MA1301 Tallteori Høsten 2014

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "MA1301 Tallteori Høsten 2014"

Transkript

1 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014

2

3 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon Naturlge tall og heltall Bevs Teoremer, propossjoner, lemmaer, og korollarer Induksjon Flere eksempler på bevs ved nduksjon Summetegnet Et eksempel tl på bevs ved nduksjon Fakultet Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Rekursjon Fbonacctall Bnets formel for Fbonacctallene Varanter av nduksjon Ltt mer om Fbonacctallene O1 Oppgaver nduksjon og rekursjon 61 O1.1 Oppgaver eksamens stl O1. Oppgaver for å hjelpe med å forstå kapttelet

4

5 Forord Pensumet Dsse notatene er pensumet for årets kurs. De er basert på tekstboka Elementary number theory av Davd M Burton, men er ofte ganske ulke. Når notatene skller seg fra boka, er det notatene og kke boka som bør følges. Det er ngen plkt tl å bruke tekstboka. Notatene har bltt skrevet den henskt at de skal være lett å lese og lære fra. Det kan være bedre å følge en fremstllng enn to 1. Lenker tl nformasjon om de hstorske skkkelsene som skapte tallteor kommer tl å bl lagt ut på kursets hjemmesde. Dsse vl dekke de fleste hstorske notatene tekstboka, men les gjerne dem også. Gude Notatene følger en struktur hvor dskusjon og utdypnnger er sklt fra formelle defnsjoner, propossjoner, og andre typer påstander. For hver propossjon eller annen type påstand, brukes alltd følgende mønster: 1) Propossjonen gs først; ) Etterfulgt av dens bevs; 3) Eksempler på det som propossjonen og dens bevs fastslår kommer så. Av og tl er det tllegg merknader tl bevset eller propossjonen. Det kan være lurt å lese eksemplene rett etter å ha lest propossjonen, og så gå tlbake og lese bevset. På denne måten blr propossjonen ltt mer konkret. Det tar ltt td å bl fortrolg med den abstrakte og konsse måten matematkk skrves på. Ikke g deg: det kommer etter hvert! Oppgavene Etter kaptlene fnnes oppgaver, som er delt nn to. 1) Oppgaver eksamens stll er vanlge matematske oppgaver : de gr deg mulgheten tl å øve deg på å bruke teoren som ble ntrodusert kapttelet, og dermed å vurdere dn forståelse av kapttelets nnhold. 1 Lkevel er det oblgatorsk å ha en kop av tekstboka! Sden jeg skrver notatene år og bruker dem for første gang, kan det være gret å ha tekstboka som et skkerhetsnett.

6 Forord ) Oppgaver for å hjelpe med å forstå kapttelet tar for seg teoren som ble ntrodusert kapttelet. Noen ganger ser bevs og defnsjoner ltt avskrekkende ut tl å begynne med: kanskje ser de ltt for abstrakte ut, eller de benytter seg av notasjoner som man kke føler seg fortrolg med. Målet med dsse oppgavene er å hjelpe deg å få en god forståelse. Hvs du synes noe kapttelet er vanskelg, se på oppgavene, og prøv å gjøre de som handler om det du slter med. Takk Jeg takker den vdunderlge kona m, Kar, så mye for all hjelpen med norsken. Jeg takker også Magnus Bakke Botnan, Truls Bakkejord Ræder, Gard Spreemann, og Marus Thaule for hjelpen med norsken, speselt med matematsk norsk. Fremfor alt takker jeg Kar og llle Åsmund for å ha gjort dagene da dsse notatene ble skrevet så lykkelge, fylt av latter, sang, og de gledelge smlene som bare en baby gr! 6

7 1 Induksjon og rekursjon 1.1 Naturlge tall og heltall Defnsjon Et naturlg tall er et av tallene: 1,,.... Merknad Legg speselt merke tl at dette kurset teller v kke 0 blant de naturlge tallene. Allkevel er det noen som ser på 0 som et naturlg tall. Å nkludere det eller kke er bare en konvensjon, og kke noe å bekymre seg for. Noen ganger nkluderer jeg selv det, og noen ganger kke! Defnsjon Et heltall er et av tallene:...,, 1, 0, 1,,.... Merknad Alle naturlge tall er heltall. Men kke alle heltall er naturlge tall: de negatve heltallene er kke naturlge tall. Ifølge Defnsjon er 0 heller kke et naturlg tall. Notasjon La m og n være heltall. V skrver m ganger n som mn, m n, eller m n. 1. Bevs Merknad Matematkk er som et ggantsk byggverk mursten. Det bygges opp på følgende måte. 1) Matematske påstander formuleres. Dsse er murstenene tl byggverket. ) Dsse påstandene bevses, ved hjelp av matematske påstander som allerede har bltt bevst. Bevsene er sementen som bnder murstenene sammen. Termnolog 1... Å bevse at en matematsk påstand er sann betyr å vse, ved å benytte gtte logske prnspper, at den er sann fra påstander som allerede har bltt bevst, og fra defnsjonene av tngene påstanden handler om. Typsk blr et bevs bygd opp steg for steg en rekke deduksjoner. Eksempel La n være et naturlg tall. Et eksempel på en matematsk påstand er: n + 4 > n + 3. At denne påstanden er sann følger logsk fra de følgende to påstandene: 1) 4 > 3. 7

8 1 Induksjon og rekursjon ) For hvlke som helst naturlge tall n, k, og l slk at k > l, er n + k > n + l. Logkken er som følger: sden 4 > 3 kan v ta k som 4 og l som 3 Påstand ), og da får v at n + 4 > n + 3, som v ønsket å bevse. Merknad Hele kurset består av matematske påstander og deres bevser, så v kke skal g flere eksempler nå. De logske prnsppene som står bak dem er stort sett så velkjente at v kke pleer å nevne dem. Imdlertd skal v dette kapttelet ntrodusere et logsk prnspp som er svært vktg matematkk, og som du sannsynlgvs kke kjenner tl: nduksjon. Merknad 1... Å bevse at en matematsk påstand er gal betyr helt enkelt å g et eksempel hvor det kke er sant. For eksempel se på påstanden: dersom n er et naturlg tall, er n > n + 1. Denne påstanden er gal: når n 1, er påstanden at >, noe som er galt. Imdlertd er følgende påstand sann: dersom n er et naturlg tall slk at n, er n > n + 1. Den kan bevses ved hjelp av nduksjon. Dette llustrerer hvor vktg det er at en matematsk påstand uttrykkes nøyaktg. Termnolog Et eksempel som bevser at en matematsk påstand er gal kalles noen ganger et moteksempel. Det tlsvarende engelske ordet er: counterexample. 1.3 Teoremer, propossjoner, lemmaer, og korollarer Termnolog Et matematsk utsagn som har bltt bevst kalles et teorem, en propossjon, et korollar, eller et lemma. Forskjellge matematkere bruker dsse betegnelsene på forskjellge måter, og noen bruker tllegg andre betegnelser. Lkevel fnnes det noen hovedtrekk som går gjen. 1) Et lemma betegner typsk et steg mot et teorem eller en propossjon som seg selv kke er speselt vktg. Ofte kan et lemma bevses ganske lett, men kke alltd! ) Et teorem eller en propossjon er et utsagn som er betydnngsfult seg selv. Et teorem er vktgere enn en propossjon. Personlg bruker jeg teorem bare for de aller vktgste utsagnene. 3) Et korollar betegner typsk et utsagn som er lett å dedusere fra et allerede bevst teorem, propossjon, eller lemma. 1.4 Induksjon Merknad La n være et naturlg tall. Se på påstanden n Hvordan kan v bevse at dette er sant? nn + 1). 8

9 1.4 Induksjon V kan sjekke om det er sant for gtte verder av n. La for eksempel n 1. Sden ) 1 1 er utsagnet sant dette tlfellet. La n stedenfor. Sden og + 1) 3 6 3, er det sant at ). Dermed er utsagnet sant dette tlfellet også. V kan på en lgnende måte sjekke om utsagnet er sant når n 3, når n 4, og så vdere. Lkevel kan v kke sjekke om propossjonen er sann for alle naturlg tall selv om v brukte hele lvet på kun det! Derfor regnes kke å sjekke om det er sant for enkelte verder av n som et matematsk bevs. Istedenfor benytter v en type resonnement som kalles nduksjon. Termnolog Anta at v har et gtt matematsk utsagn for hvert heltall større enn eller lkt et gtt heltall r. Anta dessuten at v ønsker å bevse utsagnet for hvert av dsse heltallene. Induksjon ser at v kan gjøre det på følgende måte: 1) Sjekk om utsagnet er sant for heltallet r. ) Hvs det antas at utsagnet har bltt bevst for et gtt heltall m som er større enn eller lkt r, bevs at utsagnet er sant for heltallet m + 1. Merknad Idéen bak nduksjon er at Steg 1) og Steg ) gr oss en algortme for å konstruere et bevs for utsagnet for et hvlket som helst heltall m større enn eller lkt r: ) Steg 1) Termnolog 1.4. fastslår at v kan bevse utsagnet når m r; ) Steg ) Termnolog 1.4. fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r + 1; ) Steg ) Termnolog 1.4. fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r + ; v) Steg ) Termnolog 1.4. fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r + 3; v) Slk fortsetter v tl v når heltallet v er nteressert. Merknad Det er svært vktg å fremstlle et bevs ved nduksjon på en klar måte: 1) Skrv tydelg at v sjekker utsagnet for et gtt heltall r, for å gjennomføre Steg 1) Termnolog

10 1 Induksjon og rekursjon ) Skrv tydelg at v antar at utsagnet har bltt bevst for et gtt heltall m større enn r. Skrv så et bevs for utsagnet for heltallet m + 1, og redegjør for hvor du benytter antagelsen at utsagnet stemmer for heltallet m. Dermed har Steg ) Termnolog 1.4. bltt fullført. 3) Avslutt fremstllngen ved å nevne at utsagnet stemmer for alle heltall større enn r ved nduksjon. Det er også gret å begynne med å skrve at utsagnet skal bevses ved nduksjon. Det vktgste er å nevne dette et eller annet sted. V skal se på mange bevs ved nduksjon løpet av dette kurset, og du kommer skkert tl å bl fortrolg med det. La oss begynne med en gang ved å uttrykke formelt påstanden som v tok for oss Merknad 1.4.1, og å fremstlle et bevs for det ved nduksjon. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n nn + 1). Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. Dette gjorde v Merknad Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt naturlg tall m større enn eller lkt 1. Således har det bltt bevst at Da er m mm + 1). mm + 1) m + m + 1) + m + 1) mm + 1) + m + 1) m + )m + 1) m + 1)m + ). Dermed er propossjonen sann for det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall. Eksempel Når n, fastslår Propossjon 1.4. at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon 1.4. at

11 1.4 Induksjon Eksempel Når n 7, fastslår Propossjon 1.4. at Eksempel Når n 100, fastslår Propossjon 1.4. at Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon 1.4. er lgnngen m + m + 1) mm + 1) + m + 1). Det er her v benytter antakelsen at m mm + 1). De andre lnjene er bare algebraske manpulasjoner. Merknad La oss se hvordan algortmen Merknad ser ut for Propossjon V begynner med å sjekke om 1 1. Så argumenterer v som bevset for Propossjon 1.4., ved å erstatte m med 1: Dermed er ) 1 + ) Således har v bevst at propossjonen er sann når n. 11

