Ikke lineære likninger
|
|
- Mathias Ask
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Ikke lineære likninger Opp til nå har vi studert lineære likninger og lineære likningsystemer. 1/19 Ax = b Ax b = 0. I en dimensjon, lineære likninger kan alltid løses ved hjelp av formler: ax + b = 0 x = b/a, a 0. Eksempler: 3x + 2 = 5, lineær, vi kan bruke en formel, x = (5 2)/3 = 1. ax 2 + bx + c = 0, ikke lineær, men vi kan bruke formel, x = b ± b 2 4ac 2a e x = 2, ikke lineær, bruk formel: x = ln 2 e x = x, ikke lineær, formel????
2 Det finnes en rekke ikke lineære likninger som ikke kan løses med formler. x 2 = 4 sin(x) ln(x) = x /19 Som vanlig, omskiver man problemet som f(x) = 0 og prøver man å finne en x slik at f(x ) = 0 x kalles roten av f = 0, null av f Problem formulasjon: Gitt en funksjon f : R R, finn x (én eller flere) slik at f(x ) = 0
3 Rotene til f(x) = 0 er de intersesjoner av funksjonen y = f(x) med den x-aksen (abscissae aksen). y=f(x) 3/19 I slike tilfeller, har man en ide av hvor omtrent roten x er, kjører man en numerisk metode som approksimerer den. MATLAB eksempel
4 Om eksistens av røtter af f(x) = 0 Det viser seg at eksistens av røttene til f(x) = 0 for ikke lineære funksjoner f er mer komplisert enn for lineære likningssysytemer: Lineære likningssystemer Ikke lineære likninger 4/19 Ax = b det(a) 0: en løsning det(a) = 0: ingen eller uendelige løsninger f(x) = 0 e x + 1 = 0, ingen rot e x x = 0, kun en rot x 2 4 sin(x), to røtter n-grad polynom, n røtter sin(x) = 0 uendelige røtter.
5 f(x) = 0 Selv om man har ikke globale kriteria (som for lineære likningssystemer) det finnes også en del lokale kriteria som garantere eksistens av (minst) en løsning. En viktig resultat er: 5/19 Teorem (middelverdi): Hvis f er en kontinuelle funksjon i [a, b], og min f(x) y max f(x), da finnes det minst en x [a,b] x [a,b] x [a, b] slik at: f(x ) = y. y* a x* x* 1 2 b y=f(x)
6 Lokaliserig av røttene fil f skjer når man velger y = 0. Korollar: Hvis f er en kontinuell funksjon i [a, b] slik at f(a)f(b) < 0 (skifter fortegn), da har f minst en rot x i [a, b]. 6/19 a b Intervallen [a, b] kalles vindu, brakett.
7 Om degenererte røtter Hvis f er deriverbare, røtter x slik at kalles degenererte røtter kalles simple røtter. f (x ) = 0 f (x ) 0 7/19 Generelt, om kalles x rot av multiplisitet m. f(x ) = f (x ) = = f (m 1) (x ) = 0, f (m) (x ) 0,
8 simpel rot multippel rot 8/19
9 Multiple røtter er vanskeligere å approksimeres enn simple røtter. For eksempel: forrige korollar kan feile i å finne en passelig brakett 9/19 x 2 2x + 1 = 0 ingen brakett x 3 3x 2 + 3x 1 = 0 mulig å finne et brakett som oftest, metoder er kan ikke takle for multiple røtter. Hvis de klarer det, er de veldig trege.
10 Sensitivitet og kondisjonering Husk om kondisjonering: Kond = rel. output feil rel. input feil = x x x f(x ) f(x) f(x ) 10/19 For problemet f(x) = 0 denne er ikke vel definert, på grunn av f(x ) = 0 i denominatoren. Da bruker man en annen definisjon (med absolutt feil istedet av relativ feil): Kond = abs. output feil abs. input feil = x x f(x ) f(x) Merk at for x nær x, so gir f(x) = f(x ) + f (x )(x x ) +, Kond x x (x x )f (x ) = 1 f (x ).
11 Kondisjonering er avhenging av f (x ). Kond = 1 f (x ). har vi f (x ) veldig liten, er kondisjonering dårlig. 11/19 Da kan små feiler i input til returnere store feiler i output. merk at er f (x ) = 0 (x er en multippel rot), da er kondisjon til problemet Kond =. Noen algoritmer klarer ikke å takle multiple røtter.
12 Konvergens En av de største forskjell mellom lineære og ikke lineære likninger er at de første kan alltid løses i en endelig antall steg, mens de andre kan ikke. 12/19 Ax = b Direkte metoder, iterative metoder vs. f(x) = 0 Iterative metoder Iterative metoder starter med en initielle approksimasjon x 0 til x og genererer en følge {x k } slik at lim x k = x. k Man stopper iterasjoner når x k er nært nok x.
