Løysingsframlegg eksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk vår 2013

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Løysingsframlegg eksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk vår 2013"

Transkript

1 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg eksamen TFY45/FY6 Innføring i Kvantemekanikk vår 3 Oppgåve Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon: April 9, 5 a) Den tidsuavhengige Schrödingerlikninga er ] [ h m + V (r, φ) ψ(r, φ) = Eψ(r, φ). () der Innsetting av L z = i h gjev φ ( [ h m r + ) r r L z h r = r + r r + r φ. () ] + V (r, φ) ψ(r, φ) = Eψ(r, φ). (3) L z = i h φ kommuterer med Ĥ fordi L z kommuterer med r (partielderiverte kommuterer) fordi L z kommuterer med r (fordi L z er uavhengig av r) og difor med ein vilkårleg funksjon f(r).

2 Dersom vi krev at bølgjefunksjonen skal vere eintydig får vi ψ(r, ) = ψ(r, π), (4) sidan φ = og φ = π er same punkt på sirkelen. (Ein kan sjølsagt velje eit vilkårleg punkt på sirkelen). Etter innsetting i (4) og forkorting med R(r) gjev dette = e πim. Denne likninga har løysing m =, ±, ±,.... (5) b) Innsetting av ψ(r, φ) = R(r)e imφ i likning () og forkorting med e imφ gjev direkte den oppgjevne likninga. etc. Ved innset- c) Dersom vi skiftar variabel x = r µω får vi d = µω h dr h ting av V (r) = µω r = hωx gjev dette hω [ d dx + d x dx m x Vi har R(r) = u(x) = P (x)e x. Dette gjev d dx ] u(x) + hωx u(x) = Eu(x) (6) u (x) = P (x)e x P (x)xe x, (7) u (x) = P (x)e x P (x)xe x + P (x) ( x ) e x. (8) Innsetting av u (x) og u (x) og forkorting med hω og e x gjev ( ) ) P (x) + x x P (x) + (ɛ m P (x) =. (9) x c) Vi bruker potensrekkjemetoden og skriv P (x) = a n x n. () Dette gjev P (x) = P (x) = n= a n nx n = n= a n n(n )x n = n= Innsetting gjev da a n n(n )x n + n= +(ɛ ) n= a n nx n, () n= a n n(n )x n. () n= a n nx n a n nx n a n x n m n= n= n= a n x n =. (3)

3 Dette kan vi skrive som a n n(n )x n + a x + a n nx n a n nx n n= n= n= ( +(ɛ ) a n x n m a x + a ) m a n x n =. (4) x n= Dersom vi redefinerer n n i det første, tredje og siste leddet, får vi etter litt opprydding n= [ ] an+ (n + ) m a n+ + (ɛ n ) a n x n n= + a ( m ) x a m x =. (5) Koeffisienten foran kvar potens av x må vere lik null. Dette gjev rekursjonsrelasjonen a n+ = n + ɛ (n + ) m a n. (6) I tillegg må a = viss m og a = viss m. Rekursjonsformelen viser at a n+ /a n /n for store n som er same oppførsel som rekkja for e x. Det vil seie at P (x) e x for store x og difor at u(x) e x for store x. u(x) er såleis ikkje normerbar. Einaste vegen ut er at rekkja terminerer, det vil seie a n+ = for passe heiltal n. Dette gjev eller ɛ = n +, (7) E = hω(n + ). (8) d) Dersom P (x) = A er konstant får vi ved innsetting i (9) ) (ɛ m A =, (9) som har løysing når ɛ = og m =. Dersom P (x) = Bx får vi ved innsetting og litt opprydding x ( ) m B + x (ɛ 4) B =, () x

4 som har løysing ɛ = 4 og m =, det vil seie m = ±. e) Energien til den isotrope todimensjonale oscillatoren er E = hω(n x + n y + ), () der n x =,,... og n y =,,... Grunntilstanden er for n x = n y = og E = hω som tilsvarer ɛ =. Middelverdien r kan skrivast som r = π r ψ r dr dφ π ψ r dr dφ, () der nemnaren er normeringsintegralet av ψ (r, φ). Etter innsetting av ψ (r, φ) gjev vinkelintegralet π i tellar og nemnar. Ny variabel x = r µω/ h gjev da r = h x 3 e x dx µω xe x dx = h µω = h µω, ye y dx e y dx der vi andre linje har skifta variabel, y = x. Dette gjev V (r) = µω r = hω. (3) Vi har H = E k + V (r) og E = H. Dette gjev Sidan E = ( hω)ɛ = hω for grunntilstanden får vi E k = E V (r). (4) E k = hω. (5) Energien E er da i middel likt fordelt mellom potensiell og kinetisk energi. Venderadien er gjeve E V (r vende ) =. (6)

5 Med E = hωɛ = hω får vi µω r vende = hω, (7) som har løysing r vende = h µω. (8) Oppgåve a) På grunn av faktoren e αx går ψ(x) når x + og ψ(x) er difor lokalisert. ψ(x) beskriv da ein bunden tilstand. Normeringsintegralet er ψ(x) = A x e αx dx = A 8α 3 y e y dy = A 4α 3! =. (9) Dersom ein veljer A reell får vi A = α 3 blir og den normerte bølgjefunksjonen b) Middelverdien til den potensielle energien er ψ(x) = α 3 xe αx. (3) V (x) = 4F α 3 x 3 e αx dx = F 4α c) Middelverdien til den kinetiske energien er E k = h m = h m y 3 e y dy = 3F α. (3) ψ(x) d ψ(x) dx dx [ ] d dx ψ(x) dx (3)