12 1 Induksjon og rekursjon Så argumenterer v som bevset for Propossjon 1.4., ved å erstatte m med : ) ) 3 4. Dermed er Således har v bevst at propossjonen er sann når n 3. Slk fortsetter v tl v når heltallet v er nteressert. Merknad Propossjon 1.4. kan bevses på andre måter. Matematske utsagn generelt kan typsk bevses på flere måter, og alle bevsene er lke verdfulle. Ofte gr hvert bevs ny nnskt. Lkevel skal v kke her se på andre bevs for Propossjon Istedenfor skal v øve oss ltt mer på nduksjon. 1. Flere eksempler på bevs ved nduksjon Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n 1 n 1. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at Sden er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt heltall m større enn eller lkt 1. Således har det bltt bevst at Da er m 1 m m 1 + m m 1) + m m + m ) 1 m ) 1 m

13 1. Flere eksempler på bevs ved nduksjon Dermed er propossjonen sann for det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall. Eksempel 1... Når n, fastslår Propossjon 1..1 at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon 1..1 at Eksempel Når n 6, fastslår Propossjon 1..1 at Eksempel 1... Når n 7, fastslår Propossjon 1..1 at Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon 1..1 er lgnngen Det er her v benytter antakelsen at m 1 + m m 1) + m m 1 m 1. De andre lnjene er bare algebraske manpulasjoner. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n nn + 1)n + 1). 6 Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at ) 1) + 1 ). 6 Sden ) 1) + 1 ) er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt heltall m større enn eller lkt 1. Således har det bltt bevst at m mm + 1)m + 1). 6 13

14 1 Induksjon og rekursjon Da er m + m + 1) mm + 1)m + 1) + m + 1) 6 mm + 1)m + 1) + 6m + 1) 6 m + 1) mm + 1) + 6m + 1) ) 6 m + 1) m + 7m + 6 ) 6 m + 1) m + ) m + 3) ) 6 m + 1) m + 1) + 1 ) m + 1) + 1 ) Dermed er propossjonen sann for det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall. Eksempel Når n, fastslår Propossjon 1..7 at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon 1..7 at Eksempel Når n 6, fastslår Propossjon 1..7 at Eksempel Når n 7, fastslår Propossjon 1..7 at Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon 1..7 er lgnngen m + m + 1) Det er her v benytter antakelsen at mm + 1)m + 1) 6 + m + 1) m De andre lnjene er bare algebraske manpulasjoner. mm + 1)m + 1). 6 14

15 1. Flere eksempler på bevs ved nduksjon Merknad Alle propossjonene v har sett så langt er sanne for alle naturlge tall, altså alle heltall større enn eller lke 1. Derfor begynte bevsene ved nduksjon for alle dsse propossjonene med å sjekke om utsagnene er sanne når n 1. Neste skal v bevse ved nduksjon en propossjon som er sann for alle naturlge tall større enn eller lke. Derfor skal v begynne bevset med å sjekke om propossjonen er sann når n. Husk at nduksjon kan brukes for å bevse en propossjon for alle naturlge tall større enn eller lke et hvlket som helst gtt heltall. Propossjon La n være et naturlg tall som er større enn eller lkt. Da er n > n + 1. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n. I dette tlfellet er utsagnet at > + 1. Sden 4 og + 1 3, er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt heltall m større enn eller lkt. Således har det bltt bevst at m > m + 1. V gjør følgende observasjoner. 1) V har: ) Sden m > 0, er m > 0. Derfor er m + 1) m + 1) m + 1) m + m + 1. m + m + 1 > m ) Fra antakelsen at følger det at m > m + 1, m + 1 > m + 1) + 1. Fra 1) 3) deduserer v at m + 1) > m + 1) + 1. Således er propossjonen sann for det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall større enn eller lke. Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at 9 > 4. 1

16 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n 4, fastslår Propossjon at 16 >. Eksempel Når n 7, fastslår Propossjon at 349 > 8. Merknad Observasjon 3), hvor v benytter antakelsen at m > m + 1, er den vktgste delen av bevset for Propossjon Summetegnet Notasjon La k og l være heltall. For hvert heltall slk at k l, la z være et heltall. Noen ganger skrver v summen z k + z k z l som l z. k Termnolog Symbolet kalles summetegn. Eksempel La n være et naturlg tall. Summen n, som v tok for oss Propossjon 1.4., kan skrves n. Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m, som v også tok for oss Propossjon 1.4., kan skrves m. 16

17 1.6 Summetegnet Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m + 1), som v gjen tok for oss Propossjon 1.4., kan skrves m+1 Eksempel La n være et naturlg tall. Summen n 1, som v tok for oss Propossjon 1..1, kan skrves Den kan også skrves n 1. n 1. 0 Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m 1, som v også tok for oss Propossjon 1..1, kan skrves Den kan også skrves m 1. m 1 0 Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m, som v gjen tok for oss Propossjon 1..1, kan skrves Den kan også skrves m+1 1. m. 0 17

18 1 Induksjon og rekursjon Eksempel La n være et naturlg tall. Summen n, som v tok for oss Propossjon 1..7, kan skrves n. Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m, som v også tok for oss Propossjon 1..7, kan skrves m. Eksempel La m være et naturlg tall. Summen m + 1), som v gjen tok for oss Propossjon 1..7, kan skrves m+1 Eksempel La n og k være naturlge tall. I den neste delen av kapttelet skal v jobbe med summer som lgner på 1 k ) + 3 k + 1) ) + + n n + 1) n + k 1) ).. Denne summen kan skrves n + 1) + k 1). Eksempel La m og k være naturlge tall. Summen 1 k ) + 3 k + 1) ) + + m m + 1) m + k 1) ) kan skrves m + 1) + k 1). Eksempel La m og k være naturlge tall. Summen 1 k ) + 3 k + 1) ) + + m + 1) m + ) m + k) ) kan skrves m+1 + 1) + k 1). 18

19 1.7 Et eksempel tl på bevs ved nduksjon 1.7 Et eksempel tl på bevs ved nduksjon Propossjon La n og k være naturlge tall. Da er n n n + 1) n + k) + 1) + k 1). k + 1 Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at ) 1 + k) 1 k. k + 1 Sden ) 1 + k) k k + 1) k k er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at m mm + 1)... m + k) + 1) + k 1). k + 1 Da er m+1 + 1) + k 1) m ) + 1) + k 1) + m + 1) m + )... m + k) m m + 1) m + k) + m + 1) m + ) m + k) k + 1 ) ) m m + 1) m + k) + k + 1) m + 1) m + ) m + k) ) k ) + 1 m + 1) m + k) m + k + 1) k + 1 m + 1) m + ) m + k + 1). k + 1 Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall n og alle naturlge tall k. Eksempel Når n og k 3, fastslår Propossjon at

20 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n og k 4, fastslår Propossjon at Eksempel Når n og k 6, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 3 og k, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 3 og k 3, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 3 og k 6, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 4 og k, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 4 og k 3, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 4 og k 6, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 6 og k, fastslår Propossjon at

21 1.7 Et eksempel tl på bevs ved nduksjon Eksempel Når n 6 og k 3, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 6 og k 6, fastslår Propossjon at Merknad Lgnngen m ) + 1) + k 1) m m + 1) m + k) k m + 1) m + )... m + k) + m + 1) m + ) m + k) er den vktgste delen av bevset for Propossjon Det er her v benytter antakelsen at m m m + 1) m + k) + 1) + k 1). k + 1 Merknad Propossjon for tlfellet k 1 er det samme som Propossjon Bevset på Propossjon generalserer bevset for Propossjon Merknad Propossjon gjelder to varabler n og k, og bevs ved nduksjon slke tlfeller kan tl å begynne med se ltt forvrrende ut. La oss derfor se på logkken bak bevset for Propossjon Da v sjekket om Propossjon er sann når n 1, var k et hvlket som helst naturlg tall. Da v deretter antok at Propossjon er sann når n er et gtt naturlg tall m, og vste at den da er sann når n m + 1, var k også et hvlket som helst naturlg tall. Dermed kan v se på bevset for Propossjon på følgende måte. Først velger v et naturlg tall k: la for eksempel k være. Da blr utsagnet: n + 1) + 4) nn + 1) n + ). 6 Så bevser v at dette er sant, ved å erstatte k med bevset for Propossjon

22 1 Induksjon og rekursjon Først sjekker v om utsagnet er sant når n 1. V må altså sjekke om Sden ) 1 + ) ) 1 + ) er dette sant. Anta nå at det har bltt bevset at utsagnet er sant når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at Da er m+1 m + 1) + 4) + 1) + 4) mm + 1) m + ). 6 m ) + 1) + 4) + m + 1) m + )... m + ) mm + 1) m + ) + m + 1) m + ) m + ) 6 mm + 1) m + ) + 6 m + 1) m + ) m + ) ) 6 ) m + 1) m + ) m m + 1) m + ) m + 6). 6 Dermed er utsagnet sant når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at utsagnet er sant når n er et hvlket som helst naturlg tall. Merknad I prnsppet kan v bytte om rollene tl n og k bevset for Propossjon Det vl s at v teoren kan gjøre følgende: 1) Sjekke om Propossjon er sann når k 1, og når n er et hvlket som helst naturlg tall. ) Anta så at Propossjon er sann når k er et gtt naturlg tall m, og når n er et hvlket som helst naturlg tall, og vs at den da er sann når k m + 1, og når n gjen er et hvlket som helst naturlg tall.

23 1.8 Fakultet Termnolog Når v bevser ved nduksjon en propossjon om heltall som nvolver to eller flere varabler, spller alltd én varabel den rollen som n har bevset for Propossjon 1.7.1, og som k har tlnærmngsmetoden beskrevet Merknad La oss anta at denne speselle varabelen betegnes t. Da ser v at propossjonen har bltt bevst ved nduksjon på t. Eksempel V ser at bevset v ga for Propossjon er ved nduksjon på n. Hadde v et bevs for Propossjon med tlnærmngsmetoden beskrevet Merknad , vlle v s at det er et bevs ved nduksjon på k. Merknad For å bevse en propossjon om heltall som nvolverer to eller flere varabler, er det typsk mye lettere å benytte nduksjon på en av varablene enn nduksjon på noen av de andre. Det er for eksempel kke lett å bevse Propossjon ved nduksjon på k, altså med tlnærmngsmetoden beskrevet Merknad Fakultet Defnsjon La n være et naturlg tall. Da er n fakultet produktet I tllegg defnerer v 0 fakultet tl å være 1. 1 n 1) n. Notasjon La n være et heltall slk at n 0. V betegner n fakultet som n!. Eksempel V har: 1! 1. Eksempel Sden 1, er!. Eksempel Sden 1 3 6, er 3! 6. Eksempel Sden , er 4! Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Merknad Fra skolen kjenner du tl lgnngen x + y) x + xy + y. Nå skal v se på en tlsvarende lgnng for x+y) n, hvor n er et hvlket som helst naturlg tall. Først må v gjøre noen forberedelser. Defnsjon La n være et naturlg tall, og la k være et heltall slk at 0 k n. Da er bnomalkoeffsenten av n og k brøken n! k! n k)!. 3

24 1 Induksjon og rekursjon Notasjon V betegner bnomalkoeffsenten av n og k som ) n. k Merknad Symbolet n k) leses temmelg ugrammatsk!) som n velg k. Dette kommer av at det kan bevses at n k) er antall mulgheter for å velge ut k tng fra n tng. På grunn av denne tolknngen blr bnomalkoeffsentene brukt mye et område nnen matematkken som kalles kombnatorkk. Eksempel V har: Eksempel V har: ) 4 4!! 4 )! 4!!! ) 3! 3! 3)!! 3!! Merknad Bevsene av de følgende propossjonene er enkle utregnner, og nduksjon behøves kke. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n 0) 1. Bevs. V regner som følger: ) n 0 n! 0! n 0)! n! 0! n! n! 1 n! n! n! 1. 4

25 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Propossjon La n være et naturlg tall. Da er n 1) n. Bevs. V regner som følger: ) n n! 1 1! n 1)! n! 1 n 1)! n! n 1)! 1 n 1) n 1 n ) n 1) n. Propossjon La n være et naturlg tall, og la k være et heltall slk at 0 k n. Da er ) n k n n k). Bevs. V regner som følger: ) n n! k k! n k)! n! n k)! k! n! n k)! n n k) )! ) n. n k Korollar La n være et naturlg tall. Da er n n) 1. Bevs. På grunn av Propossjon er n n) n 0). På grunn av Propossjon er n ) 0 1. Således konkluderer v at n ) n 1. Korollar La n være et naturlg tall. Da er n n 1) n. Bevs. Ut fra Propossjon er n n 1) n 1). Ut fra Propossjon 1.9.9, er n 1) n. Således konkluderer v at n n 1) n. Eksempel V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Propossjon er 0) 1.

