Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.
|
|
- Håkon Simonsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike manipuleringer er å løse likninger med rotutdragning (eksakte verdier), faktorisering av polynomer, integrering og derivering, beregning av summer osv. I GeoGebra 4.2 finner du CAS ved å hake av for dette under «Vis» på menylinjen: 11.1 Verktøylinjen i CAS Eksempel 33 Faktoriser polynomet x 4 x 3 5x 2 x 6. Vi skriver polynomet inn i CAS og trykker på Faktoriser-verktøyet får da følgende resultat: på verktøylinjen. Vi Figur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering. I eksempel 33 brukte vi ett av de åtte CAS-spesifikke verktøyene som vi har. Det første verktøyet er Regn ut. Med dette vertøyet blir uttrykk evaluert og regnet ut eksakt. Skriver du for eksempel inn 1/2+1/3 og klikker så på vil du få 5 6 som svar. Tilsvarende vil du få 0,8333 som svar dersom du klikker på Numerisk. Klikker du på Bruk inntasting vil 82
2 11.1 Verktøylinjen i CAS det ikke bli gjort noe med uttrykket du har skrevet inn. I eksempelet med 1/2+1/3 vil vi få som svar Figur 63: Du får ulike output alt etter som hvilket verktøy som er valgt. Merk at du kan enten skrive inn uttrykket og så klikke på ett av disse verktøyene beskrevet over eller du kan aktivere verktøyet, skrive inn uttrykket og så trykke <enter>. Har du for eksempel aktivert Numerisk og skriver inn 4/7 vil du få 0,5714 som svar. Neste verktøy på verktøylinjen er Faktoriser. I eksempel 33 brukte vi dette til å faktorisere et polynom. Du kan selvsagt også bruke dette til å faktorisere hele tall. Figur 64: Faktorisering av hele tall i GeoGebra. Går vi ett hakk til høyre på verktøylinja finner vi verktøyet Utvid GeoGebra om å multiplisere ut parenteser etc.. Vi bruker dette til å be Eksempel 34 Gang ut (a + b) 5 Vi skriver inn (a+b)^5 og klikker på : 83
3 11.1 Verktøylinjen i CAS Figur 65: Det kan ta litt tid å gange ut (a + b) 5 dersom du ikke kan binomialteoremet... Neste verktøy er Sett inn variable eller tall.. Med dette kan du erstatte én eller flere variable med andre Eksempel 35 Skriv inn formelen F = m ċ a i CAS finn a når F = 12 og m = 55. Vi skriver inn F=m*a og klikker på substitusjonene:. Vi får da opp et vindu der vi kan skrive inn de ønskede Figur 66: Vi bytter ut F med 12 og m med 55 ved å bruke Sett inn-verktøyet Klikker vi på får vi svaret 12 = 55a. Vi løser denne likningen ved å bruke verktøyet Løs. For å bruke dette må vi hente opp forrige output og så klikke på. Du kan lett kopiere inn siste output ved å trykke på space-baren på tastaturet. Klikk deretter på (Løs) og får a = Dersom vi ønsker desimaltall trykker vi på mellomromstasten en gang til og så på. 84
4 11.1 Verktøylinjen i CAS Figur 67: Vi har funnet at a 0,22 når F = 12 og m = 55. Helt til høyre på verktøylinja ligger det to verktøy: Derivert og Integral. For å bruke disse er det bare til å skrive inn et uttrykk og klikke på verktøyet. Uttrykket du skriver inn behøver ikke å være et uttrykk i x. Men dersom du skriver inn a 4 b 2, så vil GeoGebra derivere med hensyn på a. Mer generelt, så vil GeoGebra derivere/integrere med hensyn på den første av varbiablene i lista x, y, z, a, b,...v, w som er uttrykket inneholder. Oppgave 55 a) ċ 43 b) Figur 68: Derivering og integrering i CAS. Bruk CAS til å regne ut c) Oppgave 56 Gang ut: (a + b + c) 3. Oppgave 57 Finn de eksakte røtten til likningen x 3 + 8x 2 2x 16 = 0 85
5 11.2 CAS-kommandoer Oppgave 58 Oppgave 59 Deriver funksjonen f(x) = x 4 ln(x). Finn integralet x 4 ċ sin(2x) dx 11.2 CAS-kommandoer Vi har så langt sett hvordan vi kan bruke CAS-verktøyene til å utføre ulike operasjoner på uttrykk. Dersom vi kikker godt etter, ser vi at til de fleste verktøyene har en tilhørende kommando. Når vi utvidet (a+b) 5 ved å bruke Utvid ser vi at dette verktøyet kjører kommandoen RegnUt. Figur 69: Verktøyet Utvid kjører kommandoen RegnUt I stedet for å bruke verktøyet Utvid kunne vi med andre ord kjørt kommandoen RegnUt direkte: Figur 70: Du kan utvide parenteser ved å direkte bruke kommandoen RegnUt Det fins godt over 100 slike kommandoer i GeoGebra og du finner dem alle på nettsiden Vi har listet opp et utvalg kommandoer i tabell 2 på neste side. 86
