Fasit til utvalgte oppgaver MAT1110, uka 11/5-15/5

Transkript

1 Fasit til utvalgte oppgaver MAT0, uka /5-5/5 Øyvind Ryan May, 009 Oppgave 5.0.a Ser at f(x, y = (, 3, og g(x, y = (x, y. g(x, y = 0 hvis og bare hvis x = y = 0, og dette er ikke kompatibelt med bibetingelsen. Vi trenger derfor bare nne løsningen av f(x, y = ( 3 ( x = λ y = λ g(x, y. Vi ser her at x 0, y 0. Deler vi første komponent på andre komponent får vi at x y = 3, eller x = 6 3y. Setter vi dette inn i bibetingelsen får vi at 9 y + y =, som gir at y = ± 3 5, med tilhørende verdi for x, x = 5. Vi får dermed de to kandidatene ( 5, 3 5, 5, ( 5, 3 5, 5. det første er et maksimum, det andre et minimum. Oppgave 5.0. b Ser at f(x, y = (y, x, og g(x, y = (8x, y. Vi ser først at g(x, y = 0 ikke har noen løsning som lar seg kombinere med bibetingelsen. Ligningen f = λ g blir til y = 8λx x = λy. Vi ser at bibetingelsen lar seg bare oppfylle hvis x, y, λ 0. Fra de to ligningene ser vi at 8λ = λ, som gir 36λ =, og dermed λ = ± 6. Den første ligningen sier at y = ± 6 8x = ±3x. Innsatt i bibetingelsen gir dette at 9x + 9x = 8, eller x = ±. Vi ser derfor at alle kandidatene er (±, ±3. Det er derfor klart at f(x, y = xy har minimum ( 3 for (x, y = (, 3, (, 3, og maksimum (3 for (x, y = (, 3, (, 3. Oppgave 5.0.c Ser at f(x, y, z = (x, y, z, og g(x, y, z = (, 3,. g(x, y, z blir aldri 0. Vi trenger derfor bare nne løsningen av f(x, y, z = x y z = λ 3 = λ g(x, y, z.

2 En løsning her er λ = x = y = z = 0, men denne løsningen er ikke kompatibel med bibetingelsen. Deler vi komponentene på hverandre får vi likningene z = x Setter vi dette inn i bibetingelsen får vi y = 3 x. x 3y + z = x x + x = x = 7, slik at x =. Vår kandidat blir dermed (, 3,. Det er klart at dette må bli et minimum, siden problemet er å minimere/maksimere avstanden fra et plan til origo. Oppgave 5.0.f Likningen for gradientene blir her x y z + = λ + λ De to gradientene på høyre siden ser vi fort at er lineært uavhengige, slik at vi ikke får ekstra løsninger på grunn av lineær avhengighet. Vi kan videre uttrykke x, y, z ved λ, λ ved hjelpe av komponentlikningene over: x = λ + λ +. y = λ λ Setter vi inn dette i bibetingelsene får vi z = λ λ. g (x, y, z = x + y + z = 5 λ + λ + = g (x, y, z = x y z = λ + λ + 5 = 5. Setter vi konstantleddene på samme side kan vi danne oss den utvidede matrisen. ( 5 Radreduserer vi denne får vi matrisen vi inn dette i likningene for x, y, z får vi 5 ( x = λ + λ + = =, slik at λ = 9, λ = 8 9. Setter y = λ λ = 8 9 = 6 z = λ λ = 9 9 = 5 6. Vi ser derfor at vårt minimum er (x, y, z = (, 6, 5 6. At dette faktisk er et minimum kan lett begrunnes ved å sammenligne med verdien i et annet punkt, eller ved å se på problemet som det å nne et punkt på en linje som ligger nærmest et annet punkt.

