MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9
|
|
- Toril Dale
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Øyvind Ryan September 2008
2 Oppgaver fra 4.8 Teorem 16 s. 282: y k+n + a 1 y k+n a n 1 y k+1 + a n y k = z k har alltid en løsning når a n 0. Teorem 17 s. 282: Løsningsrommet er n-dimensjonalt. Vi prøvde oss frem med løsninger på formen y k = r k. Lineær uavhengighet av løsninger ble sjekket ved å se på Casorati-matrisen. Hvis denne er inverterbar (det vil si at en rref på denne gir identitetsmatrisen), så er løsningene lineært uavhengige. Følgene r k 1, r k 2, r k 3 har vi vist at et lineært uavhengige når r 1, r 2, r 3 er forskjellige. Slike dierenslikninger kan også identiseres med førsteordenslikninger på matriseform, det vil si på formen X k+1 = Ax k, der A er en n n-matrise.
3 Oppgave Vi har dierenslikningen y k+3 y k+2 22y k y k = 0. Gitt at 2 k, 4 k, og ( 5) k løser dierenslikningen. er disse en basis for løsningsrommet? 1. Løsningsrommet er 3-dimensjonalt (Teorem 17 s. 282) k, 4 k, og ( 5) k er lineært uavhengige: Som i eksempel 2: Lag Casorati-matrisen ( 5) ( 5) ( 5) 2 = og gjør en rref på denne. Vi får identitetsmatrisen, og derfor er de tre signalene er lineært uavhengige. De må derfor utspenne hele løsningsrommet, som jo også er tredimensjonalt (teorem 12 s. 259).,
4 Hvordan gjettet vi på 2 k, 4 k, og ( 5) k? Se eksempel 4. Egentlig gjetter vi på y k = r k, og vi krever da r k+3 r k+2 22r k r k = 0. Dette svarer til å løse tredjegradslikningen r 3 r 2 22r + 40 = 0. Denne kan dere løse ved hjelp av funksjonen roots i Matlab.
5 Oppgave y k+3 3y k+2 9y k+1 5y k = 0. Løsningsrommet er 3-dimensjonalt. Vi former Casorati-matrisen u 0 v 0 w 0 u 1 v 1 w 1 u 2 v 2 w 2, der u k = ( 1) k, v k = k( 1) k, og w k = 5 k, og får rref på denne gir identitetsmatrisen, og de tre løsningene utspenner løsningsrommet ved samme resonnement som i oppgave ,
6 Oppgave y k+2 + 8y k+1 3y k = 0. Løsningsrommet er 2-dimensjonalt. Som i eksempel 4 gjetter vi på y k = r k og får likningen 16r k+2 + 8r k+1 3r k = 0, som gir oss 16r 2 + 8r 3 = 0. Formelen for løsning av andregradslikningen gir r = 8 ± = 1 4 ± 1 2. Dette gir oss løsningene u k = ( 3 4 )k, v k = ( 1 4 )k. Vi former så Casorati-matrisen, og gjør en rref på denne som før for å vise at u k og v k danner en basis for løsningsrommet.
7 Oppgave Y k+2 a(1 + b)y k+1 + aby k = 1. Sett a = 0.9, b = 0.5. Prøv Y k = T. Vi får T 1.35T T = 0.1T = 1, så Y k = T = 10 er en løsning. Den homogene likningen er Y k Y k Y k = 0. Vi løser r r = 0 og får r = 1.35± , som gir r = 3/4 og r = 3/5. Vi former så Casorati-matrisen, og gjør en rref på denne. Siden løsningsrommet er todimensjonalt, så blir den generelle løsningen Y k = 10 + a 1 (3/4) k + a 2 (3/5) k.
8 Oppgave Vi setter y k = 2 cos(πk/4) + cos(3πk/4). a) Filteret fra eksempel 3 er z k = 0.35y k y k y k. Vi får z 0 = = z 1 = = 0 z 2 = = osv. I Matlab kan man gjøre slik: k = 0:10; y = 2*cos( pi *k/4) + cos(3*pi*k/4); z = zeros(1,8); for (s=1:8) end z(s) = 0.35 * y(s) * y(s+1) * y(s+2);
9 b) I eksempel 3 regnet vi ut output når input var y k = cos(πk/4) og w k = cos(3πk/4). I a) regnet vi ut utgangen på 2y k + w k. Siden lteret er lineært kan vi kombinere utgangen til y k og w k. I eksempel 3 regnet vi ut at utgangen til w k er 0, og derfor blir utgangen til 2y k + w k lik 2z k (z k var utgangen til cos(πk/4)). Vi kunne altså brukt utregningen fra eksempel 3 direkte, siden vi regnet ut z k der.
10 Oppgave Setter vi inn y k = 2k 4 får vi y k y k+1 y k = 1 + 3k 2k + 3 (2k 2) 2k + 4 = 3k For å løse den homogene likningen y k y k+1 y k = 0 løser vi r 2 + 3/2r 1 = 0 og får r = ( 3/2 ± 9/4 + 4)/2 = 3/4 ± 5/4, som gir løsningene z k = (1/2) k og w k = ( 2) k. Siden løsningsrommet er todimensjonalt blir dermed den generelle løsningen 2k 4 + a 1 (1/2) k + a 2 ( 2) k.
