Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 18. mars 2002

Transkript

1 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Markeder under uskkerhet Uskkerhet vktg mange (de fleste? markeder Uskkerhet omkrng framtdge prser og leverngsskkerhet (f.eks. om leverandør går konk Uskkerhet omkrng kvaltet Vl her konsentrere oss om markeder som har tl hovedhenskt å behandle uskkerhet, d.v.s. å overføre rsko mellom aktører Speselt: Forskrng og verdpaprer, særlg aksjer Målsettng å kunne svare på hva som avgjør prs og omsatt kvantum slke markeder Hvordan dsse avhenger av bl.a. aktørenes holdnnger tl rsko (rskoaversjon m.m., samt hvordan de påvrkes av bl.a. endrnger uskkerhet Også: Hvordan endres øvrge resultater mkroøkonom når det er uskkerhet? Frkonkurranse, monpol, olgopol, offentlge nngrep (f.eks. avgfter vs. kvoter, skatter Hva med velferdsteor, sammenheng mellom frkonkurranse og Pareto-optmum?

2 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Indfferenskurver for tlfellet S = Forenkler: Starter med bare to tlstander (to utfall Kan tegne ndfferenskurver omtrent som vanlg Langs akse nr. s: Konsum tlstand s, s =, o Husk: Dette er ex ante ndfferenskurver o Bare en av de to konsumstørrelsene blr realsert Rskonøytral person: Bryr seg bare om EC ( o Indfferenskurve: EC ( holdes konstant o EC ( πc+ πc = k gr π k C = C+ π π Rskoaversjon, dermot, gr konvekse kurver o Trenger mer kompensasjon C for å avg en enhet C jo mndre C er forhold tl C

3 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Indfferenskurver for tlfellet S =, forts. Indfferenskurve, generelt: u = πu( C + π u( C Totaldfferenserer: du = πu '( C dc+ π u( C dc Fnner margnal substtusjonsbrøk (MSB når du = 0: dc πu '( C C =, voksende dc π u '( C C sden u ' avtakende Langs skkerhetslnja (45-graders-lnja, der C = C, blr MSB lk dc πu '( C π = = dc π u '( C π Langs denne lnja er helnngen uavhengg av u- funksjonen, bl.a. uavhengg av rskoaversjonen 3

4 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Forskrng (Varan, avsn..5 Eksempel der S = kke er helt urealstsk: o W er formue hvs kke skade (tlstand s = o W L er formue hvs skade (tlstand s = o Sannsynlghet for skade er p Innfører mulghet for forskrng: o Innbetalng π q uansett om skade nntreffer o Utbetalng q (deknngen hvs skade nntreffer o π kalles forskrngsraten, prs per enhet deknng o π q kalles forskrngspremen Forventet nytte: pu( W L π q + q + ( p u( W π q Ser på tlfellet der q kan velges frtt mellom 0 og L Førsteordensbetngelse for ndre maksmum: pu '( W L π q + q π = ( pu '( W π q π Tolknng: MSB lk helnng på mulghetsområde? Gjenstår å vse hva mulghetsområdet er W π L W L W π L W 4

5 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Forskrng, forts. Mulghetsområdet: Starter punktet ( WW, L Øknng q med en enhet vl redusere formuen tlstand med π q enheter, øke formuen tlstand med q π q enheter, uansett hvor v er på mul.omr. Dette gr oss et rett lnjestykke med helnng q π q π =, jfr. førsteordensbet., forrge sde π q π Fgur forrge sde vser typsk tlpasnng når π > p Hva skal tl for at kunden velger full deknng? Svar: π = p, sden MSB er ( p / p langs 45º Vst fguren på denne sda Varan vser: Når π = p vl forventet overskudd tl selskapet være null Kalles aktuarsk rettferdg forskrng Utelatt fra modellen så langt: Asymmetrsk nfo o Ulke p hos ulke kunder gr problem for selsk. o Dessuten kan kundene kanskje påvrke p o Tema senere kurset, Varan kap. 5 W π L W L W π L 5 W

6 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Edgeworth bytteboks for to tlstander Lengden på horsontal sde: Samlet tlgjengelg konsum neste perode tlstand Lengden på vertkal sde: Samlet tlgjengelg konsum neste perode tlstand Krav på dsse er de to varene som nngår de to ndvdenes forventede nytte Bytteboksen forutsetter at de to ndvdene utgangspunktet eer slke krav på tlsammen alt tlgjengelg konsum, altså et punkt dagrammet Tangerngspunktene gr Pareto-optmale allokernger Hvs utgangspunktet kke er Pareto-optmalt: Mulg å foreta bytte av krav som er fordelaktg for begge Hvs boksen er kvadratsk: All uskkerhet kan unngås Hvs kke kvadratsk: Mnst en må bære rsko Speselt fguren: Samme u -funksjon for begge 6

