Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland. Digitalt verktøy for Sigma S2. Geogebra

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland. Digitalt verktøy for Sigma S2. Geogebra"

Transkript

1 Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland Digitalt verktøy for Geogebra

2 Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning Tallregning Tallet e Logaritmer Om grensesnittet i CAS Potensregning Følger og rekker Regresjon 6 4 Algebra Faktorisering Forkorting og forenkling Polynomdivisjon Funksjoner Nullpunkter Derivasjon Toppunkter og bunnpunkter Vendepunkt Tangent Asymptoter Integral 15 7 Likninger Likningssett Sannsynlighet og statistikk Statistikk på observerte data Sannsynlighetsfordelinger Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Normalfordeling Hypotesetesting Hypotesetest med p-verdier Hypotesetest med gjennomsnittsverdier

3 Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet Geogebra som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk S2», studieforberedende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk S2, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i læreboka Emne Avsnitt i dette heftet 10 Likninger 7 11 Faktorisering Forenkle uttrykk Tredjegradslikninger 7 25 Likningssett Tallet e Naturlig logaritme Derivasjon Følger og rekker Regresjon Tangent Topp- og bunnpunkter Asymptoter Finne nullpunkter Vendepunkt Regresjon Integrasjon Statistikk på observerte data Hypergeometrisk fordeling Binomisk fordeling Normalfordeling Regning med binomisk fordeling Regning med hypergeometrisk fordeling Hypotesetest med p-verdier Hypotesetest med gjennomsnitt

4 1 Om Geogebra Dette heftet omtaler dataprogrammet Geogebra. Versjonen som er brukt er i Regning Du kan gjøre utregninger flere steder i Geogebra, blant annet i inntastingsfeltet («Skriv inn:»-feltet) og i regnearket. Mest oversiktlig er det likevel i CAS-vinduet. Beskrivelsene i dette heftet forutsetter derfor at du har valgt «CAS» ved oppstart av programmet og at du taster i CAS når du gjør utregninger. 2.1 Tallregning Du taster inn regnestykker som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Svaret får du når du trykker enter (linjeskift). Merk: I mange sammenhenger er det mulig å utelate gangetegnet. Imidlertid finnes det sammenhenger hvor det gir feil. Vi anbefaler derfor å bruke gangetegn. Desimaltall: Programmet tolker punktum som desimalkomma og komma som skilletegn mellom argumenter i en kommando. Hvis du glemmer deg, og bruker komma i desimaltall, gir programmet en feil. Øverst til venstre i Geogebra-vinduet kan du velge mellom eksakt utregning, markert med en «=», og tilnærmede verdier, desimaltall, markert med en. 2.2 Tallet e Tallet e taster du inn med alt-e (Windows) eller ctrl-e (Mac). Alternativt bruker du den vesle tegn-menyen som kommer til syne når skrivemerket står i inntastingsfeltet eller CAS-feltet. NB! Dersom du skriver en vanlig «e», tolker programmet dette som en hvilken som helst annen bokstav. En alternativ inntastingsmetode er å bruke funksjonen «exp()». Skjermbildet nedenfor viser først feilaktig bruk av vanlig «e», deretter inntasting av konstanten e og tilslutt funksjonen «exp()». 4

5 2.3 Logaritmer Geogebra bruker kommandoen «ln( )» for naturlige logaritmer. Eksempel: Vi skal regne ut ln e, som i eksempel 18 på side 27 i boka. Vi taster inn «ln(sqrt(e))». Vi får altså at ln e = Om grensesnittet i CAS Når skrivemerket står i CAS-vinduet, vil programmet tolke følgende taster spesielt: Mellomromtast: Forrige resultat blir skrevet inn. Høyreparentes: Forrige resultat blir skrevet inn med parenteser rundt. Likhetstegn: Det forrige du tastet inn blir skrevet inn. Tegnet $: Kombinasjonen «$4» gir deg resultatet på linje 4 (dynamisk). Tegnet #: Kombinasjonen «#4» gir deg resultatet på linje 4 (statisk). 5

6 2.5 Potensregning Programmet bruker cirkumflex ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. Eksempel: Vi skriver inn «5 8» og får til svar. 2.6 Følger og rekker Vi lager følger med kommandoen «Følge[ ]». Eksempel: Vi skal lage en tallfølge av de 5 første kvadrattallene, hentet fra side 76 i læreboka. Vi skriver inn «Følge[x 2, x, 1, 5]» og får {1, 4, 9, 16, 25} til svar. Vi regner ut den tilhørende rekka, vi summerer altså leddene i følgen, med kommandoen «Sum[ ]». Eksempel: Vi skal summere de 5 første kvadrattallene som i eksempelet på side 76 i læreboka. Vi lager en følge som beskrevet ovenfor. Deretter summerer vi leddene i følgen med kommandoen «Sum[$]»: 3 Regresjon Regresjon gjøres i Geogebra ved at vi legger inn datasettet (verditabellen) inn i et regneark, markerer måleverdiene og velger «Regresjonsanalyse»-verktøyet. Eksempel: Vi skal kjøre regresjon på følgende datasett, hentet fra side 130 i læreboka. x y 0,18 0,30 0,44 0,78 1,2 1,9 3,2 4,0 Vi velger «Regneark» fra Vis-menyen og legger inn datasettet vårt. Da skal det se slik ut: 6