11 Oppgave Skriver vi som et likningssystem får vi som også kan skrives y k+1 = y k+1 y k+2 = y k+2 y k+3 = 1/16y k 3/4y k+2, y k+1 y k+2 y k+3 = Setter vi x k = (y k, y k+1, y k+2 ) og ser vi at x k+1 = Ax k. A = /16 0 3/ /16 0 3/4, y k y k + 1 y k+2
12 Oppgave Anta T (xp) = z, og T (u) = 0. Vi skal vise at T (u + xp) = z. Dette viser vi slik: T (u + xp) = T (u) + T (xp) = 0 + z = z.
13 Oppgaver fra 4.9 Stokastiske matriser. Brukes til å modellere systemer som er i utvikling over tid. Sannsynlighetsvektorer. Markov-kjeder. Tilstandsvektor. Likevektstilstand. Teorem 18 s. 294: En regulær stokastisk matrise har en unik likevektstilstand. Får bruk for dette i den første obligatoriske oppgaven.
14 Stokastiske matriser fra forrige uke (4.5.34,4.7.17) Vi satt B = {1, cos t, cos 2 t, cos 3 t, cos 4 t, cos 5 t, cos 6 t} C = {1, cos t, cos(2t), cos(3t), cos(4t), cos(5t), cos(6t)}, og regnet ut at P C B = 1 0 1/2 0 3/8 0 5/ /4 0 5/ /2 0 1/ /4 0 5/ / / Vi ser at denne matrisen er stokastisk.
15 Hvorfor er matrisen stokastisk? Vi kunne vist at matrisen er stokastisk uten å regne ut hele matrisen: Siden cos k t = c 0 + c 1 cos t + c 2 cos(2t) + + c 6 cos(6t), der (c 0, c 1,..., c 6 ) er kolonne k i P C B. Setter du inn t = 0 her får du at 1 = c 0 + c 1 + c c 6, som viser at kolonne k i P C B er en sannsynlighetsvektor. P C B blir dermed stokastisk, såfremt vi også kan vise at c 0, c 1,..., c 6 0. Dette er litt verre, og kan best forklares ved hjelp av indreprodukter. Vi kommer tilbake til dette i kapittel 6. Det er imidlertid ikke slik at alle basisskiftematriser er stokastiske!
16 Oppgave a) Den stokastiske matrisen blir P = Hvis været er bra i dag, så forteller første kolonne hvorledes været vil fordele seg på forskjellige værtyper i morgen. Tilsvarende for de andre kolonnene.
17 b) Vi anvender P på sannsynlighetsvektoren (.50,.50, 0) og får = Det er dermed 20% sannsynlighet for dårlig vær i morgen.
18 c) Vi anvender P 2 (ikke P!) på sannsynlighetsvektoren (0,.40,.60) og får = Sjansen for bra vær på onsdag er derfor 48% =
19 Oppgave Vi må løse [ ] [ x 1 x 2 ] [ = x 1 x 2 ], eller [ ] [ x 1 x 2 ] = [ 0 0 ] Gjør vi en rref nner vi at x = x 2 (2.5, 1). Likevektsvektoren blir derfor (2.5/3.5, 1/3.5) = (5/7, 2/7).
20 Oppgave P = [ P er stokastisk siden summen av hver kolonne er 1. Det viser seg at P ikke er regulær. For å se dette, gang sammen to matriser hvor begge har (1, 0) i første kolonne. Første kolonne i produktet blir da [ 1 x1 0 x 2 ] [ ] [ ] 1 y1 1 y1 + x = 1 y 2 0 y 2 0 x 2 y 2 Dermed vil alle potensene av P ha (1, 0) i første kolonne, slik at P ikke er regulær. ]
21 Oppgave Matrisen P fra oppgave 4 er regulær og stokastisk, så det nnes en unik likevektstilstand x (som er grensen for hva som skjer i det lange løp). For å nne denne må vi løse (P I )x = 0, som svarer til x 1 x 2 x 3 = Vi bruker rref og nner at x = x 3 (3, 2, 1). Likevektsvektoren blir derfor x = (1/2, 1/3, 1/6). Sannsynlighet for godt vær i det lange løp er derfor 0.50, det vil si 50%
22 Oppgave [M] Vi har matrisen P = , Hvis en bil blir leid fra City Airport, så forteller første kolonne i matrisen hvordan retur av bilen fordeler seg på de forskjellige stedene. Matrisen er regulær og stokastisk, og har dermed en unik likevektsvektor. Denne nner vi ved å løse (P I )x = 0. Vi får da x = x 3 (0.9192, , 1), som gir likevektsvektoren (0.4354, , ). Andelen av bilparken som i det lange løp er Downtown er altså , som svarer til ca biler (hele bilparken var 2000 biler).