7 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Eksempel: Eksamensoppgave SØK400 våren 000 En bonde (bonde dyrker poteter. Hvs det blr mldvær, blr avlngen 0. Hvs det blr frost, blr avlngen. Naboen (bonde, som vl være utsatt for samme vær, dyrker også poteter, men på en annerledes åker. Hvs det blr mldvær, blr avlngen 6. Hvs det blr frost, blr avlngen 4. De to bøndene lever på et solert sted uten andre mennesker, og de konsumerer bare poteter. (Avlngene er nettotall, dvs. avlng ut over behovet for settepoteter for den følgende peroden. Sannsynlgheten for mldvær er π, og sannsynlgheten for frost er π. Begge bøndene oppfatter stuasjonen slk den er beskrevet her. Anta at hver bonde maksmerer forventet nytte πu ( CM F + ( π u ( C, hvor u er en strengt økende og strengt konkav nyttefunksjon, og hvor C M er konsumert mengde poteter for bonde hvs det er mldvær, og C F er konsumet hvs det blr frost. a Illustrer en Edgeworth-boks hvordan det kan tenkes at bøndene har nytte av å nngå en avtale om delvs bytte av avlng. Du kan anta at avtalen vl bl nngått før været blr kjent, og at den oppfattes som bndende for begge parter. b Vs Edgeworth-boksen hvlke allokernger som er Pareto-optmale. Bruk uttrykkene for forventet nytte tl å utlede førsteordensbetngelsen for Pareto-optmale allokernger. 7

8 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Eksamensoppgave SØK400 våren 000, forts. Svar: Førsteordensbetngelsen er lkhet mellom margnale substtusjonsbrøker for bøndene, der v kan elmnere sannsynlghetene, sden oppfatnngene er lke u' ( C u ' ( C M F = u' ( C u ' ( C M F = u' (6 C u ' (6 C M F I den sste brøken har v satt nn for samlet, tlgjengelg konsum mnus den delen som går tl bonde Anta resten av oppgaven at for hver bonde har funksjonen u følgende form u k C ( C = e, hvor k er en postv konstant, som kan være den samme for begge bønder eller ha to ulke verder. a Forklar betydnngen av konstanten k denne nyttefunksjonen. Svar: Regn ut den førstederverte og den andrederverte, og vs at k er lk målet for absolutt rskoaversjon b Bruk resultatet under punkt b tl å fnne et eksplstt uttrykk for hvlke allokernger som er Pareto-optmale. (Hnt: Sett nn de eksplstte funksjonsformene for u og u betngelsen under punkt b. Vs resultatet Edgeworth-boksen, først for tlfellet der k = k, og så for tlfellet der k = 4k. 8

9 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Svar: Lkhet mellom margnale substtusjonsbrøker for dsse nyttefunksjonene kan skrves ke k e k C k C M F = k k e k e k (6 C (6 C M k ( CM CF = k(6 CM 6 + CF C F = C M F 0 k + k som er rette lnjer bytteboksen, med helnng 45 grader Sste del av eksamensoppgaven overlates tl selvstudum: Vs at den opprnnelge allokerngen er Pareto-optmal hvs k = k 4. Under hvlke betngelser vl bonde avg avlng mldvær mot å få avlng ved frost, og under hvlke betngelser vl det være omvendt? Om v holder k fast, drøft vrknngen Edgeworth-boksen av at k 0, og g en ntutv forklarng på dette. 9

10 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Fnansmarkeder under uskkerhet (Varan kap. 0 Gjennomgår fem ulke varanter av samme modell Resultatene modellene har store lkhetstrekk Hovedresultat: I en markedslkevekt vl fnansobjekter ha lavere verd jo mer rskable de er, men det betyr, jo mer de bdrar tl eerens samlede rsko Hvert ndvd har mulghet tl å dversfsere Setter sammen en portefølje av mange objekter (verdpaprer, evt. også andre kaptalobjekter Hvs kke alle objektenes avkastnnger er perfekt korrelerte, vl samlet rsko bl mndre enn rskoen ved å plassere bare ett (eller noen få objekt(er Ved vurderngen av hvert objekt: Avgjørende om avkastnngen samvarerer med avkastnng på andre objekter Lav samvarasjon er gunstg; da bdrar objektet tl å redusere uskkerheten den samlede porteføljen Måles ved en kovarans, ltt ulk de ulke modellene, f.eks. kovaransen med summen av de framtdge verdene av alle de andre objektene Høyere kovarans betyr objektet er mer rskabelt en porteføljesammenheng; det vl derfor ha lavere verd Kovaransen kan tenkes å være negatv (selv om det er sjelden prakss; så fall blr objektet verdsatt ekstra høyt, høyere enn om avkastnngen kke var uskker 0

