Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering"

Transkript

1 Lekson 3

2 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng på det opprnnelge LP Fase II: Iteratv prosess for å fnne optmal løsnng Pvoterng Valg av nngående varabel Valg av utgående varabel Pvoterngsregler Ubegrensede LP Spesaltlfeller genstår MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 2

3 Generell metode for å løse LP Iteratv, hver terason kalles pvoterng Strateg starter med å fnne brukbar løsnng fnner hele tden ny løsnng med bedre obektvverd helt tl ngen forbedrng er mulg Fnner optmal løsnng hvs den fnnes Fnner ut under marsen om problemet er nkonsstent (ubrukbart) ubegrenset Intell løsnng Intell obektvverd ζ ζ ζ (1) (K) (1) (K) Optmal løsnng Optmal verd MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 3

4 Utgangspunkt: LP på standardform n ma c slk at = 1 n = 1 a b = 1,,m 0 = 1,,n MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 4

5 ζ = n = 1 c n+ = 1 n = b a = 1,,m Dette er den ntelle basstabell (nummer 0, etter 0-te terason) Smpleksmetoden modfserer basstabell teratvt søk etter optmal løsnng Flytt fra én brukbar bassløsnng tl en bedre brukbar bassløsnng Flytter en varabel ut av bass og en nn bass MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 5

6 ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν n avhengge varable, bassvarable m fr, uavhengge varable, kke-basske varable Indeksmengde for bassvarable etter k-te terason Indeksmengde for kke-basske varable Intelt: Β Ν Β = + + { n 1,, n m} Ν = { 1,, n} MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 6

7 I hver terason Smpleksmetoden går nøyaktg en varabel fra å være bassk tl å være kke-bassk går nøyaktg en varabel fra å være kke-bassk tl å være bassk Varabel som går nn bass kalles nngående varabel Varabel som går ut av bass kalles utgående varabel Et slkt bytte av varable kalles en pvoterng (tlsvarer terason) k-te basstabell (etter k-te terason (pvoterng)): ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 7

8 ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν Inngående varabel etter k-te pvoterng velges slk at obektvet øker det vl s postv koeffsent obektvet = I Hvs slk kke fnnes, må v ha en optmal løsnng! Hvs det er flere postve koeffsenter, må v velge Flere mulge valgkrterer, f. eks. største postve koeffsent Ulke valgkrterer gr varanter av Smpleksmetoden { } I( k) Ν : c > 0 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 8

9 ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν Valg av utgående varabel etter k-te pvoterng Anta at v har valgt nngående varabel = I k V vl øke verd på nngående varabel så mye som mulg = U Endrngen vl medføre endrng verden på bassvarablene Brukbar bassløsnng etter k-te pvoterng: ζ = ζ = b, B MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 9 ( )

10 Basstabell etter k-te terason ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν Tlhørende bassløsnng ζ = ζ = I = b, B Endrngen verd på nngående varabel vl medføre endrng verd på bassvarablene tlhørende bassløsnng, på følgende måte: = b a B I I MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 10

11 V må passe på brukbarhet av bassvarablene når v øker verd på nngående: = b a B I I = I Ikke alle bassvarable er krtske, kun de med postv a I = b a 0 B : a > 0 I I I Øker verd på nngående så mye som mulg, krtske verder: b =, B : a > 0 I I ai MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 11

12 V velger utgående varabel slk at v er garantert brukbarhet for alle bassvarablene når verd på nngående varabel økes tl utgåendes grenseverd = U b U ( k) B : ai > 0 mnmal a I Ekvvalent formulerng a I U ( k) B maksmal b Mulghet for valg blant flere kanddater Ulke valgkrterer gr varanter av Smpleksmetoden MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 12

13 = I k Velg nngående varabel ( ) med postv koeffsent obektfunkson (f.eks. maksverd) { } I( k) Ν : c > 0 = U Velg utgående varabel som skrer brukbarhet når nngående varabel økes mest mulg a I U ( k) B maksmal b Endrngen gr ny basstabell, prosessen kalles pvoterng Mulghet for valg av unngående og utgående blant flere kanddater (men slk at kravene oppfylles) Valgkrterer kalles pvoterngsregler Ulke valgkrterer gr varanter av Smpleksmetoden MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 13