6 etter delvis integrasjon. Innsetting av ψ(x) gjev E k = h m 4α3 = h m α = h m α. [ αx] e αx dx ( y ) e y dy d) Den totale energien til systemet kan vi da skrive som E = E k + E p = h m α + 3F α. (33) Verdien på α som minimaliserer E, α min, finn ein ved å løyse de dα gjev =. Dette h m α min 3F α min =, (34) eller α min = ( 3mF h ) 3. (35) Innsett i uttrykket for E får vi da E min = ( h m ) 3 F 3. (36) der prefaktoren er Feilen i grunntilstandsenergien er omlag 6 4 d prosent. Ikkje dårleg. Merk: E = h + 3F > for alle α > og vi har dα m α 3 såleis eit minimum og ikkje eit maksimum. E k er gjeve integralet ved ( d dx ψ) og blir mindre jo flatare ψ(x) er (ψ(x) = konstant minimerer E k ). Den potensielle energien E p blir mindre desto meir bølgjefunksjonen er konsentret rundt x = (som er minimum til V (x)). Verdien på α som minimaliserer E, α min, er da eit kompromiss mellom desse to ledda.

7 Oppgåve 3 a) Funksjonen r kommuterer opplagt med funksjonen V (r) og også med L mr fordi L er uavhengig av. Vi treng difor berre å rekne ut [ +, r]. Vi r r r r får da [ r + ] r r, r ψ = r (rψ) + (rψ) r r r r ψ r ψ = ( r + r ) ψ, der ψ er ein vilkårleg glatt funksjon. Altså er [Ĥ, r] = h m ( r + r ). (37) b) Fouriertranformen i tre dimensjonar er Φ(p) = ψ(r)e ip r/ h d 3 r. (38) (π h) 3 Ved innsetting gjev dette Φ(p) = π(π ha ) 3 e ip r/ h e r/a d 3 r. (39) Sidan ψ er uavhengig av vinklane kan vi bruke hintet som er gjeve i oppgåva. Vinkelintegralet blir då π π e ipr cos θ/ h dω = dφ e ipr cos θ/ h sin θdθ [ ] e ipr cos θ/ h π = π h ipr = π h [ e ipr/ h e ipr/ h]. (4) ipr Innsetting av dette i radialintegralet gjev Φ(p) = π h re [ r/a e ipr/ h e ipr/ h] dr ip (πa h) 3 = ( ) 3 a π h ( + a p / h (4) ) Vi noterer oss at Φ(p) er kulesymmetrisk i impulsrommet akkurat som ψ(r, θ, φ) er kulesymmetrisk i koordinatrommet. Φ(p) gjev impulsfordelinga i grunntilstanden.

8 c) Klassisk mekanikk er deterministisk. I prinsipp kan vi løyse Newtons bevegelseslikningar dersom vi kjenner kreftene på systemet og initialkrava. I kvantemekanikken gjev ψ som er løysinga av Schrödingerlikninga all informasjon om systemet. Denne informasjonen er av statistisk natur. For eksempel vil ψ(x) gje sannsynlegheitsfordelinga for posisjonen til ein partikkel på x-aksen. I tillegg vil to observable som ikkje er kompatible (der dei tilhøyrande operatorane ikkje kommuterer) ikkje vere skarpe samtidig. Det vil seie at systemet ikkje kan vere i ein eigentilstand for begge observable samtidig. Eksempel er posisjonen x og impulsen p. Usikkerheita i slike observable er gjevne ved uskarpheitsrelasjonar. d) Dersom vi bruker klassisk fysikk vil partikkelen sprette tilbake viss E < V (%refleksjon). Dersom E > V vil partikkelen beveges seg mot høgre med redusert hastighet (% transmisjon) Kvantemekanisk vil refleksjonskoeffisienten, det vil seie sannsynlegheiten for at partikkelen blir reflektert vere lik når E < V. Dette er klassisk oppførsel. Når E > V er refleksjonskoeffisienten ein avtagande funksjon av E, men er positiv. Dette er altså ikkje-klassisk oppførsel. Sjå figur. Figure : Refleksjonskoeffisient for eit potensialsprang som funksjon av E/V.

Fasit Kontekesamen TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk 2015

Fasit Kontekesamen TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk 2015 Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Fasit Kontekesamen TFY415/FY16 Innføring i kvantefysikk 15 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU August 15 kl. 9.-13.

Detaljer

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015 Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2015 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Mandag 27. mai 2015 kl.

Detaljer

Kontinuasjonseksamen TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2013

Kontinuasjonseksamen TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2013 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Kontinuasjonseksamen TFY45/FY006 Innføring i kvantemekanikk august 03 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk øysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk øysingsframlegg prøveeksamen TFY4215/FY1006 Innføring i Kvantemekanikk Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

Løysingsframlegg øving 1

Løysingsframlegg øving 1 FY6/TFY425 Innføring i kvantefysikk Løysingsframlegg øving Oppgåve Middelverdien er x = x Ω X xp (x) = 2 + 2 = 2. (.) Tilsvarande har vi x 2 = x Ω X x 2 P (x) = 2 2 + 2 2 = 2. (.2) Dette gjev variansen

Detaljer

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2014

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2014 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantemekanikk august 2014 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon: 73593131

Detaljer

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2014

Fasit TFY4215/FY1006 Innføring i kvantefysikk Vår 2014 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Fasit TFY45/FY6 Innføring i kvantefysikk Vår 4 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Mandag 6. mai 4 kl. 9.-3.