7 Deretter markerer vi cellene A1 til B8 og velger «Regresjonsanalyse»-verktøyet. Vi klikker på «Analyser»-knappen og får opp Dataanalyse-vinduet. Vi velger «Eksponentiell» fra Regresjonsmodell-menyen i vinduet. Da skal skjermbildet vårt se slik ut: Dette betyr at en modellfunksjon for datasettet vår er f(x) = 0, 181 1, 10 x. Dersom vi i stedet velger «Eksponentiell 2», får vi nøyaktig den samme modellfunksjonen, men skrevet med tallet e som grunntall i eksponenten. Da får vi altså f(x) = 0, 181 e 0,095x. 7

8 4 Algebra 4.1 Faktorisering Faktorisering gjøres med «Faktoriser[ ]». Eksempel: Vi skal faktorisere uttrykket 2x 2 + 5x 3 på side 11 i læreboka. Vi velger «Bruk inntasting» og taster først inn uttrykket slik at vi er sikre på å ha tastet riktig. Deretter klikker vi på «Regn ut» og skriver inn «Faktoriser[$]». Da ser programvinduet vårt slik ut: Så uttrykket kan faktoriseres som (x + 3)(2x 1). 4.2 Forkorting og forenkling For å forenkle et uttrykk, er det nok å velge «Regn ut» og trykke enter: Eksempel: Vi skal forenkle uttrykket 2x 1 fra eksempel 4 på side 12 i læreboka. 2x 2 +5x 3 Vi skriver inn uttrykket og klikker på «Bruk inntasting». Deretter taster vi likhetstegn, så det vi har tastet inn blir skrevet inn på nytt, og klikker på «Regn ut»: 8

9 Eksempel: Vi skal trekke sammen og skrive så enkelt som mulig uttrykket i eksempel 5 på side 13 i læreboka, nemlig x2 +2x 8 x 2 4x+3 2x+1 2x 6. Vi taster inn uttrykket, klikker på «Bruk inntasting», kontrollerer at vi har tastet inn riktig, taster inn et likhetstegn og klikker på «Regn ut»: 4.3 Polynomdivisjon Vi dividerer med kommandoen «Divisjon[ ]». Eksempel: Vi skal dividere 4x 3 28x x + 18 med x 6. For å kontrollere egen inntasting taster vi inn polynomene først og dividerer til slutt med «Divisjon[$1, $2]»: Svaret viser at divisjonen ga polynomet 4x 2 4x 3 til svar med 0 i rest. 9

10 5 Funksjoner 5.1 Nullpunkter Vi finner vanligvis nullpunkter til en funksjon f med kommandoen «Nullpunkt[f]». Dersom vi vil finne alle nullpunktene til f innenfor et intervall [a, b], skriver vi «Nullpunktintervall[f, a, b]». Dersom vi har et intervall [a, b] vi vet inneholder kun ett nullpunkt, kan vi finne det med kommandoen «Nullpunkt[f, a, b]». Eksempel: Vi skal finne nullpunktene til funksjonen f(x) = e 2x 4e x +3 fra eksempel 10 på side 122 i læreboka. Vi taster inn funksjonsuttrykket som «f(x):=e (2*x)- 4*e x+3». Deretter skriver vi «Nullpunkt[f]». Da får vi: Dersom vi klikker på den vesle sirkelen til venstre for løsningen, blir de to nullpunktene markert på grafen. 5.2 Derivasjon Den deriverte av en funksjon f(x) finner du ved å bruke vanlig funksjonsnotasjon f (x). Alternativt kan du bruke kommandoen «Derivert[ ]». Eksempel: Vi skal derivere funksjonen f(x) = 3 x fra eksempel 4 på side 49 i læreboka. Vi skriver inn «f(x) := nrot[x, 3]». Når vi så skriver inn «f'(x)», får vi at f (x) = 3 x 3x. 10

11 For å regne ut f (2) skriver vi nå inn «f (2)» og får at f (2) 0, 210: 5.3 Toppunkter og bunnpunkter Vi finner topp- og bunnpunkter med kommandoen «Ekstremalpunkt[ ]». Eksempel: Vi skal finne topp- og bunnpunkter på grafen til f fra eksempel 1 på side 111 i læreboka, altså f gitt ved f(x) = x 3 3x Vi legger inn funksjonen. Dersom vi skriver «Ekstremalpunkt[f]» i CAS, får vi kun det første ekstremalpunktet, nemlig toppunktet (0, 4). Dersom vi skriver «Ekstremalpunkt[f]» i inntastingsfeltet i stedet, får vi begge ekstremalpunktene. 11

