SIF53 Matemati Esame gir = 4 =:5 (legde νa delitervallee) og deleutee x =,x =:5, x =,x 3 =:5 ogx 4 =. Med f(x) = +x 4 fνar vi tabelle: x : :5 :

Transkript

1 SIF53 Matemati Esame Norges teis-aturvitesaelige uiversitet Istitutt for matematise fag Lsigsforslag X = ( ) : Diverget. X = ( ) X ( ) : Absolutt overget. = : Betiget overget. (i) (ii) x! x! x(e (e x ) t= x (e t ) l'h^oital e t x ) x! t! t t! x = cos x (arcta x) l'h^oital x! = x! = si x arcta x ( + si x +x x! x ) x! arcta x si x l'h^oital cos x arcta x x! +x 3 a) For νa e strste og miste verdi til f (x) = x (x 4 +3) vi νa de deriverte f (x) til f (x): f (x) = d ψ x (x 4 +3) ( + x 4 ) 3! (+x 4 ) 3 over itervallet [; ], ser = x(x )(x + )(x +) ( + x 4 ) 5 Vi ser at x = er det eeste ullutet for f (x) i det νae itervallet (; ). Vi sammeliger verdiee til f (x) i det ritise utet x = og edeutee x = og x =:f () =, f () = =:88 og f () = = :68.Av dette ser vi at f max = f mi = νa itervallet [; ]. b) Traesmetode med re delitervaller brut νa itegralet Z (I) +x 4 : : lfexh99 9. desember 999 Side

2 SIF53 Matemati Esame gir = 4 =:5 (legde νa delitervallee) og deleutee x =,x =:5, x =,x 3 =:5 ogx 4 =. Med f(x) = +x 4 fνar vi tabelle: x : :5 : :5 : f(x) : :38 :44 :46 4:3 som gir flgede tilρrmede verdi T 4 for itegralet: Z +x 4 ß T 4 = (f() + f(:5) + f(:) + f(:5) + f(:)) ß :5(: + :38 + :44 + :46 + 4:3) =3: ß 3:73 : For feile jet j i traesmetode over et itervall [a; b] med delitervaller har vi estimatet: jet j» K (b a) 3 hvor K er et tall sli at K jf (x)j for a» x» b. I vνart tilfelle er a =, b =, = 4. Fra a) flger at jf (x)j» νar» x», sνa vi a ta K =. Dette gir 4 jet 4 j» 3 4 = :7853 < : : Mao.: Feile i traesmetode er midre e. a. Side f (x) = x (x 4 +3), er fusjoe f(x) = +x 4 (+x 4 ) 3 oav oover. Dette betyr at traesmetode gir e for stor verdi b, fordi arealet uder de arosimerede traesee er strre e arealet uder urve (gure til hyre illustrerer dette for = ). a Dette gir flgede oe grove estimat for itegralet (I): Side 3:73 < R T 4 < 3:74 og : < ET 4 < :, blir 3:6 < T 4 + ET 4 = +x 4 < 3:86. b Side R vi νa vet at : <ET 4 <, fνar vi et bedre estimat: 3:6 < +x 4 < 3:74. De esate verdie, avrudet til to desimaler, er 3:65. 4 Ata x 6= og sett P (): +x + x + x x = + x ; =; ; ; 3;::: ; x dvs., P () er νastad r.. Vi mνa frst sjee at νastade P () holder: P (): = x ; som er ritig. x lfexh99 9. desember 999 Side

