MA1301 Tallteori Høsten 2014

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "MA1301 Tallteori Høsten 2014"

Transkript

1 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014

2

3 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon Naturlge tall og heltall Bevs Teoremer, propossjoner, lemmaer, og korollarer Induksjon Flere eksempler på bevs ved nduksjon Summetegnet Et eksempel tl på bevs ved nduksjon Fakultet Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Rekursjon Fbonacctall Bnets formel for Fbonacctallene Varanter av nduksjon Ltt mer om Fbonacctallene O1 Oppgaver nduksjon og rekursjon 61 O1.1 Oppgaver eksamens stl O1. Oppgaver for å hjelpe med å forstå kapttelet

4

5 Forord Pensumet Dsse notatene er pensumet for årets kurs. De er basert på tekstboka Elementary number theory av Davd M Burton, men er ofte ganske ulke. Når notatene skller seg fra boka, er det notatene og kke boka som bør følges. Det er ngen plkt tl å bruke tekstboka. Notatene har bltt skrevet den henskt at de skal være lett å lese og lære fra. Det kan være bedre å følge en fremstllng enn to 1. Lenker tl nformasjon om de hstorske skkkelsene som skapte tallteor kommer tl å bl lagt ut på kursets hjemmesde. Dsse vl dekke de fleste hstorske notatene tekstboka, men les gjerne dem også. Gude Notatene følger en struktur hvor dskusjon og utdypnnger er sklt fra formelle defnsjoner, propossjoner, og andre typer påstander. For hver propossjon eller annen type påstand, brukes alltd følgende mønster: 1) Propossjonen gs først; ) Etterfulgt av dens bevs; 3) Eksempler på det som propossjonen og dens bevs fastslår kommer så. Av og tl er det tllegg merknader tl bevset eller propossjonen. Det kan være lurt å lese eksemplene rett etter å ha lest propossjonen, og så gå tlbake og lese bevset. På denne måten blr propossjonen ltt mer konkret. Det tar ltt td å bl fortrolg med den abstrakte og konsse måten matematkk skrves på. Ikke g deg: det kommer etter hvert! Oppgavene Etter kaptlene fnnes oppgaver, som er delt nn to. 1) Oppgaver eksamens stll er vanlge matematske oppgaver : de gr deg mulgheten tl å øve deg på å bruke teoren som ble ntrodusert kapttelet, og dermed å vurdere dn forståelse av kapttelets nnhold. 1 Lkevel er det oblgatorsk å ha en kop av tekstboka! Sden jeg skrver notatene år og bruker dem for første gang, kan det være gret å ha tekstboka som et skkerhetsnett.

6 Forord ) Oppgaver for å hjelpe med å forstå kapttelet tar for seg teoren som ble ntrodusert kapttelet. Noen ganger ser bevs og defnsjoner ltt avskrekkende ut tl å begynne med: kanskje ser de ltt for abstrakte ut, eller de benytter seg av notasjoner som man kke føler seg fortrolg med. Målet med dsse oppgavene er å hjelpe deg å få en god forståelse. Hvs du synes noe kapttelet er vanskelg, se på oppgavene, og prøv å gjøre de som handler om det du slter med. Takk Jeg takker den vdunderlge kona m, Kar, så mye for all hjelpen med norsken. Jeg takker også Magnus Bakke Botnan, Truls Bakkejord Ræder, Gard Spreemann, og Marus Thaule for hjelpen med norsken, speselt med matematsk norsk. Fremfor alt takker jeg Kar og llle Åsmund for å ha gjort dagene da dsse notatene ble skrevet så lykkelge, fylt av latter, sang, og de gledelge smlene som bare en baby gr! 6

7 1 Induksjon og rekursjon 1.1 Naturlge tall og heltall Defnsjon Et naturlg tall er et av tallene: 1,,.... Merknad Legg speselt merke tl at dette kurset teller v kke 0 blant de naturlge tallene. Allkevel er det noen som ser på 0 som et naturlg tall. Å nkludere det eller kke er bare en konvensjon, og kke noe å bekymre seg for. Noen ganger nkluderer jeg selv det, og noen ganger kke! Defnsjon Et heltall er et av tallene:...,, 1, 0, 1,,.... Merknad Alle naturlge tall er heltall. Men kke alle heltall er naturlge tall: de negatve heltallene er kke naturlge tall. Ifølge Defnsjon er 0 heller kke et naturlg tall. Notasjon La m og n være heltall. V skrver m ganger n som mn, m n, eller m n. 1. Bevs Merknad Matematkk er som et ggantsk byggverk mursten. Det bygges opp på følgende måte. 1) Matematske påstander formuleres. Dsse er murstenene tl byggverket. ) Dsse påstandene bevses, ved hjelp av matematske påstander som allerede har bltt bevst. Bevsene er sementen som bnder murstenene sammen. Termnolog 1... Å bevse at en matematsk påstand er sann betyr å vse, ved å benytte gtte logske prnspper, at den er sann fra påstander som allerede har bltt bevst, og fra defnsjonene av tngene påstanden handler om. Typsk blr et bevs bygd opp steg for steg en rekke deduksjoner. Eksempel La n være et naturlg tall. Et eksempel på en matematsk påstand er: n + 4 > n + 3. At denne påstanden er sann følger logsk fra de følgende to påstandene: 1) 4 > 3. 7

8 1 Induksjon og rekursjon ) For hvlke som helst naturlge tall n, k, og l slk at k > l, er n + k > n + l. Logkken er som følger: sden 4 > 3 kan v ta k som 4 og l som 3 Påstand ), og da får v at n + 4 > n + 3, som v ønsket å bevse. Merknad Hele kurset består av matematske påstander og deres bevser, så v kke skal g flere eksempler nå. De logske prnsppene som står bak dem er stort sett så velkjente at v kke pleer å nevne dem. Imdlertd skal v dette kapttelet ntrodusere et logsk prnspp som er svært vktg matematkk, og som du sannsynlgvs kke kjenner tl: nduksjon. Merknad 1... Å bevse at en matematsk påstand er gal betyr helt enkelt å g et eksempel hvor det kke er sant. For eksempel se på påstanden: dersom n er et naturlg tall, er n > n + 1. Denne påstanden er gal: når n 1, er påstanden at >, noe som er galt. Imdlertd er følgende påstand sann: dersom n er et naturlg tall slk at n, er n > n + 1. Den kan bevses ved hjelp av nduksjon. Dette llustrerer hvor vktg det er at en matematsk påstand uttrykkes nøyaktg. Termnolog Et eksempel som bevser at en matematsk påstand er gal kalles noen ganger et moteksempel. Det tlsvarende engelske ordet er: counterexample. 1.3 Teoremer, propossjoner, lemmaer, og korollarer Termnolog Et matematsk utsagn som har bltt bevst kalles et teorem, en propossjon, et korollar, eller et lemma. Forskjellge matematkere bruker dsse betegnelsene på forskjellge måter, og noen bruker tllegg andre betegnelser. Lkevel fnnes det noen hovedtrekk som går gjen. 1) Et lemma betegner typsk et steg mot et teorem eller en propossjon som seg selv kke er speselt vktg. Ofte kan et lemma bevses ganske lett, men kke alltd! ) Et teorem eller en propossjon er et utsagn som er betydnngsfult seg selv. Et teorem er vktgere enn en propossjon. Personlg bruker jeg teorem bare for de aller vktgste utsagnene. 3) Et korollar betegner typsk et utsagn som er lett å dedusere fra et allerede bevst teorem, propossjon, eller lemma. 1.4 Induksjon Merknad La n være et naturlg tall. Se på påstanden n Hvordan kan v bevse at dette er sant? nn + 1). 8

9 1.4 Induksjon V kan sjekke om det er sant for gtte verder av n. La for eksempel n 1. Sden ) 1 1 er utsagnet sant dette tlfellet. La n stedenfor. Sden og + 1) 3 6 3, er det sant at ). Dermed er utsagnet sant dette tlfellet også. V kan på en lgnende måte sjekke om utsagnet er sant når n 3, når n 4, og så vdere. Lkevel kan v kke sjekke om propossjonen er sann for alle naturlg tall selv om v brukte hele lvet på kun det! Derfor regnes kke å sjekke om det er sant for enkelte verder av n som et matematsk bevs. Istedenfor benytter v en type resonnement som kalles nduksjon. Termnolog Anta at v har et gtt matematsk utsagn for hvert heltall større enn eller lkt et gtt heltall r. Anta dessuten at v ønsker å bevse utsagnet for hvert av dsse heltallene. Induksjon ser at v kan gjøre det på følgende måte: 1) Sjekk om utsagnet er sant for heltallet r. ) Hvs det antas at utsagnet har bltt bevst for et gtt heltall m som er større enn eller lkt r, bevs at utsagnet er sant for heltallet m + 1. Merknad Idéen bak nduksjon er at Steg 1) og Steg ) gr oss en algortme for å konstruere et bevs for utsagnet for et hvlket som helst heltall m større enn eller lkt r: ) Steg 1) Termnolog 1.4. fastslår at v kan bevse utsagnet når m r; ) Steg ) Termnolog 1.4. fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r + 1; ) Steg ) Termnolog 1.4. fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r + ; v) Steg ) Termnolog 1.4. fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r + 3; v) Slk fortsetter v tl v når heltallet v er nteressert. Merknad Det er svært vktg å fremstlle et bevs ved nduksjon på en klar måte: 1) Skrv tydelg at v sjekker utsagnet for et gtt heltall r, for å gjennomføre Steg 1) Termnolog