13 Avstanden e k = x k x kalles feil ved iterasjon k. Noen metoder genererer ikke en singel verdi x k men en interval, som blir mindre og mindre det mer vi iterere. I så fall, setter man e k = lengden av intervallen i iterasjon k. 13/19 Gitt en iterativ metode for f(x) = 0, sier vi at metode konvergerer med rate r hvis det finnes en konstant C > 0 e k+1 lim = C. k e k r r = 1: konvergens er lineært Merk at C < 1 ellers metoden konvergerer ikke! r > 1: konvergens er superlineært C > 0 kan være hva som helst I tilleg: r = 2: kvadratisk r = 3: kubisk o.s.v.
14 En annen interpretasjon av Lineær konvergens: e k+1 C e k, derfor hvis x k har t korrekte sifre, e k = x k x 10 t, e k+1 = x k+1 x C 10 t 14/19 og det vil si at antall korrekte sifre øker fra 10 t til 10 t+log 10 C. (Merk 0 < C < 1 log 10 C < 0). Kvadratisk konvergens: e k+1 C e k 2, Hvis e k 10 t, da e k+1 C 10 2t = 10 2t+log 10 C og antall signifikante sifre er dobblet. For en generisk r: e k+1 C 10 rt = 10 rt+log 10 C som gir omtrent r nye signifikante siffre per iterasjon.
15 Når stopper man iterasjoner? Konvergens resultater sier om en iterative metode konvergerer eller ikke og i hvilket konvergens rate, men de sier ingenting om når skal man stoppe å iterere. 15/19 Vi sier at man stopper når e k = x k x < T OL, hvor T OL er en bestemt toleranse over feilen MEN x ER UKJENT! En mulig alternative er å stoppe når den relative feil over x k er liten nok: x k+1 x k x k < T OL. (1) Man burde samtidig kontrollere at f(x k ) 0 (2) fordi, er problemet dårlig kondisjonert, kun (1) eller (2) være urimelig store i forhold til feil toleransen T OL. Vanligvis, er det veldig vanskelig å ha stoppe-mekanismer som holder for alle metoder. Derfor må man vurdere stoppe-mekanisme fra problem til problem.
16 Biseksjonsmetoden Den første og enkleste iterativ metode for ikke lineære likninger er den så kalt biseksjonsmetode. 16/19 Gitt en intervall [a, b] hvor f skifter fortegn, vi halverer [a, b] = [a, b + a 2 ] [b + a, b] og tar som 2 ny vindu den halvparten hvor f skifter fortegn: m=b a 2 a b
17 a m=b a 2 b 17/19 Algoritme: Biseksjonsmetode while ((b a) > T OL) m = a + b a % finner midtpunkt 2 if sign(f(a)) = sign(f(m)) a = m else b = m end end MATLAB programme
18 I dag: ikke lineære likninger (bare 1D), kap.5, opp til seksjon Neste gang: fortsetter med biseksjonsmetode, fiks punkt iterasjoner og andre metoder for f(x) = 0. 18/19
Biseksjonsmetoden. biseksjonsmetode. Den første og enkleste iterativ metode for ikke lineære likninger er den så kalt
Biseksjonsmetoden Den første og enkleste iterativ metode for ikke lineære likninger er den så kalt biseksjonsmetode. Gitt en intervall [a, b] hvor f skifter fortegn, vi halverer [a, b] = [a, b + a 2 ]
DetaljerNewtons metode. Gitt f(x) slik at f(a)f(b) < 0, Newtons metode genererer en følge {x k }, hvor. (Newton Raphson) x k+1 = x k f(x k) f (x k )
Newtons metode 1/15 Gitt f(x) slik at f(a)f(b) < 0, Newtons metode genererer en følge {x k }, hvor x k+1 = x k f(x k) f (x k ) x 0 [a, b] gitt. (Newton Raphson) y=f(x) x k+1 x k Konvergens: Iterasjons
DetaljerSensitivitet og kondisjonering
Sensitivitet og kondisjonering Gitt en lineær likningssystem Ax = b vi skal studere effekten av perturbasjoner av input data: 1/19 på output data: Man kan A, b x perturbere bare b perturbere b og A samtidig.
