Usikkerhet i instrument og målinger. IFEA kurs Forfatter: Reidar Sakariassen, MetroPartner AS

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Usikkerhet i instrument og målinger. IFEA kurs 13.09.2011 Forfatter: Reidar Sakariassen, MetroPartner AS"

Transkript

1 Uskkerhet nstrument og målnger IFEA kurs Forfatter: Redar Sakarassen, MetroPartner AS 1

2 Uskkerhet nstrument og målnger 1. Standarder. Termnolog 3. Årsaker tl måleuskkerheter 4. Defnsjoner av størrelser, realserng, sporbarhet, referanser 5. Metoder for å fastlegge måleuskkerhet Matematk Eksempler på tester Gjennomsntt 6. Representatvtet 7. Oppsummerng

3 Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet Gude to the expresson of uncertanty n measurement (GUM On behalf of:bipm, IEC, IFCC (Internatonal Federaton of Clncal Chemstry, ISO (Internatonal Organsaton for Standardsaton, IUPAC (Internatonal Unon of Pure and Appled Chemstry, IUPAP (Internatonal Unon of Pure and Appled Physcs, OIML (Organsaton Internatonale de Métrologe Légale. _008_E.pdf 3

4 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet; termnolog Uncertanty (of measurement/ Måleuskkerhet: Parameter assocated wth the result of a measurement that characterzes the dsperson of the values that could reasonably be attrbuted to the measurand.... ncludng the effects of systematc as well as of random factors and expressed n per cent and descrbes a confdence nterval around the mean value comprsng 95 % of nferred values takng Into account any asymmetry of the dstrbuton of values; Måleuskkerhet Størrelse som defnerer ntervallet omkrng et måleresultat der måleverden med en nærmere angtt grad av sannsynlghet kan forventes å lgge. 4

5 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet; termnolog Standard uskkerhet Uskkerhet tl et måleresultat uttrykt som ett standard avvk. Symbol: u Utvdet uskkerhet Størrelse som defnerer ntervallet omkrng et måleresultat der måleverden med stor grad av sannsynlghet kan forventes å lgge. Graden av sannsynlghet bestemmes med en deknngsfaktor som standard uskkerhet multplseres med. Symbol: U. U = k u, k = deknngsfaktor (coverage factor 5

6 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet; termnolog Deknngsntervall Området omkrng måleresultatet som omfattes av måleuskkerheten: Måleresultat måleuskkerhet. Betegnes også konfdensntervall. Deknngssannsynlghet / Konfdensnvå Sannsynlgheten for at korrekt verd er nnenfor deknngsntervallet. Betegnes også konfdensnvå. Deknngsfaktor Faktor som nnføres beregnng av måleuskkerhet for å få en større sannsynlghet for at korrekt verd lgger nnenfor måleresultatet med uskkerhet. Om måleresultatet har statstsk normalfordelng, og man benytter deknngsfaktor k=1 (standard uskkerhet er det ca 68 % sannsynlg at korrekt verd er nnenfor måleresultat +/- uskkerhet. Ved bruk av deknngsfaktor k=, er sannsynlgheten ca 95 %. 6

7 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet; termnolog Deknngsntervall / Konfdensntervall Deknngssannsynlghet / Konfdensnvå Deknngsfaktor Sannsynlghetsfordelng 68% 95% 58% 65% a 3 a 6 Normalfordelng: Deknngsfaktor 1 gr 68 % (Standard uskkerhet Deknngsfaktor gr 95 % (Utvdet uskkerhet med konfdensnvå 95 % hvs Ellers Student-t-fordelng: For n=3: 4,30; for n=5:,77 (I Excel: TINV(1-0,95;n-1 er basert på stort antall 7

8 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet; termnolog Type A uskkerhetsvurderng Metode for uskkerhetsvurderng basert på statstsk analyse av observasjoner. Type A vurderng er basert på et statstsk estmat for standard avvk. For uskkerhetskomponenter basert på et slkt grunnlag er standard uskkerhet lk standard avvk. Type B uskkerhetsvurderng Metode for uskkerhetsvurderng basert på andre metoder enn statstsk analyse av observasjoner. Type B vurderng av standard uskkerhet er normalt basert på en (vtenskaplelg bedømmelse ved å bruke all tlgjengelg og relevant nformasjon, som kan nkludere: prevous measurement data, erfarng med, eller generell kjennskap tl, oppførsel og egenskaper av relevant materale og nstrumenter, produsentens spesfkasjoner, data fra kalbrerng og andre rapporter, og uskkerhet knyttet tl referansedata fra håndbøker. Type B vurdernger er fra en utenforstående klde og basert på en antatt fordelngsfunksjon. 8

9 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet; termnolog Kalbrerng Sammenlknng av et nstrument mot en normal eller et annet nstrument, som er mer nøyaktg, for å bestemme avvket fra korrekt verd. Kalbrerng omfatter kke tltak for å få nstrumentet tl å vse nærmere korrekt verd, som betegnes nnregulerng, se der. Innregulerng ( daglgtale kalt justerng eller korrgerng eller. Endrng av vsnngen på et nstrument for å få det tl å vse nærmere rktg verd. Endrngen kan gjøres mekansk, elektrsk eller et dataprogram. Sporbarhet Måleteknsk sporbarhet betyr at et måleresultat eller verden tl en normal skal kunne relateres tl kjente referanser, vanlgvs tl nasjonale eller nternasjonale normaler, gjennom en ubrutt kjede av sammenlknnger (kalbrernger med angtte måleuskkerheter for alle trnn kjeden. 9

10 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet; årsaker Mangelfull defnsjon av størrelsen Mangelfull realserng av defnsjonen av størrelsen Manglende kunnskap om målebetngelsenes effekt på måleprosedyren eller ufullstendg kunnskap om betngelsene Instrumenters oppløsnng avlesnng Uskkerhet knyttet tl referansen (kalbrerng Tlnærmelser og antagelser nnbygget målemetode og prosedyre Mangelfull representatvtet Varasjoner repeterte observasjoner Påvrknng fra omgvelser 10