10 1 Induksjon og rekursjon ) Skrv tydelg at v antar at utsagnet har bltt bevst for et gtt heltall m større enn r. Skrv så et bevs for utsagnet for heltallet m + 1, og redegjør for hvor du benytter antagelsen at utsagnet stemmer for heltallet m. Dermed har Steg ) Termnolog 1.4. bltt fullført. 3) Avslutt fremstllngen ved å nevne at utsagnet stemmer for alle heltall større enn r ved nduksjon. Det er også gret å begynne med å skrve at utsagnet skal bevses ved nduksjon. Det vktgste er å nevne dette et eller annet sted. V skal se på mange bevs ved nduksjon løpet av dette kurset, og du kommer skkert tl å bl fortrolg med det. La oss begynne med en gang ved å uttrykke formelt påstanden som v tok for oss Merknad 1.4.1, og å fremstlle et bevs for det ved nduksjon. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n nn + 1). Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. Dette gjorde v Merknad Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt naturlg tall m større enn eller lkt 1. Således har det bltt bevst at Da er m mm + 1). mm + 1) m + m + 1) + m + 1) mm + 1) + m + 1) m + )m + 1) m + 1)m + ). Dermed er propossjonen sann for det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall. Eksempel Når n, fastslår Propossjon 1.4. at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon 1.4. at

11 1.4 Induksjon Eksempel Når n 7, fastslår Propossjon 1.4. at Eksempel Når n 100, fastslår Propossjon 1.4. at Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon 1.4. er lgnngen m + m + 1) mm + 1) + m + 1). Det er her v benytter antakelsen at m mm + 1). De andre lnjene er bare algebraske manpulasjoner. Merknad La oss se hvordan algortmen Merknad ser ut for Propossjon V begynner med å sjekke om 1 1. Så argumenterer v som bevset for Propossjon 1.4., ved å erstatte m med 1: Dermed er ) 1 + ) Således har v bevst at propossjonen er sann når n. 11

12 1 Induksjon og rekursjon Så argumenterer v som bevset for Propossjon 1.4., ved å erstatte m med : ) ) 3 4. Dermed er Således har v bevst at propossjonen er sann når n 3. Slk fortsetter v tl v når heltallet v er nteressert. Merknad Propossjon 1.4. kan bevses på andre måter. Matematske utsagn generelt kan typsk bevses på flere måter, og alle bevsene er lke verdfulle. Ofte gr hvert bevs ny nnskt. Lkevel skal v kke her se på andre bevs for Propossjon Istedenfor skal v øve oss ltt mer på nduksjon. 1. Flere eksempler på bevs ved nduksjon Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n 1 n 1. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at Sden er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt heltall m større enn eller lkt 1. Således har det bltt bevst at Da er m 1 m m 1 + m m 1) + m m + m ) 1 m ) 1 m

13 1. Flere eksempler på bevs ved nduksjon Dermed er propossjonen sann for det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall. Eksempel 1... Når n, fastslår Propossjon 1..1 at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon 1..1 at Eksempel Når n 6, fastslår Propossjon 1..1 at Eksempel 1... Når n 7, fastslår Propossjon 1..1 at Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon 1..1 er lgnngen Det er her v benytter antakelsen at m 1 + m m 1) + m m 1 m 1. De andre lnjene er bare algebraske manpulasjoner. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n nn + 1)n + 1). 6 Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at ) 1) + 1 ). 6 Sden ) 1) + 1 ) er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt heltall m større enn eller lkt 1. Således har det bltt bevst at m mm + 1)m + 1). 6 13

14 1 Induksjon og rekursjon Da er m + m + 1) mm + 1)m + 1) + m + 1) 6 mm + 1)m + 1) + 6m + 1) 6 m + 1) mm + 1) + 6m + 1) ) 6 m + 1) m + 7m + 6 ) 6 m + 1) m + ) m + 3) ) 6 m + 1) m + 1) + 1 ) m + 1) + 1 ) Dermed er propossjonen sann for det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall. Eksempel Når n, fastslår Propossjon 1..7 at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon 1..7 at Eksempel Når n 6, fastslår Propossjon 1..7 at Eksempel Når n 7, fastslår Propossjon 1..7 at Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon 1..7 er lgnngen m + m + 1) Det er her v benytter antakelsen at mm + 1)m + 1) 6 + m + 1) m De andre lnjene er bare algebraske manpulasjoner. mm + 1)m + 1). 6 14

15 1. Flere eksempler på bevs ved nduksjon Merknad Alle propossjonene v har sett så langt er sanne for alle naturlge tall, altså alle heltall større enn eller lke 1. Derfor begynte bevsene ved nduksjon for alle dsse propossjonene med å sjekke om utsagnene er sanne når n 1. Neste skal v bevse ved nduksjon en propossjon som er sann for alle naturlge tall større enn eller lke. Derfor skal v begynne bevset med å sjekke om propossjonen er sann når n. Husk at nduksjon kan brukes for å bevse en propossjon for alle naturlge tall større enn eller lke et hvlket som helst gtt heltall. Propossjon La n være et naturlg tall som er større enn eller lkt. Da er n > n + 1. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n. I dette tlfellet er utsagnet at > + 1. Sden 4 og + 1 3, er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt heltall m større enn eller lkt. Således har det bltt bevst at m > m + 1. V gjør følgende observasjoner. 1) V har: ) Sden m > 0, er m > 0. Derfor er m + 1) m + 1) m + 1) m + m + 1. m + m + 1 > m ) Fra antakelsen at følger det at m > m + 1, m + 1 > m + 1) + 1. Fra 1) 3) deduserer v at m + 1) > m + 1) + 1. Således er propossjonen sann for det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall større enn eller lke. Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at 9 > 4. 1

16 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n 4, fastslår Propossjon at 16 >. Eksempel Når n 7, fastslår Propossjon at 349 > 8. Merknad Observasjon 3), hvor v benytter antakelsen at m > m + 1, er den vktgste delen av bevset for Propossjon Summetegnet Notasjon La k og l være heltall. For hvert heltall slk at k l, la z være et heltall. Noen ganger skrver v summen z k + z k z l som l z. k Termnolog Symbolet kalles summetegn. Eksempel La n være et naturlg tall. Summen n, som v tok for oss Propossjon 1.4., kan skrves n. Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m, som v også tok for oss Propossjon 1.4., kan skrves m. 16

17 1.6 Summetegnet Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m + 1), som v gjen tok for oss Propossjon 1.4., kan skrves m+1 Eksempel La n være et naturlg tall. Summen n 1, som v tok for oss Propossjon 1..1, kan skrves Den kan også skrves n 1. n 1. 0 Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m 1, som v også tok for oss Propossjon 1..1, kan skrves Den kan også skrves m 1. m 1 0 Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m, som v gjen tok for oss Propossjon 1..1, kan skrves Den kan også skrves m+1 1. m. 0 17

18 1 Induksjon og rekursjon Eksempel La n være et naturlg tall. Summen n, som v tok for oss Propossjon 1..7, kan skrves n. Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m, som v også tok for oss Propossjon 1..7, kan skrves m. Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m + 1), som v gjen tok for oss Propossjon 1..7, kan skrves m+1 Eksempel La n og k være naturlge tall. I den neste delen av kapttelet skal v jobbe med summer som lgner på 1 k ) + 3 k + 1) ) + + n n + 1) n + k 1) ).. Denne summen kan skrves n + 1) + k 1). Eksempel La m og k være naturlge tall. Summen 1 k ) + 3 k + 1) ) + + m m + 1) m + k 1) ) kan skrves m + 1) + k 1). Eksempel La m og k være naturlge tall. Summen 1 k ) + 3 k + 1) ) + + m + 1) m + ) m + k) ) kan skrves m+1 + 1) + k 1). 18

19 1.7 Et eksempel tl på bevs ved nduksjon 1.7 Et eksempel tl på bevs ved nduksjon Propossjon La n og k være naturlge tall. Da er n n n + 1) n + k) + 1) + k 1). k + 1 Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at ) 1 + k) 1 k. k + 1 Sden ) 1 + k) k k + 1) k k er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at m mm + 1)... m + k) + 1) + k 1). k + 1 Da er m+1 + 1) + k 1) m ) + 1) + k 1) + m + 1) m + )... m + k) m m + 1) m + k) + m + 1) m + ) m + k) k + 1 ) ) m m + 1) m + k) + k + 1) m + 1) m + ) m + k) ) k ) + 1 m + 1) m + k) m + k + 1) k + 1 m + 1) m + ) m + k + 1). k + 1 Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall n og alle naturlge tall k. Eksempel Når n og k 3, fastslår Propossjon at

20 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n og k 4, fastslår Propossjon at Eksempel Når n og k 6, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 3 og k, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 3 og k 3, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 3 og k 6, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 4 og k, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 4 og k 3, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 4 og k 6, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 6 og k, fastslår Propossjon at

21 1.7 Et eksempel tl på bevs ved nduksjon Eksempel Når n 6 og k 3, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 6 og k 6, fastslår Propossjon at Merknad Lgnngen m ) + 1) + k 1) m m + 1) m + k) k m + 1) m + )... m + k) + m + 1) m + ) m + k) er den vktgste delen av bevset for Propossjon Det er her v benytter antakelsen at m m m + 1) m + k) + 1) + k 1). k + 1 Merknad Propossjon for tlfellet k 1 er det samme som Propossjon Bevset på Propossjon generalserer bevset for Propossjon Merknad Propossjon gjelder to varabler n og k, og bevs ved nduksjon slke tlfeller kan tl å begynne med se ltt forvrrende ut. La oss derfor se på logkken bak bevset for Propossjon Da v sjekket om Propossjon er sann når n 1, var k et hvlket som helst naturlg tall. Da v deretter antok at Propossjon er sann når n er et gtt naturlg tall m, og vste at den da er sann når n m + 1, var k også et hvlket som helst naturlg tall. Dermed kan v se på bevset for Propossjon på følgende måte. Først velger v et naturlg tall k: la for eksempel k være. Da blr utsagnet: n + 1) + 4) nn + 1) n + ). 6 Så bevser v at dette er sant, ved å erstatte k med bevset for Propossjon

