Kp. 14 Flerfaktoreksperiment. Kp. 14: Flerfaktor-eksperiment; oversikt

Transkript

1 uten med Kp 14 Flerfaktor-eksperiment Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 1 / 20 Kp 14: Flerfaktor-eksperiment; oversikt uten med 141 Introduction 142 Interaction in the Two-Factor Experiment 143 Two-Factor Analysis of Variance (Ikke Example 142 ) 146 Potential Misconceptions (144 og 145 er ikke med i pensum) Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 2 / 20

2 Kp : To-faktor eksperiment; Toveis uten med To-veis : undersøker ev effekt av to faktorer Eksempel: Vi vil undersøke utbyttet av en kjemisk reaksjon; ev endringer ved ulike temperaturer (A) og ulike reaksjonstider (B) Notasjon: y ijk = utbytte i forsøk nr k, medtempnri og tid j Temperatur 140 grader 160 grader 180 grader Reaksjonstid 20 min 30 min 40 min Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 3 / 20 Toveis Notasjon og terminilogi uten med Data i tabell: B A 1 2 b gjsn y 111 y 121 y 1b1 y 112 y 122 y 1b2 1 2 y 11n y 22n y 1bn y 211 y 221 y 2b1 y 212 y 222 y 2b2 y 21n y 22n y 2bn y a11 y a21 y ab1 y a12 y a22 y ab2 y 1 y 2 y a a y a1n y a2n y abn gjsn y 1 y 2 y b y Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 4 / 20

3 Gjennomsnittene uten med y i = 1 bn y j = 1 an y = 1 abn b j=1 k=1 a i=1 k=1 a (n målinger for hver faktornivåkombinasjon) n y ijk : gjennomsnittlig effekt av faktor A på nivå i n y ijk : gjennomsnittlig effekt av faktor B på nivå j b i=1 j=1 k=1 n y ijk : fellesnivå Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 5 / 20 Modell uten uten med Forslag til modell: Y ijk = μ + α i + β j + ɛ ijk, der ɛ ijk N(0,σ 2 ) (uavhengige), α i : effekt (modell/teoretisk) av faktor A på nivå i β j : effekt (modell/teoretisk) av faktor B på nivå j Laget slik at α i ene og β j ene summerer seg til null (er avvik fra hovednivået, μ) Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 6 / 20

4 Mulige hypoteser uten med Ønsker å teste: H 0 : α 1 = α 2 = = α a =0 }{{} faktor A har ikke effekt Y ijk = μ + α i + β j + ɛ ijk mot H 1 : minst én α i 0 }{{} faktor A har effekt H 0 : β 1 = β 2 = = β b =0 }{{} faktor B har ikke effekt mot H 1 : minst én β j 0 }{{} faktor B har effekt Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 7 / 20 Modell med uten med Når vi undersøker mulige effekter av mer enn en faktor, kan eventuelle samspill være viktige Samspill (interaksjon, kryssledd): Det kan tenkes at faktor A har ulike effekter for ulike nivå av faktor B Vi sier da at det er samspill mellom faktorene (A og B påvirker hverandre) Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 8 / 20

5 Samspill uten med Illustrasjon med tenkte data (gjsn-verdier i hver celle): Temperatur Tenkte data som indikerer samspill Reaksjonstid b1 b2 b3 a1 a2 a b1 b2 b3 a1 a2 a3 Hver linje representerer resultatene for samme nivå på faktor A (temp), når faktor B (tid) endres mellom nivå 1, 2 og 3 Blå linje: faktoraer1, rød linje: faktoraer2, gul linje faktor Aer3 Apånivå1: resultatet øker når B endres fra nivå 1 til 3 Apånivå3: resultatet minker når B endres fra nivå 1 til 3 Dvs: effekten av den ene faktoren avhenger av hvilket nivå den andre faktoren er på faktorene samspiller Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 9 / 20 Reaksjonsdataene Samspill? uten med Reaksjonsdataene, gjennomsnitt for hver faktornivåkombinasjon: Temperatur Gjennomsnitt Reaksjonstid 20 min 30 min 40 min 140 grader 41,0 43,0 44,0 160 grader 49,3 51,0 52,3 180 grader 50,0 52,0 54,0 40,0 56,0 54,0 52,0 50,0 48,0 46,0 44,0 42,0 20 min 30 min 40 min 140 grader 160 grader 180 grader Effekten av å øke tiden (B) fra 20, til 30, til 40 min, er at utbyttet av reaksjonen øker Dette skjer enten temperaturen (A) er 140, 160 eller 180 grader Altså: det er (ca) samme effekt av å endre B, uansett hvilket nivå A er på faktorene samspiller ikke I slike diagram vil parallele linjer indikere at faktorene ikke samspiller Linjer som klart ikke er parallelle, indikerer Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 10 / 20