6 11.2 CAS-kommandoer Kommando Binomialkoeffisient[a, b] Delbrøkoppspalting[<Funksjon>] Derivert[<Uttrykk>] Derivert[<Uttrykk>, <Variabel>] Derivert[<Uttrykk>, <Variabel>,n] Faktoriser[<Uttrykk>] Kryssprodukt[{a,b,c},{d,e,f}] Løsninger[likninger, <Variable>] Nevner[<Uttrykk>] NLøs[<Likning>] NLøs[<Likning>, <Variabel>] Nløsninger[<Likninger>, <Variable>] Nullpunkt[ <Polynom> Prikkprodukt[ <Vektor>, <Vektor>] Sum[<Uttrykk>, <Variabel>, a, b] Forklaring Regner ut a b Gir delbrøksoppspaltningen (om mulig) til funksjonen. Gir den deriverte til uttrykket. Gir den deriverte til uttrykket med hensyn på variabelen. Gir den n-te deriverte til uttrykket med hensyn på variabelen. Faktoriserer uttrykket. Regner ut vektorproduktet [a, b, c] [d, e, f]. Løser likningssystemet i de oppgitte variablene. Gir nevneren eller fellesnevneren til uttrykket. Finner en numerisk løsning til likningen. Finner en numerisk løsning til likningen med hensyn på variabelen. Finner en numerisk løsning av likningssystemet i de oppgitte variablene. Finne nullpunktene til polynomet. Gir prikkproduktet mellom vektorene. Regner ut b a (uttrykk) Tabell 2: Et utvalg av kommandoer du kan bruke i CAS Eksempel 36 Faktoriser polynomet 2x 3 + 3x 2 32x
7 11.2 CAS-kommandoer Vi skriver inn Faktoriser[2x^3+3x^2-32x+15] og trykker enter. Vi får at 2x 3 + 3x 2 32x + 15 = (2x 1)(x + 5)(x 3) Eksempel 37 Løs likningen sin(x) + cos(x) = 1. Vi skriver inn kommandoen Løs[sin(x)+cos(x)=1] og får: Merk at GeoGebra bruker radianer som vinkelmål i CAS. Ønsker du å løse likningen med grader som vinkelmål må du skrive x som vist på figuren over. Vi ser at x = 2π ċ n + π 2 eller x = 2nπ. Eksempel 38 Finn eventuelle topp- eller bunnpunkter til grafen til f(x) = xe x. Vi kan definere en funksjon i CAS ved å skrive inn f(x):=x*e^x Vi bruker kolon foran likhetstegnet når vi definerer en funksjon i CAS. Du kan selvsagt også definere funksjonen på vanlig måte i inntastingsfeltet før du jobber videre med den i CAS. I så tilfelle skriver du kun inn f(x)=x*e^x i inntastingsfeltet. Når funksjonen er definert kan vi skrive inn Løs[f (x)=0] og får x = 1 som svar. Det neste vi vil gjøre er å finne punktet på grafen. Siden vi allerede har definert f(x) kan vi nå skrive inn f( 1) og få at bunnpunktet er ( 1, 1 e). 88
8 11.3 Litt mer om input og output Figur 71: Vi har funnet eksakte verdier med CAS. Oppgave 60 Løs likningssystemet 2y x 2 + 2x = a y 2x = 3 For hvilke verdier har systemet én løsning to løsninger ingen løsninger Oppgave 61 Vi har en stige som er 10 meter lang. Denne skal plasseres opp mot en vegg. Problemet er at inntil veggen står en kasse som er 1 meter høy og 1 meter bred og som vi ikke kan ta vekk. Hva er det høyeste punktet over bakken at stigen kan nå på veggen? Se figur m x m 1 m Figur 72: Stigeproblemet i oppgave Litt mer om input og output Når vi skal løse litt større oppgaver, slik som den i eksempel 39 er det viktig å få en god arbeidsflyt. Vi har tidligere nevnt at det er unødvendig å skrive opp uttrykk manuelt dersom vi allerede har regnet dem ut i CAS. Her er noen nyttige tips: 89
9 11.3 Litt mer om input og output Likhetstegn (=) vil skrive inn forrige input Mellomromstast vil skrive inn forrige output Høyreparentes ) vil skrive inn forrige output med parenteser rundt. Du kan referere til forrige output ved å skrive enten $ (for dynamisk output) eller # (for statisk output). Tilsvarende kan du referere til output på rad n ved å skrive $n (for dynamisk output) og #n (for dynamisk output. Forskjellen på disse to er dersom du går inn og endrer på en verdi slik at output på rad n endres, så vil du også få endring i raden du skrev $n i mens du vil beholde den gamle verdien fra rad n dersom du skrev #n. Eksempel 39 La f være en tredjegradsfunksjon som har tre nullpunkt a, b og c. La T være tangenten til f i d = a + b. Hva kan du si om denne tangenten? 2 Før vi går i gang med selve løsningen i CAS kan det være en ide å utforske problemet litt. Vi kan for eksempel se på funksjonen f(x) = (x 1)(x 3)(x 4). I dette tilfellet blir d = 2 og vi kan tegne og finne tangenten ved å skrive inn kommandoen Tangent[2,f] i inntastingsfeltet. y 3 T f x Ut fra denne figuren får vi en mistanke om at tangenten vil gå gjennom det tredje nullpunktet. Vi ønsker derfor å bevise dette ved å bruke et CAS! Det første vi gjør er å definere funksjonen ved å skrive inn 90
