Forelesning 5 STK3100
|
|
- Elsa Ødegård
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Devians Forelesning 5 STK setember 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Mer om evians 2. Devians og Gooness-of-fit tester 3. GLM og resiualer 4. Observert og forventet informasjon 5. Otimeringsrutiner 6. Iterative revektee minste kvarater (IRwLS) Forelesning 5 STK /40 Eks: Y i N(µ i,σ 2 ): Den mettee moellen har µ i = Y i l = n 2 log(2πσ2 ) 1 2σ 2 (Y i µ i ) 2 l = n 2 log(2πσ2 ) Derme finner vi at likelihoo ratio mellom mettet moell og en vilkårlig moell blir 2( l l) = 1 (Y σ 2 i µ i ) 2 og foreslår en generalisering av kvaratsum til GLM. Vi efinerer generelt Deviansen ve = 2( l l) er altså l er log-likelihoo for en mettee moellen. Forelesning 5 STK /40 En Mettet (saturate) moell er en moell som har en arameter er observasjon. Sesielt er alle anre moeller nøstet i en mettee moellen. Eks: Biller Den mettee moellen har ulike sannsynligheter π i for hver giftose og tilassee sannsynligheter blir π i = Y i /n i. For GLM får vi en erfekt tilasning til ata Y i slik at reikerte forventninger µ i = Y i. Den mettee moellen får også maksimal onåelig likelihoo l over alle tenkelige moeller. Forelesning 5 STK /40 Devians = 2( l l) Merk: Minimering av D er ekvivalent me maksimering av likelihooen. Eksemler å Devianser: Poisson: = 2 n [Y i log(y i /λ i ) (Y i λ i )] Binomisk, π i = Y i /n i : = 2 n [Y i log( π i π i ) + (n i Y i ) log( 1 π i 1 π i )] Et ar anre begreer: Nullevians = Devians me Moell: µ i = µ eller g(µ i ) = β 0, vs. kun konstantle i moellen Resiual evians = Devians i aktuell moell g(µ i ) = β 0 + β 1 x i β x i, vs. eviansen innsatt MLE ˆβ Forelesning 5 STK /40
2 LRT og Devians Ariori MLE ˆβ = (ˆβ 1,..., ˆβ ) gir Devians ˆ = 2[ l ˆl] = 2[ l l(ˆβ)] Uner nullhyotesen er β q+1 = = β = 0. Da fås MLE β = (β 1,...,β q, 0,..., 0) som gir evians = 2[ l l ] = 2[ l l(β )]. Likelihoo ratio testen gis nå ve at uner H 0 G = 2[l(ˆβ) l(β )] = ˆ χ 2 q. Vi gjør altså LRT ve å beregne evianser for moellene som sammenlignes! Test for H 0 : β = β 0 : Wal-test Me ˆβ MLE for β og se stanarfeil for ˆβ : Z = ˆβ β 0 se N(0, 1) (tilnærmet) Likelihoo-Ratio-test: Ariori MLE ˆβ = (ˆβ 1,..., ˆβ ) Uner nullhyotesen fås MLE β = (β 1,...,β 1,β 0 ) Likelihoo ratio testen gis a ve at tilnærmet G = 2[l(ˆβ) l(β )] = ˆ χ 2 1 (kjikvaratforelt me 1 frihetsgra). Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40 Eksemel: Biller Ariori moell: logit(π i ) = β 0 + β 1 x i Nullhyotese: β 1 = 0 Nullevians: = Resiual evians: ˆ = LRT: G = ˆ = , vs. soleklar forkastning sml. χ 2 1 Ariori moell: logit(π i ) = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i Nullhyotese: β 2 = 0 Devians uner H 0 : = Resiual evians: ˆ = LRT: G = ˆ = 8.03, -veri P(χ 2 1 > 8.03) = , vs. signifikant avvik LR-test for H 0 : β = β 0 i R For å utføre enne LR-testen i R benyttes et som kalles offset. Uner nullhyotesen er lineær reiktor η i = β 0 + β 1 x i1 + + β 1 x i, 1 + β 0 x i er β 0 x i er kjente størrelser. Disse må sesifiseres i rogrammet! I R gjøres ette ve å legge inn offset(beta0*x) i moellformelen, f.eks. > glm(y x1+x2+x3+offset(beta40*x4),family=oisson) Da vil arametrene β 0,β 1,β 2 og β 3 estimeres uner en forutsetning at β 4 = β 40. Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40
3 Eks. Biller: H 0 : β 1 = 40 uner logit-lineær moell β 0 + β 1 x i. Wal-test: Vi hae ˆβ 1 = me se 1 = Vi får Z 1 = = og (tosiig) -veri blir 2P(Z 1 > 1.966) = LR-test: Finn ˆ = = evians ariori Finner = = evians når β 1 = 40. Differansen G = ˆ = 3.49 Devians og gooness-of-fit tester Uner gitte forutsetninger gjeler tilnærmet ˆ χ 2 n 1 uner moell η i = β 0 + β 1 x i1 + + β x i Sesielt gjeler ette når Y i Bin(n i,π i ) er n i π i > 5 og n i (1 π i ) > 5 Y i Po(µ i ) og µ i > 5 Dette kan brukes til å teste om moellen svikter. ersom P(χ 2 n 1 > ˆ ) er liten er et grunn til å tvile å moellen. som skal være trukket fra en tilnærmet χ 2 1 uner nullhyotesen, gir -veri P(χ 2 1 > 3.49) = Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40 LR-Biller: H 0 : β 1 = 40 i R > glmfit0biller<-glm(cbin(doe,ant-doe) Dose,family=binomial) > glmfit2biller<-glm(cbin(doe,ant-doe) offset(40*dose), family=binomial) > anova(glmfit2biller,glmfit0biller,test="chisq") Analysis of Deviance Table Moel 1: cbin(doe, Ant - Doe) offset(40 * Dose) Moel 2: cbin(doe, Ant - Doe) Dose Resi. Df Resi. Dev Df Deviance P(> Chi ) > glmfit2biller Coefficients: (Intercet) Degrees of Freeom: 7 Total (i.e. Null); 7 Resiual Null Deviance: Resiual Deviance: AIC: Resiual evians i lineær-normal moell Me ˆµ i = ˆβ 0 + ˆβ 1 x i ˆβ x i blir resiual-eviansen ˆ = 1 σ 2 (Y i ˆµ i ) 2 = (n 1)ˆσ2 σ 2 er ˆσ 2 = n (Y i ˆµ i ) 2 /(n 1) er forventningsrett for σ 2. Men når Y i N(β 0 + β 1 x i β x i,σ 2 ) er essuten uten tilnærmelse. ˆ χ 2 n 1 Resultatet egner seg ikke til gooness-of-fit testing for lineærnormale moeller sien vi må estimere σ 2. I moeller uten (eller me kjent) sreningsle blir et annerlees. Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40