22 1 Induksjon og rekursjon Først sjekker v om utsagnet er sant når n 1. V må altså sjekke om Sden ) 1 + ) ) 1 + ) er dette sant. Anta nå at det har bltt bevset at utsagnet er sant når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at Da er m+1 m + 1) + 4) + 1) + 4) mm + 1) m + ). 6 m ) + 1) + 4) + m + 1) m + )... m + ) mm + 1) m + ) + m + 1) m + ) m + ) 6 mm + 1) m + ) + 6 m + 1) m + ) m + ) ) 6 ) m + 1) m + ) m m + 1) m + ) m + 6). 6 Dermed er utsagnet sant når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at utsagnet er sant når n er et hvlket som helst naturlg tall. Merknad I prnsppet kan v bytte om rollene tl n og k bevset for Propossjon Det vl s at v teoren kan gjøre følgende: 1) Sjekke om Propossjon er sann når k 1, og når n er et hvlket som helst naturlg tall. ) Anta så at Propossjon er sann når k er et gtt naturlg tall m, og når n er et hvlket som helst naturlg tall, og vs at den da er sann når k m + 1, og når n gjen er et hvlket som helst naturlg tall.

23 1.8 Fakultet Termnolog Når v bevser ved nduksjon en propossjon om heltall som nvolver to eller flere varabler, spller alltd én varabel den rollen som n har bevset for Propossjon 1.7.1, og som k har tlnærmngsmetoden beskrevet Merknad La oss anta at denne speselle varabelen betegnes t. Da ser v at propossjonen har bltt bevst ved nduksjon på t. Eksempel V ser at bevset v ga for Propossjon er ved nduksjon på n. Hadde v et bevs for Propossjon med tlnærmngsmetoden beskrevet Merknad , vlle v s at det er et bevs ved nduksjon på k. Merknad For å bevse en propossjon om heltall som nvolverer to eller flere varabler, er det typsk mye lettere å benytte nduksjon på en av varablene enn nduksjon på noen av de andre. Det er for eksempel kke lett å bevse Propossjon ved nduksjon på k, altså med tlnærmngsmetoden beskrevet Merknad Fakultet Defnsjon La n være et naturlg tall. Da er n fakultet produktet I tllegg defnerer v 0 fakultet tl å være 1. 1 n 1) n. Notasjon La n være et heltall slk at n 0. V betegner n fakultet som n!. Eksempel V har: 1! 1. Eksempel Sden 1, er!. Eksempel Sden 1 3 6, er 3! 6. Eksempel Sden , er 4! Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Merknad Fra skolen kjenner du tl lgnngen x + y) x + xy + y. Nå skal v se på en tlsvarende lgnng for x+y) n, hvor n er et hvlket som helst naturlg tall. Først må v gjøre noen forberedelser. Defnsjon La n være et naturlg tall, og la k være et heltall slk at 0 k n. Da er bnomalkoeffsenten av n og k brøken n! k! n k)!. 3

24 1 Induksjon og rekursjon Notasjon V betegner bnomalkoeffsenten av n og k som ) n. k Merknad Symbolet n k) leses temmelg ugrammatsk!) som n velg k. Dette kommer av at det kan bevses at n k) er antall mulgheter for å velge ut k tng fra n tng. På grunn av denne tolknngen blr bnomalkoeffsentene brukt mye et område nnen matematkken som kalles kombnatorkk. Eksempel V har: Eksempel V har: ) 4 4!! 4 )! 4!!! ) 3! 3! 3)!! 3!! Merknad Bevsene av de følgende propossjonene er enkle utregnner, og nduksjon behøves kke. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n 0) 1. Bevs. V regner som følger: ) n 0 n! 0! n 0)! n! 0! n! n! 1 n! n! n! 1. 4

25 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n 1) n. Bevs. V regner som følger: ) n n! 1 1! n 1)! n! 1 n 1)! n! n 1)! 1 n 1) n 1 n ) n 1) n. Propossjon La n være et naturlg tall, og la k være et heltall slk at 0 k n. Da er ) n k n n k). Bevs. V regner som følger: ) n n! k k! n k)! n! n k)! k! n! n k)! n n k) )! ) n. n k Korollar La n være et naturlg tall. Da er n n) 1. Bevs. På grunn av Propossjon er n n) n 0). På grunn av Propossjon er n ) 0 1. Således konkluderer v at n ) n 1. Korollar La n være et naturlg tall. Da er n n 1) n. Bevs. Ut fra Propossjon er n n 1) n 1). Ut fra Propossjon 1.9.9, er n 1) n. Således konkluderer v at n n 1) n. Eksempel V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Propossjon er 0) 1.

26 1 Induksjon og rekursjon ) Ut fra Propossjon er 1). 3) Ut fra Korollar er ) 1. Dermed har v regnet ut k) for alle mulge verder av k. Eksempel V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Propossjon er 3 0) 1. ) Ut fra Korollar er 3 3) 1. 3) Ut fra Propossjon er 3 1) 3. 4) Fra 3) og Korollar 1.9.1, følger det at 3 ) 3. Dermed har v regnet ut 3 k) for alle mulge verder av k. Eksempel V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Propossjon er 4 0) 1. ) Ut fra Korollar er 4 4) 1. 3) Ut fra Propossjon er 4 1) 4. 4) Fra 3) og Korollar 1.9.1, følger det at 4 3) 4. ) Fra Eksempel 1.9. har v: 4 ) 6. Dermed har v regnet ut 4 k) for alle mulge verder av k. Eksempel V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Propossjon er 0) 1. ) Ut fra Korollar er ) 1. 3) Ut fra Propossjon er 1). 4) Fra 3) og Korollar 1.9.1, følger det at 4). ) Fra Eksempel har v: 3) 10. 6) Fra ) og Propossjon , følger det at ) 10. Dermed har v regnet ut k) for alle mulge verder av k. Merknad I alle eksemplene v har tatt for oss så langt, var n k) er et naturlg tall. V skal snart bevse at dette er tlfelle for hvlke som helst n og k. 6

27 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Propossjon La n og k være naturlge tall. Da er ) ) ) n n n k k 1 k Bevs. V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra defnsjonen av ) n k og n k 1) Defnsjon 1.9., er ) ) n + k n k 1 n! k! n k)! + n! k 1)! n k + 1)!. ) Sden k! k 1)! k og n k + 1)! n k)! n k + 1), er n! k! n k)! + n! n k + 1) n! + k n! k 1)! n k + 1)! k! n k + 1)! n! n k k) k! n + 1 k)! n! n + 1) k! n + 1 k)!. 3) Sden n + 1)! n! n + 1), er n! n + 1) k! n + 1 k)! n + 1)! k! n + 1 k)!. 4) Ut fra defnsjonen av ) n+1 k Defnsjon 1.9., er ) n + 1 n + 1)! k k! n + 1 k)!. Fra 1) 4) konkluderer v at n k ) + ) n k 1 n + 1 k ). Eksempel Når n 3 og k 1, fastslår Propossjon at ) ) ) , altså at

28 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n 3 og k, fastslår Propossjon at ) 3 + ) 3 1 ) 4, altså at Eksempel Når n 3 og k 3, fastslår Propossjon at ) ) 3 ) 4, 3 altså at Eksempel Når n og k 1, fastslår Propossjon at ) + 1 ) 0 ) 6, 1 altså at + 1 ) 6. 1 V deduserer at 6 1) 6. Eksempel Når n og k, fastslår Propossjon at ) + ) 1 ) 6, altså at 10 + ) 6. V deduserer at 6 ) 1. Eksempel Når n og k 3, fastslår Propossjon at ) + 3 ) ) 6, 3 altså at ) 6. 3 V deduserer at 6 3) 0. 8

29 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Eksempel Når n og k 4, fastslår Propossjon at ) ) ) 6 +, altså at V deduserer at 6 4) ) 6. 4 Eksempel Når n og k, fastslår Propossjon at ) ) ) 6 +, 4 altså at V deduserer at 6 ) ) 6. Merknad La oss sette opp bnomalkoeffsentene på følgende måte. Det k-te tallet fra venstre, ved å telle k fra 0 tl n, den n-te raden fra toppen, ved å telle n fra 1, er bnomalkoeffsenten n k). For eksempel er det andre tallet fra venstre ved å telle fra 0) den fjerde raden fra toppen 6, som er bnomalkoeffsenten 4 ) Propossjonen ser at når v legger sammen to tall en rad, får v tallet mellom dem den neste raden. For eksempel når v legger sammen tallene 4 og 6 den fjerde raden, får v 10, som står mellom 4 og 6 den femte raden. Termnolog Oppsettet av tallene Merknad kalles for Pascals trekant. Propossjon La n være et naturlg tall, og la k være et heltall slk at 0 k n. Da er n k) et naturlg tall. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at 1 k) er et naturlg tall for hvert heltall k slk at 0 k 1, altså når k 0 og når k 1. Ut fra Propossjon er det sant at 1 0) er et naturlg tall, og ut fra Propossjon er det sant at 1 1) er et naturlg tall. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at ) m k er et naturlg tall for alle heltallene k slk at 0 k m. V gjør følgende observasjoner. 9