10 11.3 Litt mer om input og output f(x):=(x-a)(x-b)(x-c) Vi kan finne tangenten i a+b 2, f a+b 2 ved å bruke ettpunktsformelen. Til det trenger vi f a+b 2 og stigningstallet f a+b. 2 Sistnevnte får vi ved å bruke verktøyet Sett inn. Ettpunktsrmelen gir oss at tangenten har likningen y = a3 + a 2 (b + 2c) + a(b 2 4ac) b 3 + 2b 2 c 8 + a2 + 2ab b 2 4 x a + b 2 På linje 5 på figur 73 har vi definert denne som en egen funksjon g(x). Merk hvordan vi refererer til outputene $3 og $4 i definisjonen av g. Dette gir oss mulighet til finne g(c). Vi ser at svaret blir 0 som forventet! Figur 73: Tangenten til f i middelverdien til to av nullpunktene går alltid gjennom det tredje nullpunktet! Nå finnes det finnes en enklere måte å løse dette problemet på i GeoGebra. Vi kan rett og slett bruke kommandoen Tangent[<punkt>,<funksjon>] som vist på figur 74. Merk at tangenten ikke er en funksjon, men en linje. For å kunne finne y-verdien til denne tangenten når x = c bruker vi derfor verktøyet Bytt ut. 91
11 11.3 Litt mer om input og output Figur 74: Tangent-kommandoen fungerer i CAS også! For den interesserte leser kan vi også nevne en tredje løsning som like lett lar seg gjøre med papir og blyant. Ved et eventuelt koordinatskifte kan vi anta at nullpunktene er x = ±1 og x = c. Middelverdien mellom de to første nullpunktene er da 0. Vi har altså at f(x) = (x 2 1)(x c). Den deriverte er f (x) = 2x(x c) + (x 2 1). Videre er f (0) = 1 og f(0) = c. Ettpunktsformelen gir oss derfor at tangenten er grafen til g(x) = c (x 0) = c x Vi ser da at g(c) = 0. Smart ikke sant?! Eksempel 40 La f være en tredjegradsfunksjon som har et topp- og et bunnpunkt. La l være linja som går gjennom topp- og bunnpunktet og t være linja som tangerer grafen til f i punktet (m, f(m) der m er gjennomsnittet av x-koordinatene til topp- og bunnpunktet. Vis at forholdet mellom stigningstallene til l og t er 2 3 Vi vet at slike funksjoner generelt kan skrives som f(x) = k(x a)(x b)(x c) + d. Uten å miste generalitet kan vi anta at k = 1 og d = 0 (Hvorfor?). Vi definerer f(x): Skriver inn f(x) og klikker deretter på verkøtøyet Derivert for å finne f (x): 92
12 11.3 Litt mer om input og output Trykker på mellomromstasten og bruker verktøyet Løs null: for å finne når den deriverte er Output er en liste på formen x =..., x =.... Vi ønsker å regne ut middelverdien til de to uttrykkene på høyresiden av elementene i listen over. For å gjøre dette kan vi først lage en liste som består av høyresiden til de to elementene i output på rad 3: Det neste vi vil gjøre er å finne middelverdien til disse to tallene. Vi gjør dette ved å bruke kommandoen Middelverdi: Bruker kommandoen ByttUt for å bytte ut x med (a + b + c) 3 (det vil si output på rad 5). Vi finner da stigningstallet til tangenten t: Regner ut stigningstallet til linja l gjennom topp-og bunnpunktet: Til slutt regner vi ut forholdet mellom stigningstallene. Disse står nå som output i rad 6 og 7. Skriver derfor inn $7/$6: Vi ser at forholdet mellom stigningstallet til t og l alltid er
13 11.4 Oppgaver 11.4 Oppgaver Oppgave 62 Bruk CAS til å forenkle uttrykkene: a) x 12 1 x 4 x b) (x + 1) 3 x x + 1 Oppgave 63 Løs likningene a) x 2 + 2x 3 = 0 b) e 2x e + 1 = 10 c) x x + 3 x + 14 x + 5 = 0 Oppgave 64 Løs likningssystemet x + y + 3 x + y = 18 x y 2 x y = 15 Oppgave 65 Bruk CAS til å faktorisere polynomene: a) P(x) = 2x 4 7x 3 + x x 10 b) Q(x) = x 12 1 c) h(x) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 Følgende tre oppgaver er hentet fra utdanningsdirektoratets forslag til ny eksamensordning for videregående skole. Oppgave 66 (1T) En funksjon f er gitt ved f(x) = 2 x(x 1) 3x x + 1 x 2 x Skriv funksjonsuttrykket så enkelt spm mulig, og bestem eventuelle vertikale og horisontale asymptoter for grafen til f. Oppgave 67 (S2) I denne oppgaven skal du finne mønstre og sammenhenger. a) Det minste tallet som kan skrives som summen av to kubikktall på to måter er 1729: 1729 = n = m 3 + (m + 1) 3 Bestem n og m. b) Det eneste kubikktallet som skrives som summen av tre påfølgende kubikktall, er 6 3. Bestem de tre kubikktallene ved å løse en likning. 94
