12 Løsningsmetoder i elastisitetsteori

Transkript

1 12 Løsnngsmetoder elaststetsteor Innhold: Eksakt løsnng lnærmede løsnnger Prnsppet om vrtuelt arbed 3D Prnsppet om stasjonær potensell energ 3D Raylegh-Rtz metode 2D og 3D kver kontra plater Eksakte skveløsnnger kontra bjelketeor Ltteratur: Cook & Young, Advanced Mechancs of Materals, kap (kke Ary s spennngsfunksjon) Larsen: Konstruksjonsteknkk Laster og bæresystemer, kap. 4.6 K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

2 Elaststetsteorens grunnlgnnger Φ u F u 0 Gtt: Elastsk legeme med volum omsluttet av en rand (overflate). På randen u er det foreskrevet randbetngelser u 0. form av spesfserte forskyvnnger u u, typsk På randen er det foreskrevet randbetngelser form av Φ Φ. Dessuten er legemet spesfserte flatekrefter c påkjent av volumkrefter F. Dfferensallgnnger som uttrykker lkevekt (se sde 9-22): σ F 0 Dfferensallgnnger som uttrykker kompatbltet (se sde 10-8): ε u Lneær elastsk spennngs-tøynngsrelasjon (se sde 11-6): 0 σ E ε ε ε er ntaltøynnger, f.eks pga temperatur. 0 c K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

3 Elaststetsteorens grunnlgnnger (forts) Randbetngelser: raksjoner: Φ Φ c på Forskyvnnger: u u c på u Overskt: pennnger: σ Lkevekt: σ F 0 olumkrefter: F Lneært-elastsk materale: σ E ε ε 0 + Randbetngelser Φ Φ c u u c på på u øynnger: ε Knematkk: ε u Forskyvnnger: u K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

4 Lgnnger og ukjente ype lgnng Antall lgnnger 3D 2D 1D Lkevekt σ F Materallov σ E ε ε Knematkk ε u otalt ype ukjent pennnger øynnger Forskyvnnger Antall ukjente 3D 2D 1D σ ε u otalt Dsse lgnngssystemene, nkludert relevante randbetngelser, gr en eksakt løsnng på et vlkårlg elaststetsteoretsk problem. Praktsk problem: ærlg 2D og 3D er kun et fåtall problemer analytsk løsbare. Praktsk håndterng: Numerske løsnng (elementmetoden) K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

5 Eksakte løsnnger En eksakt løsnng må tlfredsstlle følgende lgnnger ethvert punkt legemets volum : Lkevektslgnngene Knematkklgnngene Konsttutve lgnnger Dessuten må følgende krav være tlfredsstlt på ethvert punkt på randen : Randbetngelser på traksjoner Randbetngelser på forskyvnnger Eksakte løsnnger kan kun etableres for enkle kombnasjoner av: Geometr Belastnng Randbetngelser IKIG: Eksakte løsnnger (både elaststetsteor og plaststetsteor) er mye benyttet som benchmark -tlfeller (referansetlfeller) elementmetoden: Uttestng av nye elementer jekk av materalmodeller Evaluerng av løsnngsalgortmer K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

6 lnærmede løsnnger En tlnærmet løsnng kan etableres analytsk eller numersk. En analytsk, tlnærmet løsnng er vanlgvs basert på Raylegh- Rtz metode: Man benytter prnsppet om stasjonær potensell energ eller prnsppet om vrtuelt arbed, og velger (antar) et forskyvnngsfelt bestående av formfunksjoner multplsert med generalserte frhetsgrader. ed å kreve stasjonær potensell energ, evt. at summen av alle vrtuelle arbedsbdrag skal være lk null, kan verden av de generalserte frhetsgradene bestemmes. Når forskyvnngsfeltet er kjent, kan tøynnger, spennnger osv. bestemmes ved dervasjon, materallov osv. En numersk, tlnærmet løsnng er for de aller fleste faststoffmekanske problemer basert på elementmetoden: Konstruksjonen/legemet deles nn elementer. Hvert element er beskrevet med et antall frhetsgrader og formfunksjoner, se sde 7-11 og 7-12 for bjelkeelement. Elementene er forbundet med hverandre va felles frhetsgrader, og sum bygger de opp en modell av hele systemet. Også her benyttes prnsppet om vrtuelt arbed eller stasjonær potensell energ tl å regne ut de ukjente (dvs. løse et lgnngssystem mhp. frhetsgradene) Egenskaper ved en tlnærmet løsnng basert på antatte/valgte forskyvnngsfelt (Raylegh-Rtz, elementmetoden): lfredsstller kke lkevektslgnngene ethvert materalpunkt verken volumet eller på rendene lfredsstller gjennomsntt (ntegrert) lkevektslgnngene og randbetngelsene på traksjoner lfredsstller de knematske relasjonene sden tøynngene er drekte beregnet fra de antatte forskyvnngene lfredsstller randbetngelser på forskyvnnger (essenselle randkrav) forutsatt gyldg valg av formfunksjoner lfredsstller konsttutve lgnnger K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