11 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet;grunnleggende; defnsjoner av størrelser Quantty Unt Defnton Length Metre m The metre s the length of the path travelled by lght n vacuum durng a tme nterval of 1/ of a second Mass klogram kg The klogram s the unt of mass; t s equal to the mass of the nternatonal prototype of the klogram. Tme second s The second s the duraton of perods of the radaton correspondng to the transton between the two hyperfne levels of the ground state of the caesum 133 atom. Electrc current ampere A The ampere s that constant current whch, f mantaned n two straght parallel conductors of nfnte length, of neglgble crcular Thermodynamc temperature cross-secton, and placed 1 metre apart n vacuum, would produce between these conductors a force equal to 10 7 newton per metre of length. kelvn K The kelvn, unt of thermodynamc temperature, s the fracton 1/73.16 of the thermodynamc temperature of the trple pont of water. 11

12 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet; grunnleggende; realserng av størrelser speed of lght n vacuum c, c 0 Value m s -1 Standard uncertanty (exact Relatve standard uncertanty (exact Concse form m s -1 1

13 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet;grunnleggende ; realserng av størrelser klogram-atomc mass unt relatonshp 1 kg Value x 10 6 u Standard uncertanty x 10 6 u Relatve standard uncertanty 7.9 x 10-8 Concse form (47x10 6 u 13

14 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet ; realserng av størrelser; sporbarhet Sporbarhet: Justervesenet Fkspunkt K C T/S/F U(95% mk Ag ,7878 F 4,5 Al 933, ,33 F 4,3 Zn 69, ,57 F 3,9 Sn 505,078 31,98 F 1,9 In 49, ,5985 F 1,5 Ga 30,9146 9,7646 S 0,9 H O 73,16 0,01 T 0,5 Hg 34, ,8344 T 1,4 Ar 83, ,344 T 1,4 14

15 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet ; realserng av størrelser; sporbarhet Sporbarhet: Typsk hva et kalbrerngslaboratorum kan tlby 15

16 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet ; realserng av størrelser; sporbarhet Sporbarhet: Justervesenet U(95%: ~ 0,5 ppm 16

17 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet ; realserng av størrelser; sporbarhet; referanser Sporbarhet gravmetrsk blandet: 17

18 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet ; realserng av størrelser; sporbarhet; referanser Sporbarhet nternasjonale gassstandarder: 18

19 Uskkerhet nstrument og målnger Måleuskkerhet: Metode for beregnng beregnng av uskkerhet Typsk for et målesystem er at målngen er et resultat av målnger av flere enkeltparametere som gjennom en matematsk prosess leder tl sluttresultatet. Steg for steg er metoden som følger: 1. Sett opp de(n matematske funksjonen(e.. Fnn følsomhetskoeffsentene 3. Fnn standard uskkerhet tl hver enkelt nput 4. Fnn kombnert standard uskkerhet. 5. Fnn kombnert utvdet uskkerhet. 6. Rapporter 19

20 Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet 1. Sett opp de(n matematske funksjonen(e. Utslppsfaktor for CO på massebass fra analyse: UF MW MW CO n 1 (x N CO, Målte varable: n stk x UF X MW MW CO N CO er utslppsfaktor (kg CO/kg prosessgass er komponent (molfraksjon er prosessgassens molvekt (kg/kmol er molvekt tl CO (kg/kmol er antall CO molekyler som dannes ved forbrennng av et molekyl av komponent (1 for CH 4 ; for C H 6 ; 3 for C 3 H 8 ;..1 for CO ; 0 for N.. 0

21 Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet; utslppsfaktor. Fnn følsomhetskoeffsentene UF MW MW CO n 1 (x N CO, 1

22 Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet; utslppsfaktor 3. Fnn (standard uskkerhet tl hver enkelt nput. Uskkerhet kan fnnes fra: Instrumentspesfkasjoner (Kalbrerngssertfkater, referanser Krav (eks. krav tl maks avvk Observasjoner (stabltet, representatvtet Rene antagelser (representatvtet Erfarng Standard modeller med oppgtt uskkerhet

23 Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet; utslppsfaktor; uskkerhet tl hver enkelt nput; sertfkat 3

24 Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet ; utslppsfaktor; uskkerhet tl hver enkelt nput; Lneartet The response/concentraton relatonshp shall be tested over the range specfed for each component present n the test gases, and deally over a slghtly greater range. It s unlkely that a response functon more complex than a thrd-order polynomal wll be useful and ths s satsfactorly defned wth three to seven ponts. 4

25 Devaton (mol% Devaton (mol% Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet; utslppsfaktor; uskkerhet tl hver enkelt nput; Lneartet C1 Lnearty - Lnearty band: 0,49 mol% C1 Lnearty - Lneraty band: 0,577 mol% 0,75 0,50 0,5 0,00-0,5-0, Concentraton (mol% Med stort måleområde: Mer enn tre gasser 1,00 0,80 0,60 0,40 0,0 0,00-0,0-0,40-0,60-0,80-1,00 y = 6E-06x 3-0,0009x + 0,086x + 0, Concentraton (mol% 5

26 Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet ; utslppsfaktor; uskkerhet tl hver enkelt nput; Stabltet C1 (mole % 89,4 89,3 89, 89,1 89,0 89, : : : : : : : :00 6

27 Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet ; utslppsfaktor; uskkerhet tl hver enkelt nput; Stabltet Fra observasjoner kontroller - kalbrernger Response factor relatve to average RF for GC Startng pont s 1 for all components 1,03 Hexane STD: 0,56 %rel 1,0 Propane STD: 0,1 %rel I Butane STD: 0,88 %rel N Butane STD: 0,9 %rel 1,01 I Pentane STD: 0,73 %rel N Pentane STD: 0,68 %rel 1,00 Ntrogen STD: 0,341 %rel CO STD: 0,195 %rel 0,99 Ethane STD: 0,17 %rel Methane STD: 0,055 %rel 0,

28 Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet ; utslppsfaktor; uskkerhet tl hver enkelt nput; Sgnalsløyfer Fra sgnalsløyfer fra nstrument / gver tl avlesnngsenhet / regneenhet: Husk: Ta med bdrag fra omformere (A/D, D/A, puls/a etc. Dsse kan bdra sgnfkant. 8

