Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Va ren 2014

Transkript

1 Eksamen MAT 1011 Matematikk 1P Va ren 2014 Oppgåve 1 (1 poeng) Ei husteikning har målestokk 1 : 50 På teikninga er ei dør plassert 6 mm feil. Kor stor vil denne feilen bli i verkelegheita når huset blir bygd? 6 mm på kartet er 6 mm mm 30 cm i verkelegheita. Feilen vil bli 30 cm i verkelegheita når huset blir bygd. Oppgåve 2 (1 poeng) I ein tank er det 617 L olje. Du skal fylle oljen på kanner. I kvar kanne er det plass til 15,3 L. Gjer overslag og finn ut omtrent kor mange kanner du treng ,3 15 Eg treng om lag 40 kanner. Oppgåve 3 (3 poeng) a) Løys likninga ( x 4) ( x 4) x 4 3 x 6 4 x 2 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 1 av 20

2 b) Eit trapes har eit areal på 9 cm 2. Høgda i trapeset er 3 cm, og den eine av dei parallelle sidene er 4 cm. Bestem lengda av den andre av dei parallelle sidene. Formel for areal av trapes: ( a b ) h A 2 Vi får: ( x 4) Dette er likninga vi løyste i a), så vi veit at x = 2. Lengda av den andre av dei parallelle sidene er 2 cm. Oppgåve 4 (1 poeng) Det bur ca. 7,2 milliardar menneske på jorda. 15 % har ikkje tilgang til reint vatn. Omtrent kor mange menneske har ikkje tilgang til reint vatn? 7, , Omtrent 1,1 milliardar menneske har ikkje tilgang til reint vatn. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 2 av 20

3 Oppgåve 5 (2 poeng) Eit år hadde Marit ei nominell lønn på kroner. Dette tilsvarte ei reallønn på kroner. Bestem konsumprisindeksen dette året. nominell lønn Reallønn 100 konsumprisindeks Snur rundt på formelen: nominell lønn konsumprisindeks 100 reallønn konsumprisindeks konsumprisindeks 5 konsumprisindeks 120 Konsumprisindeksen dette året var 120. Oppgåve 6 (2 poeng) I ferdigblanda «Run Light» er forholdet mellom rein saft og vatn 1 : 9 Kor mange liter rein saft går med dersom 500 personar skal få 0,2 L ferdigblanda «Run Light» kvar? 0,2 L L Vi må lage 100 liter ferdigblanda saft. 1 del rein saft + 9 delar vatn = 10 delar ferdigblanda saft. Forholdet mellom rein saft og ferdigblanda saft er 1 : 10. For å lage 100 liter ferdig saft treng ein då 10 liter rein saft. Det går med 10 liter rein saft dersom 500 personar skal få 0,2 liter ferdigblanda saft kvar. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 3 av 20

4 Oppgåve 7 (4 poeng) Eit blomsterbed har form som eit parallellogram. Sjå skissa ovanfor. a) Vis ved rekning at høgda h i parallellogrammet er 2,0 m. Brukar Pytagoras setning: h 2,5 1,5 2 h 6,25 2,25 2 h 4,0 h 4,0 h 2 Høgda i parallellogrammet er 2,0 m. Du skal leggje et lag med 10 cm jord i heile blomsterbedet. Du kjøper jord i sekker. I kvar sekk er det 35 L. b) Kor mange sekker treng du? Finn først arealet av parallellogrammet: A 5,0m 2,0m 10m 2 Volumet av jorda i bedet blir då: V m 0,10m 1 m 1000 dm 1000 L ,6 35 Eg treng 29 sekkar. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 4 av 20

5 Oppgåve 8 (6 poeng) På eit treningssenter har dei to ulike prisavtalar. Avtale 1: Du betaler 160 kroner per månad. I tillegg betaler du 20 kroner kvar gong du trener. Avtale 2: Du betaler 400 kroner per månad. Da kan du trene så mykje du vil. Kari trener på treningssenteret. Ho har valt avtale 1. a) I januar trente ho 8 gonger. I februar trente ho 14 gonger. Kor mykje måtte ho betale for treninga kvar av desse to månadene? Januar: 160 kr 20 kr kr 160 kr 320 kr Februar: 160 kr 20 kr kr 280 kr 440 kr Kari måtte betale 320 kroner i januar og 440 kroner i februar. b) Teikn ein graf som viser samanhengen mellom kor mange gonger Kari trener ein månad, og prisen ho må betale denne månaden. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 5 av 20