14 Noen uavklarte tlfeller Intell løsnng, hva om en b < 0? Ved valg av utgående varabel pvoterng: a I U ( k) B maksmal b Hva om en b = 0? MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 14

15 ζ = Ν c = b a, Β Ν Anta at det fns mnst en b < (ellers har v brukbar ntell bassløsnng og v er gang) Strateg: Lag helpeproblem slk at: enkelt å fnne første brukbare bassløsnng optmal løsnng tl helpeproblem er brukbar løsnng for opprnnelg problem 0 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 15

16 n = 1 n ma ζ = c slk at = 1 a b = 1,,m 0 = 1,, n Innfører ny varabel 0 0 Helpeproblem: ma ξ = slk at n = 1 0 a b = 1,,m 0 0 = 0,,n Opprnnelge problem har brukbar løsnng hvss helpeproblem har (optmal) løsnng med 0 = 0 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 16

17 !"#! ξ = 0 = b + a n = 1 = b + a 0 n+ m m 0 m = 1 n n Vl pvotere med nngående I = 0, = 0 La p være slk at { } m ( ) b = mn b b < 0 p = 1 p Vl la utgående være p+ n, = U = p + n MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 17

18 $% "#! ξ = 0 = b + a n = 1 = b + a n+ p p 0 p = 1 = b + a 0 n+ m m 0 m = 1 n n n Dette gr brukbar bassløsnng! = bp ap n + p = 1 n MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 18 n = ( b b ) + ( a a ), p p = 1 = n + 1,, m n + p n ξ = bp ap n+ p = 1

19 &!#! n ξ = bp ap n+ p = 1 n 0 = bp + ap + n + p = 1 n = ( b b ) + ( a a ), = n + 1,, m n + p p p = 1 V har brukbar bassløsnng for helpeproblemet Fortsetter pvoterng som vanlg mot optmal løsnng Optmal løsnng på helpeproblemet gr brukbar løsnng på det opprnnelge LP Bruker denne som ntell løsnng på opprnnelg LP MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 19

20 ' ' Det å løse helpeproblemet (om nødvendg) og derved fnne brukbar løsnng for det opprnnelge problem kalles Smpleksmetoden Fase I Det å fortsette Smpleksmetoden med den brukbare løsnng fra Fase I mot optmal løsnng kalles Smpleksmetoden Fase II MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 20

21 (!! Ved valg av utgående varabel skal brukbarhet skres når nngående varabel økes mest mulg a I U ( k) B maksmal b Hva om en b = 0? Hva om alle I 0? a < = b a 0 B : a > 0 I I I Hvss alle I 0 a er det ngen begrensnnger på I Problemet er da ubegrenset! MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 21

22 ) #!# * Hva om en b = 0? Det er tema for denne leksonen MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 22

23 "!! En basstabell ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν ses å være degenerert dersom Β = : b 0 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 23

24 !! Kan skape problemer pvoterng, men kke nødvendgvs Eksempel (fra boka, kompakt basstabell) ζ = = = = 5 1 Ubegrenset problem, trenger kke beregne for valg av utgående! Degenerert basstabell MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 24

25 " En pvoterng ses å være degenerert dersom en av brøkene beregnng av utgående varabel er + a I U ( k) B maksmal b = b a 0 B : a > 0 I I I Degenerert pvoterng kan skape problemer! MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 25

26 ! +$,$ = 1 w 2 2 w = + 5w ζ = w ( 0,0,1,0,0, 3) a I U B maksmal ( 0) b 0 1 = = + Degenerert basstabell Utgående er w 2 Degenerert pvoterng V kan kke øke nngående Pvoterer lkevel! MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 26

27 ! +$, = w 2 2 = w + w (1) ζ = w 2 + w ( 0,0,1,0,0, 3) (1) Inngående er 1 Utgående er Samme løsnng! 3 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 27

28 ! +$,- (2) ζ = w 2 w1 = 2 2 w = 2 2 w ( ) (2) 2, 2,0,0,0,6 Optmal løsnng! Degenerert pvoterng brakte oss vdere! Det er vanlg, men kke alltd tlfelle... MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 28