12 En alternativ framgangsmåte for å finne toppunkt eller bunnpunkt er å se på nullpunktene til den deriverte. Eksempel: Vi skal finne toppunktet til funksjonen f fra eksempel 9 på side 122 i læreboka gitt ved f(x) = 4xe x Vi legger inn funksjonen i CAS-feltet. Vi setter den deriverte lik null ved å taste «f'(x)=0». Deretter taster vi «Løs$» og får x = 1 til svar. Vi regner ut funksjonsverdien f(1) og har funnet at toppunktet er (1, 4 e ) (1, 1, 472). 12

13 For å avgjøre om det er et toppunkt eller bunnpunkt, kan vi kikke på grafen. Vi ser at det er et toppunkt, altså med koordinater (1, 1,472). 5.4 Vendepunkt For enkle polynomfunksjoner finner vi vendepunkt med kommandoen «Vendepunkft[f]». For andre typer funksjoner regner vi ut den dobbeltderiverte og ser på nullpunktene til den. Eksempel: Vi skal finne vendepunktet til funksjonen f fra eksempel 10 på side 122 i læreboka gitt ved f(x) = e 2x 4e x + 3 Vi legger inn funksjonen med «f(x) := e (2 x) 4 e x + 3». Deretter skriver vi «f''(x)=0» og får den dobbeltderiverte lik null. Vi løser likningen med «Løs[$]» og får x = 0. Vi regner ut f(0) og får at vendepunktet er (0, 0). Vi sjekker på grafen at krumningen skifter for x = Tangent Vi finner tangenten til en funksjon f i punktet x = a ved kommandoen «Tangent[a, f]». Eksempel: Vi skal finne vendetangenten til funksjonen f(x) = x 3 3x

14 hentet fra eksempel 1 på side 111 i læreboka. Vi legger inn funksjonen og finner vendepunktet, jfr. avsnittet ovenfor om vendepunkt. Vendepunktet er (1, 2). Siden vendepunktet har x-verdi 1, skriver vi «Tangent[1, f]». Funksjonsuttrykket til tangenten er altså y = 3x Asymptoter Asymptotene til en funksjon finner vi ved kommandoen «asymptoter[ ]». Dersom vi bruker den i CAS-feltet, får vi oppgitt likningene til eventuelle asymptoter. Dersom vi bruker kommandoen i inntastingsfeltet, blir asymptotene tegnet opp og likningene for dem skrevet i algebrafeltet. Eksempel: Vi skal finne asymptotene til funksjonen f gitt ved f(x) = x2 x 2 1 som i eksempel 4 på side 117 i boka. Vi legger inn funksjonen og bruker kommandoen «asymptoter()»: 14

15 Altså er likningen til den horisontale asymptoten y = 1 og likningene til de vertikale asymptotene x = 1 og x = 1. 6 Integral Integrasjon i CAS utføres med kommandoen «Integral[ ]». Eksempel: Vi skal integrere funksjonen f(x) = x fra x = 0 til x = 1, som på side 132 i læreboka. Vi skriver «Integral[x 2 + 1, 0, 1]» og får 4 3 til svar. 7 Likninger Likninger løses i Geogebra ved at vi taster inn likningen og klikker på «Løs»- verktøyet (uten å trykke på enter først). Eksempel: Vi skal løse likningen x 2 + 3x 4 = 0. Vi taster inn likningen, klikker på «Løs»-verktøyet og får at løsningen er x = 4 eller x = 1. Arbeidsflyt: En fornuftig arbeidsmetode for å redusere feil kan være denne: 1. Tast inn likningen uten å trykke enter. 2. Klikk på «Bruk inntasting»-verktøyet, slik at programmet gjentar det uttrykket du tastet inn. Da er det lett å gjøre endringer om du tastet feil. 3. Tast likhetstegn («=»), slik at programmet skriver inn det du nettopp tastet. 4. Klikk på «Løs»-verktøyet, eventuelt «Løs numerisk»-verktøyet. Eksempel: Vi skal løse tredjegradslikningen i eksempel 12 på side 20 i læreboka, nemlig x 3 6x 2 + 7x + 4 = 0 Vi taster inn likningen, klikker på «Bruk inntasting» og kontrollerer inntastingen, taster et likhetstegn og klikker på «Løs»-verktøyet. 15

16 Vi ser at løsningen på likningen er x = 1 ± 2 eller x = 4. Dersom en likning ikke har reelle løsninger, svarer programmet med en tom løsningsmengde: {}. Eksempel: Vi skal løse likningen t 2 = 1. Vi taster inn «Løs[t 2=-1, t]»: Dette betyr at likningen ikke har noen løsninger. 7.1 Likningssett Likningssett løses enkelt ved å taste inn likningene, én og én på hver sin linje, markere linjene og klikke på «Løs». Eksempel: Vi skal løse likningssettet i eksempel 16 på side 24 i læreboka, nemlig 16x + 48y + 120z = x + 50y + 150z = x + 30y + 105z = Vi taster inn hver likning for seg, adskilt av enter. Deretter markerer vi de tre linjene og klikker på «Løs»-verktøyet. 1 1 Et klikk på «Løs»-verktøyet lager en liste {$1, $2, $3}. Et nytt klikk løser likningen. 16

