Forelesning 3 mandag den 25. august

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Forelesning 3 mandag den 25. august"

Transkript

1 Forelesg adag de 5 august Merkad 171 For å bevse e propossjo o heltall so volverer to eller flere varabler, er det typsk ye lettere å beytte duksjo på e av varablee e duksjo på oe av de adre Det er for eksepel kke lett å bevse Propossjo 171 ved duksjo på k, altså ed tlærgsetode beskrevet Merkad Fakultet Defsjo 181 La være et aturlg tall Da er fakultet produktet I tllegg deferer v fakultet tl å være Notasjo 18 La være et heltall slk at V beteger fakultet so! Eksepel 18 V har: 1! 1 Eksepel 184 Sde 1, er! Eksepel 185 Sde 1 6, er! 6 Eksepel 186 Sde 1 4 4, er 4! 4 19 Boalkoeffseter og boalteoreet Merkad 191 Fra skole kjeer du tl lgge x y x xy y Nå skal v se på e tlsvarede lgg for xy, hvor er et hvlket so helst aturlg tall Først å v gjøre oe forberedelser Defsjo 19 La være et aturlg tall, og la k være et heltall slk at k Da er boalkoeffsete av og k brøke! k!! Notasjo 19 V beteger boalkoeffsete av og k so k 1

2 Merkad 194 Sybolet leses teelg ugraatsk! so velg k Dette koer av at det ka bevses at er atall ulgheter for å velge ut k tg fra tg På gru av dee tolkge blr boalkoeffsetee brukt ye et oråde e ateatkke so kalles kobatorkk Eksepel 195 V har: 4 4!! 4! 4!!! Eksepel 196 V har: 5 5!! 5! 5!!! Merkad 197 Bevsee av de følgede propossjoee er ekle utreger, og duksjo behøves kke Propossjo 198 La være et aturlg tall Da er 1 Bevs V reger so følger:!!!!!!! 1!!! 1

3 19 Boalkoeffseter og boalteoreet Propossjo 199 La være et aturlg tall Da er 1 Bevs V reger so følger:! 1 1! 1!! 1 1!! 1! Propossjo 191 La være et aturlg tall, og la k være et heltall slk at k Da er k Bevs V reger so følger:! k k!!!! k!!!! k Korollar 1911 La være et aturlg tall Da er 1 Bevs På gru av Propossjo 191 er På gru av Propossjo 198 er 1 Således kokluderer v at 1 Korollar 191 La være et aturlg tall Da er 1 Bevs Ut fra Propossjo 191 er 1 1 Ut fra Propossjo 199, er 1 Således kokluderer v at 1 Eksepel 191 V gjør følgede observasjoer 1 Ut fra Propossjo 198 er 1 Ut fra Propossjo 199 er 1

4 Ut fra Korollar 1911 er 1 Dered har v reget ut for alle ulge verder av k Eksepel 1914 V gjør følgede observasjoer 1 Ut fra Propossjo 198 er 1 Ut fra Korollar 1911 er 1 Ut fra Propossjo 199 er 1 4 Fra og Korollar 191, følger det at Dered har v reget ut for alle ulge verder av k Eksepel 1915 V gjør følgede observasjoer 1 Ut fra Propossjo 198 er 4 1 Ut fra Korollar 1911 er Ut fra Propossjo 199 er Fra og Korollar 191, følger det at Fra Eksepel 195 har v: 4 6 Dered har v reget ut 4 for alle ulge verder av k Eksepel 1916 V gjør følgede observasjoer 1 Ut fra Propossjo 198 er 5 1 Ut fra Korollar 1911 er Ut fra Propossjo 199 er Fra og Korollar 191, følger det at Fra Eksepel 196 har v: Fra 5 og Propossjo 191, følger det at 5 1 Dered har v reget ut 5 for alle ulge verder av k Merkad 1917 I alle ekseplee v har tatt for oss så lagt, var er et aturlg tall V skal sart bevse at dette er tlfelle for hvlke so helst og k 4

5 19 Boalkoeffseter og boalteoreet Propossjo 1918 La og k være aturlge tall Da er 1 k k 1 k Bevs V gjør følgede observasjoer 1 Ut fra defsjoe av k og k 1 Defsjo 19, er k k 1! k!!! k 1! k 1! Sde k! k 1! k og k 1!! k 1, er! k!!! k 1! k! k 1! k 1! k! k 1!! k 1 k! 1!! 1 k! 1! Sde 1!! 1, er! 1 k! 1! 1! k! 1! 4 Ut fra defsjoe av 1 k Defsjo 19, er 1 1! k k! 1! Fra 1 4 kokluderer v at k k 1 1 k Eksepel 1919 Når og k 1, fastslår Propossjo 1918 at 4,

6 Eksepel 19 Når og k, fastslår Propossjo 1918 at 1 4, 6 Eksepel 191 Når og k, fastslår Propossjo 1918 at 4, 1 4 Eksepel 19 Når 5 og k 1, fastslår Propossjo 1918 at , V deduserer at Eksepel 19 Når 5 og k, fastslår Propossjo 1918 at , V deduserer at 6 15 Eksepel 194 Når 5 og k, fastslår Propossjo 1918 at 5 5 6, V deduserer at 6 6