23 Oppgave Vi skal løse [ 1 α β α 1 β ] [ x 1 x 2 ] [ = x 1 x 2 ], eller [ α β α β ] [ x 1 x 2 ] = [ 0 0 ]. Hvis α 0, så er (x 1, x 2 ) = x 2 ( β α, 1). Likevektstilstand blir β α β 1 ( α + 1, β α + 1) = ( β α + β, α α + β ). Hvis β 0, så er (x 1, x 2 ) = x 1 (1, α β ). Likevektstilstand blir ( 1 α β + 1, α β α β + 1) = ( β α + β, α α + β ). Så hvis α 0 eller β 0 så er ( β α+β, α α+β ) eneste likevektstilstand. Hvis α = β = 0, så er P = I, og alle vektorer er likevektstilstander.
24 Oppgave a. Vi har at S x = [1 1]x = x 1 + x x n. Det er klart fra dette at x er en sannsynlighetsvektor hvis og bare hvis alle komponentene i x er ikkenegative, og S x(= x 1 + x x n ) = 1. b. Hvis P er stokastisk har vi at SP = S [p1 pn] = [S p1 S pn] = [1 1] = S, hvor vi har brukt a) og at kolonnene i P er sannsynlighetsvektorer. c. Vi vet at komponentene i P x er ikkenegative. Vi har at SP x = S x = 1, hvor vi først har brukt b), deretter a). Det følger fra a) at P x er en sannsynlighetsvektor.
25 Oppgave [M] a) Vi regner ut rref(p-i) for å nne den unike likevektstilstanden. Vi ser at denne på være på formen x 4 (1.4016, , , 1), og vi får (0.2816, , , ) som den unike likevektsvektoren. Det ser ut som kolonnene i P k konvergerer mot likevektstilstanden når k øker. b) At Q er regulær kan du se ved å regne ut Q 2. Vi regner ut rref(q-i) for å nne den unike likevektstilstanden. Vi ser at denne må være på formen x 3 (4.1667, , 1), og vi får ( ) som den unike likevektsvektoren. Det ser ut som kolonnene i Q k konvergerer mot likevektstilstanden når k øker. c) Velg x 0 = e i som starttilstand. Teorem 18 sier at P k e i konvergerer mor likevektsvektoren. Det vi observerer i a) og b) følger av at P k e i ikke er noe annet enn kolonne i i P k!
26 Oppgave [M] Hvordan tilfeldig generere en stokastisk matrise? function A=randstocmatrix(n) % Returnerer en regulær stokastisk matrise A = rand(n,n)+1; for (k = 1:n) end A(:,k) = A(:,k)/sum(A(:,k)); Denne koden kan du laste ned fra Matrisen som blir generert er også regulær, siden vi legger til 1 inne i koden (som også gjør at vi ikke deler med 0 her).
27 Hvordan implementere metode (1) og (2) for å nne likevektsvektoren? function [qa, ta, qb, tb] = compare4922(k,n) A = randstocmatrix(n); % har nå en tilfeldig generert regulær stokastisk matrise. %metode (1): tic % Stopp tidtaking B = rref(a-eye(n,n)); qa = B(:,n); qa = - qa; qa(n) = 1; qa = qa / sum(qa); ta = toc; % Stopp tidtaking %metode (2): tic % Start tidtaking x0 = (1/n) * ones(n,1); powerk = (A^k)*x0; qb = powerk(:,1); tb = toc; % Stopp tidtaking
28 Eksperimenter med å skrive [qa ta qb tb] = compare4922(k,n), Med forskjellige valg av k og n. n er dimensjonen på den stokastiske matrisen vi genererer, k er potensen av denne vi regner ut for å approksimere likevektsvektoren. qa er approksimasjon av likevekstvektoren med metode (1) ta er tid med metode (1) qb er approksimasjon av likevekstvektoren med metode (2) tb er tid med metode (2) Denne koden kan du laste ned fra
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 18/9 Magnus Dahler Norling (magnudn@math.uio.no) September 2014 Oppgave 4.6.4 rank A = rank B = 5 (teorem 13+14). dim Nul A = n - rank A = 6-5 = 1 (teorem
DetaljerMAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9
MAT1120 Oppgaver til plenumsregningen torsdag 25/9 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) September 2008 Oppgaver fra 5.1 Denisjon av egenverdier, egenvektorer, egenrom. Teorem 1 s. 306: Egenverdiene til en triangulær
Detaljer6.8 Anvendelser av indreprodukter
6.8 Anvendelser av indreprodukter Vektede minste kvadraters problemer Anta at vi approksimerer en vektor y = (y 1,..., y m ) R m med ŷ = (ŷ 1,..., ŷ m ) R m. Et mål for feilen vi da gjør er y ŷ, der betegner
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } V kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og B utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer
DetaljerObligatorisk oppgavesett 1 MAT1120 H16
Obligatorisk oppgavesett MAT0 H6 Innleveringsfrist: torsdag /09 06, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.