4 Eks: Biller Me (logit)-lineær moell β 0 + β 1 x i ble ˆ = Hvis ette er en go moell bure a ˆ = ikke være en ekstrem veri i forhol til χ 2 6. Vi finner P(χ 2 6 > 11.23) = 0.082, altså en inikasjon å at et er mulig å forbere moellen. Vi finner a også at kvaratleet i en utviee moellen er signifikant. Kvaratlesmoellen får resiualevians og me P(χ 2 5 > 3.195) = 0.67 er et ikke lenger antyning til moell-avvik. Pearson Kjikvarat X 2 Utrykket 1 σ 2 (Y i ˆµ i ) 2 kan også generaliseres ve Pearson Kjikvarat: X 2 = (Y i ˆµ i ) 2 Var(Y i ) Som resiualevians ˆ vil X 2 være tilnærmet χ 2 n 1 uner forutsetning av at Y i -ene er tilnærmet normalforelte. Binomisk Poisson X 2 = n (Y i n iˆπ i ) 2 X 2 = n n iˆπ i (1 ˆπ i ) (Y i ˆµ i ) 2 ˆµ i Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40 Kravene n i π i > 5 og n i (1 π i ) > 5 kan sjekkes: Beregner n iˆπ i > 5 og n i (1 ˆπ i ) > 5 > glmfit0biller<-glm(cbin(doe,ant-doe) Dose,family=binomial) > roun(ant*glmfit0biller$fit,2) > roun(ant*(1-glmfit0biller$fit),2) > glmfit1biller<-glm(cbin(doe,ant-doe) Dose+I(Doseˆ2),family=binomial) > roun(ant*glmfit1biller$fit,2) > roun(ant*(1-glmfit1biller$fit),2) Noen reikerte verier er litt små i forhol til kravet, gooness-of-fit testene å forrige sie er antagelig noe konservative. Pearson X 2 for billeataene Pearson X 2 er ikke imlementert i R, men lett å beregne: > yhat<-ant*glmfit0biller$fit > varhat<-ant*glmfit0biller$fit*(1-glmfit0biller$fit) > X2<-sum((Doe-yhat)ˆ2/varhat) > X2 [1] > 1-chisq(X2,6) [1] > yhat<-ant*glmfit1biller$fit > varhat<-ant*glmfit1biller$fit*(1-glmfit1biller$fit) > X2<-sum((Doe-yhat)ˆ2/varhat) > X2 [1] > 1-chisq(X2,5) [1] Altså X 2 nokså lik ˆ her. Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40
5 Pearson-resiualer efineres ve r Pi = Y i ˆµ i Var(Y i ) 0.5 og er altså en irekte generalisering av vanlige resiualer e i = (Y i ˆµ i )/ˆσ hvor et tas hensyn til at varians tyisk avhenger av forventningen i GLM. Merk at Pearson X 2 = n r2 Pi. > roun(resiuals(glmfit0biller,tye="earson"),2) > sum(resiuals(glmfit0biller,tye="earson")ˆ2) [1] Deviansresiualer for binomiske ata r i = sign(y i n iˆπ i ) 2[Y i log( π i ˆπ i ) + (n i Y i ) log( 1 π i 1 ˆπ i )] ser ikke umielbart ut som resiualer, men gir verier ofte ikke avviker mye fra Pearson-resiualer > roun(resiuals(glmfit0biller,tye="eviance"),2) > sum(resiuals(glmfit0biller,tye="eviance")ˆ2) [1] De er essuten efault i R: roun(resiuals(glmfit0biller),2) Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40 Deviansresiualer Sammenligning av resiualene Vi kan også efinere resiualer basert å biragene til eviansen me (logit-)lineær moell: ˆ = 2 [ l i ˆl i ] er l i og ˆl i er log-likelihoo-birag i mettet moell og ve MLE ˆβ. Sesifikt efineres Devians-resiualer ve r i = sign(y i ˆµ i ) 2( l i ˆl i ) = slik at vi onår ˆ = n r2 i. + 2( l i ˆl i ) hvis Y i > ˆµ i 2( l i ˆl i ) hvis Y i < ˆµ i resiualer Deviansresiualer Pearson-resiualer Dose Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40
6 Sammenligning av resiualene Anscomberesiualer, forts. me moell: logit(π i ) = β 0 + β 1 x i + β 2 x 2 i For V (µ i ) = µ i blir transformasjonen h() resiualer = 3 : h(µ) = log(µ) (Invers gaussisk foreling) 3 : h(µ) = rµ r for r = 3/(3 ) For binomisk variansfunksjon V (π) = π(1 π) finnes ikke ekslistitt h(), må benytte numerisk integrasjon. Poeng me Anscomberesiualer: Nærmere normalforelte resiualer Viser seg å være tilnærmet like eviansresiualer Dose Ser ingen kurvatur i lottet nå! Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40 Anscomberesiualer For valgte funksjoner h() kan man generelt efinere resiualer ve r ia = h(y i) h(ˆµ i ) Var[h(Y i )] 0.5 Det viser seg at h() gitt ve h (µ) = V (µ) 1/3 gir trejeorensmoment E[h(Y i ) E(h(Y i ))] 3 0 tilnærmet symmetrisk foreling bere tilnærming til normalforeling Isåfall blir også Var[h(Y i )] φ i h (µ i ) 2 V (µ i )(= φ i V (µ i ) 1/3 ) og Anscombe-resiualene r ia = h(y i) h(ˆµ i ) φi h (ˆµ i ) V (ˆµ i ) Eks. Anscomberesiualer for billene M1<-glm(cbin(Doe,Ant-Doe) Dose,family=binomial,ata=biller) attach(biller) y0<-doe/ant n<-length(ant) varfu<-function(i) i*(1-i) her<-function(i) varfu(i)ˆ(-1/3) anscomberes<-numeric(0) for (i in 1:n) { i0<-m1$fit[i] anscomberes[i]<-integrate(her,i0,y0[i])$value anscomberes[i]<-anscomberes[i]*sqrt(ant[i])/(her(i0)*sqrt(varfu(i0))) } > roun(anscomberes,2) [1] Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40
