,48 For α 0.95 bruk at k /l 0.05 der l 0.05 er fraktilen for F fordeling med s og r frihetsgrader (omvendt rekkefølge på frihetsgradene) α 0.01 (og α 0.99) s \ r ,5 99,0 99,2 99,2 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,5 99,5 3 34,1 30,8 29,5 28,7 28,2 27,9 27,5 27,2 26,9 26,6 26,4 4 21,2 18,0 16,7 16,0 15,5 15,2 14,8 14,5 14,2 13,9 13,7 5 16,3 13,3 12,1 11,4 11,0 10,7 10,3 10,1 9,72 9,45 9, ,7 10,9 9,78 9,15 8,75 8,47 8,10 7,87 7,56 7,30 7, ,2 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,84 6,62 6,31 6,06 5, ,3 8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,03 5,81 5,52 5,26 5, ,6 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,47 5,26 4,96 4,71 4, ,0 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,06 4,85 4,56 4,31 4, ,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,50 4,30 4,01 3,76 3, ,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,0 3,80 3,52 3,28 3, ,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,56 3,37 3,09 2,84 2, ,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 2,89 2,70 2,42 2,17 1, ,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,69 2,50 2,22 1,97 1,74 For α 0.99 bruk at k /l 0.01, derl 0.01 er fraktilen for F fordeling med s og r frihetsgrader (omvendt rekkefølge på frihetsgradene). 20

24 Referanser [1] Larsen, J.R, Marx, M.L. An Introduction to Mathematical Statistics and its Application. Prentice Hall (ISBN ). [2] Løvås, Gunnar G. Statistikk for universiteter og høgskoler. Universitetsforlaget (ISBN ). [3] Maple 9.5 Maple. Dataprogram for matematikk. Maplesoft, Waterloo Maple Inc. 21

FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG

FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG FORMELSAMLING STATISTIKK, HiG Hans Petter Hornæs hans.hornaes@hig.no Versjon per 18. februar 2004 Innhold 1 EMPIRISKE STATISTISKE MÅL 1 1.1 Forventningsverdi, varians og standardavvik.....................

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: HIS 05 08. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 5 (innkl. forside)

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA1081 EKSAMENSDATO: 11. juni 2007. KLASSE: Ingeniørklasser. TID: kl. 9.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.

Detaljer

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110

FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål

Detaljer

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240

Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Oppfriskning av blokk 1 i TMA4240 Geir-Arne Fuglstad November 21, 2016 2 Hva har vi gjort i dette kurset? Vi har studert to sterkt relaterte grener av matematikk Sannsynlighetsteori: matematisk teori for

Detaljer

Kapittel 2: Hendelser

Kapittel 2: Hendelser Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00.

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 26. mai 2006. SENSURFRIST: 16. juni 2006. KLASSE: HIS 04 07. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER

Detaljer

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal

Formelsamling V-2014 MAT110. Statistikk 1. Per Kristian Rekdal Formelsamling V-2014 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal 2 Forord Dette er formelsamlingen i emnet MAT110 Statistikk 1 ved høgskolen i Molde. Formlene i denne formelsamlingen er stort sett de formlene

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 16. juni 2009. KLASSE: HIS 07 10. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 innkl. forside)

Detaljer

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m

1.1.1 Rekke med konstante ledd. En rekke med konstante ledd er gitt som. a n (1) n=m Formelsamling og tabeller FO020E Matte 2000 for elektroprogrammet 1 Matematikk 1.1 Denisjoner av ulike typer polynomer og rekker 1.1.1 Rekke med konstante ledd En rekke med konstante ledd er gitt som a

Detaljer

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår

Løsningsforslag ECON 2130 Obligatorisk semesteroppgave 2017 vår Løsningsforslag ECON 130 Obligatorisk semesteroppgave 017 vår Andreas Myhre Oppgave 1 1. (i) Siden X og Z er uavhengige, vil den simultane fordelingen mellom X og Z kunne skrives som: f(x, z) = P(X = x

Detaljer

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter

Observatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter

Detaljer

Statistikk og dataanalyse

Statistikk og dataanalyse Njål Foldnes, Steffen Grønneberg og Gudmund Horn Hermansen Statistikk og dataanalyse En moderne innføring Kapitteloversikt del 1 INTRODUKSJON TIL STATISTIKK Kapittel 1 Populasjon og utvalg 19 Kapittel

Detaljer

EKSAMEN. Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg m.fl.

