EKSAMENSOPPGAVE. To dobbeltsidige ark med notater. Stian Normann Anfinsen

Transkript

1 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: 30. november 2017 Klokkeslett: 09:00 13:00 Sted: Åsgårdvegen 9 Tillatte hjelpemidler: To dobbeltsidige ark med notater Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: rute 5 Stian Normann Anfinsen Telefon/mobil: Vil det bli gått oppklaringsrunde i eksamenslokalet? Ja ca. kl. 09:45 og 12:00 NB! Det er ikke tillatt å levere inn kladdepapir som del av eksamensbesvarelsen. Hvis det likevel leveres inn, vil kladdepapiret bli holdt tilbake og ikke bli sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

2 Først: noen generelle råd Les raskt gjennom hele oppgaveteksten og lag en plan for bruken av eksamenstida. Tegn gode figurer. Skriv tydelig og presenter oppgavene oversiktlig. Ikke bare skriv opp formler, men forklar hvorfor du bruker dem og hvilken fysisk forståelse som ligger bak. Forklar overganger fra ei ligning til ei annen. Skriv opp mellomregninger. Ved sensurering vil alle delspørsmål i utgangspunktet vektes likt, men vi forbeholder oss retten til justeringer. Oppgave 1: Skråplan med trinse Figur 1: System av skråplan og masser I figur 1 ser du et skråplan med helningsvinkel θ og masse M som hviler på ei ru overflate med friksjonskoeffisient µ. En masse m 1 henger i en masseløs snor som går over ei masseløs trinse på den øvre kanten av skråplanet. I den andre enden av snora er det festa en masse m 2 som glir uten friksjon på skråplanet. (a) Tegn et frilegemediagram for hver av massene m 1, m 2 og M (hvor du kan betrakte trinsa som en del av skråplanet). Forklar hvilke av kreftene i disse diagrammene som er motkrefter. (b) Finn akselerasjonen til m 1 og m 2. Finn også snordraget. 1

3 (c) Vis at normalkrafta fra den ru overflata på skråplanet må være N = m 2 g cos 2 θ + Mg + T (1 + sin θ), hvor g er tyngdens akselerasjon og T er snordraget. (d) Finn den minste verdien friksjonskoeffisienten kan ha for at skråplanet skal være i ro. Oppgave 2: Partikkel i lineært potensial En partikkel med masse m befinner seg i et lineært potensial V (r) = kr, hvor k er en konstant og r angir en radiell avstand fra potensialets nullpunkt. (a) Uttrykk krafta forbundet med dette potensialet på vektorform og tegn det tilhørende vektorfeltet i et koordinatsystem. (b) Anta at dette er den dominerende krafta som virker på partikkelen. Vis at dersom partikkelen går i sirkelbane, vil den ha total energi lik E = 3 2 kr. (c) Finn uttrykk for vinkelhastigheta i sirkelbevegelsen og det angulære momentet til partikkelen. (d) Det effektive potensialet er gitt ved V eff (r) = L2 2mr 2 + V (r). Skisser det effektive potensialet. Tegn inn totalenergien og radien for en sirkelbane med konstant radius r 0 i figuren. Finn r 0 uttrykt ved hjelp av L. (e) Anta at den sirkulære banen på et tidspunkt blir litt forstyrret, slik at partikkelens hastighet ikke lenger bare er tangentiell på potensialet. Du kan likevel anta at den har tilnærma lik totalenergi når den fortsetter bevegelsen i samme potensial som før. Bruk Euler-Lagrange-likninga eller Taylor-rekkeutvikling av det effektive potensialet i punktet r = r 0 til å vise at den radielle banebevegelsen nå blir ei svingning. Finn vinkelfrekvensen til svingninga. 2

