S1 kapittel 3 Lineær optimering

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "S1 kapittel 3 Lineær optimering"

Transkript

1 S kapittel 3 Lineær optimering Løsninger til oppgavene i boka 3. a b c d Aschehoug Side av 66

2 3. a b c d Aschehoug Side av 66

3 3.3 Løsninger til oppgavene i boka Ulikhetene i oppgave 3. og 3. skrives inn i inntastingsfeltet i GeoGebra. Ulikhetstegnene og finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdene er gitt som løsning i oppgave 3. og a Hvis vi omformer likningen x 5y 0 b + = til formen y = ax + b, får vi 5y = x+ 0 y = x+ 5 Den rette linja som er tegnet inn på figuren, tilsvarer derfor den rette linja y = x+. Vi 5 ser at det skraverte området ligger over denne linja, og linja er inkludert i ulikheten fordi den er heltrukket. Vi får derfor ulikheten y x+, eller skrevet på den opprinnelige formen: 5 x+ 5y 0. Her ser vi at det skraverte området inkluderer alle x-verdier større enn. x = er ikke med i grafområdet, fordi linja er stiplet. Ulikheten blir derfor x >. 3.5 Vi finner først y-verdien når x = : y = 3=. Det betyr at den rette linja har y-verdi når x =. Punktet (, 5) skal ligge i grafområdet, og fordi y-verdien til dette punktet er større enn y-verdien til linja, må det aktuelle grafområdet ligge over linja. Ulikheten blir derfor y x+ 3. Når et område er begrenset av en linje, inkluderer vi linja i grafområdet. 3.6 a Uten hjelpemidler: Ulikheten x+ y 3 kan skrives som y = x+ 3. Vi tegner deretter linja, som skal være heltrukket fordi den er med i grafområdet. Deretter markerer vi grafområdet som ligger under linja. Med hjelpemidler skriver vi ulikheten x+ y 3 i inntastingsfeltet i GeoGebra. Aschehoug Side 3 av 66

4 b Uten hjelpemidler: Ulikheten 3x y 6 kan omformes: 3x y 6 3x+ 6 y y 3x+ 6 Vi tegner deretter linja y = 3x+ 6. Linja skal være heltrukket fordi den er med i grafområdet. Deretter markerer vi grafområdet som ligger under linja. Med hjelpemidler skriver vi ulikheten 3x y 6 i inntastingsfeltet i GeoGebra. c Uten hjelpemidler: Ulikheten 6 3y< x kan omformes: 6 3y< x 3y< x 6 3y x 6 < y > x+ 3 I nest siste linje deler vi på et negativt tall og snur derfor ulikhetstegnet. Vi tegner deretter linja y = x+. Linja skal være stiplet fordi den ikke er med i 3 grafområdet. Deretter markerer vi grafområdet som ligger over linja. Med hjelpemidler skriver vi ulikheten 6 3y< x i inntastingsfeltet i GeoGebra. Aschehoug Side 4 av 66

5 d Uten hjelpemidler: Ulikheten x+ 5y 5> 0 kan omformes: x+ 5y 5> 0 5y > x+ 5 y > x+ 5 Vi tegner deretter linja: y = x+. Linja skal være stiplet fordi den ikke er med i 5 grafområdet. Deretter markerer vi grafområdet som ligger over linja. Med hjelpemidler skriver vi ulikheten x+ 5y 5> 0 i inntastingsfeltet i GeoGebra. 3.7 a Uten hjelpemidler: Vi omformer de tre ulikhetene til rette linjer på formen y = ax + b og ser om områdene ligger under eller over linjene: () y+ x> gir området som ligger over den rette linja y = x+. () 3x+ y< 3 gir området som ligger under den rette linja y = 3x+ 3. (3) y 5 gir området som ligger under eller på linja y = 5. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Aschehoug Side 5 av 66

6 b Uten hjelpemidler: Vi omformer de tre ulikhetene til rette linjer på formen y = ax + b og ser om områdene ligger under eller over linjene: () y+ x 6< 0 gir området som ligger under den rette linja y = x+ 6, eller ved å dele på : y = x+ 3. () y+ x 4 0 gir området som ligger under eller på den rette linja y = x+ 4. (3) x 0 gir området til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 gir området over x-aksen, inkludert x-aksen. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. c Uten hjelpemidler: Vi omformer de tre ulikhetene til rette linjer på formen y = ax + b og ser om områdene ligger under eller over linjene: () y+ 6x 5 < 0 gir området som ligger under den rette linja y = 6x+ 5, eller 5 ved å dele på : y = 3x+. () y+ x 5> 0 gir området som ligger over den rette linja y = x+ 5, eller ved å 5 dele på : y = x+. (3) x 0 inkluderer y-aksen og området til høyre for y-aksen. y 0 inkluderer x-aksen og området over x-aksen. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Aschehoug Side 6 av 66

7 Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: Løsninger til oppgavene i boka Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. 3.8 a b Når x er antall bordmodeller og y er antall veggmodeller, og varehuset maksimalt vil ha 0 fjernsynsapparater på lager, gir dette oss ulikheten x+ y 0. Minst 40 bordmodeller gir oss ulikheten x 40. Minst 30 veggmodeller gir oss ulikheten y 30. Vi skriver inn ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Vi får følgende grafområde: 3.9 a y < 3 : Vi stipler den rette linja y = 3 og markerer området som ligger under den stiplede linja. Linja er stiplet fordi den ikke tilhører grafområdet. Aschehoug Side 7 av 66

8 b x : Vi tegner den rette linja x = og markerer området som ligger til høyre for linja. Linja er heltrukket fordi den tilhører grafområdet. c y< x+ : Vi stipler den rette linja y = x+ og markerer området som ligger under den stiplede linja. Linja er stiplet fordi den ikke tilhører grafområdet. d y x+ 4: Vi tegner den rette linja y = x+ 4 og markerer området som ligger over linja. Linja er heltrukket fordi den tilhører grafområdet. Aschehoug Side 8 av 66

9 3.0 a Vi omformer ulikheten: y+ 4> x y > x 4 y > x Vi tegner den stiplede linja y = x og markerer grafområdet som ligger over linja. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet: b Vi omformer ulikheten: y+ 4x< 6 y< 4x+ 6 y< x+ 3 Vi tegner den stiplede linja y = x+ 3 og markerer grafområdet som ligger under linja. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet: c Vi omformer ulikheten: y+ 3x 6 y 3x+ 6 3 y x+ 3 3 Vi tegner linja y = x+ 3 og markerer grafområdet som ligger under linja. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet: Aschehoug Side 9 av 66

10 3. a Vi skriver inn ulikheten 3x y grafområde: + < i inntastingsfeltet i GeoGebra og får følgende b Vi skriver inn ulikheten 6x y< 4 i inntastingsfeltet i GeoGebra og får følgende grafområde: c Vi skriver inn ulikheten x 5y 0 i inntastingsfeltet i GeoGebra og får følgende grafområde: Aschehoug Side 0 av 66

11 3. a Uten graftegner: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 : Dette er grafområdet over x-aksen, inkludert x-aksen. y < : Dette er grafområdet under den rette linja y =, linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet x < : Dette er grafområdet som ligger til venstre for den rette linja x =, linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: b Med graftegner: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Uten graftegner: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 : Dette er grafområdet over x-aksen, inkludert x-aksen. y< x+ : Dette grafområdet ligger under den rette linja y = x+. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Med graftegner: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Aschehoug Side av 66

12 c Uten graftegner: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y < : Dette er grafområdet som ligger under linja y =. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet. y > x+ : Dette er grafområdet som ligger over den rette linja y = x+. Linja er stiplet fordi den ikke er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: 3.3 a Med graftegner: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Vi har 0 m silke. Det går med m silke per kjole og m silke per kåpe. Vi kan maksimalt bruke 0 m silke, slik at ulikheten for silke blir x+ y 0 når x er antall kjoler og y er antall kåper. Vi har 8,5 m bomull. Det går med,5 m bomull per kjole og 3 m bomull per kåpe. Vi kan maksimalt bruke 8,5 m bomull, slik at ulikheten for bomull blir,5x+ 3y 8,5 når x er antall kjoler og y er antall kåper. b I tillegg til ulikhetene i oppgave a skriver vi inn x 0 og y 0 fordi antall kjoler og kåper må være positive tall. Vi skriver i inntastingsfeltet i GeoGebra: Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Vi får følgende grafområde: c Nei. Det er ikke nok stoff til produksjon av 9 kjoler og 4 kåper. Dette kan vi se fordi punktet (9, 4) ligger utenfor grafområdet. Aschehoug Side av 66

13 3.4 a Uten hjelpemidler: x 0: Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y : Dette er grafområdet som ligger over den rette linja y =. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi omformer ulikheten x+ y 6: x+ y 6 y x+ 6 y x+ 3 Dette er grafområdet som ligger under den rette linja y = x+ 3. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: b Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Uten hjelpemidler: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 : Dette er grafområdet som ligger over x-aksen, inkludert x-aksen. Vi omformer ulikheten y x 4 til y x+ 4. Dette er grafområdet som ligger under den rette linja y = x+ 4. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi omformer ulikheten 3x+ y : 3x+ y y 3x+ 3 y x+ 6 3 Dette er grafområdet som ligger under den rette linja y = x+ 6. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Aschehoug Side 3 av 66