EKSAMEN. Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg m.fl. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA 1081 og REA1081F EKSAMENSDATO: 1. juni 2011. KLASSE: Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg m.fl. TID: kl. 9.00 12.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs

Detaljer

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering

Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering Kapittel 8: Tilfeldige utvalg, databeskrivelse og fordeling til observatorar, Kapittel 9: Estimering TMA4245 Statistikk Kapittel 8.1-8.5. Kapittel 9.1-9.3+9.15 Turid.Follestad@math.ntnu.no p.1/21 Har sett

Detaljer

Regler i statistikk STAT 100

Regler i statistikk STAT 100 TORIL FJELDAAS RYGG - VÅREN 2010 Regler i statistikk STAT 100 Innhold side Sannsynlighetsregning 3 - Uttrykk 3 - Betinget sannsynlighet 4 - Regler for sannsynlighet 4 - Bayes teorem 4 - Uavhengige begivenheter

Detaljer

Høgskoleni østfold EKSAMEN

Høgskoleni østfold EKSAMEN et) Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode:Emne: SFB10711Metode 1 Statistikkdel Dato: 5. feb. 2016Eksamenstid: kl. 1400 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling til kl. 1800 Faglærer: Nils Ingar Arvidsen

Detaljer

Hogskoleni Østfold EKSAMEN. Eksamenstid: kl til k

Hogskoleni Østfold EKSAMEN. Eksamenstid: kl til k Hogskoleni Østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Dato: 5. jan 2015 Hjelpemidler: Kalkulator Utlevert formelsamling Emne: Metodekurs I: Grunnleggende matematikk og statistikk (Statistikk, ny og utsatt eksamen)

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 Oppsummering Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 21. april Bjørn H. Auestad Oppsummering våren

Detaljer

To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger

To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger To-dimensjonale kontinuerlige fordelinger Noen resultater for diskrete fordelinger Vi har tidligere definert punktsannsynligheten p(x, y) for en todimensjonal variabel (X, Y ) som p(x, y) = P ({X = x}

Detaljer

Høgskoleni Øs fold EKSAMEN. Om noe er uklart eller mangelfullt i oppgaven inngår det som en del av oppgaven å ta de nødvendige forutsetninger.

Høgskoleni Øs fold EKSAMEN. Om noe er uklart eller mangelfullt i oppgaven inngår det som en del av oppgaven å ta de nødvendige forutsetninger. Høgskoleni Øs fold EKSAMEN Emnekode: Emne: SFB10711 Metodekurs 1: Grunnleggende matematikk og statistikk Deleksameni statistikk Dato: 3. januar 2014 Eksamenstid: kl. 0900 til kl. 1300 Hjelpemidler: Faglærer:

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG207 EKSAMENSDATO: 1. juni 2010. KLASSE: HIS 08 11. TID: kl. 8.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl. forside)

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. BtG27 EKSAMENSDATO: 27. mai 211. KLASSE: HIS 8 11. TID: kl. 8. 13.. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 innkl. forside) TILLATTE

Detaljer

Innhold. Innledning. Del I

Innhold. Innledning. Del I Innhold Del I Innledning 1 Hva er statistikk?...17 1.1 Bokas innhold 18 1.1.1 Noen eksempler 18 1.1.2 Historie 21 1.1.3 Bokas oppbygning 22 1.2 Noen viktige begreper 23 1.2.1 Populasjon og utvalg 23 1.2.2

Detaljer

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4

Tyngdepunkt. Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at. Kapittel 4 3 Tyngdepunkt Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4240 H2006: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF

Detaljer

Forventning og varians.

Forventning og varians. Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.1) Forventningsverdi = gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: x xf(x),x

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 4 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 27. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.

Oppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2. Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir

Detaljer

Forventning og varians.