4 Til opplysning: En uendelig deriverbar reell funksjon f(x) kan skrives ved hjelp av Taylor-rekkeutviklinga i punktet a som f(x) = f(a) + f (a)(x a) f (a)(x a) , hvor f (x) og f (x) angir den første- og andrederiverte av f(x). Oppgave 3: Nødsignal fra romsonde En romsonde er skutt ut fra jorda og reiser radielt utover i verdensrommet med hastighet u relativt til jorda. Romsonden opplever motorproblemer og reagerer i henhold til protokoll med å sende ut nødsignaler i form av elektromagnetiske bølgepulser på en forhåndsbestemt frekvens med ett sekunds mellomrom, målt i romsondens eget referansesystem. Etter ei tid fanger en mottaksstasjon på jorda opp disse signalene og måler en tidsforskjell på to sekunder mellom dem. I det følgende skal vi se på fire hendelser: H1: Romsonden sender ut sitt første nødsignal. H2: Romsonden sender ut andre første nødsignal. H3: Mottaksstasjonen mottar første nødsignal. H4: Mottaksstasjonen mottar andre nødsignal. (a) Skriv opp Lorentz-transformasjonene for tid og posisjon på differensform. Bruk disse til å relatere tidsintervallene målt i jorda og romsonden sitt referansesystem (henholdsvis S og S ) for hendelse H1 og H2. Her kan du bruke notasjonen: t 12 = t 2 t 1 og t 12 = t 2 t 1. Gjenta dette for intervallene mellom H3 og H4. Fortolk resultatet i form av det relativistiske fenomenet tidsdilatasjon. (b) Vis at og forklar hvordan en kan komme fram til resultatet: t 34 = t 12 (1 + u/c). Finn deretter den relative hastigheta u, som vi antar å være konstant over tidsrommet for de fire hendelsene. (c) Forklar hvordan du kan bruke det invariante rom-tid-intervallet til å sjekke at du har regna riktig. 3

5 Oppgave 4: Hengsla stav som faller Figur 2: Horisontal stav festa til vegg med hengsel og snor Figur 2 viser en horisontal stav med masse M som er jevnt fordelt over lengden L. Staven er hengsla i punktet P, og den andre ytterenden er festa til veggen gjennom ei snor som danner vinkelen θ med staven. Treghetsmomentet til staven rundt massesenteret er I = ML 2 /12. (a) Tegn kraftdiagram for staven. Finn snordraget T og krafta fra hengselen på staven. (b) Snora blir kutta, slik at staven faller mens den dreier rundt punktet P. Finn vinkelhastigheta ω idet staven treffer veggen. (c) Gjenta oppgave (a) og (b) etter at en punktmasse m er festa på den horisontale staven i en avstand d L fra veggen. Lykke til! 4

6 Fakultet for naturvitenskap og teknologi EKSAMENSOPPGÅVE Eksamen i: FYS-1001 Mekanikk Dato: 30. november 2017 Klokkeslett: 09:00 13:00 Stad: Åsgårdvegen 9 Lovlege hjelpemiddel: Type innføringsark (rute/linje): Antall sider inkl. forside: Kontaktperson under eksamen: To dobbeltsidige ark med notat Rute 5 Stian Normann Anfinsen Telefon/mobil: Skal det gåast trøysterunde i eksamenslokalet? Ja ca. kl. 09:45 og 12:00 NB! Det er ikkje lov å levere inn kladd saman med svaret. Om det likevel leverast inn, vil kladden bli heldt tilbake og ikkje sendt til sensur. Postboks 6050 Langnes, N-9037 Tromsø / / postmottak@uit.no / uit.no

7 Først: nokre generelle råd Les raskt gjennom heile oppgåveteksten og lag ein plan for bruken av eksamenstida. Teikn gode figurar. Skriv tydeleg og legg fram oppgåvene oversiktleg. Ikkje berre skriv opp formlar, men forklar kvifor du bruker dei og kva for ei fysisk forståing som ligg bak. Forklar overgangar frå ei likning til ei anna. Skriv opp mellomrekningar. Ved sensur blir alle delspørsmål i utgangspunktet gjeve samme vekt, men vi tek oss rett til å gjere justeringer. Oppgåve 1: Skråplan med trinse Figur 1: System av skråplan og massar I figur 1 ser du eit skråplan med hellingsvinkel θ og masse M som kviler på ei ru overflate med friksjonskoeffisient µ. Ein masse m 1 heng i ei masselaus snor som går over ei masselaus trinse på den øvre kanten av skråplanet. I den andre enden av snora er det festa ein masse m 2 som glir uten friksjon på skråplanet. (a) Teikn eit frilekamdiagram for kvar av massane m 1, m 2 og M (kor du kan sjå på trinsa som ein del av skråplanet). Forklar kva for krefter i desse diagramma som er motkrefter. (b) Finn akselerasjonen til m 1 og m 2. Finn også snordraget. 1