30 1 Induksjon og rekursjon 1) Ut fra Propossjon er ) m+1 0 et naturlg tall. ) La k være et naturlg tall. Fra antakelsen at ) m k er et naturlg tall for alle heltallene k slk at 0 k m, er ) m k og m k 1) naturlge tall. Derfor er ) ) m m + k k 1 et naturlg tall. Ut fra Propossjon vet v dessuten at ) ) ) m + 1 m m +. k k k 1 V deduserer at ) m+1 k er et naturlg tall. 3) Ut fra Korollar er m+1) et naturlg tall. Dermed er ) m+1 k et naturlg tall for alle naturlge tall k slk at 0 k m + 1. Således er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall. Propossjon La x og y være tall. La n være et heltall slk at n 0. Da er x + y) n n 0 ) n x n y. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 0. I dette tlfellet er utsagnet at 0 ) 0 x + y) 0 x 0 y. Sden x + y) 0 1 og 0 0 ) 0 x 0 y 0 ) 0 x 0 0 y 0 1 x 0 y 0 1, 0 er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at m ) m x + y) m a m b. V gjør følgende observasjoner. 0 30

31 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet 1) V har: x + y) m+1 x + y) m x + y) m ) m )x m y x + y) 0 m ) m m ) m )x m y x + )x m y y 0 0 m ) m m ) m )x m+1 y + )x m y ) V har: m 0 ) m x m+1 y ) m x m+1 0 y m ) m )x m+1 y. 3) Ut fra Propossjon er m 0 ) 1. Derfor er ) m x m+1 0 y m ) m )x m+1 y x m+1 + m ) m )x m+1 y. 4) V har: m ) m+1 m ) m x m y +1 x m 1) y 1) m+1 ) m x m+1 ) y 1 m ) ) m )x m+1 ) y m + x m+1 m+1) y m+1 1 m + 1) 1 m ) ) m m )x m+1 ) y + x 0 y m+1. 1 m ) Ut fra Korollar er m m) 1. Derfor er: m ) m )x m+1 ) y + 1 ) m x 0 y m+1 m m ) m )x m+1 ) y + y m

32 1 Induksjon og rekursjon 6) V har: m ) m m ) m x m+1 + )x m+1 y + )x m+1 ) y + y m+1 1 m ) )) ) m m x m x m+1 y y + y m+1 1 7) Ut fra Propossjon er ) m + 1 ) ) m m + 1 for alle heltall slk at 1 m. V deduserer at m ) )) ) m m x m x m+1 y y + y m+1 1 m ) )) ) m m x m x m+1 y y 1 m ) m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1. y m+1 V deduserer fra 1) 7) at m ) m + 1 x + y) m+1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1. Nå gjør v følgende observasjoner. 1) V har: m+1 ) m + 1 x m+1 y 0 ) m + 1 m ) ) m + 1 m + 1 x m+1 0 y 0 + )x m+1 y + x m+1 m+1) y m+1 0 m + 1 ) m + 1 m ) ) m + 1 m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1 0 m + 1 ) Ut fra Propossjon er ) m Ut fra Korollar er m+1) 1. Derfor er ) m + 1 m ) ) m + 1 m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1 0 m + 1 m ) m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1. 3

33 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet V deduserer fra 1) ) at m+1 0 m + 1 ) x m+1 y x m+1 + m ) m + 1 )x m+1 y + y m+1. For å oppsummere bevset så langt, har v fastslått at m ) m + 1 x + y) m+1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1 og at V deduserer at m ) m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1 x + y) m+1 m+1 0 m + 1 m+1 0 m + 1 ) x m+1 y. ) x m+1 y. Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at som forventet. x + y) x + xy + y, Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at x + y) 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3. Eksempel Når n 4, fastslår Propossjon at x + y) 4 x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4. Merknad Propossjon kalles noen ganger bnomalteoremet. Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon er lgnngen m ) m x + y) m x + y) )x m y x + y). Det er her v benytter antakelsen at x + y) m 0 m 0 ) m a m b. 33

34 1 Induksjon og rekursjon Merknad Tl å begynne med kan manpulasjoner med summetegn som bevset for Propossjon se ltt forvrrende ut. I så fall skrv alle summene uten å bruke summetegnet. Skrv for eksempel som ) n x n y Rekursjon n 0 Merknad Hvert tall sekvensen ) n x n y ) ) n n x n 1 y x 1 y n n 1 1,, 4, 8, 16,... ) n x 0 y n. n er to ganger det foregående. Hvordan kan v beskrve sekvensen formelt? V kan kke skrve ut hele sekvensen uansett hvor mye td v har: sammenlgn med Merknad Istedenfor benytter v en type defnsjon som kalles rekursjon. Termnolog Anta at v ønsker å defnere et heltall u n for hvert naturlg tall n. Rekursjon ser at v kan gjøre det på følgende måte: 1) Defner u 1, u,..., u r, hvor r er et gtt naturlg tall. ) La m være et naturlg tall som er større enn eller lkt r. Hvs det antas at heltallet u har bltt defnert for alle de naturlge tallene slk at r m, defner heltallet u m+1. Merknad I Merknad så v at nduksjon gr en algortme for å konstruere et bevs. På en lgnende måte gr rekursjon en algortme for å defnere det n-te naturlge tallet en sekvens, for et hvlket som helst naturlg tall n: ) Etter å ha fullført Steg 1) Termnolog 1.10., har v defnert alle heltallene sekvensen opp tl det r-te; ) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan defnere det r + 1)-te heltallet sekvensen; ) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan defnere det r + )-te heltallet sekvensen; v) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan defnere det r + 3)-te heltallet sekvensen; v) Slk fortsetter v tl v når det naturlge tallet v er nteressert. 34

35 1.10 Rekursjon Eksempel Følgende defnerer en sekvens ved rekursjon. 1) Det første heltallet sekvensen er 1. Med andre ord er u 1 1. Ved å la r være 1, har v dermed fullført Steg 1) Termnolog ) La m være et naturlg tall. Anta at det -te heltallet sekvensen, det vl s u, har bltt defnert for alle de naturlge tallene slk at 1 m. Da defnerer v heltallet u m+1 være u m. Ved å la r være 1, har v dermed fullført Steg ) Termnolog La oss se hvordan algortmen Merknad ser ut for denne sekvensen. ) Ut fra 1) er 1 det første heltallet sekvensen. ) Fra ) og ) følger det at 1 er det andre heltallet sekvensen. ) Fra ) og ) følger det at 4 er det tredje heltallet sekvensen. v) Fra ) og ) følger det at 4 8 er det fjerde heltallet sekvensen. v) Slk fortsetter v. Således ser v at 1) og ) formelt defnerer sekvensen som v tok for oss Merknad ,, 4, 8, 16,... Eksempel Følgende defnerer en sekvens ved rekursjon. 1) Det første heltallet sekvensen er 1. Med andre ord er u 1 1. Ved å la r være 1, har v dermed fullført Steg 1) Termnolog ) La m være et naturlg tall. Anta at det -te heltallet sekvensen, det vl s u, har bltt defnert for alle de naturlge tallene slk at 1 m. Da defnerer v heltallet u m+1 tl å være u m + 3. Dermed har v formelt defnert sekvensen: 1,,, 8, 11,.... Merknad I både Eksempel og Eksempel lot v det naturlge tallet r Termnolog tl å være 1. I den neste delen skal v se på et eksempel hvor v lar r være. Merknad Induksjon og rekursjon går hånd hånd. For å bevse et matematsk utsagn som handler om en sekvens av heltall defnert ved rekursjon, benytter v typsk nduksjon. 3

36 1 Induksjon og rekursjon 1.11 Fbonacctall Defnsjon Følgende defnerer ved rekursjon sekvensen av Fbonacctall. 1) Det første heltallet sekvensen er 1. Med andre ord er u 1 1. ) Det andre heltallet sekvensen er 1. Med andre ord er u 1. 3) La m være et naturlg tall slk at m. Anta at det -te heltallet sekvensen, det vl s u, har bltt defnert for alle de naturlge tallene slk at m. Da defnerer v heltallet u m+1 tl å være u m 1 + u m. Merknad Steg 1) og Steg ) Defnsjon fullfører, ved å la r være, Steg 1) Termnolog Steg 3) Defnsjon fullfører, ved å la r være, Steg ) Termnolog Merknad La oss se hvordan algortmen Merknad ser ut for sekvensen av Fbonacctall. ) Ut fra Steg 1) Defnsjon er 1 det første heltallet sekvensen. ) Ut fra Steg ) Defnsjon er 1 det andre heltallet sekvensen. ) Fra ), ) og Steg 3) Defnsjon , følger det at er det tredje heltallet sekvensen. v) Fra ), ) og Steg 3) Defnsjon , følger det at er det fjerde heltallet sekvensen. v) Fra ), v) og Steg 4) Defnsjon , følger det at + 3 er det femte heltallet sekvensen. v) Slk fortsetter v. Dermed er sekvensen av Fbonacctall: 1, 1,, 3,, 8, 13, 1, 34,.... Termnolog La n være et naturlg tall. Heltallet u n sekvensen av Fbonacctall kalles det n-te Fbonacctallet. Notasjon La n være et naturlg tall. I resten av dette kapttelet kommer alltd u n tl å betegne det n-te Fbonacctallet. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er u 1 + u + + u n u n

37 1.11 Fbonacctall Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at u 1 u Sden u 1 1 og u 1+ 1 u , er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at u 1 + u + + u m u m+ 1. V gjør følgende observasjoner. 1) Fra antakelsen at følger det at u 1 + u + + u m u m+ 1, u 1 + u + + u m + u m+1 u m+ 1) + u m+1 u m+ + u m+1 1. ) Ut fra defnsjonen tl sekvensen av Fbonacctall er Fra 1) ) deduserer v at u m+3 u m+ + u m+1. u 1 + u + + u m + u m+1 u m+3 1. Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at u 1 + u u 4 1, altså at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at u 1 + u + u 3 u 1, altså at

