Obligatorisk oppgave nr 4 FYS Lars Kristian Henriksen UiO

Transkript

1 Obligatorisk oppgave nr 4 FYS-13 Lars Kristian Henriksen UiO. februar 15

2

3 Oppgave 1 Vi betrakter bølgefunksjonen Ψ(x, t) Ae λ x e iωt hvor A, λ og ω er positive reelle konstanter. a) Finn normaliseringen til Ψ. Vi vet at betingelsen som tilsvarer normaliseringen av Ψ gir at Ψ(x, t) dx 1, og det er på denne måten vi finner A, ved å løse for A. Før vi starter på utregningene, ser vi at e iωt frafaller når vi utfører Ψ Ψ regningen (e iωt e iωt e 1). Dermed får vi at Ψ(x, t) dx A e λ x dx grunnet symmetri endres grenser og vi ganger med to A e λx dx A [ 1 λ e λx ] A λ Løser vi nå A /λ 1 for A får vi at A λ b) Bestem forventningsverdien til x og x. Vi finner x ved x Ψ(x, t) dx, men vi ser at Ψ(x, t) er symmetrisk og x er usymmetrisk, slik at vi kan konkludere med at integralet er asymmetrisk som helhet, og integralet blir da.. x

4 Vi finner så x ved x Ψ(x, t) dx som har to symmetriske deler, og vi kan endre den nedre grensen til fra, og gange inn en konstant med verdi. Ved og igjen bruke den samme utregningen vi gjorde i a), får vi x A x e λx dx A e λx x e λx dx (For å bruke Rottmann (L1, s.169, 14)) A 1 4λ 3 x 1 λ 3

5 c) Finn standardavviket til x. Tegn grafen til Ψ som en funksjon av x og marker punktene x 1 x + σ og x x σ for å illustrere hvordan σ representerer spredningen i x av bølgefunksjonen. Hva er sannsynligheten for at partikkelen befinner seg utenfor dette intervallet? Vi bruker at σ x x 1 1 λ λ, som med λ 1 gir at σ 1/. Dermed er x 1 σ og x σ 1.8 Ψ (x) σ σ Ψ (x) posison (x) Figur 1: Ψ(x) som funksjon av x Når vi nå skal finne sannsynligheten for å havne utenfor dette intervallet, kan vi regne ut følgende integral med λ satt lik 1 1/ Ψ(x, t) dx A 1/ e x dx A [ 1 e x ] 1/ Siden λ 1 er også A 1 ( ) 1 e e.43 Denne verdien tilsvarer en omtrentlig sannsynlighet på 4.3 prosent for at partikkelen befinner seg utenfor intervallet fra σ til σ. 4

6 Oppgave En partikkel med masse m befinner seg i tilstanden Ψ(x, t) Ae a[(mx /)+it], hvor A og a er positive reelle konstanter. a) Finn A. Det første som gjøres her er å forenkle uttrykket og få ut et faseledd som kan settes lik 1. Ψ(x, t) A e a[(mx /)+it] A e a(mx /) e iat Når vi nå tar absoluttkvadraet av Ψ forsvinner da faseleddet, som vi ønsket, og vi får at Ψ A e amx /. På samme måte som i en tidligere oppgave, må integralet av dette bli en, for så å løse for A, for å finne A. 1 A A e amx / dx e λx dx λ am Rottmann: e λx dx π λ A π λ π A am A ( ) 1/4 π am b) For hvilken energi funksjon V (x) tilfredsstiller Ψ Scrödingerligningen? For å finne V (x) må vi løse Scrödingerligningen for V (x), (setter γ am/) V (x)ψ i t Ψ + Ψ m x i t Ψ a Ψ V (x)ψ a Ψ + a Ψ ( γx 1 ) V (x) a + a ( γx 1 ) ( a am ) x + 1 Ψ m x a Ψ ( γx 1 ) 5

7 c) Beregn forventningsverdiene til x, x, p, og p. Som i oppgave 1 b) vil x også her bli på grunn av symmetrien. I tillegg vil x være symmetrisk, og vi endrer grenser som tidligere vist. Vi får da at x A x e λx dx, A 1 ( ) λ 3 3 Γ Rottmann: Γ λ am e λx x k dx 1 ( ) k+1 k + 1 λ Γ ( ) ( ) 3 1 Γ ( ) 1 Γ 1 π π A λ 3/ π A ( ) 1/ π ( π ) 1/ am λ ( ) 1/ ( ) 3/ λ 1 π π λ 1 πλ π 1 λ x 4am Når vi skal finne p, bruker vi at p m d x dt ( Ψ i ) Ψ dx x ( i Ae amx / A am ) / dx xe amx Vi kan se at dette blir null grunnet antisymmetrien som x-leddet tar med seg inn i funksjonen ved derivasjon. 6

8 Når vi nå skal finne p, bruker vi at p Ψ (ˆp )Ψ dx ( Ψ i x Ψ ( x ) Ψ dx ) Ψ dx Ψ ( 4a m x am ) Ψ dx A e λx ( 4a m x am ) dx A e λx 4a m x A e λx am dx a m A e λx x dx am A e λx dx } {{ } } {{ } x oppgavea) x Ψ (4a m x am)ψ λ am. a m π 4am A am am p 3 am PS: Jeg mener og tror at en forventningsverdi til en bevegelsesmengde ikke kan være negativ, selv om jeg ikke klarer å lokalisere fortegnsfeil noe sted. Jeg ser derfro bort i fra det negative fortegnet ved videre regning. d) Finn σ x og σ p. Er disse konsistente med uskarphetsrelasjonen? Vi finner σ x x x σ p p p 4am 1 am, 3 am. For å se på om disse er konsistente med uskarphetesrelasjonen, må vi se på om σ x σ p /. σ x σ p am / am kvadrerer alle ledd og samler Vi ser dermed at σ x og σ p er konsistente med uskarphetsrelasjonen, (så lenge σ p er positiv, vel og merke, noe den ikke hadde vært med nevnte negative fortegn fra forrige oppgave.) 7

9 Oppgave 3 Anta at du legger til en konstant V til den potensielle energien i et problem (med konstant mener vi her uavhengig av både x og t). I klassisk mekanikk så endrer det ingenting, problemet har samme løsning, men hva skjer i kvantemekanikken? Vis at bølgefunksjonen plukker opp en tidsavhengig fasefaktor: exp ( iv t/). Hva slags effekt har dette på forventningsverdier til dynamiske variable i problemet? Når vi ser på Scrödingerligningen og dens tre deler, ser vi at det er den delen som angir potensiell energi får lagt til denne konstanten V. Vi kan skrive V (x) V (x) + V og vi får Ψ m x + V (x)ψ i t Ψ, hvor V (x) > V (x). Dette betyr at totalenergien til systemet øker etter at vi legger til konstanten V. Hvordan e ivt/ dukker opp, klarer jeg ikke se. Dette faseleddet vil dog forsvinne ved komplekskonjugeringen vi gjør når vi skal finne forventningsverdier for dynamiske variable, slik at en konstant V lagt til den potensielle energien i et system ikke vil endre forventningsverdiene for de nevnte dynamiske variable. 8