14 Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra: c Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Uten hjelpemidler: x 0 : Dette er grafområdet til høyre for y-aksen, inkludert y-aksen. y 0 : Dette er grafområdet som ligger over x-aksen, inkludert x-aksen. Vi omformer ulikheten y+ x 5 til y x+ 5. Dette grafområdet ligger under den rette linja y = x+ 5. Vi omformer ulikheten x+ y 6: x+ y 6 y x+ 6 y x+ 3 Dette grafområdet ligger under den rette linja y = x+ 3. Linja er heltrukket fordi den er med i grafområdet. Vi markerer grafområdet som stemmer med betingelsene ovenfor: Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Aschehoug Side 4 av 66

15 3.5 a Vi har 0 kg = g mandler. Det går med 50 g mandler til én kransekake og 50 g mandler til én marsipangris. Hvis x er antall kransekaker og y er antall marsipangriser, og vi maksimalt kan bruke g mandler, blir ulikheten for mandler 50x+ 50y x 50y x+ 3y 00 Vi har kg = 000 g melis. Det går med 50 g melis til én kransekake og 00 g melis til én marsipangris. Hvis x er antall kransekaker og y er antall marsipangriser, og vi maksimalt kan bruke 000 g melis, blir ulikheten for melis: 50x+ 00y x 00y x+ 4y 40 b Vi skriver inn ulikhetene fra oppgave a sammen med ulikhetene x 0 og y 0 (fordi mandler og melis er positive størrelser) i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Løsningene til ulikhetene er gitt ved følgende grafområde: Aschehoug Side 5 av 66

16 3.6 Vi omformer først y x 4 Løsninger til oppgavene i boka = til y = x 4 og tegner denne rette linja i et koordinatsystem. Deretter markerer vi de tre punktene (0, 5), ( 5, 0) og (6, 9) i koordinatsystemet: Ut fra dette kan vi bestemme grafområdet F til hvert av punktene: a (0, 5): Punktet ligger under linja. Ulikheten blir derfor y x 4 eller y x 4. b ( 5, 0): Punktet ligger over linja. Ulikheten blir derfor y x 4 eller y x 4. c (6, 9): Punktet ligger over linja. Ulikheten blir derfor y x 4 eller y x Vi omgjør linja x y = 3: x y = 3 y = x+ 3 3 y = x 3 Vi tegner linja y = x og linja x = 3 inn i et koordinatsystem. Linjene er heltrukne fordi de 5 er med i grafområdet. Deretter markerer vi punktet 4, i det samme koordinatsystemet og ser hvor punktet ligger i forhold til linjene: Aschehoug Side 6 av 66

17 5 Vi ser at punktet 4, ligger til høyre for linja x = 3. Det betyr at denne ulikheten blir x 3. Vi ser at punktet 5 3 4, ligger over linja y = x. Det betyr at denne ulikheten blir 3 y x, eller skrevet på den opprinnelige formen: x y 3. (Vi har delt på et negativt tall og har snudd ulikhetstegnet.) Grafområdet er markert nedenfor: 3.8 Vi ser på figuren at punktet (6, ) også er en positiv heltallig løsning. Vi kontrollerer løsningen: = a Når vi skal tegne linja m uten først å omgjøre linja til formen y ax b = +, finner vi to punkter på linja som ligger med litt avstand fra hverandre, og tegner deretter linja. Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: y = 4 y = Punktet (0, ) ligger på linja m. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: y = 4 y = y = 6 Punktet (4, 6) ligger på linja m. Vi legger disse to punktene inn i et koordinatsystem og tegner linja m: Aschehoug Side 7 av 66

18 Vi ser at de positive heltallige punktene som ligger på linja m, er (, 9), (4, 6) og (6, 3). Disse punktene er merket av på figuren ovenfor. b Når vi skal tegne linja n uten først å omgjøre linja til formen y = ax + b, finner vi to punkter på linja som ligger med litt avstand fra hverandre, og tegner deretter linja. Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: y = y = = 5,5 Punktet (0, 5,5) ligger på linja n. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: y = y = y = Punktet 4, ligger på linja n. Vi legger inn disse to punktene i et koordinatsystem og tegner linja n: Vi ser at de positive heltallige punktene som ligger på linja n, er (, 4) og (3, ). Disse punktene er merket av på figuren ovenfor. Aschehoug Side 8 av 66

19 3.0 a Vi skriver inn 30x 0y 300 Løsninger til oppgavene i boka + = i inntastingsfeltet i GeoGebra og får nivålinja for S = 300: b Vi markerer de heltallige punktene som er løsningen på likningen 30x+ 0y = 300. Dette er punktene (0, 5), (, ), (4, 9), (6, 6), (8, 3) og (0, 0). Når x er antall kartonger appelsinjuice og y er antall kartonger eplejuice, kan vi for 300 kr kjøpe: 0 kartonger appelsinjuice og 5 kartonger eplejuice, eller kartonger appelsinjuice og kartonger eplejuice, eller 4 kartonger appelsinjuice og 9 kartonger eplejuice, eller 6 kartonger appelsinjuice og 6 kartonger eplejuice, eller 8 kartonger appelsinjuice og 3 kartonger eplejuice, eller 0 kartonger appelsinjuice og 0 kartonger eplejuice. 3. Vi skriver inn nivålinjene 5x 0y 75 + = og 5x+ 0y = 50 i inntastingsfeltet i GeoGebra. Nivålinja for S = 50 ligger over nivålinja for S = 75, og denne retningen er vist med en pil på figuren: Aschehoug Side 9 av 66

20 3. a Kostnaden ved kjøp av x kg appelsiner til 0 kr per kg er gitt ved 0x. Kostnaden ved kjøp av y kg pærer til 5 kr per kg er 5y. Den samlede kostnaden S ved kjøp av både appelsiner og pærer blir S = 0x+ 5y. b Vi skriver inn 90 = 0x+ 5y i inntastingsfeltet i GeoGebra og får følgende nivålinje: c 3.3 a Vi ser at punktet (3, ) ligger på linja. (Vi kan vise dette ved å sette inn x = 3 og y = i likningen 0x+ 5y: = = 90.) Det sier oss at det koster 90 kr å kjøpe 3 kg appelsiner og kg pærer. Vi skriver S = 00 i inntastingfeltet i GeoGebra og klikker på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren og klikker på Egenskaper. Vi skriver inn som vist nedenfor: Vi skriver deretter inn S = 5x+ 5yi inntastingsfeltet. Nivålinjene for S = 50, S = 00, S = 50 og S = 00 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Nedenfor er nivålinjene for S = 00 og S = 50 vist: Aschehoug Side 0 av 66

21 b Vi legger inn punktet (5, 3) i koordinatsystemet og drar glideren til nivålinja krysser punktet. Vi ser at nivålinja krysser punktet når S = 50: Det sier oss at når vi setter inn x = 5 og y = 3 inn i uttrykket S = 5x+ 5y, får vi S = 50: = = a Vi har systemet av ulikheter: () x+ 4y 5 () x 3 (3) y Uten hjelpemidler: For å tegne den rette linja x+ 4y = 5 til ulikhet () må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 0 + 4y = 5 5 y = = 3, 75 4 Punktet (0, 3,75) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: 4 + 4y = 5 4y = 5 4 y = =,75 4 Punktet (4,,75) ligger derfor på linja. Vi tegner linjene som hører til ulikhetene (), () og (3) i samme koordinatsystem, og markerer grafområdet som stemmer med ulikhetene: Vi finner koordinatene til hjørnepunktene: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene x = 3 og y =. Koordinatene til hjørnepunktet A er derfor (3, ). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene y = og x+ 4y = 5. y-koordinaten til hjørnepunktet B er derfor. Vi setter y = i likningen x+ 4y = 5: x + 4 = 5 x = 5 4 = Aschehoug Side av 66

22 b Koordinatene til hjørnepunktet B er (, ). Hjørnet C er skjæringspunktet mellom linjene x = 3 og x+ 4y = 5. x-koordinaten til hjørnepunktet er derfor 3. Vi setter x = 3 i likningen x+ 4y = 5: 3+ 4y = 5 4y = 5 3 4y = y = 3 Koordinatene til hjørnepunktet C er (3, 3). Med hjelpemidler: Vi skriver inn i inntastingsfeltet i GeoGebra og får opp grafområdet. Deretter skriver vi inn likningene som hører til ulikhetene, én og én: x+ 4y = 5 x = 3 y = Etter at linjene er tegnet, velger vi verktøyknappen Skjæring mellom to objekt, og koordinatene for hjørnepunktene dukker opp i algebrafeltet. Man kan velge å vise punktenes verdi på figuren ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn, og deretter Navn og verdi. Av figuren ser vi at koordinatene for hjørnepunktene er A = (3, ), B = (, ) og C = (3, 3). Vi har systemet av ulikheter: () x+ 7y 8 () 3x+ 7 y 4 (3) x 4 Uten hjelpemidler: Ulikhet (): For å tegne den rette linja x+ 7 y = 8 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: y = 8 y = 4 Punktet (0, 4) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y- verdi: y = 8 7 y = y = = 3, 43 7 Punktet (4, 3,43) ligger derfor på linja. Ulikhet (): For å tegne den rette linja 3x+ 7y = 4 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: y = 4 y = 6 Punktet (0, 6) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: Aschehoug Side av 66