7 Sammenligning Scorefunksjon og estimeringsligninger for GLM Anscombe, evians og Pearson resiualer: Komonent j i scorefunksjonen U(β) = (U 1 (β),...,u (β)) uttrykkes erme resiualer a a a a a a a a a Devians Pearson Anscombe U j (β) = l(β) β j = U ij (β) = 1 φ x ij Y i µ i g (µ i )V (µ i ) Vi finner altså MLE ˆβ ve å løse ligningene, j = 1,...,, U j (ˆβ) = 1 φ x ij er ˆµ i er estimert forventning me β = ˆβ. Y i ˆµ i g (ˆµ i )V (ˆµ i ) = Dose Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40 Log-likelihoo for GLM Me log-likelihoo-birag l i (β) = log(f(y i ;θ i,φ) blir log-likelihoo l(β) = l i (β) = [ θ iy i a(θ i ) + log(c(y i ))] φ sien Y i -ene er uavhengige me tetthet f(y i ;θ i,φ) Observert /forventet informasjonsmatrise (generell link) Observert informasjon J(β) = 2 l β 2 Forventet informasjon ble a (vist sist) [ J (β) = E[ J(β)] = 1 1 x ij x ik φ g (µ i ) 2 V (µ i ) ] j,k=1 Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40
8 Kanonisk link: Observert info = Forventet info Observert informasjon J(β) = [ J kj (β)] j,k=1 er J kj (β) = U j β k = 1 n φ x ij η i µ i (Y i µ i ) β k η i µ i = 1 n φ x 1 ijx ik = J g (µ i ) jk(β) sien J kj (β) ikke avhenger av noe stokastisk. Vi finner essuten at J kj (β) = J jk (β) = 1 φ x ij x ik V (µ i ) sien θ i = η i g 1 (θ i ) = µ i = a (θ i ) V (µ i ) = a (θ i ) = 1 g (µ i ). Score og Informasjon å matriseform Vi kan uttrykke score U(β) = 1 φ X Wg (µ)(y µ) og forventet informasjon J = 1 φ X WX er (Y µ) = (Y 1 µ 1,...,Y n µ n ), x 11 x 12 x 1 x 21 x 22 x 2 X = esignmatrisen =.... x n1 x n2 x n og 1 W = iag( g (µ 1 ) 2 V (µ 1 ),, 1 g (µ n ) 2 V (µ n ) ), 1 vs. iagonalmatrisen me leene g (µ i ) 2 V (µ i langs iagonalen. ) Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40 Eksemel: Logistisk regresjon, binære Y i : E[Y i ] = π i V (π i ) = Var(Y i ) = π i (1 π i ) Så me g(π i ) = logit(π i ) = log( π i 1 π i ) = η i blir Dessuten [ J = x ij x ik π i (1 π i ) g (µ i ) = 1 π i π i = ] j,k=1 1 π i (1 π i ) = 1 V (π i ).. samt at g (µ) = iag(g (µ 1 ),,g (µ n )), Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40
9 Newton-Rahson og Fisher-Scoring La l(θ) være en generell likelihoo me scorefunksjon U(θ), observert informasjon J(θ) og forventet informasjon J (θ). Da oateres anslag θ (k) til nytt anslag θ (k+1) ve Newton-Rahson: θ (k+1) = θ (k) + J(θ (k) ) 1 U(θ (k) ) Fisher-scoring: θ (k+1) = θ (k) + J (θ (k) ) 1 U(θ (k) ) Iterasjonen fortsetter til l(θ (k+1) ) l(θ (k) ) < ǫ = (f.eks.) Motivasjon: Newton s algoritme Fisher-scoring billeata # 0) Definerer esignmatrise og matrise av resonser X<-cbin(re(1,8),Dose) Y<-matrix(Doe,ncol=1) # 1) Initier betaol og loglikelihoo 0<-sum(Doe)/sum(Ant) betaol<-matrix(c(log(0/(1-0)),0),ncol=1) loglikol<-sum(y*log(0/(1-0)))+sum(antall*log(1-0)) esilon< logliknew<-loglikol+2*esilon iterasjon<-0 rint(aste("iterasjon nr.",iterasjon," Loglik=",loglikol)) 0 = f(x ) f(x) + (x x)f (x) x x f(x)/f (x) xny = xg f(xg)/f (xg) Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40 Fisher-scoring for GLM Nytt anslag for β: β (k+1) = β (k) + J (β (k) ) 1 U(β (k) ) = β (k) + (X W (k) X) 1 X W (k) g (µ (k) )(Y µ (k) ) er µ (k),g (µ (k) ) og W (k) er µ,g (µ) og W evaluert i β (k). Ogave: Anta Y i N(µ i,σ 2 ) me µ i = β jx ij. Vis at at Fisher-scoring-algoritmen konverger i 1. iterasjon til minste kvaraters estimator ˆβ = (X X) 1 X Y uavhengig av startveri β (0). Fisher-scoring billeata, forts. #2) Iterer til loglikelihoo enres lite <-1/(1+ex(-X%*%betaol)) while(logliknew-loglikol>esilon){ iterasjon<-iterasjon+1 loglikol<-logliknew mu<-matrix(antall*,ncol=1) W<-iag(antall**(1-)) U<-t(X)%*%(Y-mu) J<-t(X)%*%W%*%X betanew<-betaol+solve(j)%*%u betaol<-betanew <-1/(1+ex(-X%*%betaol)) logliknew<-sum(y*log(/(1-)))+sum(antall*log(1-)) rint(aste("iterasjon nr.",iterasjon," Loglik=",logliknew)) rint(cbin(betanew,sqrt(iag(solve(j))))) } Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40