6 c) Bruk grafen i oppgåve b) til å bestemme kor mykje ho må trene for at det skal lønne seg med avtale 2. Om ein trenar 12 gonger kostar det like mykje med begge avtalane. Trenar ein meir enn 12 gonger blir avtale 1 dyrare. Kari må trene 13 gonger eller meir for at avtale 2 skal lønne seg. La A vere talet på gonger du trener ein månad. La P vere prisen per trening. d) For kvar av avtalane 1 og 2 skal du avgjere om A og P er - proporsjonale storleikar - omvendt proporsjonale storleikar A 160 Avtale 1: P 20 A A Avtale 2: 400 P A To storleikar, x og y, er proporsjonale om ein kan skrive Ingen av dei to avtalane kan skrivast på denne måten. y k x, der k er en konstant. To storleikar, x og y, er omvendt proporsjonale om ein kan skrive konstant. Avtale 2 kan ein skrive på denne måten. y k, der k er ein x I avtale 1 er A og P korkje proporsjonale eller omvendt proporsjonale storleikar. I avtale 2 er A og P omvendt proporsjonale storleikar. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 6 av 20

7 Oppgåve 9 (4 poeng) I ein klasse er det ti jenter og åtte gutar. Ein dag har seks av jentene og tre av gutane gjort leksene. a) Systematiser opplysningane ovanfor i ein krysstabell. Gjort leksene Ikkje gjort leksene Sum Gutar Jenter Sum Vi vel tilfeldig to elevar som ikkje har gjort leksene. b) Bestem sannsynet for at dei to elevane er éin gut og éi jente. Vi kan trekkje guten først, og så jenta, eller omvendt P (gut og jente) Sannsynet for at dei to elevane er éin gut og éi jente er 5 9 Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 7 av 20

8 Oppgåve 1 (5 poeng) I 1990 kosta 600 g kjøtdeig 31 kroner. I 2012 kosta 350 g kjøtdeig 24 kroner. a) Kor mykje kosta eitt kilogram kjøtdeig i 1990? 1 kg = 1000 g Går «vegen om 1»: 31 kr ,7 kr 600 Eitt kilogram kjøtdeig kosta 51,7 kroner i Kor mykje kosta eitt kilogram kjøtdeig i 2012? Går «vegen om 1»: 24 kr ,6 kr 350 Eitt kilogram kjøtdeig kosta 68,6 kroner i b) Kor mange prosent auka prisen per kilogram frå 1990 til 2012? (68,6 51,7) ,7 51,7 Prisen per kilogram auka med 32,7 %. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 8 av 20

9 I 1990 var konsumprisindeksen 83,7. I 2012 var konsumprisindeksen 131,4. c) Kva ville eitt kilogram kjøtdeig ha kosta i 2012 dersom prisutviklinga hadde følgt konsumprisindeksen frå 1990 til 2012? pris i 2012 pris i 1990 indeks i 2012 indeks i 1990 x 51,7 131,4 83,7 Løyser likninga i CAS i GeoGebra: Eitt kilogram kjøtdeig ville ha kosta 81,2 kroner i 2012 om prisutviklinga hadde følgd konsumprisindeksen. Oppgåve 2 (4 poeng) I ei skål er det åtte kvite og seks raude kuler. Du skal trekkje tre kuler tilfeldig. a) Systematiser dei ulike utfalla i eit valtre. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 9 av 20

10 b) Bestem sannsynet for at du trekkjer to kvite og éi raud kule. Marker korleis du finn løysinga i valtreet i oppgåve a). Det er tre måtar dette kan skje på: Raud, kvit, kvit Kvit, raud, kvit Kvit, kvit, raud P (to kvite og ein raud) Reknar i CAS i GeoGebra: Sannsynet for å trekke to kvite og éi raud kule er 46,2 %. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 10 av 20