23 y = 4 7y = 4 Løsninger til oppgavene i boka 30 y = = 4, 9 7 Punktet (4, 4,9) ligger derfor på linja. Vi tegner linjene som hører til ulikhetene (), () og (3) i samme koordinatsystem, og markerer grafområdet som stemmer med ulikhetene: Vi finner koordinatene til hjørnepunktene: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene x = 4 og x+ 7 y = 8. Koordinatene til A ble bestemt da vi fant to punkter på linja til ulikhet (). Koordinatene til hjørnepunktet A er (4, 3,43). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene () x+ 7y = 8 og () 3x+ 7 y = 4. Vi omgjør () til x= 7 y+ 8 og setter den inn i likning (): x= 7 y+ 8 3( 7 y+ 8) + 7 y = 4 y y = 4 4y = 4 4 y = 4 y = 3 Vi setter y = 3 inn i (): x = x = 7 Hjørnet B har derfor koordinatene (7, 3). Hjørnet C er skjæringspunktet mellom linjene x = 4 og 3x+ 7y = 4. Koordinatene til hjørnepunkt C ble bestemt da vi fant to punkter på linja til ulikhet (). Koordinatene til hjørnepunkt C er (4, 4,9). Med hjelpemidler: Vi skriver inn i inntastingsfeltet i GeoGebra og får opp grafområdet. Deretter skriver vi inn likningene som hører til ulikhetene, én og én: Aschehoug Side 3 av 66

24 x+ 7 y = 8 3x+ 7 y = 4 Løsninger til oppgavene i boka x = 4 Etter at linjene er tegnet, velger vi verktøyknappen Skjæring mellom to objekt, og koordinatene for hjørnepunktene dukker opp i algebrafeltet. Man kan velge å vise punktenes verdi på figuren ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn og deretter Navn og verdi. Av figuren ser vi at koordinatene for hjørnepunktene er A = (4, 3,43), B = (7, 3) og C = (4, 4,9). c Vi har systemet av ulikheter: () 7x+ 8y 96 () 8y x 64 (3) 3x+ 8y 64 Uten hjelpemidler: Ulikhet (): For å tegne den rette linja 7x+ 8y = 96 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 0 + 8y = y = = 8 Punktet (0, ) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: y = 96 8y = y = = 8,5 8 Punktet (4, 8,5) ligger derfor på linja. Ulikhet (): For å tegne den rette linja 8y x= 64 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 8y = 64 y = 8 Punktet (0, 8) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: 8y 4 = 64 8y = y = = 8,5 8 Punktet (4, 8,5) ligger derfor på linja. Ulikhet (3): For å tegne den rette linja 3x+ 8y = 64 må vi først bestemme to punkter på linja: Vi velger først x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 0 + 8y = 64 y = 8 Punktet (0, 8) ligger derfor på linja. Deretter velger vi x = 4 og finner tilhørende y-verdi: Aschehoug Side 4 av 66

25 y = 64 8y = 64 Løsninger til oppgavene i boka 5 y = = 6,5 8 Punktet (4, 6,5) ligger derfor på linja. Vi tegner linjene som hører til ulikhetene (), () og (3) i samme koordinatsystem, og markerer grafområdet som stemmer med ulikhetene: Vi finner koordinatene til hjørnepunktene: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene () 8y x= 64 og (3). Da vi satte inn x = 0 i de to likningene, fikk begge y-verdien 8. Hjørnepunktet A har koordinatene (0, 8). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene () 7x+ 8y = 96 og (3) 3x+ 8y = Vi omformer likning () til 8y = 96 7x og y = x+ 8, og setter den inn i (): 8 7 3x+ 8( x+ ) = x 7x+ 96 = 64 4x = 3 x = 8 Vi setter x = 8 inn i likning () 7 3x+ 8 x+ = x 7x+ 96 = 64 4x = 3 x = 8 78 y = + = 7 + = 5 8 Hjørnepunktet B har koordinatene (8, 5). Hjørnet C er skjæringspunktet mellom linjene () og (): Da vi satte inn x = 4 i de to likningene, fikk begge y-verdien 8,5. Hjørnepunktet C har koordinatene (4, 8,5). Aschehoug Side 5 av 66

26 Med hjelpemidler: Vi skriver inn i inntastingsfeltet i GeoGebra og får opp grafområdet. Deretter skriver vi inn likningene som hører til ulikhetene, én og én: 7x+ 8y = 96 8y x= 64 3x+ 8y = 64 Etter at linjene er tegnet, velger vi verktøyknappen Skjæring mellom to objekt, og koordinatene for hjørnepunktene dukker opp i algebrafeltet. Man kan velge å vise punktenes verdi på figuren ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn og deretter Navn og verdi. Av figuren ser vi at koordinatene for hjørnepunktene er A = (0, 8), B = (8, 5) og C = (4, 8,5). 3.5 a S = 0: S = 0: S = 0: 0= 6x+ 4y 4y = 6x 0 = 6x+ 4y 4y = 6x 0 0 = 6x+ 4y 4y = 6x 0 6 4y 6 0 y = x = x y = x y = x Vi tegner linjene y = x, y = x+ og 4y 6 0 = x y = x+ 5 3 y = x+ 5 i samme koordinatsystem: Vi ser at nivålinjene er parallelle, stigningstallet er Nivålinja skjærer y-aksen høyere opp når S øker. 3 for alle linjene. Aschehoug Side 6 av 66

27 b Vi skriver S = 0 i inntastingsfeltet i GeoGebra og klikker på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren og klikker på Egenskaper. Vi skriver inn som vist nedenfor: Vi skriver deretter S = 6x+ 4y i inntastingsfeltet. Nivålinjene for S = 0, S = 0 og S = 0 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» Nedenfor er nivålinja for S = 0 vist: være aktivert. 3.6 a S = 0: S = 0: S = 30: 0 = x+ 5y 5y = x 0 0 = x+ 5y 5y = x 0 30 = x+ 5y 5y = x y = x y = x y = x y = x+ y = x+ 4 y = x Vi tegner linjene y = x+, y = x+ 4 og y = x+ 6 i samme koordinatsystem, og tegner en pil som viser hvilken retning vi må bevege oss i koordinatsystemet for at S skal øke: b Vi skriver S = 0 i inntastingsfeltet i GeoGebra og klikker på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren og klikker på Egenskaper. Vi skriver inn som vist nedenfor: Aschehoug Side 7 av 66

28 Vi skriver deretter S = x+ 5y i inntastingsfeltet. Nivålinjene for S = 0, S = 0 og S = 30 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» Nedenfor er nivålinja for S = 0 vist: være aktivert. 3.7 a Uten hjelpemidler: Ulikhet (): y+ x 8. Vi omformer linja y+ x= 8 til y = x+ 4, tegner linja og markerer grafområdet som ligger under linja. Ulikhet (): y x 0. Vi omformer linja y x= 0 til y = x, tegner linja og markerer grafområdet som ligger over linja. Ulikhet (3): x. Vi tegner linja x = og markerer grafområdet som ligger til høyre for linja. Vi får grafområdet som stemmer med ulikhetene ovenfor: b Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. Uten hjelpemidler: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene x = og y = x. x-koordinaten til hjørnepunktet A er derfor, og y-koordinaten er y = =. Koordinatene til hjørnepunktet A er (, ). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene Aschehoug Side 8 av 66

29 y = x+ 4 og y = x. Vi setter y = x inn i (): y = x+ 4 x= x+ 4 x+ x= 4 x = 4 Når x = 4, blir y = 4 =. Koordinatene til hjørnepunkt B er (4, ). Hjørnepunkt C er skjæring mellom linjene x = og y = x+ 4. x-koordinaten til hjørnepunktet C er derfor. Vi setter x = inn i y = x+ 4 : y = + 4 y = 3 Hjørnepunktet C har koordinatene (, 3). Med hjelpemidler: Vi fortsetter i GeoGebra-bildet fra oppgave a. Vi skriver inn de tre linjene (én og én) i inntastingsfeltet i GeoGebra Deretter velger vi Skjæring mellom to objekt og klikker på de tre linjene. Hjørnepunktene A, B og C kommer da opp. Vi får fram verdien til punktet ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn og Navn og verdi. 3.8 a Av figuren ser vi at koordinatene til hjørnepunktene er A = (, ), B = (4, ) og C = (, 3). Uten hjelpemidler: Ulikhet (): 4y+ x 4. Vi omformer linja 4y+ x= 4 til y = x+ 6, tegner linja 4 og markerer grafområdet som ligger under linja. Ulikhet (): y+ x 6 Vi omformer linja y+ x= 6 til y = x+ 8, tegner linja og markerer grafområdet som ligger under linja. Aschehoug Side 9 av 66