29 !. Degenererte pvoternger kan brnge oss tlbake tl en tdlgere basstabell Dette kalles syklsk pvoterng Smpleksmetoden vl da gå evg løkke Under vsse pvoterngsregler kan Smpleksmetoden g syklsk pvoterng Eksempel: nngående: største (postve) koeffsent utgående: mnste ndeks Syklsk pvoterng for et problem med optmal løsnng kan bare ske med problemer med mnst 6 varable og 3 førnger Se eksempel boka MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 29

30 /%$ / Hvs Smpleksmetoden kke termnerer, må den ha syklsk pvoterng Bevs: Tlstanden Smpleksmetoden er fullstendg bestemt av hvlke m varable som er basske (og hvlke n som er kke-basske) Det er et endelg antall mulge tlstander n + m n + m = m n MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 30

31 Vl kke øke verd på obektv (ford v kke kan øke verd på nngående) Hvs kke verd øker en pvoterng, må den være degenerert Hvs v har syklsk pvoterng, må alle pvoternger som nngår sykelen være degenererte Hvorfor? = b a 0 B : a > 0 I I I MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 31

32 Vanlg Syklsk pvoterng er uvanlg Mange verktøy tar kke hensyn tl syklng Det fns pvoterngsregler som garantert unngår syklsk pvoterng MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 32

33 ! 0 ",$- Spesfkk pvoterngsregel Garanterer at syklsk pvoterng kke sker Utgangspunkt: Syklsk pvoterng sker ford Strateg: Sørge for at Hvordan? b 0 b = MOD233 - Ger Hasle - Lekson

34 ! 0 ",- ζ = ζ + Ν c = b a, Β Ν Legge tl små, tlfeldge, uavhengge perturbasoner høyresdene basstabellen Kan gøres, men v velger annen løsnng: Legger tl fkserte, små tall hver førng, med ulk størrelsesorden MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 34

35 ! 0 ",- ζ = ζ + Ν = 1 + ε Β Ν b a, = m + ε m m m m Β Ν b a, 0 < ε << ε << ε << alle kons tan ter problemet m m 1 1 c V forutsetter: Ingen lneærkombnason av perturbasonene kan produsere tall samme størrelsesorden som data problemet Perturbason på ett nvå kan kke eskalere tl tall på høyere nvå MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 35

36 ! 0 ",1- Behandler perturbasonene som symbolske parametre (konstanter) Tar de med pvoterng Vl aldr få valg pvoterngen (vel...) Vl da aldr få degenerert basstabell Se eksempel læreboka ζ = ζ + Ν = b + ε a, Β Ν = b + ε a, Β m m m m m Ν 0 < ε << ε << ε << alle data problemet m m 1 1 c MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 36

37 " ζ = ζ + Ν = b + ε a, Β Ν = b + ε a, Β m m m m m Ν 0 < ε << ε << ε << alle data problemet m m 1 1 c Når perturbasoner av denne type behandles som parametre og tas med pvoterngen, ses pvoterngen å følge den lekskografske metode Valg av nngående varabel blr kke endret Valg av utgående vl alltd g entydg svar MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 37

38 /% ". Smpleksmetoden med den lekskografske metode gr aldr syklsk pvoterng Korollar: Smpleksmetoden med den lekskografske metode termnerer alltd MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 38

39 /%233,$- ζ = ζ + Ν = b + ε a, Β Ν = b + ε a, Β m m m m m Ν 0 < ε << ε << ε << alle data problemet m m 1 1 c Nok å vse at v aldr får degenerert basstabell Den ntelle basstabell er kke degenerert Hvordan ser basstabellen ut etter k pvoternger? Det er kun konstantleddene på høyresden som vl endre seg MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 39

40 /%233,- ζ = ζ + r01 ε r0m εm Ν = b + r ε + + r ε a, Β Etter k pvoternger (k>1) ser basstabellen slk ut: ( k) m m 1 1 Ν = b + r ε + + r ε a, Β ( k) m m m1 1 mm m m m Ν 0 < ε << ε << ε < < alle data problemet m m 1 1 Ifølge forutsetnngene kan kke denne basstabellen være degenerert c MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 40