11 Oppgåve 3 (7 poeng) Vi bruker funksjonen f gitt ved 3 2 f( x) 0,002x 0,06x 0,2x 2, 0 x 24 som ein modell for vindstyrken f(x) m/s ved ein målestasjon x timer etter midnatt 18. mai a) Teikn grafen til f. Teiknar i GeoGebra: b) kva var vindstyrken klokka ifølgje modellen? 45 0,75 60 Kl. 09:45 er x = 9,75 Eg teiknar linja x = 9,75 (raud linje), og finn skjeringspunktet mellom denne og grafen ved å bruke kommandoen «skjering mellom to objekt»: Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 11 av 20

12 Ifølgje modellen var vindstyrken kl. 09:45 på 3,9 m/s. c) Når var vindstyrken minst, og når var han størst, ifølgje modellen? Finn topp- og botnpunkt ved å skrive inn kommandoen Ekstremalpunkt[f(x)] i innskrivingsfeltet: 0, ,4 50 0, ,6 10 Ifølgje modellen var vindstyrken minst om lag kl. 01:50 og størst om lag kl. 18:10. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 12 av 20

13 Tabellen nedanfor viser samanhengen mellom vindstyrke og nemning. d) I kva tidsrom i løpet av dette døgnet var det lett bris ifølgje modellen? Vindstyrke (m/s) Nemning Kjenneteikn 0,0 0,2 Stille Røyken stig rett opp. 0,3 1,5 Flau vind 1,6 3,3 Svak vind 3,4 5,4 Lett bris 5,5 7,9 Laber bris 8,0 10,7 Frisk bris Ein kan sjå vindretninga av måten røyken driv på. Ein kan føle vinden. Blada på trea rører seg, vinden kan løfte små vimplar. Lauv og småkvistar rører seg. Vinden strekkjer større flagg og vimplar. Vinden løftar støv og lause papir, rører på kvistar og smågreiner og strekkjer større flagg og vimplar. Småtre med lauv begynner å svaie. På vatn begynner småbølgjene å toppe seg. Eg teiknar linjene y = 3,4 og y = 5,4 (grøne linjer) og finn skjeringspunkta mellom desse og grafen ved å bruke kommandoen «skjering mellom to objekt»: Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 13 av 20

14 0, ,8 0, ,2 Ifølgje modellen var det lett bris mellom om lag kl. 08:30 og kl. 13:45. Oppgåve 4 (4 poeng) Når du skal arbeide i stige, er det viktig at du set stigen slik at han står stødig. Hans og Grete bruker «4 : 11 -regelen» når dei set opp stigar. 4 : 11 regelen Forholdet mellom kor langt frå veggen ein stige står (AB), og kor høgt opp på veggen stigen når (AC), skal vere 4 :11. Sjå skissa til venstre. a) Hans set opp ein stige slik at han står 80 cm frå ein vegg. Kor høgt opp på veggen vil stigen nå? h h h cm = 2,2 m Stigen vil nå 2,2 meter opp på veggen. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 14 av 20

15 b) Grete har ein stige på 5 m. Kor langt opp på veggen vil stigen nå? Finn først ut kor lang Hans sin stige er. Brukar Pytagoras setning, og reknar i CAS i GeoGebra: Tilhøvet mellom lengda av Grete sin stige og lengda av Hans sin stige må vere det same som tilhøvet mellom kor langt Grete sin stige når opp på veggen (H) og kor langt Hans sin stige når opp på veggen: H 5 2,2 2,341 Løyser likninga i CAS i GeoGebra: Grete sin stige vil nå 4,7 meter opp på veggen. Oppgåve 5 (5 poeng) Prisen på ei vare er sett opp 10 % fem gonger. Opphavleg kosta vara 246 kroner. a) Kor mykje kostar vara no? Vekstfaktoren til 10 % auke er 1,10. Brukar CAS i GeoGebra: Varen kostar no 396 kroner. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 15 av 20