26 1 Induksjon og rekursjon ) Ut fra Propossjon er 1). 3) Ut fra Korollar er ) 1. Dermed har v regnet ut k) for alle mulge verder av k. Eksempel V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Propossjon er 3 0) 1. ) Ut fra Korollar er 3 3) 1. 3) Ut fra Propossjon er 3 1) 3. 4) Fra 3) og Korollar 1.9.1, følger det at 3 ) 3. Dermed har v regnet ut 3 k) for alle mulge verder av k. Eksempel V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Propossjon er 4 0) 1. ) Ut fra Korollar er 4 4) 1. 3) Ut fra Propossjon er 4 1) 4. 4) Fra 3) og Korollar 1.9.1, følger det at 4 3) 4. ) Fra Eksempel 1.9. har v: 4 ) 6. Dermed har v regnet ut 4 k) for alle mulge verder av k. Eksempel V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Propossjon er 0) 1. ) Ut fra Korollar er ) 1. 3) Ut fra Propossjon er 1). 4) Fra 3) og Korollar 1.9.1, følger det at 4). ) Fra Eksempel har v: 3) 10. 6) Fra ) og Propossjon , følger det at ) 10. Dermed har v regnet ut k) for alle mulge verder av k. Merknad I alle eksemplene v har tatt for oss så langt, var n k) er et naturlg tall. V skal snart bevse at dette er tlfelle for hvlke som helst n og k. 6

27 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Propossjon La n og k være naturlge tall. Da er ) ) ) n n n k k 1 k Bevs. V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra defnsjonen av ) n k og n k 1) Defnsjon 1.9., er ) ) n + k n k 1 n! k! n k)! + n! k 1)! n k + 1)!. ) Sden k! k 1)! k og n k + 1)! n k)! n k + 1), er n! k! n k)! + n! n k + 1) n! + k n! k 1)! n k + 1)! k! n k + 1)! n! n k k) k! n + 1 k)! n! n + 1) k! n + 1 k)!. 3) Sden n + 1)! n! n + 1), er n! n + 1) k! n + 1 k)! n + 1)! k! n + 1 k)!. 4) Ut fra defnsjonen av ) n+1 k Defnsjon 1.9., er ) n + 1 n + 1)! k k! n + 1 k)!. Fra 1) 4) konkluderer v at n k ) + ) n k 1 n + 1 k ). Eksempel Når n 3 og k 1, fastslår Propossjon at ) ) ) , altså at

28 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n 3 og k, fastslår Propossjon at ) 3 + ) 3 1 ) 4, altså at Eksempel Når n 3 og k 3, fastslår Propossjon at ) ) 3 ) 4, 3 altså at Eksempel Når n og k 1, fastslår Propossjon at ) + 1 ) 0 ) 6, 1 altså at + 1 ) 6. 1 V deduserer at 6 1) 6. Eksempel Når n og k, fastslår Propossjon at ) + ) 1 ) 6, altså at 10 + ) 6. V deduserer at 6 ) 1. Eksempel Når n og k 3, fastslår Propossjon at ) + 3 ) ) 6, 3 altså at ) 6. 3 V deduserer at 6 3) 0. 8

29 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet Eksempel Når n og k 4, fastslår Propossjon at ) ) ) 6 +, altså at V deduserer at 6 4) ) 6. 4 Eksempel Når n og k, fastslår Propossjon at ) ) ) 6 +, 4 altså at V deduserer at 6 ) ) 6. Merknad La oss sette opp bnomalkoeffsentene på følgende måte. Det k-te tallet fra venstre, ved å telle k fra 0 tl n, den n-te raden fra toppen, ved å telle n fra 1, er bnomalkoeffsenten n k). For eksempel er det andre tallet fra venstre ved å telle fra 0) den fjerde raden fra toppen 6, som er bnomalkoeffsenten 4 ) Propossjonen ser at når v legger sammen to tall en rad, får v tallet mellom dem den neste raden. For eksempel når v legger sammen tallene 4 og 6 den fjerde raden, får v 10, som står mellom 4 og 6 den femte raden. Termnolog Oppsettet av tallene Merknad kalles for Pascals trekant. Propossjon La n være et naturlg tall, og la k være et heltall slk at 0 k n. Da er n k) et naturlg tall. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at 1 k) er et naturlg tall for hvert heltall k slk at 0 k 1, altså når k 0 og når k 1. Ut fra Propossjon er det sant at 1 0) er et naturlg tall, og ut fra Propossjon er det sant at 1 1) er et naturlg tall. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at ) m k er et naturlg tall for alle heltallene k slk at 0 k m. V gjør følgende observasjoner. 9

30 1 Induksjon og rekursjon 1) Ut fra Propossjon er ) m+1 0 et naturlg tall. ) La k være et naturlg tall. Fra antakelsen at ) m k er et naturlg tall for alle heltallene k slk at 0 k m, er ) m k og m k 1) naturlge tall. Derfor er ) ) m m + k k 1 et naturlg tall. Ut fra Propossjon vet v dessuten at ) ) ) m + 1 m m +. k k k 1 V deduserer at ) m+1 k er et naturlg tall. 3) Ut fra Korollar er m+1) et naturlg tall. Dermed er ) m+1 k et naturlg tall for alle naturlge tall k slk at 0 k m + 1. Således er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall. Propossjon La x og y være tall. La n være et heltall slk at n 0. Da er x + y) n n 0 ) n x n y. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 0. I dette tlfellet er utsagnet at 0 ) 0 x + y) 0 x 0 y. Sden x + y) 0 1 og 0 0 ) 0 x 0 y 0 ) 0 x 0 0 y 0 1 x 0 y 0 1, 0 er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at m ) m x + y) m a m b. V gjør følgende observasjoner. 0 30

31 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet 1) V har: x + y) m+1 x + y) m x + y) m ) m )x m y x + y) 0 m ) m m ) m )x m y x + )x m y y 0 0 m ) m m ) m )x m+1 y + )x m y ) V har: m 0 ) m x m+1 y ) m x m+1 0 y m ) m )x m+1 y. 3) Ut fra Propossjon er m 0 ) 1. Derfor er ) m x m+1 0 y m ) m )x m+1 y x m+1 + m ) m )x m+1 y. 4) V har: m ) m+1 m ) m x m y +1 x m 1) y 1) m+1 ) m x m+1 ) y 1 m ) ) m )x m+1 ) y m + x m+1 m+1) y m+1 1 m + 1) 1 m ) ) m m )x m+1 ) y + x 0 y m+1. 1 m ) Ut fra Korollar er m m) 1. Derfor er: m ) m )x m+1 ) y + 1 ) m x 0 y m+1 m m ) m )x m+1 ) y + y m

32 1 Induksjon og rekursjon 6) V har: m ) m m ) m x m+1 + )x m+1 y + )x m+1 ) y + y m+1 1 m ) )) ) m m x m x m+1 y y + y m+1 1 7) Ut fra Propossjon er ) m + 1 ) ) m m + 1 for alle heltall slk at 1 m. V deduserer at m ) )) ) m m x m x m+1 y y + y m+1 1 m ) )) ) m m x m x m+1 y y 1 m ) m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1. y m+1 V deduserer fra 1) 7) at m ) m + 1 x + y) m+1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1. Nå gjør v følgende observasjoner. 1) V har: m+1 ) m + 1 x m+1 y 0 ) m + 1 m ) ) m + 1 m + 1 x m+1 0 y 0 + )x m+1 y + x m+1 m+1) y m+1 0 m + 1 ) m + 1 m ) ) m + 1 m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1 0 m + 1 ) Ut fra Propossjon er ) m Ut fra Korollar er m+1) 1. Derfor er ) m + 1 m ) ) m + 1 m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1 0 m + 1 m ) m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1. 3

33 1.9 Bnomalkoeffsenter og bnomalteoremet V deduserer fra 1) ) at m+1 0 m + 1 ) x m+1 y x m+1 + m ) m + 1 )x m+1 y + y m+1. For å oppsummere bevset så langt, har v fastslått at m ) m + 1 x + y) m+1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1 og at V deduserer at m ) m + 1 x m+1 + )x m+1 y + y m+1 x + y) m+1 m+1 0 m + 1 m+1 0 m + 1 ) x m+1 y. ) x m+1 y. Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at som forventet. x + y) x + xy + y, Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at x + y) 3 x 3 + 3x y + 3xy + y 3. Eksempel Når n 4, fastslår Propossjon at x + y) 4 x 4 + 4x 3 y + 6x y + 4xy 3 + y 4. Merknad Propossjon kalles noen ganger bnomalteoremet. Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon er lgnngen m ) m x + y) m x + y) )x m y x + y). Det er her v benytter antakelsen at x + y) m 0 m 0 ) m a m b. 33

34 1 Induksjon og rekursjon Merknad Tl å begynne med kan manpulasjoner med summetegn som bevset for Propossjon se ltt forvrrende ut. I så fall skrv alle summene uten å bruke summetegnet. Skrv for eksempel som ) n x n y Rekursjon n 0 Merknad Hvert tall sekvensen ) n x n y ) ) n n x n 1 y x 1 y n n 1 1,, 4, 8, 16,... ) n x 0 y n. n er to ganger det foregående. Hvordan kan v beskrve sekvensen formelt? V kan kke skrve ut hele sekvensen uansett hvor mye td v har: sammenlgn med Merknad Istedenfor benytter v en type defnsjon som kalles rekursjon. Termnolog Anta at v ønsker å defnere et heltall u n for hvert naturlg tall n. Rekursjon ser at v kan gjøre det på følgende måte: 1) Defner u 1, u,..., u r, hvor r er et gtt naturlg tall. ) La m være et naturlg tall som er større enn eller lkt r. Hvs det antas at heltallet u har bltt defnert for alle de naturlge tallene slk at r m, defner heltallet u m+1. Merknad I Merknad så v at nduksjon gr en algortme for å konstruere et bevs. På en lgnende måte gr rekursjon en algortme for å defnere det n-te naturlge tallet en sekvens, for et hvlket som helst naturlg tall n: ) Etter å ha fullført Steg 1) Termnolog 1.10., har v defnert alle heltallene sekvensen opp tl det r-te; ) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan defnere det r + 1)-te heltallet sekvensen; ) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan defnere det r + )-te heltallet sekvensen; v) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan defnere det r + 3)-te heltallet sekvensen; v) Slk fortsetter v tl v når det naturlge tallet v er nteressert. 34