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 Frist for innlevering: tirsdag 3. februar Oppgave 1 ØVING 2 Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar Ein partikkel med masse m

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løysing øving 2 1 LØYSING ØVING 2. a) For grunntilstanden for den harmoniske oscillatoren har vi

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løysing øving 2 1 LØYSING ØVING 2. a) For grunntilstanden for den harmoniske oscillatoren har vi FY6/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Løysing øving Løysing oppgåve LØYSING ØVING Krumningseigenskapar for eindimensjonale energiegenfunksjonar a) For grunntilstanden for den harmoniske oscillatoren har

Detaljer

1 Stokastisk variabel

1 Stokastisk variabel FY1/TFY415 Innføring i kvantefysikk - Notat om sannsynlegheit 1 1 Stokastisk variabel Før vi byrjar på oppgåvene gjev vi ein liten briefing om stokastiske variable, middelverdiar, usikkerheiter osb. Ein

Detaljer

ØVING 2. Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar. h2 + V (x). (0.1) 2m dx 2

ØVING 2. Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar. h2 + V (x). (0.1) 2m dx 2 FY006/TFY45 Innføring i kvantefysikk - Øving Frist for innlevering: tirsdag 4. februar Oppgave ØVING Krumningseigenskapar for eindimensjonale energieigenfunksjonar Ein partikkel med masse m bevegar seg

Detaljer

Løsningsforslag Konte-eksamen 2. august 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Konte-eksamen 2. august 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Konte-eksamen SIF448.aug. 3 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 a. Hamilton-operatoren er Løsningsforslag Konte-eksamen. august 3 SIF448 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Ĥ = h m x + V (x), og den tidsuavhengige

Detaljer

FY1006/TFY Løysing øving 5 1 LØYSING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensial

FY1006/TFY Løysing øving 5 1 LØYSING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensial FY006/TFY45 - Løysing øving 5 Løysing oppgåve LØYSING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensial a) I eit område der V er konstant (lik V ), og E V er positiv, er området klassisk tillate og vi

Detaljer

LØYSING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenliknande atom

LØYSING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenliknande atom FY6/TFY45 - Løysing øving 6 Løysing oppgåve LØYSING ØVING 6 Grunntilstanden i hydrogenliknande atom a) Vi merkar oss fyrst at vinkelderivasjonane i Laplace-operatoren gjev null bidrag til r, sidan (r)

Detaljer

Løysingsframlegg TFY4305 Ikkjelineær dynamikk Haust 2012

Løysingsframlegg TFY4305 Ikkjelineær dynamikk Haust 2012 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg TFY4305 Ikkjelineær dynamikk Haust 01 Faglærar: Professor Jens O. Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon: 73593131

Detaljer

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 1 1 LØSNING ØVING 1 TFY425 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving Løsning oppgave a. LØSNING ØVING Vi merker oss at sannsynlighetstettheten, Ψ(x, t) 2 = A 2 e 2λ x, er symmetrisk med hensyn på origo. For normeringsintegralet

Detaljer

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner

TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 2 1 ØVING 2. Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner TFY415 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 Oppgave 5 ØVING Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner En partikkel med masse m beveger seg i et endimensjonalt potensial V (x). Partikkelen

Detaljer

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 26. januar ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast er

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl Sted: Åsgårdveien 9. og fysikk, lommekalkulator

EKSAMENSOPPGAVE. Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl Sted: Åsgårdveien 9. og fysikk, lommekalkulator FAKUTET FOR NATURVITENSKAP OG TEKNOOGI EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: Fys-2000 Kvantemekanikk Dato: 5. juni 2013 Tid: Kl 09.00-13.00 Sted: Åsgårdveien 9 Tillatte hjelpemidler: Formelsamlinger i matematikk

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 ØVING 1. En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Øving 1 1 Frist for innlevering: mandag 28. januar (jf Åre) ØVING 1 En liten briefing om forventningsverdier, usikkerheter osv Eksempel: Terningkast Ved terningkast

Detaljer

LØSNING ØVING 2. Løsning oppgave 5. TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1

LØSNING ØVING 2. Løsning oppgave 5. TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1 TFY4215 Innføring i kvantefysikk - Løsning øving 2 1 Løsning oppgave 5 LØSNING ØVING 2 Krumningsegenskaper for endimensjonale energiegenfunksjoner a. For oscillator-grunntilstanden i oppgave 3b har vi

Detaljer

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Tirsdag 13. august 2002 kl Side 1 av 4 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK

Detaljer

FY1006/TFY Øving 12 1 ØVING 12. Vinkelfunksjonar, radialfunksjonar og orbitalar for hydrogenliknande. Y lm ; l = 0, 1, ; m = l,, l.