30 Ulikhet (3): x 4 Vi tegner linja x = 4 og markerer grafområdet som ligger til høyre for linja. Ulikhet (4): y Vi tegner linja y = og markerer grafområdet som ligger over linja. Vi får grafområdet som stemmer med ulikhetene ovenfor: Med hjelpemidler: Ulikhetene skrives i inntastingsfeltet i GeoGebra:. Tegnet finner du under til høyre i inntastingsfeltet. Grafområdet er vist ovenfor. b Uten hjelpemidler: Hjørnet A er skjæringspunktet mellom linjene x = 4 og y =. Koordinatene til hjørnepunktet A er (4, ). Hjørnet B er skjæringspunktet mellom linjene y = og y = x+ 8. Vi setter inn y = inn i y = x+ 8: = x + 8 x = 8 x = 6 x = Koordinatene til hjørnepunktet B er (, ). Hjørnet C er skjæringspunktet mellom linjene y = x+ 8 og y = x Vi setter y = x+ 8 lik y = x+ 6 : 4 x+ 8= x+ 6 4 x+ x= x+ x= 4 4 x = 4 x = 8 Aschehoug Side 30 av 66

31 Vi setter x = 8 inn i y = x+ 8: y = y = 4 Hjørnet C har koordinatene (8, 4). Hjørnet D er skjæringspunktet mellom linja x = 4 og y = x+ 6 : 4 y = x+ 6 4 y = y = 5 Hjørnet D har koordinatene (4, 5). y = x+ 6. Vi setter x = 4 inn i 4 Med hjelpemidler: Vi fortsetter i GeoGebra-bildet fra oppgave a. Vi skriver inn de tre linjene (én og én) i inntastingsfeltet i GeoGebra Deretter velger vi Skjæring mellom to objekt og klikker på de tre linjene. Hjørnepunktene A, B, C og D kommer da opp. Vi får fram verdien til punktet ved å høyreklikke på punktet og velge Egenskaper, Vis navn og Navn og verdi. Av figuren ser vi at koordinatene til hjørnepunktene er A = (4, ), B = (, ), C = (8, 4) og D = (4, 5). c S = 8: Vi setter S = 8 inn i uttrykket S = 3x+ 8y: 8= 3x+ 8y. Vi finner to punkter på linja før vi kan tegne den: Vi setter først inn x = 0 og finner tilhørende y-verdi: 8= y y = Punktet (0, ) ligger på linja 8= 3x+ 8y. Vi setter deretter inn i uttrykket og finner tilhørende y-verdi: 8= y 8y = 8 4 y = = 8 Aschehoug Side 3 av 66

32 Punktet 4, ligger på linja = x+ y. S = 4: Vi setter S = 4 inn i uttrykket S = 3x+ 8y: 4 = 3x+ 8y. Vi finner to punkter på linja før vi kan tegne den: Vi setter først inn x = 0: 4 = y y = 3 Punktet (0, 3) ligger på linja 4 = 3x+ 8y. Vi setter inn x = 4 i uttrykket: 4 = y 8y = 3 y = = 8 3 Punktet 4, ligger på linja = x+ y. Vi markerer de to punktene vi har per linje i koordinatsystemet med det aktuelle grafområdet, og tegner de to linjene 8= 3x+ 8y og 4 = 3x+ 8y: d Vi bruker GeoGebra-vinduet med det aktuelle grafområdet, skriver S = 8 i inntastingsfeltet og klikker på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren og klikker på Egenskaper. Vi skriver inn som vist nedenfor, og velger maks-verdien til 56 fordi denne skal brukes seinere i oppgaven: Vi skriver deretter S = 3x+ 8y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med S = 8 til og med S = 4 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» Nedenfor er nivålinja for S = 4 vist: være aktivert. Aschehoug Side 3 av 66

33 e Vi drar i glideren til nivålinja treffer hjørnepunktet (4, ). f S har da verdien 8, og nivålinja er 8 = 3x+ 8y. Vi markerer punktet (7, 3) i koordinatsystemet og drar i glideren til linja treffer punktet. S har da verdien 45, og nivålinja er 45 = 3x+ 8y. g Vi drar i glideren til S = 56. Ser da at nivålinja går gjennom punktet (8, 4): 3.9 a Vi setter inn punktet P(5, 4) i uttrykket S = x+ 3y: S = =. Nivålinja er da = x+ 3y. b Hvis punktet Q(a, 6) ligger på nivålinja = x+ 3y, er a den ukjente x-verdien: = x+ 3y = a = a a = Aschehoug Side 33 av 66

34 3.30 a Vi tegner av figuren gitt i oppgaven: b Vi regner ut S-verdien til alle hjørnepunktene: A(4, ): S A = = + 8 = 0 B(7, 4): S B = = + 6 = 37 C(4, 6): S C = = + 4 = 36 D(, 3): S D = = 6 + = 8 Vi ser at S har sin minste verdi i punkt D(, 3), da er S = 8. S har sin største verdi i punktet B(7, 4), da er S = 37. Vi bruker GeoGebra-vinduet med det aktuelle grafområdet og skriver S = 0 i inntastingsfeltet. Deretter klikker vi på ringen foran S i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren, klikker på Egenskaper og skriver inn som vist nedenfor. Når vi ikke vet noe om aktuelle S-verdier fra før, kan vi prøve oss fram med min- og maks-verdier, helt til nivålinja treffer innenfor det aktuelle grafområdet. Vi skriver deretter S = 3x+ 4y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med S = 0 til og med S = 50 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Vi drar i glideren og ser at S har sin minste verdi i hjørnepunktet D(, 3), da er S = 8: Aschehoug Side 34 av 66

35 Vi ser at S har sin største verdi i hjørnepunktet B(7, 4), da er S = 37: Løsninger til oppgavene i boka c Vi drar glideren til S = 34 og ser at nivålinja går gjennom punktet (6, 4). a har derfor verdien 4: Vi kan også bestemme a ved regning: S = 3x+ 4y 34 = 3a = 3a 8 a = = 6 3 d Et uttrykk Z er gitt ved Z = 5x+ 0y. Vi regner ut Z-verdien til alle hjørnepunktene: A(4, ): Z A = = = 40 B(7, 4): Z B = = = 75 C(4, 6): Z C = = = 80 D(, 3): Z D = = = 40 Vi ser at Z har sin minste verdi i punktene A(4, ) og D(, 3), da er Z = 40. Z har sin største verdi i punktet C(4, 6), da er Z = 80. e Vi bruker GeoGebra-vinduet med det aktuelle grafområdet og skriver Z = 0 i inntastingsfeltet. Deretter klikker vi på ringen foran Z i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren, klikker på Egenskaper og skriver inn som vist nedenfor. Når vi ikke vet noe om aktuelle Z-verdier fra før, kan vi prøve oss frem med min- og maks-verdier, helt til nivålinja treffer innenfor grafområdet. Vi skriver deretter Z = 5x+ 0y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med Z = 0 til og med Z = 00 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Vi drar i glideren og ser at Z har sin minste verdi i hjørnepunktene A(4, ) og Aschehoug Side 35 av 66

36 D(, 3), da er Z = 40. Det betyr at Z = 40 i alle punktene på linjestykket AD, se figuren nedenfor. Vi ser at Z har sin største verdi i hjørnepunktet C(4, 6), da er Z = 80, se figuren nedenfor. f Vi bruker GeoGebra-vinduet med det aktuelle grafområdet og skriver R = 0 i inntastingsfeltet. Deretter klikker vi på ringen foran R i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren, klikker på Egenskaper og skriver inn som vist nedenfor. Når vi ikke vet noe om aktuelle R-verdier fra før, kan vi prøve oss fram med min- og maks-verdier, helt til nivålinja treffer innenfor grafområdet. Vi skriver deretter R= 8x+ y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med R = 0 til og med R = 0 vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Vi drar i glideren og ser at R har sin største verdi i hjørnepunktene B(7, 4) og C(4, 6). Da er Z = 04. Det betyr at Z = 04 i alle punktene som ligger på linjestykket BC. Aschehoug Side 36 av 66

37 3.3 a Skolen kan maksimalt bruke kr til innkjøpet. Når de skal kjøpe inn x skrivere av type A som koster kr, og y skrivere av type B som koster 5000 kr, får vi ulikheten 0 000x+ 5000y y x+ y 40 For at innkjøpet ikke skal overskride kr, må ulikheten x+ y 40 være oppfylt. b Minst 7 skrivere av type A gir ulikheten x 7, i tillegg til at ulikheten x+ y 35 skal være oppfylt. Det aktuelle grafområdet er derfor begrenset av de tre ulikhetene: x+ y 40 x+ y 35 x 7 Vi skriver inn de tre ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra og får denne figuren med det aktuelle grafområdet: c d Vi lar K(x, y) være skrivekapasiteten per time. Når skriver A har en kapasitet på 800 sider per time og skriver B har en kapasitet på 000 sider per time, og det kjøpes x skrivere av type A og y skrivere av type B, får vi følgende uttrykk for skrivekapasiteten per time: Kxy (, ) = 800x+ 000y. Vi fortsetter i GeoGebra-vinduet fra oppgave b og skriver inn de tre aktuelle linjene i inntastingsfeltet i GeoGebra (én og én): x+ y = 40 x+ y = 35 x = 7 Vi velger Skjæring mellom to objekt, og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Navn og Navn og verdi. Nivålinjemetoden: Vi skriver inn K = 000 i inntastingsfeltet. Deretter klikker vi på ringen foran K i algebravinduet. Så høyreklikker vi på glideren, klikker på Egenskaper og skriver inn som vist nedenfor. Når vi ikke vet noe om aktuelle R-verdier fra før, kan vi prøve oss fram med min- og maks-verdier, helt til nivålinja treffer innenfor grafområdet. Aschehoug Side 37 av 66

