ØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver

Transkript

1 ØVINGER 017 Løsnnger tl oppgaver Øvng Med utgangspunkt de n 5 observasjonsparene (x 1, y 1 ), (x, y ),..., (x 5, y 5 ) beregner v først mddelverdene x 1 5 Estmert kovarans blr x 3. ȳ 1 5 s XY y.4. (x x)(y ȳ) 1.4, mens estmatene av varansene tl X Y er s X (x x) 1.7 s Y Korrelasjonen tl observasjonsparene er dermed r s XY s X s Y (y ȳ) 1.3. La ŷ ˆα ˆβx være lknngen som beskrver mnste kvadraters rette lnje. estmerte koeffsentene er ˆβ r sy s Y 1.3 r s X s X ˆα ȳ ˆβ x Med dsse tallverdene er uttrykket for mnste kvadraters rette lnje De ŷ x. Denne lnja er tegnet nn sprednngsplottet. 1

2 6 5 4 y x 7.4. V har følgende korrgerte datasett. Motorstørrelse x (hk) Bensnforbruk y (lter/ml) Korrelasjonen tl dsse dataene er r s 5 XY (x x)(y ȳ) s X s Y 5 (x x) 5 (y ȳ) Koeffsentene tl den nye regresjonskurven blr ˆβ r sy ()s Y r s X ()s X ˆα ȳ ˆβ x Regresjonskurven for det korrgerte datasettet er altsågtt ved ŷ x. Utfra dette ser v at den ene felregstrerngen utgjør forskjellen mellom en sgnfkant sammenheng ngen sammenheng. Effekten av å endre en observasjon avtar ettersom antall observasjonspar n øker, så med n 500 vl en enkelt felregstrerng ha lten nnvrknng på resultatet Med det nye datasettet hvor motorstørrelsen måles klowatt, får v emprsk korrelasjon 5 r (x x)(y ȳ) , (x x) 5 (y ȳ)

3 altså samme korrelasjon som eksempel 7.1. Dette er forventet, sden det bare er skalaen tl observasjonene som er endret forhold tl datasettet eksempelet, nevneren uttrykket for r kompenserer for skalaen. Estmert kovarans blr mdlertd kke lk (5.53 stedet for 7.57). Regresjonslnjen for klowatt-dataene har estmert stgnngstall ˆβ r sy s X , estmert skjærngspunkt ˆα ȳ ˆβ x Skjærngspunktet er med andre ord det samme som før, mens stgnngstallet er større. Sammenlgner v stgnngstallene denne oppgaven eksempel 7.1, ser v at forholdet mellom det nye gamle stgnngstallet er 0.007/ /0.73, altså forholdet mellom enhetene kw hk. 7.8 (6). Bruker v relasjonen Z 3 X /5 tl å transformere temperaturene x 1, x,..., x n, får v Fahrenhet-temperaturene z 3 5 x, for 1,,..., n. Mddelverden tl de transformerte temperaturene blr z 1 z 1 ( 3 ) ( ) n n 5 x 1 3n 5 x n n x 3 5 x. Den estmerte kovaransen mellom Y Z blr s ZY 1 (z z)(y ȳ) 1 ([ 3 ] 5 x [3 5 ]) x (y ȳ) 1 den estmerte varansen tl Z blr s Z 1 (z z) 1 5 (x x)(y ȳ) 5 s XY, 3 ([ 3 ] [ 5 x 3 ]) 5 x

4 1 ( ) 5 [x x] ( ) 1 5 (x x) ( ) s 5 X. Setter v dette nn uttrykket for korrelasjonen mellom Z Y, får v r ZY s ZY s Z s Y (/5)s XY (/5) s X s Y s XY s X s Y r XY. Korrelasjonen endres altså kke av transformasjonen fra Celsus tl Fahrenhet. Samme argument gjelder for andre lneære transformasjoner, for eksempel den oppgave 7.5. La regresjonslnjen for X være gtt ved Relasjonen mellom X Z gr ŷ ˆα x ˆβ x x.5 0.5x. z 3 5 x 5 x z 3 x 5 (z 3), slk at lknngen for regresjonslnjen kan skrves om tl ŷ ˆα x ˆβ x 5 (z 3) (ˆα x 5 ) 3 ˆβ x Regresjonslnjen for Z har dermed skjærngspunkt stgnngstall ( 5 ˆβ x ˆα z ˆα x 5 ˆβ x ˆβ z 5 ˆβ x Regresjonslnjen for Z beskrves altså av lknngen ŷ z. ) z ˆα z ˆβ z z. V kan oppsummere oppgave (6) ved å s at en ren skalerng av dataene (multplkasjon med en konstant) kun endrer stgnngstallet tl regresjonslnjen, mens en generell lneær transformasjon (skalerng translasjon) påvrker både stgnngstallet skjærngspunktet. Korrelasjonen vl være uendret begge tlfeller. 4