29 Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet ; utslppsfaktor; uskkerhet tl hver enkelt nput; Total uskkerhet tl hver komponent UF Komponent MW MW Prosessgass CO n 1 (x Standard uskkerhet kalbrerngsgass (u 1 N CO, Standard uskkerhet fra repeterbarhet (u Lneartetsaavvk konvertert tl standard uskkerhet (u 3 Standard uskkerhet analysen (u X mol% mol% mol% mol% mol% 1 u u3 C1 93,97 0,094 0,00 0,007 0,096 C 3,37 0,009 0,0109 0,0033 0,014 C3 1,1 0,003 0,0091 0,000 0,010 C4 0,1 0,005 0,0007 0,0008 0,0054 nc4 0,5 0,001 0,001 0,0004 0,0019 C5 0,08 0,00 0,0016 0,0003 0,006 nc5 0,07 0,00 0,0011 0,000 0,003 C6 0,09 0,00 0,0007 0,000 0,001 N 0,39 0,00 0,001 0,0013 0,0030 CO 0,35 0,001 0,001 0,0014 0,008 u x u 9

30 Metode for beregnng av uskkerhet ; kombnert uskkerhet 4. Fnn kombnert standard uskkerhet , ( ( ( N N j j j N c x x u x f x f x u x f y u , ( ( ( ( ( N N j j j j N c x x r x u x u s s x u s y u r(x,xj s correlaton coeffcent, characterzng the degree of correlaton between x and x. r(x,xj can have a value between 1 and + 1. Complete negatve correlaton between x and xj results n a value of 1 and complete postve correlaton means a value of +1. A value of 0 means the terms are uncorrelated. 30 Uskkerhet nstrument og målnger (x MW UF n 1, CO N CO MW Hvs korrelasjon (avhengghet

31 Metode for beregnng av uskkerhet ; kombnert uskkerhet Fnn kombnert utvdet uskkerhet med gtt konfdensnvå. ( ( y u k y U c c y y U y ( ( Fnn evt. kombnert relatv utvdet uskkerhet med gtt konfdensnvå k= hvs 95 % konfdensnvå ønskes,. 31 Uskkerhet nstrument og målnger ( ( n n N c u s u s u s x u x f y u Uten korrelasjoner:

32 Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet ; utslppsfaktor; kombnert uskkerhet UF MW MW CO n 1 (x N CO, u c( y s1 u1 su... snun 3

33 Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet ; Varasjoner repeterte observasjoner X j n 1 X n, j (X X,1 (X X, (X n X,3... (X X, n X er gjennomsntt av komponent X,j er fraksjon av komponent prøve nr. j n er antall prøver tatt aktuell måned X,j er avvk fra X prøve nr. j X n X n ( X,1 X, n X,3.. X, n Utvdet uskkerhet gjennomsntt U X u( X (t 95,n 1 S( X n, j S( X 1 N ( X, j n 1 j 1 S t 95,n-1 er standard avvk er Student s t for 95 % konfdensnvå (I Excel: TINV(1-0,95;n-1 33

34 Relatv uskkerhet gjennomsntt Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet ; Varasjoner repeterte observasjoner; uskkerhet gjennomsntt UF UF UF Jan,75665,75665,75665 Feb,74665 Mar,74665,7665 Apr,71665 Ma,74665,7665,75665 Jun,74665 Jul,71665,7665 Aug,71665 Sep,7665,75665,75665 Okt,74665,74665 Nov,7665,7665 Des,71665,71665,71665 Gjennomsntt,73665,73665,73665 Standard avvk 0,018 0,017 0,017 Antall Student-t 3,18,36,0 U( x 0,091 0,0141 0,0105 U(x 0, , ,00043 U(x 0,0905 0, ,01050 U(x/x 1,06 % 0,5 % 0,38 % Uskkerhet gjennomsntt avtar med økende antall analyser/målnger med et gtt varasjonsområde Uskkerhet gjennomsntt avtar med økende antall analyser/målnger med et gtt varasjonsområde 1, % 1,0 % 0,8 % 0,6 % 0,4 % 0, % 0,0 % Uskkerhet gjennomsntt som funksjon av antall prøver Antall prøver 34

35 Uskkerhet nstrument og målnger Metode for beregnng av uskkerhet ; Representatvtet Kanskje det uskkerhetsbdraget som er vanskelgst å fastlegge. Målnger som legges tl grunn for beregnng av utslppsmengder en perode bør være representatv både for aktuell perode (flere målnger/kontnuerlge målnger kan være nødvendg og for hele utslppsstrømmen (målnger flere steder / mksng for å oppnå homogentet kan være nødvendg. 35

36 Metode for beregnng av uskkerhet ; Oppsummerng Fnn årsaker tl måleuskkerhet og fastlegg størrelser Manglende kunnskap om målebetngelsenes effekt på måleprosedyren eller ufullstendg kunnskap om betngelsene Uskkerhet knyttet tl referansen (kalbrerng Tlnærmelser og antagelser nnbygget målemetode og prosedyre Mangelfull representatvtet Varasjoner repeterte observasjoner Med målesystem der målestørrelsen fnnes ved kombnasjon av målnger av flere størrelser Uskkerhet nstrument og målnger Matematske relasjoner kunnskap om betngelsene Følsomhetskoeffsenter Bruk standardserte metoder for å beregne kombnert uskkerhet målestørrelsen GUM Vær oppmerksom på konfdensnvå normalt er krav gtt med 95 % konfdensnvå 36

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 orsk akkredterng Dok.d.: VII..5 A Dok. 5: Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Utarbedet av: Saeed Behdad Godkjent av: ICL Versjon:.00 Mandatory/Krav Gjelder fra: 09.05.008 Sdenr: av 7 A

Detaljer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 NA Dok. 5 Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Dokument kategor: Krav Fagområde: Kalbrerngslaboratorer Dette dokumentet er en oversettelse av EA-4/0 European Cooperaton for Accrédtaton of

Detaljer

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen.