Forventning og varians. Forventning og varians. Dekkes av kapittel 4 i læreboka. Forventning (4.) Forventningsverdi gjennomsnitt i det lange løp. Defininsjon: Forventningsverdien til en stokastisk variabel X er: E(X) f(),x diskret

Detaljer

Normal- og eksponentialfordeling.

Normal- og eksponentialfordeling. Ukeoppgaver i Statistikk, uke 8 : Normal- og eksponentialfordeling. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke 8 I løpet av uken blir løsningsforslag lagt

Detaljer

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable

Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Forelening 1, kapittel 4 Stokastiske variable Eksempel X = "antall kron på kast med to mynter (før de er kastet)" Uniformt utfallsrom {MM, MK, KM, KK}. X = x beskriver hendelsen "antall kron på kast med

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Deleksamen i: STK Sannsynlighetsregning og statistisk modellering Eksamensdag: Mandag 4. mars 26 Tid for eksamen: 5. 7. Oppgavesettet er

Detaljer

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

Kap. 10: Inferens om to populasjoner. Eksempel. ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis μ 1 og μ. Vi trekker da ett utvalg fra hver populasjon. ST00 Statistikk for

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Løsningsforslag Eksamen i Statistikk SIF5060 Aug 2002 Oppgave 1 a) En god estimator er forventningsrett og har liten varians. Vi tester forventningsretthet: E[ˆµ] E[Y ] µ E[ µ] E[ 1 2 X + 1 2 Y ] 1 2 E[X]

Detaljer

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010

Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2008

TMA4240 Statistikk Høst 2008 TMA4240 Statistikk Høst 2008 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 7 Oppgave 1 Tippekonkurranse Denne oppgaven er ment som en kjapp test på hva du har

Detaljer

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Faglig kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 20. desember 2016 Eksamenstid (fra til): 09:00

Detaljer

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1

+ S2 Y ) 2. = 6.737 6 (avrundet nedover til nærmeste heltall) n Y 1 Løsningsforslag for: MOT10 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 6. november 007 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP0S, Casio FX8 eller TI-0 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) MERKNADER:

Detaljer

Andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010

Andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Dette er det andre settet med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010. Oppgavesettet består av fire oppgaver. Det er valgfritt om du vil

Detaljer

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem

MAT4010 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2. Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem MAT400 PROSJEKTOPPGAVE: Statistikk i S2 Olai Sveine Johannessen, Vegar Klem Hafnor & Torstein Mellem 20. mai 205 Innhold. Stokastisk Variabel.. Stokastiske variable som funksjoner 3 2. Forventningsverdi

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

statistikk, våren 2011

statistikk, våren 2011 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 011 Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable 1 Diskrete tilfeldige variable, innledning Hva er en tilfeldig variabel (stokastisk variabel)? Diskret tilfeldig

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806

Detaljer

Kapittel 3: Studieopplegg

Kapittel 3: Studieopplegg Oversikt over pensum Kapittel 1: Empirisk fordeling for en variabel o Begrepet fordeling o Mål for senter (gj.snitt, median) + persentiler/kvartiler o Mål for spredning (Standardavvik s, IQR) o Outliere

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 10: Inferens om to populasjoner Situasjon: Vi ønsker å sammenligne to populasjoner med populasjonsgjennomsnitt henholdsvis

Detaljer

Om eksamen. Never, never, never give up!

Om eksamen. Never, never, never give up! Plan vidare Onsdag Gjere ferdig kap 11 + repetisjon Fredag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve

Detaljer

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall)

Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Forelesning 3, kapittel 6 Konfidensintervall for µ med ukjent σ (t intervall) Konfidensintervall for µ basert på n observasjoner fra uavhengige N( µ, σ) fordelinger når σ er kjent : Hvis σ er ukjent har

Detaljer

Oppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i:

Oppgave 1. a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA). Modell for y ij = ekspedisjonstid nr. j for skrankeansatt nr. i: MOT310 tatistiske metoder 1 Løsningsforslag til eksamen høst 010, s 1 Oppgave 1 a) Anlysetype: enveis variansanalyse (ANOVA) Modell for y ij ekspedisjonstid nr j for skrankeansatt nr i: Y ij µ i + ε ij,