35 1.10 Rekursjon Eksempel Følgende defnerer en sekvens ved rekursjon. 1) Det første heltallet sekvensen er 1. Med andre ord er u 1 1. Ved å la r være 1, har v dermed fullført Steg 1) Termnolog ) La m være et naturlg tall. Anta at det -te heltallet sekvensen, det vl s u, har bltt defnert for alle de naturlge tallene slk at 1 m. Da defnerer v heltallet u m+1 være u m. Ved å la r være 1, har v dermed fullført Steg ) Termnolog La oss se hvordan algortmen Merknad ser ut for denne sekvensen. ) Ut fra 1) er 1 det første heltallet sekvensen. ) Fra ) og ) følger det at 1 er det andre heltallet sekvensen. ) Fra ) og ) følger det at 4 er det tredje heltallet sekvensen. v) Fra ) og ) følger det at 4 8 er det fjerde heltallet sekvensen. v) Slk fortsetter v. Således ser v at 1) og ) formelt defnerer sekvensen som v tok for oss Merknad ,, 4, 8, 16,... Eksempel Følgende defnerer en sekvens ved rekursjon. 1) Det første heltallet sekvensen er 1. Med andre ord er u 1 1. Ved å la r være 1, har v dermed fullført Steg 1) Termnolog ) La m være et naturlg tall. Anta at det -te heltallet sekvensen, det vl s u, har bltt defnert for alle de naturlge tallene slk at 1 m. Da defnerer v heltallet u m+1 tl å være u m + 3. Dermed har v formelt defnert sekvensen: 1,,, 8, 11,.... Merknad I både Eksempel og Eksempel lot v det naturlge tallet r Termnolog tl å være 1. I den neste delen skal v se på et eksempel hvor v lar r være. Merknad Induksjon og rekursjon går hånd hånd. For å bevse et matematsk utsagn som handler om en sekvens av heltall defnert ved rekursjon, benytter v typsk nduksjon. 3

36 1 Induksjon og rekursjon 1.11 Fbonacctall Defnsjon Følgende defnerer ved rekursjon sekvensen av Fbonacctall. 1) Det første heltallet sekvensen er 1. Med andre ord er u 1 1. ) Det andre heltallet sekvensen er 1. Med andre ord er u 1. 3) La m være et naturlg tall slk at m. Anta at det -te heltallet sekvensen, det vl s u, har bltt defnert for alle de naturlge tallene slk at m. Da defnerer v heltallet u m+1 tl å være u m 1 + u m. Merknad Steg 1) og Steg ) Defnsjon fullfører, ved å la r være, Steg 1) Termnolog Steg 3) Defnsjon fullfører, ved å la r være, Steg ) Termnolog Merknad La oss se hvordan algortmen Merknad ser ut for sekvensen av Fbonacctall. ) Ut fra Steg 1) Defnsjon er 1 det første heltallet sekvensen. ) Ut fra Steg ) Defnsjon er 1 det andre heltallet sekvensen. ) Fra ), ) og Steg 3) Defnsjon , følger det at er det tredje heltallet sekvensen. v) Fra ), ) og Steg 3) Defnsjon , følger det at er det fjerde heltallet sekvensen. v) Fra ), v) og Steg 4) Defnsjon , følger det at + 3 er det femte heltallet sekvensen. v) Slk fortsetter v. Dermed er sekvensen av Fbonacctall: 1, 1,, 3,, 8, 13, 1, 34,.... Termnolog La n være et naturlg tall. Heltallet u n sekvensen av Fbonacctall kalles det n-te Fbonacctallet. Notasjon La n være et naturlg tall. I resten av dette kapttelet kommer alltd u n tl å betegne det n-te Fbonacctallet. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er u 1 + u + + u n u n

37 1.11 Fbonacctall Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1. I dette tlfellet er utsagnet at u 1 u Sden u 1 1 og u 1+ 1 u , er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n er et gtt naturlg tall m. Således har det bltt bevst at u 1 + u + + u m u m+ 1. V gjør følgende observasjoner. 1) Fra antakelsen at følger det at u 1 + u + + u m u m+ 1, u 1 + u + + u m + u m+1 u m+ 1) + u m+1 u m+ + u m+1 1. ) Ut fra defnsjonen tl sekvensen av Fbonacctall er Fra 1) ) deduserer v at u m+3 u m+ + u m+1. u 1 + u + + u m + u m+1 u m+3 1. Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at u 1 + u u 4 1, altså at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at u 1 + u + u 3 u 1, altså at

38 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n 4, fastslår Propossjon at u 1 + u + u 3 + u 4 u 6 1, altså at Eksempel Når n 9, fastslår Propossjon at u 1 + u + + u 9 u 11 1, altså at Merknad Den vktgste delen av dette bevset er lgnngen Det er her v benytter antakelsen at u 1 + u + + u m + u m+1 u m+ 1) + u m+1. u 1 + u + + u m u m+ 1. Propossjon La n være et naturlg tall slk at n. Da er u n u n+1 u n 1 + 1) n 1. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n. I dette tlfellet er utsagnet at u u +1 u 1 + 1) 1. Sden u 1 1 og u +1 u 1 + 1) 1 u 3 u er dette sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n et gtt naturlg tall m slk at m. Således har det bltt bevst at V gjør følgende observasjoner. 1, u m u m+1 u m 1 + 1) m 1. 38

39 1.11 Fbonacctall 1) Ut fra defnsjonen tl sekvensen av Fbonacctall er Derfor er u m+1 u m + u m 1. u m+1 u m+ u m u m+1 u m + u m 1 ) u m+ u m u m+1 u m + u m+1 u m 1 u m+ u m u m u m+1 u m+ ) + u m+1 u m 1. ) Ut fra defnsjonen tl sekvensen av Fbonacctall er u m+ u m+1 + u m. Derfor er u m+1 u m+ u m. V deduserer at u m u m+1 u m+ ) + u m+1 u m 1 u m + u m+1 u m 1. 3) Fra antakelsen at u m u m+1 u m 1 + 1) m 1, følger det at u m + u m+1 u m 1 1) m 1 1) 1) m 1 1) m 1+1 1) m. Fra 1) 3) deduserer v at u m+1 u m+ u m 1) m. Derfor er u m+1 u m+ u m + 1) m. Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall slk at n. Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at

40 1 Induksjon og rekursjon Eksempel Når n 4, fastslår Propossjon at 3 1. Eksempel Når n 9, fastslår Propossjon at Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon er Steg 3). Det er her v benytter antakelsen at u m u m+1 u m 1 + 1) m Bnets formel for Fbonacctallene Merknad Nå skal v fnne en formel for det n-te Fbonacctallet. Propossjon La x være en løsnng tl lgnngen x x 1 0. La n være et naturlg tall slk at n. Da er x n xu n + u n 1. Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n. I dette tlfellet er utsagnet at x xu + u 1. Sden u 1 1 og u 1, er Ut fra antakelsen at er xu + u 1 x x + 1. x x 1 0, x x + 1. Dermed er utsagnet sant. Anta nå at propossjonen har bltt bevst for et gtt heltall m slk at m. Således har det bltt bevst at x m xu m + u m 1. V gjør følgende observasjoner. 1) Fra antakelsen at x m xu m + u m 1 følger det, ved å gange begge sdene denne lgnngen med x, at x m+1 x u m + xu m 1. 40

41 1.1 Bnets formel for Fbonacctallene ) Sden x er en løsnng tl lgnngen x x 1 0, er x x + 1. Fra 1) ) deduserer v at Nå gjør v følgende observajoner. 1) V har: x m+1 x + 1)u m + xu m 1. x + 1)u m + xu m 1 xu m + u m + xu m 1 xu m + xu m 1 + u m xu m + u m 1 ) + u m. ) Ut fra defnsjonen tl sekvensen av Fbonacctall er Fra 1) ) deduserer v at u m+1 u m + u m 1. x + 1)u m + xu m 1 xu m+1 + u m. For å oppsummere bevset så langt, har v fastslått at x m+1 x + 1)u m + xu m 1 og at V deduserer at x + 1)u m + xu m 1 xu m+1 + u m. x m+1 xu m+1 + u m. Dermed er propossjonen sann når n m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann for alle naturlge tall n slk at n. Eksempel La x være en løsnng tl lgnngen Når n 3, fastslår Propossjon 1.1. at x x 1 0. x 3 u 3 x + u x

42 1 Induksjon og rekursjon Eksempel La x være en løsnng tl lgnngen Når n, fastslår Propossjon 1.1. at x x 1 0. x u x + u x + 3 Eksempel La x være en løsnng tl lgnngen Når n 7, fastslår Propossjon 1.1. at x x 1 0. x 7 u 7 x + u 6 13x + 8 Eksempel La x være en løsnng tl lgnngen Når n 9, fastslår Propossjon 1.1. at x x 1 0. x 9 u 9 x + u 8 34x + 1. Lemma Tallene 1+ og 1 er løsnnger tl lgnngen x x 1 0. Bevs. For å bevse at 1+ er en løsnng tl lgnngen regner v som følger: x x 1 0, 1 + ) 1 + ) )

43 1.1 Bnets formel for Fbonacctallene For å bevse at 1 er en løsnng tl lgnngen x x 1 0, regner v som følger: 1 ) 1 ) ) Merknad Tallet 1+ kalles noen ganger det gyldne sntt. Propossjon La n være et naturlg tall. Da er u n ) n 1 ) n ). Bevs. Fra Propossjon 1.1. og Lemma følger det at 1 + ) n 1 + ) u n + u n 1, og at 1 ) n 1 ) u n + u n 1. 43

44 1 Induksjon og rekursjon Ved å benytte oss av dsse faktaene, regner v som følger: 1 + ) n 1 ) n 1 + ) u n + u n ) u n u n 1 ) 1 ) u n u n 1 ) u n ) u n u n. u n Dermed har v bevst at 1 + ) n 1 ) n u n. Ved å dele begger sdene denne lgnngen med, deduserer v at propossjonen er sann. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at ) ) Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at ) 3 ) Eksempel Når n 6, fastslår Propossjon at ) 6 ) Eksempel Når n 9, fastslår Propossjon at ) 9 )

45 1.1 Bnets formel for Fbonacctallene Termnolog Lgnngen Propossjon kalles Bnets formel. Merknad Flere fakta kan deduseres fra Propossjon Etter noen forberedelser skal se på et eksempel: Propossjon Lemma V har: 1 + ) 1 ) 1. Bevs. V regner som følger: 1 + ) 1 ) ) ) Lemma V har: ) 1 ) 1. Bevs. V gjør følgende observasjoner. 1) Ut fra Eksempel er ) 1 ). Ved å gange begge sdene av denne lgnngen med 1, følger det at ) 1 ). 4

46 1 Induksjon og rekursjon ) V har: ) 1 + ) 1 + ) 1 ) 1 ) 1 ) Fra 1) ) deduserer v at ) 1 ). Propossjon La n være et naturlg tall. Da er u n+ u n u n+. Bevs. For å gjøre bevset lettere å lese, la x være 1+, og la y være 1. V gjør følgende observasjoner. 1) La m være et naturlg tall. Ut fra Propossjon er u m 1 x m y m ). Derfor er u m ) 1 x m y m ) 1 xm y m ) x m y m ) 1 x m x m y m + y m) 1 x m xy) m + y m). ) Ut fra Lemma er xy) m 1) m. 46