10 Fisher-scoring billeata, Iterasjon > source("fisher-biller-2") [1] "Iterasjon nr. 0 Loglik= " [1] "Iterasjon nr. 1 Loglik= " [,1] [,2] Dose [1] "Iterasjon nr. 2 Loglik= " [,1] [,2] Dose [1] "Iterasjon nr. 3 Loglik= " [,1] [,2] Dose [1] "Iterasjon nr. 4 Loglik= " [,1] [,2] Dose Vektet minste kvaraters metoe Y i N(µ i,σ 2 /w i ) me µ i = β jx ij og w i = kjente vekter Da blir log-likelihoo l(β) = 1 2σ 2 n (Y i µ i ) 2 w i + K og vektet minste kvaraters estimatoren blir er ˆβ = (X WX) 1 X WY Y = søylevektor av resonsene X = esignmatrisen W = iag(w 1,...,w n ) Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40 Fisher-scoring billeata, Iterasjon forts. [1] "Iterasjon nr. 5 Loglik= " [,1] [,2] Dose # glm i R (til sammenligning) Value St. Error t value (Intercet) Dose GLM Fisher-scoring = IRLS-algoritmen = Iteratively Reweighte Least-Squares Algoritmen. Me (k) = g (µ (k) )(Y µ (k) ) β (k+1) = β (k) + (X W (k) X) 1 X W (k) (k) = (X W (k) X) 1 [X W (k) Xβ (k) + X W (k) (k) ] = (X W (k) X) 1 X W (k) Z (k) er Z (k) = Xβ (k) + g (µ (k) )(Y µ (k) ) altså som vektet minste kvaraters estimator me "resonser" Z (k) vekter W (k) som begge må oateres i hver iterasjon. Forelesning 5 STK /40 Forelesning 5 STK /40
Forelesning STK september 2011
Forelesning STK3100 12. setember 2011 Geir Storvik (S. O. Samuelsen) Plan for forelesning: 1. Mer om evians 2. Devians og Gooness-of-fit tester 3. GLM og resiualer En Mettet (saturate) moell er en moell
DetaljerForelesning 6 STK3100
Forelesning STK3 september 7 S O Samuelsen Plan for forelesning: Mer om evians GLM resiualer 3 Test for H : Offset Observert forventet informasjon Optimeringsrutiner Iterative revektee minste kvarater
DetaljerForelesning 6 STK3100
Scorefunksjon og estimeringsligninger for GLM Forelesning 6 STK3100 29. september 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Observert og forventet informasjon 2. Optimeringsrutiner 3. Iterative revektede
DetaljerGeneraliserte Lineære Modeller
Lineær regresjon er en GLM Generaliserte Lineære Modeller Responser (Y i -er) fra normalfordelinger Lineær komponent η i = β 0 + β 1 x i1 + + β p x ip E[Y i ] = µ i = η i, dvs. linkfunksjonen g(µ i ) =
DetaljerGeneraliserte Lineære Modeller
Eksponensiell klasse Generaliserte Lineære Modeller Y i f(y i ;θ i ) = c(y i ;φ) exp((θ i y i a(θ i ))/φ) µ i = E[Y i ] = a (θ i ) σ 2 i = Var[Y i ] = φa (θ i ) = φv (µ i ) STK3100-4. september 2011 Geir
DetaljerForelesning 6 STK3100/4100
Forelesning 6 STK3100/4100 p. 1/4 Forelesning 6 STK3100/4100 4. oktober 2012 Presentasjon av S. O. Samuelsen (modifisert av Geir H12) Plan for forelesning: 1. GLM Binære data 2. Link-funksjoner 3. Parameterfortolkning
DetaljerEksponensielle klasser
Eksponensielle klasser, de Jong & Heller, Kap. 3 Eksponensielle klasser STK3100-1. september 2008 Sven Ove Samuelsen En stokastisk variabel Y sies å ha fordeling i den eksponensielle fordelingsklasse dersom
Detaljer(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x].
FORMELSAMLING TIL STK2100 (Versjon Mai 2018) 1 Tapsfunksjoner (a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. (b)
DetaljerForelesning 6 STK3100/4100
Binomiske eller binære responser Forelesning 6 STK3100/4100 26. september 2008 Geir Storvik (S. O. Samuelsen) Plan for forelesning: 1. GLM Binære data 2. Link-funksjoner 3. Parameterfortolkning logistisk
DetaljerIntroduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) og blandede modeller
Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) og blandede modeller p. 1/34 Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) og blandede modeller STK3100/4100-23. august 2011 Geir Storvik (Oppdatert
DetaljerForelesning 7 STK3100/4100
Forelesning 7 STK3100/4100 p. 1/2 Forelesning 7 STK3100/4100 8. november 2012 Geir Storvik Plan for forelesning: 1. Kontinuerlige positive responser 2. Gamma regresjon 3. Invers Gaussisk regresjon Forelesning
DetaljerIntroduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM)
Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) p. 1/25 Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) STK3100-23. august 2010 Sven Ove Samuelsen/Anders Rygh Swensen Plan for første forelesning:
DetaljerForelesning 7 STK3100/4100
Gamma regresjon Forelesning 7 STK3100/4100 26. september 2008 Geir Storvik Plan for forelesning: 1. Kontinuerlige positive responser 2. Gamma regresjon 3. Invers Gaussisk regresjon Modell: Har y Gamma(µ,ν),
Detaljer(a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x].