7 19 Boalkoeffseter og boalteoreet Eksepel 195 Når 5 og k 4, fastslår Propossjo 1918 at 5 5 6, 4 4 V deduserer at Eksepel 196 Når 5 og k 5, fastslår Propossjo 1918 at 5 5 6, V deduserer at Merkad 197 La oss sette opp boalkoeffsetee på følgede åte Det k-te tallet fra vestre, ved å telle k fra tl, de -te rade fra toppe, ved å telle fra 1, er boalkoeffsete For eksepel er det adre tallet fra vestre ved å telle fra de fjerde rade fra toppe 6, so er boalkoeffsete Propossjoe 1918 ser at år v legger sae to tall e rad, får v tallet ello de de este rade For eksepel år v legger sae tallee 4 og 6 de fjerde rade, får v 1, so står ello 4 og 6 de fete rade Terolog 198 Oppsettet av tallee Merkad 197 kalles for Pascals trekat Propossjo 199 La være et aturlg tall, og la k være et heltall slk at k Da er et aturlg tall Bevs Først sjekker v o propossjoe er sa år 1 I dette tlfellet er utsaget at 1 er et aturlg tall for hvert heltall k slk at k 1, altså år k og år k 1 Ut fra Propossjo 198 er det sat at 1 er et aturlg tall, og ut fra Propossjo 199 er det sat at 1 1 er et aturlg tall Ata å at propossjoe har bltt bevst år er et gtt aturlg tall Således har det bltt bevst at k er et aturlg tall for alle heltallee k slk at k V gjør følgede observasjoer 7

8 1 Ut fra Propossjo 198 er 1 et aturlg tall La k være et aturlg tall Fra atakelse at k er et aturlg tall for alle heltallee k slk at k, er k og k 1 aturlge tall Derfor er k k 1 et aturlg tall Ut fra Propossjo 1918 vet v dessute at 1 k k k 1 V deduserer at 1 k er et aturlg tall Ut fra Korollar 1911 er 1 et aturlg tall Dered er 1 k et aturlg tall for alle aturlge tall k slk at k 1 Således er propossjoe sa år er det aturlge tallet 1 Ved duksjo kokluderer v at propossjoe er sa år er et hvlket so helst aturlg tall Propossjo 19 La x og y være tall La være et heltall slk at Da er x y x y Bevs Først sjekker v o propossjoe er sa år I dette tlfellet er utsaget at x y x y Sde x y 1 og x y x y 1 x y 1, er dette sat Ata å at propossjoe har bltt bevst år er et gtt aturlg tall Således har det bltt bevst at x y a b V gjør følgede observasjoer 8

9 19 Boalkoeffseter og boalteoreet 1 V har: x y 1 x y x y x y x y x y x x y y x 1 y x y 1 V har: x 1 y x 1 y 1 x 1 y Ut fra Propossjo 198 er 1 Derfor er x 1 y 1 x 1 y x 1 1 x 1 y 4 V har: 1 x y 1 x 1 y x 1 y 1 1 x 1 y x 1 1 y x 1 y x y Ut fra Korollar 1911 er 1 Derfor er: 1 x 1 y 1 x y 1 1 x 1 y y 1 1 9

10 6 V har: x 1 x 1 y x 1 y y x 1 x 1 y y y Ut fra Propossjo 1918 er 1 1 for alle heltall slk at 1 V deduserer at x 1 x 1 y y y x 1 x 1 y y x 1 x 1 y y 1 1 y 1 V deduserer fra 1 7 at 1 x y 1 x 1 x 1 y y 1 Nå gjør v følgede observasjoer 1 1 V har: 1 1 x 1 y x 1 y x 1 y x 1 1 y x 1 x 1 y y Ut fra Propossjo 198 er 1 1 Ut fra Korollar 1911 er 1 1 Derfor er x 1 x 1 y y x 1 x 1 y y 1 1 1

11 19 Boalkoeffseter og boalteoreet V deduserer fra 1 at 1 1 x 1 y x 1 1 x 1 y y 1 For å oppsuere bevset så lagt, har v fastslått at 1 x y 1 x 1 x 1 y y 1 og at V deduserer at x 1 x 1 y y 1 1 x y x 1 y x 1 y Dered er propossjoe sa år er det aturlge tallet 1 Ved duksjo kokluderer v at propossjoe er sa år er et hvlket so helst aturlg tall Eksepel 191 Når, fastslår Propossjo 19 at so forvetet x y x xy y, Eksepel 19 Når, fastslår Propossjo 19 at x y x x y xy y Eksepel 19 Når 4, fastslår Propossjo 19 at x y 4 x 4 4x y 6x y 4xy y 4 Merkad 194 Propossjo 19 kalles oe gager boalteoreet Merkad 195 De vktgste dele av bevset for Propossjo 19 er lgge x y x y x y x y Det er her v beytter atakelse at x y a b 11

12 Merkad 196 Tl å begye ed ka apulasjoer ed sueteg so bevset for Propossjo 19 se ltt forvrrede ut I så fall skrv alle suee ute å bruke sueteget Skrv for eksepel so x y x y x 1 y 1 x 1 y x y 1

13 Oppgaver O11 Oppgaver eksaes stl Oppgave O115 Bevs at begge utsagee edefor er gale: 1 For alle aturlge tall og er!!! For alle aturlge tall og er!!! Oppgave O116 La være et aturlg tall slk at 4 Bevs at! > Tps: Beytt Propossjo 1514 bevset Oppgave O117 La, k, og l være heltall slk at k l Bevs at k k l l l k l Tps: Iduksjo behøves kke! På hver sde av lgge, erstatt boalkoeffsetee ed deres defsjoee, og vs at begge sdee blr lke Oppgave O118 La være et aturlg tall 1 Bevs at Deduser at Oppgave O119 La være et aturlg tall slk at Bevs at Tps: Beytt Propossjo 1918 bevset 1 1