47 1.1 Bnets formel for Fbonacctallene Fra 1) ) deduserer v at u m 1 x m 1) m + y m). Dermed er og er u n+ 1 u n 1 x n 1) n + y n) x n+) 1) n+ + y n+)). V deduserer at u n+ u n 1 x n+) 1) n+ + y n+)) 1 x n 1) n + y n) 1 x n+) 1) n 1) + y n+) x n + 1) n y n) 1 x n+) + y n+) x n y n 1) n + 1) n) 1 x n+) + y n+) x n y n) Dermed er u n+ u n 1 x n+) + y n+) x n y n). Nå gjør v følgende observasjoner. 1) Ut fra Lemma er Derfor er 1 x n+) + y n+) x n y n) 1 x y xy) 1) 1. x n+) + y n+) x y x n x y y n) 1 x n+4 + y n+4 y x n+ x y n+) 1 x y ) x n+ y n+) ) Ut fra Lemma er Derfor er 1 x y ) 1. 1 x y ) x n+ y n+) 1 x n+ y n+). 47

48 1 Induksjon og rekursjon 3) Ut fra Propossjon er u n+ 1 x n+ y n+). V deduserer fra 1) 3) at 1 x n+) + y n+) x n y n) x n+. For å oppsummere bevset så langt, har v fastslått at u n+ u n 1 x n+) + y n+) x n y n) og at V deduserer at 1 x n+) + y n+) x n y n) x n+. u n+ u n u n+. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at Eksempel Når n 3, fastslår Propossjon at 1. Eksempel Når n, fastslår Propossjon at Varanter av nduksjon Merknad Det fnnes mange varanter av nduksjon. Noen av dsse kalles noen ganger sterk nduksjon, men v skal kke benytte denne termnologen. Nå skal v se på de vktgste varantene for oss. Termnolog La c være et heltall slk at c 0. Anta at v har et gtt matematsk utsagn for hvert heltall større enn eller lkt et gtt heltall r. Anta dessuten at v ønsker å bevse utsagnet for hvert av dsse heltallene. Induksjon ser at v kan gjøre det på følgende måte: 1) Sjekk om utsagnet er sant for alle heltallene r, r + 1,..., r + c. 48

49 1.13 Varanter av nduksjon ) Hvs det antas at utsagnet har bltt bevst for alle heltallene m, m 1,..., m c, hvor m er et gtt heltall som er større enn eller lkt r + c, bevs at utsagnet er sant for heltallet m + 1. Merknad Induksjon som beskrevet Termnolog 1.4. er det samme som nduksjon som beskrevet Termnolog for c 0. Merknad Idéen bak nduksjon som beskrevet Termnolog er at Steg 1) og Steg ) gr oss følgende algortmen for å konstruere et bevs for utsagnet for et hvlket som helst heltall m større enn r: ) Steg 1) Termnolog fastslår at v kan bevse utsagnet for alle heltallene m slk at r m r + c; ) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r+c+1; ) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r+c+; v) Steg ) Termnolog fastslår at v da kan bevse utsagnet når m r+c+3; v) Slk fortsetter tl v når heltallet v er nteressert. Merknad Algortmen Merknad er det samme som algortmen Merknad for c 0. Propossjon La x være et heltall, og la n være et naturlg tall. Da er x n 1 x 1) x n 1 + x n + + x + 1 ). Bevs. Først sjekker v om propossjonen er sann når n 1 og når n. 1) Når n 1 er utsagnet at Dette er sant. ) Når n er utsagnet at Sden er dette sant. x 1 1 x 1) 1. x 1 x 1)x + 1). x + 1)x 1) x + x x 1 x 1, Anta nå at propossjonen har bltt bevst når n m og når n m 1, hvor m er et naturlg tall slk at m. Således har det bltt bevst at x m 1 x 1) x m 1 + x m + + x + 1 ) og at ) x m 1 1 x 1) x m 1) 1 + x m 1) + + x + 1. V gjør følgende observasjoner. 49

50 1 Induksjon og rekursjon 1) V har: ) Fra antakelsen at x + 1) x m 1) x x m 1 1 ) x m+1 x + x m 1 x m + x x m+1 1. x m 1 x 1) x m 1 + x m + + x + 1 ) m 1 ) x 1) x, og antakelsen at ) x m 1 1 x 1) x m 1) 1 + x m 1) + + x + 1 x 1) x m + x m x + 1 ) m ) x 1) x, 0 0 følger det at x + 1) x m 1) x x m 1 1 ) m 1 ) m ) x + 1)x 1) x xx 1) x x 1) x 1) x + 1) x m m 1 ) x x 0 x ) + m ) x 1) x + m 1 0 m 1 m ) x 1) x m ) ) x 1) x + 1 m 0 x ) x ) x 0 m 1 0 m 1 ) x x 1) x m + x m x + 1 ) x )) m 0 x )) m 1 x )) )) x Fra 1) ) deduserer v at x m+1 1 x 1) x m + x m x + x + 1 ). 0

51 1.13 Varanter av nduksjon Dermed er propossjonen sann når n er det naturlge tallet m + 1. Ved nduksjon konkluderer v at propossjonen er sann når n er et hvlket som helst naturlg tall slk at n. Eksempel La x være et heltall. Når n 3, fastslår Propossjon at Når for eksempel x, fastslår den at x 3 1 x 1) x + x + 1 ) ). Eksempel La x være et heltall. Når n, fastslår Propossjon at Når for eksempel x 3, fastslår den at x 1 x 1) x 4 + x 3 + x + x + 1 ) ). Merknad Det er lett å bevse Propossjon uten å benytte nduksjon. V kan regne som følger: x 1) x n 1 + x n + + x + 1 ) x x n 1 + x n + + x + 1 ) x n 1 + x n + + x + 1 ) x n + x n x + x ) x n 1 + x n + + x + 1 ) x n 1. Dette er et helt gyldg bevs! V benyttet lgnende algebraske manpulasjoner bevset v ga for Poenget med bevset v ga for Propossjon er å forklare hvordan en gjennomfører et bevs som benytter varanten av nduksjon hvor c 1 og r 1 Termnolog Merknad Den vktgste delen av bevset for Propossjon er lgnngen x + 1) x m 1) x x m 1 1 ) m 1 ) m ) x + 1)x 1) x xx 1) x. Det er her v benytter både antakelsen at og antakelsen at x m 1 x 1) x m 1 1 x 1) m 1 0 m 0 0 x ) x ). 0 1

52 1 Induksjon og rekursjon Merknad Kanskje ser det ut som Observasjon 1) bevset for Propossjon har bltt tatt ut av løse luften. Det er sant at v må være ltt kreatv for å fnne lgnngen denne observasjonen, og å skjønne at den har noe å s. V kan se på lgnngen Observasjon 1) på følgende måte. V ønsker å bevse propossjonen når n m + 1. Da må v jobbe med uttrykket x m+1 1. I tllegg har v antatt at propossjonen er sann når n m og n m 1, altså at x m 1 x 1) m 1 0 x ) og at x m 1 1 x 1) m 0 x ). Hvs v fnner en lgnng med x m+1 på en sde, og hvor både x m 1 og x m 1 1 dukker opp på den andre sden, kan v benytte begge antakelsene for å s noe om x m+1. Det er ngen generell oppskrft for å fnne en slk lgnng, men Observasjon 1) klarte v det. Merknad Hvs manpulasjonene med summetegn bevset for Propossjon ser ltt forvrrende ut, følg rådet gtt Merknad Skrv for eksempel m x som og skrv som x m + x m x + x, m 1 0 x x m 1 + x m + + x + 1. Merknad La oss se hvordan algortmen Merknad ser ut for Propossjon V benytter varanten av nduksjon hvor c 1 og r 1. V begynner med å sjekke om propossjonen er sann for alle de naturlge tallene r, r + 1,..., r + c, det vl s når n 1 og når n. V sjekker altså at x 1 1 x 1 og at x 1 x 1)x + 1). Så argumenterer v som bevset for Propossjon , ved å erstatte m med. V gjør altså følgende observasjoner.

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Alternerende rekker og absolutt konvergens

Alternerende rekker og absolutt konvergens Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne

Detaljer

www.olr.ccli.com Introduksjon Online Rapport Din trinn for trinn-guide til den nye Online Rapporten (OLR) Online Rapport

www.olr.ccli.com Introduksjon Online Rapport Din trinn for trinn-guide til den nye Online Rapporten (OLR) Online Rapport Onlne Rapport Introduksjon Onlne Rapport www.olr.ccl.com Dn trnn for trnn-gude tl den nye Onlne Rapporten (OLR) Vktg nfo tl alle mengheter og organsasjoner Ingen flere program som skal lastes ned Fortløpende

Detaljer

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73

Detaljer

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober

Forelesning 14 torsdag den 2. oktober Forelesning 14 torsdag den 2. oktober 4.1 Primtall Definisjon 4.1.1. La n være et naturlig tall. Da er n et primtall om: (1) n 2; (2) de eneste naturlige tallene som er divisorer til n er 1 og n. Eksempel

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Prvate gjøremål på jobben Spørsmål: Omtrent hvor mye td bruker du per dag på å utføre prvate gjøremål arbedstden (n=623) Mer

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 015 Antall dager med hjemmekontor Spørsmål: Omtrent hvor mange dager jobber du hjemmefra løpet av en gjennomsnttsmåned (n=63) Prosent

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Løsnnger lle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Hypotesetestng testng av enkelthypoteser Oppgave 1.* Når v tester enkelthypoteser ved hjelp

Detaljer

Analyse av strukturerte spareprodukt

Analyse av strukturerte spareprodukt NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, Høst 2007 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe Veleder: Professor Petter Bjerksund Utrednng fordypnngs-/spesalområdet: Fnansell

Detaljer

Sluttrapport. utprøvingen av

Sluttrapport. utprøvingen av Fagenhet vderegående opplærng Sluttrapport utprøvngen av Gjennomgående dokumenterng fag- og yrkesopplærngen Februar 2012 Det å ha lett tlgjengelg dokumentasjon er en verd seg selv. Dokumentasjon gr ungedommene

Detaljer

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm COLUMBUS Lærervelednng Norge og fylkene ved Rolf Mkkelsen Cappelen Damm Innlednng Columbus Norge er et nteraktvt emddel som nneholder kart over Norge, fylkene og Svalbard, samt øvelser og oppgaver. Det

Detaljer

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch.

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch. NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIGE A Hans-Wlhelm Mørch. SANNSYNLIGHETER FOR HVORAN TRUMFEN(ELLER ANRE SORTER) ER FORELT Anta at du mangler n kort trumffargen. Ha er sannsynlgheten for at est har a a dem? La

Detaljer

Eksamen 31.05.2016. Nynorsk side 2 4. Bokmål side 5 7. Felles vedlegg side 9 17

Eksamen 31.05.2016. Nynorsk side 2 4. Bokmål side 5 7. Felles vedlegg side 9 17 Eksamen 31.05.2016 NOR1211-NOR1231 Norsk hovudmål/hovedmål NOR1218-NOR1238 Norsk elev samsk som andrespråk Elevar og prvatstar / Elev og prvatst Nynorsk sde 2 4. Bokmål sde 5 7. Felles vedlegg sde 9 17

Detaljer

Forelesning 9 mandag den 15. september

Forelesning 9 mandag den 15. september Forelesning 9 mandag den 15. september 2.6 Største felles divisor Definisjon 2.6.1. La l og n være heltall. Et naturlig tall d er den største felles divisoren til l og n dersom følgende er sanne. (1) Vi

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen HG mars 0 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset.