Detaljer

Antall oppgavesider: 4 Vedlegg: Ett internt notat (8 sider)

Antall oppgavesider: 4 Vedlegg: Ett internt notat (8 sider) Høgskolen i Østfold Avdeling for ingeniørfag EKSAMEN STATISTIKK Statistikk IRF22009 Deleksamen 1 Statistikk: IRB22515, IRBI022013 IRD22612, IRE22512 IRM22012, IRM 22013 Lærer: Elise Øby Mobilnummer: 91747727

Detaljer

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at

Togforsinkelsen (Eksamen Des2003.1a) I denne oppgaven kan du bruke uten å vise det at Kapittel 4 Forventningsverdi, varians, kovarians for én stokastisk variabel og funksjoner av stokastiske variabler TMA4245 V2007: Eirik Mo 2 4.1 Forventing til en stokastisk variabel DEF 4.1: La X være

Detaljer

A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik.

A) B) 400 C) 120 D) 60 E) 10. Rett svar: C. Fasit: ( 5 6 = 60. Hvis A, B, C er en partisjon av utfallsrommet S, så er P (A B) lik. Oppgave 1 Det skal velges en komité bestående av 2 menn og 1 kvinne. Komitéen skal velges fra totalt 5 menn og 6 kvinner. Hvor mange ulike komitéer kan dannes? A) 86400 B) 400 C) 120 D) 60 E) 10 Rett svar:

Detaljer

HØGSKOLEN I STAVANGER

HØGSKOLEN I STAVANGER EKSAMEN I: MOT0 STATISTISKE METODER VARIGHET: TIMER DATO:. NOVEMBER 00 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV OPPGAVER PÅ 7 SIDER HØGSKOLEN

Detaljer

Beskrivende statistikk.

Beskrivende statistikk. Obligatorisk oppgave i Statistikk, uke : Beskrivende statistikk. 1 Høgskolen i Gjøvik Avdeling for teknologi, økonomi og ledelse. Statistikk Ukeoppgaver uke I løpet av uken blir løsningsforslag lagt ut

Detaljer

betyr begivenheten at det blir trukket en rød kule i første trekning og en hvit i andre, mens B1 B2

betyr begivenheten at det blir trukket en rød kule i første trekning og en hvit i andre, mens B1 B2 ECON30: EKSAMEN 06v SENSORVEILEDNING. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i

Detaljer

Oppgavesettet består av 11 sider inklusiv denne forsiden, hvorav de 7 siste er formelsamling og tabeller.

Oppgavesettet består av 11 sider inklusiv denne forsiden, hvorav de 7 siste er formelsamling og tabeller. Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emnenavn: SFB10711 Metode 1, statistikk deleksamen Dato: Eksamenstid: 18. mai 2016 4 timer Hjelpemidler: Faglærer: Kalkulator og vedlagt Hans Kristian Bekkevard formelsamling

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen i: ECON30 Statistikk UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 03.06.06 Sensur kunngjøres: 4.06.06 Tid for eksamen: kl. 09:00 :00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2006 Kp. 6, del 3 Bjørn H. Auestad Institutt for matematikk og naturvitenskap Universitetet i Stavanger 20. mars Bjørn H. Auestad Kp. 6: Hypotesetesting

Detaljer

EKSAMEN. Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg.

EKSAMEN. Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: FAGNUMMER: Statistikk. REA 1081F REA1081) EKSAMENSDATO: 1. juni 2010. KLASSE: Flexibel ingeniørutdanning, 2kl. Bygg. TID: kl. 9.00 12.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL

Detaljer

Formelsamling V MAT110 Statistikk 1. Per Kristian Rekdal

Formelsamling V MAT110 Statistikk 1. Per Kristian Rekdal Formelsamling V-2016 MAT110 Statistikk 1 Per Kristian Rekdal Figur 1: Statistikk. 3 Innhold 1 Beskrivende statistikk 9 1.1 Populasjon og utvalg.................................. 9 1.2 Statistiske mål

