EKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag

Transkript

1 . jun 0 EKSAMEN Ny og utsatt Løsnngsorslag Emnekode: ITD50 Dato:. jun 0 Emne: Matematkk, deleksamen Eksamenstd: Hjelpemdler: To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Formelhete. Kalkulator er kke tllatt. Faglærer: Chrstan F Hede Eksamensoppgaven: Oppgavesettet består av re sder nklusv denne orsden og et vedlegg på én sde. Kontroller at oppgaven er komplett ør du begynner å besvare spørsmålene. Oppgavesettet består av åtte oppgaver med alt deloppgaver. Ved sensur vl alle deloppgaver telle omtrent lke mye. Der det er mulg skal du: vse utregnnger og hvordan du kommer ram tl svarene begrunne dne svar, selv om dette kke er eksplstt sagt hvert spørsmål Sensurdato: 5. jun 0 Karakterene er tlgjengelge or studenter på studentweb senest vrkedager etter oppgtt sensurrst. Følg nstruksjoner gtt på: ITD50 Matematkk, deleksamen, jun 0, løsnngsorslag Sde av 0

2 ITD50 Matematkk, deleksamen, jun 0, løsnngsorslag Sde av 0 Oppgave Gtt ølgende vektorer det eukldske rommet R : u = j + k v = + j + k Fnn u v. u v = Oppgave Gtt de komplekse tallene z og w. a Fnn w z. Skrv svaret på ormen a + b. w z b Skrv tallet w på eksponentalorm. Modulus lengden av tallet er gtt ved w Argumentet vnkelen er gtt ved Re cos w w som gr 5 cos

3 Ford både realdel og magnærdel er postve lgger w. kvadrant, og ølgelg er w skrevet på eksponentalorm blr deror e w Oppgave I læreboka nner v ølgende teorem som ote kalles skjærngssetnngen: La være en kontnuerlg unksjon denert på ntervallet [a, b]. Dersom a og b har orskjellg ortegn, så nnes det en c mellom a og b slk at c = 0. Forklar hvoror denne setnngen kalles skjærngssetnngen. Lag gjerne en llustrasjon som støtte or dn orklarng. Dersom a og b har orskjellg ortegn betyr det at det ene endepunktet tl graen må lgge over -aksen, mens det andre lgger under. V har vst to mulgheter gurene nedenor. a a c b b b a c b a ITD50 Matematkk, deleksamen, jun 0, løsnngsorslag Sde av 0

4 Dersom graen skal kunne komme seg ra en postv verd tl en negatv verd, må den ett eller annet sted passere 0. Det samme er tlellet dersom den skal komme seg ra en negatv verd tl en postv verd. Det er nettopp dette skjærngssetnngen ser. Ett eller annet sted mellom endepunktene altså mnst ett sted må den være 0. Dette stedet kalles = c setnngen. Den kalles altså skjærngssetnngen ord den ser at graen vl skjære -aksen ett eller annet sted mellom = a og = b. Oppgave Gjør en orenkg av ølgende uttrykk: e e 5 Sden e og er nverse omvendte unksjoner, vl de «oppheve hverandre». Det vl blant annet s at e a a. Vdere er det slk at a b b a. Bruker v dsse to akta, kan v orenkle på ølgende måte: e e 5 e 5 5 Oppgave 5 Fnn den derverte av ølgende unksjon: Hnt: benytt logartmsk dervasjon V tar logartmen på begge sder og år V benytter så at : * V derverer begge sder. Her bruker dervasjonsregelen '. Men sden er en unksjon av, må v på venstre sde av uttrykket * også bruke kjerneregelen som ser at v må gange med den derverte av kjernen, slk at ' ' På høyre sde av uttrykket * må v bruke produktregelen som ser at derverte av uttrykket * blr da uv' u' v uv'. Den ITD50 Matematkk, deleksamen, jun 0, løsnngsorslag Sde av 0

5 ITD50 Matematkk, deleksamen, jun 0, løsnngsorslag Sde 5 av 0 ' ' ' som gr ' ' ' Hvs v vl kan v ved å bruke at skrve dette som ' Oppgave Fnn ølgende grenseverder dersom de ekssterer. a lm Her kan v orsøke å dele alle ledd med sden leddet med høyest grad har grad : lm lm lm Den sste lkheten skyldes at når går mot uendelg vl alle ledd som nevneren gå mot 0, og v står deror gjen med telleren og nevneren. b 0 cos lm

6 V ser at når går mot 0 så går telleren mot 0 ord cos 0 =. Nevneren går også mot 0 når går mot 0. Uttrykket er deror et ubestemt 0 0 uttrykk. V kan da bruke l Hôptals regel som tllater oss å dervere teller og nevner et slkt uttrykk uten at grenseverden endres: lm cos lm 0 sn lm sn Her har v brukt kjerneregelen ved dervasjonen av telleren. V må nå orkorte telleren mot tlsvarende aktorer nevneren, og år lm sn 0 Her har v gjen ått et 0 0 uttrykk og kan bruke l Hôptals regel på nytt: cos lm 0 Igjen kan v orkorte telleren mot tlsvarende aktor nevneren, og år lm 0 cos cos 0 Oppgave 7 En unksjon av to varable er gtt ved z, y y Funksjonen er denert or alle reelle og y. Fnn og. y Når v partellderverer med hensyn på, betrakter v y som en konstant under dervasjonen. V år deror 0 Tlsvarende år v y 0 y y y ITD50 Matematkk, deleksamen, jun 0, løsnngsorslag Sde av 0

7 Oppgave 8 Fnn ølgende ubestemte ntegraler: 5 a 5 e cos d Her kan v bruke ntegrasjonsreglene drekte. Når v skal ntegrere kan det være lettere dersom v tenker på at : 5 5 e cos d 5 e sn C b sn d Her må v bruke delvs ntegrasjon. V velger å kalle u' sn og v som gr u cos og v' Regelen or delvs ntegrasjon er slk: u ' v d uv Bruker v dette år v uv' d sn d cos cos d cos cos d ITD50 Matematkk, deleksamen, jun 0, løsnngsorslag Sde 7 av 0

8 For å nne ntegralet cos d må v gjen bruke delvs ntegrasjon. V velger her u' cos og v som gr u sn og v ' Bruker v dette sammen med regelen or delvs ntegrasjon år v cos d sn Sammen med resultatet ovenor gr dette sn d cos sn d sn cos C cos d cos sn cos C cos sn cos C cos sn C c d Her kan v orsøke å delbrøkoppspalte ntegranden. V aktorserer ørst nevneren: 0 Dette betyr at v kan aktorsere nevneren slk: ITD50 Matematkk, deleksamen, jun 0, løsnngsorslag Sde 8 av 0

9 V kan nå gjøre en delbrøkoppspaltng: A B V ganger så dette uttrykket med : A B V orkorter det v kan og år A B Så setter v nn = dette uttrykket: A B som gr A B0 Altså A. Så setter v nn = uttrykket ovenor: A B som gr A 0 B Altså B. V kan altså spalte ntegranden slk: og v kan da ntegrere drekte ved å bruke regelen som ser at a d F a C Dette gr ITD50 Matematkk, deleksamen, jun 0, løsnngsorslag Sde 9 av 0

10 ITD50 Matematkk, deleksamen, jun 0, løsnngsorslag Sde 0 av 0 d d d d C