41 /%233,- ζ = ζ + r01 ε r0m εm Ν = b + r ε + + r ε a, Β ( k) m m 1 1 Ν = b + r ε + + r ε a, Β ( k) m m m1 1 mm m m m Ν 0 < ε << ε << ε < < alle data problemet m m 1 1 c V forutsatte: Ingen lneærkombnason av perturbasonene kan produsere tall samme størrelsesorden som data problemet Perturbason på ett nvå kan kke eskalere tl tall på høyere nvå Ifølge forutsetnngene kan kke denne basstabellen være degenerert MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 41

42 4 Ved flertydghet valg av nngående eller utgående varabel, velg alltd den varabel som har mnst ndeks MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 42

43 /% Smpleksmetoden med Blands pvoterngsregel termnerer alltd MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 43

44 /%2,$- Ad absurdum Antar syklsk pvoterng og vser at det fører tl selvmotsgelse Anta at løkka starter terason 0 og varer k terasoner med basstabeller: (1) ( k 1) (1) D, D,, D, D, D, Ser at en varabel er vnglete hvs den går nn og ut av bass sykelen La La t være den vnglete varabel som har størst ndeks D være den basstabell der t er utgående MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 44

45 /%2,- La s være nngående D ζ = ζ + Ν c = Β Ν b a, Vet at s N, t B MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 45

46 /%2,- La ( p) D være en basstabell sykelen der t er nngående: ( p 0) (p) ζ = ζ + Ν ( p ) c (p) (p) (p) (p) = Β ( p ) Ν b a, t N ( p) = ( p) t V husker at alle pvoternger en sykel er degenererte Har derfor: (p) ζ = ζ MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 46

47 /%2,1- Kan derfor omskrve ( p) D ζ = ζ + n+ m = 1 c (p) (p) (p) (p) = Β ( p) =Ν b a, (p) ( p) = Β der c 0, Obektvverden er konstant sykelen og kan uttrykkes: n+ m (p) (p) c, der c 0, (p) = 1 ζ = ζ + = Β MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 47

48 /%2,5- La oss returnere tl D ζ = ζ + Ν c = Β Ν b a, s N, t B Vl (på tross av mulg ubrukbarhet) øke Beholder de andre kke-basske lk 0, får løsnng: s = y > 0 = N s 0,, = s, b a y B ζ ζ = + c s y s MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 48

49 /%2,6- V har etablert at: n+ m ( p) ( p) c, der c 0, ( p) = 1 ζ = ζ + = Β Dette gr, for vår løsnng: ζ s = y > 0 = N s 0,, = b a y, B s ζ = ζ + c s y ( p) ( p) = ζ + s + s B c y c ( b a y) MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 49

50 /%2,7- Altså, ved å kombnere uttrykkene for obektvet: ζ = ζ + cs y = ζ + c y + c ( b a y) Dette gr: ( p) ( p) s s B c c c a y c b ( p) ( p) ( p) s s + s = B B Gelder for vlkårlg y! MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 50

51 /%2,8- Derfor må v ha: ( p) ( p) s s s B c c + c a = 0 V må ha: c > 0 nngående! s s t < t er den vnglete varabel med størst ndeks! Derfor c 0 ellers vlle Blands regel velge! ( p) s Da må B c ( p) as < 0 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 51 s

52 /%2,9- B c ( p) as Derfor er < 0 Da må det fnnes ndeks slk at c a < ( p) r rs ( p) cr 0 0 r slk at B ( 0 ) r N ( p) Altså: r Da må r t er vnglete MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 52

53 /%2,$:- Har etablert at: r t ( p) r rs c a < 0 ( p) r N Vet at ts a > 0 t er utgående D ( p) t c > 0 t er nngående ( p) D Derfor må c a > 0 r < t ( p) t ts Etter Blands regel: cr ( p) 0 t er nngående ( p) D c a < 0 gr da ( p) r rs rs a > 0 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 53

54 /%2,$$- I en syklsk pvoterng er alle løsnngene lke Alle vnglete varable må da ha verden 0 (sden de er 0 når de er kke-basske) Speselt er: r = 0 Da må r ζ = ζ + b = 0 Ν c = Β Ν b a, Sden rs a > 0 skulle r Selvmotsgelse! vært valgt som utgående D, kke t MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 54