Detaljer

Emnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard

Emnenavn: Eksamenstid: Faglærer: Hans Kristian Bekkevard Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: SFB10711 Emnenavn: Metodekurs 1: statistikk, deleksamen Dato: Eksamenstid: 4. januar 2017 4 timer Hjelpemidler: Kalkulator og vedlagt formelsamling m/tabeller Faglærer:

Detaljer

Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder

Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Institutt for matematiske fag Eksamensoppgåve i ST1201/ST6201 Statistiske metoder Fagleg kontakt under eksamen: Nikolai Ushakov Tlf: 45128897 Eksamensdato: 04. desember 2015 Eksamenstid (frå til): 09:00

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010. ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 2010 ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. Diskrete tilfeldige variable Diskrete tilfeldige variable, innledning

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 9: Inferens om én populasjon Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 9: Inferens om én populasjon Statistisk inferens har som mål å tolke/analysere

Detaljer

Høgskoleni østfold EKSAMEN. SFB10711 Metodekurs 1: Grunnleggende matematikk og statistikk Skriftlig eksamen, vår, statistikk

Høgskoleni østfold EKSAMEN. SFB10711 Metodekurs 1: Grunnleggende matematikk og statistikk Skriftlig eksamen, vår, statistikk Høgskoleni østfold EKSAMEN Emnekode: Emne: SFB10711 Metodekurs 1: Grunnleggende matematikk og statistikk Skriftlig eksamen, vår, statistikk Dato: 4. mai 2015 Eksamenstid: kl. 09.00 til kl. 13.00 Hjelpemidler:

Detaljer

HYPOTESETESTING for mastergradsstudium i informasjonssikkerhet

HYPOTESETESTING for mastergradsstudium i informasjonssikkerhet HYPOTESETESTING for mastergradsstudium i informasjonssikkerhet Hans Petter Hornæs E-post: hansh@hig.no Høgskolen i Gjøvik. Versjon per 4.11 2003 Dette er notater, oppgaver og formelsamling til støtte for

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 10 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4240 STATISTIKK Mandag 12. desember 2011 Oppgave 1 Oljeleting a) Siden P(A

Detaljer

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0

Oppgave 1. T = 9 Hypotesetest for å teste om kolesterolnivået har endret seg etter dietten: T observert = 2.16 0 Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 08. mai 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir

Detaljer

OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 6 SIDER MERKNADER: Alle deloppgaver vektlegges likt.

OPPGAVESETTET BESTÅR AV 3 OPPGAVER PÅ 6 SIDER MERKNADER: Alle deloppgaver vektlegges likt. EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 08. mai 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk (Tapir forlag) OPPGAVESETTET

Detaljer

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller.

EKSAMEN. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator. Hornæs: Formelsamling statistikk HiG. John Haugan: Formler og tabeller. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN FAGNAVN: Statistikk. FAGNUMMER: Rea 1082 EKSAMENSDATO: 14. mai 2009. KLASSE: Ing. TID: kl. 9.00 13.00. FAGLÆRER: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl. forside) TILLATTE

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 10. juni Ingeniørutdanning. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 10. juni Ingeniørutdanning. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. Rea181 EKSAMENSDATO: 1. juni 28 KLASSE: Ingeniørutdanning. TID: kl. 9. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 3 (innkl.

Detaljer

Hypotesetesting av λ og p. p verdi.

Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Forelesning 7, kapittel 6 Hypotesetesting av λ og p. p verdi. Det som gjøres i denne forelesningen er nær opptil det vi gjorde da vi konstruerte z test for µ, og styrkefunksjon for denne. I tillegg til

Detaljer

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger

TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger TMA4240/TMA4245 Statistikk Oppsummering diskrete sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling* ( ) n b(x; n, p) = p x (1 p) n x = x ( ) n p x q n x, x x = 0, 1, 2,..., n Fenomén: i) n forsøk. ii) Suksess/fiasko

Detaljer

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007

Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Løsningsforslag til eksamen i TMA4245 Statistikk 7. juni 2007 Oppgave 1: Pengespill a) For hver deltaker har vi følgende situasjon: Deltakeren får en serie oppgaver. Hver runde har to mulige utfall: Deltakeren