5 7.7. Kaller de seks observasjonsparene av kroppshøyde vekt (x, y ), 1,,..., n, hvor n 6. Regresjonslnjens koeffsenter estmeres tl ˆβ (x x)(y ȳ) (x 751 x) ˆα ȳ ˆβ x Den estmerte varansen tl felleddet er s 1 n (y ŷ) 1 n ( y ˆα ˆβx ) slk at estmert standardavvk blr s Vår beste gjetnng på standardfelen tl koeffsentene ˆα ˆβ er s SE(ˆα) x n (x x) SE( ˆβ) s (x x) 0.185, slk at varablene ˆα α SE(ˆα) ˆβ β SE( ˆβ) er tlnærmet t-fordelte med n 4 frhetsgrader. V kan derfor lage 5% konfdensntervaller for α β ved å fnne endepunktene ˆα ± t 4,0.05 SE(ˆα) 7.8 ± ˆβ ± t 4,0.05 SE( ˆβ) ± Dette gr ntervallene ( , ) for α, (0.33, 1.384) for β. Sden 5% konfdensntervallet for β kke nneholder null, kan v s med 5% konfdens at vekten øker når kroppshøyden øker. For å fnne ut hvor skre v egentlg er på dette, kan v fnne p-verden tl en ensdg test av hypotesene H 0 : β 0, H 1 : β > 0. Bruker ˆβ/SE( ˆβ) som testobservator, antar at denne er t-fordelt med fre frhetsgrader. Forkaster H 0 på sgnfkansnvå α hvs observert verd av testobservatoren er 5

6 større enn den krtske verden t 4,α. Utfra estmatene av ˆβ SE( ˆβ) har v observert verd ˆβ SE( ˆβ) I kvantltabellen tl t-fordelngen fnner v at t 4, t 4, Stgnngstallet er dermed sgnfkant større enn null på sgnfkansnvå 0.01, men kke på sgnfkansnvå Testens p-verd lgger et sted mellom dsse nvåene. Det er altså mer enn % skkert at vekten øker når kroppshøyden øker. Forventet vekt for person med høyde x 175 cm er ŷ ˆα ˆβx 7.8 kg kg/cm 175 cm kg. Et 5% predksjonsntervall for ŷ, kg, har endepunktene ŷ ± t n,0.05 s 1 1 (x x) n (x x) ŷ ± t 4,0.05 s (x x) (x x) ± ( ) ± , som svarer tl ntervallet (60.35, 3.653). Forventet vekt for basketballsplleren med høyde x 0 cm er ŷ ˆα ˆβx 7.8 kg kg/cm 0 cm kg grensene for det tlhørende 5% predksjonsntervallet er ŷ ± t 4,0.05 s 1 1 n (x x) (x x) ± ( ) ±.6017 som gr ntervallet ( , ). Når høyden er x 100 cm får v forventet vekt ŷ ˆα ˆβx 7.8 kg kg/cm 100 cm kg, med tlhørende 5% predksjonsntervall (.4345, ), funnet på samme måte som før. De målte høydene x 1, x,..., x n som nngår datasettet lgger alle mellom 6

7 156 cm 11 cm. Når v beregner forventet vekt for høydene x 0 cm x 100 cm bruker v modellen utenfor området hvor v har observasjoner, v kan derfor kke stole lke mye på dsse predksjonene som på den første, for x 175 cm. Dette gjenspeles av bredden på predksjonsntervallene. Når x 175 cm er predksjonsntervallet 34 kg langt, mot 5 kg når x 0 cm. For x 100 cm er den nedre grensen tl predksjonsntervallet sågar negatv. Sden en negatv vekt kke gr fyssk menng, er dette en ndkasjon på at v har beveget oss utenfor modellens gyldghetsområde. Tlleggsoppgave: De tre kvadratsummene blr SS T (y ȳ) , SS R (ŷ ȳ) (ˆα ˆβx ȳ) SS E (y ŷ ) (y ˆα ˆβx ) V ser at SS T SS E SS R, som alltd. Andelen av varasjonen vekt som forklares av modellen er r SS R SS T Sprednngsplott med nntegnede avvkskvadrater er vst nedenfor. SST y (kg) x (cm) 7

8 SSR SSE y (kg) y (kg) x (cm) x (cm) 8.3. Lar X Y være alder for gjenstander fra henholdvs vest øst. Antar at X Y er normalfordelt med forventnnger µ 1 µ samme varans σ. V skal teste H 0 : µ 1 µ (lk alder) mot H 1 : µ 1 µ (ulk alder). Beregner nterpolert varans Sp slk at S p Beregner T /15 1/ etter lgnng 8.3. Kan kke forkaste H 0 sden T t ( frhetsgrader). 8