FY1006/TFY Øving 12 1 ØVING 12. Vinkelfunksjonar, radialfunksjonar og orbitalar for hydrogenliknande. Y lm ; l = 0, 1, ; m = l,, l. FY1006/TFY4215 - Øving 12 1 Frist for innlevering: Tirsdag 28. april kl.1700 Oppgåve 1 system ØVING 12 Vinkelfunksjonar, radialfunksjonar og orbitalar for hydrogenliknande For ein partikkel som bevegar

Detaljer

TFY Løsning øving 6 1 LØSNING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenlignende atom

TFY Løsning øving 6 1 LØSNING ØVING 6. Grunntilstanden i hydrogenlignende atom TFY45 - Løsning øving 6 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 6 Grunntilstanden i hydrogenlignende atom a. Vi merker oss først at vinkelderivasjonene i Laplace-operatoren gir null bidrag til ψ, siden ψ(r) ikke

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid:

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Tirsdag 22. mai 2007 Tid: Side 1 av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 51 72) Sensurfrist: Tirsdag 12. juni 2007

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 29. mai 2010 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 29. mai 2010 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen FY1006/TFY4215, 29. mai 2010 - løsningsforslag 1 Løsningsforslag Eksamen 29. mai 2010 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Oppgave 1 a. I punktene x = 0 og x

Detaljer

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m

Eksamen i fag FY1004 Innføring i kvantemekanikk Fredag 30. mai 2008 Tid: a 0 = 4πǫ 0 h 2 /(e 2 m e ) = 5, m Side av 6 Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Navn: Jan Myrheim Telefon: 73 59 36 53 (mobil 90 07 5 7 Sensurfrist: Fredag 0 juni 008 Eksamen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 13. august 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 13. august 2011 FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk Eksamen FY1006/TFY415 13. august 011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 13. august 011 FY1006/TFY415 Innføring i kvantefysikk a. Fra den tidsuavhengige Schrödingerligningen har vi for

Detaljer

Ein par(kkel i 3 dimensjonar

Ein par(kkel i 3 dimensjonar Ein par(kkel i 3 dimensjonar Kvantemekanisk beskrivelse av ein par0kkel som kan bevege seg i 3 dimensjonar Bølgjefunksjon: Ψ(x, y, z, t) =Ψ(r, t) Ψ(x, y, z, t) dx dy dz Tolking: er sannsynlegheiten for,

Detaljer

TUNNELERING. - eit viktig kvantemekanisk fenomen

TUNNELERING. - eit viktig kvantemekanisk fenomen TUNNELERING - eit viktig kvantemekanisk fenomen Tunnelering Ein kvantemekanisk partikkel kan vere i stand til å passere ein potensialbarriere sjølv om partikkelenergien er mindre enn høgda til barrieren!

Detaljer

FY1006/TFY Øving 4 1 ØVING 4

FY1006/TFY Øving 4 1 ØVING 4 FY006/TFY425 - Øving 4 Frist for innlevering: tirsdag 24. februar, kl 7.00 Oppgåve ØVING 4 Vibrerande to-partikkel-system Som diskutert på side 0 i boka til Hemmer, er det eit viktig poeng både i klassisk

Detaljer

FY1006/TFY Løysing øving 7 1 LØYSING ØVING 7

FY1006/TFY Løysing øving 7 1 LØYSING ØVING 7 FY1006/TFY415 - Løysing øving 7 1 Løysing oppgåve 1 LØYSING ØVING 7 Numerisk løysing av den tidsuavhengige Schrödingerlikninga a) Alle ledda i (1) har sjølvsagt same dimensjon. Ved å dividere likninga

Detaljer

Løsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Konte-eksamen 13. august 2002 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk ppgave Løsningsforslag Konte-eksamen 3. august SIF8 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, ) mω/π h exp( mωx / h) er symmetrisk med hensyn på origo, er forventningsverdien

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 7. august 2006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 7. august 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne tilstander i et symmetrisk éndimensjonalt potensial

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne

EKSAMENSOPPGAVE. Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling Lommekalkulator med tomt minne EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS-000 Kvantemekanikk Dato: Mandag 6. september 016 Tid: Kl 09:00 1:00 Sted: Auditorium Maximum, Administrasjonsbygget Tillatte hjelpemidler: K. Rottmann: Matematisk Formelsamling

Detaljer

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk

NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg kontinuasjonseksamen TFY 4230 Statistisk Fysikk 15/8 2009 Faglærar: Professor Jens O Andersen Institutt for Fysikk, NTNU

Detaljer

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem

TFY Løsning øving 4 1 LØSNING ØVING 4. Vibrerende to-partikkelsystem TFY45 - Løsning øving 4 Løsning oppgave 3 LØSNING ØVING 4 Vibrerende to-partikkelsystem a. Vi kontrollerer først at kreftene på de to massene kommer ut som annonsert: F V V k(x l) og F V V k(x l), som

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 16. august 2008 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 16. august 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 (Teller 34 %) Løsningsforslag Eksamen 16. august 008 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Siden potensialet V () er symmetrisk, er grunntilstanden

Detaljer

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7

FY1006/TFY Øving 7 1 ØVING 7 FY1006/TFY4215 - Øving 7 1 Frist for innlevering: 5. mars kl 17 ØVING 7 Den første oppgaven dreier seg om den tredimensjonale oscillatoren, som behandles i starten av Tillegg 5, og som vi skal gå gjennom

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Side Det matematisk-naturvitenskapelige fakultet Eksamen i: FYS4 Kvantefysikk Eksamensdag: 8. juni 5 Tid for eksamen: 9. (4 timer) Oppgavesettet er på fem (5) sider Vedlegg: Ingen