38 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n 4, fastslår Propossjon at u 1 + u + u 3 + u 4 u 6 1, altså at Eksempel Når n 9, fastslår Propossjon at u 1 + u + + u 9 u 11 1, altså at Merknad Den vktgste delen av dette bevset er lgnngen Det er her v benytter antakelsen at u 1 + u + + u m + u m+1 u m+ 1) + u m+1. u 1 + u + + u m u m+ 1. Propossjon La n være et naturlg tall slk at n. Da er u n u n+1 u n 1 + 1) n 1. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n. I dette tlfellet er utsagnet at u u +1 u 1 + 1) 1. Sden u 1 1 og u +1 u 1 + 1) 1 u 3 u er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n et gtt naturlg tall m slk at m. Således har det bltt bevst at V gjør følgende observasjoner. 1, u m u m+1 u m 1 + 1) m 1. 38

39 1.11 Fbonacctall 1) Ut fra defnsjonen tl sekvensen av Fbonacctall er Derfor er u m+1 u m + u m 1. u m+1 u m+ u m u m+1 u m + u m 1 ) u m+ u m u m+1 u m + u m+1 u m 1 u m+ u m u m u m+1 u m+ ) + u m+1 u m 1. ) Ut fra defnsjonen tl sekvensen av Fbonacctall er u m+ u m+1 + u m. Derfor er u m+1 u m+ u m. V deduserer at u m u m+1 u m+ ) + u m+1 u m 1 u m + u m+1 u m 1. 3) Fra antakelsen at u m u m+1 u m 1 + 1) m 1, følger det at u m + u m+1 u m 1 1) m 1 1) 1) m 1 1) m 1+1 1) m. Fra 1) 3) deduserer v at u m+1 u m+ u m 1) m. Derfor er u m+1 u m+ u m + 1) m. Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall slk at n. Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at

40 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n 4, fastslår Propossjon at 3 1. Eksempel Når n 9, fastslår Propossjon at Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon er Steg 3). Det er her v benytter antakelsen at u m u m+1 u m 1 + 1) m Bnets formel for Fbonacctallene Merknad Nå skal v fnne en formel for det n-te Fbonacctallet. Propossjon La x være en løsnng tl lgnngen x x 1 0. La n være et naturlg tall slk at n. Da er x n xu n + u n 1. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n. I dette tlfellet er utsagnet at x xu + u 1. Sden u 1 1 og u 1, er Ut fra antakelsen at er xu + u 1 x x + 1. x x 1 0, x x + 1. Dermed er utsagnet sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt heltall m slk at m. Således har det bltt bevst at x m xu m + u m 1. V gjør følgende observasjoner. 1) Fra antakelsen at x m xu m + u m 1 følger det, ved å gange begge sdene denne lgnngen med x, at x m+1 x u m + xu m 1. 40

41 1.1 Bnets formel for Fbonacctallene ) Sden x er en løsnng tl lgnngen x x 1 0, er x x + 1. Fra 1) ) deduserer v at Nå gjør v følgende observajoner. 1) V har: x m+1 x + 1)u m + xu m 1. x + 1)u m + xu m 1 xu m + u m + xu m 1 xu m + xu m 1 + u m xu m + u m 1 ) + u m. ) Ut fra defnsjonen tl sekvensen av Fbonacctall er Fra 1) ) deduserer v at u m+1 u m + u m 1. x + 1)u m + xu m 1 xu m+1 + u m. For å oppsummere bevset så langt, har v fastslått at x m+1 x + 1)u m + xu m 1 og at V deduserer at x + 1)u m + xu m 1 xu m+1 + u m. x m+1 xu m+1 + u m. Dermed er propossjonen sann når n m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall n slk at n. Eksempel La x være en løsnng tl lgnngen Når n 3, fastslår Propossjon 1.1. at x x 1 0. x 3 u 3 x + u x

42 1 Induksjon og rekursjon Eksempel La x være en løsnng tl lgnngen Når n, fastslår Propossjon 1.1. at x x 1 0. x u x + u x + 3 Eksempel La x være en løsnng tl lgnngen Når n 7, fastslår Propossjon 1.1. at x x 1 0. x 7 u 7 x + u 6 13x + 8 Eksempel La x være en løsnng tl lgnngen Når n 9, fastslår Propossjon 1.1. at x x 1 0. x 9 u 9 x + u 8 34x + 1. Lemma Tallene 1+ og 1 er løsnnger tl lgnngen x x 1 0. Bevs. For å bevse at 1+ er en løsnng tl lgnngen regner v som følger: x x 1 0, 1 + ) 1 + ) )

43 1.1 Bnets formel for Fbonacctallene For å bevse at 1 er en løsnng tl lgnngen x x 1 0, regner v som følger: 1 ) 1 ) ) Merknad Tallet 1+ kalles noen ganger det gyldne sntt. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er u n ) n 1 ) n ). Bevs. Fra Propossjon 1.1. og Lemma følger det at 1 + ) n 1 + ) u n + u n 1, og at 1 ) n 1 ) u n + u n 1. 43

44 1 Induksjon og rekursjon Ved å benytte oss av dsse faktaene, regner v som følger: 1 + ) n 1 ) n 1 + ) u n + u n ) u n u n 1 ) 1 ) u n u n 1 ) u n ) u n u n. u n Dermed har v bevst at 1 + ) n 1 ) n u n. Ved å dele begger sdene denne lgnngen med, deduserer v at propossjonen er sann. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at ) ) Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at ) 3 ) Eksempel Når n 6, fastslår Propossjon at ) 6 ) Eksempel Når n 9, fastslår Propossjon at ) 9 )

45 1.1 Bnets formel for Fbonacctallene Termnolog Lgnngen Propossjon kalles Bnets formel. Merknad Flere fakta kan deduseres fra Propossjon Etter noen forberedelser skal se på et eksempel: Propossjon Lemma V har: 1 + ) 1 ) 1. Bevs. V regner som følger: 1 + ) 1 ) ) ) Lemma V har: ) 1 ) 1. Bevs. V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Eksempel er ) 1 ). Ved å gange begge sdene av denne lgnngen med 1, følger det at ) 1 ). 4

46 1 Induksjon og rekursjon ) V har: ) 1 + ) 1 + ) 1 ) 1 ) 1 ) Fra 1) ) deduserer v at ) 1 ). Propossjon La n være et naturlg tall. Da er u n+ u n u n+. Bevs. For å gjøre bevset lettere å lese, la x være 1+, og la y være 1. V gjør følgende observasjoner. 1) La m være et naturlg tall. Ut fra Propossjon er u m 1 x m y m ). Derfor er u m ) 1 x m y m ) 1 xm y m ) x m y m ) 1 x m x m y m + y m) 1 x m xy) m + y m). ) Ut fra Lemma er xy) m 1) m. 46

47 1.1 Bnets formel for Fbonacctallene Fra 1) ) deduserer v at u m 1 x m 1) m + y m). Dermed er og er u n+ 1 u n 1 x n 1) n + y n) x n+) 1) n+ + y n+)). V deduserer at u n+ u n 1 x n+) 1) n+ + y n+)) 1 x n 1) n + y n) 1 x n+) 1) n 1) + y n+) x n + 1) n y n) 1 x n+) + y n+) x n y n 1) n + 1) n) 1 x n+) + y n+) x n y n) Dermed er u n+ u n 1 x n+) + y n+) x n y n). Nå gjør v følgende observasjoner. 1) Ut fra Lemma er Derfor er 1 x n+) + y n+) x n y n) 1 x y xy) 1) 1. x n+) + y n+) x y x n x y y n) 1 x n+4 + y n+4 y x n+ x y n+) 1 x y ) x n+ y n+) ) Ut fra Lemma er Derfor er 1 x y ) 1. 1 x y ) x n+ y n+) 1 x n+ y n+). 47

48 1 Induksjon og rekursjon 3) Ut fra Propossjon er u n+ 1 x n+ y n+). V deduserer fra 1) 3) at 1 x n+) + y n+) x n y n) x n+. For å oppsummere bevset så langt, har v fastslått at u n+ u n 1 x n+) + y n+) x n y n) og at V deduserer at 1 x n+) + y n+) x n y n) x n+. u n+ u n u n+. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at 1. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at Varanter av nduksjon Merknad Det fnnes mange varanter av nduksjon. Noen av dsse kalles noen ganger sterk nduksjon, men v skal kke benytte denne termnologen. Nå skal v se på de vktgste varantene for oss. Termnolog La c være et heltall slk at c 0. Anta at v har et gtt matematsk utsagn for hvert heltall større enn eller lkt et gtt heltall r. Anta dessuten at v ønsker å bevse utsagnet for hvert av dsse heltallene. Induksjon ser at v kan gjøre det på følgende måte: 1) Sjekk om utsagnet er sant for alle heltallene r, r + 1,..., r + c. 48