14 O1 Oppgaver for å hjelpe ed å forstå forelesge Oppgave O114 Reg ut følgede tall 1 5! 6! Oppgave O115 Reg ut 7 for alle heltallee k slk at k 7, ute å beytte Propossjo 1918 Oppgave O116 Reg ut 7 for alle heltallee k slk at k 7, ute å beytte Propossjo 1918 Oppgave O117 Reg ut 8 for alle heltall k slk at k 7, ved å beytte Propossjo 1918 og tl Oppgave O116 Oppgave O118 Gjør det sae so Merkad 1411 for Propossjo 199 Med adre ord, beskrv hvorda algorte Merkad 14 ser ut for Propossjo 199 Oppgave O119 Hva fastslår Propossjo 19 år 5? Oppgave O1 Skrv utsaget Propossjo 19 år 4 ute å bruke sueteget Skrv så bevset for dette utsaget ute å bruke sueteget, ved å ertsatte ed bevset for Propossjo 19 Tps: Se Merkad 196 Oppgave O11 La være et aturlg tall Ved å la x være 1 og y være 1 Propossjo 19, bevs at 1 Oppgave O1 La være et aturlg tall Følgede lgg ka også deduseres fra Propossjo 19: 1 1 Hvlke heltall bør v la x og y være? 14

Seminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3))

Seminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) 1 ECON 2130 2017 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) (1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver)

Detaljer

Seminaroppgaver for uke 13

Seminaroppgaver for uke 13 1 ECON 2130 2016 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver) La X og Y være to uavhegge

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen 1 HG mars 2009 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette

Detaljer

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004

Positive rekker. Forelest: 3. Sept, 2004 Postve rekker Forelest: 3. Sept, 004 V skal tde utover fokusere på å teste om e rekke kovergerer, og skyve formler for summerg bakgrue. Dette er gje ford det første målet vårt er å lære hvorda v ka fe

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen 1 HG Revdert mars 013 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg

Detaljer

Regler om normalfordelingen

Regler om normalfordelingen HG mars 0 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset.

Detaljer

Forelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II)

Forelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II) STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 19 og 0 Regresjo og korrelasjos (II) 1. Kofdestervall (CI) og predksjostervall (PI) I uka 14, brukte v leær regresjo for å fage leær sammehege mellom Y og

Detaljer

Om enkel lineær regresjon II

Om enkel lineær regresjon II 1 ECON 13 HG, revdert aprl 17 Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel (som

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014

TMA4245 Statistikk Eksamen august 2014 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Y 5 PY > 53) PY 53) P ) 53 5 Φ5) 933 668 Vekte av e fylt flaske, X + Y, er e leærkombasjo av uavhegge ormalfordelte

Detaljer

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober Forelesnng 17 torsdag den 16. oktober 4.12 Orden modulo et prmtall Defnsjon 4.12.1. La p være et prmtall. La x være et heltall slk at det kke er sant at x 0 Et naturlg tall t er ordenen tl a modulo p dersom

Detaljer

Om enkel lineær regresjon II

Om enkel lineær regresjon II ECON 3 HG, aprl Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel som v kaller resposvarabele

Detaljer

Econ 2130 uke 15 (HG)

Econ 2130 uke 15 (HG) Eco 130 uke 15 (HG) Kofdestervall Løvås: 6.1., 6.3.1 3. (Avstt 6.3.4 6 leses på ege håd. Se også overskt over kofdestercvall ekstra otat på ettet.) 1 Defsjo av kofdestervall La θ være e ukjet parameter

Detaljer

Løsningsforslag (ST1201/ST , kontinuasjonseksamen) ln L. X i = 2n.

Løsningsforslag (ST1201/ST , kontinuasjonseksamen) ln L. X i = 2n. Løsgsforslag ST20/ST620 205, kotuasjoseksame. a Rmelghetsfuksjoe blr Logartme Derverer Løser lgge Løsge er SME: L = 2 e l L = 2 l X X. X + l X. l L = 2 + 2 X = 2. ˆ = 2 X. X. b Her ka ma beytte trasformasjosformele,

Detaljer

STK1100 våren Konfidensintevaller

STK1100 våren Konfidensintevaller STK00 våre 07 Kofdestevaller Svarer tl avstt 8. læreboka Ørulf Borga Matematsk sttutt Uverstetet Oslo Eksempel E kjemker er teressert å bestemme kosetrasjoe µ av et stoff e løsg Hu måler kosetrasjoe fem

Detaljer

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler

Formler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:

Detaljer

som vi ønsker å si noe om basert på data Eksempel. Uid-modellen: X1, X ,,,

som vi ønsker å si noe om basert på data Eksempel. Uid-modellen: X1, X ,,, HG Eco30 07 9/3-07 Supplemet tl forelesg uke 0 (6 mars) (Det jeg kke rakk å ta på forelesg) Termolog (estmerg) Data (kokrete tall), x, x, er ervasjoer av stokastske varable, X, X, De statstske modelle

Detaljer

Econ 2130 uke 19 (HG) Inferens i enkel regresjon og diskrete modeller

Econ 2130 uke 19 (HG) Inferens i enkel regresjon og diskrete modeller Eco 3 uke 9 (HG) Iferes ekel regresjo og dskrete modeller De ekle regresjosmodelle. Resultater fra 5m og 5m for me fra EM på skøyter Heerevee 4. ( er 5m-tde og y 5m-tde sekuder for løper.) Spredgdagram

Detaljer

Om enkel lineær regresjon II

Om enkel lineær regresjon II ECON 3 HG, revdert aprl Notat tl kapttel 7 Løvås Om ekel leær regresjo II Merk: Det ka løe seg først å lese avstt 4 regresjo-i-otatet på ytt. Regresjosmodelle. La Y være e stokastsk varabel (som v kaller

Detaljer

Eksempel 1 - Er gjennomsnittshøyden for kvinner i Norge økende?