14 11.4 Oppgaver Oppgave 68 (R1) 12 y S x Et rektangel er innskrevet i en sirkel med sentrum i S og med radius 12. a) Forklar at arealet av rektangelet er gitt ved A(x) = 4x 144 x 2, x 0, 12 b) Bestem det største arealet rektangelet har. Kommenter formen på rektangelet. Oppgave 69 Fermatprimtall er primtall på formen F n = 2 2n + 1. a) Vis at F n er primtall når n er 1, 2, 3 og 4. b) Vis at F n ikke er primtall når n er 5, 6, 7, 8, 9 og 10. I denne oppgaven kan du bruke kommandoen ErPrimtall[<tall>]. Oppgave 70 I denne oppgaven skal vi studere polynomet P(x) = x 2 x a) Undersøk om P(n) er primtall for n 1, 2, 3,..., 10. b) Finn minste naturlige tall n slik at P(n) ikke er et primtall. Oppgave 71 Finn likningen til vendetangenten til funksjonen f(x) = x 3 ax + b. 95
Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2
Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4. av Sigbjørn Hals Innhold: CAS-verktøyet... Likninger... Likningssett med flere ukjente... 4 Differensiallikninger... 5 Derivasjon... 5 Integralregning... 6 Polynomdivisjon...
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 2007 Tidspunkt Antall oppgaver 4 Sirkelskive i radianer.
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato 30. mars 007 Tidspunkt 09.00-14.00 Antall oppgaver 4 Vedlegg Tillatte hjelpemidler Sirkelskive i radianer Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
88 4 Funksjoner og andregradsuttrykk Mål for opplæringen er at eleven skal kunne bruke matematiske metoder og hjelpemidler til å løse problemer fra ulike fag og samfunnsområder løse likninger, ulikheter
Detaljer1T eksamen høsten 2017 løsning
1T eksamen høsten 017 løsning Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform. 105000 0,15
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R2. Geogebra
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet e......................................
DetaljerR1 eksamen høsten 2015 løsning
R1 eksamen høsten 15 løsning Løsninger laget av Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene a) f
DetaljerKORT INNFØRING I GEOGEBRA
Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER... 9 ØVELSE 2. TEGNE GRAFER TIL RASJONALE FUNKSJONER... 11 ØVELSE 3. LIKNINGSLØSNING... 15 ØVELSE 4. TANGENTER OG MAKS OG MIN
DetaljerQED 5 10. Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...
DetaljerGeoGebra 4.2 for Sinus 1T. av Sigbjørn Hals
GeoGebra 4.2 for Sinus 1T av Sigbjørn Hals Innhold Litt om GeoGebra... 3 Faktorisering. Side 55 i læreboka... 3 Rette linjer. Side 73 i læreboka... 3 Digital løsning av likninger. Side 77 i læreboka...
DetaljerFagdag CAS-trening
Fagdag 03.12.2015 - CAS-trening Innhold: Viktige kommandoer på side 1. Eksempler på bruk av CAS side 1-4. Arbeidsoppgaver på side 5 og utover. Viktige kommandoer: Se oversiktene side 444 og side 446 i
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2009
Eksamen REA0 R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonene ) f x x 4 4 8 f x x x x x ) g x x
DetaljerEksamen R2, Våren 2011 Løsning
R Eksamen, Våren 0 Løsning Eksamen R, Våren 0 Løsning Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (8 poeng) a) Deriver funksjonene
DetaljerEksamen R1 høsten 2014 løsning
Eksamen R1 høsten 014 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene 3 a) f x x x 5 5 f x 15x 4x
DetaljerOppgaver i funksjonsdrøfting
Oppgaver i funksjonsdrøfting To av oppgavene er merket med *. Det betyr at de er ekstra interessante. Oppgave 1 Gitt funksjonen f(x) = x + 4. a) Finn nullpunktene til funksjonen. b) Bruk definisjonen på
DetaljerMatematikk R1 Forslag til besvarelse
Matematikk R1 Forslag til besvarelse NITH 4. mars 014 Oppgave 1 a) Regn ut p x) når px) = x 3 3x + 6x 1. p x) = x 3 ) 3x ) + 6x) 0 = 3x ) 3x) + 6 1 = 6x 6x + 6 b) Regn ut p x) når px) = ax + bx + c. Her
DetaljerEksempeloppgave 1T, Høsten 2009
Eksempeloppgave 1T, Høsten 009 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) a) Bruk opplysningene nedenfor til å finne
DetaljerManual for wxmaxima tilpasset R1
Manual for wxmaxima tilpasset R1 Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,
DetaljerI Katalog velger du: Ny eksamensordning i matematikk våren 2015
CAS teknikker H-P Ulven 10.12.2014 Innledning Våren 2015 gjelder nye regler for bruk av digitale hjelpemidler: Når det står "Bruk CAS", så må kandidaten bruke CAS, og når det står "Bruk graftegner", så
DetaljerSINUS R1, kapittel 5-8
Løsning av noen oppgaver i SINUS R1, kapittel 5-8 Digital pakke B TI-Nspire Enkel kalkulator (Sharp EL-506, TI 30XIIB eller Casio fx-82es) Oppgaver og sidetall i læreboka: 5.43 c side 168 5.52 side 173