Detaljer

TFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator

TFY Øving 7 1 ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator TFY4215 - Øving 7 1 Oppgave 20 ØVING 7 -dimensjonal isotrop harmonisk oscillator Vi har tidligere studert egenfunksjonen (orbitalen) for grunntilstanden i hydrogenlignende atomer, og skal senere sette

Detaljer

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Onsdag 11. august 2010 kl

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Onsdag 11. august 2010 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I FY1006 INNFØRING

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 ØVING 5

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 ØVING 5 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, 0 - øving 5 ØVING 5 Oppgave 0 α-desintegrasjon α-sdesintegrasjon er en prosess hvor en radioaktiv opphavs -kjerne (parent nucleus) desintegrerer (henfaller) til en datter

Detaljer

BOKMÅL Side 1 av 6. En partikkel med masse m beveger seg i det endimensjonale brønnpotensialet V 1 = h 2 /(2ma 2 0) for x < 0,

BOKMÅL Side 1 av 6. En partikkel med masse m beveger seg i det endimensjonale brønnpotensialet V 1 = h 2 /(2ma 2 0) for x < 0, BOKMÅL Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I FY1006 INNFØRING

Detaljer

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 2010

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 2010 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg TFY 404 Fysikk Kontinuasjonseksamen august 200 Faglærar: Professor Jens O Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon:

Detaljer

TFY Løsning øving 7 1 LØSNING ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator

TFY Løsning øving 7 1 LØSNING ØVING 7. 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator TFY415 - Løsning øving 7 1 Løsning oppgave a. Med z = r cos θ har vi at LØSNING ØVING 7 3-dimensjonal isotrop harmonisk oscillator ψ 1 = C C 1 e mωr / h r cos θ, som er uavhengig av asimutvinkelen φ, dvs

Detaljer

FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!)

FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!) FYS2140 Kvantefysikk, Hjemmeeksamen V-2009 Leveringsfrist fredag 20. mars kl.14:45 (før ekspedisjonen stenger!!!) 9. mars 2009 Viktig info les: Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn! Lever og

Detaljer

Løysingsframlegg Eksamen TFY 4230 Statistisk Fysikk onsdag 17/

Løysingsframlegg Eksamen TFY 4230 Statistisk Fysikk onsdag 17/ Løysingsframlegg Eksamen TFY 423 Statistisk Fysikk onsdag 7/2-28 August 9, 29 Oppgåve a) D er diffusjonskonstanten. Dette er ein materialkonstant som avheng av løysemiddelet og substansen som er løyst.

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY4215 12. august 2004 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 12. august 2004 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Den tidsuavhengige Schrödingerligningen, Ĥψ = Eψ, tar for

Detaljer

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl

EKSAMEN I TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Torsdag 12. august 2004 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 7 55 96 4 Ingjald Øverbø, tel. 7 59 18 67, eller 970155 EKSAMEN

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 28. mai 2003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen SIF4048 8.05.03 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 8. mai 003 SIF4048 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Da sannsynlighetstettheten Ψ(x, 0) = β/π exp( βx ) er symmetrisk med

Detaljer

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1)

Oppgave 2 Vi ser på et éndimensjonalt system hvor en av de stasjonære tilstandene ψ(x) er gitt som { 0 for x < 0, ψ(x) = Ne ax (1 e ax (1) Oppgave Gjør kort rede for hva den fotoelektriske effekt er, hva slags konklusjoner man kunne trekke fra observasjoner av denne i kvantefysikkens fødsel, og beskriv et eksperiment som kan observere og

Detaljer

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer)

Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 10. mai 2004, kl. 14.00-17.00 (3 timer) 1 NORGES LANDBRUKSHØGSKOLE Institutt for matematiske realfag og teknologi Eksamen i: FYS145 - Kvantefysikk og relativitetsteori Eksamensdag: Mandag 1. mai 24, kl. 14.-17. (3 timer) Tillatte hjelpemidler:

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 20. desember 2012 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I

Løsningsforslag Eksamen 20. desember 2012 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I Eksamen FY045/TFY450 0. desember 0 - løsningsforslag Oppgave Løsningsforslag Eksamen 0. desember 0 FY045/TFY450 Kvantemekanikk I a. For x < 0 er potensialet lik null. (i) For E > 0 er da ψ E = (m e E/

Detaljer

Oppgave 1 (Teller 34 %) BOKMÅL Side 1 av 5. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk

Oppgave 1 (Teller 34 %) BOKMÅL Side 1 av 5. NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk BOKMÅL Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 23 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 2 1 ØVING 2. nesten en posisjonsegentilstand

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 2 1 ØVING 2. nesten en posisjonsegentilstand FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, 2012 - øving 2 1 Oppgave 2 1 ØVING 2 nesten en posisjonsegentilstand Vi har sett at en posisjon ikke kan måles med en usikkerhet som er eksakt lik null. Derimot er det

Detaljer

FY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand

FY1006/TFY Løsning øving 3 1 LØSNING ØVING 3. Ikke-stasjonær bokstilstand FY006/TFY45 - Løsning øving 3 Løsning oppgave 8 LØSNING ØVING 3 Ikke-stasjonær bokstilstand a. For 0 < x < L er potensialet i boksen lik null, slik at Hamilton-operatoren har formen Ĥ = K + V (x) = ( h