3 SIF53 Matemati Esame Vi atar sνa atp () er ritig, og viser at dette medfrer at ogsνa P ( + ) er ritig, dvs., vi mνa vise imliasjoe P () =) P ( +): For νa gjre dette, sriver vi o νastade P ( +) og rver νa vise at vestreside (V.S.) i P ( +) er li hyreside (H.S.) i P ( +) (uder forutsetig av at P () holder): P ( + ): +x + x + x x + + x = ; =; ; ; 3;::: x V.S. = + x + x + x x + =(+x + x + x x )+x + P () = x + x + x + = x+ + x + x + x + x = = H.S. x som viser at P ( + ) holder (νar P () gjr det). Idusjosbeviset er dermed ferdig. 5 Dersom s = s(t) beteger taulegde (i meter) mellom rige og bauge, og x = x(t) beteger (de horisotale) avstade (i meter) mellom bauge og aia, har vi til ehver tid relasjoe: x +5 = s : 4 m/mi Derivasjo av dee relasjoe mh. tide t gir: 5m s x (Λ) x =s ds dvs. = s ds x I det yebliet taulegde s = 3 (m), er x = 3 5 = 44 = (m). Videre er det ogitt at ds = 4(m/mi). Isettig i (Λ) gir: = 3 ( 4) = 6 (m/mi) ; dvs., avstade mellom bνate og aia avtar med 6 m/mi. 6 Dersom T = T (t) er temerature νa Kjell Mages otor ved tide t, og T ute er de ostate utetemerature, sier Newtos lov: (N) dt = (T T ute) hvor er e ositiv ostat. Vi setter forelig T () = T, og lser differesialligige (N) ved searasjo av de variable: Z dt T T ute = Z ) l(t T ute )= t + C ) T T ute = e C e t T = T ute + e C e t lfexh99 9. desember 999 Side 3

4 SIF53 Matemati Esame Isettig for t = i de siste ligige gir: T = T ute + e C ) e C = T T ute T = T ute +(T T ute )e t Vi lar t = svare til loe. de. jauar, og bruer tallverdiee fra ogave: T =9:, T ute = 36:9. Dette gir: T = 36:9 + (9: ( 36:9))e t = e t 36:9 Bruer sνa att =:8 loe., dvs. νar t = (vi mνaler t i timer): :8 = ()e :8 +36:9 36:9 ) e = T = e (l l 47:7)t 36:9 = 47:7 ) =l l 47:7 Bestemmer til slutt νar vaet i glasset begyer νa fryse, dvs. νar T =: T = e (l l 47:7)t 36:9 =) e (l l 47:7)t = 36:9 l l 36:9 ) t = ß :683 ß timer og 37 mi., l l 47:7 mao.: Vaet begyer νa fryse ca. l..37 de. jauar. P 7 Vi bruer forholdsteste νa ree = si( )x,ogfνar, med u = si( )x :! u + u si( + )+! si( ) = cos cos! ( + = : ) si( + ) H^oital! si( )! cos( + )( (+) ) cos( )( ) I flge forholdsteste har vi at ree overgerer νar < og divergerer νar >, dvs.: Kovergesradie R =. Edeuter. x =: Vi fνar de P P ositive ree = si( ). Gresesammeligig med de harmoise ree = gir: si( ) t= si t l'h^oital cos t =:! t! t t! Side > P og de harmoise ree er diverget, flger ved gresesammeligigsteste at = si( )erdiverget. P x = : Her fνar vi de altererede ree = ( ) si( ). Med a = si( ) har vi a + = si( + ) < si( ) = a, og! a! si( ) =, sνa ree er overget i flge teste for altererede reer. 8 Side vi har rotasjo om x-ase, bruer vi formele A = R ßy ds for overflatearealet til rotasjoslegemet. Vi har ds = x (t) + y (t), som med x = si t og y = + cos t gir ds = cos t + si t =, sνa Z ΛΛ Z ß A = ßy ds = ß( + cos t) =ß[t + si t] ß =ß[ ß + ] Λ =8ß lfexh99 9. desember 999 Side 4

5 SIF53 Matemati Esame R y 9 Side V = ß(g(u)) du, har vi dv = dv dy = dy ßg(y) dy vi ombierer dette med Torricellis lov og olysige dy ostat), fνar vi: dv = ßg(y) dy = ßg(y) ( c) = y ) g(y) = r ßc y 4 Vi bruer sνa olysige om at V =νar y =: V y= = Z ) c = 3 r 3 ) g(y) = ß y 4 ßg(u) du = Z ß ßc u du = c ved jereregele. Dersom = c (hvor c er e ositiv» 3 u 3 = c 3 = lfexh99 9. desember 999 Side 5