55 /%2,$- V antok at Smpleksmetoden med Blands regel kunne g syklsk pvoterng Med denne antakelsen klarte v å produsere en selvmotsgelse Altså kan kke Smpleksmetoden med Blands regel g syklsk pvoterng! MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 55

56 " Fase I vser enten at problemet er nkonsstent eller gr brukbar bassløsnng Fase II vser enten at problemet er ubegrenset eller fnner optmal bassløsnng Det fns pvoterngsregler som garanterer termnerng MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 56

57 /%1 ' For et vlkårlg LP gelder følgende: Hvs problemet kke har optmal løsnng, er det enten nkonsstent eller ubegrenset Hvs problemet har en brukbar løsnng, så har det en brukbar bassløsnng Hvs problemet har en optmal løsnng, har det en optmal bassløsnng MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 57

58 a I U ( k) B maksmal b Sste spesaltlfelle - valg av utgående Degenerert basstabell, degenererert pvoterng Degenerert pvoterng kan g syklsk pvoterng Eneste tlfelle der Smpleksmetoden kke termnerer Det fns pvoterngsregler for å unngå sykler Den lekskografske metode Blands pvoterngregel b = 0? Fundamentalteoremet for lneærprogrammerng Geometrsk tolknng - se læreboka 2.5, 3.6 MOD233 - Ger Hasle - Lekson 3 58

Mål. MoD233 - Geir Hasle - Repetisjon 2

Mål. MoD233 - Geir Hasle - Repetisjon 2 Repetson Mål teoretsk forståelse, grunnleggende optmerng løsnngsmetoder LP og utvdelser algortmsk forståelse anvendelser LP og utvdelser modellerng og løsnng v.h.a. verktøy Innhold og forelesnngsplan Eksempler

Detaljer

MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2

MoD233 - Geir Hasle - Leksjon 10 2 Leksjon 10 Anvendelser nettverksflyt Transportproblemet Htchcock-problemet Tlordnngsproblemet Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt

Detaljer

Korteste-vei problemet Nettverksflyt med øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet Teorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt

Korteste-vei problemet Nettverksflyt med øvre begrensninger Maksimum-flyt problemet Teorem: Maksimum-flyt Minimum-kutt Lekson 11 Korteste-ve problemet Nettverksflyt med øvre begrensnnger Maksmum-flyt problemet Teorem: Maksmum-flyt Mnmum-kutt MoD233 - Ger Hasle - Lekson 11 2 Heltallsprogrammerng Tdsplanleggng (skedulerng,

Detaljer

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte:

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte: Appendks 1: Organserng av Rksdagsdata SPSS Sannerstedt- og Sjölns data er klargjort for logtanalyse SPSS flen på følgende måte: Enhet År SKJEBNE BASIS ANTALL FARGE 1 1972 1 0 47 1 0 2 1972 1 0 47 1 0 67

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................

Detaljer

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså: A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:

Detaljer

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober Forelesnng 17 torsdag den 16. oktober 4.12 Orden modulo et prmtall Defnsjon 4.12.1. La p være et prmtall. La x være et heltall slk at det kke er sant at x 0 Et naturlg tall t er ordenen tl a modulo p dersom

Detaljer

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0. UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun 2004 0900-1300 Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle

Detaljer

Tillegg 7 7. Innledning til FY2045/TFY4250

Tillegg 7 7. Innledning til FY2045/TFY4250 FY1006/TFY4215 Tllegg 7 1 Dette notatet repeterer noen punkter fra Tllegg 2, og dekker detalj målng av degenererte egenverder samt mpulsrepresentasjonen av kvantemekankk. Tllegg 7 7. Innlednng tl FY2045/TFY4250

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON13: EKSAMEN 14V TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt >. Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer

Detaljer

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesnng 3 MET359 Økonometr ved Davd Kreberg Vår 0 Oppgaver Alle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Multple regresjon Oppgave.* Ta utgangspunkt

Detaljer

i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2

i kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2 Repetsjon 4 (16.09.06) Regler for oksdasjonstall 1. Oksdasjonstall for alle fre element er 0 (O, N, C 60 ). Oksdasjonstall for enkle monoatomske on er lk ladnngen tl onet (Na + : +1, Cl - : -1, Mg + :