Detaljer

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Hausten 2009

Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Hausten 2009 NTNU Fakultet for Naturvitskap og Teknologi Institutt for Fysikk Løysingsframlegg TFY 4104 Fysikk Hausten 2009 Faglærar: Professor Jens O Andersen Institutt for Fysikk, NTNU Telefon: 73593131 Mandag 30

Detaljer

Løysingsforslag for øving 13

Løysingsforslag for øving 13 Institutt for fysikk 014 TFY4108 Fysikk Løysingsforslag for øving 13 Ogåve 1. (a) de Broglie foreslo at ein artikkel med bevegelsesmengd = mv har bølgjelengd E = /(m)+u blir = m(e U) så = h/ m(e U). Dermed:

Detaljer

Eksamen FY1006/TFY mai løsningsforslag 1

Eksamen FY1006/TFY mai løsningsforslag 1 Eksamen FY1006/TFY415 7. mai 009 - løsningsforslag 1 Løsningsforslag, Eksamen 7. mai 009 FY1006 Innføring i kvantefysikk/tfy415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Oppgave 1 a. For E > V 0 har vi for store

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 4. august 2008 TFY4250 Atom- og molekylfysikk

Løsningsforslag Eksamen 4. august 2008 TFY4250 Atom- og molekylfysikk Eksamen TFY450 4. auguast 008 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 4. august 008 TFY450 Atom- og molekylfysikk a. I områdene x < a og x > a har vi (med E V 0 ) at ψ m h [V (x) E ]ψ 0.

Detaljer

B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner

B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner TFY4250/FY2045 Tillegg 6 - Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner 1 Tillegg 6: Noe av stoffet i dette Tillegget er repetisjon fra Tillegg 3 i TFY4215. B.1 Generelle egenskaper til energiegenfunksjoner

Detaljer

Eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00

Eksamen i TFY4170 Fysikk 2 Mandag 12. desember :00 18:00 NTNU Side 1 av 5 Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Professor Arne Brataas Telefon: 73593647 Eksamen i TFY417 Fysikk Mandag 1. desember 5 15: 18: Tillatte hjelpemidler: Alternativ C Godkjent

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Onsdag 30. mai 2007 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEFYSIKK Onsdag 30. mai 2007 kl NORSK TEKST Side av 3 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tlf 73 59 8 67, eller 97355 EKSAMEN I FY45 KVANTEFYSIKK Onsdag 3.

Detaljer

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 2. august 2003 kl. 09.00-15.00

EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 2. august 2003 kl. 09.00-15.00 Side 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Margareth Nupen, tel. 73 55 96 42 Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67 EKSAMEN I SIF4048 KJEMISK

Detaljer

UNIVERSITETET I BERGEN

UNIVERSITETET I BERGEN NYNORSK TEKST UNIVERSITETET I BERGEN Det matematisk-naturvitskaplege fakultet, V. 2004. Eksamen i emnet MAT25 - Mekanikk. Måndag 7. juni 2004, kl 09.00-4.00. Tillatne hjelpemiddel: Ingen Oppgåver med svar

Detaljer

TUNNELERING. - eit viktig kvantemekanisk fenomen

TUNNELERING. - eit viktig kvantemekanisk fenomen TUNNELERING - eit viktig kvantemekanisk fenomen Tunnelering Ein kvantemekanisk partikkel kan vere i stand til å passere ein potensialbarriere sjølv om partikkelenergien er mindre enn høgda til barrieren!

Detaljer

ØVING 12. Vinkelfunksjonar, radialfunksjonar og orbitalar for hydrogenliknande. Y lm ; l =0, 1, ; m = l,,l.

ØVING 12. Vinkelfunksjonar, radialfunksjonar og orbitalar for hydrogenliknande. Y lm ; l =0, 1, ; m = l,,l. FY1006/TFY4215 - Øving 12 1 Frit for innlevering: Tirdag 22. april kl.1700 Oppgåve 1 ytem ØVING 12 Vinkelfunkjonar, radialfunkjonar og orbitalar for hydrogenliknande For ein partikkel om bevegar eg i eit

Detaljer

TFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer

TFY Løsning øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Krumning og stykkevis konstante potensialer TFY4215 - Løsning øving 5 1 Løsning oppgave 16 LØSNING ØVING 5 Krumning og stykkevis konstante potensialer a. I et område hvor V er konstant (lik V 1 ), og E V 1 er positiv (slik at området er klassisk

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE. FYS 2000, Kvantemekanikk Dato: 7. Juni 2017 Klokkeslett: 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: rute.

EKSAMENSOPPGAVE. FYS 2000, Kvantemekanikk Dato: 7. Juni 2017 Klokkeslett: 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: rute. EKSAMENSOPPGAVE Eksamen i: FYS 2000, Kvantemekanikk Dato: 7. Juni 2017 Klokkeslett: 9:00-13:00 Sted: Tillatte hjelpemidler: ett handskrevet A4-ark(2 sider med egne notater, samt K. Rottmann: Matematisk

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a.

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14. ψ 210 z ψ 100 d 3 r a. FY45/TFY45 Kvantemekanikk I, løsning øving 14 1 LØSNING ØVING 14 Løsning Oppgave 14 1 Fra oppg 3, eksamen august 1 a. Med Y = 1/ 4π og zy = ry 1 / 3 kan vi skrive matrise-elementene av z på formen (z)

Detaljer

FY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen.