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. Geogebra
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallet e...................................... 4 3 Sannsynlighetsregning
DetaljerS1 eksamen våren 2016 løsningsforslag
S1 eksamen våren 016 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Løs likningene a) x x 0 4 1 x 1 9 8 x 1 x x 1
DetaljerEksamen R2 høsten 2014 løsning
Eksamen R høsten 04 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x Vi bruker kjerneregelen
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
DetaljerEksamen REA3028 S2, Høsten 2012
Eksamen REA308 S, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (6 poeng) Deriver funksjonene 3x x a) gx 3 3x x 3x
DetaljerVelg mellom disse kommandoene: Dersom[<Vilkår>, <Så>, <Ellers>] Funksjon[<Funksjon>, <Start>, <Slutt>]
442 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Nullpunkter Velg mellom disse kommandoene: Dersom[, , ] Funksjon[, , ] GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt
Detaljerwxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue
wxmaxima Brukermanual for Matematikk 1T Bjørn Ove Thue Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si
DetaljerHeldagsprøve i matematikk. Svar og løsningsforslag
Heldagsprøve i matematikk Svar og løsningsforslag Mandag 19. desember 005 Forkurset, Høgskolen i Oslo Tillatte hjelpemidler: Lommeregner. Formelsamling i matematikk. Tid: 5 klokketimer Alle svar må være
DetaljerLøsningsforslag. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller like mye.
Eksamen i FO929A - Matematikk Dato: 2013 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 3 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver teller
DetaljerLøsningsforslag matematikk S1 V14
Løsningsforslag matematikk S1 V14 Oppgave 1 Bruker ABC-formelen: ABC-formelen gir x = 2 x = 3 x 2 + 3x 3 = 3 2x x 2 + 5x 6 = 0 x = b ± b 2 4ac 2a lg(x + 2) = 2 lg x lg(x + 2) = lg x 2 10 lg(x+2) lg x2
DetaljerEksamen S2 va ren 2015 løsning
Eksamen S va ren 05 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave (5 poeng) Deriver funksjonene. a) x f x e x f x e e x b) gx x x x x x
DetaljerCAS GeoGebra. Innhold. Matematikk for ungdomstrinnet
CAS GeoGebra Innhold CAS GeoGebra... 1 REGNING MED CAS-VERKTØYET... 2 Rette opp feil, slette linjer... 3 Regneuttrykk... 4 FAKTORISERE TALL... 4 BRØK... 4 Blandet tall... 5 Regneuttrykk med brøk... 5 POTENSER...
DetaljerEksempelsett R2, 2008
Eksempelsett R, 008 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f x x cosx f x cosx x s x f x cosx 6x sinx
DetaljerEksamen MAT1013 Matematikk 1T Våren 2013
DEL 1 Uten hjelpemidler Oppgave 1 (1 poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 750 000 0,005 5 7,510 7,5 5 3 8 3 10 1,5 10 510 5 Oppgave (1 poeng) Løs likningssystemet x3y7 5xy8 Velger å løse likningen
DetaljerPlotting av grafer og funksjonsanalyse
Opplæringshefte i GeoGebra Innholdsfortegnelse: Plotting av grafer og funksjonsanalyse... 2 Oppgave 1... 2 Oppgave 2... 4 Oppgave 3... 8 Å plassere et bilde i GeoGebra... 8 Oppgave 4... 8 Vektorregning
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerForkurs, Avdeling for Ingeniørutdanning
Eksamen i FO99A Matematikk Ordinær Eksamen Dato 8. mai 8 Tidspunkt 9. - 14. Antall oppgaver 4 Vedlegg Formelsamling Tillatte hjelpemidler Godkjent kalkulator Løsningsforslag Oppgave 1 Deriver følgende
DetaljerEksamen R1, Va ren 2014, løsning
Eksamen R1, Va ren 014, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (4 poeng) Deriver funksjonene a) f x lnx x Vi bruker
DetaljerSammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
DetaljerP(x, y) ) x. Dette er sirkellikningen. Et punkt P(x, y) ligger på denne sirkelen hvis og bare hvis koordinatene passer i likningen.
5.9 Sirkellikningen Fra kapittel 4.3 vet vi at sirkelen er det geometriske stedet for de punktene som har en bestemt avstand r fra et fast punkt S. Avstanden r kaller vi radien, og punktet S kaller vi
DetaljerFunksjoner 1T Quiz. Test, 4 Funksjoner
Test, 4 Funksjoner Innhold 4.1 Funksjonsbegrepet... 4. Lineære funksjoner... 6 4.3 Andre funksjonstyper... 14 4.4 Vekstfart og derivasjon... 0 4.5 Drøfting av funksjoner på grunnlag av egenskaper hos den
DetaljerHeldagsprøve R2. Våren Onsdag 6. Mai Løsningsskisser - Versjon Del 1 - Uten hjelpemidler - 3 timer. Oppgave 1.