7 ant enants prnspp Defnsjon: tatske ekvvalente laster = Laster med samme resultant Hypotese (ant enants prnspp): rknngene av to statske ekvvalente laster som vrker over et begrenset område, er sgnfkant forskjellge kun nærheten av det belastede området. pennngs- og deformasjonstlstand er essenselt den samme de delene av legemet som er lenger unna enn et nfluensområde beskrevet av utstreknngen tl det belastede området. Illustrasjon: F h xytdy 0 F ant enants prnspp: tatsk ekvvalente laster på tupp gr samme respons Influensområde K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

8 rtuelle forskyvnnger P w å langt har vrtuelle forskyvnngsfelt kun vært benyttet tl å bestemme krefter eller momenter stve (kke-deformerbare) systemer. skal nå generalsere de vrtuelle forskyvnngers prnspp tl bruk deformerbare legemer. tadg: En vrtuell forskyvnng er en tenkt (hypotetsk) og meget lten endrng konfgurasjonen (tlstanden) tl et system. Den vrtuelle forskyvnngen forutsettes å skje relatvt tl lkevektskonfgurasjonen. All belastnng er dermed satt på systemet før det vrtuelle forskyvnngsfeltet påføres. dere må de vrtuelle forskyvnngene tlfredsstlle kravene på sde 7-3 og 7-4: lstrekkelg glatte (kontnuerlge og derverbare) funksjoner som tlfredsstller den knematske sammenhengen mellom forskyvnng og tøynng Essenselle randbetngelser må være tlfredsstlt Det forutsettes at verken belastnng (krefter) eller spennnger endres av den vrtuelle forskyvnngen. Dette er OK sden det er antatt nfntesmale vrtuelle forskyvnnger. Dette kapttelet ender opp med etablerngen av Raylegh-Rtz metode for 3D. Raylegh-Rtz kan være basert på: Alt.1: rtuelle forskyvnngers prnspp (FP). e lysarkene 12-9 tl og lysark Alt.2: Prnsppet om stasjonær potensell energ. e lysarkene tl og lysark w w K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

9 Prnsppet om vrtuelt arbed Prnsppet om vrtuelt arbed: Et mekansk system er statsk lkevekt hvs og bare hvs det vrtuelle arbedet utført av ytre krefter er lk det vrtuelle arbedet utført av ndre krefter for en vlkårlg tllatt vrtuell forskyvnng. rtuell forskyvnngsvektor: u u v w rtuell tøynngsvektor: ε u Fullt utskrevet: 0 0 x 0 0 x y y 0 0 u z z v xy 0 w y x yz zx 0 z y 0 z x K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

10 Prnsppet om vrtuelt arbed (forts.) Indre vrtuelt arbed er defnert som arbedet utført av spennngene over de vrtuelle tøynngene: W ε σ Ytre vrtuelt arbed er defnert som arbedet utført av volumkreftene og overflatekreftene over det vrtuelle forskyvnngsfeltet: Wy d u F d u Φ Prnsppet om vrtuelt arbed for et kontnuerlg legeme: W Wy d ε σ u F u Φ d d d Merk: u skal tlfredsstlle essenselle randkrav, og må derfor være lk nulll på u, dvs den delen av randen hvor det er defnert randbetngelser på forskyvnng De vrtuelle forskyvnngene u 0 på u Denne versjonen av prnsppet om vrtuelt arbed er også kjent som vrtuelle forskyvnngers prnspp (FP). For et stvt legeme er W 0, og v er tlbake tl prnsppet om vrtuelt arbed slk det ble formulert på lysark 1-4. K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