Detaljer6 Numeriske likningsløsere TMA4125 våren 2019
6 Numeriske likningsløsere TMA415 våren 019 Andregradslikningen kan vi løse med formelen a + b + c 0 b ± b 4ac a Men i mange anvendelser dukker det opp likninger ikke kan løses analytisk Et klassisk eksempel
DetaljerForelesning 1 I162A-I162. Antonella Zanna. Institutt for informatikk (rom 4143)
I162A-I162 http://realfag.uib.no/fag/2002v/i162 1/18 Forelesning 1 Antonella Zanna Institutt for informatikk (rom 4143) email: anto@ii.uib.no Beregningsvitenskap Vårt hverdagsliv er blitt veldig teknologisk:
DetaljerForelesning 1 I162A-I162. Antonella Zanna. Institutt for informatikk (rom 4143)
I162A-I162 http://realfag.uib.no/fag/2002v/i162 1/18 Forelesning 1 Antonella Zanna Institutt for informatikk (rom 4143) email: anto@ii.uib.no Beregningsvitenskap 2/18 Beregningsvitenskap Vårt hverdagsliv
DetaljerKvadratur. I(f) = f(x)dx.
Kvdrtur Når mn snkker om numerisk kvdrtur er mn interessert i pproksimere integrler v funksjoner (som representerer reler, volumer, densiteter, o.s.v.) I(f) = f(x)dx. Det klles for kvdrtur fordi i gmle
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 11. november 2011 Kapittel 8.8. Taylorrekker og Maclaurinrekker 3 Taylor-polynomer Definisjon (Taylorpolynomet
DetaljerLøsningsforslag. Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3.
Innlevering i BYFE/EMFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 14. september klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 a) ln a ln 3 a+ln 4 a = ln a 1/2 ln a 1/3 +ln a 1/4 = 1 2 ln a 1 3
DetaljerLøsning ved iterasjon
Løsning ved iterasjon Arne Morten Kvarving Department of Mathematical Sciences Norwegian University of Science and Technology 17. September 2009 Problem Gitt problemet f (x) = 0 for en eller annen funksjon
DetaljerPrøve i Matte 1000 ELFE KJFE MAFE 1000 Dato: 02. desember 2015 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark
Prøve i Matte ELFE KJFE MAFE Dato: 2. desember 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 3 5 og B = [ 5 7 2 ] Regn
DetaljerFlere anvendelser av derivasjon
Flere anvendelser av derivasjon Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway September 30, 2014 Forelesning 17.09.2014 Fikspunkt-iterasjon Newtons metode Metoder for å finne nullpunkter av funksjoner:
DetaljerOpp til nå har problemstilling vart: Gitt en funksjon f, finn for hvilket verdier av de variabler f tar en bestemt verdi. Ax = b, f(x) = 0.
Interpolasjon Opp til nå har problemstilling vart: Gitt en funksjon f, finn for hvilket verdier av de variabler f tar en bestemt verdi. 1/9 Ax = b, f(x) = 0. Ved interpolasjon, er problemet det motsatte:
DetaljerPotensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100
Potensrekker Forelesning i Matematikk 1 TMA4100 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 1. november 2011 Kapittel 8.7. Potensrekker (fra konvergens av) 3 Konvergens av potensrekker Eksempel For
DetaljerNotat 4 - ST februar 2005
Notat 4 - ST1301 8. februar 2005 1 While- og repeat-løkker Vi har tidligere sett på bruk av før-løkker. Slike løkker er hensiktsmessig å bruke når vi skal gjenta visse beregninger (løkke-kroppen) et antall
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 11 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 12. oktober 26. Tid for eksamen: 9: 11:. Oppgavesettet er på 8 sider.
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 7 Løsningsforslag Oppgave 1 Halveringsmetoden igjen a) I skriptet vårt fra leksjon 6 skal altså linje 16 erstattes med while abs(b-a)>1e-3. Når vi gjør
DetaljerEKSAMEN I EMNET Løsning: Mat Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 2015 Tid: 09:00 14:00
Universitetet i Bergen Det matematisk naturvitenskapelige fakultet Matematisk institutt Side 1 av 7 BOKMÅL EKSAMEN I EMNET Mat 111 - Grunnkurs i Matematikk I Mandag 14. desember 15 Tid: 9: 14: Tillatte
DetaljerFlyttalls aritmetikk. I datamaskinen er alle tall representert i flyttalls aritmetikk.
Flyttalls aritmetikk I datamaskinen er alle tall representert i flyttalls aritmetikk. 1/21 Det betyr at desimal punktet ( float, floating point arithmetic på engelsk) beveger seg slik at store og små tall
Detaljer3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.