17 Så løsningen på likningssettet er x = 350, y = 300 og z = Sannsynlighet og statistikk 8.1 Statistikk på observerte data Når vi skal beregne gjennomsnitt, varians og standardavvik, legger vi datamaterialet vårt inn i regnearket og velger «Analyse av en variabel» fra verktøy-menyen. Eksempel: Vi skal finne gjennomsnitt, varians og standardavvik for datamaterialet på side 166 i læreboka, altså 8, 2 7, 8 8, 3 Vi legger inn tallene i et regne ark, markerer cellene og klikker på verktøyet «Analyse av en variabel». Vi klikker på «Analyser» og klikker på «Σx», i menyen under verktøymenyen. Da ser vinduet vårt slik ut: 17

18 Dette betyr at empirisk gjennomsnittet er 8,1 og empirisk standardavvik er 0,2646. Empirisk varians vises ikke, men kan regnes ut ved å kvadrere empirisk standardavvik. 8.2 Sannsynlighetsfordelinger Når vi regner med sannsynlighetsfordelinger, bruker vi verktøyet «Sannsynlighetskalkulator», som vi finner verktøylinja. Når vi velger verktøyet «Sannsynlighetskalkulator», kommer det opp et nytt programvindu. Det kan ofte være hensiktsmessig å trykke på knappen «Vis i hovedvinduet», som du finner helt øverst til høyre i det nye programvinduet. Da blir sannsynlighetskalkulatoren overført til det vinduet du hadde, og du har tilgang til progammets vanlige menyer. 18

19 8.2.1 Hypergeometrisk fordeling Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren. Nederst i programvinduet, under grafen, velger vi «Hypergeometrisk fordeling». Vi stiller inn «populasjon», n og «utvalg». Enkeltverdier finner vi nå i tabellen. Når vi skal summere flere sannsynligheter, taster vi inn grensene nederst i programvinduet. Programmet bruker følgende notasjon: «P(X 8)» betyr «sannsynligheten for at det er 8 eller færre objekter i utvalget som er av den ene kategorien (kategori A) i den hypergeometriske fordelingen». «P(8 X 12)» betyr «sannsynligheten for at antall objekter i utvalget fra den ene kategorien i den hypergeometriske fodelingen er mellom 8 og 12» «P(8 X)» betyr «sannsynligheten for at vi får 8 eller flere objekter i utvalget av den ene kategorien i den hypergeometriske fordelingen». Eksempel: Vi løser eksempel 6 på side 172 i læreboka. En eske inneholder tjue sikringer. Fem av sikringene er defekte. Vi velger ut tre sikringer og lar X være antall defekte av de tre. Vi skal finne sannsynlighetsfordelingen. Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Hypergeometrisk sannsynlighet». Vi setter «populasjon» til 20, n til 5 og «utvalg» til 3. Da ser programvinduet vårt slik ut: 19

20 Vi får hele sannsynlighetsfordelingen i tabellen til høyre i vinduet. Vi kan bruke denne til å beregne forventningsverdi, varians og standardavvik, som vist i eksempel 6 i læreboka. Imidlertid ser vi i programvinduet at vi har fått direkte at µ 0, 75 og σ 0, Vi kan finne variansen som Var(X) = σ 2 = 0, , 503. Eksempel: Vi løser eksempel 18 på side 187 i boka. En skole har 570 elever på Vg1, 310 gutter og 260 jenter. Vi trekker ut 50 elever. Hva er sannsynligheten for færre enn 25 jenter i utvalget? Hva er sannsynligheten for at antallet jenter i utvalget blir fra og med 20 til og med 25? Vi setter «populasjon» til 570, n til 260 og» til 50. Det gir skjermbildet nedenfor. 20

21 Dette gir at P(X 24) 0, 693. Vi trykker på «Intervall»-knappen og skriver inn grensene 20 og 25. Altså har vi at P(20 X 25) 0, Binomisk fordeling Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren. Nederst i programvinduet, under grafen, velger vi «Binomisk fordeling». Vi stiller inn n og p. Enkeltverdier finner vi nå i tabellen. Når vi skal summere flere sannsynligheter, taster vi inn grensene nederst i programvinduet. 21

22 Programmet bruker følgende notasjon: «P(X 8)» betyr «sannsynligheten for at vi får 8 eller færre suksess i den binomiske fordelingen». «P(8 X 12)» betyr «sannsynligheten for at antall suksess i den binomiske fordelingen er mellom 8 og 12» «P(8 X)» betyr «sannsynligheten for at vi får 8 eller flere suksess i den binomiske fordelingen». Eksempel: Vi løser eksempel 10 på side 176 i læreboka. Vi sår 30 frø med spireevne på 70%. Hvor stor er sannsynligheten for at 23 frø spirer? Hvor stor er sannsynligheten for at minst 23 frø spirer? Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Binomisk sannsynlighet». Vi setter n til 30 og p til 0, 7. Vi leser av tabellen og ser at sannsynligheten for at 23 frø spirer er 0,122. Vi klikker på den tredje av knappene nederst i programvinduet og taster inn «23». Da ser programvinduet vårt slik ut: 22

