Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma S1. TI-Nspire CAS

Transkript

1 Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS

2 Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning Tallregning Potensregning n-terøtter Logaritmer Algebra Løse likninger Enkle likninger Andregradslikniger Likningssett Linær optimering Tegne løsningsområdet Finne optimal løsning Funksjoner Verditabell Tegne grafer Tegne graf og zoome på frihånd Tegne graf med verditabell Skjæringspunkter Regresjon Lineær regresjon Regresjons med polynomfunksjoner Potensregresjon Eksponentiell regresjon Sannsynlighetsregning Antall permutasjoner Antall kombinasjoner Sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling Hypergeometrisk fordeling

3 Innledning Dette heftet er ment som en beskrivelse av dataprogrammet TI-Nspire CAS som digitalt verktøy i undervisningen i faget «Matematikk S1», studieforbedredende utdanningsprogram. Heftet er tilpasset læreverket Sigma matematikk, Gyldendal Undervisning, og inneholder referanser til framstillingen der. Henvisninger fra boka Følgende er en oversikt over de sidetallene i læreboka som har referanse til digitale verktøy. Lista gir deg en oversikt over hvilket avsnitt i dette heftet som omhandler det aktuelle emnet i læreboka. Henvisningene refererer til sidetall i Sigma matematikk S1, 2. utgave, Gyldendal Undervisning, I den elektroniske utgaven av heftet er referansene klikkbare. Sidetall i Emne Avsnitt i læreboka dette heftet 10 Potensregning n-terøtter Logaritmer Tegne grafer Løse likningssett Lineær optimering Løse andregradslikninger Finne skjæringspunkter mellom grafer Antall permutasjoner Antall kombinasjoner Hypergeometrisk sannsynglihetsfordeling Binomisk sannsynglihetsfordeling Summere lister Verditabell Regresjon, lineær regresjon Regresjon med polynomfunksjoner Potensregresjon Eksponentiell regresjon

4 1 Om TI-Nspire Dette heftet omtaler dataprogrammet TI-Nspire CAS. Versjonen som er brukt er TI-Nspire CAS Student Software Regning 2.1 Tallregning Vanlig tallregning gjør du i en kalkulator. I menyen velger du «Legg til Kalkulator». Du taster inn regnestykker som på en vanlig lommeregner, med for gange og «/» for dele. Svaret får du når du trykker enter (linjeskift). Dine dokumentinnstillinger avgjør om programmet regner ut eksakt eller gir tilnærmingsverdier (desimaltall). Dersom du har fått en brøk til svar og vil gjøre den om til desimaltall, kan du trykke ctrl-enter (Windows) eller kommando-enter (Macintosh). 2.2 Potensregning Programmet bruker cirkumflex ( ) for potenser. På noen datamaskiner må man taste et mellomrom etter. Eksempel: Vi skriver inn «5 8» og får til svar. Når vi taster inn potenser, bruker vi piltast mot høyre for å komme ned på grunnlinja igjen. 2.3 n-terøtter TI-Nspire har egen funksjon for n-terøtter. Trykk på «Matematiske sjabloner» og velg n-terot der. Du kan også taste n-terøtter inn som potenser. Da bruker vi at n a = a 1 n, altså for eksempel = Dette taster vi inn med «7776 (1/5)» og får 6 til svar. 2.4 Logaritmer Logaritmer tastes inn med «log( )». Eksempel: Vi regner ut lg(3 2) ved å taste «log(3 2)». Vi får 0,7782 til svar. Legg merke til at om du har progammet på eksakte utregninger, vil du ofte få «log» i svaret. Da trykker du bare ctrl-enter/kommando-enter og får desimaltall. 4