3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Summer og for-løkker a) 10 i=1 i 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + 5 2 + 6 2 + 7 2 + 8 2 + 9 2 + 10 2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36
DetaljerDerivasjon Forelesning i Matematikk 1 TMA4100. Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 2011
Derivasjon Forelesning i Matematikk TMA400 Hans Jakob Rivertz Institutt for matematiske fag 2. september 20 Kapittel 3.7. Derivasjon av inverse funksjoner 3 Derivasjon av inverse til deriverbare funksjoner
DetaljerTaylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a
Taylorpolynom (4.8) f en funksjon a et punkt i definisjonsmengden til f f (minst) n ganger deriverbar i a Da er Taylorpolynomet til f om a P n (x) = f (a) + f (a)(x a) + f (a) 2 (x a)2 + + f (n) (a) (x
DetaljerMAT jan jan feb MAT Våren 2010
MAT 1012 Våren 2010 Mandag 25. januar 2010 Forelesning Vi fortsetter med å se på det bestemte integralet, bl.a. på hvordan vi kan bruke numeriske beregninger til å bestemme verdien når vi ikke nødvendigvis
DetaljerSemesteroppgave. TMA4215 Numerisk Matematikk Gruppe nr. 6 Kristian Stormark og Bjørn E. Vesterdal. Høst 2003
Semesteroppgave TMA4215 Numerisk Matematikk Gruppe nr. 6 Kristian Stormark og Bjørn E. Vesterdal Høst 2003 Sammendrag Fra datasettet med termodynamiske egenskaper for vann ved konstant temperatur 25 C
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
Detaljerx n+1 rx n = 0. (2.2)
Kapittel 2 Første ordens lineære differenslikninger 2.1 Homogene likninger Et av de enkleste eksemplene på en følge fås ved å starte med et tall og for hvert nytt ledd multiplisere det forrige leddet med
DetaljerMAT 100a - LAB 3. Vi skal først illustrerere hvordan Newtons metode kan brukes til å approksimere n-te roten av et positivt tall.
MAT 100a - LAB 3 I denne øvelsen skal vi bruke Maple til å illustrere noen anvendelser av derivasjon, først og fremst Newtons metode til å løse likninger og lokalisering av min. og max. punkter. Vi skal
DetaljerTaylor- og Maclaurin-rekker
Taylor- og Maclaurin-rekker Forelest: Okt, 004 Potensrekker er funksjoner Vi så at noen funksjoner vi kjenner på andre måter kan skrives som funksjoner, for eksempel: = + t + t + t 3 + + t n + t e x =
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 26./28. november 2013
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 26./28. november 2013 Forelesningene 26./28. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerMA2501, Vårsemestre 2019, Numeriske metoder for lineære systemer
MA5 Vårsemestre 9 Numeriske metoder for lineære systemer Introduksjon Vi vil approksimere løsningen av lineære systemet av n ligningene og n ukjente: a x + a x + + a n x n b a x + a x + + a n x n b ()
DetaljerDet matematisk-naturvitenskapelige fakultet
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i IN 227 Numerisk lineær algebra Eksamensdag: 5. desember 2001 Tid for eksamen: 9.00 15.00 Oppgavesettet er på 5 sider. Vedlegg:
DetaljerFinne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017
Finne løsninger på ligninger numerisk: Newton-Raphson metoden og Fikspunktiterasjon MAT111, høsten 2017 Andreas Leopold Knutsen 4. oktober 2017 Problem og hovedidé Problem: Finn løsning(er) r på en ligning
DetaljerTangenten svarer til lineær approksimasjon av funksjonen. Likningen for tangenten finnes derfor fra 1. ordens Taylorutvikling:
Newton' s metode Teori Bisektormetoden og sekantmetoden benytter begge skjæringspunkter mellom x - aksen og approksimerende linjer til funksjonen f som tilnærmede verdier til løsningen av likningen f (x)
DetaljerGenerell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. 1 En kort oppsummering Adaptiv filtrering 2. 3 Prediksjon 4
Stavanger, 13. august 2013 Det teknisknaturvitenskapelige fakultet ELE500 Signalbehandling, 2013. Generell informasjon om faget er tilgjengelig fra It s learning. Innhold 1 En kort oppsummering. 1 2 Adaptiv
Detaljer6.5 Minste kvadraters problemer
6.5 Minste kvadraters problemer I mange anvendte situasjoner møter man lineære likningssystemer som er inkonsistente, dvs. uten løsninger, samtidig som man gjerne skulle ha funnet en løsning. Hva gjør
DetaljerNumerisk løsning av ikke-lineære ligninger
Numerisk løsning av ikke-lineære ligninger Anne Kværnø February 26, 2018 1 Problemstilling Vi vil først se på numeriske teknikker for å løse skalare ligninger (en ligning, en ukjent), for eksempel eller
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
DetaljerLøsningsforslag. Oppgave 1 Gitt matrisene ] [ og C = A = 4 1 B = 2 1 3
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 27. mai 26 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene [ 2 A 4 B [ 2 og C [ 2
DetaljerLineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
DetaljerFølger og rekker. Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway. November 10, 2014
Department of Mathematical Sciences, NTNU, Norway November 10, 2014 Forelesning (03.01.2014): kap 9.1 og 9.2 Beskrivelse av følger eksempler og definisjon Egenskaper med følger Grenseverdi for følger (og
DetaljerMA1102 Grunnkurs i analyse II Vår 2019
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag MA112 Grunnkurs i analyse II Vår 219 8.4.1 Vi skal finne lengden til kurven x = 3t 2, y = 2t 3 der t 1. Som boka beskriver på
DetaljerLøsningsforslag eksamen 18/ MA1102
Løsningsforslag eksamen 8/5 009 MA0. Dette er en alternerende rekke, der leddene i størrelse går monotont mot null, så alternerenderekketesten gir oss konvergens. (Vi kan også vise konvergens ved å vise
DetaljerUNIVERSITETET I BERGEN
Bokmål UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet. Løsningsforslag til Eksamen i emnet MAT - Grunnkurs i matematikk I Torsdag 22. mai 28, kl. 9-4. Dette er kun et løsningsforslag.