23 Vi ser at sannsynligheten for minst 23 frø spirer er 0, 281. Eksempel: Vi løser eksempel 17 på side 186 i læreboka. Ole driver med skyting. Han skyter blink på 85 % av skuddene. Han skyter 800 skudd. Hva er sannsynligheten for at han skyter blink på minst 690 av skuddene? Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Binomisk sannsynlighet». Vi setter n til 800 og p til 0, 85. Vi klikker på den tredje av knappene nederst i programvinduet og taster inn «690». Da ser programvinduet vårt slik ut: 23

24 Altså er sannsynligheten for blink på minst 690 skudd 0, Normalfordeling Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger «Normalfordeling». Vi stiller inn µ og σ. Så taster vi inn grensene nederst i programvinduet. Eksempel: Vi løser eksempel 13 på s. 163 i læreboka. Vi har at X er normalfordelt med µ = 180 og σ = 6, 5.Vi skal finne P(X 177). Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren sjekker at «Normalfordeling» er valgt. Vi setter µ til 180 og σ til 6,5. Vi trykker på den venstre knappen på nederste knapperad i progamvinduet og taster inn 177. Da ser programvinduet vårt slik ut: 24

25 Vi ser at sannsynligheten for at en rekrutt er lavere enn 177 er 0, Hypotesetesting I sannsynlighetskalkulatoren kan vi også foreta en hypotesetest Hypotesetest med p-verdier Eksempel: Vi skal gjennomføre eksempel 19 på side 189 i læreboka, det vil si en hypotesetest med H 0 : p = 0, 1, H 1 : p < 0, 1. Vi gjennomfører en test av 1000 tilfeldige komponenter og finner feil ved 85 av dem. Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger fanen «Statistikk». Vi velger «Z-test av et forhold». Vi setter p til 0,1, velger «<» som alternativ hypotese, setter «Treff» til 85 og N til Da ser programvinduet slik ut: 25

26 Vi får p = 0, Siden vi har valgt signifikansnivå 5%, som er lavere enn p, forkaster vi ikke nullhypotesen vår Hypotesetest med gjennomsnittsverdier Eksempel: Vi skal gjennomføre eksempel 20 på side 191 i læreboka, det vil si en hypotesetest med H 0 : µ = 50, H 1 : µ 50, x = 50, 1. Vi gjennomfører 30 tilfeldige prøver av pastilleskene. Vi åpner sannsynlighetskalkulatoren og velger fanen «Statistikk». Vi velger «Z-test av et gjennomsnitt». Vi setter µ til 50, velger, setter gjennomsnittet til 50, 1, σ til 0,3 og N til 30. Da ser programvinduet slik ut: 26

27 Vi får p = 0, Siden vi har valgt signifikansnivå 5%, som er lavere enn p, forkaster vi ikke nullhypotesen vår. 27

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet e......................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra 1 Geogebra for Sigma matematikk 2P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Geogebra for Sigma matematikk 1P Innledning Denne bruksanvisningen er ment som en beskrivelse av dataprogrammet

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Casio fx-9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx-9860 Innhold 1 Om Casio fx-9860 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e......................................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma S1. TI-Nspire CAS

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma S1. TI-Nspire CAS Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Texas Instruments TI-84

Texas Instruments TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Regning 4 1.1 Tallet e...................................... 4 2 Sannsynlighetsregning

Detaljer

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8].

GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. 413 GeoGebra i S2 Grafer Nullpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. GeoGebra

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. TI-Nspire

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 2P. TI-Nspire Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Potenser.....................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maple Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maple Innhold 1 Om Maple 4 1.1 Tillegg til Maple................................ 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Texas Instruments TI-84

Texas Instruments TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Texas Instruments TI-84 Innhold 1 Om lommeregneren 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. TI-NspireCAS Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-NspireCAS Innhold 1 Om TI-NspireCAS 4 1.1 Applikasjonene................................. 4 1.2 Dokumenter...................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Casio fx 9860 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Casio fx 9860 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Geogebra hjelp - S2. Funksjonsanalyse. Innhold. Kommando. Funksjonsanalyse 1. Undersøke om dataene er normalfordelt 1.

Geogebra hjelp - S2. Funksjonsanalyse. Innhold. Kommando. Funksjonsanalyse 1. Undersøke om dataene er normalfordelt 1. Geogebra hjelp - 4. mai 2012 Innhold Funksjonsanalyse 1 Komandoer 1 Undersøke om dataene er normalfordelt 1 Finne sannsynlighetsfordeling 2 Binomisk fordeling...........................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Kvadratrot....................................

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Statistikkberegninger i regnearket... 5 Nye muligheter for funksjonsanalyse... 8 Nullpunkt og ekstremalpunkt...