FORMELSAMLING TIL STK2100 (Versjon Mai 2017) 1 Tapsfunksjoner (a) For regresjon brukes vanligvis kvadratisk tap: L(y, ŷ) = (y ŷ) 2. Den optimale prediktor basert på input variable x er da Ŷ = E[Y x]. (b)
Detaljerj=1 (Y ij Ȳ ) 2 kan skrives som SST = i=1 (J i 1) frihetsgrader.
FORMELSAMLING TIL STK2120 (Versjon av 30. mai 2012) 1 Enveis variansanalyse Anta at Y ij = µ + α i + ɛ ij ; j = 1, 2,..., J i ; i = 1, 2,..., I ; der ɛ ij -ene er uavhengige og N(0, σ 2 )-fordelte. Da
DetaljerSTK juni 2016
Løsningsforslag til eksamen i STK220 3 juni 206 Oppgave a N i er binomisk fordelt og EN i np i, der n 204 Hvis H 0 er sann, er forventningen lik E i n 204/6 34 for i, 2,, 6 6 Hvis H 0 er sann er χ 2 6
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK2120 Statistiske metoder og dataanalyse 2. Eksamensdag: Fredag 7. juni 2013. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST 202 Statistiske slutninger for den eksponentielle fordelingsklasse. Eksamensdag: Fredag 15. desember 1995. Tid for eksamen:
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 11. november 2017) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,..., B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerForelesning 5 STK3100/4100
Forelesning 5 STK3100/4100 p. 1/4 Forelesning 5 STK3100/4100 27. september 2012 Presentasjon laget av S. O. Samuelsen (modifisert av Geir H12) Plan for forelesning: 1. Poissonfordeling 2. Overspredning
DetaljerForelesning 11 STK3100/4100
Forelesning STK300/400 Plan for forelesning: 3. oktober 20 Geir Storvik. Generaliserte lineære blandede modeller Eksempler R-kode - generell formulering av modell Tillater innbygging av avhengigheter mellom
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Eksamen i STK3100 Innføring i generaliserte lineære modeller Eksamensdag: Mandag 6. desember 2010 Tid for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet
DetaljerOppsummering av STK2120. Geir Storvik
Oppsummering av STK2120 Geir Storvik Vår 2011 Hovedtemaer Generelle inferensmetoder Spesielle modeller/metoder Bruk av R Vil ikke bli testet på kommandoer, men må forstå generelle utskrifter Generelle
DetaljerForelesning 10 STK3100
Momenter i multinomisk fordeling Forelesning 0 STK300 3. november 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning:. Multinomisk fordeling 2. Multinomisk regresjon - ikke-ordnede kategorier 3. Multinomisk regresjon
DetaljerTilleggsoppgaver for STK1110 Høst 2015
Tilleggsoppgaver for STK0 Høst 205 Geir Storvik 22. november 205 Tilleggsoppgave Anta X,..., X n N(µ, σ) der σ er kjent. Vi ønsker å teste H 0 : µ = µ 0 mot H a : µ µ 0 (a) Formuler hypotesene som H 0
DetaljerSTK Oppsummering
STK1110 - Oppsummering Geir Storvik 11. November 2015 STK1110 To hovedtemaer Introduksjon til inferensmetoder Punktestimering Konfidensintervall Hypotesetesting Inferens innen spesifikke modeller/problemer
DetaljerEksponensielle klasser og GLM
!! 3 ksponensielle klasser, Dobson, Kap 3 ksponensielle klasser GLM n stokastisk variabel sies å ha fordeling i den eksponensielle fordelingsklasse som tettheten pktsannsh til kan skrives på formen STK3-3
DetaljerForelesning 9 STK3100/4100
p. 1/3 Forelesning 9 STK3100/4100 Plan for forelesning: 18. oktober 2012 Geir Storvik 1. Lineære blandede modeller 2. Marginale modeller 3. Estimering - ML og REML 4. Modell seleksjon p. 2/3 Modell med
DetaljerIntroduksjon Lineære blanda modellar Generaliserte lineære blanda modellar Analyser av modellar Eit randproblem Oppsummering. Blanda modellar i R
Blanda modellar i R Jorunn Slagstad Universitetet i Bergen 20. desember 2006 1 Introduksjon 2 Lineære blanda modellar 3 Generaliserte lineære blanda modellar 4 Analyser av modellar 5 Eit randproblem 6
DetaljerForelesning 9 STK3100/4100
Forelesning 9 STK3100/4100 Plan for forelesning: 17. oktober 2011 Geir Storvik 1. Lineære blandede modeller 2. Marginale modeller 3. Estimering - ML og REML 4. Modell seleksjon p. 1 Modell med alle antagelser
DetaljerForelesning 3 STK3100
Eks. Fødselsvekt mot svangerskapslengde og kjønn Forelesning 3 STK3100 8. september 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Generelt om lineære modeller 2. Variansanalyse - Kategoriske kovariater
DetaljerForelesning 7 STK3100
Parameterfortolkning logistisk regresjon Forelesning 7 STK3100 6. oktober 2008 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Parameterfortolkning logistisk regresjon 2. Parameterfortolkning andre linkfunksjoner
DetaljerEKSAMEN I FAG TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Torsdag 14. desember 2006 Tid: 09:0013:00
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Faglig kontakt under eksamen: Bo Lindqvist, tlf. 975 89 418 EKSAMEN I FAG TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1100 Statistiske metoder og dataanalyse 1 - Løsningsforslag Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30
DetaljerForelesning 8 STK3100
$ $ $ # Fortolkning av Dermed blir -ene Vi får variasjonen i '& '& $ Dermed har fortolkning som andel av variasjonen forklart av regresjonen Alternativt: pga identiteten Forelesning 8 STK3100 p3/3 Multippel
DetaljerForelesning 8 STK3100/4100
Forelesning STK300/400 Plan for forelesning: 0. oktober 0 Geir Storvik. Lineære blandede modeller. Eksempler - data og modeller 3. lme 4. Indusert korrelasjonsstruktur. Marginale modeller. Estimering -
DetaljerPrøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011.