11 FP Utlednng Lkevektslgnngene: x xy zx Fx x y z 0 xy y yz Fy x y z 0 zx yz z Fz 0 x y z Randbetngelser på traksjoner (Cauchys lgnnger): l m n x x xy zx l m n y xy y yz l m n z zx yz z Med dsse lgnngene er spennngene legemet relatert tl belastnngen defnert ved volumkrefter {F} og flatekrefter {}. Første trnn utlednngen er at lkevektslgnngen x-retnng multplseres med en vrtuell forskyvnng u ( x-retnng) og ntegreres over legemets volum : x xy xz u d+ u d+ u d+ ufx d = 0 x y z K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

12 FP Utlednng (forts.) Lgnngen omskrves ved bruk av delvs ntegrasjon d d : u u u ld d+ u md d x x xy xy x y u u nd d+ uf d = 0 x z x z x z Her har dvergensteoremet benyttet følgende form: x y z dv H d H n d bltt u d u l d x x y x y x z u d u md u d u nd Innførng av randbetngelsene x-retnng gr nå: x x z u u u u d d+ uf d = 0 x x xy x z x x y z K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

13 FP Utlednng (forts.) ed å starte med lkevektslgnngene y- og z-retnng fås tlsvarende uttrykk: v v v v d d+ vf d = 0 w w w w z d z x z y z d+ wfz d = 0 x y z y y x y y z y x y z De tre ntegrerte lkevektslgnngene summeres: x y z x y z u v w d + uf vf wf d u v w x y z d x y z x y z u v v w w u y x z y x z xy yz zx xy y z z x d = 0 Knematkk-lgnngene, se sde 10-5 og 10-7, må også være gyldge for vrtuelle forskyvnnger og tøynnger. Årsak: Ett av kravene tl det vrtuelle forskyvnngsfeltet er at det kke skal bryte kontnuteten legemet. K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

14 FP Utlednng (forts.) Dermed kan lgnngen skrves som: x y z x y z u v w d + uf vf wf d x x y y z z xy xy y z y z z x z x På matrseform, jfr. sde 12-10: u F u Φ ε σ d d d 0 d = 0 Oppsummerng: Utlednngen vser at prnsppet om vrtuelt arbed nneholder lkevektslgnngene og randbetngelsene på traksjoner. Forutsatt at det vrtuelle forskyvnngs- og tøynngsfeltet tlfredsstller kravene på sde 12-8, er også knematkklgnngene og randbetngelser på forskyvnnger nkludert prnsppet. Prnsppet er dermot uavhengg av materallov. Det er kke begrenset tl elastsk materaloppførsel. Alle trnnene utlednngen er reversble. Et 1D spesaltlfelle av FP, som også uttrykker W W, er gtt på sde 4-8: y Fr d Her er det kke gjort noe sklle mellom volum- og overflatekrefter. Forøvrg er versjonene ekvvalente. K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

15 Potensell energ 3D øynngsenergtetthet for et lneært-elastsk materale 0 U 1 2 ε ε Eε ε hvor ε er ntaltøynng, se sde øynngsenerg for legeme med volum 1 U U d d ε ε E ε ε Lastpotensale relatert tl volumkrefter F og overflatetraksjoner Φ forutsatt at dsse kreftene er konservatve: u F d u Φ d Den potenselle energen er gtt som U : 1 2 ε ε 0 Eε ε 0 u Fd u Φ d d K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

16 Potensell energ 3D (forts) Den potenselle energen kan alternatvt uttrykkes som: Leddet 0 0 ε Eε ε Eε u Fd u Φ 0 d d ε E ε tøynngsenergen er utelatt sden dette er en konstant og uansett forsvnner når skal derveres. La du representere en nfntesmal tllatt endrng av forskyvnngsfeltet u lkevektskonfgurasjonenc D. Den nye konfgurasjonen, som er defnert av forskyvnngsfeltet d betegnes C D. Den potenselle energen C D er u u F u u Φ u u, 1 ε dε Eε dε ε dε Eε 0d 2 d d d d Indre knematsk kompatbltet krever: dε du K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