11 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Felles antakelser for modellene (Varan , Bare to peroder, t = 0,, bare uskkerhet om den sste Indvd, =,, I, løser et maksmerngproblem: En gtt formue W fordeles mellom konsum c ved t = 0 og nvesternger p a X a verdpapr a, A a= 0,, A; budsjettbetngelse W = c + p a 0 ax = a Ved t = får nvesterngene verdene V a X a, og konsumet er = a A C = 0Va X a ; ngen andre nntekter Dagens verdpaprprser p 0,, pa og sannsynlghetsfordelngen tl neste perodes verdpaprprser V0,, VA oppfattes som eksogene av ndvdene; prstakeratferd Defnerer porteføljevekter xa = pa X a /( W c, A slk at a =0 x a = max { u ( c + α E[ u ( C ]} ( α postv konstant c, x,, x A Hvs noe papr utbetaler kontanter (utbytte, renter etter t = 0, er dsse nkludert verden V a I de tre modellene v skal se på: Antar at det ekssterer et rskofrtt papr, papr nr. 0 (eller 0.7 at det kan settes sammen en portefølje som er rskofr; dette gjør det enklere å fnne nteressante resultater, men det fns beslektede modeller uten denne antakelsen Avkastnngen på papr a er R a, og dette er kap. 0 defnert som en pluss avkastnngsraten En pluss rskofr rente er R 0

12 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Maksmerng av forventet nytte (Varan avsn. 0.6 På sde 379 gjøres det kke ytterlgere forutsetnnger Derfor heller kke så anvendbare resultater Lknng (0.3 lar seg kke aggregere over ndvder (uten ytterlgere forutsetnnger Men nyttg å starte med denne modellen lkevel Om v dropper fotskrft, blr maksmerngsproblemet A max u( c + αe u ( W c R0 + xa ( Ra R0 c, x,, xa a= Sammenlknet med det enkleste porteføljeproblemet: Flere verdpaprer, vktg, også u (c ved t = 0, uvktg Defnerer nå avkastnngen på samlet portefølje som A R = R0 + xa ( Ra R0 a= Konsumet ved t = kan nå skrves somc = ( W c R A + førsteordensbetngelser: u' ( c αe[ u' ( C R] = 0 E[ u' ( C ( W c( Ra R0 ] = 0 for a =,, A Den første av dsse vedrører bare avvenng mellom t = 0 og t = ; det er denne α har betydnng; valget av xa -ene skjer som om W c var en gtt størrelse De resterende A betngelsene kan omskrves tl 0 = E[ u' ( C ( R ] cov[ ' ( a R0 = u C, Ra ] + E[ u' ( C ]( Ra R0 cov[ u' ( C, Ra ] Ra = R0 E u' ( C [ ]

13 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Tolknng av førsteordensbetngelsen for objekt a (Varan, lkn. (. og (0.3 [ u' ( C, Ra ] [ ' ( C ] cov Ra = R0 E u Bortsett fra notasjonen er det tlsynelatende bare en forskjell på lkn. (0.3, gjengtt ovenfor, og lkn. (., nemlg at (. har W stedet for C Men en to-perode-modell er heller kke dette noen forskjell: Formuen sste perode brukes tl konsum Lknngene ser at forventet avkastnng for et kaptalobjekt er forskjellg fra R 0, en pluss rskofr rente, hvs kovaransen er forskjellg fra null Kovaransen vl normalt være negatv: R a har postv kovarans med C, dels ford den utgjør en del av budsjettet for C, delvs ford den (emprsk, vanlgvs har postv kovarans med resten av budsjettet, R b-ene ( b a Sden u ' ( er avtakende, antas det ofte at cov ( C, Ra > 0 cov[ u' ( C, Ra ] < 0, sden høye u ' C Varan presenterer den sste sammenhengen som en almengyldg regel, fel; det fns moteksempler: Fnn selv fortegnene for ( C R cov, a og cov [ u' ( C, R a ] når S = 4, alle π s = / 4, u( c ln( c, ( C = (,,3,4 og ( R = (,4,4,3 utfall for C faller sammen med lave utfall for ( s as 3

14 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Tolknng av førsteordensbet. for objekt a, forts. [ u' ( C, Ra ] [ ' ( C ] cov Ra = R0 E u Har satt nn gjen fotskrft for ndvd Kovaransen som regel negatv, nevneren postv, derfor: R a er som regel større enn R 0 Tolknng: Indvdet krever et tllegg forventet avkastnng på objekt a den grad objekt a bdrar tl uskkerheten ndvdets konsum (va u ' ( C Men husk: Indvd kan bare påvrke én varabel lknngen, nemlg C, gjennom valget av den porteføljen som skal danne grunnlaget for C Tolknngen blr derfor at ndvdet tlpasser valget av x a slk at kovaransen blr akkurat passe stor på margnen; hvs x a f.eks. er lavere, vl kovaransen være mndre absoluttverd, venstre sde av lknngen er større enn høyre, og ndvdet ønsker å øke x a Ved lkevekt fnansmarkedene, forutsatt at alle har samme oppfatnnger om sannsynlghetsfordelnger: Lknngen må gjelde for alle, hvert fall for alle som har postve beholdnnger av objekt a Vanskelg å teste lknngen, sden den kke er uttrykt observerbare varabler, og heller kke kan aggregeres for alle ndvder uten ytterlgere forutsetnnger Så langt gr modellen ntusjon, men er vanskelg å anvende; den gr heller kke flere teoretske resultater Vdereutvklng retnng anvendelse: Avsn. 0.4 Vdereutvklng retnng velferdsteor: Avsn