Detaljer4.9 Anvendelser: Markovkjeder
4.9 Anvendelser: Markovkjeder Markov kjeder er en spesiell type diskret dynamisk system. Stokastisk modell: grunnleggende i sannsynlighetsregning. Vinner av Abelprisen 2007, S. Varadhan, jobber i dette
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 13/4-16/4
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /4-6/4 Øyvind Ryan oyvindry@i.uio.no April, 00 Oppgave 4.8. a Bytt om første og andre rad. b Legg til ganger rad til rad. c Bytt om første og andre rad. d Legg til
DetaljerMAT Oblig 1. Halvard Sutterud. 22. september 2016
MAT1110 - Oblig 1 Halvard Sutterud 22. september 2016 Sammendrag I dette prosjektet skal vi se på anvendelsen av lineær algebra til å generere rangeringer av nettsider i et web basert på antall hyperlinker
DetaljerMAT1120. Obligatorisk oppgave 1 av 2. Torsdag 20. september 2018, klokken 14:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no).
Innleveringsfrist MAT20 Obligatorisk oppgave av 2 Torsdag 20. september 208, klokken 4:30 i Devilry (devilry.ifi.uio.no). Instruksjoner Du velger selv om du skriver besvarelsen for hånd og scanner besvarelsen
DetaljerObligatorisk oppgave 1 MAT1120 H15
Obligatorisk oppgave MAT20 H5 Innleveringsfrist: torsdag 24/09-205, innen kl 4.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke forsiden som du finner via hjemmesiden.
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerOblig 2 - MAT1120. Fredrik Meyer 23. september 2009 A =
Oblig - MAT Fredrik Meyer. september 9 Oppgave Linkmatrise: A = En basis til nullrommet til matrisen A I kan finnes ved å bruke MATLAB. Jeg kjører kommandoen rref(a-i) og får følge: >> rref(a-i). -.875.
Detaljer6.5 Minste kvadraters problemer
6.5 Minste kvadraters problemer I mange anvendte situasjoner møter man lineære likningssystemer som er inkonsistente, dvs. uten løsninger, samtidig som man gjerne skulle ha funnet en løsning. Hva gjør
DetaljerMAT Onsdag 7. april Lineær uavhengighet (forts. 1.8 Underrom av R n, nullrom, basis MAT Våren UiO. 7.
MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom MAT 2 Våren 2 UiO 7. april 2 / 23 MAT 2 april 2.7 Lineær.8 Underrom Minner om:.7 Lineær (fortsettelse) Definisjon. To vektorer u og v i R n kalles lineært avhengige dersom
Detaljer3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode.
3.9 Teori og praksis for Minste kvadraters metode. Vi fortsetter med minste kvadraters problem. Nå skal vi se nærmere på noen teoretiske spørsmål, bl.a. hvordan normallikningene utledes. Minner om MK problemstillingen:
DetaljerBasis, koordinatsystem og dimensjon
Basis, koordinatsystem og dimensjon NTNU, Institutt for matematiske fag 22.-24. oktober 2013 Basis Basis for vektorrom: En endelig mengde B = {b 1, b 2,..., b n } av vektorer i et vektorrom V er en basis
Detaljer4.4 Koordinatsystemer
4.4 Koordinatsystemer Minner om at B = { b 1, b 2,..., b n } kalles en basis for et vektorrom V dersom B er lineært uavhengig og utspenner V. I samme vektorrom kan vi innføre ulike koordinatsystemer ;
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 0 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 0. desember 0 Tid for eksamen: 4.30 8.30. Oppgavesettet er på 7 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerLineær uavhengighet og basis
Lineær uavhengighet og basis NTNU, Institutt for matematiske fag 19. oktober, 2010 Lineær kombinasjon En vektor w sies å være en lineær kombinasjon av vektorer v 1, v 2,..., v k hvis det finnes tall c
DetaljerObligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2008
Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2008 Innleveringsfrist: fredag 26/09-2008, innen kl 14.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, Ekspedisjonskontoret, 7. etasje i N.H. Abels hus. Husk å bruke
DetaljerMAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8
MAT1120 Plenumsregningen torsdag 26/8 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no) August 2010 Innføring i Matlab for dere som ikke har brukt det før Vi skal lære følgende ting i Matlab: Elementære operasjoner Denere
DetaljerObligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014
Obligatorisk oppgave 1 MAT1120 HØSTEN 2014 Innleveringsfrist: torsdag 25. september 2014, innen kl 14.30. Besvarelsen leveres på Matematisk institutt, Ekspedisjonskontoret, 7. etasje i N.H. Abels hus.
DetaljerHomogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner
Homogene lineære ligningssystem, Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2010 Antall løsninger til et lineær ligningssystem Teorem Et lineært ligningssytem har
DetaljerTil enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon.
4.6 Rang Til enhver m n matrise A kan vi knytte et tall, rangen til A, som gir viktig informasjon. Definisjon: Rangen til en m n matrise A betegnes med rank A og er definert som dimensjonen til kolonnerommet
DetaljerMAT 1120: Obligatorisk oppgave 1, H-09
MAT 110: Obligatorisk oppgave 1, H-09 Innlevering: Senest fredag 5. september, 009, kl.14.30, på Ekspedisjonskontoret til Matematisk institutt (7. etasje NHA). Du kan skrive for hånd eller med datamaskin,
DetaljerLineærtransformasjoner
Kapittel 8 Lineærtransformasjoner I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerFasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5
Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan (oyvindry@i.uio.no May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt
DetaljerLineære likningssystemer og matriser
Kapittel 3 Lineære likningssystemer og matriser I dette kapittelet skal vi sette sammen Kapittel 1 og 2. 3.1 Den utvidede matrisen til et likningssystem Vi starter med et lineært likningssystem med m likninger
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Dette notatet tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsnitt 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi dette teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n
Detaljer6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen
6.4 (og 6.7) Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av et indreprodukt rom V. Man kan starte med en vanlig basis for W og konstruere en ortogonal basis for W. Ønskes det en
DetaljerVær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter!