17 tasjonær potensell energ 3D La, se lgnngen øverst på forrge sde, være den potenselle energen lkevektskonfgurasjonen C. Endrngen potensell energ konfgurasjonen Utregnet: D C D relatvt tl D C er d. ε Eε ε Eε 0 d d d d u F u Φ d d d d den endrngen forskyvnngsfeltet og dermed endrngen tøynngsfeltet er nfntesmal, er høyere ordens ledd av typen d d ε E ε neglsjert. tasjonær potensell energ lkevektskonfgurasjonen krever: d 0 Innføres elastsk materallov σ E ε ε fås: ε σ u F u Φ d d d d d d ettes u du og ε d uttrykket på sde C D ε, er dette er dentsk med d 0 er en versjon av prnsppet om vrtuelt arbed Merk: I motsetnng tl prnsppet om vrtuelt arbed, forutsetter prnsppet om mnmum potensell energ elastsk materaloppførsel. K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

18 lnærmet løsnng med Raylegh-Rtz Problemdefnsjon: Gtt et elastsk legeme med spesfserte laster og randbetngelser. Bestem: Deformasjonene av legemet pennngene legemet Eventuelle andre responsstørrelser Dette elaststetsteoretske problemet kan løses tlnærmet ved bruk av antatte forskyvnngsfunksjoner og prnsppet om vrtuelt arbed, eventuelt prnsppet om stasjonær potensell energ. lnærmede forskyvnngsfunksjoner for legemet velges som endelge rekker på formen (se også sde 7-3): l m n u a f, v a f, w a f 1 l1 m1 hvor u u(x, y,z), v v(x, y,z) og w w(x, y,z) representerer forskyvnngstlstanden legemet a er generalserte frhetsgrader funksjonene rekka, f f (x, y,z), må tlfredsstlle kompatbltetskrav and essenselle randbetngelser. om regel benyttes polynomer eller trgonometrske rekker De ukjente problemet er de n generalserte frhetsgradene a, mens funksjonene f må velges som et ledd løsnngsprosedyren. K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

19 Raylegh-Rtz basert på prnsppet om stasjonær potensell energ Beregnng av de ukjente a ved bruk av prnsppet om stasjonær potensell energ, se sde og 12-15: 1. elg et tlnærmet forskyvnngsfelt u u,v,w, hvor u u(x, y,z), v v(x, y,z) og w w(x, y,z) dskretseres som beskrevet på sde Bestem tøynngsfeltet ved bruk av knematkklgnngene: ε u. 3. Regn ut legemets tøynngsenerg: U ε Eε (forutsatt at ε 0 ; hvs kke: se sde 12-14) d 4. Regn ut lastpotensalet: u F d u Φ d 5. Legemets potenselle energ: a U 6. Prnsppet om stasjonær potensell energ gr et system med n algebraske lgnnger som representerer lkevektskonfgurasjonen: 0 for 1,2,..., n a 7. Løsnng av lgnngssystemet gr numersk verd tl de n generalserte frhetsgradene a og dermed er det tlnærmede forskyvnngsfeltet u u,v,w bestemt. 8. Dervasjon av u gr tøynng, og spennng beregnes ved bruk av materalloven: σ Eε E u. K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

20 Raylegh-Rtz basert på prnsppet om vrtuelt arbed Beregnng av de ukjente a ved bruk av prnsppet om vrtuelt arbed (FP), se sde 12-9: 1. elg et tlnærmet forskyvnngsfelt u u,v,w, hvor u u(x, y,z), v v(x, y,z) og w w(x, y,z) dskretseres som beskrevet på sde u u,v,w benyttes de samme formfunksjonene f f (x, y,z) som 2. I det vrtuelle forskyvnngsfeltet forskyvnngsfeltet u. OB: De vrtuelle frhetsgradene betegnes a. 3. rtuelle tøynnger bestemmes fra: ε u 4. Aktuelle spennnger bestemmes fra: σ E ε E u 5. u, ε og u F u Φ ε σ σ settes nn FP: d d d 0 6. FP gr en skalar lgnng som er lneær a. Omskrevet: g1 a a1 g2 a a 2... gna a n 0 7. I lkevektstlstanden er det vrtuelle arbedet lk null for et vlkårlg vrtuelt forskyvnngsfelt, dvs. for vlkårlg a. Ergo må de n lgnngene parentesene alle være lk null: g a 0, g a 0,..., g a n 8. Dette lgnngssystemet har n lgnnger og n ukjente a. Etter løsnng av systemet er det tlnærmede forskyvnngsfeltet u u,v,w bestemt. Deretter: ε og σ. K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