Detaljer6.4 Gram-Schmidt prosessen
6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig
DetaljerHøgskolen i Oslo og Akershus. a) Finn den deriverte av disse funksjonene: b) Finn disse ubestemte integralene: c) Finn disse bestemte integralene:
Oppgave 1 a) Finn den deriverte av disse funksjonene: i) f(x) = x x 2 + 1 ii) g(x) = ln x sin x x 2 b) Finn disse ubestemte integralene: i) (2x + ) dx ii) 6 cos(x) sin 5 (x) dx c) Finn disse bestemte integralene:
DetaljerLøsningsforslag: Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i Matematikk I
Universitetet i Bergen Matematisk institutt Bergen, 8. desember 006. Bokmål Løsningsforslag: Eksamen i MAT - Grunnkurs i Matematikk I Mandag desember 8, 006, kl. 09-4. Oppgave Gitt funksjonen f(x) = ln(
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1100, uka 15/11-19/11
Fasit til utvalgte oppgaver MAT uka 5/-9/ Øyvind Ryan oyvindry@ifi.uio.no) November Oppgave 9.. Vi skriver 5x 5 x )x ) A x B x og ser at vi må løse likningene Ax ) Bx ) x )x ) A B 5 A B 5. A B)x A B x
Detaljerx 3 x x3 x 0 3! x2 + O(x 7 ) = lim 1 = lim Denne oppgaven kan også løses ved hjelp av l Hôpitals regel, men denne må da anvendes tre ganger.
TMA400 Høst 0 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4..4 Vi bruker Taylor-polynom til å løse denne oppgaven. Taylor-polynomet Maclaurinpolynomet til sin x om x =
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 1100 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 1. oktober 2005. Tid for eksamen: 9:00 11:00. Oppgavesettet er på
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 17./18. november 2014
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 17./18. november 2014 Forelesningene 17./18. november Disse forelesningene er et forsøk på å se de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 delvis
DetaljerMAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016
MAT1110 - Oblig 1 Halvard Sutterud 22. september 2016 Sammendrag I dette prosjektet skal vi se på anvendelsen av lineær algebra til å generere rangeringer av nettsider i et web basert på antall hyperlinker
Detaljer3.1 Første ordens lineære difflikninger. y + f(x)y = g(x) (3.1)
Kapittel 3 Differensiallikninger 3.1 Første ordens lineære difflikninger Definisjon 3.1 En første ordens lineær difflikning er en likning på formen y + f(x)y = g(x) (3.1) der f og g er kjente funksjoner.