Eksempel 1 - Er gjennomsnittshøyden for kvinner i Norge økende? ECON 3 HG a 3 Supplemet tl sste forelesg 3 vår 4 eksempler på test-dskusjoer klusve ltt om p-verder Eksempel - Er gjeomsttshøyde for kver Norge økede? et er velkjet at gjeomsttshøyde for meesker Europa

Detaljer

Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON 3 EKSAMEN VÅR TALLSVAR Det abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller lkt uasett varasjo vaskelghetsgrad. Svaree er gtt

Detaljer

OBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005

OBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005 OBLIGATORISK OPPGAVE INF 0/0/90 HØSTEN 005 Levergsfrst: 0. september 005 Arbedsform: Løses dvduelt Ileverg tl: Aja Bråthe Krstofferse (ajab@f.uo.o Levergskrav: Det forutsettes at du er kjet med holdet

Detaljer

Forelesning 5 mandag den 1. september

Forelesning 5 mandag den 1. september Forelesning mandag den. september. Fibonnacitall forts. Proposisjon..6. La n være et naturlig tall. Da er u + u + + u n = u n+. Bevis. Først sjekker vi om proposisjonen er sann når n =. I dette tilfellet

Detaljer

Forelesning Punktestimering

Forelesning Punktestimering STAT Statst Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 8 + 9 Putestmerg. Fra sasylghetsteor tl statst feres ) Sasylghetsberegg sasylghetsteor: v jeer parametere som besrver modellee, f.es. p boms modell, ormal fordelg,

Detaljer

Forelesning Enveis ANOVA

Forelesning Enveis ANOVA STAT111 Statstkk Metoder ushu.l@ub.o Forelesg 14 + 15 Eves ANOVA 1. troduksjo a. Z-, t- test Uka 1: tester for forvetgsdfferase to populasjoer (grupper) b. ANOVA (aalyss of varace): tester om det er forskjeller

Detaljer

Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesg 3 MET359 Økoometr ved Davd Kreberg Vår 0 Dverse oppgaver Oppgave. E vestor samler følgede formasjo om markedsavkastge og avkastge på det som ser ut tl å være et attraktvt aksjefod År Aksjefodets

Detaljer

Forelesning Ordnings observatorer

Forelesning Ordnings observatorer Yushu.L@ub.o Forelesg 6 + 7 Ordgs observatorer. Oppsummerg tl Forelesg 4 og 5.) Fuksjoer (trasformasjoer) av flere S.V...) Smultafordelg tl to ye S.V. Ata at v har to S.V., med smultafordelg f ( x, x )

Detaljer

Analyse av sammenhenger

Analyse av sammenhenger Kapttel 7.-7.3: Aalyse av sammeheger Korrelasjo og regresjo E vktg avedelse av statstkk er å studere sammeheger mellom varabler: Avgjøre om det er sammeheger. Beskrve hvorda evetuelle sammeheger er. Eksempler:

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 HG Revdert aprl 2 Overskt over tester Eco 23 La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ populasjoe er ukjet. Når v setter

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Eksamesoppgave består av: Atall sider (ikl forside): 5 Emekode: FO 9A Dato: 69 Atall oppgaver: Fagasvarlig: Ulf Uttersrud

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 1 HG Revdert aprl 217 Overskt over tester Eco 213 La være e ukjet parameter (populasjos-størrelse) e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av populasjoe er ukjet. Når v setter

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 1, VÅR 2015

LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 1, VÅR 2015 NTNU Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Fakultet for aturviteskap og tekologi Istitutt for aterialtekologi TT4110 KJEI LØSNINGSFORSLAG TIL ØVING NR. 1, VÅR 015 OPPGAVE 1 Vi starter ALLTID ed å

Detaljer

1. Konfidens intervall for

1. Konfidens intervall for Forelesg 0 + Yushu.@ub.o Kofdes tervall og Bootstrap. Kofdes tervall for ) Kofdes tervall [ ˆ, ˆ ] dekker de ukjete parametere med høy grad av skkerhet (kofdesvå): P( ˆ ˆ ), er f.eks 0.0 eller 0.05, eller

Detaljer

Det ble orientert i plenum under eksamensdagen om følgende endringer i forhold til oppgaven:

Det ble orientert i plenum under eksamensdagen om følgende endringer i forhold til oppgaven: LØSNINGSFORSLAG EKSAMEN 4 MAI 007 MET00 STATISTIKK GRUNNKURS Det ble oretert pleum uder eksamesdage om følgede edrger forhold tl oppgave: Oppgave b går ut. Det vl da bl 9 oppgaver og alle oppgaver teller

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Emekode: FO 019A Dato: 12.12.200 Faglig veileder: Ulf Uttersrud Eksamestid: 9-14 Eksamesoppgave består av: Atall sider

Detaljer

Forelesning 21 og 22 Goodness of fit test and contingency table ( 2 test og krysstabell)