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen. STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave a) De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Medan og kvartler for

Detaljer

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet Investerng under uskkerhet Rsko og avkastnng Høy rsko Lav rsko Presserng av rskobegreet Realnvesterng Fnansnvesterng Rsko for enkeltaksjer og ortefølje-sammenheng Fnansnvesterng Realnvesterng John-Erk

Detaljer

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater 009/30 Notater Mare Lllehammer Notater Uskkerhetsanalyse or utslpp av arlge stoer vdelng or IT og metode/seksjon or statstske metoder og standarder Innhold 1. Bakgrunn og ormål.... Metode....1 Fastsettelse

Detaljer

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså: A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:

Detaljer

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse)

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse) Fyskk / ermodynamkk Våren 2001 5. ermokjem 5.1. ermokjem I termokjemen ser v på de energendrnger som fnner sted kjemske reaksjoner. Hver reaktant og hvert produkt som nngår en kjemsk reaksjon kan beskrves

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen : ECON0 Statstkk Exam: ECON0 Statstcs UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: Onsdag. ma 007 Sensur kunngjøres: Onsdag. jun Date of exam: Wednesday, May, 007 Grades wll be gven: Wednesday,

Detaljer

i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2

i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2 Repetsjon 4 (16.09.06) Regler for oksdasjonstall 1. Oksdasjonstall for alle fre element er 0 (O, N, C 60 ). Oksdasjonstall for enkle monoatomske on er lk ladnngen tl onet (Na + : +1, Cl - : -1, Mg + :

Detaljer

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016 Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 Løsnngssksse Oppgave a) Ved kast av to ternnger er det 36 mulge utfall: (, ),..., (6, 6). La Y

Detaljer

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte:

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte: Appendks 1: Organserng av Rksdagsdata SPSS Sannerstedt- og Sjölns data er klargjort for logtanalyse SPSS flen på følgende måte: Enhet År SKJEBNE BASIS ANTALL FARGE 1 1972 1 0 47 1 0 2 1972 1 0 47 1 0 67

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00 MASTER I IDRETTSVITESKAP 0/04 Indvduell skrftlg eksamen MAS 40- Statstkk Trsdag 9. oktober 0 kl. 0.00-.00 Hjelpemdler: kalkulator Eksamensoppgaven består av 9 sder nkludert forsden Sensurfrst: 30. oktober

Detaljer

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1

Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1 ECON 213 EKSAMEN 26 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å vee lke mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet nn mellom , Oppgave 1 I en by med 1 stemmeberettgete nnbyggere

Detaljer

GC kvalitetsoppfølging

GC kvalitetsoppfølging GC kvalitetsoppfølging NFOGM temadag 16.03.2007, Oslo Anfinn Paulsen, Gassco AS Online komponentanalyser fra GC 1. Bruksområder 2. Regelverk 3. Krav til kalibrering, verifikasjon og oppfølging 4. Verifikasjon

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOISK INSTITUTT Eksamen : ECON35/45 Elementær økonometr Exam: ECON35/45 Introductory econometrcs Eksamensdag: redag 2. ma 25 Sensur kunngjøres: andag 3. jun ate of exam: rday, ay

Detaljer

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser Alderseffekter NVEs kostnadsnormer - evaluerng og analyser 2009 20 06 20 10 20 10 20 10 21 2011 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 R A P P O R T 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt parallelle kretser Krchhoffs

Detaljer

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesnng 3 MET359 Økonometr ved Davd Kreberg Vår 0 Oppgaver Alle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Multple regresjon Oppgave.* Ta utgangspunkt

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA440 Statstkk H00 Statstsk nferens: 9.6: Predksjonsntervall 9.8: To utvalg, dfferanse µ µ Mette Langaas Foreleses mandag 8.oktober, 00 Predksjonsntervall for fremtdg observasjon, normalfordelng For en

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april)

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april) HG Aprl 01 Løsnngsksse for oppgaver tl uke 15 (10.-13. aprl) Innledende merknad. Flere oppgaver denne uka er øvelser bruk av den vktge regel 5.0, som er sentral dette kurset, og som det forventes at studentene

Detaljer

2007/30. Notater. Nina Hagesæther. Notater. Bruk av applikasjonen Struktur. Stabsavdeling/Seksjon for statistiske metoder og standarder

2007/30. Notater. Nina Hagesæther. Notater. Bruk av applikasjonen Struktur. Stabsavdeling/Seksjon for statistiske metoder og standarder 007/30 Notater Nna Hagesæter Notater Bruk av applkasjonen Struktur Stabsavdelng/Seksjon for statstske metoder og standarder Innold 1. Innlednng... 1.1 Hva er Struktur, og va kan applkasjonen brukes tl?...

Detaljer

Behandling av C6+ NFOGM Temadag Forfatter: Reidar Sakariassen, MetroPartner AS

Behandling av C6+ NFOGM Temadag Forfatter: Reidar Sakariassen, MetroPartner AS Behandling av C6+ NFOGM Temadag 16.03.2007 Forfatter: Reidar Sakariassen, MetroPartner AS Behandling av C6+ Innhold -Hva er C6+? -Analyse -Effekter og konsekvenser Behandling av C6+ Noen komposisjoner

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt

Detaljer

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder.

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder. 40 Metoder for å måle avkastnng Totalavkastnngen tl Statens petroleumsfond blr målt med stor nøyaktghet. En vktg forutsetnng er at det alltd beregnes kvaltetsskret markedsverd av fondet når det kommer

Detaljer

Håkon Skullerud, Barbara K. Frøyen, Olav Skogesal og Anne Vedø Estimering av materialfordelingen til husholdningsavfall i 2004

Håkon Skullerud, Barbara K. Frøyen, Olav Skogesal og Anne Vedø Estimering av materialfordelingen til husholdningsavfall i 2004 Rapporter 42/2010 Håkon Skullerud, Barbara K. Frøyen, Olav Skogesal og Anne Vedø Estmerng av materalfordelngen tl husholdnngsavfall 2004 Statstsk sentralbyrå Statstcs Norway Oslo Kongsvnger Rapporter I

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag . desember 6 EKSAMEN Løsnngsorslag Emnekode: ITD Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Dato:. desember 6 Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnold på begge sder. - Formelete. - Kalkulator som deles ut samtdg

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00 Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 9 Faglg kontakt under eksamen: Enar Rønqust, tlf. 73 59 35 47 EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Trsdag 15. ma 2001 Td:

Detaljer

Oversikt 1. forelesning. ECON240 Statistikk og økonometri. Utdanning og lønn. Forskning. Datainnsamling; utdanning og inntekt

Oversikt 1. forelesning. ECON240 Statistikk og økonometri. Utdanning og lønn. Forskning. Datainnsamling; utdanning og inntekt Overskt. forelesnng ECON40 Statstkk og økonometr Arld Aakvk, professor Insttutt for økonom Hva er statstkk og økonometr? Hvorfor studerer v fagområdet? Statstkk Metoder, teknkker og verktøy tl å produsere