Heldagsprøve R Våren 015 Onsdag 6. Mai 09.00-14.00 Løsningsskisser - Versjon 1.05.15 Del 1 - Uten hjelpemidler - timer Oppgave 1 Deriver funksjonene: a) fx tanx Kjerneregel: fx tanu, u x f 1 x cos u x
DetaljerTid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. og setter f u ln
Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) 3 f( ) 3 f 3 4 3 b) g( ) ln( ) Vi bruker kjerneregelen
DetaljerEksamen R2 høsten 2014
Eksamen R høsten 014 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (3 poeng) Deriver funksjonene a) f x cos3x b) gx 5e x sinx Oppgave
Detaljera) Blir produktet av to vilkårlige oddetall et partall eller et oddetall? Bevis det.
Prøve i R1 04.1.15 Del 1 Hjelpemidler: vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler Husk å begrunne alle svar. Det skal gå klart frem av besvarelsen hvordan du har tenkt. Oppgave
DetaljerEksamen S1, Høsten 2013
Eksamen S1, Høsten 013 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Funksjonen f er gitt ved Bestem f. f x 3x 3x 1, Df f
DetaljerQED Matematikk for grunnskolelærerutdanningen. Bind 1 og 2. GeoGebra-øvelser i funksjonslære. Av Peer Sverre Andersen
QED 5 10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1 og 2 GeoGebra-øvelser i funksjonslære Av Peer Sverre Andersen Innhold INNLEDNING... 3 KORT INNFØRING I GEOGEBRA... 4 ØVELSE 1. TEGNE GRAFER...
DetaljerLøsningsforslag. 3 x + 1 + e. g(x) = 1 + x4 x 2
Prøve i FO929A - Matematikk Dato: 1. juni 2012 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 5 (20 deloppgaver) Antall sider: 2 Vedlegg: Formelsamling Hjelpemiddel: Kalkulator Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver
DetaljerLøsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Løsningsforslag, midtsemesterprøve MA1101, 5.oktober 2010 Oppgave 1 Løs ulikheten x + 6 5 x + 2 Strategien er å
DetaljerEksempeloppgave 2014. REA3022 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 014 REA30 Matematikk R1 Eksempel på eksamen våren 015 etter ny ordning Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy
DetaljerEksamen S1 høsten 2015 løsning
Eksamen S1 høsten 015 løsning Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene nedenfor a) x 3x 0 x(x3) 0 x 0 x 3 0 3 x 0 x b) 3x1 17 4 x lg 3 1 34 lg 3 x1 34 3x 1 lg 34lg 3x 1 lg lg 34 lg lg 3x 1 34 3 x 33 3 3 x 11
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerManual for wxmaxima tilpasset R2
Manual for wxmaxima tilpasset R Om wxmaxima wxmaxima er en utvidet kalkulator som i tillegg til å regne ut alt en vanlig kalkulator kan regne ut, også regner symbolsk. Det vil si at den kan forenkle uttrykk,
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerLøsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS.
Løsningsskisser til arbeidsoppgaver i CAS. Oppgave 1 En bonde har et 20 meter langt gjerde og skal sperre av et rektangulært område der en av sidene i rektangelet er en fjøsvegg. Finn maksimalt areal som
DetaljerEksamen 1T våren 2016 løsning
Eksamen T våren 06 løsning Oppgave ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform,8 0 0,0005,8 0,8 0 3,6 0 0,5 0 0,5 3 3 5 Oppgave (3 poeng) A B C D E F G H I J K L På tallinjen ovenfor er det merket
DetaljerS1 eksamen våren 2017 løsningsforslag
S1 eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: 3 timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (5 poeng) Løs likningene a) x 5x 0 xx ( 5) 0 x 0 x 5 0
DetaljerInnhold. Matematikk for ungdomstrinnet
Innhold FUNKSJONSTEGNER... 3 Skjermbildet i GeoGebra... 3 Verktøylinja... 4 Verktøyet Flytt eller velg objekt... 4 Oppsett av skjermbildet... 5 Flytte tegneflaten, endre enheter på aksene... 5 Mer øving
DetaljerEksamen R2, Høsten 2015, løsning
Eksamen R, Høsten 05, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeng) Deriver funksjonene a) f( ) 5cos( ) f 5 sin 0sin
DetaljerEksempel på løsning. Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk 2T Eksamen 30.11.2009. Bokmål
Eksempel på løsning 010 Sentralt gitt skriftlig eksamen MAT1008 Matematikk T Eksamen 30.11.009 Bokmål MAT1008 Matematikk T HØSTEN 009 Eksempel på løsning med vekt på bruk av digitale verktøy Hva er en
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2012
Eksamen REA30 R, Våren 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) a) Deriver funksjonene gitt ved ) f 3 5 4 f 5 ) 3
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerEksamen S2 va ren 2016 løsning
Eksamen S va ren 016 løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler. Oppgave 1 (5 poeng) Deriver funksjonene x a) f x e f x e b) gx x x 3 x 4 1 x
DetaljerLøsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008
Løsningsforslag Eksamen R1 - REA3022-28.05.2008 eksamensoppgaver.org September 14, 2008 2 Om løsningsforslaget Løsningsforslaget for matematikk eksamen i R1 er gratis, og det er lastet ned på eksamensoppgaver.org.