Forelesning 21 og 22 Goodness of fit test and contingency table ( 2 test og krysstabell) STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 1 Goodess of ft test ad cotgecy table ( test krysstabell 1.Goodess of ft test ( test Ata at v har et utvalg med observasjoee fra e stokastsk varabel X. Goodess-of-ft

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. B. Makroøkonomi. Mundells trilemma går ut på følgende: B. Makroøkoom Oppgave: Forklar påstades hold og drøft hvlke alteratv v står overfor: Fast valutakurs, selvstedg retepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forelg på samme td. Makroøkoom Iledg Mudells trlemma

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Optimalitetsprinsippet. Overlappende delproblemer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Optimalitetsprinsippet. Overlappende delproblemer ynask prograerng Metoden ble foralsert av Rchard Bellann (RAN Corporaton på -tallet. Prograerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe ed kode eller å skrve kode å gøre. ynask for å ndkere

Detaljer

Forelesning 25 og 26 Introduksjon til Bayesiansk statistikk

Forelesning 25 og 26 Introduksjon til Bayesiansk statistikk Yushu.@hh.o Forelesg 5 og 6 Itroduksjo tl Bayesask statstkk 1. Itroduksjo Fortsatt atar v har stokastsk varabel X (X ka være stokastsk varabel vektor) kommer fra e fordelg med parametere ( ka være parameter

Detaljer

STK1100 våren Estimering. Politisk meningsmåling. Svarer til sidene i læreboka. The German tank problem. Måling av lungefunksjon

STK1100 våren Estimering. Politisk meningsmåling. Svarer til sidene i læreboka. The German tank problem. Måling av lungefunksjon STK00 våre 07 Estmerg Svarer tl sdee 33-339 læreboka Poltsk megsmålg Sør et tlfeldg utvalg å 000 ersoer hva de vlle ha stemt hvs det hadde vært valg 305 vlle ha stemt A A's oslutg er Ørulf Borga Matematsk

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen 21. mai 2013

TMA4245 Statistikk Eksamen 21. mai 2013 TMA445 Statstkk Eksame ma 03 Korrgert 0 ju 03 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave Et plott av sasylghetstetthee er gtt fgur Vdere har v og PX = Φ = 08849

Detaljer

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2016

TMA4245 Statistikk Eksamen mai 2016 Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Lar X være kvadratprse. Har da at X N(µ, σ 2 ), med µ 30 og σ 2 2, 5 2. P (X < 30) P (X < µ) 0.5 ( X 30 P (X > 25)

Detaljer

Oppgave 1 ECON 2130 EKSAMEN 2011 VÅR

Oppgave 1 ECON 2130 EKSAMEN 2011 VÅR ECON 30 EKSAMEN 0 VÅR Oppgave E bedrf øsker å fordele koraker e vesergsprosjek hel lfeldg på 3 frmaer, A, B og C. Uvelgelse skjer ved loddrekg. Loddrekge er slk a hver av frmaee A, B og C, har e mulghe

Detaljer

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3.

8 + 2 n n 4. 3n 4 7 = 8 3. Seksjo 4. Oppgave (). Fi greseverdiee: 8 a) 4 + 4 7 b) 4 +7 5 c) + 7 4 ( ) d) 5 4 44 + 5 4 e) 5 + si() e +6 5 Løsig. Vi vil bruke samme metode som i Eksempel 4..5 fra boke i disse oppgavee. Når vi skal

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk Nov 2001 Oppgave 1 a) Det fins 8 mulige kombinasjoner. Disse finnes ved å utelate ett og ett tall.

Løsningsforslag Eksamen i Statistikk Nov 2001 Oppgave 1 a) Det fins 8 mulige kombinasjoner. Disse finnes ved å utelate ett og ett tall. Løsgsforslag Eksame Statstkk Nov 00 Oppgave a) Det fs 8 mulge kombasjoer. Dsse fes ved å utelate ett og ett tall. Atall utvalg av størrelse 7 blat m er ( m 7 ). b) Prs Atall Rekker 3 kr. ( 7 ) 3 kr....

Detaljer

EKSAMEN Løsningsforslag

EKSAMEN Løsningsforslag ..4 EKSAMEN Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 6. desember Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger

Differensligninger Forelesningsnotat i Diskret matematikk Differensligninger Differesligiger Forelesigsotat i Diskret matematikk 017 Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker er imidlertid

Detaljer

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger

Avsnitt 8.1 i læreboka Differensligninger Diskret Matematikk Fredag 6. ovember 015 Avsitt 8.1 i læreboka Differesligiger I kapittel lærte vi om følger og rekker. Vi studerte både aritmetiske og geometriske følger og rekker. Noe følger og rekker

Detaljer

f(x)dx = F(x) = f(u)du. 1 (4u + 1) du = 3 0 for x < 0, 2 + for x [0,1], 1 for x > 1. = 1 F 4 = P ( X > 1 2 X > 1 ) 4 X > 1 ) =

f(x)dx = F(x) = f(u)du. 1 (4u + 1) du = 3 0 for x < 0, 2 + for x [0,1], 1 for x > 1. = 1 F 4 = P ( X > 1 2 X > 1 ) 4 X > 1 ) = TMA Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for ateatiske fag Løsigsforslag - Eksae deseber 9 Oppgave a Besteer k ved å kreve fxdx =, fxdx = De kuulative fordeligsfuksjoe Fx er gitt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. Innleveringssted: Ekspedisjonen i 12. etasje (mellom ) OG Fronter (innen klokken 15).

