Eksamen MAT1005 Matematikk 2P-Y Hausten 2013

Transkript

1 Oppgåve 1 (4 poeng) I ein klasse er det 20 elevar. Nedanfor ser du kor mange dagar kvar av elevane var borte frå skolen i løpet av eit skoleår Bestem gjennomsnitt og median for fråværet til elevane dette skoleåret. Når vi ordnar talet på elevar i stigande rekkjefølgje, er medianen den midterste, eller gjennomsnittet av dei to midterste. Vi ordnar dataene i stigande rekkjefølgje: Medianen: 2 Gjennomsnittet: Oppgåve 2 (1 poeng) Rekn ut og skriv svaret på standardform 8 3 3,2 10 4, ,2 4, ,8 10 1,28 10 Oppgåve 3 (1 poeng) Skriv så enkelt som mogleg (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) (2 ) 2 4

2 Oppgåve 4 (2 poeng) Per sette inn kroner i banken 1. januar Renta har vore 4,65 % per år. Set opp eit uttrykk som viser kor mykje pengar Per har fått i rente i løpet av dei fem åra frå 1. januar 2008 til 1. januar Ei årleg rente på 4,65 % gjev oss ein vekstfaktor på 1,0465. Ved å multiplisere med denne vekstfaktoren opphøgd i 5 vil vi få det beløpet han har på kontoen etter 5 år. Om vi så trekk frå dei han sette inn 1. januar 2008 finn vi kor mykje han har fått i renter i løpet av dei fem åra. Vi får då følgjande uttrykk: , (1,0465 1) Oppgåve 5 (6 poeng) Ifølgje ei undersøking kan eit 20 månader gamalt barn i gjennomsnitt 300 ord. Eit 50 månader gamalt barn kan i gjennomsnitt 2100 ord. a) Framstill opplysningane ovanfor som punkt i eit koordinatsystem med månader som eining langs x - aksen og ord som eining langs y - aksen. Trekk ei rett linje gjennom punkta. Linja i oppgåve a) kan brukast som modell for samanhengen mellom alderen på eit barn og kor mange ord barnet kan.

3 b) Bruk linja til å anslå kor mange ord eit 35 månader gamalt barn i gjennomsnitt kan. I følgje grafen vil eit 35 månedar gamalt barn i gjennomsnitt kunne 1200 ord c) Bestem eit matematisk uttrykk for modellen. Kommenter gyldigheitsområdet for modellen. Eit matematisk uttrykk for ei rett linje er alltid på forma y ax b, der a er stigningstalet og b er konstantleddet (skjeringspunktet med y-aksen).

4 Linja skjer y-aksen i Det vil seie at konstantleddet i uttrykket er y Finn så stigningstalet: a 60 x Får då følgjande matematiske uttrykk: y 60x 900, der y er talet på ord og x er alder i månader. I følgje modellen vil ikkje eit 15 månader gamalt barn kunne nokre ord, noko som ikkje stemmer for dei fleste barn i den alderen. Kor lenge etter 50 månader modellen gjeld, kan vi diskutere. Ein lærer seg i alle fall ikkje 60 nye ord i månaden resten av barndomen. Modellen er gyldig først og fremst i aldersgruppa månader, om ein då går ut frå at talet på ord aukar lineært i denne perioden. Oppgåve 6 (4 poeng) Per kastar ein stein. Funksjonen h gjeve ved 2 h( t) 5t 20t 1 viser kor mange meter over bakken steinen er etter t sekund. a) Kor høgt over bakken er steinen idet Per kastar han? Kor høgt over bakken er steinen etter 3 s? Konstantleddet er 1. Ballen er 1 meter over bakken idet Per kastar han. Må rekne ut h(3) 2 h (3) Ballen er 16 meter over bakken etter 3 s b) Vil steinen treffe bakken før det har gått 5 s? Grunngje svaret. 2 h (5) h(5) er negativ. Det vil seie at ballen no ville vore 24 meter under bakken. Ballen må difor ha treft bakken før 5 s