DetaljerLøsningsforslag R1 Eksamen. Høst 28.11.2011. Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsningsforslag R1 Eksamen 6 Høst 28.11.2011 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere
DetaljerGeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8].
413 GeoGebra i S2 Grafer Nullpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt polynomfunksjon f. Topp- og bunnpunkter GeoGebra finner nullpunktene til en innlagt funksjon f i intervallet [1, 8]. GeoGebra
DetaljerEksamen 1T, Våren 2010
Eksamen 1T, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (0 poeng) a) Funksjonen f er gitt ved f x x 3 Tegn grafen
DetaljerGeoGebra-opplæring i Matematikk 1T
GeoGebra-opplæring i Matematikk 1T Emne Underkapittel Rettvinklede trekanter 2.4 Ikke-rettvinklede trekanter I 2.6 Ikke-rettvinklede trekanter II 2.7 Graftegning 3.2 Graftegning med definisjonsmengde 3.2
DetaljerBokmål. Eksamensinformasjon
Eksamen 27052010 REA022 Matematikk R1 Nynorsk/Bokmål Bokmål Eksamensinformasjon Eksamenstid: Hjelpemidler på del 1: Hjelpemidler på del 2: Vedlegg: Framgangsmåte: Veiledning om vurderingen: 5 timer: Del
DetaljerSandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland. Digitalt verktøy for Sigma S2. Geogebra
Sandvold Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Hylland Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 2 Regning 4 2.1 Tallregning................................... 4 2.2 Tallet
DetaljerEksamen i FO929A Matematikk Underveiseksamen Dato 14. desember 2006 Tidspunkt Antall oppgaver 4. Løsningsforslag
Eksamen i FO99A Matematikk Underveiseksamen Dato. desember 6 Tidspunkt 9. -. Antall oppgaver Vedlegg Tillatte hjelpemidler Ingen Godkjent kalkulator Godkjent formelsamling Oppgave Vi løser likningene ved
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2013
Eksamen REA30 R1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Formlene for arealet A av en sirkel og volumet
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerHurtigstart. Hva er GeoGebra? Noen fakta
Hurtigstart Hva er GeoGebra? En dynamisk matematisk programvare som er lett å ta i bruk Er egnet til læring og undervisning på alle utdanningsnivå Binder interaktivt sammen geometri, algebra, tabeller,
DetaljerEksamen R2, Høst 2012
Eksamen R, Høst 01 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Deriver funksjonene a) x cos f x e x b) 3 g x 5 1 sinx Oppgave
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1T. Geogebra
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Menyer..................................... 4 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................
DetaljerSammendrag R1. Sandnes VGS 19. august 2009
Sammendrag R1 Sandnes VGS 19. august 2009 1 1 Notasjon Implikasjon Vi skriver A B hvis påstanden A impliserer B. Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig. Ekvivalens Vi skriver A
DetaljerEksamen R2, Høst 2012, løsning
Eksamen R, Høst 0, løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave ( poeng) Deriver funksjonene a) cos f e Vi bruker produktregelen
DetaljerLær å bruke wxmaxima
Bjørn Ove Thue og Sigbjørn Hals Lær å bruke wxmaxima Et godt og gratis CAS-verktøy med enkelt brukergrensesnitt. Oppdatert versjon, november 2009 Lær å bruke wxmaxima. Eksempler fra Sinus-bøkene fra Cappelen
Detaljer1T eksamen våren 2017 løsningsforslag
1T eksamen våren 017 løsningsforslag Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Regn ut og skriv svaret på standardform 0,710 6010
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx
DetaljerLøsningsforslag R2 Eksamen Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik
Løsningsforslag R2 Eksamen 6 Vår 3.05.20 Nebuchadnezzar Matematikk.net Øistein Søvik Sammendrag De fleste forlagene som gir ut lærebøker til den videregående skolen, gir ut løsningsforslag til tidligere
DetaljerDel1. Oppgave 1. a) Deriver funksjonene: 1) f x x. b) Regn ut grenseverdien hvis den eksisterer. lim. c) Trekk sammen. fx x x x
Del Oppgave a) Deriver funksjonene: 4 ) f x x ) g x x e x b) Regn ut grenseverdien hvis den eksisterer x x lim x x c) Trekk sammen x x 4x x x x x x 4 d) Gitt punktenea,, B 5,4 og C 4,7. ) Bestem AB, AC
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma R1. TI-Nspire CAS
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Dypbukt Mustaparta Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for TI-Nspire CAS Innhold 1 Om TI-Nspire 4 2 Regning 4 2.1 Noen forhåndsdefinerte variabler......................