DetaljerLineære likningssystemer
Lineære likningssystemer Mange fysiske problemer kan formuleres som lineære likningssystemer i vektorrommet, 1/19 Lu = f Lineær: betyr at virkningen av L på u + v er L(u + v) = Lu + Lv, og skaleres som
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 6 Løsningsforslag Oppgave 1 Tredjegradslikninga a) Vi viser her hvordan det kan gjøres både som funksjonsl og som skript. Vi starter med funksjonla: 1
DetaljerInstitutt for Samfunnsøkonomi. Utlevering: 29.04.2015 Kl. 09:00 Innlevering: 29.04.2015 Kl. 14:00
SENSORVEILEDNING MET 803 Matematikk Institutt for Samfunnsøkonomi Utlevering: 9.04.05 Kl. 09:00 Innlevering: 9.04.05 Kl. 4:00 For mer informasjon om formalia, se eksamensoppgaven. Oppgave Beregn følgende
DetaljerLP. Kap. 17: indrepunktsmetoder
LP. Kap. 17: indrepunktsmetoder simpleksalgoritmen går langs randen av polyedret P av tillatte løsninger et alternativ er indrepunktsmetoder de finner en vei i det indre av P fram til en optimal løsning
DetaljerEksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i MA1102/6102 Grunnkurs i analyse II Faglig kontakt under eksamen: Magnus Landstad Tlf: Eksamensdato: 6. juni 2017 Eksamenstid (fra til): 09:00 13:00 Hjelpemiddelkode/Tillatte
Detaljer6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen
6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av et indreprodukt rom V. Man kan starte med en vanlig basis for W og konstruere en ortogonal basis for W. Ønskes det en
DetaljerMatematikk 1 Første deleksamen. Løsningsforslag
HØGSKOLEN I ØSTFOLD, AVDELING FOR INFORMASJONSTEKNOLOGI Matematikk Første deleksamen 4. juni 208 Løsningsforslag Christian F. Heide June 8, 208 OPPGAVE a Forklar kortfattet hva den deriverte av en funksjon
Detaljer6.8 Anvendelser av indreprodukter
6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner
DetaljerLøs likningssystemet ved å få totalmatrisen på redusert trappeform
Emne: IRF 10014 Matematikk 1. Lærer: Øystein Holje og Kent Ryne Grupper: Diverse. Dato: 04.1.015 Tid: 9.00 13.00. Antall oppgavesider:. Antall vedleggsider: 3, formelark. Sensurfrist: Hjelpemidler: Godkjent
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 13/4-16/4
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /4-6/4 Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no April, 00 Oppgave 4.8. a Bytt om første og andre rad. b Legg til ganger rad til rad. c Bytt om første og andre rad. d Legg til
DetaljerHøgskolen i Oslo og Akershus. sin 2 x cos 2 x = 0, x [0, 2π) 1 cos 2 x cos 2 x = 0 2 cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 2 1 2
Innlevering i DAFE/ELFE 1000 Oppgavesett 1 Innleveringsfrist: 31. januar klokka 14:00 Antall oppgaver: 3 Løsningsforslag Oppgave 1 Løs disse likningene ved regning, og oppgi svarene eksakt: a) Vi kan for
Detaljerx n+1 = x n f(x n) f (x n ) = x n x2 n 3
TMA4 Høst 26 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag 4.2.8 Vi setter f(x) = x 2 3. Da blir f (x) = 2x, og iterasjonen blir f (x n ) = x n x2 n 3 2x n () Siden vi har
DetaljerMAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 4.8 Teorem 16 s. 282: y k+n + a 1 y k+n 1 + + a n 1 y k+1 + a n y k = z k har alltid en løsning
DetaljerIR Matematikk 1. Eksamen 8. desember 2016 Eksamenstid 4 timer
Eksamen 8. desember 16 Eksamenstid 4 timer IR151 Matematikk 1 Bokmål Hvis du blir ferdig med oppgavene under del 1 før kl. 11., så kan og bør du starte på del uten bruk av hjelpemidler. Du kan bare bruke
DetaljerLøsningsforslag. og B =
Prøve i Matte EMFE DAFE ELFE BYFE Dato: august 25 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave a) Gitt matrisene A = 2 3 2 4 2 Løsningsforslag og
DetaljerMAT-1004 Vårsemester 2017 Prøveeksamen
MAT-1004 Vårsemester 017 Prøveeksamen Contents 0.1 Forord................................. 1 1 OPPGAVE OPPGAVE OPPGAVE 6 4 OPPGAVE 7 5 OPPGAVE 10 6 OPPGAVE 11 7 OPPGAVE 11 8 OPPGAVE 1 9 Formatering av
DetaljerMAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V Løsningsforslag
MAT1110: Obligatorisk oppgave 2, V-2015 Oppgave 1: a) Vi har Av 1 = ( 4 6 6 1 Løsningsforslag ) ( 3 2 ) = ( 24 16 ) = 8v 1, så v 1 er en egenvektor med egenverdi 8. Tilsvarende er ( ) ( ) ( ) 4 6 2 10
DetaljerMatematikk Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 for-løkker
Matematikk 1000 Øvingsoppgaver i numerikk leksjon 5 for-løkker I dette settet skal vi introdusere for-løkker. Først vil vi bruke for-løkker til å regne ut summer. Vi skal også se på hvordan vi kan implementere
DetaljerLØSNINGSFORSLAG. Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk form som a + bi og på polar form som re iθ (r 0 og 0 θ < 2π). a) 2 + 3i.