5 Oppgåve 7 (4 poeng) I ein klasse er det 15 jenter og 10 gutar. 5 av jentene og 5 av gutane drikk kaffi. a) Teikn av tabellen nedanfor, og fyll inn tal i dei kvite rutene. Jenter Gutar Sum Drikk kaffi Drikk ikkje kaffi Sum Vi vel tilfeldig ein elev frå klassen. b) Bestem sannsynet for at eleven drikk kaffi 10 2 P(drikk kaffi) 0, Sannsynet for at eleven drikk kaffi er 0,4 c) Ein elev frå klassen drikk kaffi. Bestem sannsynet for at eleven er ei jente. 5 1 P(jente drikk kaffi) 0, Sannsynet for at eleven er ei jente er 0,5 Oppgåve 8 (4 poeng) (Talsystem er ikkje lenger i læreplanen) a) Skriv tala 11, 22 og 44 i totalsystemet. b) Formuler ein regel for korleis vi doblar eit tall i totalsystemet. Tala 1213 og er skrivne i tretalsystemet. c) Kva tal i tretalsystemet er tre gonger så stort som talet 1213? Kva tal i tretalsystemet er ein tredjedel av talet ?

6 Oppgåve 1 (2 poeng) Ovanfor ser du kor mange utanlandske spelarar som spelte i den norske eliteserien kvart år i perioden Bestem gjennomsnitt og standardavvik for dette datamaterialet. Eg legg tala inn i eit rekneark i GeoGebra: Deretter merkjer eg alle tala, høgreklikkar, og vel Lag liste. Lista får namnet Liste1, og for å finne gjennomsnitt og standardavvik brukar eg kommandoane Gjennomsnitt[Liste1] og Standardavvik[Liste1] i CAS i GeoGebra: Gjennomsnittet er 87 og standardavviket er 24.

7 Oppgåve 2 (2 poeng) Elevar Går 4 Syklar 7 Køyrer privat bil 3 Tek buss 10 Tek tog 6 I tabellen ovanfor ser du korleis elevane i ein klasse kjem seg til og frå skolen. Bruk eit sektordiagram til å presentere datamaterialet frå tabellen. Antall elever 20 % 34 % 13 % 10 % 23 % Går Sykler Kjører privat bil Tar buss Tar tog Oppgåve 3 (4 poeng) I eit atomkraftverk blir radioaktive atomkjernar omdanna. I omdanninga forsvinn noko av massen frå atomkjernane, og energi blir frigjeve. Når massen m kilogram forsvinn frå atomkjernane, er den frigjevne energien, E Joule (J), gjeven ved

8 E m c Konstanten c har verdien 3, a) Kor mykje energi blir frigjeve når ein masse på 0,010 kg forsvinn frå atomkjernane? E ,010 (3,0 10 ) 1,0 10 9,0 10 9,0 10 9,0 10 Det blir frigjort 9, J 10 Eit norsk hushald har eit årleg energiforbruk på 9,0 10 J b) Kor mykje masse må forsvinne for å gje nok energi til eit norsk hushald i eit år? E m c E m c 2 m 2 9,0 10 9,0 10 (3,0 10 ) 9, , , kg masse må forsvinne for å gje nok energi til eit norsk hushald i eitt år Oppgåve 4 (10 poeng) Årstal Prosent mannlege røykjarar Tabellen ovanfor viser kor mange prosent av norske menn i alderen år som røykte kvar dag nokre år i perioden Set x = 0 i 1985, x = 5 i 1990 og så vidare, og bruk opplysningane i tabellen til å bestemme a) 1) ein lineær modell som viser korleis prosentdelen mannlege røykjarar har endra seg Eg skriv inn punkta 0,42, 5,37 osv. i GeoGebra.

9 Eg brukar så kommandoen RegLin[{A,B,C,D,E,F}] Eg får følgjande lineære modell: y 0,88x 42,3 2) ein eksponentiell modell som viser korleis prosentdelen mannlege røykjarar har endra seg Eg brukar kommandoen RegEksp[{A,B,C,D,E,F}]

10 Eg får følgjande modell: y 44,1 0,97 x b) Kor mange prosent av norske menn i alderen år vil vere røykjarar i 2020 ifølgje kvar av dei to modellane i oppgåve a)? Eg teiknar linja x = 35, og finn skjeringspunktet med denne linja og kvar av dei to modellane: Ifølgje den lineære modellen vil 11,5 % av norske menn vere røykjarar i Ifølgje den eksponentielle modellen vil 15,5 % av norske menn vere røykjarar i 2020.