5 3 Algebra 3.1 Løse likninger Forskjellige kommandoer for å løse likninger er tilgjengelige fra verktøymenyen («Dokumentverktøy»). De fleste likningstyper kan løses med menyvalget «Løs», som gir kommandoen «solve( )». Syntaksen avhenger av likningstype, men normalt skriver du først inn likningen, deretter et vanlig komma, før du angir hvilken variabel (bokstav) som er den ukjente i likningen. Det er ikke nødvendig å ordne likningen på noen bestemt måte før du løser den Enkle likninger Eksempel: Vi skal løse likningen 3t + 7 = 11. Vi taster inn «solve(3t+7=11,t)». Da ser skjermbildet slik ut: Løsningen på likningen er altså at t = Andregradslikniger Eksempel: Vi skal løse likningen x 2 + 3x 550 = 0 fra side 120 i læreboka. Vi taster inn 1 «solve(x 2+3x-550=0,x)». Skjermbildet ser da slik ut: Dette betyr at svaret er x = 25 eller x = Likningssett Når du skal legge inn flere likninger fra et likningssett, må disse omsluttes av mengdeparentesene { og } slik at likningene tolkes som en liste. Det kan være greit å velge Algebra > Løse likningssystem > Løse system av lineære likninger fra verktøymenyen, slik at inntastingen blir riktig. 1 Enten taster vi inn «solve» selv, eller så velger vi «Løs» fra verktøymenyen, slik at programmet taster inn «solve» for oss. 5

6 Eksempel: Vi skal løse følgende likningssett fra side 54 i læreboka: 42x = y 15x + 35y = 930 Vi velger Algebra > Løse likningssystem > Løse system av lineære likninger fra verktøymenyen og taster inn taster inn: Løsningen er altså x = 27 og y = Linær optimering Tegne løsningsområdet Å tegne løsningsområdet til et lineært optimeringsproblem kan gjøres slik: 1. Ordne ulikhetene slik at y er alene på venstre side av ulikhetstegnet. (Ignorer ulikheter uten y.) 2. Åpne en oppgave med «Grafer»-applikasjon. 3. Tast inn grenselinjene for ulikhetene, det vil si legg inn ulikhetene i programmet, men erstatt ulikhetstegnene med likhetstegn. Erstatt y med f 1, f 2 og så videre. 4. Finn skjæringspunktene mellom grenselinjene. 5. Tegn et polygon gjennom punktene. Eksempel: Vi skal finne løsningsområdet til ulikhetene i eksempel 13 på side 62 i læreboka, altså: 10x + 2y 18 x + y 3 x 0 y 0 Først ordner vi ulikhetene slik at y står alene på venstre side: y 9 5x y 3 x x 0 y 0 6

7 Vi legger inn grenselinjene som funksjoner, altså: f1 (x) = 9 5x f 2 (x) = 3 x Så velger vi verktøyet Geometri > Punkter & linjer > Skjæringspunkt(er) og klikker på alle skjæringspunktene. Videre velger vi Geometri > Former > Polygon og klikker på de fire punktene. Dersom ikke koordinatene til skjæringspunktene vises, kan du høyreklikke på punktene og velge «Koord. og lgn.». I tillegg kan du høyreklikke på polygonet og endre farge. Da ser programvinduet slik ut: Finne optimal løsning Når vi har tegnet løsningsområdet som beskrevet ovenfor, trenger vi kun å undersøke funksjonsverdien i hjørnene. Vi taster inn koordinatene til hjørnene i et regneark og regner ut funksjonen som skal optimeres i disse punktene. Eksempel: Vi skal finne den største verdien til funksjonen P 1 (x, y) = 2x + y innenfor området avgrenset av følgende ulikheter, hentet fra eksempel 13 på side 62 i læreboka: 10x + 2y 18 x + y 3 x 0 y 0 Først tegner vi løsningsområdet som beskrevet ovenfor, se avsnitt

8 Deretter åpner vi et regneark. I kolonne A og B skriver vi inn henholdsvis x-verdiene og y-verdiene til skjæringspunktene. Nå regner vi ut funksjonsverdien i hvert av punktene. Funksjonsuttrykket som skal optimeres er P 1 (x, y) = 2x +y. Vi setter derfor celle C1 til «=2 A1+B1» og utvider cellen til området C2 til C4. Da ser programvinduet vårt slik ut: Vi ser at det er x = 1,5 og y = 1,5 som gir størst verdi i kolonne C, så x = 1,5 og y = 1,5 er løsningen på oppgaven. 4 Funksjoner Funksjoner kan defineres både i en Grafer-applikasjon og i en Kalkulator-applikasjon. Vi velger her å gjøre det i en Grafer-applikasjon Når du skal lage en rask skisse av en graf, er du kanskje fornøyd med den grafen som umiddelbart kommer til syne i når du har lagt inn funksjonsuttrykket. Ofte er det imidlertid nødvendig å gå litt grundigere til verks. Dette finner du en forklaring på nedenfor, i avsnitt Verditabell Vi åpner et TI-Nspire-dokument med «Grafer». Vi legger inn funksjonsuttryket. Deretter velger vi «Lister & regneark» fra Vis-menyen. Vi velger Funksjonstabell > Skift til funksjonstabell fra verktøy-menyen. Der velger vi funksjonen vi nettopp la inn. Da kommer verditabellen opp. Endringer på tabellen gjør vi nå i verktøymenyen. Vi velger Funksjonstabell > Rediger funksjonsinnstillinger og setter opp tabellen slik vi vil. 8