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 Øving 8

Løsningsforslag ST2301 Øving 8 Løsnngsforslag ST301 Øvng 8 Kapttel 4 Exercse 1 For tre alleler, fnn et sett med genfrekvenser for to populasjoner, som gr flere heterozygoter enn forventa utfra Hardy-Wenberg-andeler for mnst én av de

Detaljer

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Løsnnger lle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Hypotesetestng testng av enkelthypoteser Oppgave 1.* Når v tester enkelthypoteser ved hjelp

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt parallelle kretser Krchhoffs

Detaljer

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse)

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse) Fyskk / ermodynamkk Våren 2001 5. ermokjem 5.1. ermokjem I termokjemen ser v på de energendrnger som fnner sted kjemske reaksjoner. Hver reaktant og hvert produkt som nngår en kjemsk reaksjon kan beskrves

Detaljer

Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund

Oppgave 3, SØK400 våren 2002, v/d. Lund Oppgave 3, SØK400 våren 00, v/d. Lnd En bonde bonde dyrker poteter. Hvs det blr mldvær, blr avlngen 0. Hvs det blr frost, blr avlngen. Naboen bonde, som vl være tsatt for samme vær, dyrker også poteter,

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00 Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 9 Faglg kontakt under eksamen: Enar Rønqust, tlf. 73 59 35 47 EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Trsdag 15. ma 2001 Td:

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18). Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +

Detaljer

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for

Detaljer

Adaptivt lokalsøk for boolske optimeringsproblemer

Adaptivt lokalsøk for boolske optimeringsproblemer Adaptvt lokalsøk for boolske optmerngsproblemer Lars Magnus Hvattum Høgskolen Molde Lars.M.Hvattum@hmolde.no Arne Løkketangen Høgskolen Molde Arne.Lokketangen@hmolde.no Fred Glover Leeds School of Busness,

Detaljer

Alternerende rekker og absolutt konvergens

Alternerende rekker og absolutt konvergens Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne

Detaljer

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen.

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen. STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave a) De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Medan og kvartler for

Detaljer

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statstkk og økonom, våren 7 Oblgatorsk oppgave Løsnngsforslag Oppgave Anta at forbruket av ntrogen norsk landbruk årene 987 99 var følgende målt tonn: 987: 9 87 988: 8 989: 8 99: 8 99: 79 99: 87 99: 9

Detaljer

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk. ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl

Detaljer

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning Bruksanvsnng System 2000 Art. Nr.: 0661 xx /0671 xx Innholdsfortegnelse 1. rmasjon om farer 2. Funksjon 2.1. Funksjonsprnspp 2.2. Regstrerngsområde versjon med 1,10 m lnse 2.3. Regstrerngsområde versjon

Detaljer

DEN NORSKE AKTUARFORENING

DEN NORSKE AKTUARFORENING DEN NORSKE AKTUARFORENING _ MCft% Fnansdepartementet Postboks 8008 Dep 0030 OSLO Dato: 03.04.2009 Deres ref: 08/654 FM TME Horngsuttalelse NOU 2008:20 om skadeforskrngsselskapenes vrksomhet. Den Norske

Detaljer

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f).

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f). Eksamen ECON 00, Sensorvelednng Våren 0 Oppgave (8 poeng ) Derver følgende funksjoner. Derver med hensyn på begge argumenter e) og f). (Ett poeng per dervasjon, dvs, poeng e og f) a) f( x) = 3x x + ln

Detaljer

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet Investerng under uskkerhet Rsko og avkastnng Høy rsko Lav rsko Presserng av rskobegreet Realnvesterng Fnansnvesterng Rsko for enkeltaksjer og ortefølje-sammenheng Fnansnvesterng Realnvesterng John-Erk

Detaljer

Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet.

Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet. FORELESNING I ERMOYNMIKK ONSG 29.03.00 ema for forelesnngen var arnot-sykel (arnot-maskn) og entropbegrepet. En arnot-maskn produserer arbed ved at varme overføres fra et sted med en øy temperatur ( )

Detaljer

Statens vegvesen. Vegpakke Salten fase 1 - Nye takst- og rabattordninger. Utvidet garanti for bompengeselskapets lån.