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT. Innleveringssted: Ekspedisjonen i 12. etasje (mellom ) OG Fronter (innen klokken 15). Øvelsesoppgave : ECON3 Statstkk Dato for utleverg: 4.3.7 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Dato for leverg: 3.3.7 e kl. 5. Ilevergssted: Ekspedsjoe. etasje (mellom.5-5.) OG Froter (e klokke 5).

Detaljer

Kapittel 1: Beskrivende statistikk

Kapittel 1: Beskrivende statistikk Kapttel : Bekrvede tattkk Defjoer: Populajo og utvalg Populajo: Alle mulge obervajoer v ka gjøre (,,, N ). Utvalg: Delmegde av populajoe (,,, der

Detaljer

Forelesning Z-, t-test, test for forventningsdifferanser

Forelesning Z-, t-test, test for forventningsdifferanser STAT Sttstkk Metoder ushu.l@ub.o Forelesg + 3 Z-, t-test, test for forvetgsdfferser. Sttstsk hypotesetestg ullhypotese): ypotese so først ttt å være st *Forålet ed e test er å udersøke o dtterlet gr grulg

Detaljer

EKSAMEN løsningsforslag

EKSAMEN løsningsforslag 5. aprl 017 EKSAMEN løsgsforslag Emekode: ITD0106 Emeav: Statstkk og økoom Dato:. ma 016 Eksamestd: 09.00 13.00 Hjelpemdler: - Alle trykte og skreve. - Kalkulator. Faglærer: Chrsta F Hede Om eksamesoppgave

Detaljer

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130

Oversikt over konfidensintervall i Econ 2130 1 HG Mars 017 Overskt over kofdestervall Eco 130 Merk at dee overskte kke er met å leses stedefor framstllge Løvås, me som et supplemet. De eholder tabeller med formler for kofdestervaller for stuasjoer

Detaljer

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE

AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE AVDELING FOR INGENIØRUTDANNING EKSAMENSOPPGAVE Eme: Diskret matematikk Gruppe(r): Eksamesoppgave består av: Atall sider (ikl forside): 5 Emekode: FO 9A Dato: 57 Atall oppgaver: Fagasvarlig: Ulf Uttersrud

Detaljer

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007

Avdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 14.12.2007 Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 4..7 UTATT PRØVE I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).

Detaljer

211.7% 2.2% 53.0% 160.5% 30.8% 46.8% 17.2% 11.3% 38.7% 0.8%

211.7% 2.2% 53.0% 160.5% 30.8% 46.8% 17.2% 11.3% 38.7% 0.8% Prøve-eksame II MET 1190 Statistikk Dato 31. mai 2019 kl 1100-1400 Alle svar skal begrues. Når besvarelse evalueres, blir det lagt vekt på at framgagsmåte og resultat preseteres så klart, presist og kortfattet

Detaljer

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004

LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Side av 0 LØSNINGSFORSLAG TIL EKSAMEN I FAG TMA4245 STATISTIKK 6.august 2004 Oppgave Midtveiseksame a) X er e stokastisk variabel

Detaljer

Løsningskisse seminaroppgaver uke 17 ( april)

Løsningskisse seminaroppgaver uke 17 ( april) HG Aprl 14 Løsgsksse semaroppgaver uke 17 (.-5. aprl) Oppg. 5.6 (begge utgaver) La X = atall bar utvalget som har lærevasker. Adel bar med lærevasker populasjoe av bar atas å være p.15. Utvalgsstørrelse

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012 Eksame REA08 S, Våre 0 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (4 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f f ) g e 4 4 4 g e e 4 g e e g e

Detaljer

MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017

MA1101 Grunnkurs Analyse I Høst 2017 Norges tekisk aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag MA0 Grukurs Aalyse I Høst 07 Løsigsforslag Øvig..b) Vi skriver om 7 = 4 4 7 Korollar.. gir at 7 4 er irrasjoal (side vi vet 7 4 er

Detaljer

Matematikk for IT. Prøve 2. Onsdag 21. oktober 2015

Matematikk for IT. Prøve 2. Onsdag 21. oktober 2015 Matematikk for IT Prøve Osdag. oktober 5 Løsigsforslag 6. oktober 5 Oppgave Gitt følgede slutig: Hvis fakturae ble sedt forrige madag så fikk du pegee i går. Du fikk pegee i går. Derfor ble fakturae sedt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UIVERSITETET I OSLO Det matematisk-aturviteskapelige fakultet Eksame i: ST 105 - Iførig i pålitelighetsaalyse Eksamesdag: 8. desember 1992 Tid til eksame: 0900-1500 Tillatte hjelpemidler: Rottma: "Matematische

Detaljer

01. Til hvilke deler av naturen benyttes kvantefysikk som beskrivende verktøy?

01. Til hvilke deler av naturen benyttes kvantefysikk som beskrivende verktøy? Ka Kvatefykk. Tl vlke deler av ature beytte kvatefykk o bekrvede verktøy?. Nev oe etrale ateatkk-eer o går kvatefykke.. Hva kalle de eleetee Hlbert-roet o bekrver tltader tl et yte?. Hva kalle de ateatke

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON: EKAMEN TALLVAR. et abefales at de 9 deloppgavee merket med A, B, teller lkt uasett varasjo vaskelghetsgrad. varee er gtt

Detaljer

Mer om utvalgsundersøkelser

Mer om utvalgsundersøkelser Mer om utvalgsudersøkelser I uderkapittel 3.6 i læreboka gir vi e kort iførig i takegage ved utvalgsudersøkelser. Vi gir her e grudigere framstillig av temaet. Populasjo og utvalg Ved e utvalgsudersøkelse