11 c) Når vil prosentdelen mannlege røykjarar bli lågare enn 5 % ifølgje kvar av dei to modellane i oppgåve a)? Eg teiknar linja y = 5, og finn skjeringspunktet med denne linja og kvar av dei to modellane: Ifølgje den lineære modellen vil delen mannlege røykjarar bli lågare enn 5 % i løpet av 2027 Ifølgje den eksponentielle modellen vil delen mannlege røykjarar bli lågare enn 5 % i løpet av 2057 d) Kommenter gyldigheitsområdet for modellane. Det er alltid mange faktorar som påverkar slike tal, så det er usikkert kva tid ein skal bruke modellen til å gjere utrekningar langt inn i framtida. Den eksponentielle modellen ser ikkje ut til å passe så godt med dei seks verdiane ein har, men det er likevel kanskje mest rimeleg å tenkje seg at det alltid vil vere nokre røykjarar igjen, enn å tenkje seg at delen berre vil vere jamt søkkjande fram til det ikkje er nokre menn igjen som røykjer?

12 Oppgåve 5 (4 poeng) Tora er ein ivrig skiskyttar. Ho treffer blinken med 84 % av skota sine. I ein konkurranse skyt ho fem skot. a) Bestem sannsynet for at ho treffer blinken med dei fire første skota og bommar med det siste. P(treff) 0,84 P(bom) 1 0,84 0,16 4 P(treff,treff,treff,treff,bom) 0,84 0,16 0,08 Sannsynet for at Tora treffer blinken med dei fire første skota og bommar med det siste er 0,08 b) Bestem sannsynet for at ho treffer blinken med fire av skota. Det er fem måtar dette kan skje på: bom på første, bom på andre, bom på tredje, bom på fjerde eller bom på femte. 4 Sannsynet for kvar av desse hendingane er 0,84 0,16 0,08 Vi får då: 4 P(fire treff og ein bom) 5 0,84 0,16 0,4 Sannsynet for at Tora treffer blinken med fire av skota er 0,4 Oppgåve 6 (6 poeng) I ei undersøking vart 30 elevar spurde om kor lang tid dei bruker på å kome seg til og frå skolen kvar dag. Elevane oppgav tida i minutt. Resultatet av undersøkinga er vist nedanfor a) Lag eit klassedelt materiale av tala ovanfor. La den første klassen starte i 10, og la alle klassane ha klassebreidd 10.

13 Tid Talet på elevar [10,20 8 [20,30 6 [30,40 4 [40,50 1 [50,60 3 [60,70 3 [70,80 3 [80,90 2 b) Ta utgangspunkt i det klassedelte materialet i a), og bestem gjennomsnittet. Brukar rekneark i GeoGebra: Med formlar:

14 Gjennomsnittstida er 40,3 minutt c) Bruk det klassedelte materialet til å avgjere kor stor del av elevane som treng mindre enn 60 min på å komme seg til og frå skolen elevar treng mindre enn 60 minutt 22 0, ,3 % av elevane treng mindre enn 60 min på å kome seg til og frå skolen Oppgåve 7 (6 poeng) Funksjonen f gjeve ved 3 2 f( x) 9x 270x 1400 x 3000 viser kor mange personar som var logga på ei nettside x timar etter midnatt eit gitt døgn. a) Teikn grafen til f for 0 x 24. Teiknar grafen i GeoGebra:

15 b) Kor mykje var klokka då det var flest personar logga på nettsida? Kor mange personar var logga på nettsida då? Eg finn toppunktet grafisk i GeoGebra ved å skrive kommandoen Ekstremalpunkt[f(x)] Flest personar var logga på nettsida ca. kl. 17. Då var personar logga på.

16 c) Når var fleire enn personar logga på nettsida? Eg teiknar linja y=1500 i koordinatsystemet, og finn skjeringspunkta mellom denne og f ved å bruke kommandoen skjering mellom to objekt: 1,5 = 01:30 4,8 = ca. 04:50 23,7 = ca. 23:40 Fleire enn 1500 personar var logga på nettsida mellom midnatt og kl. 01:30, og mellom ca. kl. 04:50 og 23:40. d) Bestem den gjennomsnittlege vekstfarten til f for 6 x 16. Kva fortel dette svaret? Eg teiknar linjene x = 6 og x = 16 i koordinatsystemet, og finn skjeringspunktet mellom desse og grafen ved å bruke kommandoen skjering mellom to objekt. Så teiknar eg ei linje mellom desse to punkta ved å bruke kommandoen linje gjennom to punkt. Stigningstalet til denne linja er den gjennomsnittlege vekstfarta.

17 Den gjennomsnittlege vekstfarta er Dette fortel oss at i tidsrommet frå kl. 06:00 til 16:00 auka talet på personar som var logga på nettsida med 1048 personar i timen i snitt. Bileteliste Fotball: ( ) Teikningar og grafiske framstillingar: Utdanningsdirektoratet