Prøveeksamen i STK3100/4100 høsten 2011. Oppgave 1 (a) Angi tetthet/punktsannsynlighet for eksponensielle klasser med og uten sprednings(dispersjons)ledd. Nevn alle fordelingsklassene du kjenner som kan
DetaljerEKSAMEN I EMNE TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Bokmål Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland 73 59 35 38 EKSAMEN I EMNE TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
DetaljerEkstraoppgaver for STK2120
Ekstraoppgaver for STK2120 Geir Storvik Vår 2011 Ekstraoppgave 1 Anta X 1 og X 2 er uavhengige med X 1 N(1.0, 1.0) og X 2 N(2.0, 1.5). La X = (X 1, X 2 ) T. Definer c = ( ) 2.0 3.0, A = ( ) 1.0 0.5 0.0
DetaljerIntroduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM)
Literatur / program Introduksjon til Generaliserte Lineære Modeller (GLM) STK3100-20. august 2007 Sven Ove Samuelsen Plan for første forelesning: 1. Introduksjon, Literatur, Program 2. ksempler 3. Uformell
DetaljerLøsningsforslag eksamen 27. februar 2004
MOT30 Statistiske metoder Løsningsforslag eksamen 7 februar 004 Oppgave a) Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh N(0, σ ) der µ i er forventa kopperinnhold for legering i og ε ij er feilleddet (tilfeldig variasjon)
DetaljerLøsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010
Løsningsforslag til andre sett med obligatoriske oppgaver i STK1110 høsten 2010 Oppgave 1 a Forventet antall dødsulykker i år i er E(X i λ i. Dermed er θ i λ i E(X i forventet antall dødsulykker per 100
DetaljerForelesning 11 STK3100/4100
Forelesning 11 STK3100/4100 Plan for forelesning: 1. november 2012 Geir Storvik 1. Generaliserte lineære blandede modeller Eksempler R-kode GLMM - generell formulering av modell Likelihood og estimering
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK1110 FASIT. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerForelesning 7 STK3100
( % - -! " stimering: MK = ML Forelesning 7 STK3100 1 oktober 2007 S O Samuelsen Plan for forelesning: 1 Generelt om lineære modeller 2 Variansanalyse - Kategoriske kovariater 3 Koding av kategoriske kovariater
DetaljerForelesning 9 STK3100
Poissonfordelingen: Forelesning 9 STK3100 20. oktober 2007 S. O. Samuelsen Plan for forelesning: 1. Poissonregresjon 2. Overspredning 3. Quasi-likelihood 4. Andre GLM-er Poissonfordelingen kan oppstå ved
DetaljerEKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 6 Kontakt under eksamen: Ingelin Steinsland (92 66 30 96) EKSAMEN I TMA4315 GENERALISERTE LINEÆRE MODELLER Tirsdag
DetaljerHypotesetesting. Formulere en hypotesetest: Når vi skal test om en parameter θ kan påstås å være større enn en verdi θ 0 skriver vi dette som:
Hypotesetesting. 10 og fore- Dekkes av pensumsidene i kap. lesingsnotatene. Hypotesetesting er en systematisk fremgangsmåte for å undersøke hypoteser (påstander) knyttet til parametre i sannsynlighetsfordelinger.
DetaljerDekkes av kap , 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene.
Estimering 2 -Konfidensintervall Dekkes av kap. 9.4-9.5, 9.10, 9.12 og forelesingsnotatene. En (punkt-)estimator ˆΘ gir oss et anslag på en ukjent parameterverdi, men gir oss ikke noen direkte informasjon
DetaljerLøsningsforslag: STK2120-v15.
Løsningsforslag: STK2120-v15 Oppgave 1 a) Den statistiske modellen er: X ij = µ i + ϵ ij, j = 1,, J, i = 1,, I Her indekserer i = 1,, I gruppene og j = 1,, J observasjone innen hver gruppe Feilleddene
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK2100 - FASIT Eksamensdag: Torsdag 15. juni 2017. Tid for eksamen: 09.00 13.00. Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
I dag I dag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve 3 a og b (inkl SME) Om eksamen (Truleg) 10 punkt.
DetaljerDeterminanter. Kapittel 6. Determinanter for 2 2-matriser. La oss beregne arealet av dette parallellogrammet. Vi tegner på noen hjelpelinjer:
Kapittel 6 Determinanter En matrise inneholer mange tall og erme mye informasjon så mye at et kan være litt overvelene Vi kan konensere ne all informasjonen i en kvaratisk matrise til ett enkelt tall som
DetaljerOm eksamen. Never, never, never give up!
Plan vidare Onsdag Gjere ferdig kap 11 + repetisjon Fredag Rekning av eksamensoppgåver Eksamen Mai 2014, oppgåve 2 (inkl normal fordeling, lin.reg. og deskriptiv statistikk) Eksamen August 2012, oppgåve
DetaljerRidge regresjon og lasso notat til STK2120
Ridge regresjon og lasso notat til STK2120 Ørulf Borgan februar 2016 I dette notatet vil vi se litt nærmere på noen alternativer til minste kvadraters metode ved lineær regresjon. Metodene er særlig aktuelle
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1 Eksamensdag: Mandag 30. november 2015. Tid for eksamen: 14.30 18.00. Oppgavesettet
DetaljerOppgave 1. X 1 B(n 1, p 1 ) X 2. Vi er interessert i forskjellen i andeler p 1 p 2, som vi estimerer med. p 1 p 2 = X 1. n 1 n 2.