Detaljer

Lær å bruke GeoGebra 4.0

Lær å bruke GeoGebra 4.0 Lær å bruke GeoGebra 4.0 av Sigbjørn Hals Innhold: Generelt om GeoGebra... 2 Innstillinger... 2 Likninger og ulikheter... 5 Implisitte likninger... 5 Ulikheter... 9 Statistikkberegninger i regnearket...

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Microsoft Excel

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Microsoft Excel Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Microsoft Excel Innhold 1 Om Excel 4 1.1 Utvide området kopiere celler....................... 4 1.2 Vise formler i regnearket...........................

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2

GeoGebra-opplæring i Matematikk S2 GeoGebra-opplæring i Matematikk S Emne Underkapittel Faktorisering.1 Grafisk løsning av likningssett I.3 Størst mulig overskudd 3. Vendepunkter 3.4 Den naturlige eksponentialfunksjonen 3.5 3.6 Den naturlige

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maxima Innhold 1 Om wxmaxima 4 1.1 Tilleggspakker................................. 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx

Detaljer

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima

Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Maxima Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Maxima Innhold 1 Om wxmaxima 5 1.1 Tilleggspakker................................. 5 2 Regning 6 2.1 Tallregning...................................

Detaljer

Manual for wxmaxima tilpasset R1

Manual for wxmaxima tilpasset R1 Manual for wxmaxima tilpasset R1 Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...

Detaljer

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]

Velg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>] 442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt

Detaljer

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

CAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...

Detaljer

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.

Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T TI-84 Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-84 Innhold 1 Innstillinger 4 2 Regning 5 2.1 Regnerekkefølge................................ 5 2.2 Tallet π.....................................

Detaljer

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. wxmaxima

Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. wxmaxima Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for wxmaxima Innhold 1 Om wxmaxima 4 1.1 Tilleggspakker................................. 4 2 Regning 5 2.1 Noen

Detaljer

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2 Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4. av Sigbjørn Hals Innhold: CAS-verktøyet... Likninger... Likningssett med flere ukjente... 4 Differensiallikninger... 5 Derivasjon... 5 Integralregning... 6 Polynomdivisjon...

Detaljer

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.

GeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. 2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1

GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 GeoGebra-opplæring i Matematikk S1 Emne Underkapittel Utregning av algebraiske uttrykk 1.4 Forenkle uttrykk 1.5 Faktorisering 1.5 Kvadratsetningene 1.6 Grafisk løsning av eksponentiallikninger 1.8 Grafisk

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 29. januar 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 016 Laget av Tommy Odland Dato: 9. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = e x. Den generelle regelen er at (e ax ) = ae ax, i vårt tilfelle

Detaljer

Lær å bruke wxmaxima

Lær å bruke wxmaxima Bjørn Ove Thue og Sigbjørn Hals Lær å bruke wxmaxima Et godt og gratis CAS-verktøy med enkelt brukergrensesnitt. Oppdatert versjon, november 2009 Lær å bruke wxmaxima. Eksempler fra Sinus-bøkene fra Cappelen

Detaljer

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals

GeoGebra 4.2 for Sinus 1P. av Sigbjørn Hals GeoGebra 4.2 for Sinus 1P av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 GeoGebra som kalkulator. Eksempel side 55... 3 Omforming av formler. Side 82 i læreboka... 4 Rette linjer. Side 89 i læreboka...

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, våren 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S, våren 17 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 5. mai 17 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x /x = x x 1. Den eneste regelen vi trenger her er (kx n )

Detaljer

KORT INNFØRING I GEOGEBRA

KORT INNFØRING I GEOGEBRA Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN

Detaljer

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2

Detaljer

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy

Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy 1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål

Eksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter

Detaljer

Emnekode: LGU Emnenavn: Matematikk 2 (5 10), emne 2. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig

Emnekode: LGU Emnenavn: Matematikk 2 (5 10), emne 2. Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Sensurveiledning Emnekode: LGU 52003 Emnenavn: Matematikk 2 (5 10), emne 2 Semester: VÅR År: 2016 Eksamenstype: Skriftlig Oppgave 1 Grafen i Vedlegg 1 viser farten som en deltaker i et ultramaraton holder

Detaljer

GeoGebra for Sinus 2T

GeoGebra for Sinus 2T GeoGebra for Sinus 2T Innhold Vektorer med GeoGebra Skalarproduktet med GeoGebra Parameterframstilling med GeoGebra Ordnede utvalg eksempelet på side 89 med GeoGebra Uordnede utvalg eksempelet på side

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 26. november 2017 Løsningsforslag Eksamen S, høsten 017 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 6. november 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 4x 3. Vi bruker regelen samt regelen (x n ) = nx

Detaljer

Lær å bruke wxmaxima

Lær å bruke wxmaxima Bjørn Ove Thue og Sigbjørn Hals Lær å bruke wxmaxima Et godt og gratis CAS-verktøy med enkelt brukergrensesnitt. Oppdatert versjon, november 2010 Lær å bruke wxmaxima. Eksempler fra Sinus-bøkene fra Cappelen