Detaljer

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt?

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt? Norske CO 2 -avgfter - dfferensert eller unform skatt? av Sven Egl Ueland Masteroppgave Masteroppgaven er levert for å fullføre graden Master samfunnsøkonom Unverstetet Bergen, Insttutt for økonom Oktober

Detaljer

Jobbskifteundersøkelsen Utarbeidet for Experis

Jobbskifteundersøkelsen Utarbeidet for Experis Jobbskfteundersøkelsen 15 Utarbedet for Expers Bakgrunn Oppdragsgver Expers, ManpowerGroup Kontaktperson Sven Fossum Henskt Befolknngsundersøkelse om holdnnger og syn på jobbskfte Metode Webundersøkelse

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00 MASTER I IDRETTSVITESKAP 0/04 Indvduell skrftlg eksamen MAS 40- Statstkk Trsdag 9. oktober 0 kl. 0.00-.00 Hjelpemdler: kalkulator Eksamensoppgaven består av 9 sder nkludert forsden Sensurfrst: 30. oktober

Detaljer

SNF-rapport nr. 19/07

SNF-rapport nr. 19/07 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe SNF-prosjekt nr. 7000 SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER 2007 Dette eksemplar er fremstlt etter avtale

Detaljer

EKSAMEN 3.SEMESTER RAPPORT BARNAS BOKFESTIVAL I BERGEN

EKSAMEN 3.SEMESTER RAPPORT BARNAS BOKFESTIVAL I BERGEN EKSAMEN 3.SEMESTER RAPPORT BARNAS BOKFESTIVAL I BERGEN PROSJEKTEKSAMEN 3.SEMESTER : FESTIVAL Oppgaven gkk ut på å promotere en barnebokfestval hjembyen vår, og stedsnavnet skulle være med logoen. Produkter

Detaljer

Studieprogramundersøkelsen 2013

Studieprogramundersøkelsen 2013 1 Studeprogramundersøkelsen 2013 Alle studer skal henhold tl høgskolens kvaltetssystem være gjenstand for studentevaluerng mnst hvert tredje år. Alle studentene på studene under er oppfordret tl å delta

Detaljer

Kopi til. star ovenfor som ønsket effekt gjennom å understreke den vedvarende. fremtiden. tillegg er tre elementer; i

Kopi til. star ovenfor som ønsket effekt gjennom å understreke den vedvarende. fremtiden. tillegg er tre elementer; i - / BEFALETS FELLESORGANISASJON Forsvarsstaben Var saksbehander. Kop tl Var referanse Jon Vestl [Koptl] 2015/JV/jv 14.09.2015 953 65 907, Jon.vestl@bfo.no Internt Intern kop tl Tdlgere referanse Var Tdlgere

Detaljer

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder.

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder. 40 Metoder for å måle avkastnng Totalavkastnngen tl Statens petroleumsfond blr målt med stor nøyaktghet. En vktg forutsetnng er at det alltd beregnes kvaltetsskret markedsverd av fondet når det kommer

Detaljer

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk. ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl

Detaljer

Eksempel på poengbergegning fra grunnskolen til Vg1

Eksempel på poengbergegning fra grunnskolen til Vg1 Eksempel på poengbergegnng fra grunnskolen tl Vg1 Etter skrv: "Førng av vtnemål og kompetansebevs for grunnskolen Kunnskapsløftet" av 09.01.2015. Sde 5 Elever som kke får standpunktkarakter på grunn av

Detaljer

2007/30. Notater. Nina Hagesæther. Notater. Bruk av applikasjonen Struktur. Stabsavdeling/Seksjon for statistiske metoder og standarder

2007/30. Notater. Nina Hagesæther. Notater. Bruk av applikasjonen Struktur. Stabsavdeling/Seksjon for statistiske metoder og standarder 007/30 Notater Nna Hagesæter Notater Bruk av applkasjonen Struktur Stabsavdelng/Seksjon for statstske metoder og standarder Innold 1. Innlednng... 1.1 Hva er Struktur, og va kan applkasjonen brukes tl?...

Detaljer

Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER

Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER Terrasser TRAPPER OG REKKVERK LAG DIN EGEN UTEPLASS! VÅRE PRODUKTER HAR LANG LEVETID OG DU VIL HA GLEDE I DET DU HAR BYGGET I MANGE ÅR FREMOVER Malmfuru terrasse Malmfuru er den mest mljøvennlge terrassen

Detaljer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 orsk akkredterng Dok.d.: VII..5 A Dok. 5: Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Utarbedet av: Saeed Behdad Godkjent av: ICL Versjon:.00 Mandatory/Krav Gjelder fra: 09.05.008 Sdenr: av 7 A

Detaljer

Medarbeiderundersøkelsen 2009

Medarbeiderundersøkelsen 2009 - 1 - Medarbederundersøkelsen 2009 Rapporten er utarbedet av B2S AS - 2 - Innholdsfortegnelse Forsde 1 Innholdsfortegnelse 2 Indeksoverskt 3 Multvarate analyser Regresjonsanalyse 5 Regresjonsmodell 6 Resultater

Detaljer

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid Makroøkonom Publserngsoppgave Uke 48 November 29. 2009, Rev - Jan Erk Skog Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td I utsagnet Fast valutakurs, selvstendg

Detaljer

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir)

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir) 2009/48 Notater Bjørn Gabrelsen, Magnar Lllegård, Bert Otnes, Brth Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdr) Notater Indvdbasert statstkk for pleeog omsorgstjenesten kommunene (IPLOS) Foreløpge resultater

Detaljer

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme,

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme, Løsnngssksse tl eksamen TFY11 Elektromagnetsme, høst 003 (med forbehold om fel) Oppgave 1 a) Ved elektrostatsk lkevekt har v E = 0 nne metall. Ellers bruker v Gauss lov med gaussflate konsentrsk om lederkulen.

Detaljer

*** Spm. 841 *** Hvilke former for sparing og pengeplasseringer for folk flest kan du nevne?

*** Spm. 841 *** Hvilke former for sparing og pengeplasseringer for folk flest kan du nevne? *** Spm. 841 *** Hvlke former for sparng og pengeplassernger for folk flest kan du nevne? Ch2 nvå(w): 5.0% Kjønn Alder Husstandsnntekt Landsdel Utdannng Radene er rangert Vderegåen Møre Ung- 60 år Under

Detaljer

Er verditaksten til å stole på?

Er verditaksten til å stole på? NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 2006 Er verdtaksten tl å stole på? En analyse av takstmannens økonomske relasjon tl eendomsmegler av Krstan Gull Larsen Veleder: Professor Guttorm Schjelderup Utrednng

Detaljer

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet Auksjoner og mljø: Prvat nformasjon og kollektve goder Erk Romstad Handelshøyskolen Auksjoner for endra forvaltnng Habtatvern for bologsk mangfold Styresmaktene lyser ut spesfserte forvaltnngskontrakter

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende: Makroøkonom Innlednng Mundells trlemma 1 går ut på følgende: Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td Av de tre faktorene er hypotesen at v kun kan velge

Detaljer

BARNAS BOKFESTIVAL I BERGEN. Innhold

BARNAS BOKFESTIVAL I BERGEN. Innhold DESIGNMANUAL Innhold Forord Sgnaturlogo, varasjoner Rett og gal bruk av logo Oppbyggng og plasserng av logo, samt tlleggselementer Farger Typograf Plakater Program og bllettarmbånd T-skjorter... 3...4-6...7...

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 0102 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 0102 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN. NOVEBER 0 Tellngsresultater Tlbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 00 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO ERNADER TIL ART OG TABELLER I seren "Tellngsresultater - Tlbakegående tall - Prognoser"

Detaljer

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet Forelesnng NO kapttel 4 Skjermet og konkurranseutsatt vrksomhet Det grunnleggende formål med eksport: Mulggjøre mport Samfunnsøkonomsk balanse mellom eksport og mportkonkurrerende: Samme valutanntjenng/besparelse

Detaljer

Årbeidsretta tiltak og tjenester

Årbeidsretta tiltak og tjenester skal være ledende og framtdsrettet nnen tlrettelagt arbed og arbedsrelatert opplærng Hallngdal Å R S R Å P P O R T 2 0 5 Årbedsretta tltak og tjenester INNHOLD SIDE Innlednng Om : Eerforhold og lokalserng

Detaljer

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober

Forelesning 21 torsdag den 30. oktober Forelesning 21 torsdag den 30. oktober 5.12 Mersenne-primtall Merknad 5.12.1. Nå kommer vi til å se på et fint tema hvor kvadratisk gjensidighet kan benyttes. Terminologi 5.12.2. La n være et naturlig

Detaljer

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:

Detaljer

DEN NORSKE AKTUARFORENING

DEN NORSKE AKTUARFORENING DEN NORSKE AKTUARFORENING _ MCft% Fnansdepartementet Postboks 8008 Dep 0030 OSLO Dato: 03.04.2009 Deres ref: 08/654 FM TME Horngsuttalelse NOU 2008:20 om skadeforskrngsselskapenes vrksomhet. Den Norske

Detaljer

En teoretisk studie av tv-markedets effisiens

En teoretisk studie av tv-markedets effisiens NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 007 Utrednng fordypnng: Økonomsk analyse Veleder: Hans Jarle Knd En teoretsk stude av tv-markedets effsens av Odd Hennng Aure og Harald Nygård Bergh Denne utrednngen

Detaljer

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser Alderseffekter NVEs kostnadsnormer - evaluerng og analyser 2009 20 06 20 10 20 10 20 10 21 2011 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 R A P P O R T 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20

Detaljer

HI-FI KOMPONENTSYSTEM

HI-FI KOMPONENTSYSTEM VENNLIGST MERK: Dne høyttalere (følger kke med) kan være forskjellge fra de som er llustrert dette nstruksjonsheftet. modell RNV70 HI-FI KOMPONENTSYSTEM Vedlkehold og spesfkasjoner Du MÅ lese bruksanvsnngen

Detaljer

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse Ltt om emprsk Markedsavgrensnng form av sjokkanalyse Frode Steen Konkurransetlsynet, 27 ma 2011 KT - 27.05.2011 1 Sjokkanalyse som markedsavgrensnngsredskap Tradsjonell korrelasjonsanalyse av prser utnytter

Detaljer

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater 009/30 Notater Mare Lllehammer Notater Uskkerhetsanalyse or utslpp av arlge stoer vdelng or IT og metode/seksjon or statstske metoder og standarder Innhold 1. Bakgrunn og ormål.... Metode....1 Fastsettelse

Detaljer

Rapport 2008-031. Benchmarkingmodeller. incentiver

Rapport 2008-031. Benchmarkingmodeller. incentiver Rapport 28-3 Benchmarkngmodeller og ncentver CO-rapport nr. 28-3, Prosjekt nr. 552 ISS: 83-53, ISB 82-7645-xxx-x LM/ÅJ, 29. februar 28 Offentlg Benchmarkngmodeller og ncentver Utarbedet for orges vassdrags-