Detaljer

Notasjoner, gjennomsnitt og kvadratsummer. Enveis ANOVA, modell. Flere enn to grupper. Enveis variansanalyse (One-way ANOVA, fixed effects model)

Notasjoner, gjennomsnitt og kvadratsummer. Enveis ANOVA, modell. Flere enn to grupper. Enveis variansanalyse (One-way ANOVA, fixed effects model) Enves varansanalyse (One-way ANOVA, fxed effects model Reaptulerng av t-testen for uavhengge utvalg fra to grupper, G og G : Observasjoner fra G : Y N(, σ j, j=,,...,n Observasjoner fra G : Y N(, σ, j=,,...,n

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>. ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON13: EKSAMEN 14V TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt >. Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer

Detaljer

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Løsnnger lle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Hypotesetestng testng av enkelthypoteser Oppgave 1.* Når v tester enkelthypoteser ved hjelp

Detaljer

Alternerende rekker og absolutt konvergens

Alternerende rekker og absolutt konvergens Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne

Detaljer

Hvordan får man data og modell til å passe sammen?

Hvordan får man data og modell til å passe sammen? Hvordan får man data og modell tl å passe sammen? Ekstremverd-analyse Målet er å estmere T-års-ekstremen (flommen). T-års-ekstremen er slk at etter T år vl det forventnng være én overskrdelse av T-års-ekstremen.

Detaljer

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir)

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir) 2009/48 Notater Bjørn Gabrelsen, Magnar Lllegård, Bert Otnes, Brth Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdr) Notater Indvdbasert statstkk for pleeog omsorgstjenesten kommunene (IPLOS) Foreløpge resultater

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON13 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 11.8.16 Sensur kunngjøres senest: 6.8.16 Td for eksamen: kl. 9: 1: Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen : ECON0 Statstkk, våren 004 Exam: ECON0 Statstcs, sprng 004 Eksamensdag: Fredag 8. ma 004 Date of exam: Frday, May 8, 004 Td for eksamen: kl. 09:00 :00

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I SØK3515 MIKRO- OG PANELDATAØKONOMETRI MICRO AND PANEL DATA ECONOMETRICS

EKSAMENSOPPGAVE I SØK3515 MIKRO- OG PANELDATAØKONOMETRI MICRO AND PANEL DATA ECONOMETRICS NTNU Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for samfunnsøkonom EKSAMENSOPPGAVE I SØK3515 MIKRO- OG PANELDATAØKONOMETRI MICRO AND PANEL DATA ECONOMETRICS Faglg kontakt under eksamen: Bjarne

Detaljer

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL Norman & Orvedal, kap. 1-5 Bævre & Vsle Generell lkevekt En lten, åpen økonom Nærngsstruktur Skjermet versus konkurranseutsatt vrksomhet Handel og komparatve fortrnn

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18). Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamen : ECON3 Statstkk Exam: ECON3 Statstcs UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: Torsdag. jun 6 Sensur kunngjøres: Fredag 6. jun Date of exam: Thursday, June, 6 Grades wll be gven: Frday,

Detaljer

EKSAMENSOPPGAVE I SØK1004 STATISTIKK FOR ØKONOMER STATISTICS FOR ECONOMISTS

EKSAMENSOPPGAVE I SØK1004 STATISTIKK FOR ØKONOMER STATISTICS FOR ECONOMISTS NTNU Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for samfunnsøkonom EKSAMENSOPPGAVE I SØK004 STATISTIKK FOR ØKONOMER STATISTICS FOR ECONOMISTS Faglg kontakt under eksamen: Hldegunn E Stokke Tlf:

Detaljer

12 Løsningsmetoder i elastisitetsteori

12 Løsningsmetoder i elastisitetsteori 12 Løsnngsmetoder elaststetsteor Innhold: Eksakt løsnng lnærmede løsnnger Prnsppet om vrtuelt arbed 3D Prnsppet om stasjonær potensell energ 3D Raylegh-Rtz metode 2D og 3D kver kontra plater Eksakte skveløsnnger

Detaljer

Statens vegvesen. Vegpakke Salten fase 1 - Nye takst- og rabattordninger. Utvidet garanti for bompengeselskapets lån.

Statens vegvesen. Vegpakke Salten fase 1 - Nye takst- og rabattordninger. Utvidet garanti for bompengeselskapets lån. Fauske kommune Torggt. 21/11 Postboks 93 8201 FAUSKE. r 1'1(;,. ',rw) J lf)!ùl/~~q _! -~ k"ch' t ~ j OlS S~kÖ)Ch. F t6 (o/3_~ - f' D - tf /5Cr8 l Behandlende enhet Regon nord Sa ksbeha nd er/ n nva gsn

Detaljer

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Magnetsk nvåregulerng Prosjektoppgave faget TTK 45 Ulneære systemer Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Innholdsfortegnelse Innholdsfortegnelse... Innlednng... Oppgave

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for

Detaljer

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse Ltt om emprsk Markedsavgrensnng form av sjokkanalyse Frode Steen Konkurransetlsynet, 27 ma 2011 KT - 27.05.2011 1 Sjokkanalyse som markedsavgrensnngsredskap Tradsjonell korrelasjonsanalyse av prser utnytter

Detaljer

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning Bruksanvsnng System 2000 Art. Nr.: 0661 xx /0671 xx Innholdsfortegnelse 1. rmasjon om farer 2. Funksjon 2.1. Funksjonsprnspp 2.2. Regstrerngsområde versjon med 1,10 m lnse 2.3. Regstrerngsområde versjon

Detaljer

Bruksanvisning. For brukeren. Bruksanvisning. eloblock. Elektrisk veggmontert varmeapparat

Bruksanvisning. For brukeren. Bruksanvisning. eloblock. Elektrisk veggmontert varmeapparat Bruksanvsnng For brukeren Bruksanvsnng eloblock Elektrsk veggmontert varmeapparat NO Innhold Innhold 1 Merknader om dokumentasjon...3 1.1 Følge andre gjeldende dokumenter...3 1.2 Ta vare på dokumenter...3

Detaljer

Postadresse: Pb. 8149 Dep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas vei 8 - Tlf. 02-466850. Bankgiro 0629.05.81247 - Postgiro 2 00 0214