Vær OBS på at svarene på mange av oppgavene kan skrives på flere ulike måter! Oppgave.. a x y = x + y = r r r +r r x y = y fri x y = y fri Vi får én fri variabel, og løsningens har følgelig dimensjon.
DetaljerDAFE ELFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2015 Antall oppgaver: 10 + 3
Innlevering DAFE ELFE Matematikk HIOA Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Torsdag 26. mars 2 Antall oppgaver: + 3 For hver av matrisene nedenfor nn den ekvivalente matrisen som er på redusert
Detaljer6.6 Anvendelser på lineære modeller
6.6 Anvendelser på lineære modeller Skal først se på lineær regresjon for gitte punkter i planet: det kan formuleres og løses som et minste kvadraters problem! I mere generelle lineære modeller er man
DetaljerMAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4
MAT1120 Notat 1 Tillegg til avsnitt 4.4 Vi tar utgangspunkt i Teorem 8 fra avsn. 4.4 i boka. For ordens skyld gjentar vi teoremet her: Teorem 8 [Avsn. 4.4]: Anta at B = {b 1,..., b n } er en (ordnet) basis
Detaljer5.8 Iterative estimater på egenverdier
5.8 Iterative estimater på egenverdier Det finnes ingen eksplisitt formel for beregning av egenverdiene til en kvadratisk matrise. Iterative metoder som finner (ofte) en (meget god) approksimasjon til
DetaljerEgenverdier og egenvektorer
Kapittel 9 Egenverdier og egenvektorer Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer Hvis A er en m n-matrise, så gir A en transformasjon
DetaljerRang og Vektorrom. Magnus B. Botnan NTNU. 4. august, 2015
Rang og Vektorrom Magnus B. Botnan NTNU 4. august, 2015 Lineær Uavhengighet La v (1),..., v (m) være vektorer av samme størrelse. Vi sier at vektorene er lineært avhengige hvis det finnes konstanter c
DetaljerEksamensoppgave i TMA4115 Matematikk 3
Institutt for matematiske fag Eksamensoppgave i TMA45 Matematikk 3 Faglig kontakt under eksamen: Aslak Bakke Buan a, Morten Andreas Nome b, Tjerand Silde c Tlf: a mobil Aslak, b mobil Morten, c mobil Tjerand
DetaljerObligatorisk innlevering 3 - MA 109, Fasit
Obligatorisk innlevering - MA 9, Fasit Vektorer Oppgave: Avgjør om, og er lineært uavhengige Dette er spørsmålet om det finnes vekter x, x, x - ikke alle lik - slik at x + x + x = Vi skriver det på augmentert
DetaljerMatriser. Kapittel 4. Definisjoner og notasjon
Kapittel Matriser Vi har lært å løse et lineært ligningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet gausseliminere den ved hjelp av radoperasjoner på matrisen Vi skal nå se nærmere på egenskaper
Detaljer10 Radrommet, kolonnerommet og nullrommet
Radrommet kolonnerommet og nullrommet La A være en m n matrise Vi kan beskrive matrisen ved hjelp av dens rader r A r r i R n r m eller dens kolonner A [ c c c n ci R m Definisjon (se Def 7 i boka) For
DetaljerMAT UiO. 10. mai Våren 2010 MAT 1012
MAT Våren UiO. / 7 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar) og D (diagonal) som diagonaliserer
DetaljerIkke lineære likninger
Ikke lineære likninger Opp til nå har vi studert lineære likninger og lineære likningsystemer. 1/19 Ax = b Ax b = 0. I en dimensjon, lineære likninger kan alltid løses ved hjelp av formler: ax + b = 0
DetaljerObligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 2006
Obligatorisk innleveringsoppgave, løsning Lineær algebra, Våren 006 Oppgave I hele oppgaven bruker vi I = 0 0 0 0. 0 0 a) Matrisen A har størrelse og B har størrelse slik at matriseproduktet A B er en
Detaljer6.4 Gram-Schmidt prosessen
6.4 Gram-Schmidt prosessen La W {0} være et endeligdimensjonalt underrom av R n. (Senere skal vi mer generelt betrakte indreprodukt rom; se seksjon 6.7). Vi skal se hvordan vi kan starte med en vanlig
DetaljerKap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater
Kap. 6 Ortogonalitet og minste kvadrater IR n er mer enn bare et vektorrom: den har et naturlig indreprodukt, nemlig prikkproduktet av vektorer. Dette indreproduktet gjør det mulig å tenke geometrisk og
Detaljer9 Lineærtransformasjoner TMA4110 høsten 2018
9 Lineærtransformasjoner MA4 høsten 8 I forrige kapittel begynte vi å formulere lineær algebra på en generell måte, ved å gi en abstrakt definisjon av vektorrom For å beskrive sammenhenger mellom forskjellige
DetaljerMatriseoperasjoner. E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag. September 22, 2009
Matriseoperasjoner E.Malinnikova, NTNU, Institutt for matematiske fag September 22, 2009 Addisjon av matriser Hvis A = [a ij ] og B = [b ij ] er matriser med samme størrelse, så er summen A + B matrisen
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1
MAT1120 Repetisjon Kap. 1 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Idag skal vi repetere fra kap. 1 i Lays bok. Det handler bl.a. om : Matriser Vektorer
DetaljerInnlevering i FORK Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering 3 Innleveringsfrist Onsdag 14.november 2018 kl. 10:30 Antall oppgaver: 13
Innlevering i FORK00 - Matematikk forkurs OsloMet Obligatorisk innlevering Innleveringsfrist Onsdag 4.november 08 kl. 0:0 Antall oppgaver: Bestem vinkelen mellom vektorene u = [, 7] og v = [4, 5]. Hva
Detaljera) Matrisen I uv T har egenverdier 1, med multiplisitet n 1 og 1 v T u, med multiplisitet 1. Derfor er matrisen inverterbar når v T u 1.