Innlevering DAFE ELFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag. februar 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: LØSNINGSFORSLAG Skriv følgende komplekse tall både på kartesisk
DetaljerBYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: Løsningsforslag
Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Fredag 11. mars 2016 Antall oppgaver: 10 + 1 Løsningsforslag 1 Hvilken av de to funksjonene vist i guren er den deriverte
DetaljerNoen MATLAB-koder. 1 Plotte en vanlig funksjon. Fredrik Meyer. 23. april 2013
Noen MATLAB-koder Fredrik Meyer 23. april 2013 1 Plotte en vanlig funksjon Anta at f : [a, b] R er en vanlig funksjon. La for eksempel f(x) = sin x+x for x i intervallet [2, 5]. Da kan vi bruke følgende
DetaljerA 2 = PDP 1 PDP 1 = PD 2 P 1. og ved induksjon får vi. A k = PD k P 1. Kommentarer:
5.3 Diagonalisering Det ville være fint om en matrise A var similær med en diagonalmatrise D: da har vi funnet egenverdiene, og kan f.eks. lett beregne A k. Når er dette tilfelle? Det er tema i denne seksjonen.
DetaljerMA0002 Brukerkurs i matematikk B. Eksamen 28. mai 2016 Løsningsforslag. Oppgave 1
MA000 Brukerkurs i matematikk B Eksamen 8. mai 06 Løsningsforslag Oppgave a) Viser at B = A ved å vise at AB = BA = I. Nedenfor er matrisemultiplikasjonen AB vist (du må vise at BA gir det samme). ( )
DetaljerLøsningsforslag. Prøve i Matematikk 1000 BYFE DAFE 1000 Dato: 29. mai 2017 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark. Oppgave 1 Gitt matrisene.
Prøve i Matematikk BYFE DAFE Dato: 29. mai 27 Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Løsningsforslag Oppgave Gitt matrisene A = 2 2 B = [ 2 3 4 ] og C = Regn ut, om mulig, summene A + B, A + B T og A +
DetaljerLYØSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 18. mai 2011 kl. 09:00-14: i( 3 + 1) = i + i + 1
LYØSINGSFORSLAG Eksamen i MAT111 - Grunnkurs i matematikk I onsdag 18. mai 011 kl. 09:00-1:00 NYNORSK OPPGAVE 1 Gitt dei komplekse tala z = 3 + i, w = 1 + i a Rekn ut (skriv på forma a + bi (i z + 3w,
DetaljerInnlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 2017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8
Innlevering Matematikk forkurs HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 15. november 017 kl 14:30 Antall oppgaver: 8 1 Deriver følgende funksjoner a) ( x) b) (3 5x) 6 c) x x + 3 d) x ln
DetaljerLøsningsforslag i matematikk
Løsningsforslag i matematikk 060808 Oppgave (a) ( a b ) b 4 a (ab) = a b b 4 a a b = a b = b a = a + b + 4 a b = a + + b + 4 + (b) Omskrivning av likningen gir sin(x) + cos(x) = 0 sin(x) cos(x) = tan(x)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i MAT-INF 00 Modellering og beregninger. Eksamensdag: Torsdag 6. desember 202. Tid for eksamen: 9:00 3:00. Oppgavesettet er på 8
DetaljerAnbefalte oppgaver - Løsningsforslag
Anbefalte oppgaver - Løsningsforslag Uke 6 12.6.4: Vi finner først lineariseringen i punktet (2, 2). Vi har at Lineariseringen er derfor 2x + y f x (x, y) = 24 (x 2 + xy + y 2 ) 2 2y + x f y (x, y) = 24
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2015 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 2017
Løsningsforslag Eksamen S2, høsten 215 Laget av Tommy O. Sist oppdatert: 25. mai 217 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere funksjonen f(x) = x 3 + 2x. Formelen vi må bruke er (x n ) =
DetaljerLøsningsforslag. og B =
Prøve i Matte Dato: vår 5 ENDRE Hjelpemiddel: Kalkulator og formelark Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver ar lik vekt. Oppgave a Gitt matrisene A regn ut A + B, AB. Løsningsforslag 4 og B 7 5 Vi
Detaljera) f(x) = 3 cos(2x 1) + 12 LF: Vi benytter (lineær) kjerneregel og får f (x) = (sin(7x + 1)) (sin( x) + x) sin(7x + 1)(sin( x) + x) ( sin(x) + x) 2 =
Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 4 Innleveringsfrist Mandag 12. oktober 2015 før forelesningen 12:30 Antall oppgaver: 7 + 3 Løsningsforslag 1 Deriver de følgende
DetaljerLøsningsforslag Eksamen S2, høsten 2016 Laget av Tommy Odland Dato: 27. januar 2017
Løsningsforslag Eksamen S, høsten 016 Laget av Tommy Odland Dato: 7. januar 017 Del 1 - uten hjelpemidler Oppgave 1 a) Vi skal derivere f(x) = x 3 5x, og vi kommer til å få bruk for reglene (ax n ) = anx
Detaljerf =< 2x + z/x, 2y, 4z + ln(x) >.