16 b) Kor mange prosent er prisen totalt sett opp? Brukar CAS i GeoGebra: Prisen er totalt sett opp 61,1 %. Prisen på ei anna vare er også sett opp 10 % fem gonger. No kostar vara 550 kroner. c) Kva kosta denne vara opphavleg? 5 Eg let x vere den opphavlege prisen, og får då likninga x 1, Løyser likninga i CAS i GeoGebra: Denne vara kosta opphavleg 342 kroner. Oppgåve 6 (5 poeng) Ellinor er student. Ho arbeider ved sida av studia. I 2013 arbeidde ho 346 timar. Ho hadde ei timelønn på 135 kroner. Ellinor hadde frikort i Beløpsgrensa utan skattetrekk var kroner. Ho leverte ikkje nytt skattekort til arbeidsgivaren da fribeløpet var brukt opp, og det blei derfor trekt 50 % skatt av inntekta som oversteig fribeløpet. a) Kor mykje betalte Ellinor i skatt i 2013? Inntekt = 135 kr kr Inntekt over fribeløpet = kr kr 6760 kr Skatt = 6760 kr 0, kr Ellinor betalte 3380 kroner i skatt i Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 16 av 20

17 b) Nedanfor ser du kor mykje Ellinor fekk utbetalt frå Lånekassa i 2013, og kva utgifter ho hadde. Utbetalingar frå Lånekassa per månad Juni og juli 0 kroner August og januar kroner Alle andre månader kroner Utgifter per månad Hybel kroner Mat og drikke kroner Klede og sko kroner Andre utgifter kroner I tillegg brukte ho kroner på reiser i løpet av året. Set opp ei oversikt som viser dei totale inntektene og utgiftene Ellinor hadde i Løyst i Excel: Med formlar: Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 17 av 20

18 Oppgåve 7 (6 poeng) Eva lagar blomsterpotter. Blomsterpottene har form som sylindrar. Eva følgjer denne regelen når ho lagar pottene: «Summen av omkrinsen og høgda skal være 50 cm.» Eva vil lage ei blomsterpotte som er 15 cm høg. a) Bestem volumet av denne blomsterpotta dersom Eva følgjer regelen ovanfor. Omkrins av sirkel = 2 r Regelen til Eva gjev oss at: 2 r h 50 Høgda er 15 cm. Finn radien ved hjelp av CAS i GeoGebra: Volum av sylinder = rh 2 Reknar i CAS i GeoGebra: V ,0 cm 1,462 dm 1,462 L Volumet av sylinderen er 1,5 liter. Funksjonane f og g er gitt ved f( x) 50 2 x 2 g( x) x (50 2 x) b) Forklar kva dei to funksjonane uttrykkjer om samanhengen mellom radiusen, høgda og volumet til blomsterpottene. I den første funksjonen er x radien i botnen av potta og f(x) er høgda av potta, ettersom 2πx er omkrinsen av botnen, og summen av denne og høgda skulle vere 50. I den andre funksjonen er x radien i botnen av potta og g(x) er volumet av potta, ettersom πr 2 h er volumet av ein sylinder, og h er uttrykt med 50-2πx Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 18 av 20

19 Ovanfor har vi teikna grafane til funksjonane f og g. På kvar graf har vi markert to punkt. c) Kva kan du seie om blomsterpottene som blir laga etter regelen ovanfor, ut frå grafane og dei markerte punkta? Grafen til f viser at høgda blir mindre di større radius i potta er. Punktet A fortel oss at høgda av potta er 5,3 cm når radius er 16,6 cm, og punktet B fortel oss at radien ikkje kan vere større enn 8,0 cm. Grafen til g viser at det maksimale volumet potta kan ha er 1473,7cm 3, og at ein får dette volumet om ein lagar ei potte med ein radius på 5,3cm (punkt C). Punktet viser det same som punktet B, nemleg at radien ikkje kan vere større enn 8,0 cm. Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 19 av 20

20 Bileteliste Vindstyrke: ( ) Teikningar, grafar og figurar i oppgåveteksten: Utdanningsdirektoratet Eksamen MAT1011 Matematikk 1P Våren 2014 løysing Side 20 av 20