Detaljer

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue

wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si

Detaljer

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy

Sigbjørn Hals, Cappelen Damm Undervisning. Sinus 1P. Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy Sinus 1P Digitale løsninger av oppgaver og eksempler med noen utvalgte matematikkverktøy GeoGebra 4.0 og 4.2 wxmaxima Microsoft Mathematics WordMat TI-Nspire CAS 1 Innhold Litt om programmene... 4 GeoGebra

Detaljer

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1

Eksamen vår 2009 Løsning Del 1 S Eksamen, våren 009 Løsning Eksamen vår 009 Løsning Del Oppgave a) Deriver funksjonene: ) f f f 3 3 f f 4 ) g e 3 g e g e e g e b) ) Gitt rekka 468 Finn ledd nummer 0 og summen av de 0 første leddene.

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2011

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2011 Eksamen REA08 S, Høsten 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene ) f f 4 ) g e g e 6e ) h

Detaljer

Matematikk S2. det digitale verktøyet. Kristen Nastad

Matematikk S2. det digitale verktøyet. Kristen Nastad Matematikk S2 og det digitale verktøyet Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.6.4295 2008 12 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating System Software

Detaljer

Matematikk S2. det digitale verktøyet. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning

Matematikk S2. det digitale verktøyet. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning Matematikk S2 og det digitale verktøyet Kristen Nastad Aschehoug Undervisning Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.6.4295 2008 12 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Operating

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012

Eksamen REA3028 S2, Høsten 2012 Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x

Detaljer

GeoGebra-opplæring i 2P-Y

GeoGebra-opplæring i 2P-Y GeoGebra-opplæring i 2P-Y Emne Underkapittel Terningkast 2.1 Valgtre I 2.3 Valgtre II 2.7 Graftegning 3.2 Nullpunkter 3.3 Å finne y- og x-verdier 3.4 Andregradsfunksjoner 3.5 Grafisk løsning 3.5 Tredjegradsfunksjoner

Detaljer

Eksamen S1, Høsten 2013

Eksamen S1, Høsten 2013 Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f

Detaljer

Det digitale verktøyet. Matematikk S2. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning

Det digitale verktøyet. Matematikk S2. Kristen Nastad. Aschehoug Undervisning Det digitale verktøyet og Matematikk S2 Kristen Nastad Aschehoug Undervisning Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.6.4319 2008 12 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Computer

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017

Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017 Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =

Detaljer

Det digitale verktøyet. Matematikk S2. Kristen Nastad

Det digitale verktøyet. Matematikk S2. Kristen Nastad Det digitale verktøyet og Matematikk S2 Kristen Nastad Forord Heftet er skrevet på grunnlag av versjon 1.6.4319 2008 12 09 av operativsystemet til programmet TI-nspire TM CAS Computer Software for Windows

Detaljer

Plotting av grafer og funksjonsanalyse

Plotting av grafer og funksjonsanalyse Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning

Detaljer

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a)

R1 kapittel 4 Funksjonsdrøfting. Løsninger til oppgavene i boka ( 1) 5 ( 2) = = = = = = = ( ) 1 1. f ( a) R kapittel 4 Funksjonsdrøfting Løsninger til oppgavene i boka 4. a 4 f( ) f ( ) 4 4 b g ( ) 6 c d e f 4. a b c d e f 4. a g ( ) 0 h ( ),8 4 h ( ),8,8 i ( ),8,8 i 0 ( ) j ( ) π j ( ) 0 k ( ) k ( ) f( )

Detaljer

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag

Heldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være

Detaljer

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T

Løsningsforslag heldagsprøve våren 2010 1T Løsningsforslag heldagsprøve våren 00 T DEL OPPGAVE a) Regn ut x x x x x x x x x x 9x x x x x 6x x x x 6x x 6x b) Løs likninga x x 6 x x 6 x x 6 x x 6 x x x x c) Løs likningssettet ved regning x y x y

Detaljer

QED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen

QED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...

Detaljer

Funksjoner og andregradsuttrykk

Funksjoner og andregradsuttrykk 4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1

GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 GeoGebra-opplæring i Matematikk R1 Emne Underkapittel Vektorer 1.4 Lengden av vektorer 1.5 Skalarprodukt og vinkel mellom to vektorer 1.6 Forenkle uttrykk 2.1 Faktorisering 2.1 Grafisk løsning av eksponentiallikninger

Detaljer

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er

f (x) = a x k der tallet a og eksponenten k kan være både positive og negative tall. Et eksempel på en potensfunksjon med negativ eksponent er 7.5 Potensfunksjoner Funksjonen f gitt ved f () = 3 er et eksempel på en potensfunksjon. For alle potensfunksjoner er funksjonsuttrykket på formen f () = a k der tallet a og eksponenten k kan være både

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P GeoGebra-opplæring i Matematikk 2P Emne Underkapittel Graftegning 2.1 Linje gjennom to punkter 2.1 Å finne y- og x-verdier 2.1 Lineær regresjon 2.3 Andregradsfunksjoner 2.4 Polynomregresjon 2.4 Eksponential-

Detaljer

Oppgaver om derivasjon

Oppgaver om derivasjon Oppgaver om derivasjon Oppgave 1 Gitt funksjonen g(x) = x 3 6x 48x + 13 a) Finn g (x). b) Bruk den deriverte til å finne x-koordinaten til topp/bunn-punktene til grafen. Finn også de tilhørende y-koordinatene,

Detaljer

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2

Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2 Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4. av Sigbjørn Hals Innhold: CAS-verktøyet... Primtallanalyse... Faktorisering og utvidelse av uttrykk... Likninger... 4 Likningssett med flere ukjente... 5 Differensiallikninger...