21 Egenskaper ved Raylegh-Rtz løsnngen Bruk av Raylegh-Rtz metode for 2D- og 3D-legemer er prnsppet som 1D-problemer. En vktg forskjell er antallet forskyvnngskomponenter ( som er lk antallet uavhengge varable): I 1D-problemer er det kun 1 forskyvnngskomponent, eksempelvs v(x) bjelker og u(x) staver. I 2D-problemer kreves det generelt 2 uavhengge forskyvnngskomponenter, eksempelvs u(x,y) og v(x,y). I et fullt 3D-problem må alle 3 forskyvnngskomponenter tas bruk, dvs u(x,y,z), v(x,y,z) og w(x,y,z). På tlsvarende vs øker kompleksteten av prnsppene, dvs den potenselle energen (sde 12-15) og det vrtuelle arbedet (sde 12-9), som danner grunnlaget for den tlnærmede Raylegh-Rtz løsnngen. Egenskapene tl Raylegh-Rtz løsnngen for 2D- og 3Dproblemer er som tdlgere presentert på sde ktg: En Raylegh-Rtz løsnng kan baseres enten på prnsppet om stasjonær potensell energ eller på FP. Resultatet blr det samme. Funksjonene f må tlfredsstlle essenselle randkrav. Forskyvnngsfeltet representert ved funksjonene f bør være komplett for å skre konvergens mot eksakt løsnng: Alle ledd (unntatt de som faller bort pga essenselle randkrav) må være nkludert. ed praktsk problemløsnng (håndregnng) benyttes det kun noen få, fortrnnsvs 1 eller 2, generalserte frhetsgrader a. En Raylegh-Rtz løsnng basert på et komplett sett av funksjoner f er enten eksakt eller ( mddel) for stv. K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

22 2D problemer elaststetsteor: kver og plater KIE: N x N y N xy t y x PLAE: F q = q(x,y) z t Både skver og plater er plane 2D konstruksjonselementer som har betydelg utstreknng to retnnger, og lten dmensjon (tykkelse) den tredje koordnatretnngen. KIE PLAE Belastnng I skveplanet Normalt plateplanet Relevante forskyvnngskomponenter u(x, y) og v(x, y) w(x, y) pennnger x, y, xy x, y, xy, xz, yz Et KALL er en kombnasjon av skve og plate. Et skall kan gjerne være krumt. K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

23 Eksempel 12.1: Rektangulær skve -t- y q h/2 h/2 x En rektangulær skve har lengde L, høyde h og tykkelse t. ykkelsen er lten sammenlgnet med lengden og høyden, og det kan derfor forutsettes plan spennngstlstand. kven er frtt opplagt, se fguren, og den er belastet med en jevnt fordelt last q langs øvre rand. Anta følgende forskyvnngsfelt: L y u = u( x, y) a1 cos x L L v = v( x, y) a2 sn x L Benytt Raylegh-Rtz metode tl å bestemme a 1 og a 2. ksser spennngene skven. Er skven lkevekt? Fast: 4 4qL a1 4 E' I' og a qL h 1 E' I' 61 L E hvor E' og I' h 12 3 K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor

24 Eksakt skveløsnng Eksakte løsnnger for skveproblemer kan bestemmes hvs skven har geometr, last og randbetngelser som enkelt lar seg beskrve matematsk. Ofte etableres løsnngen ved bruk av Arys spennngsfunksjon. {Ikke pensum.} Eksempel på eksakt løsnng fra Cook & Young, sde 203: Løsnng: Leddene hakeparentesene er den delen av løsnngen som avvker fra elementær bjelketeor. Dsse ekstra spennngene er skssert høyre del av fguren ovenfor. ktg: kveteoren har ngen forutsetnng om Navers hypotese, og x er derfor kke lneær over skvens høyde. kveteoren gr spennnger y tllegg tl x og xy. Legg merke tl at y = q på øvre rand og y = 0 på nedre rand. K4124 Mekankk 3, høst Løsnngsmetoder elaststetsteor