9 Eksempel: Vi skal lage verditabell til funksjonen f(x) = 0,2x 3 +3,6x 2 16,2x+110 for x fra 0 til 12. Eksempelet er hentet fra side 196 i læreboka. 1. Vi åpner et dokument med «Legg til Grafer». 2. Vi definerer funksjonen ved å taste inn «-0.2x 3+3.6x x+110» til høyre for «f1(x)=». Dersom det ikke kommer fram et skrivefelt med «f1(x)=», trykker vi på tabulator-tasten. 3. Vi velger «Lister & regneark» fra «Sett inn»-menyen. 4. Fra verktøymenyen velger vi nå Funksjonstabell > Skift til funksjonstabell og velger «f1». 5. Vi velger Funksjonstabell > Rediger funksjonsinnstillinger fra verktøy-menyen. Vi skal lage verditabell fra 0 til 12. Derfor setter vi tabellstart til 0 og tabelltrinn til 1. Da får vi følgende verditabell: Av og til kan det være nyttig å gjøre litt andre innstillinger i Funksjonstabell > Rediger funksjonsinnstillinger. Hvis vi setter «Uavhengig» til «Spør», kan vi selv taste inn de x-verdiene vi vil ha i tabellen vår. 4.2 Tegne grafer Tegne graf og zoome på frihånd Når vi har lagt inn funksjonsuttrykket i CAS-feltet blir automatisk funksjonens graf tegnet inn. Dersom vi kjenner funksjonstypen godt og vet med sikkerhet hvordan grafen skal se ut, kan det være effektivt å zoome på grafen direkte uten å lage verditabell til du får fram grafen slik du vil ha den. 9

10 Advarsel! Dersom du er det minste i tvil om hvordan grafen skal se ut, anbefaler vi at du bruker en verditabell til å hjelpe deg med å velge utsnitt av grafen, se avsnitt nedenfor. Eksempel: Vi skal tegne grafen til f(x) = ,973 x fra side 24 i læreboka. Vi taster inn «f(x):=6214 0,973 x» i en Grafer-applikasjon. Deretter zoomer vi vinduet til vi ser grafen slik vi vil ha den. Vi zoomer ved å dra i aksene eller ved å velge passende verktøy fra verktøymenyens «Vindu/Zoom»-meny. Når vi drar i aksene, endrer begge aksene seg i takt. Dersom vi ønsker å endre kun den ene aksen, holder vi skift inne. I vårt eksempel holder vi skift inne og drar i x-aksen til vi har verdier som inneholder x = 21 og x = 0, slik det stod i oppgaven. Deretter drar vi i y-aksen til grafen kommer til syne Tegne graf med verditabell Vi anbefaler at du bruker følgende prosedyre for å tegne grafer: Legg inn funksjonsuttrykket i en «Grafer»-applikasjon. Lag verditabell. Juster grafikkfeltet så det viser passende utsnitt. Eksempel: Vi skal tegne grafen til funksjonen f(x) = 0,2x 3 + 3,6x 2 16,2x for x fra 0 til 12. Eksempelet er hentet fra side 196 i læreboka. 10