49 1.13 Varanter av nduksjon ) Hvs det antas at utsagnet har bltt bevst for alle heltallene m, m 1,..., m c, hvor m er et gtt heltall som er større enn eller lkt r + c, bevs at utsagnet er sant for heltallet m + 1. Merknad Induksjon som beskrevet Termnolog 1.4. er det samme som nduksjon som beskrevet Termnolog for c 0. Merknad Idéen bak nduksjon som beskrevet Termnolog er at Steg 1) og Steg ) gr oss følgende algortmen for å konstruere et bevs for utsagnet for et hvlket som helst heltall m større enn r: ) Steg 1) Termnolog fastslår at v kan bevse utsagnet for alle heltallene m slk at r m r + c; ) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r+c+1; ) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r+c+; v) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r+c+3; v) Slk fortsetter tl v når heltallet v er nteressert. Merknad Algortmen Merknad er det samme som algortmen Merknad for c 0. Propossjon La x være et heltall, og la n være et naturlg tall. Da er x n 1 x 1) x n 1 + x n + + x + 1 ). Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1 og når n. 1) Når n 1 er utsagnet at Dette er sant. ) Når n er utsagnet at Sden er dette sant. x 1 1 x 1) 1. x 1 x 1)x + 1). x + 1)x 1) x + x x 1 x 1, Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n m og når n m 1, hvor m er et naturlg tall slk at m. Således har det bltt bevst at x m 1 x 1) x m 1 + x m + + x + 1 ) og at ) x m 1 1 x 1) x m 1) 1 + x m 1) + + x + 1. V gjør følgende observasjoner. 49

50 1 Induksjon og rekursjon 1) V har: ) Fra antakelsen at x + 1) x m 1) x x m 1 1 ) x m+1 x + x m 1 x m + x x m+1 1. x m 1 x 1) x m 1 + x m + + x + 1 ) m 1 ) x 1) x, og antakelsen at ) x m 1 1 x 1) x m 1) 1 + x m 1) + + x + 1 x 1) x m + x m x + 1 ) m ) x 1) x, 0 0 følger det at x + 1) x m 1) x x m 1 1 ) m 1 ) m ) x + 1)x 1) x xx 1) x x 1) x 1) x + 1) x m m 1 ) x x 0 x ) + m ) x 1) x + m 1 0 m 1 m ) x 1) x m ) ) x 1) x + 1 m 0 x ) x ) x 0 m 1 0 m 1 ) x x 1) x m + x m x + 1 ) x )) m 0 x )) m 1 x )) )) x Fra 1) ) deduserer v at x m+1 1 x 1) x m + x m x + x + 1 ). 0

51 1.13 Varanter av nduksjon Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall slk at n. Eksempel La x være et heltall. Når n 3, fastslår Propossjon at Når for eksempel x, fastslår den at x 3 1 x 1) x + x + 1 ) ). Eksempel La x være et heltall. Når n, fastslår Propossjon at Når for eksempel x 3, fastslår den at x 1 x 1) x 4 + x 3 + x + x + 1 ) ). Merknad Det er lett å bevse Propossjon uten å benytte nduksjon. V kan regne som følger: x 1) x n 1 + x n + + x + 1 ) x x n 1 + x n + + x + 1 ) x n 1 + x n + + x + 1 ) x n + x n x + x ) x n 1 + x n + + x + 1 ) x n 1. Dette er et helt gyldg bevs! V benyttet lgnende algebraske manpulasjoner bevset v ga for Poenget med bevset v ga for Propossjon er å forklare hvordan en gjennomfører et bevs som benytter varanten av nduksjon hvor c 1 og r 1 Termnolog Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon er lgnngen x + 1) x m 1) x x m 1 1 ) m 1 ) m ) x + 1)x 1) x xx 1) x. Det er her v benytter både antakelsen at og antakelsen at x m 1 x 1) x m 1 1 x 1) m 1 0 m 0 0 x ) x ). 0 1

52 1 Induksjon og rekursjon Merknad Kanskje ser det ut som Observasjon 1) bevset for Propossjon har bltt tatt ut av løse luften. Det er sant at v må være ltt kreatv for å fnne lgnngen denne observasjonen, og å skjønne at den har noe å s. V kan se på lgnngen Observasjon 1) på følgende måte. V ønsker å bevse propossjonen når n m + 1. Da må v jobbe med uttrykket x m+1 1. I tllegg har v antatt at propossjonen er sann når n m og n m 1, altså at x m 1 x 1) m 1 0 x ) og at x m 1 1 x 1) m 0 x ). Hvs v fnner en lgnng med x m+1 på en sde, og hvor både x m 1 og x m 1 1 dukker opp på den andre sden, kan v benytte begge antakelsene for å s noe om x m+1. Det er ngen generell oppskrft for å fnne en slk lgnng, men Observasjon 1) klarte v det. Merknad Hvs manpulasjonene med summetegn bevset for Propossjon ser ltt forvrrende ut, følg rådet gtt Merknad Skrv for eksempel m x som og skrv som x m + x m x + x, m 1 0 x x m 1 + x m + + x + 1. Merknad La oss se hvordan algortmen Merknad ser ut for Propossjon V benytter varanten av nduksjon hvor c 1 og r 1. V begynner med å sjekke om propossjonen er sann for alle de naturlge tallene r, r + 1,..., r + c, det vl s når n 1 og når n. V sjekker altså at x 1 1 x 1 og at x 1 x 1)x + 1). Så argumenterer v som bevset for Propossjon , ved å erstatte m med. V gjør altså følgende observasjoner.

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Forelesning 1 mandag den 18. august

Forelesning 1 mandag den 18. august Forelesning 1 mandag den 18 august 11 Naturlige tall og heltall Definisjon 111 Et naturlig tall er et av tallene: 1,, Merknad 11 Legg spesielt merke til at i dette kurset teller vi ikke 0 iblant de naturlige

Detaljer

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober Forelesnng 17 torsdag den 16. oktober 4.12 Orden modulo et prmtall Defnsjon 4.12.1. La p være et prmtall. La x være et heltall slk at det kke er sant at x 0 Et naturlg tall t er ordenen tl a modulo p dersom

Detaljer

Forelesning 3 mandag den 25. august

Forelesning 3 mandag den 25. august Forelesg adag de 5 august Merkad 171 For å bevse e propossjo o heltall so volverer to eller flere varabler, er det typsk ye lettere å beytte duksjo på e av varablee e duksjo på oe av de adre Det er for

Detaljer

Forelesning 5 mandag den 1. september

Forelesning 5 mandag den 1. september Forelesning mandag den. september. Fibonnacitall forts. Proposisjon..6. La n være et naturlig tall. Da er u + u + + u n = u n+. Bevis. Først sjekker vi om proposisjonen er sann når n =. I dette tilfellet

Detaljer

Forelesning 6 torsdag den 4. september

Forelesning 6 torsdag den 4. september Forelesning 6 torsdag den 4. september 1.13 Varianter av induksjon Merknad 1.13.1. Det finnes mange varianter av induksjon. Noen av disse kalles noen ganger sterk induksjon, men vi skal ikke benytte denne

Detaljer

Forelesning 4 torsdag den 28. august

Forelesning 4 torsdag den 28. august Forelesning 4 torsdag den 28. august 1.10 Rekursjon Merknad 1.10.1. Hvert tall i sekvensen 1, 2, 4, 8, 16,... er to ganger det foregående. Hvordan kan vi beskrive sekvensen formelt? Vi kan ikke skrive

Detaljer

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte:

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte: Appendks 1: Organserng av Rksdagsdata SPSS Sannerstedt- og Sjölns data er klargjort for logtanalyse SPSS flen på følgende måte: Enhet År SKJEBNE BASIS ANTALL FARGE 1 1972 1 0 47 1 0 2 1972 1 0 47 1 0 67

Detaljer

Alternerende rekker og absolutt konvergens

Alternerende rekker og absolutt konvergens Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne

Detaljer

Forelesning 2 torsdag den 21. august

Forelesning 2 torsdag den 21. august Forelesning 2 torsdag den 21 august 15 Flere eksempler på bevis ved induksjon Proposisjon 151 La n være et naturlig tall Da er 1 + 2 + 4 + + 2 n 1 = 2 n 1 Bevis Først sjekker vi om proposisjonen er sann

Detaljer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun 2004 0900-1300 Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v

Detaljer

Forelesning 7 mandag den 8. september

Forelesning 7 mandag den 8. september Forelesning 7 mandag den 8. september 1.1 Absoluttverdien Definisjon 1.1.1. La n være et heltall. Da er absoluttverdien til n: (1) n dersom n 0; (2) n dersom n < 0. Merknad 1.1.2. Med andre ord får vi

Detaljer

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet for midtsemesterprøven Richard Williamson 3. oktober 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?..........................

Detaljer

www.olr.ccli.com Introduksjon Online Rapport Din trinn for trinn-guide til den nye Online Rapporten (OLR) Online Rapport

www.olr.ccli.com Introduksjon Online Rapport Din trinn for trinn-guide til den nye Online Rapporten (OLR) Online Rapport Onlne Rapport Introduksjon Onlne Rapport www.olr.ccl.com Dn trnn for trnn-gude tl den nye Onlne Rapporten (OLR) Vktg nfo tl alle mengheter og organsasjoner Ingen flere program som skal lastes ned Fortløpende

Detaljer

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016

TMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016 Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 Løsnngssksse Oppgave a) Ved kast av to ternnger er det 36 mulge utfall: (, ),..., (6, 6). La Y

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00 Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 9 Faglg kontakt under eksamen: Enar Rønqust, tlf. 73 59 35 47 EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Trsdag 15. ma 2001 Td:

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18). Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +

Detaljer

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså: A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:

Detaljer

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet

MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet MA1301 Tallteori Høsten 2014 Oversikt over pensumet Richard Williamson 3. desember 2014 Innhold Pensumet 2 Generelle råd 2 Hvordan bør jeg forberede meg?.......................... 2 Hva slags oppgaver

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt

Detaljer

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>. ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt

Detaljer

i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2

i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2 Repetsjon 4 (16.09.06) Regler for oksdasjonstall 1. Oksdasjonstall for alle fre element er 0 (O, N, C 60 ). Oksdasjonstall for enkle monoatomske on er lk ladnngen tl onet (Na + : +1, Cl - : -1, Mg + :