Detaljer

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL Norman & Orvedal, kap. 1-5 Bævre & Vsle Generell lkevekt En lten, åpen økonom Nærngsstruktur Skjermet versus konkurranseutsatt vrksomhet Handel og komparatve fortrnn

Detaljer

MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon

MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon Magnus Bakke Botnan 21. august 2012 Magnus Bakke Botnan () MA1301 Uke 1: In(tro)duksjon 21. august 2012 1 / 14 Introduksjon Praktisk Praktisk Faglærer Magnus B. Landstad: magnus.landstad@math.ntnu.no

Detaljer

Masteroppgave i statistikk. GAMLSS-modeller i bilforsikring. Hallvard Røyrane-Løtvedt Kandidatnr. 160657

Masteroppgave i statistikk. GAMLSS-modeller i bilforsikring. Hallvard Røyrane-Løtvedt Kandidatnr. 160657 Masteroppgave statstkk GAMLSS-modeller blforskrng Hallvard Røyrane-Løtvedt Kanddatnr. 160657 UNIVERSITETET I BERGEN MATEMATISK INSTITUTT Veleder: Hans Julus Skaug 1. Jun 2012 1 GAMLSS-modeller blforskrng

Detaljer

Geometriske operasjoner

Geometriske operasjoner Geometrske operasjoner INF 23 27.2.27 Kap. 9 (samt 5.5.2) Geometrske operasjoner Affne transformer Interpolasjon Samregstrerng av blder Endrer på pkslenes possjoner ransformerer pkselkoordnatene (x,) tl

Detaljer

Kultur- og mediebruk blant personer med innvandrerbakgrunn Statistisk sentralbyrå Statistics Norway

Kultur- og mediebruk blant personer med innvandrerbakgrunn Statistisk sentralbyrå Statistics Norway Odd Frank Vaage Kultur- og medebruk blant personer med nnvandrerbakgrunn Resultater Kultur- og medebruksundersøkelsen 2008 og tlleggsutvalg blant nnvandrere og norskfødte med nnvandrerforeldre Statstsk

Detaljer

L. as Hold ARNTZEN BESCHE JURIDISK BETENKNING OM LOVFORSLAG OM ENDRING AV FORVARSPERSONELLOVEN. Befalets Fellesotganisasjon Oslo, 15.

L. as Hold ARNTZEN BESCHE JURIDISK BETENKNING OM LOVFORSLAG OM ENDRING AV FORVARSPERSONELLOVEN. Befalets Fellesotganisasjon Oslo, 15. BESCHE Befalets Fellesotgansasjon Oslo, 15. apr 2013 v/ràdgver Tom Skyrud 0105 Oslo Ansvarg advokat: Lars E-post: LarsHcIo@adeb no LHO/ho 4655670.1 114963 /59768 Hoo JURIDISK BETENKNING OM LOVFORSLAG OM

Detaljer

Arbeidpartiets stortingsgruppe, tilkn),ttet informasjons- og kommunikasjonsavdelingen. Trainee-perioden varer i tre måneder, så det er vel

Arbeidpartiets stortingsgruppe, tilkn),ttet informasjons- og kommunikasjonsavdelingen. Trainee-perioden varer i tre måneder, så det er vel TRÅNEE TRANEE Som tranee for Arbederpartets stortngsgruppe har Brgt Skarsten har.net mdt smørøyet. 23-årngen har tatt ett års pause fra studene statsvtenskap ved Unverstetet Oslo, ford hun har påtatt seg

Detaljer

SIF4012 og MNFFY103 høst 2002: Sammendrag uke 44 (Alonso&Finn )

SIF4012 og MNFFY103 høst 2002: Sammendrag uke 44 (Alonso&Finn ) SIF402 og MNFFY03 høst 2002: Sammendrag uke 44 (Alonso&Fnn 26.4-26.6) Magnetsme To effekter når et materale påvrkes av et ytre magnetfelt B:. nnrettng av permanente atomære (evt. molekylære) magnetske

Detaljer

Eksperter i Team Landsby 27, gruppe 3 Stein En mangelvare? Prosjektrapport, Eksperter i Team Landsby 27, Gruppe 3 Stein- en mangelvare?

Eksperter i Team Landsby 27, gruppe 3 Stein En mangelvare? Prosjektrapport, Eksperter i Team Landsby 27, Gruppe 3 Stein- en mangelvare? Eksperter Team Landsby 27, gruppe 3 Sten En mangelvare Prosjektrapport, Eksperter Team Landsby 27, Gruppe 3 Sten- en mangelvare FRA STEIN TIL STØV Hege Merete Aukrust Lene Krstne Johansen Stne Lberg Sannes

Detaljer

DEL 2 HÅNDBOK FOR BØ SKYTTARLAG

DEL 2 HÅNDBOK FOR BØ SKYTTARLAG DEL 2 HÅNDBOK FOR BØ SKYTTARLAG VEDLEGG tl DEL 1 Rutner for Leder Bø Skytterlag 1. Leder velges av årsmøtet og velges for ett år. 2. Leder har det overordnede lederansvaret av Bø skyttarlag og har det

Detaljer

Et detaljert induksjonsbevis

Et detaljert induksjonsbevis Et detaljert induksjonsbevis Knut Mørken 0. august 014 1 Innledning På forelesningen 0/8 gjennomgikk vi i detalj et induksjonsbevis for at formelen n i = 1 n(n + 1) (1) er riktig for alle naturlige tall

Detaljer

Innhold 1 Generelt om strategien...3 2 Strategiens resultatmål...7 3 Igangsatte tiltak...15 4 Annen aktivitet...23

Innhold 1 Generelt om strategien...3 2 Strategiens resultatmål...7 3 Igangsatte tiltak...15 4 Annen aktivitet...23 Innhold 1 Generelt om strategen...3 1.2 Innlednng...3 1.3 Sammendrag...4 1.4 Kunnskapsutvklng...5 Bolgsosalt studum...5 Kollegavurdernger...5 Erfarngsutvekslng...5 På ve tl egen bolg vekker nternasjonal

Detaljer

FAUSKE KOMMUNE INNSTILLING: Sammendrag: TIL KOMMNE. II Sak nr.: 097/12 I DRIFTSUTVALG REFERATSAKER I PERIODEN SAKSPAPIR. orientering.

FAUSKE KOMMUNE INNSTILLING: Sammendrag: TIL KOMMNE. II Sak nr.: 097/12 I DRIFTSUTVALG REFERATSAKER I PERIODEN SAKSPAPIR. orientering. ' SAKSPAPIR FAUSKE KOMMUNE JouralpostID: 12/8728 I Arkv sakld.: 12/2060 Sluttbehandlede vedtaksnstans: Drftsutvalget II Sak nr.: 097/12 I DRIFTSUTVALG I I Saksansvarlg: Bert Vestvann Johnsen Dato: 17.10.2012

Detaljer

Postadresse: Pb. 8149 Dep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas vei 8 - Tlf. 02-466850. Bankgiro 0629.05.81247 - Postgiro 2 00 0214

Postadresse: Pb. 8149 Dep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas vei 8 - Tlf. 02-466850. Bankgiro 0629.05.81247 - Postgiro 2 00 0214 A "..'. REW~~~~~OO ~slnmtlre STATENS ARBESMLJØNSTTUTT Postadresse: Pb. 8149 ep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas ve 8 - Tlf. 02-466850. Bankgro 0629.05.81247 - Postgro 2 00 0214 Tttel: OPPLEE AV HEE OG

Detaljer

Referanseveiledning. Oppsett og priming

Referanseveiledning. Oppsett og priming Referansevelednng Oppsett og prmng Samle følgende utstyr før Oppsett: Én 500 ml eller 1000 ml pose/flaske med prmngløsnng (0,9 % NaCl med 1 U/ml heparn tlsatt) Én 500 ml eller 1000 ml pose med normalt

Detaljer

Alvdal Royal kledning

Alvdal Royal kledning Klednng STORT UTVALG AV KLEDNINGSPRODUKTER UNIK BEHANDLING AV HVERT PROSJEKT FOKUS PÅ MILJØVENNLIGE LØSNINGER Alvdal Royal klednng Vår bestselger når det gjelder kvaltet, levetd og prs. Lang levetd Begrenset

Detaljer

Avvisning av klage på offentlig anskaffelse

Avvisning av klage på offentlig anskaffelse Klagenemnda for offentlge anskaffelser Advokatfrmaet Haavnd AS Att. Maranne H. Dragsten Postboks 359 Sentrum 0101 Oslo Deres referanse Vår referanse Dato 1484867/2 2010/128 08.03.2011 Avvsnng av klage

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

INDUKSJONSPRINSIPPET MAT111 - H16

INDUKSJONSPRINSIPPET MAT111 - H16 INDUKSJONSPRINSIPPET MAT - H ANDREAS LEOPOLD KNUTSEN. Matematisk induksjon I læreboken står kun en liten trudelutt om matematisk induksjon i margen på side 0 (side 09 i utg. 7, side 08 i utg. ). Det er

Detaljer

INNVANDRERNE I ARBEIDSMARKEDET

INNVANDRERNE I ARBEIDSMARKEDET C v t a - n o t a t nr.7 / 2008 INNVANDRERNE I ARBEIDSMARKEDET Artkkel FNs ntnasjonale konvensjon om økonomske, sosale og kulturelle rettghet fastslår retten for enhv tl å ha en tlfredsstllende levestandard

Detaljer

Oppvarming og innetemperaturer i norske barnefamilier

Oppvarming og innetemperaturer i norske barnefamilier Ovarmng og nnetemeraturer norske barnefamler En analyse av husholdnngenes valg av nnetemeratur Henrette Brkelund Masterogave samfunnsøkonom ved Økonomsk Insttutt UNIVERSITETET I OSLO 13.05.2013 II ) Ovarmng

Detaljer

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning Bruksanvsnng System 2000 Art. Nr.: 0661 xx /0671 xx Innholdsfortegnelse 1. rmasjon om farer 2. Funksjon 2.1. Funksjonsprnspp 2.2. Regstrerngsområde versjon med 1,10 m lnse 2.3. Regstrerngsområde versjon

Detaljer

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken 2007/7 Raorter Reorts Bente alvorsen, Bodl M. Larsen og Runa Nesbakken Smulerng av usoldnngenes elektrstetsforbruk Dokumentason og anvendelser av mkrosmulerngsmodellen SE Statstsk sentralbyrå Statstcs

Detaljer

Norden HISTORISK OMPROFILERING. Konserninformasjon fra Posten Norge 6. september 2008

Norden HISTORISK OMPROFILERING. Konserninformasjon fra Posten Norge 6. september 2008 Norden HISTORISK OMPROFILERING To sterke merkevarer skal samarbed vnne fram Norge og Norden. Sde 2 Fargerk forvandlng Rødt og grønt, hånd hånd. Posten og Brng sne nye logoer spller på lag. Sde 6-7 Nytt

Detaljer

Rapport 2/2003. Marginalkostnader i jernbanenettet. Øystein Børnes Daljord

Rapport 2/2003. Marginalkostnader i jernbanenettet. Øystein Børnes Daljord Rapport 2/2003 Margnalkostnader jernbanenettet Øysten Børnes Daljord Stftelsen Frschsenteret for samfunnsøkonomsk forsknng Ragnar Frsch Centre for Economc Research Rapport 2/2003 Margnalkostnader jernbanenettet

Detaljer

Vamos a Orihuela! NYTT

Vamos a Orihuela! NYTT SKOLE NYTT SKOLEAVIS FOR DEN NORSKE SKOLEN I ROJALES, CIUDAD QUESADA 2013/2014 MARS NR. 7 Første del av mars vste seg fra sn beste sde med mye godt vær. I takt med at sola varmer øker uteaktvtetene på

Detaljer

Notater. Asif Hayat og Terje Tveeikrem Sæter. Prisindeks for rengjøringsvirksomhet 2008/49. Notater

Notater. Asif Hayat og Terje Tveeikrem Sæter. Prisindeks for rengjøringsvirksomhet 2008/49. Notater 2008/49 Notater Asf Hayat og Terje Tveekrem Sæter Notater Prsndeks for rengjørngsvrksomhet Avdelng for nærngsstatstkk/seksjon for bygg- og tjenestestatstkk Innhold 1. Innlednng... 2 2. Internasjonale

Detaljer

ECON 2915 forelesning 3. Malthus teori. Befolkningsvekst. Solow-modellen. Malthus teori. Befolkningsvekst i. Solowmodellen. Fredag 6.