MA 40: Analyse Uke 48, 00 http://home.hia.no/ aasvaldl/ma40 H0 Høgskolen i Agder Avdeling for realfag Institutt for matematiske fag Oppgave.5: 5. Vi har gitt funksjon f(x, y) = x + y z + z ln(x) og punkt
DetaljerFigur 62: Faktorisering kan lett gjøres ved å skrive inn uttrykket og så klikke på verktøyet for faktorisering.
11 CAS i GeoGebra Fra og med versjon 4.2 får GeoGebra et eget CAS-vindu. CAS står for Computer Algebra System og er en betegnelse for programvare som kan gjøre symbolske manipuleringer. Eksempler på slike
DetaljerAlle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt.
Alle svar skal grunngis. Alle deloppgaver har lik vekt. Oppgave Vi denerer matrisene A, B, og C som A = [ ] 3, B = 5 9, C = 3 3. a) Regn ut følgende matrisesummer og matriseprodukter, om mulig. Dersom
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } V kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og B utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer
DetaljerOppfriskningskurs i matematikk Dag 3
Oppfriskningskurs i matematikk Dag 3 Petter Nyland Institutt for matematiske fag Onsdag 8. august 2018 Dagen i dag Tema 4 Polynomer: Faktorisering, røtter, polynomdivisjon, kvadratiske ligninger og rasjonale
DetaljerRepetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert
DetaljerTallfølger er noe av det første vi treffer i matematikken, for eksempel når vi lærer å telle.
Kapittel 1 Tallfølger 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,... Det andre temaet i kurset MAT1001 er differenslikninger. I en differenslikning er den ukjente en tallfølge. I dette kapittelet skal vi legge grunnlaget
DetaljerOppsummering TMA4100. Kristian Seip. 16./17. november 2015
Oppsummering TMA4100 Kristian Seip 16./17. november 2015 Forelesningene 17./18. november Denne forelesningen beskriver de store linjer og sammenhengen mellom de ulike deltemaene i TMA4100 noen tips for
DetaljerSammendrag R2. www.kalkulus.no. 31. mai 2009
Sammendrag R2 www.kalkulus.no 31. mai 2009 1 1 Trigonometri Definisjon av sinus og cosinus Sirkelen med sentrum i origo og radius 1 kalles enhetssirkelen. La v være en vinkel i grunnstilling, og la P være
DetaljerMA2501 Numeriske metoder
MA251 Numeriske metoder Løsningsforslag, Øving 3 Oppgave 1 a) Start med å tegne en skisse av funksjonen f(x) = x.99(e x 1). Vi oppdager fort at α må ligge svært nær, faktisk rundt.2. Newtons metode anvendt
DetaljerMAT 1110: Obligatorisk oppgave 1, V-07: Løsningsforslag
1 MAT 111: Obligatorisk oppgave 1, V-7: Løsningsforslag Oppgave 1. a) Vi deriverer på vanlig måte: ( e (sinh x) x e x ) = = ex + e x = cosh x, ( e (cosh x) x + e x ) = = ex e x = sinh x Enkel algebra gir
DetaljerLøsningsforslag. a) i. b) (1 i) 2. e) 1 i 3 + i LF: a) Tallet er allerede på kartesisk form. På polar form er tallet gitt ved
Innlevering ELFE KJFE MAFE Matematikk 000 HIOA Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Mandag 3. august 05 før forelesningen :30 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag Uttrykk følgende komplekse tall både
DetaljerAnalysedrypp III: ɛ-δ og alt det der
Analysedrypp III: ɛ-δ og alt det der Mange strever med ɛ-δ-argumenter. Det er flere grunner til dette: Noen har problemer med å forstå den underliggende tankegangen, mens andre sliter med de grunnleggende
DetaljerLøsningsforslag. e n. n=0. 3 n 2 2n 1. n=1
Eksamen i BYPE2000 - Matematikk 2000 Dato: 6. juni 2014 Målform: Bokmål Antall oppgaver: 7 (20 deloppgaver) Antall sider: 4 Vedlegg: Noen formler Hjelpemiddel: Ingen Alle svarene skal grunngis. Alle deloppgavene
Detaljer