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON13: EKSAMEN 14V TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt >. Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer

Detaljer

Seminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3))

Seminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) 1 ECON 2130 2017 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) (1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver)

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for

Detaljer

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag

EKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag 8.. EKSAMEN n og utsatt løsnngsorslag Emnekode: ITD Dato:. jun Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Eksamenstd: 9.. Faglærer: Chrstan F Hede -

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Prvate gjøremål på jobben Spørsmål: Omtrent hvor mye td bruker du per dag på å utføre prvate gjøremål arbedstden (n=623) Mer

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen 1 HG mars 2009 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette

Detaljer

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober

Forelesning 19 torsdag den 23. oktober Forelesning 19 torsdag den 23. oktober 5.3 Eulers kriterium Merknad 5.3.1. Følgende proposisjon er kjernen til teorien for kvadratiske rester. Kanskje ser beviset ikke så vanskelig ut, men la merke til

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 015 Antall dager med hjemmekontor Spørsmål: Omtrent hvor mange dager jobber du hjemmefra løpet av en gjennomsnttsmåned (n=63) Prosent

Detaljer

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesnng 3 MET359 Økonometr ved Davd Kreberg Vår 0 Oppgaver Alle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Multple regresjon Oppgave.* Ta utgangspunkt

Detaljer

Seminaroppgaver for uke 13

Seminaroppgaver for uke 13 1 ECON 2130 2016 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver) La X og Y være to uavhegge

Detaljer

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Løsnnger lle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Hypotesetestng testng av enkelthypoteser Oppgave 1.* Når v tester enkelthypoteser ved hjelp

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag . desember 6 EKSAMEN Løsnngsorslag Emnekode: ITD Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Dato:. desember 6 Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnold på begge sder. - Formelete. - Kalkulator som deles ut samtdg

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 Øving 8

Løsningsforslag ST2301 Øving 8 Løsnngsforslag ST301 Øvng 8 Kapttel 4 Exercse 1 For tre alleler, fnn et sett med genfrekvenser for to populasjoner, som gr flere heterozygoter enn forventa utfra Hardy-Wenberg-andeler for mnst én av de

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen HG mars 0 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset.

Detaljer

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0. UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

Eksamen 31.05.2016. Nynorsk side 2 4. Bokmål side 5 7. Felles vedlegg side 9 17

Eksamen 31.05.2016. Nynorsk side 2 4. Bokmål side 5 7. Felles vedlegg side 9 17 Eksamen 31.05.2016 NOR1211-NOR1231 Norsk hovudmål/hovedmål NOR1218-NOR1238 Norsk elev samsk som andrespråk Elevar og prvatstar / Elev og prvatst Nynorsk sde 2 4. Bokmål sde 5 7. Felles vedlegg sde 9 17

Detaljer

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch.

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch. NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIGE A Hans-Wlhelm Mørch. SANNSYNLIGHETER FOR HVORAN TRUMFEN(ELLER ANRE SORTER) ER FORELT Anta at du mangler n kort trumffargen. Ha er sannsynlgheten for at est har a a dem? La

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt parallelle kretser Krchhoffs

Detaljer

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm COLUMBUS Lærervelednng Norge og fylkene ved Rolf Mkkelsen Cappelen Damm Innlednng Columbus Norge er et nteraktvt emddel som nneholder kart over Norge, fylkene og Svalbard, samt øvelser og oppgaver. Det

Detaljer

Analyse av strukturerte spareprodukt

Analyse av strukturerte spareprodukt NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, Høst 2007 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe Veleder: Professor Petter Bjerksund Utrednng fordypnngs-/spesalområdet: Fnansell

Detaljer

Sluttrapport. utprøvingen av

Sluttrapport. utprøvingen av Fagenhet vderegående opplærng Sluttrapport utprøvngen av Gjennomgående dokumenterng fag- og yrkesopplærngen Februar 2012 Det å ha lett tlgjengelg dokumentasjon er en verd seg selv. Dokumentasjon gr ungedommene

Detaljer

Forelesning 9 mandag den 15. september

Forelesning 9 mandag den 15. september Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi

Detaljer

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt?

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt? Norske CO 2 -avgfter - dfferensert eller unform skatt? av Sven Egl Ueland Masteroppgave Masteroppgaven er levert for å fullføre graden Master samfunnsøkonom Unverstetet Bergen, Insttutt for økonom Oktober

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1410

Forelesning nr.3 INF 1410 Forelesnng nr. INF 40 009 Node og mesh-analyse 6.0.009 INF 40 Oerskt dagens temaer Bakgrunn Nodeanalyse og motasjon Meshanalyse 009 Supernode Bruksområder og supermesh for node- og meshanalyse 6.0.009

Detaljer

MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2

MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2 Leksjon 10 Anvendelser nettverksflyt Transportproblemet Htchcock-problemet Tlordnngsproblemet Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen 1 HG Revdert mars 013 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg

Detaljer

Jobbskifteundersøkelsen Utarbeidet for Experis

Jobbskifteundersøkelsen Utarbeidet for Experis Jobbskfteundersøkelsen 15 Utarbedet for Expers Bakgrunn Oppdragsgver Expers, ManpowerGroup Kontaktperson Sven Fossum Henskt Befolknngsundersøkelse om holdnnger og syn på jobbskfte Metode Webundersøkelse

Detaljer

Forelesning 10 torsdag den 18. september

Forelesning 10 torsdag den 18. september Forelesning 10 torsdag den 18. september 2.8 Relativt primiske heltall og Euklids lemma Merknad 2.8.1. Korollar 2.7.20 er et svært viktig teoretisk verktøy. I denne og neste del av kapittelet skal vi se

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00 MASTER I IDRETTSVITESKAP 0/04 Indvduell skrftlg eksamen MAS 40- Statstkk Trsdag 9. oktober 0 kl. 0.00-.00 Hjelpemdler: kalkulator Eksamensoppgaven består av 9 sder nkludert forsden Sensurfrst: 30. oktober

Detaljer

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.

Detaljer

SNF-rapport nr. 19/07

SNF-rapport nr. 19/07 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe SNF-prosjekt nr. 7000 SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER 2007 Dette eksemplar er fremstlt etter avtale

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statstkk og økonom, våren 7 Oblgatorsk oppgave Løsnngsforslag Oppgave Anta at forbruket av ntrogen norsk landbruk årene 987 99 var følgende målt tonn: 987: 9 87 988: 8 989: 8 99: 8 99: 79 99: 87 99: 9

Detaljer

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse)

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse) Fyskk / ermodynamkk Våren 2001 5. ermokjem 5.1. ermokjem I termokjemen ser v på de energendrnger som fnner sted kjemske reaksjoner. Hver reaktant og hvert produkt som nngår en kjemsk reaksjon kan beskrves

Detaljer

Balanserte søketrær. AVL-trær. AVL-trær. AVL-trær høyde AVL AVL. AVL-trær (Adelson-Velskii og Landis, 1962) Splay-trær (Sleator og Tarjan, 1985)

Balanserte søketrær. AVL-trær. AVL-trær. AVL-trær høyde AVL AVL. AVL-trær (Adelson-Velskii og Landis, 1962) Splay-trær (Sleator og Tarjan, 1985) alanserte søketrær VL-trær Et bnært tre er et VL-tre hvs ølgende holder: VL-trær delson-velsk og Lands, 96 play-trær leator og Tarjan, 98. orskjellen høyde mellom det høyre og det venstre deltreet er maksmalt,

Detaljer

Spinntur 2017 Rotasjonsbevegelse

Spinntur 2017 Rotasjonsbevegelse Spnntur 2017 Rotasjonsbevegelse August Geelmuyden Unverstetet Oslo Teor I. Defnsjon og bevarng Newtons andre lov konstaterer at summen av kreftene F = F som vrker på et legeme med masse m er lk legemets

Detaljer

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f).

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f). Eksamen ECON 00, Sensorvelednng Våren 0 Oppgave (8 poeng ) Derver følgende funksjoner. Derver med hensyn på begge argumenter e) og f). (Ett poeng per dervasjon, dvs, poeng e og f) a) f( x) = 3x x + ln

Detaljer

EKSAMEN 3.SEMESTER RAPPORT BARNAS BOKFESTIVAL I BERGEN

EKSAMEN 3.SEMESTER RAPPORT BARNAS BOKFESTIVAL I BERGEN EKSAMEN 3.SEMESTER RAPPORT BARNAS BOKFESTIVAL I BERGEN PROSJEKTEKSAMEN 3.SEMESTER : FESTIVAL Oppgaven gkk ut på å promotere en barnebokfestval hjembyen vår, og stedsnavnet skulle være med logoen. Produkter

Detaljer

Studieprogramundersøkelsen 2013

Studieprogramundersøkelsen 2013 1 Studeprogramundersøkelsen 2013 Alle studer skal henhold tl høgskolens kvaltetssystem være gjenstand for studentevaluerng mnst hvert tredje år. Alle studentene på studene under er oppfordret tl å delta

Detaljer

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder.