Norges teknisknaturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Side 1 av 5 Oppgave 1 a) Matrisen I uv T har egenverdier 1, med multiplisitet n 1 og 1 v T u, med multiplisitet 1. Derfor er
DetaljerMarkov-kjede I ("dekk-eksemplet")
> restart: with(linalg): with(linearalgebra): with(plots): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name GramSchmidt has been rebound Warning, the name
Detaljer7 Egenverdier og egenvektorer TMA4110 høsten 2018
7 Egenverdier og egenvektorer TMA4 høsten 8 Det er ofte hensiktsmessig å tenke på en matrise ikke bare som en tabell med tall, men som en transformasjon av vektorer. Hvis A er en m n-matrise, så gir A
Detaljer5.5 Komplekse egenverdier
5.5 Komplekse egenverdier Mange reelle n n matriser har komplekse egenverdier. Vi skal tolke slike matriser når n = 2. Ved å bytte ut R med C kan man snakke om komplekse vektorrom, komplekse matriser,
DetaljerLineær algebra. 0.1 Vektorrom
Lineær algebra Siden dette temaet er alt for stort til å kunne gjennomgås på en halvtime, med alle de teoremene og denisjonene som skal til, har jeg laget dette notatet. Det bygger hovedsakelig på notatene
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Haust 2011
Noregs teknisk naturvitskaplege universitet Institutt for matematiske fag TMA40 Matematikk 3 Haust 0 Løysingsforslag Øving Oppgåver frå læreboka kap 5, s 7-73 5 Eigenrommet som svarar til λ = 5 er det
DetaljerEksamensoppgave MAT juni 2010 (med løsningsforslag)
Eksamensoppgave MAT-4 juni (med løsningsforslag) Contents OPPGAVE OPPGAVE 4 OPPGAVE 5 4 OPPGAVE 6 5 Fasit 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 7 5 Oppgave 8 54 Oppgave 8 6 Løsningsforslag 9 6 Oppgave 9 6 Oppgave 6
Detaljer4 Matriser TMA4110 høsten 2018
Matriser TMA høsten 8 Nå har vi fått erfaring med å bruke matriser i et par forskjellige sammenhenger Vi har lært å løse et lineært likningssystem ved å sette opp totalmatrisen til systemet og gausseliminere
DetaljerForelesning 14 Systemer av dierensiallikninger
Forelesning 14 Systemer av dierensiallikninger Eivind Eriksen 9. april 010 Dierensiallikninger En dierensiallikning inneholder en avhengig variabel (typisk y ) og en uavhengig variabel (typisk x), som
DetaljerMAT UiO mai Våren 2010 MAT 1012
200 MAT 02 Våren 200 UiO 0-2. 200 / 48 200 Betrakt et system x = A x der A M n (R) er diagonaliserbar. Vi har sett at systemet kan løses ved frakoblingsmetoden: Vi finner da P = [v v n ] (inverterbar)
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: 9. desember 2014. Tid for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg: Tillatte
DetaljerDiagonalisering. Kapittel 10
Kapittel Diagonalisering I te kapitlet skal vi anvende vår kunnskap om egenverdier og egenvektorer til å analysere matriser og deres tilsvarende lineærtransformasjoner Eksempel Vi begynner med et eksempel
DetaljerLøsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 3719 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar Oppgave 1. (A) Vi leser av at
Løsning Eksamensrelevante oppgaver i ELE 379 Matematikk Vektorer, matriser og lineær algebra Dato Februar 05 Oppgave. (A) Vi leser av at A = 3 5, B = ( 0 5 ), C = 0 5 9 og har dermed at π x = Ax + BT =
Detaljer2 3 2 t der parameteren t kan være et vilkårlig reelt tall. i) Finn determinanten til M. M =
Oppgave a) Løs likningssystemet x + 3x + x 3 = x + x 3 = 0 3x + x + 3x 3 = 8 Svar: Rekkereduksjon av totalmatrisen gir 0 0 0 0 7 0 0 0 0 Det betyr at løsningen er gitt ved x +x 3 = 0, x = 7 og x 3 en fri
DetaljerMAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 2
6. mars, 13 MAT-INF 36: Obligatorisk oppgave Innleveringsfrist: 4/4-13, kl. 14:3 Informasjon Den skriftlige besvarelsen skal leveres i obligkassa som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. et. i Niels
Detaljer4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner
4.2 Nullrom, kolonnerom og lineære transformasjoner Utover Span {v 1, v 2,..., v p } er det en annen måte vi får lineære underrom på! Ser nå på V = R n. Skal se at det er visse underrom knyttet til en