3 Oppgave Vi skal minimere f(x, y, z = x + y + z under de to bibetingelsene Vi ser at g (x, y, z = x + y = g (x, y, z = x xy + y z = f = (x, y, z g = (x, y, 0 g = (x y, x + y, z. For å bruke teorem 5.9. nner vi først ut når g og g er lineært avhengige. Dette kan vi nne ut av ved å bringe matrisen x x y y x + y 0 z på trappeform (når er ikke alle søylene i den radreduserte matrisen pivotsøyler? En mulighet for dette er at x = y = 0, men da er ikke den første bibetingelsen oppfylt. Det er lett å sjekke at hvis nøyaktig en av x, y er lik 0, så er begge søylene pivotsøyler. Hvis både x, y 0 kan vi skrive x x y y x + y xy 0 z xy y xy xy x 0 z xy xy y 0 y x 0 z Det er klart at andre søyle ikke er en pivotsøyle kun når y = ±x, z = 0. y = ±x kombinert med første bibetingelse gir at (x, y = (±, ±. Det er fort gjort å sjekke at dette sammen med z = 0 ikke passer sammen med andre bibetingelse, så lineært avhengige g, g gir oss ingen kandidater. Det gjenstår nå å løse ligningen f = λ g + λ g. På komponentform er denne λ x + λ x λ y = x λ y λ x + λ y = y zλ = z, Den tredje ligningen sier at z = 0 eller λ =. Anta først at x = 0 (så y = ± fra den første bibetingelsen. Da sier de to første ligningene at λ y = 0 λ y + λ y = y. Da blir λ = 0, λ =. Den tredje ligningen er da oppfylt kun når z = 0. Det er klart at (0, ±, 0 oppfyller begge bibetingelsene. Helt tilsvarende får ved å anta at y = 0 at (±, 0, 0 oppfyller begge bibetingelsene også. Anta til slutt x, y 0. Vi ser z = 0 sammen med dette ikke er forenlig med de to bibetingelsene. Vi skriver om de tre ligningene til λ xy + λ xy λ y = xy λ xy λ x + λ xy = xy zλ = z.. 3

4 Trekker vi den første ligningen fra den andre får vi at λ y = λ x. Den tredje ligningen sier derfor at λ = siden z 0. Mulighetene der x og y har motsatt fortegn gir oss en annen verdi for λ enn der de har samme fortegn. Imidlertid ser vi fort at det er kun der de har motsatt fortegn at det lar seg forene med andre bibetingelse. Ved å sette inn i andre bibetingelse ser vi at følgende punkter er kandidater i tillegg til de vi allerede har: (,,, (,,, (,,, (,,. Alle disse gir verdi 3 for f, mens punktene (0, ±, 0,(±, 0, 0 gir, som dermed blir minimumspunktene. Oppgave Funksjonen L kan nå skrives L(x, y, z = x + y + z, og bibetingelsen er at g(x, y, z = xyz = 500. Likningene for gradientene blir yz L(x, y, z = = λ xz xy = λ g(x, y, z. Deler vi første og andre komponent på hverandre får vi at y x =, eller y = x. Deler vi første og tredje komponent på hverandre får vi at z x =, eller z = x. Setter vi inn i bibetingelsen får vi xxx = 500, eller x 3 = 5. Altså er x = 5, og løsningen vår blir (x, x, x = (5, 0, 0. Oppgave a Vi fullfører kvadratene i 9x + y 8x + 6y = og får 9(x + (y + = = 36. Kjeglesnittet kan derfor skrives (x + y + 3 =. Kjeglesnittet er derfor en ellipse med sentrum i (,, og med store halvakse 3, lille halvakse. Brennvidden er c = 3 = 5. Brennpunktene er (, 5 og (, + 5. b Vi skal maksimere/minimere funksjonen f(x, y = x + y, under bibetingelsen g(x, y = 9x + y 8x + 6y =. Siden bibetingelsen beskriver et lukket, begrenset område og f er kontinuerlig, så vet vi at f antar både maksimum og minimum. Likningen for gradientene blir ( ( 8x 8 f(x, y = = λ = λ g(x, y. 8y + 6