ECON 2915 forelesning 3. Malthus teori. Befolkningsvekst. Solow-modellen. Malthus teori. Befolkningsvekst i. Solowmodellen. Fredag 6. forelesnng 3 Malthus teor. Befolknngsvekst ECON 2915 forelesnng 3 Malthus teor. Befolknngsvekst Solow-modellen. Fredag 6.september, 2013 forelesnng 3 Malthus teor. Befolknngsvekst Fgure 4.1: Relatonshp

Detaljer

Dårligere enn svenskene?

Dårligere enn svenskene? Økonomske analyser 2/2001 Dårlgere enn svenskene? Dårlgere enn svenskene? En sammenlgnng av produktvtetsveksten norsk og svensk ndustr * "Productvty sn t everythng, but n the long run t s almost everythng."

Detaljer

' FARA INNKALLING TIL ORDINÆR GENERALFORSAMLING (FARA ASA

' FARA INNKALLING TIL ORDINÆR GENERALFORSAMLING (FARA ASA INNKALLING TIL ORDINÆR GENERALFORSAMLING (FARA ASA Det nnkalles herved tl ordnær generalforsamlng FARA ASA den 24. aprl 2014, kl. 16.30 selskapets lokaler O.H. Bangs ve 70, 1363 Høvk. DAGSORDEN Generalforsamlngen

Detaljer

Lise Dalen, Pål Marius Bergh, Jenny-Anne Sigstad Lie og Anne Vedø. Energibruk î. næringsbygg 1995-1997 98/47. 11 Notater

Lise Dalen, Pål Marius Bergh, Jenny-Anne Sigstad Lie og Anne Vedø. Energibruk î. næringsbygg 1995-1997 98/47. 11 Notater 98/47 Notater 998 Lse Dalen, Pål Marus Bergh, Jenny-Anne Sgstad Le og Anne Vedø Energbruk î. nærngsbygg 995-997 Avdelng for økonomsk statstkk/seksjon for utenrkshandel, energ og ndustrstatstkk Innhold.

Detaljer

av teknetiun\-99m er stabilisert med en forbindelse med den generelle formel

av teknetiun\-99m er stabilisert med en forbindelse med den generelle formel NORGE (') [NO] [B] a» UTLEGNINGSSKRIFT M. 159342 STYRET FOR DET INDUSTRIELLE RETTSVERN (51) lm. Cl.' A 61 K 19/02 (21) Patentsøknad nr, 823G09 (22) Inngvelsesdag 29.10.82 (24) lopedag 29.10.82 (62)

Detaljer

Referanseveiledning. Oppsett og priming med forhåndstilkoblet slangesett

Referanseveiledning. Oppsett og priming med forhåndstilkoblet slangesett Referansevelednng Oppsett og prmng med forhåndstlkoblet slangesett Samle følgende utstyr før Oppsett: Én 500 ml eller 1000 ml pose/flaske med normalt saltvann med (1) enhet (U) heparn per mlllter (ml)

Detaljer

Adaptivt lokalsøk for boolske optimeringsproblemer

Adaptivt lokalsøk for boolske optimeringsproblemer Adaptvt lokalsøk for boolske optmerngsproblemer Lars Magnus Hvattum Høgskolen Molde Lars.M.Hvattum@hmolde.no Arne Løkketangen Høgskolen Molde Arne.Lokketangen@hmolde.no Fred Glover Leeds School of Busness,

Detaljer

Læreverk: MIDGARD 6 UKE TEMA KOMPETANSEMÅL LÆRINGSMÅL INNHOLD METODE VURDERING

Læreverk: MIDGARD 6 UKE TEMA KOMPETANSEMÅL LÆRINGSMÅL INNHOLD METODE VURDERING ÅRSPLAN I SAMFUNNSFAG FOR 6. TRINN 2014/2015. Utarbedet av: Espen Larsen Læreverk: MIDGARD 6 UKE TEMA KOMPETANSEMÅL LÆRINGSMÅL INNHOLD METODE VURDERING 34 35 36 37 38 Vkngtda fortelle om hovedtrekk ved

Detaljer

SNF-rapport nr. 23/05

SNF-rapport nr. 23/05 Sykefravær offentlg og prvat sektor av Margt Auestad SNF-prosjekt nr. 4370 Endrng arbedsforhold Norge Prosjektet er fnansert av Norges forsknngsråd SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER

Detaljer

Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet.

Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet. FORELESNING I ERMOYNMIKK ONSG 29.03.00 ema for forelesnngen var arnot-sykel (arnot-maskn) og entropbegrepet. En arnot-maskn produserer arbed ved at varme overføres fra et sted med en øy temperatur ( )

Detaljer

DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT. prisbestemmelsen

DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT. prisbestemmelsen DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT Fskebãtredernes forbund Postboks 67 6001 ALESUND Deres ref Var ref Dato 200600063- /BSS Leverngsplkt for torsketrálere - prsbestemmelsen V vser tl Deres brev av

Detaljer

YRKESMED is INS K/YRKESHYG len is K UNDERSØKELSE VED A/S KONGSBERG ELITE ASBJØRN KVERNELAND - HÅKON LASSE LEIRA SYVERT THORUD HD 716/770810

YRKESMED is INS K/YRKESHYG len is K UNDERSØKELSE VED A/S KONGSBERG ELITE ASBJØRN KVERNELAND - HÅKON LASSE LEIRA SYVERT THORUD HD 716/770810 o'.'.,_'h' 000 o.~...,.. _~-o'.'o'...._... Coo." YRKESMED s NS K/YRKESHYG len s K UNDERSØKELSE VED A/S KONGSBERG ELTE ASBJØRN KVERNELAND - HÅKON LASSE LERA SYVERT THORUD HD 716/770810 ARBEDSFO RS KNN G

Detaljer

Innholdsfortegnelse. Innledning. I. Teorigrunnlag, s. 5

Innholdsfortegnelse. Innledning. I. Teorigrunnlag, s. 5 Innholdsfortegnelse Innlednng I. Teorgrunnlag, s. 5 a) Nyklasssk nytteteor, s. 5 b) Utvdet nyttebegrep, s. 6 c) Lneære utgftssystemer, s. 7 d) Mellom-menneskelg påvrknng, s. 8 e) Modernserng og bostedspåvrknng,

Detaljer

Kapitalbeskatning og investeringer i norsk næringsliv

Kapitalbeskatning og investeringer i norsk næringsliv Rapport Kaptalbeskatnng og nvesternger norsk nærngslv MENON-PUBLIKASJON NR. 28/2015 August 2015 av Leo A. Grünfeld, Gjermund Grmsby og Marcus Gjems Thee Forord Denne rapporten er utarbedet av Menon Busness

Detaljer

Gauss-Krüger-projeksjonen ved analytiske funksjoner

Gauss-Krüger-projeksjonen ved analytiske funksjoner Gauss-Krüger-projeksjonen ved analytske funksjoner Vtenskapelg bedømt (refereed) artkkel : The Gauss-Krüger projecton by analytc functons KART OG PLAN, Vol. 7, pp. 39 44, P.O.B. 53, NO-43 Ås, ISSN 47-378

Detaljer

SYKKELHÅNDBOK RACERSYKKEL

SYKKELHÅNDBOK RACERSYKKEL PURE CYCLING SYKKELHÅNDBOK RACERSYKKEL 1 13 14 2 3 4 5 c a 15 16 17 6 7 8 9 10 11 12 e d b 18 19 20 21 22 23 24 25 Vktg! Monterngsvelednng sde 12. Vennlgst les sdene 7-11 før første sykkeltur.! Sykkelen

Detaljer

SYKKELHÅNDBOK TERRENGSYKKEL 1

SYKKELHÅNDBOK TERRENGSYKKEL 1 PURE CYCLING SYKKELHÅNDBOK TERRENGSYKKEL 1 13 14 15 2 16 3 4 c a I II 17 18 5 6 7 8 9 10 11 12 e d f b III IV 19 20 21 22 23 24 25 26! Sykkelen og denne bruksvelednngen tlsvarer skkerhetskravene den europeske

Detaljer

Nasjonalbiblioteket avd. Rana Pepgtbibliotetet

Nasjonalbiblioteket avd. Rana Pepgtbibliotetet Frrd NARF kstra g nf Tjenester utgr med dette et samarbedsprdukt sm har tl frmål å g deg en versktlg presentasjn av frslaget tl ny bkfrngslv g - frskrft. Bken er basert på frslagene den ffentlge utrednngen

Detaljer

Hjertelig velkommen til SURSTOFF

Hjertelig velkommen til SURSTOFF Hjertelg velkommen tl SURSTOFF V er så ufattelg glade over å kunne nvtere drftge kulturnærngsgründere tl en felles møteplass. V håper du kommer!! Praktsk nformasjon Når: Hvor: Prs: Påmeldng: Mer nformasjon:

Detaljer

KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER. Nils Gundersen og Arve Lie HD 807/790814

KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER. Nils Gundersen og Arve Lie HD 807/790814 KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER Nls Gundersen og Arve Le HD 807/790814 KVIKKSØLVEKSPONERING VED DENTALLABORATORIER Nls Gundersen og Arve Le HD 807/790814 l SAMMENDRAG: Rapporten omhandler bruk

Detaljer

ACCU-CHEK. Compact Plus. Brukerhåndbok SYSTEM FOR BLODSUKKERMÅLING. ACCU-CHEK, SOFTCLIX og SAFE-T-PRO er varemerker for Roche.

ACCU-CHEK. Compact Plus. Brukerhåndbok SYSTEM FOR BLODSUKKERMÅLING. ACCU-CHEK, SOFTCLIX og SAFE-T-PRO er varemerker for Roche. ACCU-CHEK Compact Plus SYSTEM FOR BLODSUKKERMÅLING Brukerhåndbok 0088 ACCU-CHEK, SOFTCLIX og SAFE-T-PRO er varemerker for Roche. Roche Dagnostcs GmbH D-68298 Mannhem, Germany www.accu-chek.com 0 xxxxxxx001(01)

Detaljer

Tretak VARIG, MILJØVENNLIG OG TRADISJONELT

Tretak VARIG, MILJØVENNLIG OG TRADISJONELT Tretak VARIG, MILJØVENNLIG OG TRADISJONELT ROYAL FARGER BRUN med UV-beskyttelse Alvdal Royal tretak Et varg og formstablt furu tretak CU-mpregnert klasse AB og Royal behandlet. KLAR uten UV-pgment, vl

Detaljer