11 1. Legg inn funksjonen i «Grafer»-applikasjonen og lag verditabell, jfr. avsnitt 4.1 ovenfor. 2. Velge Vindu/Zoom > Vindusinnstillinger fra verktøymenyen. Ut fra tabellen vår lar vi x gå fra 0 til 12 og y gå fra 0 til 110. (Det kan være greit å ta et litt større utsnitt, slik at du får med aksene. På figuren har vi valgt x fra 0,5 til 12,5 og y fra 5 til 112.) Da ser grafen vår slik ut: Til slutt kan det hende det er lurt å justere grafikkfeltet noe, slik at du får det akkurat slik du vil ha det. Ofte er det raskeste å flytte hele grafen, samt dra i aksene. 4.3 Skjæringspunkter Vi finner skjæringspunkter mellom to grafer med verktøyet «Skjæring mellom to objekt» fra punkt-menyen. Eksempel: Vi skal finne skjæringspunktene mellom grafene på side 131 i læreboka, altså til funksjonene f(x) = 2x 1 og g(x) = x + 3. x+1 1. Vi tegner grafene til f(x) og g(x), se avsnitt Deretter klikker vi på grafikkfeltet, slik at grafikkfeltets verktøylinje vises. Der velger vi Geometri > Punkter & linjer > Skjæringspunkt(er) fra verk- 11

12 tøymenyen. Vi klikker på de skjæringspunktene, slik at de to punktene blir tegnet inn. Da ser vinduet vårt slik ut: Som vi ser, har de to skjæringspunktene koordinatene ( 2, 5) og (2, 1). Denne metoden kan gi noe unøyaktige svar på visse typer grafer, siden programmet her finner skjæringspunktene numerisk, altså med tilnærmingsverdier. For å unngå dette kan du i stedet løse likningen f(x) = g(x) i en Kalkulator-applikasjon (CAS). I dette eksempelet kunne vi da skrive «solve(f1(x)=f2(x),x)». Da får vi at x = 2 eller x = 2. Deretter må vi regne ut f1( 2) og f2(2). Nedenfor ser du hvordan dette ser ut på skjermen: 4.4 Regresjon Regresjon i TI-Nspire gjøres slik: 1. Legg datasettet ditt inn i på en side med «Lister & regneark». 12

13 2. Lag spredningsdiagram i en «Data & Statistikk»-applikasjon. 3. Velg passende regresjonstype fra verktøymenyens Analyser > Regresjon Lineær regresjon Eksempel: Vi skal gjennomføre lineær regresjon på følgende verditabell hentet fra side 198 i læreboka: x y Vi velger «Lister & regneark» fra Vis-menyen og taster inn verditabellen, med x-verdiene i kolonne A og y-verdiene i kolonne B. 2. I øverste linje gir vi navn til x-verdiene og y-verdiene, for eksempel henholdsvis «tid» og «høyde». Da ser det slik ut: 3. Vi legger til en ny side i oppgaven og legger til «Data & statistikk». Vi klikker på teksten «Klikk for å legge til variabel» langs x-aksen og velger «tid». Deretter klikker vi på teksten «Klikk for å legge til variabel» langs y-aksen og velger «høyde». Da blir spredningsdiagrammet tegnet opp: 13

14 4. Deretter velger vi Analyser > Regresjon > Vis lineær (mx + b). Da skal programvinduet vårt se slik ut: Altså foreslår programmet f(x) = 2x + 4 som modellfunksjon for datasettet vårt Regresjons med polynomfunksjoner Regresjon med polynomfunksjoner som modellfunksjoner gjennomføres med passende valg fra verktøymenyens Analyser > Regresjon >. For å kjøre andregradsregresjon velger vi «Vis kvadratisk». For å kjøre tredjegradsregresjon i stedet, veger vi «Vis kubisk.». 14

15 Eksempel: Vi skal gjennomføre tredjegradsregresjon på følgende verditabell hentet fra side 198 i læreboka: x y Vi gjennomfører samme prosess som beskrevet i avsnitt ovenfor om lineær regresjon, med unntak av siste trinn. Vi velger i stedet Analyser > Regresjon > Vis kubisk. Modellfunksjonen som blir foreslått er f(x) = 0,001x 3 + 0,09x Når en av koeffisientene progammet beregner er svært liten, runder vi av til null. I eksempelet ovenfor foreslår TI-Nspire et ledd 1, x. Vi runder av til null og utelater dette leddet Potensregresjon Eksempel: Vi skal utføre potensregresjon på følgende verditabell hentet fra side 216 i læreboka: x y 0,25 1,00 0,50 1,41 0,75 1,73 1,00 2,00 1,75 2,65 Vi legger inn verditabellen og lager spredningsdiagram som beskrevet i avsnitt ovenfor. Så velger vi Analyser > Regresjon > Vis potens fra verktøymenyen. Da ser progamvinduet vårt slik ut: 15