Postadresse: Pb. 8149 Dep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas vei 8 - Tlf. 02-466850. Bankgiro 0629.05.81247 - Postgiro 2 00 0214 A "..'. REW~~~~~OO ~slnmtlre STATENS ARBESMLJØNSTTUTT Postadresse: Pb. 8149 ep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas ve 8 - Tlf. 02-466850. Bankgro 0629.05.81247 - Postgro 2 00 0214 Tttel: OPPLEE AV HEE OG

Detaljer

Kriterier for tilstandsbasert monitorering av ultralyd gassmålere Løypemelding fra OD-prosjekt

Kriterier for tilstandsbasert monitorering av ultralyd gassmålere Løypemelding fra OD-prosjekt Kriterier for tilstandsbasert monitorering av ultralyd gassmålere Løypemelding fra OD-prosjekt NFOGM Temadag 22.03.2012 Forfatter: Reidar Sakariassen, MetroPartner AS - Bakgrunn - Omfang - Typer, dimensjoner

Detaljer

1653B/1654B. Installasjonstest på et IT anlegg i drift

1653B/1654B. Installasjonstest på et IT anlegg i drift 65B/654B Installasjonstest på et IT anlegg drft Utførng av testene Spennngsmålnger Testeren kan brkes som et ac voltmeter hvor spennng og frekvens kan vses samtdg ved å sette rotasjonsbryteren tl V. Alle

Detaljer

Laser Distancer LD 420. Bruksanvisning

Laser Distancer LD 420. Bruksanvisning Laser Dstancer LD 40 no Bruksanvsnng Innhold Oppsett av nstrumentet - - - - - - - - - - - - - - - - Innlednng- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Overskt - - - - - - - - - -

Detaljer

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk. ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl

Detaljer

Kalibrering. Hvordan sikrer Norsonic sporbarhet av måleresultatene. Ole-Herman Bjor

Kalibrering. Hvordan sikrer Norsonic sporbarhet av måleresultatene. Ole-Herman Bjor Kalibrering Hvordan sikrer Norsonic sporbarhet av måleresultatene Ole-Herman Bjor Norsonic kalibreringslaboratorium Norsonic kalibreringslaboratorium etablert i 1993. Akkreditert av Norsk akkreditering

Detaljer

SIF5072 Stokastske prosesser Sde 2 av 6 b) Hva vl det s at en Markov-kjede er rredusbel? Er Markov-kjeden fx n g denne oppgaven rredusbel? Er den aper

SIF5072 Stokastske prosesser Sde 2 av 6 b) Hva vl det s at en Markov-kjede er rredusbel? Er Markov-kjeden fx n g denne oppgaven rredusbel? Er den aper Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 6 Faglg kontakt under eksamen: Bo Lndqvst 73 59 35 20 EKSAMEN I FAG SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Mandag 13. august 2001 Td:

Detaljer

Notater. Asif Hayat og Terje Tveeikrem Sæter. Prisindeks for rengjøringsvirksomhet 2008/49. Notater

Notater. Asif Hayat og Terje Tveeikrem Sæter. Prisindeks for rengjøringsvirksomhet 2008/49. Notater 2008/49 Notater Asf Hayat og Terje Tveekrem Sæter Notater Prsndeks for rengjørngsvrksomhet Avdelng for nærngsstatstkk/seksjon for bygg- og tjenestestatstkk Innhold 1. Innlednng... 2 2. Internasjonale

Detaljer

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0. UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet Forelesnng NO kapttel 4 Skjermet og konkurranseutsatt vrksomhet Det grunnleggende formål med eksport: Mulggjøre mport Samfunnsøkonomsk balanse mellom eksport og mportkonkurrerende: Samme valutanntjenng/besparelse

Detaljer

SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat 11. Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU

SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat 11. Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU SOS3003 Anvendt statstsk dataanalyse samfunnsvtenskap Forelesngsnotat Erlng Berge Insttutt for sosolog og statsvtenskap NTNU Erlng Berge 2004 Forelesng XI Logstsk regresjon II Hamlton Kap 7 s27-235 Erlng

Detaljer

Usikkerhet til aktivitetsdata og karbonfaktor for brenngass- og fakkelgassmålesystemer Del I

Usikkerhet til aktivitetsdata og karbonfaktor for brenngass- og fakkelgassmålesystemer Del I Usikkerhet til aktivitetsdata og karbonfaktor for brenngass- og fakkelgassmålesystemer Del I NFOGM Temadag 27.03.2008 Forfatter: Reidar Sakariassen, MetroPartner AS Dette er historien om et forenklet prosessmålesystem

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

FFI RAPPORT DRIFTSKOSTNADSVEKST ESTIMERT MED BAYESIANSKE METODER. DAHL Fredrik A. FFI/RAPPORT-2005/01676

FFI RAPPORT DRIFTSKOSTNADSVEKST ESTIMERT MED BAYESIANSKE METODER. DAHL Fredrik A. FFI/RAPPORT-2005/01676 FFI RAPPORT DRIFTSKOSTNADSVEKST ESTIMERT MED BAYESIANSKE METODER DAHL Fredrk A. FFI/RAPPORT-2005/01676 FFI-Analse Kjeller 14. aprl 2005 DRIFTSKOSTNADSVEKST ESTIMERT MED BAYESIANSKE METODER DAHL Fredrk

Detaljer

ECON 2915 forelesning 3. Malthus teori. Befolkningsvekst. Solow-modellen. Malthus teori. Befolkningsvekst i. Solowmodellen. Fredag 6.

ECON 2915 forelesning 3. Malthus teori. Befolkningsvekst. Solow-modellen. Malthus teori. Befolkningsvekst i. Solowmodellen. Fredag 6. forelesnng 3 Malthus teor. Befolknngsvekst ECON 2915 forelesnng 3 Malthus teor. Befolknngsvekst Solow-modellen. Fredag 6.september, 2013 forelesnng 3 Malthus teor. Befolknngsvekst Fgure 4.1: Relatonshp

Detaljer

Blod. P3 Blodoverforing. Reaksjon. Blodpose. nedfrosset plasma. blodbanken. Blod. Blod. Kassert blod

Blod. P3 Blodoverforing. Reaksjon. Blodpose. nedfrosset plasma. blodbanken. Blod. Blod. Kassert blod Lsnngs fors lag t l Eks amen 45060 og 4560 Sys t e mer ng T r s dag 9. jun 992 Kl. 0900 { 300 5. jun 992 Oppge a) Pasenter D2 Tmergster D4 Pasentregster type, Rhesusverd Reaksjon P3 overforng Akutttlfelle

Detaljer

Analyse av strukturerte spareprodukt

Analyse av strukturerte spareprodukt NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, Høst 2007 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe Veleder: Professor Petter Bjerksund Utrednng fordypnngs-/spesalområdet: Fnansell

Detaljer

SNF-rapport nr. 23/05

SNF-rapport nr. 23/05 Sykefravær offentlg og prvat sektor av Margt Auestad SNF-prosjekt nr. 4370 Endrng arbedsforhold Norge Prosjektet er fnansert av Norges forsknngsråd SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER

Detaljer

_. 3* ; Kommunen ber om kr 182 599,- for inndekking av kostnader med på kongeørn i Rissa kommune i perioden 25. juli - 17. august 2015.