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder. 40 Metoder for å måle avkastnng Totalavkastnngen tl Statens petroleumsfond blr målt med stor nøyaktghet. En vktg forutsetnng er at det alltd beregnes kvaltetsskret markedsverd av fondet når det kommer

Detaljer

Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER

Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER Malmfuru terrasse Malmfuru er den mest mljøvennlge terrassen

Detaljer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 orsk akkredterng Dok.d.: VII..5 A Dok. 5: Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Utarbedet av: Saeed Behdad Godkjent av: ICL Versjon:.00 Mandatory/Krav Gjelder fra: 09.05.008 Sdenr: av 7 A

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Optimalitetsprinsippet. Overlappende delproblemer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Optimalitetsprinsippet. Overlappende delproblemer ynask prograerng Metoden ble foralsert av Rchard Bellann (RAN Corporaton på -tallet. Prograerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe ed kode eller å skrve kode å gøre. ynask for å ndkere

Detaljer

Eksempel på poengbergegning fra grunnskolen til Vg1

Eksempel på poengbergegning fra grunnskolen til Vg1 Eksempel på poengbergegnng fra grunnskolen tl Vg1 Etter skrv: "Førng av vtnemål og kompetansebevs for grunnskolen Kunnskapsløftet" av 09.01.2015. Sde 5 Elever som kke får standpunktkarakter på grunn av

Detaljer

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Magnetsk nvåregulerng Prosjektoppgave faget TTK 45 Ulneære systemer Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Innholdsfortegnelse Innholdsfortegnelse... Innlednng... Oppgave

Detaljer

*** Spm. 841 *** Hvilke former for sparing og pengeplasseringer for folk flest kan du nevne?

*** Spm. 841 *** Hvilke former for sparing og pengeplasseringer for folk flest kan du nevne? *** Spm. 841 *** Hvlke former for sparng og pengeplassernger for folk flest kan du nevne? Ch2 nvå(w): 5.0% Kjønn Alder Husstandsnntekt Landsdel Utdannng Radene er rangert Vderegåen Møre Ung- 60 år Under

Detaljer

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk. ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl

Detaljer

Kopi til. star ovenfor som ønsket effekt gjennom å understreke den vedvarende. fremtiden. tillegg er tre elementer; i

Kopi til. star ovenfor som ønsket effekt gjennom å understreke den vedvarende. fremtiden. tillegg er tre elementer; i - / BEFALETS FELLESORGANISASJON Forsvarsstaben Var saksbehander. Kop tl Var referanse Jon Vestl [Koptl] 2015/JV/jv 14.09.2015 953 65 907, Jon.vestl@bfo.no Internt Intern kop tl Tdlgere referanse Var Tdlgere

Detaljer

2007/30. Notater. Nina Hagesæther. Notater. Bruk av applikasjonen Struktur. Stabsavdeling/Seksjon for statistiske metoder og standarder

2007/30. Notater. Nina Hagesæther. Notater. Bruk av applikasjonen Struktur. Stabsavdeling/Seksjon for statistiske metoder og standarder 007/30 Notater Nna Hagesæter Notater Bruk av applkasjonen Struktur Stabsavdelng/Seksjon for statstske metoder og standarder Innold 1. Innlednng... 1.1 Hva er Struktur, og va kan applkasjonen brukes tl?...

Detaljer

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir)

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir) 2009/48 Notater Bjørn Gabrelsen, Magnar Lllegård, Bert Otnes, Brth Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdr) Notater Indvdbasert statstkk for pleeog omsorgstjenesten kommunene (IPLOS) Foreløpge resultater

Detaljer

Medarbeiderundersøkelsen 2009

Medarbeiderundersøkelsen 2009 - 1 - Medarbederundersøkelsen 2009 Rapporten er utarbedet av B2S AS - 2 - Innholdsfortegnelse Forsde 1 Innholdsfortegnelse 2 Indeksoverskt 3 Multvarate analyser Regresjonsanalyse 5 Regresjonsmodell 6 Resultater

Detaljer

Tillegg 7 7. Innledning til FY2045/TFY4250

Tillegg 7 7. Innledning til FY2045/TFY4250 FY1006/TFY4215 Tllegg 7 1 Dette notatet repeterer noen punkter fra Tllegg 2, og dekker detalj målng av degenererte egenverder samt mpulsrepresentasjonen av kvantemekankk. Tllegg 7 7. Innlednng tl FY2045/TFY4250

Detaljer

6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen...

6 Kryptografi Totienten Eulers teorem Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes RSA-algoritmen... Innhold 6 Kryptografi 3 6.1 Totienten.................................... 3 6.2 Eulers teorem.................................. 8 6.3 Et eksempel på et bevis hvor Eulers teorem benyttes............ 19

Detaljer

Oversikt 1. forelesning. ECON240 Statistikk og økonometri. Utdanning og lønn. Forskning. Datainnsamling; utdanning og inntekt

Oversikt 1. forelesning. ECON240 Statistikk og økonometri. Utdanning og lønn. Forskning. Datainnsamling; utdanning og inntekt Overskt. forelesnng ECON40 Statstkk og økonometr Arld Aakvk, professor Insttutt for økonom Hva er statstkk og økonometr? Hvorfor studerer v fagområdet? Statstkk Metoder, teknkker og verktøy tl å produsere

Detaljer

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme,

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme, Løsnngssksse tl eksamen TFY11 Elektromagnetsme, høst 003 (med forbehold om fel) Oppgave 1 a) Ved elektrostatsk lkevekt har v E = 0 nne metall. Ellers bruker v Gauss lov med gaussflate konsentrsk om lederkulen.

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april)

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april) HG Aprl 01 Løsnngsksse for oppgaver tl uke 15 (10.-13. aprl) Innledende merknad. Flere oppgaver denne uka er øvelser bruk av den vktge regel 5.0, som er sentral dette kurset, og som det forventes at studentene

Detaljer

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid Makroøkonom Publserngsoppgave Uke 48 November 29. 2009, Rev - Jan Erk Skog Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td I utsagnet Fast valutakurs, selvstendg

Detaljer

Matematisk induksjon

Matematisk induksjon Matematisk induksjon 1 Innledning Dette er et nytt forsøk på å forklare induksjon. Strategien min i forelesning var å prøve å unngå å få det til å se ut som magi, ved å forklare prinsippet fort ved hjelp

Detaljer

Er verditaksten til å stole på?

Er verditaksten til å stole på? NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 2006 Er verdtaksten tl å stole på? En analyse av takstmannens økonomske relasjon tl eendomsmegler av Krstan Gull Larsen Veleder: Professor Guttorm Schjelderup Utrednng

Detaljer

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen.

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen. STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave a) De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Medan og kvartler for

Detaljer

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet Auksjoner og mljø: Prvat nformasjon og kollektve goder Erk Romstad Handelshøyskolen Auksjoner for endra forvaltnng Habtatvern for bologsk mangfold Styresmaktene lyser ut spesfserte forvaltnngskontrakter

Detaljer

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet Forelesnng NO kapttel 4 Skjermet og konkurranseutsatt vrksomhet Det grunnleggende formål med eksport: Mulggjøre mport Samfunnsøkonomsk balanse mellom eksport og mportkonkurrerende: Samme valutanntjenng/besparelse

Detaljer

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober Forelesning 21 torsdag den 30. oktober 5.12 Mersenne-primtall Merknad 5.12.1. Nå kommer vi til å se på et fint tema hvor kvadratisk gjensidighet kan benyttes. Terminologi 5.12.2. La n være et naturlig

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende: Makroøkonom Innlednng Mundells trlemma 1 går ut på følgende: Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td Av de tre faktorene er hypotesen at v kun kan velge

Detaljer

Forelesning 20 mandag den 27. oktober

Forelesning 20 mandag den 27. oktober Forelesning 20 mandag den 27. oktober 5.10 Eksempler på hvordan regne ut Legendresymboler ved å benytte kvadratisk gjensidighet Eksempel 5.10.1. La oss se igjen på Proposisjon 5.6.2, hvor vi regnet ut

Detaljer

BARNAS BOKFESTIVAL I BERGEN. Innhold

BARNAS BOKFESTIVAL I BERGEN. Innhold DESIGNMANUAL Innhold Forord Sgnaturlogo, varasjoner Rett og gal bruk av logo Oppbyggng og plasserng av logo, samt tlleggselementer Farger Typograf Plakater Program og bllettarmbånd T-skjorter... 3...4-6...7...

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 0102 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 0102 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN. NOVEBER 0 Tellngsresultater Tlbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 00 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO ERNADER TIL ART OG TABELLER I seren "Tellngsresultater - Tlbakegående tall - Prognoser"

Detaljer

DEN NORSKE AKTUARFORENING

DEN NORSKE AKTUARFORENING DEN NORSKE AKTUARFORENING _ MCft% Fnansdepartementet Postboks 8008 Dep 0030 OSLO Dato: 03.04.2009 Deres ref: 08/654 FM TME Horngsuttalelse NOU 2008:20 om skadeforskrngsselskapenes vrksomhet. Den Norske

Detaljer

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:

Detaljer

OBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005

OBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005 OBLIGATORISK OPPGAVE INF 0/0/90 HØSTEN 005 Levergsfrst: 0. september 005 Arbedsform: Løses dvduelt Ileverg tl: Aja Bråthe Krstofferse (ajab@f.uo.o Levergskrav: Det forutsettes at du er kjet med holdet

Detaljer

Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund

Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund Oppgave 3, SØK400 våren 00, v/d. Lnd En bonde bonde dyrker poteter. Hvs det blr mldvær, blr avlngen 0. Hvs det blr frost, blr avlngen. Naboen bonde, som vl være tsatt for samme vær, dyrker også poteter,

Detaljer

En teoretisk studie av tv-markedets effisiens

En teoretisk studie av tv-markedets effisiens NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 007 Utrednng fordypnng: Økonomsk analyse Veleder: Hans Jarle Knd En teoretsk stude av tv-markedets effsens av Odd Hennng Aure og Harald Nygård Bergh Denne utrednngen

Detaljer

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater 009/30 Notater Mare Lllehammer Notater Uskkerhetsanalyse or utslpp av arlge stoer vdelng or IT og metode/seksjon or statstske metoder og standarder Innhold 1. Bakgrunn og ormål.... Metode....1 Fastsettelse

Detaljer