16 Altså viser regresjonen at en modellfunksjon for datasettet vårt kan være f gitt ved f(x) = 2 x 0, Eksponentiell regresjon Eksempel: Vi skal utføre eksponentiell regresjon på følgende verditabell hentet fra side 218 i læreboka: x y Vi legger inn verditabellen og lager spredningsdiagram som beskrevet i avsnitt ovenfor. Så velger vi Analyser > Regresjon > Vis eksponensiell fra verktøymenyen. Da ser progamvinduet vårt slik ut: 16

17 Altså viser regresjonen at en modellfunksjon for datasettet vårt kan være f gitt ved f(x) = ,84 x 5 Sannsynlighetsregning 5.1 Antall permutasjoner Vi bruker kommandoen «npr( )» i en Kalkulator-applikasjon for å finne antall permutasjoner av r objekter fra n objekter. Eksempel: Vi skal finne antall permutasjoner av 2 objekter fra 5 objekter, se læreboka side 156. Vi taster inn «npr(5, 2)», og får 20 til svar. 5.2 Antall kombinasjoner Antall kombinasjoner av r objekter fra n objekter, altså hvor mange måter vi kan trekke r objekter fra n objekter når rekkefølgen ikke spiller noen rolle, finner vi med kommandoen «ncr( )». Eksempel: Tallet 5 2 taster vi inn som «ncr(5, 2)» og får 10 til svar. 5.3 Sannsynlighetsfordelinger Binomisk fordeling For å regne med binomisk sannsynlighet velger vi «Binomisk Pdf» fra undermenyen «Fordelinger» på Sannsynlighet-menyen. I vinduet som da kommer opp 17

18 taster vi inn antall forsøk, sannsynligheten for suksess og hvilken x-verdie vi vil ha beregnet sannsynligheten for. Eksempel: Vi løser eksempel 18 på side 29 i læreboka. Kenneth tipper fotball og krysser av ett kryss på hver av 12 kamper tilfeldig. Hvor stor er sannsynligheten for åtte rette? Hvor stor er sannsynligheten for minst ti rette? Vi velger «Binomisk Pdf» fra undermenyen «Fordelinger» på Sannsynlighetmenyen. Vi setter n til 12, p til 1/3 og «X-verdi» til 8. Vi får at sannsynligheten for åtte rette er 0,01490: For å finne sannsynligheten for minst ti rette velger vi «Binomisk Cdf» fra undermenyen «Fordelinger» i Sannsynlighet-menyen. Vi setter n til 12, p til 1/3, nedre grense til 10 og øvre grense til 12. Vi får at sannsynligheten for minst 10 rette er 0, Hypergeometrisk fordeling I TI-Nspire versjon 3.9 finnes det ikke noen innebygd funksjon for hypergeometrisk fordeling. Vi regner ut sannsynligheten manuelt. Eksempel: Vi løser eksempel 17 på s. 27 i læreboka. En eske inneholder 100 datakomponenter der er 10 defekte. Vi velger ut sju komponenter. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig én er defekt? Hva er sannsynligheten for at minst én er defekt? 18

19 Vi lager en funksjon f(x) for sannsynligheten for å trekke ut x defekte komponenter. Funksjonen blir f(x) = x Vi legger funksjonen ved å taste «f(x):=(ncr(10,x) ncr(90,7-x))/ncr(100,7)» i en Kalkulator-applikasjon. Legg merke til at vi bruker kolon foran likhetstegnet når vi definerer funksjoner i en Kalkulator-applikasjon. Så regner vi ut verdien av f(1) x Vi får at sannsynligheten for en defekt er 0,389. For å få sannsynligheten for minst én defekt ber vi TI-Nspire beregne summen av f(x) hvor x går fra 1 til 10. Vi velger Kalkulus > Sum fra verktøymenyen og setter inn argumentene slik: Da får vi at sannsynligheten for minst en defekt er 0,