Detaljer

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta

Hurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010

Eksamen REA3026 S1, Høsten 2010 Eksamen REA6 S, Høsten Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Løs likningene ) x 7 x 6 6 x6 x 6 7 6 6 6 x 7 x

Detaljer

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program

Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Læreplan i matematikk for samfunnsfag - programfag i studiespesialiserende program Fastsatt som forskrift av Utdanningsdirektoratet 27. mars 2006 etter delegasjon i brev 26. september 2005 fra Utdannings-

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Terningkast 4.1 Valgtre I 4.3 Valgtre II 4.7 Graftegning 5.2 Linje gjennom to punkter 5.2 Nullpunkter

Detaljer

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen

QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen QED 1 7 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære, 2. utgave Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE

Detaljer

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009

Sammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009 Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A

Detaljer

Sammendrag R1. 26. januar 2011

Sammendrag R1. 26. januar 2011 Sammendrag R1 26. januar 2011 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A B hvis to påstander

Detaljer

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009

Eksempeloppgave 1T, Høsten 2009 Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne

Detaljer

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett.

GeoGebra. Menylinje Angreknapp. Verktøylinje. Aktivt verktøy med mørkeblå kant. Innstillinger. Algebrafelt. Velge oppsett. GeoGebra Menylinje Angreknapp Verktøylinje Aktivt verktøy med mørkeblå kant Innstillinger Algebrafelt Grafikkfelt Inntastingsfelt Velge oppsett GEOGEBRA SOM FUNKSJONSTEGNER OPPSETT FLYTTE TEGNE- FLATEN,

Detaljer

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015)

GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) 1 INNFØRING GEOGEBRA (Versjon 5.0.150.12.september 2015) Østerås 12. september 2015 Odd Heir 2 Innhold Side 3-10 Innføring i GeoGebra 10-12 Utskrift 12-13 Overføring til Word 13-15 Nyttige tips 15-16 Stolpediagram

Detaljer

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P

GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P GeoGebra-opplæring i Matematikk 1P Emne Underkapittel Perspektivtegning I 3.8 Perspektivtegning II 3.8 Regulære mangekanter 3.9 Flislegging I 3.9 Flislegging II 3.9 Flislegging III 3.9 Terningkast 4.1

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving

Detaljer

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra

Tempoplan: Kapittel 5: 2/1 1/2. Kapittel 6: 1/2 1/3. Kapittel 7: 1/3 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Tempoplan: Kapittel 5: /1 1/. Kapittel 6: 1/ 1/. Kapittel 7: 1/ 1/4. Resten av tida repetisjon og prøver. 4: Algebra Algebra omfatter tall- og bokstavregninga i matematikken. Et viktig grunnlag for dette

Detaljer

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter

3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter 3 GeoGebra 1. Fartsdiagrammer 2. Likningsett 3. Funksjoner Maks og min punkter MKH Innholdsfortegnelse 1. Graftegner - GeoGebra... 2 1.1 Introduksjon GeoGebra... 2 1.2 Endre innstillinger på aksene...

Detaljer

Verktøyopplæring i kalkulator

Verktøyopplæring i kalkulator Verktøyopplæring i kalkulator Enkel kalkulator... 3 Regneuttrykk uten parenteser... 3 Bruker kalkulatoren riktig regnerekkefølge?... 3 Negative tall... 4 Regneuttrykk med parenteser... 5 Brøk... 5 Blandet

Detaljer

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet

Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Flytt inntastingsfeltet

Detaljer

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.

Del 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon. Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.

Detaljer

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk

Tilfeldige variabler. MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk MAT0100V Sannsynlighetsregning og kombinatorikk Forventning, varians og standardavvik Tilnærming av binomiske sannsynligheter Konfidensintervall Ørnulf Borgan Matematisk institutt Universitetet i Oslo

Detaljer

SINUS R1, kapittel 5-8

SINUS R1, kapittel 5-8 Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173

Detaljer

S1 Eksamen høst 2009 Løsning

S1 Eksamen høst 2009 Løsning S1 Eksamen, høsten 009 Løsning S1 Eksamen høst 009 Løsning Del 1 Oppgave 1 a) Skriv så enkelt som mulig: 1) 5a a a a 1 5a a 4 a 1 6a a 5 ) 1 3 13 3 3 48 3 6 7 8 6 3) 4 a b a 3 a b 13 43 1 a b a b 4 4)

Detaljer