DetaljerEksamen i ELE Matematikk valgfag Torsdag 18. mai Oppgave 1
Eksamen i ELE79 - Matematikk valgfag Torsdag 8. mai 07 LØSNINGFORSLAG Oppgave (a) Den utvidede matrisen til likningssystemet er 6 Gausseliminasjon: ganger rad I legges til rad II: 0 0 Rad I trekkes fra
DetaljerTMA4110 Matematikk 3 Eksamen høsten 2018 Løsning Side 1 av 9. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer:
TMA4 Matematikk 3 Eksamen høsten 8 Løsning Side av 9 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 8 5 4 8 3 36 8 4 8 8 8 Den siste matrisen her er på redusert trappeform, og
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
DetaljerObligatorisk oppgave 2
Universitetet i Oslo MAT0 Obligatorisk oppgave Skrevet av: Sindre Rannem Bilden 4. oktober 04 Først utleder vi hva U T U tilsier, siden U kan skrives kan også U T skrives på formen U = [ u u n ] U T =
Detaljer12 Projeksjon TMA4110 høsten 2018
Projeksjon TMA0 høsten 08 En projeksjon er en lineærtransformasjon P som tilfredsstiller P x = P x for alle x Denne ligningen sier at intet nytt skjer om du benytter lineærtransformasjonen for andre gang,
DetaljerKap. 5 Egenverdier og egenvektorer
Kap. 5 Egenverdier og egenvektorer Egenverdier, egenvektorer og diagonaliserbarhet er sentrale begreper for kvadratiske matriser. Mye er kjent fra tidligere, skal repetere dette og gå videre. Sammenhengen
Detaljer= 3 11 = = 6 4 = 1.
MAT3000/4000 Eksamen V3 Løsningsforslag Oppgave [0 poeng] Sjekk at 3 er en kvadratisk rest i Z/(3) og finn løsningene av likningen x = 3 i Z/(3) (uten å lage en tabell for x ) Du får lov til å bruke at
DetaljerMAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3
MAT1120 Repetisjon Kap. 1, 2 og 3 Kap. 1, avsn. 2.1-2.3 og kap. 3 i Lays bok er for det meste kjent fra MAT1100 og MAT1110. Fra kap. 1 repeterer vi: Matriser Vektorer og lineære kombinasjoner Lineæravbildninger
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjonen (også kalt koordinatmatrisen) til en lineær avbildning mellom to endeligdimensjonale vektorrom
DetaljerLøsningsforslag øving 6
Løsningsforslag øving 6 7 Husk Teorem 79 i notatet: En delmengde U av et vektorrom V er et underrom hvis ) nullvektoren er i U, ) summen av to vektorer i U er i U igjen, og 3) et skalarmultiplum av en
DetaljerMAT 1110: Bruk av redusert trappeform
Tom Lindstrøm 10/5, 2006: MAT 1110: Bruk av redusert trappeform I Lays bok brukes den reduserte trappeformen til matriser til å løse en rekke problemer knyttet til ligningssystemer, lineærkombinasjoner,
DetaljerMAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 5.4
MAT1120 Notat 2 Tillegg til avsnitt 54 Dette notatet utfyller bokas avsnitt 54 om matriserepresentasjoner (også kalt koordinatmatriser) av lineære avbildninger mellom endeligdimensjonale vektorrom En slik
DetaljerMAT-INF 2360: Obligatorisk oppgave 2
6. mars, 13 MAT-INF 36: Obligatorisk oppgave Innleveringsfrist: 4/4-13, kl. 14:3 Informasjon Den skriftlige besvarelsen skal leveres i obligkassa som står i gangen utenfor ekspedisjonen i 7. et. i Niels
Detaljer4.1 Vektorrom og underrom
4.1 Vektorrom og underrom Vektorrom er en abstraksjon av R n. De kan brukes til å utlede egenskaper, resultater og metoder for tilsynelatende svært ulike klasser av objekter : n-tupler, følger, funksjoner,
Detaljerx 1 x 2 x = x n b 1 b 2 b = b m Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder
4 Noen merknader 4. Lineære systemer Ax = b Gitt systemet Ax = b, A = [a i,j ] i=,,...,m, j=,,...,n x = b = Det kan være vanskelig (beregningsmessig) og bearbeide utrykk som inneholder b i. Med det finnes
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: MAT 1120 Lineær algebra Eksamensdag: Mandag 5 desember 2016 Tid for eksamen: 09.00 13.00 Oppgavesettet er på 6 sider. Vedlegg:
Detaljer8 Vektorrom TMA4110 høsten 2018
8 Vektorrom TMA4 høsten 8 I de foregående kapitlene har vi tatt en lang vandring gjennom den lineære algebraens jungel. Nå skal vi gå opp på en fjelltopp og skue ut over landskapet vi har vandret gjennom.