Løsningsforslag til eksamen i MOT310 STATISTISKE METODER 1 VARIGHET: 4 TIMER DATO: 17 november 2008 TILLATTE HJELPEMIDLER: Kalkulator: HP30S, Casio FX82 eller TI-30 Tabeller og formler i statistikk Tapir
Detaljer7. november 2011 Geir Storvik
Forelesning 13 STK3100/4100 Plan for forelesning: 7. november 2011 Geir Storvik Generaliserte lineære blandede modeller 1. Sammenlikning ulike estimeringsmetoder 2. Tolkning parametre 3. Inferens Konfidensintervaller
DetaljerLøsningsforslag. n X. n X 1 i=1 (X i X) 2 og SY 2 = 1 ny S 2 X + S2 Y
Statistiske metoder 1 høsten 004. Løsningsforslag Oppgave 1: a) Begge normalplottene gir punkter som ligger omtrent på ei rett linje så antagelsen om normalfordeling ser ut til å holde. Konfidensintervall
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Anbefalt øving 9 Løsningsskisse Oppgave 1 a) Vi lar her Y være antall fugler som kolliderer med vindmølla i løpet av den gitte
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA440 Statistikk Høst 009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b6 Løsningsskisse Oppgave a) n 8, i x i 675, x 37.5, i y i 488, i x i 375, i x iy i
DetaljerKp. 12 Multippel regresjon
Kp 12 Multippel Bruk av Kp 12 Multippel ; oversikt Kp 12 Multippel Bjørn H Auestad Kp 11: Regresjonsanalyse 1 / 46 Kp 12 Multippel ; oversikt Kp 12 Multippel Bruk av Kp 12 Multippel ; oversikt 121 Introduction
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2007
TMA4240 Statistikk Høst 2007 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b4 Løsningsskisse Oppgave 1 Eksamen juni 1999, oppgave 3 av 3 a) µ populasjonsgjennomsnitt,
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4245 Statistikk Eksamen desember 2016 Oppgave 1 En bedrift produserer elektriske komponenter. Komponentene kan ha to typer
DetaljerLØSNINGSFORSLAG ) = Dvs
LØSNINGSFORSLAG 12 OPPGAVE 1 D j er differansen mellom måling j med metode A og metode B. D j N(µ D, 0.1 2 ). H 0 : µ D = 0 mot alternativet H 1 : µ D > 0. Vi forkaster om ˆµ D > k Under H 0 er ˆµ D =
DetaljerFORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110
FORMELSAMLING TIL STK1100 OG STK1110 (Versjon av 16. november 2009) 1. Sannsynlighet La A, B, A 1, A 2,...,B 1, B 2,... være begivenheter, dvs. delmengder av et utfallsrom Ω. a) Aksiomene: Et sannsynlighetsmål
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: Tirsdag 11. desember 2012. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i STK2120 Statistiske metoder og dataanalyse 2 Eksamensdag: Mandag 6. juni 2011. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er
DetaljerKategoriske data, del I: Kategoriske data - del 2 (Rosner, ) Kategoriske data, del II: 2x2 tabell, parede data (Mc Nemar s test)
Kategoriske data, del I: Kategoriske data - del (Rosner, 10.3-10.7) 1 januar 009 Stian Lydersen To behandlinger og to utfall. (generelt: variable, verdier). x tabell. Uavhengige observasjoner Sammenheng
DetaljerKapittel 6 - modell seleksjon og regularisering
Kapittel 6 - modell seleksjon og regularisering Geir Storvik 21. februar 2017 1/22 Lineær regresjon med mange forklaringsvariable Lineær modell: Y = β 0 + β 1 x 1 + + β p x p + ε Data: {(x 1, y 1 ),...,
Detaljer6.5 Normalapproksimasjon til. binomisk fordeling
....3.4.5..5..5..5...4.6.8....4.6.8....3.4..5..5 Kaittel 6: Kontinuerlige sannsynsfordelingar TMA445 Statistikk Ka 6.5-6.8. 6.5: Normal aroksimasjon til binomisk fordeling, 6.6-6.8: Eksonensialfordeling,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
Eksamen i: UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet STK2120 Skisse til løsning/fasit. Eksamensdag: Torsdag 5. juni 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 5 sider.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Løsningsforslag: Statistiske metoder og dataanalys Eksamensdag: Fredag 9. desember 2011 Tid for eksamen: 14.30 18.30
DetaljerTMA4240 Statistikk Eksamen desember 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag TMA4240 Statistikk Eksamen desember 15 Oppgave 1 La den kontinuerlige stokastiske variabelen X ha fordelingsfunksjon (sannsynlighetstetthet
DetaljerInferens. STK Repetisjon av relevant stoff fra STK1100. Eksempler. Punktestimering - "Fornuftig verdi"
Inferens STK1110 - Repetisjon av relevant stoff fra STK1100 Geir Storvik 12. august 2015 Data x 1,..., x n evt også y 1,..., y n Ukjente parametre θ kan være flere Vi ønsker å si noe om θ basert på data.
DetaljerEkstraoppgaver STK3100 h10
Ekstraoppgaver STK3100 h10 Oppgave 1 En-veis variansanalyse modellen kan formuleres som Y ij = µ + α i + ɛ ij (1) der α i = 0 og ɛ ij er i.i.d N(0, σ 2 ). Her representerer er Y ij j te observasjon fra
DetaljerEksamensoppgave i Løsningsskisse TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i Løsningsskisse TMA440 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Håkon Tjelmeland a, Sara Martino b Tlf: a 48 18 96, b 99 40 33 30 Eksamensdato: 30. november
DetaljerPrøveeksamen STK2100 (fasit) - vår 2018
Prøveeksamen STK2100 (fasit) - vår 2018 Geir Storvik Vår 2018 Oppgave 1 (a) Vi har at E = Y Ŷ =Xβ + ε X(XT X) 1 X T (Xβ + ε) =[I X(X T X) 1 X T ]ε Dette gir direkte at E[E] = 0. Vi får at kovariansmatrisen
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1120 Statistiske metoder og dataanalyse 2. Eksamensdag: Tirsdag 2. juni 2009. Tid for eksamen: 14.30 17.30. Oppgavesettet
DetaljerNotater i ST2304 H. T. L. 1 Fordelingsfunksjonene i R α-kvantilen... 3
Notater i ST2304 H. T. L Innhold 1 Fordelingsfunksjonene i R 2 1.1 α-kvantilen....................................... 3 2 Fisher test for ubalanserte modeller 4 2.1 Test mellom alternative modeller...........................
