Eksamen 2P MAT1015 Vår 2012 Løysing

Transkript

1 Eksamen 2P MAT1015 Vår 2012 Oppgåve 1 (14 poeng) a) 20 elevar blir spurde om kor mange datamaskiner dei har heime. Sjå tabellen ovanfor. Finn variasjonsbreidda, typetalet, medianen og gjennomsnittet. Variasjonsbreidda er differansen mellom største og minste verdi. I vår oppgåve blir variasjonsbreidda Typetalet er den verdien (talet på datamaskiner) som førekjem flest gonger. Typetalet er 4 Vi finn medianen ved å sortere talet på datamaskiner i stigande rekkjefølgje. Medianen er den midtarste verdien. I dette tilfellet er den midtarste plassen mellom plass nummer 10 og Vi finn medianen ved å ta gjennomsnittet av verdien som ligg på plass 10 og 11. Median er 3 4 3,5 2 Gjennomsnittet er , b) Rekn ut og skriv svaret på standardform 5,0 10 6, ,5 10 2,5 30, , Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 1 av 14

2 c) Ein bil kostar kroner. Verdien av bilen minkar med 15 % per år. Forklar kva for eit av reknestykka nedanfor som kan brukes for å finne kor mye bilen er verd etter 10 år. 1) ) ,15 3) , p 15 Vekstfaktoren er gitt ved 1. Vi får då ein vekstfaktor på 1 0, Verdien av bilen er kroner i starten og minkar med 15 % per år. Etter 1 år finn vi verdien av bilen slik, ,85. Etter 10 år er verdien av bilen gitt ved reknestykket ,85 Reknestykket nr. 3) er dermed det rette. 10 d) I Noreg er det ca. 5 millionar innbyggarar. Det norske oljefondet er på ca milliardar kroner. Tenk deg at oljefondet vart delt likt mellom innbyggarane i Noreg. Omtrent kor mye ville kvar innbyggar fått? Skriv svaret på standardform. Kvar innbyggar ville ha fått: , dvs kr e) Nedanfor ser du kor mange tekstmeldingar kvar av dei 20 elevane i ei 2P-gruppe sende i løpet av ei veke: ) Grupper datamaterialet i klasser med breidd 20. La den første klassen starte med 0. Tal meldingar. Klassebreidd Tal sende tekstmeldingar per elev I kva for ein klasse ligg medianen? Medianen blir gjennomsnittet av talet på meldingar på plass nummer 10 og 11. Frå tabellen kan vi lese at plass nummer 10 og 11 ligg i klassen ) Finn gjennomsnittet i det klassedelte materialet Gjennomsnittet: Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 2 av 14

3 Oppgåve 2 (4 poeng) I ramma til venstre ovanfor har vi skrive fire tal i titalsystemet. I ramma til høgre har vi skrive dei same tala i plassverdisystem med grunntal 2, 3, 4 eller 5. Teikn av rammene og kopl saman tala som har same verdi. Forklar korleis du kjem fram til svara. 120 i firetalsystemet gir: 100 i totalsystemet gir: 131 i femtalsystemet gir: 1011 i tretalsystemet gir: i titalsystemet i titalsystemet i titalsystemet i titalsystemet Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 3 av 14