Detaljer

Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1

Plan for fagdag 3. Plan: Litt om differanse- og summefølger. Sammenhengen a n a 1 n 1 i 1 Pla for fagdag 3 R2-18.11.10 Pla: Litt om differase- og summefølger. Sammehege a a 1 1 i 1 d i. Geometriske resoemet. Arbeidsoppgaver. Differase- og summefølger Regresjo med lommereger Differaser er ofte

Detaljer

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73

Detaljer

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG)

Econ 2130 Forelesning uke 11 (HG) Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig

Detaljer

Eksempel på poengbergegning fra grunnskolen til Vg1

Eksempel på poengbergegning fra grunnskolen til Vg1 Eksempel på poengbergegnng fra grunnskolen tl Vg1 Etter skrv: "Førng av vtnemål og kompetansebevs for grunnskolen Kunnskapsløftet" av 09.01.2015. Sde 5 Elever som kke får standpunktkarakter på grunn av

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 1 HG Revdert aprl 213 Overskt ver tester Ec 213 La θ være e ukjet parameter (ppulasjs-størrelse) e statstsk mdell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ ppulasje er ukjet. Når v setter pp

Detaljer

Gråtonehistogrammer. Histogrammer. Hvordan endre kontrasten i et bilde?

Gråtonehistogrammer. Histogrammer. Hvordan endre kontrasten i et bilde? INF 3 råtoe-trasforasjoer Hovedsakelg fra ka. 3.-3. DIP Hstograer Leære gråtoetrasforer Stadardserg av blder ed leær trasfor Ikke-leære, araetrske trasforer Hvorda edre kotraste et blde?? Neste uke: Hstograbaserte

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

Kapittel 1: Beskrivende statistikk

Kapittel 1: Beskrivende statistikk Kapttel : Bekrvede tattkk Defjoer: Populajo og utvalg Populajo: Alle mulge obervajoer v ka gjøre, (,,, N ). Utvalg: Delmegde av populajoe (,,,, der

Detaljer

Estimering 1 -Punktestimering

Estimering 1 -Punktestimering Estimerig 1 -Puktestimerig Dekkes av kap. 8, 9.1-9.3 og 9.15/9.14. Vi har til å settpå e rekke forskjellige sasylighetsfordeliger og sett hvorda disse ka brukes til å modellere mage forskjellige typer

Detaljer

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2

H 1 : µ 1 µ 2 > 0. t = ( x 1 x 2 ) (µ 1 µ 2 ) s p. s 2 p = s2 1 (n 1 1) + s 2 2 (n 2 1) n 1 + n 2 2 TMA4245 Statistikk Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b4 Løsigsskisse Oppgave 1 Vi øsker å fie ut om et ytt serum ka stase leukemi. 5 mus får serumet, 4

Detaljer

Notat 1: Grunnleggende statistikk og introduksjon til økonometri

Notat 1: Grunnleggende statistikk og introduksjon til økonometri Notat : Gruleggede statstkk og troduksjo tl økoometr Gruleggede statstkk Populasjo vs. utvalg Statstsk feres gjør bruk av formasjoe et utvalg tl å trekke koklusjoer (el. slutger) om populasjoe som utvalget

Detaljer

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort?

Oppgave 1. (i) Hva er sannsynligheten for at det øverste kortet i bunken er et JA-kort? ECON EKSAMEN 8 VÅR TALLSVAR Oppgave Vi har e kortstokk beståede av 6 kort. På av disse står det skrevet JA på forside mes det står NEI på forside av de adre kortee. Hvis ma får se kortet med bakside vedt

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO

UNIVERSITETET I OSLO UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Deleksamen MAT-INF Modellerng og beregnnger. Eksamensdag: Onsdag 7. oktober 29. Td for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sder. Vedlegg:

Detaljer

Forelesning 7 mandag den 8. september

Forelesning 7 mandag den 8. september Forelesning 7 mandag den 8. september 1.1 Absoluttverdien Definisjon 1.1.1. La n være et heltall. Da er absoluttverdien til n: (1) n dersom n 0; (2) n dersom n < 0. Merknad 1.1.2. Med andre ord får vi

Detaljer

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 2

Del A: Diskret optimering og heuristiske metoder Leksjon 2 Del A: Dskret optmerg og heurstske metoder Leksjo 2 Sjefsforsker Ger Hasle SINTEF Avedt matematkk, Oslo! Kursformasjo Motvasjo Operasjosaalyse Kustg tellges Optmergsproblemer (dskrete) Matematsk program

Detaljer

1. Premonitions - Foresight (ex-rmgdn Pause)

1. Premonitions - Foresight (ex-rmgdn Pause) SVÆRT RUBATO - MYE VISUELLE TEGN: Dee låta har svært lite tydelig tempo Derfor må vi fokusere på å gjøre mye visuelle teg til hveradre I tillegg til visuelle teg (mest av alt felles asatser på lage toer

Detaljer

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012

Eksamen REA3028 S2, Våren 2012 Eksame REA3028 S2, Våre 2012 Del 1 Tid: 2 timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave 1 (24 poeg) a) Deriver fuksjoee 1) 3 f x x 2x 3 2) 2 2

Detaljer

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler)

Eksempeloppgave 2014. REA3026 Matematikk S1 Eksempel på eksamen våren 2015 etter ny ordning. Ny eksamensordning. Del 1: 3 timer (uten hjelpemidler) Eksempeloppgave 04 REA306 Matematikk S Eksempel på eksame våre 05 etter y ordig Ny eksamesordig Del : 3 timer (ute hjelpemidler) Del : timer (med hjelpemidler) Mistekrav til digitale verktøy på datamaski:

Detaljer

Terminprøve R2 Høsten 2014

Terminprøve R2 Høsten 2014 Termiprøve R Høste 04 Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate b) Vis at dette er e kuleflate

Detaljer

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 16 oppgaver. Ved sensur vil alle oppgaver telle like mye med unntak av oppgave 6 som teller som to oppgaver.