_. 3* ; Kommunen ber om kr 182 599,- for inndekking av kostnader med på kongeørn i Rissa kommune i perioden 25. juli - 17. august 2015. I I SørTrøndelag Postboks 4710 Sluppen, 7468 Trondhem Sentralbord: 73 19 90 00, Telefaks: 73 19 91 01 Besøksadresse: E. C. Dahls g. 10 Saksbehandler Innvalgstelefon Vår dato Vår ref. (bes oppgtt ved svar)

Detaljer

Forventet antall leveår i god helse (HLY) Effekten av ulike helsedefinisjoner

Forventet antall leveår i god helse (HLY) Effekten av ulike helsedefinisjoner Magnar Lllegård og Jorun Ramm Forventet antall leveår god helse (HLY) Effekten av ulke helsedefnsjoner Statstsk sentralbyrå Statstcs Norway Oslo Kongsvnger Notater I denne seren publseres dokumentasjon,

Detaljer

Prisindeks for godstransport på vei

Prisindeks for godstransport på vei Notater Documents 40/2012 Ftw Wolday Prsndeks for godstransport på ve Dokumentasjonsnotat Notater 40/2012 Ftw Wolday Prsndeks for godstransport på ve Dokumentasjonsnotat Statstsk sentralbyrå Statstcs

Detaljer

Sluttrapport. utprøvingen av

Sluttrapport. utprøvingen av Fagenhet vderegående opplærng Sluttrapport utprøvngen av Gjennomgående dokumenterng fag- og yrkesopplærngen Februar 2012 Det å ha lett tlgjengelg dokumentasjon er en verd seg selv. Dokumentasjon gr ungedommene

Detaljer

Lise Dalen, Pål Marius Bergh, Jenny-Anne Sigstad Lie og Anne Vedø. Energibruk î. næringsbygg 1995-1997 98/47. 11 Notater

Lise Dalen, Pål Marius Bergh, Jenny-Anne Sigstad Lie og Anne Vedø. Energibruk î. næringsbygg 1995-1997 98/47. 11 Notater 98/47 Notater 998 Lse Dalen, Pål Marus Bergh, Jenny-Anne Sgstad Le og Anne Vedø Energbruk î. nærngsbygg 995-997 Avdelng for økonomsk statstkk/seksjon for utenrkshandel, energ og ndustrstatstkk Innhold.

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................

Detaljer

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng

Detaljer

Leica DISTO TM D410 The original laser distance meter

Leica DISTO TM D410 The original laser distance meter Leca DISTO TM D410 The orgnal laser dstance meter Innholdsfortegnelse Oppsett av nstrumentet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Introduksjon - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 Øving 8

Løsningsforslag ST2301 Øving 8 Løsnngsforslag ST301 Øvng 8 Kapttel 4 Exercse 1 For tre alleler, fnn et sett med genfrekvenser for to populasjoner, som gr flere heterozygoter enn forventa utfra Hardy-Wenberg-andeler for mnst én av de

Detaljer

GAS AND LIQUID ANALYSIS

GAS AND LIQUID ANALYSIS Fakkelgass-analyse Fakkelgass-analyse Hvorfor måle på gassen til fakkel? Utfordringer med måling på gassen til fakkel. GC for måling av fakkelgass Hva er en GC og hvordan virker den Hvorfor er Fakkelgass

Detaljer

SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat 07. Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU

SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat 07. Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU SOS3003 Anvendt statstsk dataanalyse samfunnsvtenskap Forelesngsnotat 07 Erlng Berge Insttutt for sosolog og statsvtenskap NTNU Erlng Berge 2004 Forelesng VII Logstsk regresjon I Hamlton Kap 7 s27-234

Detaljer

Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER

Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER Malmfuru terrasse Malmfuru er den mest mljøvennlge terrassen

Detaljer

Studieprogramundersøkelsen 2013

Studieprogramundersøkelsen 2013 1 Studeprogramundersøkelsen 2013 Alle studer skal henhold tl høgskolens kvaltetssystem være gjenstand for studentevaluerng mnst hvert tredje år. Alle studentene på studene under er oppfordret tl å delta

Detaljer

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme,

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme, Løsnngssksse tl eksamen TFY11 Elektromagnetsme, høst 003 (med forbehold om fel) Oppgave 1 a) Ved elektrostatsk lkevekt har v E = 0 nne metall. Ellers bruker v Gauss lov med gaussflate konsentrsk om lederkulen.

Detaljer

Denne anvisningen er en del av produktet og skal være hos sluttkunden. Bilde 1: Trådløs håndsender dobbel og firedobbel

Denne anvisningen er en del av produktet og skal være hos sluttkunden. Bilde 1: Trådløs håndsender dobbel og firedobbel Radohåndsender 2 kanaler Best.-nr. : 5352 10 Radohåndsender 4 kanaler Best.-nr. : 5354 10 Bruksanvsnng 1 Skkerhetsnformasjon Knappeceller skal oppbevares utlgjengelg for barn! Hvs knappecellene svelges

Detaljer

Rapport 2008-031. Benchmarkingmodeller. incentiver

Rapport 2008-031. Benchmarkingmodeller. incentiver Rapport 28-3 Benchmarkngmodeller og ncentver CO-rapport nr. 28-3, Prosjekt nr. 552 ISS: 83-53, ISB 82-7645-xxx-x LM/ÅJ, 29. februar 28 Offentlg Benchmarkngmodeller og ncentver Utarbedet for orges vassdrags-

Detaljer

Bilde 1: Apparatets oppbygning

Bilde 1: Apparatets oppbygning Art.-nr. : FM..5232.. Bruksanvsnng 1 Skkerhetsnformasjon Monterng og nnbyggng av elektrske apparater må kun gjennomføres av autorserte elektrkere. Fare for alvorlge personskader, brann og materelle skader.

