Sannsynlighet seier noko om kor truleg det er at ei hending får eit bestemt utfall. Ein matematisk definisjon på sannsynlighet er:

Transkript

1 Dette notatet bygger på Append C I Dngamn, og er et forsøk på å gje en kort og enkel nnførng vktge statskske begrep me vl få bruk for GF-GG4. Sannsynlghet seer noko om kor truleg det er at e hendng får et bestemt utfall. En matematsk defnsjon på sannsynlghet er: Pr { A} = lm N N( A) N () der Pr{A} er sannsynlgheten for e hendng gjer utfallet A. (t.d. verden på den årlege maskmalvassførnga). N er antall hendnga, t.d. antall år en har nformasjon om årleg maskmalvassførng. N(A) er antall ganger hendnga får utfallet A, t.d. antall ganger maksmalvassførnga havnar et bestemt ntervall. Sannsynlghet er dmensjonslaust Har verd mellom og Sdan me har et begrensa antall utfall (N<< ), vl sasannsynlghetene me reknar ut vera tlnærmngar. Populasjon er den underlggande mengda av alle mogelege utfall av e hendng. F.eks. vl populasjonen for et ternngkast vera {,,3,4,5,6} medan populasjonen for vassførng vl vera alle postve verdar under en mogeleg maksmalverd. Et tval (sample) er de utfalla som me har observert. Vss me har gjort t ternngkast, vl utvalet utgjera de t verdane. Vss me har t år med observert vassførng, vl me ha t årlege maskmumsverdar. Utfall vl ofte vera nternt avhengge, t.d. vl vassførnga Glomma dag vera avhengg av vassførnga Glomma går, eller temperaturen på Blndern vera avhengg av temperaturen på Fornebu. Tdssereanalyse tar for seg kronologsk ordna dataserer som er avhengge td. Romlg statstkk (geostatstkk) tar for seg dataserer som er avhengge rommet. Utfall kan vera stasjonære, d.v.s uavhengge av td og rom. Men mange naturfenomen, t.d. temperatur er kkje stasjonære. Me har årstdssvngnngar og døgnsvgnngar tlleg tl mer langsktge temperaturforandrngar. De fleste hydrologske varablane vl vera kkje-stasjonære. I mange tlfeller kan en lkevel anta at dataene er stasjonære og få

2 brukbare resultat, men det er også mogeleg å nkludera kkje-stasjonartetar en statstsk modell. Me brukar statstkk for å fnna ut kva verd en varabel mest sannynleg vl ha, og kor uskker denne verden er. Når me måler nedbør og temperatur, får me verdar for svært avgremsa område, me kallar det punktmålngar. Ønsker me å nterpolera nedbøren og temperaturen dvs. å fnna ut kva verd desse varablane har der me kkje har gjort målngar, kan me bruka romleg statstkk for å fnna de mest sannsynlege verdane. Statstkk kan også. Me kan også snu på spørmålet og søka å fnna ut kor sannsynleg det er at en varabel tar en vss verd. I ekstremverdstatstkk vl me fnna ut kor stor en - eller års flom kan bl. E sannsynlghetsfordelng vser korles sannsynlgheten tl utfalla av e hendng fordeler seg over alle mogelege utfall. E hendng kan ha dskret utfall, t.d. ternngkast. E dskret sannsynlghetsfordelng har følgande egenskapar { } p ( ) Pr = p ( ) = alle ( ) Pr{ } = F p ( ) () (3) (4) p blr kalla sannsynlghetstetthet og vser sannsynlgheten for å få en bestemt verd. F blr kalla (kumulatv) sannynlghetsfordelng og vser sannsynlgheten for å få utfall som er mndre eller lk en bestemt verd. Samanhengen mellom p og F er gtt (4)

3 p() F() Fgur Dskret sannynlghetstetthet og dskret (kumulatv) sannsynlghetsfordelng. E hendng kan ha kontnuerlg utfall, dvs hendnga kan ta alle verdar (eventuelt nnanfor et ntervall), t.d. døgnmddelvassførng. Sannsynlgheten for en bestemt verd på utfallet er null, men en kan rekna ut sannsynlghet for at utfalle havner et ntervall. Samanhengen mellom e tetthet f () og fordelng F () er gtt ved: { } = F ( ) = Pr f ( ) d f ( ) d = (5) (6) f() F() Fgur Kontnuerlg sannynlghetstetthet og kontnuerlg (kumulatv) sannsynlghetsfordelng. E fordelng kan vera teoretsk eller emprsk. En formel for å rekna ut emprsk fordelng er (også kalla plotteformel): F ( ) = N + (7) der er en ordna observasjonssere og N er talet på data en har. Bruk av (7) vl gje svært uskre resultat for de største og mnste verdane. Hstogram kan nyttast som en emprsk