6 Modell for toveis uten med Ledd som representerer samspillseffekt: (αβ) ij der ɛ ijk N(0,σ 2 ), uavhengige Y ijk = μ + α i + β j +(αβ) ij + ɛ ijk, (og α 1 + α α a =0, β 1 + β β b =0, (αβ) 1j +(αβ) 2j + +(αβ) aj =0og (αβ) i1 +(αβ) i2 + +(αβ) ib =0) (Obs: (αβ) ij betyr ikke α i β j!) Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 11 / 20 Hypoteser uten med Ønsker å teste: Y ijk = μ + α i + β j +(αβ) ij + ɛ ijk H 0 : α 1 = α 2 = = α a =0 mot H 1 : minst én α i 0 (A-effekt) H 0 : β 1 = β 2 = = β b =0 mot H 1 : minst én β j 0 (B-effekt) H 0 : (αβ) 11 = =(αβ) ab =0 mot H 1 : minst én (αβ) ij 0 (samspills-effekt) Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 12 / 20

7 Kvadratsummer uten med a b n SST = (y ijk y ) 2 i=1 j=1 k=1 a = bn (y i y ) 2 + an b i=1 j=1 (y j y ) 2 a b a b n +n (y ij y i y j + y ) 2 + (y ijk y ij ) 2 i=1 j=1 i=1 j=1 k=1 = SSA + SSB + SS(AB) + SSE Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 13 / 20 Kvadratsummer uten med Dataene, y ijk ene, betraktes som utfall av: SST = a i=1 b j=1 n k=1 (Y ijk Y ) 2, SSA = bn a i=1 (Y i Y ) 2, SSB = an b j=1 (Y j Y ) 2, Y ijk = μ + α i + β j +(αβ) ij + ɛ ijk Kvadratsum for total variasjon Kvadratsum for variasjon forårsaket av A Kvadratsum for variasjon forårsaket av B SS(AB) = n a i=1 b j=1 (Y ij Y i Y j + Y ) 2, Kvadratsum for variasjon forårsaket av samspill SSE = a i=1 b j=1 n k=1 (Y ijk Y ij ) 2, Kvadratsum for variasjon forårsaket tilfeldigheter Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 14 / 20

8 F -tester uten med Vi har at: SSE χ 2 σ 2 ab(n 1) (uansett om H 0, H 0 eller H 0 SSA σ 2 χ 2 a 1 (dersom H 0 SSB σ 2 χ 2 b 1 (dersom H 0 SS(AB) χ 2 σ 2 (a 1)(b 1) (dersom H 0 er riktig eller ei) er riktig) er riktig) er riktig) Test av H 0 : Dersom ikke H 0 er riktig, har vi E { SSA/(a 1) } >σ 2, mens E { SSE/(ab(n 1)) } = σ 2 uansett Forkast H 0 dersom: F = SSA/ (a 1) SSE / ab(n 1) = MSA MSE f α,a 1,ab(n 1) Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 15 / 20 F -tester uten med Med tilsvarende resonnement: Forkast H 0 dersom: Forkast H 0 dersom: F = SSB/ (b 1) SSE / ab(n 1) = MSB MSE f α,b 1,ab(n 1) F = SS(AB)/ (a 1)(b 1) SSE / ab(n 1) = MS(AB) MSE f α,(a 1)(b 1),ab(n 1) Vi bør (må!) først sjekke ev samspill; dvs teste H 0 Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 16 / 20

9 ANOVA-tabell uten med ANOVA-tabell Kilde SK fg GK F p-verdi Source SS df MS F p-value A SSA a 1 B SSB b 1 (AB) SS(AB) (a 1)(b 1) Tilfeldig/Feil SSE ab(n 1) SSA a 1 SSB b 1 SS(AB) (a 1)(b 1) SSE ab(n 1) MSA MSE MSB MSE MS(AB) MSE P (F >f obs ) P (F >f obs ) P (F >f obs ) Total SST abn 1 Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 17 / 20 Eksempel, Reaksjonstiddata uten med (EXCEL-utskrift): ANOVA Source of Variation SS df MS F P-value F crit Sample (temp) Columns (tid) Interaction (samsp) Within (feil) Total Konklusjoner 1: behold H 0, det er ikke samspill (p-verdi: 08786) 2: forkast H 0, faktor B har effekt i virkeligheten (p-verdi: < ) 3: forkast H 0, faktor A har effekt i virkeligheten (p-verdi: < ) Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 18 / 20

10 EXCEL uten med Anova: Two-Factor with replication Input range: ikl kol- og radnavn rows per sample = n (3) Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 19 / 20 EXCEL Utskrift uten med Bjørn H Auestad Kp 14: To-faktor eksperiment 20 / 20