38 Eksempler på min-, maks-verdier og animasjonstrinn er gitt i figuren nedenfor. Vi skriver deretter K( x, y) = 800x+ 000y i inntastingsfeltet. Nivålinjene fra og med R = 000 til og med R = vises når man drar i glideren. For å dra i glideren må «flytt-pila» være aktivert. Vi drar i glideren og ser at K har sin største verdi i punktet C(7, 6), se figuren nedenfor: Det betyr at skolen må kjøpe 7 skrivere av type A og 6 skrivere av type B for å oppnå størst mulig skrivekapasitet per time. Vi ser at K = Vi kan også regne ut verdien til K i dette punktet: K (7, 6) = = = Det betyr at den største skrivekapasiteten per time er sider. Innsettingsmetoden: Vi regner ut K(x, y) i de tre hjørnepunktene A, B, og C: K (7, 4) = = = K (5,0) = = = K (7, 6) = = = Vi ser at vi får det samme svaret med innsettingsmetoden: Skolen må kjøpe 7 skrivere av type A og 6 skrivere av type B for å oppnå størst mulig skrivekapasitet per time. Den største skrivekapasiteten er sider per time. 3.3 a Antall Go-plasser settes lik x og antall Pluss-plasser settes lik y. Vi har totalt 60 plasser i flyet som skal fordeles på Go-plasser og Pluss-plasser. Det gir oss ulikheten x+ y 60. Kravet om at det skal være minst 0 Pluss-plasser, gir ulikheten y 0. Vi kan ikke ha et negativt antall plasser: x 0 Aschehoug Side 38 av 66

39 b Vi skriver inn de fire ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: Plussplasser: og får opp grafområdet for Go- og c d Når én Go-plass koster 000 kr og én Pluss-plass koster 500 kr, er billettinntekten, S, for én flyavgang gitt ved S = 000x+ 500y. Vi fortsetter i GeoGebra-vinduet fra oppgave b og skriver inn de tre aktuelle linjene i inntastingsfeltet i GeoGebra (én og én): x+ y = 60 y+ x= 80 3 y = 0 x = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Navn og Navn og verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja S = 00x+ 500y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 00, maks: og animasjonstrinn 00.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet C(0, 40), se figuren nedenfor. Det betyr at det må selges 0 Go-plasser og 40 Pluss-plasser for at billettinntekten for flyselskapet skal bli høyest. Vi ser at S = Det betyr at den høyeste billettinntekten er kr. Vi kan også regne ut billettinntekten: S (0, 40) = = = Innsettingsmetoden: Vi regner ut S(x, y) i de to hjørnepunktene B(40, 0) og C(0, 40): S (40, 0) = = = S (0, 40) = = = Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: Det må selges 0 Go-plasser og 40 Pluss-plasser for at billettinntekten for flyselskapet skal bli høyest. Da er billettinntekten Aschehoug Side 39 av 66

40 3.33 a I denne oppgaven er x er antall enheter som produserer per dag av produkt A, og y er antall enheter som produseres per dag av produkt B. Ved produksjonssted I skal både produkt x og y behandles i 0 min per dag. Den daglige produksjonskapasiteten ved produksjonssted I er 6 timer = 360 minutter. Vi får derfor ulikheten 0x+ 0y 360 x+ y 8 Ved produksjonssted II er kapasiteten 5 timer = 300 minutter. Her skal produkt x behandles i 0 min per dag og produkt y behandles i 0 min per dag. Vi får derfor ulikheten 0x+ 0y 300 x+ y 30 Ved produksjonssted III er kapasiteten timer = 0 minutter. Her skal ikke produkt x behandles, men produkt y skal behandles i 0 min per dag. Vi får derfor ulikheten 0y 0 y b I tillegg til ulikhetene i oppgave a har vi at x 0 og y 0. Vi skriver inn de fire ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet: Aschehoug Side 40 av 66

41 c Vi lar Sxy (, ) være den samlede fortjenesten for produkt A og B når x enheter av produkt A gir en fortjeneste på 600 kr per enhet, og y enheter av produkt B gir en fortjeneste på 500 kr per enhet: Sxy (, ) = 600x+ 500y. Vi fortsetter i GeoGebra-vinduet fra oppgave b og skriver inn de fire aktuelle linjene i inntastingsfeltet i GeoGebra (én og én): x+ y = 8 x+ y = 30 y = x = 0 y = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Navn og Navn og verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja Sxy (, ) = 600x+ 500y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 000, maks: og animasjonstrinn 00.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet B(, 6), se figuren nedenfor. Det betyr at firmaet oppnår høyest fortjeneste når de produserer enheter av produkt A og 6 enheter av produkt B. Vi ser da at S = 0 00, og vi kan også regne ut fortjenesten: S (, 6) = = = 0 00 Fortjenesten er på 0 00 kr. Innsettingsmetoden: Vi regner ut S(x, y) i de fire hjørnepunktene B(5, 0), C(, 6), D(6, ) og E(0, ): S (5, 0) = = 9000 S (, 6) = = = 0 00 S (6, ) = = = 9600 S (0,) = = 6000 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: Firmaet oppnår høyest fortjeneste når de produserer enheter av produkt A og 6 enheter av produkt B. Da er fortjenesten på 0 00 kr. Aschehoug Side 4 av 66

42 d 3.34 a b Vi regner ut utnyttelse av produksjonskapasiteten ved de tre produksjonsstedene I, II og III når det produseres enheter av produkt A og 6 enheter av produkt B: I: Her skulle ulikheten 0x+ 0y 360 være oppfylt. Vi setter inn x = og y = = = 360. Vi ser dermed at produksjonssted I ikke har ledig kapasitet. II: Her skulle ulikheten 0x+ 0y 300 være oppfylt. Vi setter inn x = og y = 6: = = 300. Vi ser at produksjonssted II ikke har ledig kapasitet. III: Her skulle ulikheten 0y 0 være oppfylt. Vi setter inn y = 6 og får 0 6 = 60. Vi ser her at produksjonssted III har en ledig kapasitet per dag på 0 60 = 60 minutter = time. Det daglige behovet for næringsstoff I er på minst 6 enheter. I sekk A er det enheter av næringsstoff I, og i sekk B er det enhet av næringsstoff I. x er antall sekker av type A, og y er antall sekker av type B. Dette gir oss følgende ulikhet for næringsstoff I: x+ y 6 Det daglige behovet for næringsstoff II er på minst 4 enheter. Det er enhet av næringsstoff II i både sekk A og sekk B. Dette gir oss følgende ulikhet for næringsstoff II: x+ y 4 Det daglige behovet for næringsstoff III er på minst 0 enheter. I sekk A er det enhet av næringsstoff III, og i sekk B er det 3 enheter av næringsstoff III. Det gir oss følgende ulikhet for næringsstoff III: x+ 3y 0 Når type A koster 50 kr per sekk og type B koster 500 kr per sekk, blir uttrykket for kostnaden ved å kjøpe x sekker av type A og y sekker av type B: Sx (, y) = 50x+ 500y c I tillegg til ulikhetene i oppgave a tar vi også med ulikhetene x 0 og y 0 fordi det ikke er aktuelt med et negativt antall sekker. Vi skriver inn de fem ulikhetene i inntastingsfeltet i GeoGebra: Vi skriver inn de aktuelle linjene: x+ y = 6 x+ y = 4 x+ 3y = 0 x = 0 y = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Navn og Navn og verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja Sxy (, ) = 50x+ 500y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 00, maks: og animasjonstrinn 50.) Vi drar i glideren og ser at S får sin minste verdi i hjørnepunktet C(, 3), se figuren nedenfor. Aschehoug Side 4 av 66

43 Det betyr at oppdrettsanlegget må kjøpe sekker av type A og 3 sekker av type B for å dekke det daglige behovet på billigst mulig måte. Vi ser da at S = 450, og vi kan også regne ut denne kostnaden: S (, 3) = = = 450. Innsettingsmetoden: Vi regner ut S(x, y) i de fire hjørnepunktene A(0, 6), B(, ), C(, 3) og E(0, 0): S (0,6) = = 8000 S (, ) = = = 6500 S (, 3) = = = 450 S(0, 9) = = 5000 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: Oppdrettsanlegget må kjøpe sekker av type A og 3 sekker av type B for å dekke det daglige behovet på billigst mulig måte a Vi tegner de tre hjørnepunktene A(, ), B(3, 5), C(8, ) i et koordinatsystem og markerer grafområdet: b Vi regner ut Sxy (, ) = 30x+ 0yfor hvert av hjørnepunktene: (, ) = = = 70 S A S B (3, 5) = = = 90 S C (8,) = = = 60 Vi ser at S(x, y) har sin største verdi i punktet S (8,) = 60. c Vi ser fra utregningen i oppgave b at S(x, y) har sin minste verdi i punktet S (, ) = 70. C A Aschehoug Side 43 av 66