4 Oppgåve 3 (6 poeng) Ovanfor har tre elevar skildra tre ulike situasjonar. Ta for deg kvar av dei tre situasjonane. a) Svar på spørsmåla til eleven. Stian: Forteneste ved sal av 5 armband blir: 50 kroner kroner Sondre: Halvparten av dropsa er 75 stk. Sondre et 5 drops per dag. 75 Han bruker 15 dagar på halvdelen av dropsa. 5 Sebastian: Lengda av eit tøystykke med ei breidd på 3,0 cm er 5,0 cm. Arealet av tøystykket blir dermed 3,0 cm 5,0 cm 15,0 cm b) Føreslå ein matematisk modell. Stian: Inntekta I x ved sal av x armband er I x 50 x Sondre: Talet på drops, D x, igjen etter x dagar er Sebastian: Arealet, 2 D x x 150 5x A x, av kvart tøystykke med breidd x og lengd 2,0 2,0 2 A x x x x x x 2,0 er c) Sei noko om modellen sine avgrensingar. Stian: Modellen er gyldig for heiltal større enn eller lik 0. Dessutan kan prisen på 50 kr per armband gå ned ved stor produksjon Sondre: Krukka med drops inneheld 150 drops. Sondre et 5 drops kvar dag. Modellen er berre gyldig mellom 0 og 30 dagar, då er krukka tom for drops! Sebastian: Breidda på tøystykket må vere større enn 0. Det tyder at lengda må vere meir enn 2,0 cm. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 4 av 14

5 Oppgåve 4 (8 poeng) Sofie og Christer skal kjøpe husvære og må låne pengar i banken. Banken vil berre gi lån på 80 % av kjøpesummen. Resten av pengane må dei skaffe sjølv, såkalt eigenkapital. Sofie og Christer har ein eigenkapital på kroner. a) Vis at dei kan låne kroner i banken. Vi lar x vere heile beløpet. Då må x 0,20 bli kroner. Det gir x kr Lånebeløp blir dermed kr kr kr Husværet kostar kroner, og vi reknar med at verdiauken vil vere på 7,0 % per år. b) Kva vil verdien av husværet vere etter eitt år? Kva vil verdien av husværet vere etter ti år? 7 Ein verdiauke på 7 % gir ein vekstfaktor på 1 1, Verdien av husværet etter eitt år blir kr 1, kr Verdien av husværet etter ti år blir kr 1, kr Tabellen nedanfor viser dei fem første åra av ein tilbakebetalingsplan med årlege terminar for eit lån på kroner. c) Kva er den årlege renta, i prosent, på dette lånet? Vi ser at Sofie og Christer må betale kroner i renter det første året av lånet kr på kroner. Årleg rente blir då 100 % 4,5% kr Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 5 av 14

6 Dersom restlånet på husværet kjem under 60 % av verdien av husværet, kan Sofie og Christer kontakte banken for å få ei lågare årleg rente på lånet. d) Kor lang tid tar det før Sofie og Christer kan få ei lågare årleg rente? Verdien av husværet ved kjøp er kroner og lånet er kroner. 60 % av verdien av husværet er då , kroner Vi ser at restlånet er større enn 60 % av verdien av husværet. Verdien av husværet etter eitt år er , kroner. Les frå tabellen at restlånet då er kroner. 60 % av verdien av husværet er då , kroner Vi ser at restlånet er større enn 60 % av verdien av husværet. 2 Verdien av husværet etter to år er , kroner. Les frå tabellen at restlånet då er kroner. 60 % av verdien av husværet er då , kroner Vi ser at restlånet er større enn 60 % av verdien av husværet. 3 Verdien av husværet etter tre år er , kroner. Les frå tabellen at restlånet då er kroner. 60 % av verdien av husværet er då , kroner Vi ser at restlånet er lågare enn 60 % av verdien av husværet. Etter tre år er restlånet kommet under 60 % av verdien av husværet I denne deloppgåva kunne vi med fordel ha brukt rekneark, sjå nedanfor. Bruk av formlar i reknearket: Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 6 av 14