DetaljerTMA4110 Eksamen høsten 2018 EKSEMPEL 1 Løsning Side 1 av 8. Løsningsforslag. Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: x 1 7x 4 = 0
TMA4 Eksamen høsten 28 EKSEMPEL Løsning Side av 8 Løsningsforslag Oppgave Vi setter opp totalmatrisen og gausseliminerer: 2 2 2 4 2 6 2 4 2 6 2 2 Dette gir likningene og 2 2 4 2 6 7 2. x 7x 4 = x 2 + 2x
DetaljerRepetisjon: Om avsn og kap. 3 i Lay
Repetisjon: Om avsn. 2.1-2.4 og kap. 3 i Lay Matrisemultiplikasjon. La A = [a ij ] være en m n matrise og B = [b kl ] være en n p matrise. ] Skriv B = [b 1 b 2 b p. Produktet AB er m p matrisen definert
DetaljerTiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka. Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver.
Kapittel 4 Anvendelser av lineære likningssystemer Tiden går og alt forandres, selv om vi stopper klokka Stoffet i dette kapittelet vil være en utømmelig kilde med tanke på eksamensoppgaver 4 Populasjonsdynamikk
DetaljerLøsningsforslag B = 1 3 A + B, AB, BA, AB BA, B 2, B 3 C + D, CD, DC, AC, CB. det(a), det(b)
Innlevering BYFE DAFE Matematikk 1000 HIOA Obligatorisk innlevering 2 Innleveringsfrist Fredag 05. februar 2016 kl 14:00 Antall oppgaver: 5 Løsningsforslag 1 Vi denerer noen matriser A [ 1 5 2 0 B [ 1
DetaljerMer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser
Kapittel Mer om lineære likningssystemer, vektorer og matriser I dette kapittelet tar vi utgangspunkt i lineære likningssystemer, som vi lærte om i MAT, og setter dette inn i et større rammeverk, kalt
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
DetaljerTMA Matlab Oppgavesett 2
TMA4123 - Matlab Oppgavesett 2 18.02.2013 1 Fast Fourier Transform En matematisk observasjon er at data er tall, og ofte opptrer med en implisitt rekkefølge, enten i rom eller tid. Da er det naturlig å
DetaljerMer lineær algebra. Inger Christin Borge. Matematisk institutt, UiO. Kompendium i MAT1012 Matematikk 2. Våren 2014
Mer lineær algebra Kompendium i MAT Matematikk Våren 4 Inger Christin Borge Matematisk institutt, UiO Forord Dette kompendiet er skrevet til bruk i andre del av emnet MAT. I dette emnet jobber vi under
DetaljerOBLIG 2 - MAT 1120 Høsten 2005
> with(linearalgebra): with(linalg):with(plots): Warning, the name GramSchmidt has been rebound Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the name changecoords
DetaljerMer om kvadratiske matriser
Kapittel 2 Mer om kvadratiske matriser Vi lader opp til anvendelser, og skal bli enda bedre kjent med matriser. I mange anvendelser er det ofte de kvadratiske matrisene som dukker opp, så fra nå skal vi
Detaljer1 Mandag 1. februar 2010
Mandag. februar 200 I dag skal vi fortsette med rekkeutviklinger som vi begynte med forrige uke. Vi skal se på litt mer generell rekker og vurdere når de konvergerer, bl.a. gi et enkelt kriterium. Dette
DetaljerUniversitet i Bergen. Eksamen i emnet MAT121 - Lineær algebra
Universitet i Bergen Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Bokmål Eksamen i emnet MAT2 - Lineær algebra Onsdag 29 mai, 20, kl. 09.00-4.00 Tillatte hjelpemidler. kalkulator, i samsvar med fakultetets
DetaljerLøsningsforslag øving 7
Løsningsforslag øving 7 8 Husk at en funksjon er injektiv dersom x y gir f(x) f(y), men her ser vi at f(3) 9 f( 3), eller generelt at f(z) z f( z) for alle z C, som betyr at f ikke er injektiv Vi ser også
DetaljerLO510D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 2005
TF Høgskolen i Sør Trøndelag Avdeling for informatikk og e læring LO5D Lin.Alg. m/graf. anv. Våren 5 Løsningsforslag Eksamen a) Setter α = og β = i ligningssystemet og gausseliminerer totalmatrisen til
Detaljer5.6 Diskrete dynamiske systemer
5.6 Diskrete dynamiske systemer Egenverdier/egenvektorer er viktige for å analysere systemer av typen x k+1 = A x k, k 0, der A er en kvadratisk diagonaliserbar matrise. Tenker her at x k angir systemets
Detaljer