Sammenlikninger av gjennomsnitt. SOS1120 Kvantitativ metode. Kan besvare to spørsmål: Sammenlikning av to gjennomsnitt

Transkript

1 SOS1120 Kvantitativ metode Forelesningsnotater 10. forelesning høsten 2005 Per Arne Tufte Sammenlikninger av gjennomsnitt Sammenlikner gjennomsnittet på avhengig variabel for ulike grupper av enheter Kan besvare to spørsmål: Hvor store er forskjellene mellom gruppene? Sammenhengens styrke Gjelder forskjellene i utvalget også i populasjonen? Statistisk generalisering Sammenlikning av to gjennomsnitt T testen 1

2 Eksempel Er det forskjell mellom mannlige og kvinnelige SOS1120 studenter med hensyn til hvor mye de går på kafé? Kjønn Mann Kvinne Group Statistics N Std. Deviation 51 1,51 1,317, ,48 2,138,190 De kvinnelige studentene går i gjennomsnitt en gang mer på kafé i uka enn de mannlige. Skyldes dette tilfeldigheter, eller gjenspeiler dette resultatet at det er forskjell mellom mannlige og kvinnelige SOS1120 studenter generelt? H 0 : H 1 : Hypoteser Mannlige og kvinnelige SOS1120 studenter går i gjennomsnitt like ofte på kafé 1 = 2 Mannlige og kvinnelige SOS1120 studenter går i gjennomsnitt ikke like ofte på kafé 1 2 Samplingfordelingen når H 0 er sann Selv om det ikke er noen forskjell i populasjonen, kan likevel enkelte sannsynlighetsutvalg vise at det er forskjell. Også for forskjeller mellom to gjennomsnitt kan det estimeres standardfeil Angir spredningen i samplingfordelingen, dvs. hvor stor statistisk usikkerhet det er knyttet til den estimerte forskjellen. Kjønn Mann Kvinne Group Statistics N Std. Deviation 51 1,51 1,317, ,48 2,138,190 Det er imidlertid lite sannsynlig at et utvalg skal vise store forskjeller når H 0 er sann. s D 2 2 = smenn + skvinner = 0, ,19 2 = 0,265 Kvadrerer standardfeilene for begge gruppene, legger sammen og tar kvadratroten av resultatet. 2

3 T test Angir hvor mange standardfeil den observerte forskjellen befinner seg fra H 0 Independent Samples Test t test for Equality of s Signifikanssannsynlighet og signifikansnivå Signifikanssannsynlighet: Andelen tilfeldige utvalg som vil få en bestemt t verdi eller høyere, gitt at nullhypotesen er sann = Sjansen for å forkaste en riktig H 0 (type I feil) ved en bestemt observert t verdi Equal variances not assumed t = D s D t df Sig. (2 tailed) 3, ,759,000,974,265 0,974 = = 3,675 0,265 Nullhypotesen er: Beslutning: Sann Gal Beholder H0 Korrekt beslutning Feil av type II β Forkaster H0 Feil av type I α Korrekt beslutning Jo større t verdien er, jo mindre er risikoen for å forkaste en H 0 som er sann. Signifikansnivå: Hvor høy risiko for å begå type I feil som vi kan akseptere (ofte 5%) Signifikansnivå og kritisk t verdi FORKAST H 0 FORKAST H 0 Kritiske verdier i normalfordelingen 1,96 1,96 BEHOLD H 0 95% av alle utvalg vil befinne seg innenfor +/ 1,96 standardfeil fra nullhypotesen (når n>100). Hvis vi setter dette som kritisk grense for å forkaste H 0, vil vi i kun 5 av 100 (5%) tilfeller hvor H 0 er rett, forkaste den (type I feil). 3

4 5% signifikansnivå: H 0 forkastes hvis t verdien er høyere enn 1,96 eller lavere enn 1,96 Independent Samples Test Hvis n<100, må vi bruke t fordelingen i stedet for normalfordelingen Students t, df>100 t test for Equality of s Equal variances not assumed t df Sig. (2 tailed) 3, ,759,000,974,265 Det er mindre enn 5 % sannsynlighet for få en slik t verdi eller høyere når H 0 er korrekt H 0 forkastes. Vi har fått støtte for at mannlige og kvinnelige SOS1120 studenter ikke går like mye på kafé. Kritiske verdier finnes i t tabeller under gitt antall frihetsgrader og valgt signifikansnivå Enhet og mangfold s. 376 Moderne og klassisk versjon av t testen Independent Samples Test t test for Equality of s Equal variances not assumed t df Sig. (2 tailed) 3, ,759,000,974,265 t verdi Frihetsgrader Signifikanssannsynlighet Klassisk versjon av t testen: Hvis tallverdien av observert t er høyere enn kritisk t verdi (1,96), forkastes H 0. Moderne versjon av t testen: Hvis signifikanssannsynligheten er lavere enn signifikansnivået (0,05), forkastes H 0. 4