7 Oppgåve 5 (6 poeng) Ein dag gjorde klasse 1A forsøk i naturfagstimen. Seks elevar slapp kvar si stålkule frå 1 m høgd og målte tida det tok før kula trefte bakken. Resultata ser du i tabellen nedanfor. a) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for måleresultata. Vi legg inn observasjonene i ei liste i GeoGebra og finn gjennomsnitt og standardavvik ved å bruke kommandoane Gjennomsnitt[Liste1] og Standardavvik[Liste1], sjå nedanfor. Klassen la merke til at elev nummer 5 målte ei større falltid enn dei andre. Mange meinte at dette resultatet måtte skuldast ein målefeil, og at det difor burde forkastast. Då gav fysikklærar Strøm dei denne regelen: b) Finn ut om måleresultatet til elev nummer 5 kan forkastast dersom vi bruker regelen ovanfor. Vi finn først verdien som ligg 1,4 standardavvik frå gjennomsnittet. 0,467 0,026 1,4 0,467 0,0364 0,5034. Måleresultatet til elev nummer 5 ligg utanfor denne verdien. Vi kan forkaste resultatet til nummer 5. c) Bestem gjennomsnittet og standardavviket for dei fem andre måleresultata. Korleis har gjennomsnittet og standardavvik endra seg? Verkar det rimeleg? Forklar. Gjentar same prosedyre som i oppgåve a). No med fem måleresultat. Gjennomsnittet er no 0,456 og standardavviket er 0,01. Gjennomsnittet går noko ned. Det verkar rimeleg. Standardavviket går klart ned. Det verkar også Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 7 av 14

8 rimeleg då observasjonen på 0,52 avveik kraftig frå dei andre observasjonane og dermed medverka sterkt til ein høgare varians og dermed høgare standardavvik. Oppgåve 6 (8 poeng) Tabellen nedanfor viser folketalet i verda nokre utvalte år. La x vere talet på år etter 1900 (i 1900 er x 0, i 1901 er x 1, og så vidare). a) Bruk regresjon til å vise at funksjonen f gitt ved f x 1,27 1,016 x kan brukast som modell for å beskrive korleis folketalet i verda har endra seg i åra Vi legg dataa inn i reknearket i GeoGebra og lagar liste med punkt. Bruker kommandoen for eksponentiell regresjon, RegEksp[Liste med punkt], i GeoGebra. Vi finn at funksjonen f gitt ved f x 1,27 1,016 x er ein god modell for utviklinga av folketalet i denne perioden. b) Kor mange prosent aukar folketalet med per år etter modellen i a)? Vi ser at modellen vår gir ein vekstfaktor på 1,016. Prosentfaktoren er dermed 0,016. Det tyder at folketalet aukar med 1,6 % per år. c) Når var folketalet 4,6 milliardar etter modellen i a)? Vi set f x 4,6 og løyser likninga ved å bruke CAS-verktøyet i GeoGebra. I 1981 passerte folketalet 4,6 milliardar etter denne modellen. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 8 av 14

9 d) Kor lang tid går det etter modellen i a) mellom kvar gong folketalet blir dobla? Korleis stemmer dette med tala i tabellen ovanfor? Modellen har ein vekstfaktor på 1,016. Ved å løyse likninga år ( x ) det vil gå før folketalet blir dobla. x 1,016 2 vil vi finne kor mange Det går ca. 44 år mellom kvar gong folketalet blir dobla etter modellen. Frå tabellen ser vi at folketalet blir dobla frå 1927 til 1974, dvs. 47 år. Vi ser også at folketalet blir dobla frå 1961 til 1999 altså i løpet av 38 år. Desse observasjonane stemmer sånn omtrent med tabellen. FN har utarbeidd prognosar som seier at folketalet i verda skal passere 8 milliardar i 2025 og 9 milliardar i e) Vurder om modellen i a) passar med desse prognosane. Vi bruker modellen og finn kva for eit folketal modellen vil gi i 2025 og i 2014, dvs. 125 år og 145 år etter år Vi finn at modellen gir eit anslag på ca. 9,2 milliardar i 2025 og 12,7 milliardar i Det verkar som modellen gir eit for høgt anslag for folketalet i 2025 og 2045 samanlikna med prognosen til FN. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 9 av 14