Detaljer

Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet.

Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet. FORELESNING I ERMOYNMIKK ONSG 29.03.00 ema for forelesnngen var arnot-sykel (arnot-maskn) og entropbegrepet. En arnot-maskn produserer arbed ved at varme overføres fra et sted med en øy temperatur ( )

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERITETET I OO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : FY110 Elektromagnetsme Eksamensdag: 6. desember 01 Td for eksamen: 14:30 18:30 Oppgavesettet er på: sder Vedlegg: Formelark (3 sder)

Detaljer

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag 8.. EKSAMEN n og utsatt løsnngsorslag Emnekode: ITD Dato:. jun Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Eksamenstd: 9.. Faglærer: Chrstan F Hede -

Detaljer

Trykkløse rørsystemer

Trykkløse rørsystemer Trykkløse rørsystemer har kabel- og avløpsrørsystemer PVC, PP og PE med komplette delespektre. PE benyttes trykkrør som utslppslednnger, som lednng dårlge masser (myr) og ved høy overdeknng og/eller høy

Detaljer

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.

Detaljer

4 Energibalanse. TKT4124 Mekanikk 3, høst Energibalanse

4 Energibalanse. TKT4124 Mekanikk 3, høst Energibalanse 4 Energbalanse Innhold: Potensell energ Konservatve krefter Konserverng av energ Vrtuelt arbed for deformerbare legemer Vrtuelle forskvnngers prnspp Vrtuelle krefters prnspp Ltteratur: Irgens, Fasthetslære,

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statstkk og økonom, våren 7 Oblgatorsk oppgave Løsnngsforslag Oppgave Anta at forbruket av ntrogen norsk landbruk årene 987 99 var følgende målt tonn: 987: 9 87 988: 8 989: 8 99: 8 99: 79 99: 87 99: 9

Detaljer

Kvalitetskontrollhåndbok. mammografi

Kvalitetskontrollhåndbok. mammografi NO9400084 Kvaltetskontrollhåndbok mammograf NEI-NO--431 Strålevern HEFTE 2 IssNtx(4 4«;jy rum 1W4 ;Sr statms * Stvålevem Strålevern HEFTE 2 Kvaltetskontrollhåndbok mammograf ' cf-r Statens strålevern Referanse:

Detaljer

STK1100 våren 2015 P A B P B A. Betinget sannsynlighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksemplet motiverer definisjonen:

STK1100 våren 2015 P A B P B A. Betinget sannsynlighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksemplet motiverer definisjonen: STK00 våren 05 etnget sannsynlghet Svarer tl avsntt.4 læreboa Esempel V vl først ved help av et esempel se ntutvt på hva betnget sannsynlghet betyr V legger fre røde ort og to svarte ort en bune Ørnulf

Detaljer

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ

Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ Psykologisk institutt Eksamensoppgave i PSY3100 Forskningsmetode - Kvantitativ Faglig kontakt under eksamen: Mehmet Mehmetoglu Tlf.: 91838665 Eksamensdato: 7. desember 2015 Eksamenstid (fra-til): 9.00-13.00

Detaljer

Bare varighet. Manuell sammendragsfremheving Manuelt sammendrag. Ekstern milepæl Fremdrift Sammendrag. Bare start. Tidsfrist Prosjektsammendrag

Bare varighet. Manuell sammendragsfremheving Manuelt sammendrag. Ekstern milepæl Fremdrift Sammendrag. Bare start. Tidsfrist Prosjektsammendrag 15 10. aug. 15 17. aug. 15 24. aug. 15 31. aug. 15 07. sep. 15 14. sep. 15 21. sep. 15 28. s ID snavn Varighet Start Slutt o t f l s m t o t f l s m t o t f l s m t o t f l s m t o t f l s m t o t f l

Detaljer

Eksamensoppgave i FY8104 / FY3105 Symmetrigrupper i fysikken

Eksamensoppgave i FY8104 / FY3105 Symmetrigrupper i fysikken Insttutt for fyskk Eksamensoppgave FY8104 / FY3105 Symmetrgrupper fyskken Faglg kontakt under eksamen: Jan Myrhem Tlf.: 73593653 / 90075172 Eksamensdato: 9. desember 2013 Eksamenstd: 9 13 Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

Subsea flerfasemåling. Kåre Kleppe Specialist Pipeline Technology SMT PTT FA Statoil ASA Classification: Internal 2012-01-18

Subsea flerfasemåling. Kåre Kleppe Specialist Pipeline Technology SMT PTT FA Statoil ASA Classification: Internal 2012-01-18 Subsea flerfasemåling Kåre Kleppe Specialist Pipeline Technology ST PTT FA Statoil ASA Topics Innledning Hvorfor må vi ha et overordnet system Typisk design. Flerfasemålere brukt til allokeringsmåling.

Detaljer

Geometriske operasjoner

Geometriske operasjoner Geometrske operasjoner INF 23 27.2.27 Kap. 9 (samt 5.5.2) Geometrske operasjoner Affne transformer Interpolasjon Samregstrerng av blder Endrer på pkslenes possjoner ransformerer pkselkoordnatene (x,) tl

Detaljer

Randi Eggen, SVV Torunn Moltumyr, SVV Terje Giæver. Notat_fartspåvirkn_landeveg_SINTEFrapp.doc PROSJEKTNR. DATO SAKSBEARBEIDER/FORFATTER ANTALL SIDER

Randi Eggen, SVV Torunn Moltumyr, SVV Terje Giæver. Notat_fartspåvirkn_landeveg_SINTEFrapp.doc PROSJEKTNR. DATO SAKSBEARBEIDER/FORFATTER ANTALL SIDER NOTAT GJELDER SINTEF Teknolog og samfunn Transportskkerhet og -nformatkk Postadresse: 7465 Trondhem Besøksadresse: Klæbuveen 153 Telefon: 73 59 46 60 Telefaks: 73 59 46 56 Foretaksregsteret: NO 948 007

Detaljer