Løsningsforslag. Oppgavesettet består av 16 oppgaver. Ved sensur vil alle oppgaver telle like mye med unntak av oppgave 6 som teller som to oppgaver. . mai 5 Løsigsforslag Emekode: ITF75 Dato: 5. desember 4 Eme: Matematikk for IT Eksamestid: kl 9. til kl 3. Hjelpemidler: To A4-ark med valgfritt ihold på begge sider. Kalkulator er ikke tillatt. Faglærer:

Detaljer

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013

) = P(Z > 0.555) = > ) = P(Z > 2.22) = 0.013 TMA4240 Statistikk Vår 2008 Norges tekisk-aturviteskapelige uiversitet Istitutt for matematiske fag Øvig ummer b5 Løsigsskisse Oppgave 1 a) X 1,...,X 16 er u.i.f. N(80,18 2 ). Setter Y = X. i) P(X 1 >

Detaljer

Eksamen R2, Høsten 2010

Eksamen R2, Høsten 2010 Eksame R, Høste 00 Del Tid: timer Hjelpemidler: Valige skrivesaker, passer, lijal med cetimetermål og vikelmåler er tillatt. Oppgave (6 poeg) a) Deriver fuksjoee ) f l f ( ) l l (l ) ) g( ) si cos f si

Detaljer

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan

Løsningsforslag for andre obligatoriske oppgave i STK1100 Våren 2007 Av Ingunn Fride Tvete og Ørnulf Borgan Løsigsforslag for adre obligatoriske oppgave i STK11 Våre 27 Av Igu Fride Tvete (ift@math..uio.o) og Ørulf Borga (borga@math.uio.o). NB! Feil ka forekomme. NB! Sed gjere e mail hvis du fier e feil! Oppgave

Detaljer

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Derivasjon.

Forkunnskaper i matematikk for fysikkstudenter. Derivasjon. Defiisjo av derivert Vi har stor ytte av å vite hvor raskt e fuksjo vokser eller avtar Mer presist: Vi øsker å bestemme stigigstallet til tagete til fuksjosgrafe P Q Figure til vestre viser hvorda vi ka

Detaljer

Forelesning 2 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 2 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesg MET359 Økoomer ved Davd Kreberg Vår 0 Dverse oppgaver Oppgave. Aa følgede o varabler: gpa: (Grade Po Average) Gjeomsskaraker for amerkaske sudeer. gpa fes ervalle [0;4], hvor 0 er lavese gjeomsskaraker

Detaljer

Terminprøve R2 Høsten 2014 Løsning

Terminprøve R2 Høsten 2014 Løsning Termiprøve R Høste 04 Løsig Del Tid: 3 timer Hjelpemidler: Skrivesaker Oppgave (6 poeg) E flate i rommet er gitt ved likige: x 4x y 6y z 8z 0 0 a) Vis at puktet P3, 5, ligger på flate Puktet P3, 5, ligger

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteori Høsten 014 Richard Williamson 1. august 015 Innhold Forord 7 1 Induksjon og rekursjon 9 1.1 Naturlige tall og heltall............................ 9 1. Bevis.......................................

Detaljer

Randi Johannessen. Mikroindeksformel i konsumprisindeksen. 2001/64 Notater 2001

Randi Johannessen. Mikroindeksformel i konsumprisindeksen. 2001/64 Notater 2001 2/64 Notater 2 Rad Johaesse Mkrodeksformel kosumprsdekse Avdelg for økoomsk statstkk/sekso for økoomske dkatorer Emegruppe: 8.2. Ihold. Bakgru og kokluso...3 2. Levekostadsdekser...4 2.. Kosumetes tlpasg...4

Detaljer

Om enkel lineær regresjon I

Om enkel lineær regresjon I 1 ECON 130 HG, revdert 017 Notat tl kapttel 7.1 7.3.3 Løvås (Jfr. forelesg uke 11) Om ekel leær regresjo I (deskrptv aalse og ltt om regresjosmodelle tl slutt) 1 Iledg Ekel regresjosaalse dreer seg om

Detaljer

Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag Eksamen i: Diskret matematikk

Fakultet for teknologi, kunst og design Teknologiske fag Eksamen i: Diskret matematikk Fakultet for tekologi, kust og desig Tekologiske fag Eksame i: Diskret matematikk Målform: Bokmål Dato: 9. ovember 017 Tid: Atall sider (ikl. forside): 9 Atall oppgaver: 6 Tillatte hjelpemidler: Forhådsgodkjet

Detaljer

Om enkel lineær regresjon I

Om enkel lineær regresjon I ECON 30 HG, revdert 0 Notat tl kapttel 4 Løvås Om ekel leær regresjo I Iledg Ekel regresjosaalse dreer seg om å studere sammehege mellom e resposvarabel,, og e forklargsvarabel,, basert på et datamaterale

Detaljer