Detaljer

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009:

Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Pål Romundstad Beregning av sannsynlighet i en binomisk forsøksrekke generelt Sannsynligheten for at suksess intreffer X

Detaljer

Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015

Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Første sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2015 Dette er det første obligatoriske oppgavesettet i STK1110 høsten 2015. Oppgavesettet består av fire oppgaver. Du må bruke Matematisk institutts

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen i: ECON2130 - Statistikk 1 Eksamensdag: 19.06.2014 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 4 sider UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Tillatte hjelpemidler: Alle trykte

Detaljer

Statistikk 1 kapittel 4

Statistikk 1 kapittel 4 Statistikk 1 kapittel 4 Nico Keilman ECON 2130 Vår 2017 Kapittel 4 Stokastiske (tilfeldige) variabler Anta 1) Vi kjenner sannsynligheter for ulike utfall knyttet til et forsøk 2) Hvert utfall har en (meningsfull)

Detaljer

Regneøvelse 22/5, 2017

Regneøvelse 22/5, 2017 Regneøvelse 22/5, 217 Arne Bang Huseby Eksamen STK11 212: oppgave 1 og 2 Eksamen STK11 28: oppgave 1) og 2 Eksamen 212, oppgave 1 Ved en bestemt butikk i en større dagligvarekjede viser langvarige data

Detaljer

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3.

ÅMA110 Sannsynlighetsregning med statistikk, våren Kp. 3 Diskrete tilfeldige variable. Diskrete tilfeldige variable, varians (kp. 3. ÅMA Sannsynlighetsregning med statistikk, våren 8 Kp. Diskrete tilfeldige variable Kp. Diskrete tilfeldige variable Har sett på (tidligere: begrep/definisjoner; tilfeldig (stokastisk variabel sannsynlighetsfordeling

Detaljer

Oppgave 1. Det oppgis at dersom y ij er observasjon nummer j fra laboratorium i så er SSA = (y ij ȳ i ) 2 = 3.6080.

Oppgave 1. Det oppgis at dersom y ij er observasjon nummer j fra laboratorium i så er SSA = (y ij ȳ i ) 2 = 3.6080. EKSAMEN I: MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 28. FEBRUAR 2005 TILLATTE HJELPEMIDLER: KALKULATOR, TABELLER OG FORMLER I STATISTIKK (TAPIR FORLAG) OPPGAVESETTET BESTÅR AV 4 OPPGAVER PÅ

Detaljer

Kort overblikk over kurset sålangt

Kort overblikk over kurset sålangt Kort overblikk over kurset sålangt Kapittel 1: Deskriptiv statististikk for en variabel Kapittel 2: Deskriptiv statistikk for samvariasjon mellom to variable (regresjon) Kapittel 3: Metoder for å innhente

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt

UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt UNIVERSITETET I OSLO Matematisk Institutt Midtveiseksamen i: STK 1000: Innføring i anvendt statistikk Tid for eksamen: Onsdag 9. oktober 2013, 11:00 13:00 Hjelpemidler: Lærebok, ordliste for STK1000, godkjent

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2007

TMA4240 Statistikk Høst 2007 TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,

Detaljer

TMA4240 Statistikk Høst 2015

TMA4240 Statistikk Høst 2015 TMA4240 Statistikk Høst 2015 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 11, blokk II I denne øvingen skal vi fokusere på hypotesetesting. Vi ønsker å gi dere

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA4240 Statistikk H2010 Statistisk inferens: 8.1: Tilfeldig utvalg 9.1-9.3: Estimering Mette Langaas Foreleses uke 40, 2010 2 Utfordring Ved en bedrift produseres en elektrisk komponent. Komponenten må

Detaljer

a) Vi har det lineære likningssettet

a) Vi har det lineære likningssettet Høgskolen i Østfold Avdeling for ingeniørfag EKSAMEN Faglærer: Mikjel Thorsrud, 1R113511 Grunnleggende matematikk Dato: 30.03.2016 Tid: 0900-1300 og statistikk Sensurfrist: 20.04.2016 Antall oppgavesider:

Detaljer

Regneregler for forventning og varians

Regneregler for forventning og varians Regneregler for forventning og varians Det fins regneregler som er til hjelp når du skal finne forventningsverdier og varianser. Vi skal her se nærmere på disse reglene. Vi viser deg også hvordan reglene

Detaljer

Sensurfrist:

Sensurfrist: Høgskolen i Østfold Avdeling for ingeniørfag EKSAMEN Lærer: Elise Øby STATISTIKK Statistikk IRF22009 Deleksamen 1 Statistikk: Dato: 18.06.2013 Tid: 0900-1200 IRB22512, IRD22612 IRE22512 Antall oppgavesider:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30

Detaljer

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer.

Utvalgsfordelinger. Utvalg er en tilfeldig mekanisme. Sannsynlighetsregning dreier seg om tilfeldige mekanismer. Utvalgsfordelinger Vi har sett at utvalgsfordelinger til en statistikk (observator) er fordelingen av verdiene statistikken tar ved mange gjenttatte utvalg av samme størrelse fra samme populasjon. Utvalg

Detaljer

A. i) Sett opp en frekvenstabell over de fire mulige kombinasjonene av kjønn og røykestatus. Dvs. fyll inn. Ikke - røyker Sum Jente Gutt Sum 25

A. i) Sett opp en frekvenstabell over de fire mulige kombinasjonene av kjønn og røykestatus. Dvs. fyll inn. Ikke - røyker Sum Jente Gutt Sum 25 1 ECON21: ESAEN 215v SENSORVEILEDNING. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i > Grensen til bestått bør ligge på ca

Detaljer

La U og V være uavhengige standard normalfordelte variable og definer

La U og V være uavhengige standard normalfordelte variable og definer Binormalfordelingen Definisjon Noe av hensikten med å innføre begrepet betinget sannsynlighet er at kompliserte modeller ofte kan bygges ut fra enkle betingede modeller. Når man spesifiserer betingelser

Detaljer

Emnenavn: Grunnleggende matematikk og statistikk

Emnenavn: Grunnleggende matematikk og statistikk Høgskolen i østfold EKSAMEN Emnekode: IR13511 Emnenavn: Grunnleggende matematikk og statistikk Dato: 14.06.2016 Eksamenstid: 0900-1300 Sensurfrist: 05.07.2016 Antall oppgavesider: 3 Faglærer: Mikjel Thorsrud,

Detaljer

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen

ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Kapittel 6: Normalfordelingen Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Kap. 6: Normalfordelingen Normalfordelingen regnes som den viktigste statistiske fordelingen!

Detaljer

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk

Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4245 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland Tlf: 48 22 18 96 Eksamensdato:??. august 2014 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte

Detaljer

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs

EKSAMEN KANDIDATNUMMER: EKSAMENSDATO: 11. juni HiS Jørstadmoen. TID: kl EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Statistikk. BtG27 EKSAMENSDATO: 11. juni 28 KLASSE: HiS 6-9 Jørstadmoen. TID: kl. 8. 13.. EMNEANSVARLIG: Hans Petter Hornæs ANTALL SIDER UTLEVERT: 4 (innkl.

Detaljer

EKSAMEN. EMNEANSVARLIG: Terje Bokalrud og Hans Petter Hornæs. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator og alle trykte og skrevne hjelpemidler.

EKSAMEN. EMNEANSVARLIG: Terje Bokalrud og Hans Petter Hornæs. TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator og alle trykte og skrevne hjelpemidler. KANDIDATNUMMER: EKSAMEN EMNENAVN: EMNENUMMER: Kvalitetsledelse med Statistikk. SMF2121 EKSAMENSDATO: 1. juni 2010 KLASSE: Ingeniørutdanning TID: kl. 9.00 13.00. EMNEANSVARLIG: Terje Bokalrud og Hans Petter

Detaljer

Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen

Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafordelingen og χ 2 -fordelingen Gammafunksjonen Gammafunksjonen er en funksjon som brukes ofte i sannsynlighetsregning. I mange fordelinger dukker den opp i konstantleddet. Hvis man plotter n-fakultet

Detaljer