5 Eksempel: Er kafébesøk avhengig av om er i fast forhold eller ikke? Sammenlikning av mer enn to gjennomsnitt Enveis variansanalyse (ANOVA) Lever du i fast parforhold Ja, gift/registret partner/samboende Nei, men kjæreste Nei, ikke i fast parforhold N Std. Deviation 1, ,394 2, ,479 2, ,965 2, ,984 Jo mindre forpliktende forhold studentene er i, jo flere ganger i uken går de på kafé. Skyldes dette tilfeldigheter, eller gjenspeiler dette resultatet at det generelt blant SOS1120 studenter er slik at hvor ofte en går på kafé avhenger av om en er i fast forhold eller ikke? H 0 : H 1 : Hypoteser Gjennomsnittlig antall kafébesøk blant SOS1120 studenter generelt varierer ikke med i hvilken grad de har fast forhold eller ikke = 1 = 2 3 Gjennomsnittlig antall kafébesøk blant SOS1120 studenter generelt varierer med i hvilken grad de har fast forhold eller ikke Minst to gruppegjennomsnitt er ulike i populasjonen Enveis variansanalyse Tar utgangspunkt i variansen (spredningen rundt gjennomsnittet) på den avhengige variabelen SS (total) 5

6 Spredningen rundt totalgjennomsnittet deles i to: den variasjonen som skyldes gruppetilhørighet (den uavhengige variabelen) Variasjon mellom gruppegjennomsnittene SS (faktor) restvariasjonen som ikke kan kan forklares med gruppetilhørighet Variansen innenfor gruppene (= rundt gjennomsnittene) SS (feil) Feil Avvik fra gruppegjennomsnittet: Arnold er gift og går ikke på kafé Avvik fra totalgjennomsnittet: 0 2,2 = 2,2 0 1,7 2,2 Avvik mellom totalgjennomsnittet og gjennomsnittet for den gruppen Arnold tilhører: 0 1,7 = 1,7 1,7 2,2 = 0,5 Faktor Avvikene kvadreres og summeres Between Groups Within Groups Beregning av variansene (Combined) Frihetsgrader beregnes: df 1 = (k 1) = 3 1 = 2 df 2 = (n k) = 177 3=174 (k: verdier på uavh. var.) ANOVA Table Sum of Squares df Square F Sig. 16, ,359 2,152, , , , Kvadratsummene deles på sine respektive frihetsgrader Between Groups Within Groups Beregning av F test (Combined) ANOVA Table Sum of Squares df Square F Sig. 16, ,359 2,152, , , , MS( faktor) 8,359 F = = = 2,152 MS( feil) 3,885 Hvis nullhypotesen er rett, forventer vi at forskjeller mellom MS(faktor) og MS(feil) kun skyldes tilfeldigheter, og at F følgelig er lik 1. Testobservatoren F er F fordelt. 6

7 F fordelingen Enveis variansanalyse (klassisk variant): ANOVA Table Behold H 0 Forkast H 0 Between Groups Within Groups (Combined) Sum of Squares df Square F Sig. 16, ,359 2,152, , , , F tabell (bak i boken til Ringdal) viser at: Kritisk F verdi med 2 og 174 frihetsgrader og 5% signifikansnivå er 3,00 F(2;174) = 3,00 Enhet og mangfold s. 384 Observert F verdi er lavere enn dette og vi beholder H 0 Enveis variansanalyse (moderne variant): Between Groups Within Groups (Combined) ANOVA Table Sum of Squares df Square F Sig. 16, ,359 2,152, , , , Signifikanssannsynligheten på 0,119 er større enn signifikansnivået på 0,05 (5%) Faren for å gjøre type I feil er for stor og vi beholder H 0 Eta kvadrert «forklart varians» Hvor stor andel av den total variansen i avhengig variabel skyldes variasjon mellom gruppegjennomsnittene? SS( faktor) 16,718 2 = = = 0,024 SS( total) 692,678 2,4 prosent av variansen i kafévariabelen henger sammen med forskjeller i parforholdstatus. 7

8 Parvise sammenlikninger Multiple Comparisons Dependent Variable: LSD (I) Lever du i fast parforhold Ja, gift/registret partner/samboende Nei, men kjæreste Nei, ikke i fast parforhold (J) Lever du i fast parforhold Nei, men kjæreste Nei, ikke i fast parforhold Ja, gift/registret partner/samboende Nei, ikke i fast parforhold Ja, gift/registret partner/samboende Nei, men kjæreste *. The mean difference is significant at the.05 level. Std. 95% Confidence Interval Lower Upper (I J) Error Sig. Bound Bound,575,433,187 1,43,28,744*,360,040 1,45,03,575,433,187,28 1,43,169,375,653,91,57,744*,360,040,03 1,45,169,375,653,57,91 8