5 Sammenligner vi komponentene ser vi at 8x 8 = (8y + 6, som gir at 8x = 6y + 50, eller 9x = 8y + 5. Setter vi dette inn i bibetingelsen får vi at 9x + y 50 = 8x + 36y = 59 (8y y = 59 00y + 00y + 76 = 0 5y + 00y + 9 = 0. Bruker vi formelen for andregradsligningen får vi y = 9 5, eller y = 5. Løsningene våre blir dermed (x, y, f(x, y = ( 3 5, 9 3 5, 5 og (x, y, f(x, y = ( 5, 5, 5, der den første er et minimum, den andre er et maksimum. g(x, y = 0 hvis og bare x =, y =, men der er lett å se at dette punktet ikke tilfredsstiller bibetingelsen. Oppgave La y være den horisontale lengden på siden av renna, og z være den vertikale lengden. Arealet av tverrsnittet er da gitt ved og bibetingelsen er Ligningen vi skal løse tar dermed formen A = f(x, y, z = (x + yz = xz + yz, g(x, y, z = x + y + z = b. z z x + y = λ y y +z z y +z. Vi ser at de to første komponentene på høyresiden må være like, som gir at y = y + z, og dermed 3y = z. Dermed er z y = 3, som gir at u = π 3. Siden λ = z gir den tredje ligningen dermed at x + y = z y + z = 6y y = 3y, og dermed x = y. Siden lengden av siderenna lik er y + z = y, må alle sidene i renna være lik b 3. Oppgave 5.0. Arealet er gitt ved A(x, y, z = s(s x(s y(s z, der s = x+y+z. Vi skal maksimere dette under bibetingelsen g(x, y, z = x + y + z = O, der O er en gitt omkrets. Gradienten til g er (,,, som aldri er null. Siden A er litt kronglete å derivere kan vi i stedet maksimere funksjonen f(x, y, z = ln A(x, y, z. Vi får da f(x, y, z = ln s + ln(s x + ln(s y + ln(s z. 5

6 Siden s x = x+y+z, s y = x y+z, s z = x+y z så ser vi ved bruk av kjerneregelen (for eksempel er (s x x = : f = s (s x + (s y + (s z s + (s x (s y + (s z s + (s x + (s y (s z For at f = λ g ser vi at første og andre komponent i f må være like. Dette gir at. s (s x + (s y + (s z = s + (s x (s y + (s z, som gir at (s y = (s x, og fra dette ser vi forat at x = y. At y = z viser vi på samme måte ved å sammenligne andre og tredje komponent i f. Vi har dermed vist at x = y = z, og trekanten er derfor likesidet nå vi har maksimum areal. Oppgave a Vi har at P (x, y = (αkx α y β, βkx α β β. For bibetingelsen g(x, y = x + y = S har vi g(x, y = (,. Fra ligningen ( αkx α y β βkx α β β ( = λ får vi at αkx α y β = βkx α y β, og dermed at αy = βx. bibetingelsen får vi ligningssystemet Kombinerer vi med Løsningen x = αs α+β, y = βs α+β P ( αs α + β, βs α + β x + y = S βx αy = 0. får vi ved radreduksjon. verdien for protten blir = K αα S α (α + β α β β S β (α + β β = K αα β β S α+β (α + β α+β. b Samme fremgangsmåte som i a, men nå blir ligningssystemet med gradientene gitt ved α Kx α x α xαn n... = λ. α Kx α xαn xαn n For hver i må derfor i'te komponent på venstresiden være lik n'te komponent på venstresiden. Dette gir ligningen α i Kx αi i x αn n = α n Kx αi i x αn n, og dermed at α i x n = α n x i. Vi har altså at x i = αi α n x n 6