44 3.36 a Vi markerer punktene i et koordinatsystem med verdier: Vi regner deretter ut Sx (, y) = 4x+ y for alle punktene: S(30, 0) = = = 60 S(70, 30) = = = 340 S(60, 60) = = = 360 S(30, 80) = = = 80 S(0, 50) = = = 40 Vi ser at S(x, y) har sin største verdi i punktet S (60, 60) = 360. b I utregningen i oppgave a ser vi at S(x, y) har sin minste verdi i punktet S (0, 50) = a Vi setter inn de tre punktene P(3, ), Q(, 6) og R(7, ) i uttrykket for Sx (, y) = x+ 4y: S(3, ) = = = 4 S(, 6) = = = 8 S(7,) = = = 8 Vi ser at punktet Q(, 6) gir størst verdi for S(x, y). S (, 6) = 8. Vi ser at punktet P(3, ) gir minst verdi for S(x, y). S (3, ) = 4. b Vi setter inn de tre punktene P(3, ), Q(, 6) og R(7, ) i uttrykket for Sx (, y) = x 4y: S(3, ) = 3 4 = 6 8 = S(, 6) = 4 6 = 4 4 = 0 S(7,) = 7 4 = 4 4 = 0 Vi ser at punktet R(7, ) gir størst verdi for S(x, y). S (7, ) = 0. Vi ser at punktet Q(, 6) gir minst verdi for S(x, y). S (, 6) = a Vi regner ut verdien for S(x, y) i de tre punktene A(5, 5), B(, 8) og C(3, ) når Sx (, y) = x+ 4y: S(5, 5) = = 5 S(, 8) = = 33 S(3, ) = = b Punktet B(, 8) gir den største verdien for S(x, y). S (, 8) = 33. Aschehoug Side 44 av 66

45 c Punktet C(3, ) gir den minste verdien for S(x, y). S (3, ) = a Vi skriver inn settet med ulikheter i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet: b Vi skriver inn de aktuelle linjene: x = 0 x = 0 y = 0 y = 0 y = x+ 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med navn og verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Vis navn og Verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja S = 3x+ 4y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 0, maks: 00 og animasjonstrinn.) Vi drar i glideren og ser at S får sin minste verdi i hjørnepunktet (0, ), se figuren nedenfor. Vi ser av figuren at S = 30. S (0, 0) = = 30 Aschehoug Side 45 av 66

46 Innsettingsmetoden: Vi regner ut Sxy (, ) = 3x+ 4yi de fem hjørnepunktene (0, 0), (0, 0), (0, 0), (0, 0) og (0, 0): S(0, 0) = = 30 S(0, 0) = = 60 S(0, 0) = = 40 S(0, 0) = = 80 S(0,0) = = 40 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: S(x, y) er minst i punktet (0, 0). S (0, 0) = a Vi skriver inn settet med ulikheter i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet: Vi skriver inn de aktuelle linjene: x = 0 y = 0 x+ 4y = 000 x+ y = 600 x+ y = 450 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Vis navn og Verdi (se figuren nedenfor). Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja S = 3x+ y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 0, maks: 000 og animasjonstrinn 0.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet (50, 50), se figuren nedenfor. Vi ser av figuren at S = 750. Vi kan også finne S ved regning: S (50, 50) = = = 750. Aschehoug Side 46 av 66

47 Innsettingsmetoden: Vi regner ut Sx (, y) = 3x+ y i de fire hjørnepunktene: (5, 0), (50, 50), (00, 00) og (0, 50): S(5, 0) = = 675 S(50, 50) = = = 750 S(00, 00) = = = 700 S(0, 50) = = 500 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: S(x, y) er størst i punktet (50, 50). S (50, 50) = a b På trinn bruker varetype A 0 min, og varetype B bruker 30 min. Trinn har en produksjonstid på 5 timer = 300 minutter. Når verkstedet produserer x enheter av type A og y enheter av type B, gir dette oss ulikheten på trinn : 0x+ 30y 300 x+ 3y 30 På trinn bruker varetype A 60 min og varetype B bruker 30 min. Trinn har en produksjonstid på 0 timer = 600 minutter. Dette oss ulikheten på trinn : 60x+ 30y 600 x+ y 0 I tillegg har vi ulikhetene x 0 og y 0, da det ikke er aktuelt med et negativt antall varetyper. Vi skriver inn settet med ulikheter i inntastingsfeltet i GeoGebra: og får opp grafområdet (se nedenfor). Vi skriver inn de aktuelle linjene: x+ 3y = 30 x+ y = 0 x = 0 y = 0 Vi velger Skjæring mellom to objekt og får opp hjørnepunktene med verdi ved å høyreklikke på dem, velge Egenskaper, Vis navn og Verdi (se figuren nedenfor). Fortjenesten på 79 kr per enhet for varetype A og 056 kr per enhet for varetype B gir oss uttrykket for den totale fortjenesten S(x, y): Sx (, y) = 79x+ 056y Aschehoug Side 47 av 66

48 Nivålinjemetoden: Vi lager glider for nivålinja Sxy (, ) = 79x+ 056 y. Framgangsmåten for dette er f.eks. gitt i oppgave 3.3d. (Et eks. er å velge min: 00, maks: og animasjonstrinn 00.) Vi drar i glideren og ser at S får sin største verdi i hjørnepunktet (6, 8), se figuren nedenfor. Vi ser av figuren at S = Vi kan også finne S ved regning: S (6, 8) = = = Innsettingsmetoden: Vi regner ut Sxy (, ) = 79x+ 056y i de tre hjørnepunktene: (0, 0), (6, 8), og (0, 0): S(0, 0) = = 790 S(6, 8) = = = 3 00 Vi ser at vi får samme svar med innsettingsmetoden: S(x, y) er størst i punktet (6, 8). S (6, 8) = Det daglige behovet for næringsstoff I er minst 4 enheter. I sekk A er det enheter av næringsstoff I, og i sekk B er det enhet av næringsstoff I. x er antall sekker av type A, og y er antall sekker av type B. Dette gir oss følgende ulikhet for næringsstoff I: x+ y 4 Det daglige behovet for næringsstoff II er på minst enheter. Det er enhet av næringsstoff II i både sekk A og sekk B. Dette gir oss følgende ulikhet for næringsstoff II: x+ y Det daglige behovet for næringsstoff III er på minst 8 enheter. I sekk A er det enhet av næringsstoff III, og i sekk B er det 3 enheter av næringsstoff III. Det gir oss følgende ulikhet for næringsstoff III: x+ 3y 8 Når type A koster 75 kr per sekk og type B koster 50 kr per sekk, blir uttrykket S(x, y) for kostnaden ved å kjøpe x sekker av type A og y sekker av type B: S( x, y) = 75x+ 50y Vi har også ulikhetene x 0 og y 0 fordi det ikke er aktuelt med et negativt antall sekker. Aschehoug Side 48 av 66

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

Lineær optimering med GeoGebra

Lineær optimering med GeoGebra Lineær optimering med GeoGebra av Sigbjørn Hals Eksempler fra læreboka Sinus S1 Cappelen, 2007 1 Før vi viser fremgangsmåten for lineær optimering, vil vi vise noen nyttige kommandoer og menyvalg i GeoGebra,

Detaljer

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett. GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,

Detaljer

Funksjoner med GeoGebra

Funksjoner med GeoGebra Funksjoner med GeoGebra Wallace Anne Karin 2015 G e o G e b r a 5. 0 Innhold Oppsett for arbeid med funksjoner... 2 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 4 Flytt inntastingsfeltet øverst... 4

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T GeoGebra-opplæring i Matematikk 2T Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt. Vinkel mellom to vektorer 1.6 Parameterframstilling 1.8 Binomialkoeffisient I 2.7 Binomialkoeffisient

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

S1 kapittel 6 Lineær optimering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

S1 kapittel 6 Lineær optimering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen kapittel 6 Lineær optimering Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 604 a b c Aschehoug Undervisning www.lokus.no ide av 7 63 a Trinn Tid til produksjon i min Trinn 2 Tid til produksjon i min Varetype A (x)

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2 GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen 3.5 3.6 Den naturlige

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold Funksjonstegner... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 3 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 4 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Lineære funksjoner. Skjermbildet

Lineære funksjoner. Skjermbildet Lineære funksjoner I dette opplæringsløpet lærer du å tegne funksjoner i GeoGebra samt å bruke verktøy til å løse oppgaver som dreier seg om funksjoner. Alle oppgavene handler om lineære funksjoner. I

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 9 Kurs i GeoGebra Funksjoner og grafer I dette kurset skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner. Grunnleggende innstillinger Når vi skal bruke

Detaljer

Funksjoner, likningssett og regning i CAS

Funksjoner, likningssett og regning i CAS Funksjoner, likningssett og regning i CAS MKH, TUS 2014, GeoGebra 4.4 Innholdsfortegnelse Funksjoner og likningssett i GeoGebra... 2 Introduksjon til lineære funksjoner... 2 Oppgave om mobilabonnement...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

GeoGebra-opplæring i 2P-Y GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter 3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. Graftegner - GeoGebra... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene...