4 sannsynlghetstetthet, her vl talet på verdar nnanfor kvar søyle avgjera kor skker kvar hstogramverd er. Ofte vl me prøva å tlpassa dataene tl e teoretsk fordelng me vet, trur eller håper at dataene følger. Ekstremverdar, t.d. flommar følger ekstremverdfordelngar. Gjennomsntt, t.d. årsmddelvassførng, følgjer ofte normalfordelnga. Me kan også bruka statstske testar for å fnna ut kor godt e fordelng passar tl data tlleg tl vsuelle samanlknngar av teoretske og emprske fordelngar. Det fnst ferdge formlar for både dskrete of kontnuerlege toeretske fordelngar. Den mest kjende er normalfordelnga: f ( ) = ep µ πσ σ (8) Mange metodar me brukar statstkk er basert på at dataene følger ebestemt fordelnng. T.d er lneær regresjon basert på at dataene følger normalfordelnga. Me har mål for lokasjon og sprednng av data for å beskrva de statstske egenskapane, og for å samanlkna med kjende teoretske fordelngar. Desse måla gr e god skldrng av dataene og de kan også brukast for å tlpassa observerte data tl e teoretsk fordelng. Gjennomsntt, varans, standardavvk og skjevheten blr kalla moment ford de skldrar momentet tl fordelnga om nullpunktet eller om et tyngdepunkt. Mål på kor verdane frå utfalla samlar seg: Medan: Verden mdten av e ordna sere. Seer noko om sentrum fordelnga. Modalverd: Verden som har størst sannsynlghet, t.d. toppunktet på e kontnuerlg fordelng. Gjennomsntt: Tyngdepunktet fordelnga, og er et. ordens nullpunktsmoment. Blr også kalt forventngsverden tl varabelen : E() For dskret fordelng: E ) p ( ) For kontnuerlgfordelng: E ) f ( ) ( = (9) alle ( = d () n Estmat ut fra observasjoner: E( ) = () n = E + Y = E + E Y () For summen av to varablar: ( ) ( ) ( ) (Forventngsverd tl en funksjon g av den tlfeldge varabelen, g(), blr rekna ut som: E( g( )) = g( ) f ( ) d ) (3)

5 I symmetrske fordelngar vl medan, modalverd og forventng vera dentske, medan for usymmetrske fordelngar vl de kkje alltd vera lke (Fgur ). Fgur syner kva effekt forskjellge verdar av gjennomsnttet har på e fordelng f() Modalverd Forventnng Medan Fgur 3 Mål på lokasjon: modalverd, medan og forventng E()<E()<E(3) Fgur 4 Effekten av forventnnga. Mål på spredng Kvantlar: Kan estmerast ut frå e ordna datasere, t.d. [ ] Varans: Skldrar sprednga om gjennomsnttsverden og er. ordens momentet om gjennomsnttet: S ( ) = E E( ) (4) [ ]

6 For dskret fordelng: ( ) [ E( )] S = p ( ) (5) For kontnuerlg fordelng: S ) ( E( )) f ( ) ( = d (6) Estmat ut frå observasjonar: S ) = ( E( )) = n ( (7) n For summen av to uavhengge varablar: S ( Y ) = S ( ) + S ( Y ) + (8) Standardavvk: standardavvket er kvadratrota av varansen. Blr ofte brukt sdan det har same enng som gjennomsnttet og grunnlagsdataene. S ( ) = S ( ) (9) Fgur 5 syner kva effekt ulke verdar på standardavvket har på e fordelng. Varasjonskoeffsent: er standardavvket delt på gjennomsnttet. Blr ofte brukt når standardavvket er avhengg av storleken på gjennomsnttet. Dette gjelder mange hydrologske fenomen. T.d. vl standardavvket på årsmddelvassførng vera avhengg S( ) av storleken på årsmddelvassførng. CV ( ) = () E( ) S()<S()<S(3) Fgur 5 Effeten av stmandardavvk. Mål på skjevhet Skjevhetskoeffsenten seer noko om fordelnga er symetrsk om gjennomsnttet, eller om fordelnga har hale mot vesntre eller høgre.