FY1006/TFY Øving 3 1 ØVING 3. Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. FY006/TFY45 - Øving 3 ØVING 3 Gjør unna så mye du kan av dette før veiledningstimene, slik at disse kan brukes på utfordringene i denne øvingen. Oppgave 8 Ikke-stasjonær bokstilstand En partikkel med masse

Detaljer

Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Torsdag 8. desember 2011

Løsning, eksamen TFY4205 Kvantemekanikk II Torsdag 8. desember 2011 Løsning, eksamen TFY45 Kvantemekanikk II Torsdag 8. desember a) Et kort og fullgodt svar er at en stasjonær tilstand ψ er en løsning av den tidsuavhengige Schrödingerligningen H ψ E ψ, () der H er Hamilton-operatoren

Detaljer

= (2 6y) da. = πa 2 3

= (2 6y) da. = πa 2 3 TMA45 Matematikk Vår 7 Norges teknisk naturvitenskapelige universitet Institutt for matematiske fag Løsningsforslag Øving Alle oppgavenummer referer til 8. utgave av Adams & Essex alculus: A omplete ourse.

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 6. juni 2007 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 6. juni 2007 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 6. juni 007 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. juni 007 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. Bundne energiegentilstander i én dimensjon er enten symmetriske eller

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk

Løsningsforslag Eksamen 26. mai 2006 TFY4215 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk Eksamen TFY415 6. mai 006 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 6. mai 006 TFY415 Kjemisk fysikk og kvantemekanikk a. For bundne tilstander i én dimensjon er degenerasjonsgraden lik 1;

Detaljer

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 2016 Side 1 av 3

FY1006/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 2016 Side 1 av 3 FY16/TFY4215 Innføring i kvantefysikk 26. mai 216 Side 1 av 3 FLERVALGSOPPGAVER TRENING TIL EKSAMEN En partikkel med masse m beskrives av den stasjonære tilstanden Ψ(x,t) = ψ(x)e iωt, med e ikx + 1 3i

Detaljer

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver)

Øving 3. Oppgave 1 (oppvarming med noen enkle oppgaver fra tidligere midtsemesterprøver) Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003: Elektrisitet og magnetisme Vår 2008 Veiledning: Fredag 25. og mandag 28. januar Innleveringsfrist: Fredag. februar kl 2.00 Øving 3 Oppgave (oppvarming med noen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 1. desember 2008 TFY4250 Atom- og molekylfysikk/fy2045 Kvantefysikk

Løsningsforslag Eksamen 1. desember 2008 TFY4250 Atom- og molekylfysikk/fy2045 Kvantefysikk Eksamen TFY45/FY45. desember 8 - løsningsforslag Løsningsforslag Eksamen. desember 8 TFY45 Atom- og molekylfysikk/fy45 Kvantefysikk Oppgave a. For x og E = E B < har den tidsuavhengige Schrödingerligningen

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I

Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I Eksamen FY2045/TFY4250 14. desember 2011 - løsningsforslag 1 Oppgave 1 Løsningsforslag Eksamen 14.desember 2011 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I a. For E < 3V 0 /4 er området x > a klassisk forbudt, og

Detaljer

Løysingsforslag (Skisse) Eksamen FY3452 Gravitasjon og Kosmologi Våren 2007

Løysingsforslag (Skisse) Eksamen FY3452 Gravitasjon og Kosmologi Våren 2007 Løysingsforslag (Skisse) Eksamen FY3452 Gravitasjon og Kosmologi Våren 2007 May 24, 2007 Oppgave 1 a) Lorentztransformasjonane er x = γ(x V t), t = γ(t V x), der γ = 1/ 1 V 2 Vi tar differensiala av desse

Detaljer

Oppgave 1 (Deloppgavene a, b, c og d teller henholdsvis 6%, 6%, 9% og 9%) NORSK TEKST Side 1 av 7

Oppgave 1 (Deloppgavene a, b, c og d teller henholdsvis 6%, 6%, 9% og 9%) NORSK TEKST Side 1 av 7 NORSK TEKST Side 1 av 7 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97012355 Jon Andreas Støvneng, tel. 73

Detaljer

EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl

EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk EKSAMEN I FY2045 KVANTEMEKANIKK I/ TFY4250 KVANTEMEKANIKK I Tirsdag 10. august 2010 kl. 09.00-13.00 Tillatte

Detaljer

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Lørdag 13. august 2011 kl

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 INNFØRING I KVANTEFYSIKK Lørdag 13. august 2011 kl NORSK TEKST Side 1 av 6 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 73 59 18 67, eller 97 01 23 55 Jon Andreas Støvneng, tel.

Detaljer

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet.

En samling av mer eller mindre relevante formler (uten nærmere forklaring) er gitt til slutt i oppgavesettet. Norges teknisk-naturvitenskapelige universitet NTNU Institutt for fysikk Lade EKSAMEN I: MNF FY 44 KVANTEMEKANIKK I DATO: Tirsdag 4. desember 999 TID: 9.00 5.00 Antall vekttall: 4 Antall sider: 3 Sensurdato:

Detaljer

Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005.

Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Løysingsforslag til eksamen i MA1301-Talteori, 30/11-2005. Oppgåve 1 a) Rekn ut gcd(788, 116). Finn alle løysingane i heile tal til likninga 788x + 116y = gcd(788, 116). b) Ein antikvar sel ein dag nokre

Detaljer

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 Løsningsforslag

FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 Løsningsforslag FYS2140 Hjemmeeksamen Vår 2014 Løsningsforslag 2. april 2014 Viktig info: Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn! Innleveringsfrist fredag 28. mars kl. 14.30 i skranken på ekspedisjonskontoret.

Detaljer

TFY Øving 8 1 ØVING 8

TFY Øving 8 1 ØVING 8 TFY4215 - Øving 8 1 ØVING 8 Mye av poenget med oppgave 2 er å øke fortroligheten med orbitaler, som er bølgefunksjoner i tre dimensjoner. Fordi spørsmålene/oppdragene er spredt litt rundt omkring, markeres

Detaljer

ØVING 4. @V @x i. @V @x

ØVING 4. @V @x i. @V @x FY006/TFY425 - Øving 4 Frit for innlevering: tirdag 8. februar, kl 7.00 Oppgåve ØVING 4 Vibrerande to-partikkel-ytem Som dikutert på ide 0 i boka til Hemmer, er det eit viktig poeng både i klaik mekanikk

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 2 1 LØSNING ØVING 2

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 2 1 LØSNING ØVING 2 FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, løsning øving 2 1 LØSNING ØVING 2 Oppgave 2 1 LØSNING nesten en posisjonsegentilstand a Siden den Gaussiske sannsynlighetstettheten ψ(x) 2 = 2β/π exp( 2β(x a) 2 ) symmetrisk

Detaljer

(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Disse løsningene har energiene 1. = nm, (4) x = rsinθcosφ, (6) y = rsinθsinφ, (7) z = rcosθ, (8) 1 r 2 sinθ

(θ,φ) er de sfæriske harmoniske. Disse løsningene har energiene 1. = nm, (4) x = rsinθcosφ, (6) y = rsinθsinφ, (7) z = rcosθ, (8) 1 r 2 sinθ Oppgave 1 Variasjoner over hydrogen Løsningen av den tidsuavhengige Schrødingerligningen for potensialet til hydrogenatomet Vr) = k ee r, 1) er som kjent ψ nlm r,θ,φ) = R nl r)yl m θ,φ), ) hvor R nl r)

Detaljer

Løsningsforslag til øving 3

Løsningsforslag til øving 3 Institutt for fysikk, NTNU TFY455/FY003 Elektromagnetisme Vår 2009 Løsningsforslag til øving 3 Oppgave a) C V = E dl = 0 dersom dl E b) B På samme måte som et legeme med null starthastighet faller i gravitasjonsfeltet

Detaljer

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2.

FY2045/TFY4250 Kvantemekanikk I, øving 5 1 LØSNING ØVING 5. Kvantekraft. L x. L 2 x. = A sin n xπx. sin n yπy. 2 y + 2. FY045/TFY450 Kvantemekanikk I, øving 5 1 øsning oppgave 5 1 a Med finner vi energien til egenfunksjonen ØSNING ØVING 5 Kvantekraft nπx sin = n xπ x x x ψ nx,n y,n z = A sin n xπx x sin nπx x, sin n yπy

Detaljer

Løysingsforslag Eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 2016

Løysingsforslag Eksamen MAT111 Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 2016 Løysingsforslag Eksamen MAT Grunnkurs i Matematikk I Universitetet i Bergen, Hausten 26 OPPGÅVE Det komplekse talet z = 3 i tilsvarar punktet eller vektoren Rez, Imz) = 3, ) i det komplekse planet, som

Detaljer

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander

A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander TFY4250/FY2045 Tillegg 4 - Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander 1 Tillegg 4: A.5 Stasjonære og ikke-stasjonære tilstander a. Stasjonære tilstander (Hemmer p 26, Griffiths p 21) Vi har i TFY4215 (se

Detaljer

NORSK TEKST Side 1 av 5

NORSK TEKST Side 1 av 5 NORSK TEKST Side av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Ingjald Øverbø, tel. 7 59 8 67, eller 97 0 55 Jon Andreas Støvneng, tel. 7 59 6 6,

Detaljer

4. Viktige kvantemekaniske teoremer

4. Viktige kvantemekaniske teoremer FY1006/TFY4215 Tillegg 4 1 TILLEGG 4 4. Viktige kvantemekaniske teoremer Før vi i neste kapittel går løs på treimensjonale potensialer, skal vi i kapittel 4 i ette kurset gå gjennom noen viktige kvantemekaniske

Detaljer

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 29. mai 2010 kl

EKSAMEN I FY1006 INNFØRING I KVANTEFYSIKK/ TFY4215 KJEMISK FYSIKK OG KVANTEMEKANIKK Lørdag 29. mai 2010 kl BOKMÅL Side 1 av 7 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Institutt for fysikk Faglig kontakt under eksamen: Jon Andreas Støvneng, tel. 73 59 36 63, eller 45 45 55 33 EKSAMEN I FY1006 INNFØRING

Detaljer

Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl Løysingsforslag:

Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl Løysingsforslag: Eksamen i emnet M117 - Matematiske metodar Onsdag 7. september 2001, kl. 09-15 Løysingsforslag: 1a Her er r 2 løysing av det karakteristiske polynomet med multiplisitet 2 pga. t-faktor. Det karakteristiske

Detaljer