7 eller Siden x + x n = S får vi da at ( α x n + α + + α n + α n α n α n Tilsvarende får vi at Protten blir nå x n = x i = α i α n x n = α i α n Kx α xαn n = K Oppgave α n S α + + α n. α n S α + + α n = α α Sα = S, α i S α + + α n. S αn (α + + α n αn αn α (α + + α n αn S α+ αn = K αα ααn n (α + + α n. α+ αn Nyttefunksjonen U(x, y = a ln x + b ln y har gradient ( a U(x, y = x, b. y For bibetingelsen g(x, y = px + qy = S har vi g(x, y = (p, q. Vi må altså løse ligningen ( p = λ. q ( a x b y For å eliminere λ deler jeg komponentene på høyre og venstre side på hverandre, og får da at ay bx = p q, som også kan skrives bpx = aqy. Gang så opp med b i bibetingelseligningen: eller y = bs = bpx + bqy = aqy + bqy = (a + bqy, bs (a+bq. På helt samme måte får vi at x = as Oppgave.. b Vi ser at a 0 =, r = 7. Dermed er summen a0 Oppgave..c (a+bp. r = 7 = 7 6 = 9 3. Den geometriske rekken fåes ved å gange hvert ledd med 6 < for å få det neste leddet. Summen blir derfor = ( 6 7. Oppgave.. a Følger av at arctan n π når n. 7

8 Oppgave.. b Følger av at cos ( n når n. Oppgave..c Vi regner ut lim n n = ( lim sin n n n = lim n en ln( sin n = e limn n ln( sin n ln( sin x limx 0 = e x cos x limx 0 = e sin x = e. Det følger dermed fra divergenstesten at rekken divergerer. Oppgave..5 a Setter vi k(k + = A k + B (A + Bk + A = k + k(k + ser vi umiddelbart at A = B og at A =, slik at k(k+ = k k+. b Bruker vi det vi viste i a vil alle ledd i summen kansellere bortsett fra det positive leddet ( for k =, og det negative leddet (- for k = n. Resultatet følger. n+ c Det er klart fra b at summen konvergerer mot. Oppgave..a Funksjonen f(x = ln(x + er positiv, kontinuerlig og avtagende på [, ]. Vi kan derfor sammenligne med integralet dx = lim x + [ln(x + n ]n = lim ln(n + ln. n Rekken vil derfor divergere, siden integralet divergerer (ln går mot uendelig. 8

9 Oppgave.. b Funksjonen f(x = x + er positiv, kontinuerlig og avtagende på [, ]. Vi kan derfor sammenligne med integralet x dx = lim + [arctan n x]n = lim arctan n arctan = π n π = π. Rekken vil derfor konvergere. Oppgave.. c Funksjonen f(x = x +x er positiv, kontinuerlig og avtagende på [, ]. Vi kan derfor sammenligne med integralet [ x + x dx dx = lim ] n =. x n x Rekken vil derfor konvergere. Oppgave.. d Funksjonen f(x = er positiv, kontinuerlig og avtagende på [, ]. Vi kan cosh x derfor sammenligne med integralet [ cosh x dx dx = lim ] n ex n e x = e. Rekken vil derfor konvergere. Oppgave..e Funksjonen f(x = π arctan x er positiv, kontinuerlig og avtagende på [0, ]. Vi kan derfor sammenligne med integralet ( π [ arctan xdx = lim x( π ] n n 0 n arctan x x x dx ( = lim n( π [ ] n n arctan n + ln( + x 0 ( = lim n( π n arctan n + ln( + n. Begge leddene her er større enn 0, og det andre vil gå mot. Rekken vil derfor divergere. Oppgave.. Vi sammenligner med Hvis p vet vi at dette er lim n [ p u p ] n dx x(ln x p = du ln u p. ln = lim n p (n p (ln p. 9

10 Det er klart at dette konvergerer hvis og bare hvis p >. For p = vil rekken divergere. Integralet ovenfor vil da i stedet bli en logaritmefunksjon, og integralet vil divergere siden ln n når n. 0