7 3 [ E( ) ] E SK( ) = (9) 3 S ( ) Fgur 6 syner kva effekt ulke verdar for skjevhet har å se for e fordelng SK()<SK()<SK(3) Fgur 6 Effekten av skjevhet. Kovarans beskrver den lneære samanhengen mellom to tlfeldge varablar. T.d. vl en fnna god samvarasjon mellom årsnedbør og årsavrennng. COV (, Y ) E{ [ E( )][ Y E( Y) ]} = E( Y) E( ) E( Y) () Me ser at vss negatve eller postve avvk frå forventnngsverdane ofte opptrer samtdg, får me postv kovarans. Vss de opptrer motsatt av enannan, får me negatv kovarans. Er det kkje nokon samvarasjon mellom de to varablane er kovaransen null. Korrelasjonskoeffsenten er e normalserng av kovaransen. Korrelasjonen vl ha verdar mellom - og. verden - betyr at låge verdar av den ene varablen gjer høge verdar av den andre. verden betyr at høge verdar av den ene varabelen gr høge verdar av den andre. Verden betyr ngen korrelasjon. Følgjande lknng brukast for emprsk estmerng av korrelasjon: R(, Y ) = n = ( E( ))( y E( Y )) ( n ) S( ) S( Y ) Lneær regresjon er en mykje brukt metode for å fnna parametrane (a og b) e lknng av typen Y=a+b. ()

8 Merk at korrelasjonen berre skldrar lneær samanheng mellom to varablar. Det er dfor kkje alltd at korrelasjonen seer alt om det er en tydeleg samanheng mellom data. Det løner seg dfor ofte å laga fgurer slk at en kan sjå korles en eventuelt samvarajon er. I hydrolog blr ofte overskrdngssannsynlghet brukt, speselt når en jobbar med ekstremverdar for flom og er: EP ( ) F ( ) () Gjentaksntervall er gjennomsnttlg antall tdsntervall mellom kvar gang e hendng vl skje. T.d. er tusenårsflommen en flom som gjennomsnttleg kjem kvart tusande år. TR ( ) = EP ( ) F ( ) (3) Dette blr det mer om samband med vassførng og ekstremverdar som kjem slutten av kurset. Varghetskurve er en grafsk framstllng av overskrdngsfrekvens for en tdsserevarabel der tdssere varabelen er mdla over en tdsperode. Dette blr t.d. gjort for nedbør, der en kan laga varghetskurver for gjennomsnttlg nedbør over mn, 5, mn, døgn osv. Som regel estmerer me kvantlar, gjennomsntt, standardavvk, korrelasjonskoeffsentar på grunnlag av data som er et lte utval frå den underlggjande fordelnga. Dataene er tlfeldge varablar, og alle momenta som estmerast vl også vera tlfeldge varablar som er uskre. Standardavvket for slke estmat blr ofte kalla for standardfel. S( ) Gjennomsntt: S [ E( )] =, er normal eller t-fordelt. (4) N S( ) Standardavvk: S [ S( )] =, Er χ-fordelt (5) N ( )

9 Korrelasjon: W + R(, Y ).5ln S ( W ) =, Normalfordelt (6) R(, Y ) N 3 ( ) Me ser at standardfelen på estmatene mnkar med talet på data. For å få skre estmat, må me dfor ha flest mogeleg data. Persstens er tendensen for at høge verdar følger høge verdar og låge verdar følger låge verdar. Været dag er nesten slk som været går var. Autokorrelasjon er et mål på korrelasjon mellom verdar over et bestemt tdsntervall {[ E( )][ E( )]} E + R( ) S ( ) Den estmeres slk ut frå data: N {[ E( )][ E( )]} + = R( ) = ( N ) S ( ) (7) (8) Postv autokorrelasjon vser persstens. Autokorelasjon data fører tl at en underestmerer standardfelen estmert gjennomsntt og standardavvk osv. For estmat av korrelasjonskoeffsenten vl to dataserer som begge har postv autokorrelasjon få for høg estmert korrelasjon. Dette kan en kompensera for ved å rekna ut effektv lengde på dataseren.