8 (c) Vis at normalkrafta fra den ru overflata på skråplanet må vere N = m 2 g cos 2 θ + Mg + T (1 + sin θ), kor g er tyngden sin akselerasjon og T er snordraget. (d) Finn den minste verdien friksjonskoeffisienten kan ha for at skråplanet skal vere i ro. Oppgave 2: Partikkel i lineært potensial Ein partikkel med masse m opphald seg i eit lineært potensial V (r) = kr, kor k er ein konstant og r angjev den radielle avstanden frå nullpunktet til potensialet. (a) Uttrykk krafta forbunde med dette potensialet på vektorform og teikn det tilhørande vektorfeltet (kraftfeltet) i eit koordinatsystem. (b) Du kan gå ut frå at dette er den dominerende krafta som verkar på partikkelen. Vis at om partikkelen går i sirkelbane, vil han ha total energi lik E = 3 2 kr. (c) Finn eit uttrykk for vinkelhastigheita i sirkelbanen og det angulære momentet til partikkelen. (d) Det effektive potensialet er gjeve som V eff (r) = L2 2mr 2 + V (r). Skisser det effektive potensialet. Teikn inn totalenergien og radien for ein sirkelbane med konstant radius r 0 i figuren. Finn r 0 uttrykt med hjelp av L. (e) Anta at den sirkulære banen på eit tidspunkt blir litt forstyrra, slik at hastigheita til partikkelen ikkje lenger berre er tangentiell på potensialet. Du kan likevel gå ut frå at han har tilnærma lik totalenergi når han hald fram rørsla i samme potensial som før. Bruk Euler-Lagrangelikninga eller Taylor-rekkeutvikling av det effektive potensialet i punktet r = r 0 til å vise at den radielle banerørsla nå blir ei svinging. Finn vinkelfrekvensen til svinginga. 2

9 Til opplysing: Ein kan skrive ein uendeleg deriverbar reell funksjon f(x) ved hjelp av Taylor-rekkeutvikling i punktet x = a som f(x) = f(a) + f (a)(x a) f (a)(x a) , kor f (x) og f (x) angjev den første- og andrederiverte av f(x). Oppgave 3: Nødsignal frå romsonde Ei romsonde er skutt ut fra Jorda og reiser radielt utover i verdsrommet med hastigheit u i forhold til jorda. Romsonden opplever motorproblem og reagerer ut frå protokoll med å sende ut nødsignaler i form av elektromagnetiske bølgepulsar på ein forhåndsbestemd frekvens med eitt sekund mellom pulsane, målt i romsondens sitt eige referansesystem. Etter ei tid fangar ein mottaksstasjon på Jorda opp desse signala og måler ein tidsforskjell på to sekund mellom dei. I det følgjande skal vi sjå på fire hendingar: H1: Romsonden sender ut sitt første nødsignal. H2: Romsonden sender ut andre første nødsignal. H3: Mottaksstasjonen mottek første nødsignal. H4: Mottaksstasjonen mottek andre nødsignal. (a) Skriv opp Lorentz-transformasjonane for tid og posisjon på differensform. Bruk desse til å relatere tidsintervalla målt i Jorda og romsonden sitt referansesystem (høvesvis S og S ) for hending H1 og H2. Her kan du bruke notasjonen: t 12 = t 2 t 1 og t 12 = t 2 t 1. Gjenta dette for intervalla mellom H3 og H4. Tolk resultata i form av det relativistiske fenomenet tidsdilatasjon. (b) Forklar korleis vi kjem fram til resultatet: t 34 = t 12 (1 + u/c). Finn deretter den relative hastigheita u, som vi antek å vere konstant over tidsrommet for dei fire hendingane. (c) Forklar korleis du kan bruke det invariante rom-tids-intervallet til å sjekke at du har reikna riktig. 3

10 Oppgave 4: Hengsla stav som fell Figur 2: Horisontal stav festa til vegg med hengsel og snor Figur 2 viser ein horisontal stav med masse M som er jamnt fordelt over lengden L. Staven er hengsla i punktet P, og den andre ytterenden er festa til veggen gjennom ei snor som dannar vinkelen θ med staven. Treghetsmomentet til staven rundt massesenteret er I = ML 2 /12. (a) Teikn kraftdiagram for staven. Finn snordraget T og krafta frå hengselet på staven. (b) Snora blir kutta, slik at staven fell mens han dreier rundt punktet P. Finn vinkelhastigheita ω idet staven treff veggen. (c) Gjenta oppgåve (a) og (b) etter at ein punktmasse m er festa på den horisontale staven i ein avstand d L frå hengselet. Lykke til! 4