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet

Detaljer

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka

S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka S1 kapittel 5 Funksjoner Løsninger til oppgavene i boka 5.1 a f( x) = 4x+ 0 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[-4x+0,-5,5]. Grafen viser at [ 0, 40] V =. f b gx ( ) =,5x+ 10 I GeoGebra skriver vi f(x)=funksjon[,5x+10,-10,4].

Detaljer

GeoGebra 6. GeoGebra 6 kan lastes ned fra:

GeoGebra 6. GeoGebra 6 kan lastes ned fra: GeoGebra 6 Den vanlige GeoGebra brukeren må bruke litt tid til å sette seg inn i GeoGebra 6. Noen viktige endringer blir vist i dette dokumentet. Tema er valgt spesielt med tanke på arbeid med elever.

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser

1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser 1 Geometri i kunsten: 1 Introduksjon GeoGebra 2 Speiling, rotasjon og parallellforskyvning 3 Perspektivtegning 4 Symmetriakser MKH GeoGebra - Geometri i kunsten Innhold 1 Introduksjon GeoGebra... 1 1.1

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011

Sigbjørn Hals. Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse. Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 Øving i bruk av GeoGebra på eksamensoppgaver for 10. Klasse Eksamensoppgave, Utdanningsdirektoratet V-2011 1 Framgangsmåten med GeoGebra Vi vil her bare se på løsningen av oppgavene c og d. Åpne GeoGebra.

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals

GeoGebra. brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals GeoGebra brukt på eksamensoppgaver i 10. kl. Sigbjørn Hals Innhold Hva er GeoGebra?... 2 Hvilken nytte har elevene av å bruke GeoGebra?... 2 Hvor finner vi GeoGebra?... 2 Oppbyggingen av programmet...

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

5.A Digitale hjelpemidler i geometri

5.A Digitale hjelpemidler i geometri 5.A Digitale hjelpemidler i geometri Geometri handler om egenskapene til punkter, linjer og figurer i planet og i rommet. I alle tider har blyant og papir samt passer og linjal vært de viktigst hjelpemidlene

Detaljer

Løsningsforslag kapittel 3

Løsningsforslag kapittel 3 Løsningsforslag kapittel 3 Innhold Oppgave 3.2... 2 Oppgave 3.4... 2 Oppgave 3.8... 3 Oppgave 3.14... 5 Oppgave 3.17... 6 Oppgave 3.23... 7 Oppgave 3.29... 8 Oppgave 3.35... 9 Oppgave 3.38... 10 Oppgave

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 2.4 Brøkregning. 3.6 Rette linjer 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus 1P boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff. Se brukerveiledningen i Lokus for perspektivtegning med GeoGebra..1 Regnerekkefølge

Detaljer

Kurs. Kapittel 2. Bokmål

Kurs. Kapittel 2. Bokmål Kurs 8 Kapittel 2 Bokmål D.8.2.1 1 av 4 Introduksjon til dynamisk geometri med GeoGebra Med et dynamisk geometriprogram kan du tegne og konstruere figurer som du kan trekke og dra i. I noen slike programmer

Detaljer

Løsning eksamen S1 våren 2010

Løsning eksamen S1 våren 2010 Løsning eksamen S1 våren 010 Oppgave 1 a) 1) f ( x) x x f (1) 1 1 1 1 f ( x) 6x x f (1) 6 1 1 6 4 ) Grafen går gjennom punktet (1, 1) og har vekstfarten 4. Det betyr at tangenten i punktet har stigningstallet

Detaljer

Undervisningsopplegg. Kapittel 2. Bokmål

Undervisningsopplegg. Kapittel 2. Bokmål Undervisningsopplegg 9 Kapittel 2 Bokmål 1 av 10 Bruk av GeoGebra i eksamensoppgaver I dette undervisningsopplegget skal vi se nærmere på hvordan vi kan bruke GeoGebra som en graftegner i eksamensoppgaver

Detaljer

Løsning eksamen R1 våren 2009

Løsning eksamen R1 våren 2009 Løsning eksamen R1 våren 009 Oppgave 1 a) 1) f( ) ( 1) 4 f ( ) 4( 1) ( 1) 4( 1) 8 ( 1) ) g ( ) e 3 3 3 g( ) e ( e ) 1 e e ( ) 1e e (1) e b) ( ) lim lim lim ( ) 4 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) c) ( ) ( ) ( ) ( )

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Formler, likninger og ulikheter

Formler, likninger og ulikheter 58 3 Formler, likninger og ulikheter Mål for opplæringen er at eleven skal kunne tolke, bearbeide og vurdere det matematiske innholdet i ulike tekster bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse

Detaljer

QED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære, 2. utgave Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus Påbyggingsboka T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Nullpunkt. Side 11 i læreboka... 3 Andregradslikninger. Side 18 i læreboka... 3 Momentan vekstfart. Side 47 i læreboka...

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015)

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) 1 INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) Østerås 12. september 2015 Odd Heir 2 Innhold Side 3-10 Innføring i GeoGebra 10-12 Utskrift 12-13 Overføring til Word 13-15 Nyttige tips 15-16 Stolpediagram

Detaljer

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra

Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Anne-Mari Jensen Utforsking av funksjonsuttrykk og de tilhørende grafene ved hjelp av GeoGebra Innledning I ungdomsskolen kommer funksjoner inn som et av hovedområdene i læreplanen i matematikk. Arbeidet

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt og vinkel mellom to vektorer 1.6 Forenkle uttrykk 2.1 Faktorisering 2.1 Grafisk løsning av eksponentiallikninger

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold DYNAMISK GEOMETRIPROGRAM... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Oppsett av skjermbildet... 4 Verktøylinja... 4 PUNKT OG SIRKLER... 5 Punkt... 5 Sirkel... 6 Linjer... 7 NYTTIGE VERKTØY... 8 Lagre...

Detaljer

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter

1T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter T kapittel 4 Likningssystemer og ulikheter Løsninger til oppgavene i oka Oppgave 4. a Vi tegner grafene til y = og y = + 3 i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet mellom grafene har koordinatene (, ).

Detaljer

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet

GeoGebra 3.2. for. ungdomstrinnet GeoGebra 3.2 for ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals 1 Innhold: Hva er GeoGebra?... 3 Hvor kan jeg få tak i dette programmet?... 3 Hvordan kommer jeg i gang med å bruke programmet?... 4 Å hente og legge til

Detaljer

Oppgave 578. Tilleggsspørsmål: a. (Som i original oppgave)

Oppgave 578. Tilleggsspørsmål: a. (Som i original oppgave) Oppgave 578 Med tilleggsspørsmål og eksempler på bruk av GeoGebra. (I forsøket på å illustrere flere forskjellige teknikker er det ikke til å unngå at noen av spørsmålene til en viss grad overlapper hverandre.)

Detaljer

b) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig), der svaret i begge skal bli x = -3. Løs også likningene.

b) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig), der svaret i begge skal bli x = -3. Løs også likningene. Oppgave I Likninger og ulikheter a) Løs likningen: x + 2 a. + (3x + 4) 3 6 2 ( x + 2)6 6 6 + (3x + 4) 3 6 2 2x + 4 + 9x + 2 2x 9x 2 5 x b) Lag to likninger med ulik vanskegrad (en ganske lett og en vanskelig),

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 2P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 2P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Linjediagram. Side 46 i læreboka... 3 Søylediagram. Side 57 i Læreboka... 5 Histogram. Side 81 i læreboka... 6 Lineær regresjon.

Detaljer

Karakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p

Karakter 2: 10p Karakter 3: 17p Karakter 4: 23p Karakter 5: 30p Karakter 6: 36p 06.02.2017 MATEMATIKK (MAT1005) Rette linjer / Lineære funksjoner DEL 1 (UTEN HJELPEMIDLER) 50 minutter DEL 2 (MED HJELPEMIDLER) 40 minutter (Del 1 leveres inn etter nøyaktig 50 minutter og før hjelpemidlene

Detaljer

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon

Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Grensekostnad og grenseinntekt Matematikk S1 1. Refleksjon Læreplanmål Matematikk S1 lage og tolke funksjoner som modellerer og beskriver praktiske problemstillinger i økonomi tegne grafen til polynomfunksjoner,

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra

Oppgave 1 a) Tegn grafene til de tre funksjonene nedenfor i samme koordinatsystem i GeoGebra kompetansemålet: Funksjoner - undersøkje funksjonar som beskriv praktiske situasjonar, ved å fastsetje nullpunkt, ekstremalpunkt og skjeringspunkt og tolke den praktiske verdien av resultata. Oppgave 1

Detaljer

Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS.

Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS. Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS. Oppgave 1 En bonde har et 20 meter langt gjerde og skal sperre av et rektangulært område der en av sidene i rektangelet er en fjøsvegg. Finn maksimalt areal som

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging Kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Koordinatene til origo er (0, 0). b Vi leser av førstekoordinaten langs x-aksen og andrekoordinaten langs y-aksen for

Detaljer

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42

2.1 Regnerekkefølge. 3.4 Rette linjer med digitale verktøy 2(3 + 1) (6+ 2):4+ 42 Sinus T uten grafisk kalkulator Dette dokumentet oversetter kapittelet Lommeregnerstoff i Sinus T boka til Cappelen Damm til Excel- og GeoGebrastoff.. Regnerekkefølge ( + ) (6+ ):+ CTRL+J Bytter mellom

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset

GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset GEOGEBRA (3.0) til R1-kurset INNHOLD Side 1. Konstruksjon 2 1.1 Startvinduet 2 1.2 Markere punkter 3 1.3 Midtpunkt 4 1.4 Linje mellom punkter 5 1.5 Vinkelrett linje 6 1.6 Tegne en mangekant 6 1.7 Høyden

Detaljer

Del 1. Generelle tips

Del 1. Generelle tips Innhold Del 1. Generelle tips... 2 Bruk en "offline installer"... 2 Øk skriftstørrelsen... 3 Sett navn på koordinataksene... 3 Vis koordinater til skjæringspunkt, ekstremalpunkt m.m.... 4 Svar på spørsmålene

Detaljer

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet

Kurshefte GeoGebra. Ungdomstrinnet Kurshefte GeoGebra Ungdomstrinnet GeoGebra Geometri og algebra Dynamisk geometriverktøy Algebraisk verktøy Gratis Brukes på alle nivåer i utdanningssystemet Finnes på både bokmål og nynorsk Kan lastes

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016)

GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016) 1 KURSHEFTE INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.233.0 6. mai 2016) Østerås 8. mai 2016 Odd Heir 2 Innhold Side 3-13 Innføring i GeoGebra 13-14 Funksjonsanalyse 14-16 Utskrift 17-18 Overføring til Word 18-20

Detaljer

Koordinatsystem med levende funksjoner trinn 90 minutter

Koordinatsystem med levende funksjoner trinn 90 minutter Lærerveiledning Passer for: Varighet: Koordinatsystem med levende funksjoner 8. - 10. trinn 90 minutter Koordinatsystem med levende funksjoner er et skoleprogram hvor elevene får fysisk og praktisk erfaring

Detaljer

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra

Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Grafisk løsning av ligninger i GeoGebra Arbeidskrav 2 Læring med digitale medier 2013 Magne Svendsen, Universitetet i Nordland Innholdsfortegnelse INNLEDNING... 3 GRAFISK LØSNING AV LIGNINGER I GEOGEBRA...

Detaljer

Løsningsforslag matematikk S1 V14

Løsningsforslag matematikk S1 V14 Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2

Detaljer

Klarer dere disse abel-nøttene fra 2011?

Klarer dere disse abel-nøttene fra 2011? 2: Lineære funksjoner VG1-T - teoretisk retning En del av dere synes nok at innføringa i kapittel 1 er i vanskeligste laget. Trass i at vi stort sett har repetert foreløpig, ser jeg at dere merker overgangen

Detaljer

GeoGebraøvelser i geometri

GeoGebraøvelser i geometri GeoGebraøvelser i geometri av Peer Andersen Peer Andersen 2014 Innhold Innledning... 3 Øvelse 1. Figurer i GeoGebra... 4 Øvelse 2. Noen funksjoner i GeoGebra... 8 Øvelse 3. Omskrevet sirkelen til en trekant...

Detaljer

Grafer og funksjoner

Grafer og funksjoner Grafer og funksjoner Fredrik Meyer Sammendrag Vi går raskt igjennom definisjonen på hva en funksjon er. Vi innfører også begrepet førstegradsfunksjon. Det forutsettes at du husker hva et koordinatsystem

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Våren 2012

Eksamen REA3026 S1, Våren 2012 Eksamen REA306 S1, Våren 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (16 poeng) a) 1) Skriv så enkelt som mulig a b a b

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene

Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene Tall i arbeid Påbygging kapittel 3 Funksjoner Løsninger til innlæringsoppgavene 3.1 a Origo er skjæringspunktet mellom x-aksen og y-aksen. Koordinatene til origo er altså. (0, 0) b Førstekoordinaten til

Detaljer

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER

INNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...

Detaljer

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015

I Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015 CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så

Detaljer

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.

P(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen. 5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi

Detaljer

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013

Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Høsten 2013 DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (2 poeng) I en klasse er det 20 elever. Nedenfor ser du hvor mange dager hver av elevene var borte fra skolen i løpet av et

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1

Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 Delkapittel 2.1 Plangeometriske algoritmer Side 1 av 7 Algoritmer og datastrukturer Kapittel 2 - Delkapittel 2.1 2.1 Punkter, linjesegmenter og polygoner 2.1.1 Polygoner og internett HTML-sider kan ha

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram som kan lastes ned fra

GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram som kan lastes ned fra GeoGebra er et dynamisk matematikkprogram som kan lastes ned fra http://www.geogebra.no/ eller http://www.geogebra.org/ Du kan velge å kjøre GeoGebra som en applikasjon i nettleseren, men jeg anbefaler

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

Opplæringshefte i GeoGebra. for mellomtrinnet og. ungdomstrinnet

Opplæringshefte i GeoGebra. for mellomtrinnet og. ungdomstrinnet Opplæringshefte i GeoGebra for mellomtrinnet og ungdomstrinnet av Sigbjørn Hals Bokmål 1 Innhold: Del 1. Generell informasjon om GeoGebra...3 Kva er GeoGebra?...3 Kvar kan eg få tak i dette programmet?...3

Detaljer

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

03.10.2013 Manual til. GeoGebra. Ungdomstrinnet. Ressurs til. Grunntall 8 10. Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 03.10.2013 Manual til GeoGebra Ungdomstrinnet Ressurs til Grunntall 8 10 Bjørn Bakke og Inger Nygjelten Bakke ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innhold Verktøy... 4 Hva vinduet i GeoGebra består av...

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon desember 2016)

GEOGEBRA (Versjon desember 2016) 1 MANUAL 1P 2P 2PY GEOGEBRA (Versjon 5.0.303.0 10. desember 2016) Østerås 14. desember 2016 Odd Heir 2 Innhold Side 3-12 Innføring i GeoGebra 12-15 Utskrift 16-17 Overføring til Word 17-18 Regneark i GeoGebra

Detaljer

Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 1

Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 1 Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 1 Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 2 Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 3 Lokal læreplan i matematikk Trysil ungdomsskole 4 Lokal

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon desember 2016)

GEOGEBRA (Versjon desember 2016) 1 MANUAL 1P/1T S1 S2 GEOGEBRA (Versjon 5.0.309.0 20. desember 2016) Østerås 20. desember 2016 Odd Heir 2 Innhold Side 3-13 Innføring i GeoGebra 13-16 Utskrift 16-17 Overføring til Word 18-19 Nyttige tips

Detaljer

13.03.2013 Manual til Excel. For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS

13.03.2013 Manual til Excel. For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS 13.03.2013 Manual til Excel 2010 For ungdomstrinnet ELEKTRONISK UNDERVISNINGSFORLAG AS Innholdsfortegnelse Huskeliste... 3 Lage en formel... 3 Når du får noe uønsket som f.eks. en dato i en celle... 3

Detaljer

Brukermanual i GeoGebra

Brukermanual i GeoGebra Brukermanual i GeoGebra for Vg1T, Vg1P, Vg2T, Vg2P, R1 og R2. GeoGebra er et program for Geometri og AlGebra. GeoGebra er en dynamisk matematisk programvare, som binder sammen geometri, algebra og utregninger.

Detaljer

Geometri med GeoGebra

Geometri med GeoGebra Geometri med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner uten å måtte tegne dem på nytt. Dette gir oss mange muligheter til å utforske

Detaljer

Løsning eksamen 2T våren 2008

Løsning eksamen 2T våren 2008 Løsning eksamen 2T våren 2008 Del 2 løst med pc Noen gode grunner til å lære å utnytte pc-en effektivt på eksamen: I eksamensinformasjonen står det: Der oppgaveteksten ikke sier noe annet, kan du fritt

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. Fotball. René Descartes. MAT0010 Matematikk Eksempel på eksamen våren 2015 Del 2. Ny eksamensordning

Eksempeloppgave 2014. Fotball. René Descartes. MAT0010 Matematikk Eksempel på eksamen våren 2015 Del 2. Ny eksamensordning Eksempeloppgave 2014 MAT0010 Matematikk Eksempel på eksamen våren 2015 Del 2 Fotball Ny eksamensordning Del 1: 2 timer (uten hjelpemidler) Del 2: 3 timer (med hjelpemidler) René Descartes II Minstekrav

Detaljer

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen

1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 1P kapittel 5 Funksjoner Utvalgte løsninger oppgavesamlingen 50 a Vi ser at grafen har et toppunkt i (11, 380). Det var altså flest besøkende 11. juni. Antall besøkende var da 380. b Vi ser at grafen har

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

Løsning eksamen 1T våren 2010

Løsning eksamen 1T våren 2010 Løsning eksamen 1T våren 010 Oppgave 1 a) 4 3 1 y - -1 1 3 4 5 6-1 x - -3-4 Nullpunktet er gitt ved f ( x) 0 x 30 x 3 3 x 1, 5 Dette ser vi stemmer med grafen. Den skjærer x-aksen i x = 1,5. b) x x 8x

Detaljer

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1

H. Aschehoug & Co www.lokus.no Side 1 1 Bli kjent med GeoGebra GeoGebra er et dynamisk geometriprogram. Det vil si at vi kan gjøre en del endringer på figurene vi tegner, uten å måtte tegne dem på nytt, figuren endres dynamisk. Dette gir oss

Detaljer