DetaljerEksempeloppgave 2014. MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 2015. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)
Eksempeloppgave 014 MAT1013 Matematikk 1T Ny eksamensordning våren 015 Ny eksamensordning Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Minstekrav til digitale verktøy på datamaskin:
DetaljerEksamen REA3026 S1, Våren 2013
Eksamen REA306 S1, Våren 013 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 ( poeng) Løs likningene a) lg x 3 5 lg x 3 5 lg x
DetaljerFunksjoner og andregradsuttrykk
4 110 Funksjoner og andregradsuttrykk Studentene skal kunne benytte begrepet funksjoner og angi definisjonsmengde og verdimengde til funksjoner regne med lineære funksjoner og andregradsfunksjoner og bestemme
DetaljerDel 2: Alle hjelpemidler er tillatt, med unntak av Internett og andre verktøy som tillater kommunikasjon.
Eksamensoppgavesettet er utarbeidet av Utdanningsdirektoratet. Avvik fra det originale eksamenssettet er eventuelle spesifiseringer og illustrasjoner. Løsningsforslagene i sin helhet er utarbeidet av matematikk.org.
DetaljerEksamen 1T, Høsten 2012
Eksamen 1T, Høsten 01 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 (1 poeng) En rett linje har stigningstall. Linjen skjærer
DetaljerOppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy
1 Oppsummering om hva som kreves ved bruk av digitale verktøy Graftegner Det skal gå klart fram av den grafiske framstillingen hvilken skala og hvilken enhet som er brukt, på hver av aksene. Det er en
DetaljerEksamen REA3022 R1, Våren 2010
Eksamen REA0 R1, Våren 010 Del 1 Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave 1 a) Deriver funksjonene 1) ln f 1 f ) g ln ln ln 1 4e
DetaljerGeoGebra i 1T. Grafer. Å tegne grafen til en funksjon. GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10.
2 Grafer Å tegne grafen til en funksjon Akser Rutenett Avrunding GeoGebra tegner grafen til f(x) = 0,5x 2 for 0 x 10. Funksjonen får automatisk navnet f. Hvis grafen ikke vises, kan du høyreklikke i grafikkfeltet
DetaljerMatematikk for økonomer Del 2
Matematikk for økonomer Del 2 Formelark Dokument type: Formelark Antall kapitler: 10 kapitler Antall sider: 17 Sider Forfatter: Studiekvartalets kursholdere rett til bruk av materialet. Det innebærer at
DetaljerLær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4.2
Lær å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra 4. av Sigbjørn Hals Innhold: CAS-verktøyet... Primtallanalyse... Faktorisering og utvidelse av uttrykk... Likninger... 4 Likningssett med flere ukjente... 5 Differensiallikninger...
DetaljerEksamen R2 Høsten 2013 Løsning
Eksamen R Høsten 03 Løsning Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave (3 poeng) Deriver funksjonene a) f 5cos Vi bruker produktregelen
DetaljerPrøve i Matte 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 03. mars 2016 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Prøve i Matte 1 BYFE DAFE 1 Dato: 3. mars 216 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. LØSNINGSFORSLAG Oppgave 1 Gitt matrisene A = [ 8 3 6 2 ] [ og
DetaljerDeriver funksjonene. Gjør greie for hvilke derivasjonsregler du bruker.
Heldagsprøve i matematikk, 1. desember 006 Forkurs for Ingeniørutdanningen ved HiO, 006/07 Antall oppgaver: Antall timer: 5 timer fra klokken 0900 til klokken 100. Hjelpemidler: Kalkulator og Formelsamling
DetaljerEksamen R2 høst 2011, løsning
Eksamen R høst 0, løsning Oppgave (4 poeng) a) Deriver funksjonene f e ) Bruker produktregelen for derivasjon, uv uv uv f e e e e ) g sin Bruker kjerneregelen på uttrykket cos der u og g u sinu Vi har
DetaljerØgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen. Digitalt verktøy for Sigma 1P. Geogebra
Øgrim Bakken Pettersen Skrindo Thorstensen Thorstensen Digitalt verktøy for Geogebra Innhold 1 Om Geogebra 4 1.1 Innstillinger................................... 5 2 Regning 5 2.1 Tallregning...................................
DetaljerINNHOLD SAMMENDRAG ALGEBRA OG FUNKSJONER
INNHOLD ALGEBRA OG FUNKSJONER... PARENTESER... USYNLIGE PARENTESER... USYNLIGE MULTIPLIKASJONSTEGN... DE TI GRUNNLEGGENDE ALGEBRAISKE LOVENE... REGNEUTTRYKK INNSATT FOR VARIABLER... 3 SETTE OPP FORMLER...
DetaljerEksamen R2, Våren 2009
Eksamen R, Våren 009 Del Tid: timer Hjelpemidler: Vanlige skrivesaker, passer, linjal med centimetermål og vinkelmåler er tillatt. Oppgave a) Deriver funksjonen f xlnx 3 uln x u x 3 u 6u g u g u f x g
Detaljer