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 9, blokk II Løsningsskisse Oppgave Scriptet run confds.m simulerer n data x,..., x n fra en normalfordeling med
DetaljerSTK Oppsummering
STK1100 - Oppsummering Geir Storvik 6. Mai 2014 STK1100 Tre temaer Deskriptiv/beskrivende statistikk Sannsynlighetsteori Statistisk inferens Sannsynlighetsregning Hva Matematisk verktøy for å studere tilfeldigheter
DetaljerObservatorer. STK Observatorer - Kap 6. Utgangspunkt. Eksempel høyde Oxford studenter
Observatorer STK00 - Observatorer - Kap 6 Geir Storvik 4. april 206 Så langt: Sannsynlighetsteori Stokastiske modeller Nå: Data Knytte data til stokastiske modeller Utgangspunkt Eksempel høyde Oxford studenter
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: ST110 Statistiske metoder og dataanalyse Eksamensdag: Mandag 30. mai 2005. Tid for eksamen: 14.30 20.30. Oppgavesettet er på
DetaljerOppgave 1. Kilde SS df M S F Legering Feil Total
MOT30 Statistiske metoder, høste0 Løsninger til regneøving nr. 0 (s. ) Oppgave Y ij = µ i + ε ij, der ε ij uavh. N(0, σ ) der µ i er forventa kopperinnhold for legering i og ε ij er feilleddet (tilfeldig
Detaljervekt. vol bruk
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: STK1110 Statistiske metoder og dataanalyse 1. Eksamensdag: 10. desember 2010. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er
DetaljerKapittel 2: Hendelser
Kapittel 2: Hendelser FENOMEN Eksperiment Utfall Utfallsrom Eksperiment. Utfall. Eksperiment Utfall Hendelse Sannsynlighet: egenskaper, gunstige vs. mulige, relativ frekvens Sannsynlighet for mer enn en
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2015
Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 0, blokk II Løsningsskisse Oppgave Surhetsgrad i ferskvann Eksamen august 00, oppgave av 3 a) En god estimator
DetaljerST0202 Statistikk for samfunnsvitere
ST0202 Statistikk for samfunnsvitere Bo Lindqvist Institutt for matematiske fag 2 Inferens om varians og standardavvik for ett normalfordelt utvalg (9.4) Inferens om variansen til en normalfordelt populasjon
DetaljerEksamensoppgave i TMA4240 Statistikk
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA4240 Statistikk Faglig kontakt under eksamen: Mette Langaas a, Ingelin Steinsland b, Geir-Arne Fuglstad c Tlf: a 988 47 649, b 926 63 096, c 452 70 806
DetaljerTMA4240 Statistikk H2015
TMA4240 Statistikk H2015 Funksjoner av stokastiske variabler (kapittel 7+notat) Fokus på start med kumulativ fordeling 7.2 Funksjon av en SV (inkludert en-entydighet). Fordeling til max/min (fra notat).
DetaljerTMA4240 Statistikk 2014
TMA4240 Statistikk 2014 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer 12, blokk II Oppgave 1 På ein av vegane inn til Trondheim er UP interessert i å måle effekten
DetaljerMOT310 Statistiske metoder 1, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. 1) Oppgaver fra boka:
MOT30 Statistiske metoder, høsten 2006 Løsninger til regneøving nr. 8 (s. ) Oppgaver fra boka: Oppgave.5 (.3:5) ) Først om tolking av datautskriften. Sammendrag gir følgende informasjon: Multippel R =R,
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Eksamen: ECON2130 Statistikk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 29.05.2019 Sensur kunngjøres: 19.06.2019 Tid for eksamen: kl. 09:00 12:00 Oppgavesettet er på 5 sider Tillatte hjelpemidler:
DetaljerEksamen i: STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Dato: Fredag 31. mai 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget
FA K U L T E T FO R NA T U R V I T E N S K A P O G TE K N O L O G I EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: STA-1002 Statistikk og sannsynlighet 2 Dato: Fredag 31. mai 2013 Tid: Kl 09:00 13:00 Sted: Administrasjonsbygget
DetaljerPunktestimator. STK Bootstrapping og simulering - Kap 7 og eget notat. Bootstrapping - eksempel Hovedide: Siden λ er ukjent, bruk ˆλ:
Punktestimator STK00 - Bootstrapping og simulering - Kap 7 og eget notat Geir Storvik 8. april 206 Trekke ut informasjon om parametre fra data x,..., x n Parameter av interesse: θ Punktestimator: Observator,
DetaljerTMA4240 Statistikk Høst 2009
TMA4240 Statistikk Høst 2009 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Øving nummer b6 Oppgave 1 Oppgave 11.5 fra læreboka. Oppgave 2 Oppgave 11.21 fra læreboka. Oppgave
DetaljerFasit for tilleggsoppgaver
Fasit for tilleggsoppgaver Uke 5 Oppgave: Gitt en rekke med observasjoner x i (i = 1,, 3,, n), definerer vi variansen til x i som gjennomsnittlig kvadratavvik fra gjennomsnittet, m.a.o. Var(x i ) = (x
DetaljerLa U og V være uavhengige standard normalfordelte variable og definer
Binormalfordelingen Definisjon Noe av hensikten med å innføre begrepet betinget sannsynlighet er at kompliserte modeller ofte kan bygges ut fra enkle betingede modeller. Når man spesifiserer betingelser
DetaljerMedisinsk statistikk Del I høsten 2009:
Medisinsk statistikk Del I høsten 2009: Kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger Pål Romundstad Beregning av sannsynlighet i en binomisk forsøksrekke generelt Sannsynligheten for at suksess intreffer X
Detaljer