10 Oppgåve 7 (6 poeng) Tabellen nedanfor viser konsumprisindeksen i Noreg i perioden frå 1998 til a) Marker verdiane frå tabellen som punkt i eit koordinatsystem der x - aksen viser talet på år etter 1998 (1998 tilsvarer x 0 ) og y - aksen viser konsumprisindeksen. Bruk regresjon til å finne ei rett linje som passar med punkta i koordinatsystemet. Vi legg inn punkta i reknearket i GeoGebra og lagar liste med punkt ved å velje Lag liste med punkt. Vidare bruker vi kommandoen RegLin[Liste1] (lineær regresjon) i GeoGebra for å finne ei rett linje som passar til punkta. Vi finn at linja y 2,26x 100,46 passar godt med punkta. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 10 av 14

11 b) Kva vil konsumprisindeksen bli i 2030 etter modellen i a)? Vi bruker modellen vi fann i a) og finn at konsumprisindeksen i 2030, dvs. 32 år etter Modellen gir, y 2, ,46 172,78 172,8 Styresmaktene har sidan 2001 hatt som mål at konsumprisindeksen skal stige med 2,5 % per år. c) Kva vil konsumprisindeksen ha blitt i 2030 dersom han hadde stige med 2,5 % per år frå 2001 til 2030? Vi har at konsumprisindeksen var 108,7 i Ein prosentvis auke på 2,5 % per år gir ein vekstfaktor på 1,025. Frå 2001 til 2030 er det 29 år. Ved ein auke på 2,5 % i året vil konsumprisindeksen i 2030 bli ,7 1, ,4 Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 11 av 14

12 Oppgåve 8 (8 poeng) Ovanfor ser du linjediagramma som viser gjennomsnittstemperaturen per månad ved to kjende feriestader. a) Bruk diagramma og lag ein tabell som viser gjennomsnittstemperaturen per månad for kvar av dei to stadene Phuket og Antalya. Les av grafane og legg verdiane inn i reknearket i GeoGebra. Har valt å lese av temperaturen rett over namnet på månaden. Det ville ha vore like rett å lese av temperaturen midt mellom namna på månadene. Her må vi berre vere konsekvente. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 12 av 14

13 b) 1) Finn gjennomsnittstemperaturen per år for kvar av dei to stadene. Vi bruker tabellen frå oppgåve a) og lagar to lister i GeoGebra. Ei liste med temperaturane frå Phuket og ei liste med temperaturen frå Antalya. Vi finn gjennomsnittstemperaturane for dei to stadene ved å bruke kommandoen Gjennomsnitt[Liste med tall] i GeoGebra. Vi finn at gjennomsnittstemperaturen i Phuket er 28,1 grader og i Antalya 18,4 grader 2) Finn standardavviket for temperaturane i a) for kvar av dei to stadene. Vi finn standardavvik for dei to stadene ved å bruke kommandoen Standardavvik[Liste med tall] i GeoGebra. Vi finn at standardavvik i Phuket 0,7 og i Antalya 6,5 Jon påstår at det er godt samsvar mellom diagramma og resultata frå b). Asbjørn er samd, men meiner at diagramma lett kan tolkast feil. c) Forklar kvifor diagramma lett kan tolkast feil. Korleis kunne diagramma ha vore laga for å unngå dette? Vi ser at skalaen på y -aksen er ulik på dei to diagramma. Temperaturen i Phuket varierer svært lite samanlikna med temperaturen i Antalya. Ved første augekast kan det verke som temperaturen varierer like mye på dei to stadene. Vi kunne unngått dette ved å ha lik skala på y -aksen. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 13 av 14

14 d) Lag eitt nytt diagram som viser gjennomsnittstemperaturen på begge stadene månad for månad. Vi vel å presentere gjennomsnittstemperaturane i eit stolpediagram. Legg inn tabellen frå oppgåve a) i reknearket Excel og vel Sett inn og stolpediagram. Eksamen MAT1015 Matematikk 2P Våren 2012 Side 14 av 14