Statens vegvesen. Vegpakke Salten fase 1 - Nye takst- og rabattordninger. Utvidet garanti for bompengeselskapets lån. Fauske kommune Torggt. 21/11 Postboks 93 8201 FAUSKE. r 1'1(;,. ',rw) J lf)!ùl/~~q _! -~ k"ch' t ~ j OlS S~kÖ)Ch. F t6 (o/3_~ - f' D - tf /5Cr8 l Behandlende enhet Regon nord Sa ksbeha nd er/ n nva gsn

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 015 Antall dager med hjemmekontor Spørsmål: Omtrent hvor mange dager jobber du hjemmefra løpet av en gjennomsnttsmåned (n=63) Prosent

Detaljer

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater 009/30 Notater Mare Lllehammer Notater Uskkerhetsanalyse or utslpp av arlge stoer vdelng or IT og metode/seksjon or statstske metoder og standarder Innhold 1. Bakgrunn og ormål.... Metode....1 Fastsettelse

Detaljer

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder.

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder. 40 Metoder for å måle avkastnng Totalavkastnngen tl Statens petroleumsfond blr målt med stor nøyaktghet. En vktg forutsetnng er at det alltd beregnes kvaltetsskret markedsverd av fondet når det kommer

Detaljer

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch.

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch. NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIGE A Hans-Wlhelm Mørch. SANNSYNLIGHETER FOR HVORAN TRUMFEN(ELLER ANRE SORTER) ER FORELT Anta at du mangler n kort trumffargen. Ha er sannsynlgheten for at est har a a dem? La

Detaljer

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet

Vekst i skjermet virksomhet: Er dette et problem? Trend mot større andel sysselsetting i skjermet Forelesnng NO kapttel 4 Skjermet og konkurranseutsatt vrksomhet Det grunnleggende formål med eksport: Mulggjøre mport Samfunnsøkonomsk balanse mellom eksport og mportkonkurrerende: Samme valutanntjenng/besparelse

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april)

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april) HG Aprl 01 Løsnngsksse for oppgaver tl uke 15 (10.-13. aprl) Innledende merknad. Flere oppgaver denne uka er øvelser bruk av den vktge regel 5.0, som er sentral dette kurset, og som det forventes at studentene

Detaljer

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt?

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt? Norske CO 2 -avgfter - dfferensert eller unform skatt? av Sven Egl Ueland Masteroppgave Masteroppgaven er levert for å fullføre graden Master samfunnsøkonom Unverstetet Bergen, Insttutt for økonom Oktober

Detaljer

DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT. prisbestemmelsen

DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT. prisbestemmelsen DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT Fskebãtredernes forbund Postboks 67 6001 ALESUND Deres ref Var ref Dato 200600063- /BSS Leverngsplkt for torsketrálere - prsbestemmelsen V vser tl Deres brev av

Detaljer

Balanserte søketrær. AVL-trær. AVL-trær. AVL-trær høyde AVL AVL. AVL-trær (Adelson-Velskii og Landis, 1962) Splay-trær (Sleator og Tarjan, 1985)

Balanserte søketrær. AVL-trær. AVL-trær. AVL-trær høyde AVL AVL. AVL-trær (Adelson-Velskii og Landis, 1962) Splay-trær (Sleator og Tarjan, 1985) alanserte søketrær VL-trær Et bnært tre er et VL-tre hvs ølgende holder: VL-trær delson-velsk og Lands, 96 play-trær leator og Tarjan, 98. orskjellen høyde mellom det høyre og det venstre deltreet er maksmalt,

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser Alderseffekter NVEs kostnadsnormer - evaluerng og analyser 2009 20 06 20 10 20 10 20 10 21 2011 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 R A P P O R T 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20

Detaljer

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL

NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL NÆRINGSSTRUKTUR OG INTERNASJONAL HANDEL Norman & Orvedal, kap. 1-5 Bævre & Vsle Generell lkevekt En lten, åpen økonom Nærngsstruktur Skjermet versus konkurranseutsatt vrksomhet Handel og komparatve fortrnn

Detaljer

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 18. mars 2002

Samfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 18. mars 2002 Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Markeder under uskkerhet Uskkerhet vktg mange (de fleste? markeder Uskkerhet omkrng framtdge prser og leverngsskkerhet (f.eks. om leverandør

Detaljer

4 Energibalanse. TKT4124 Mekanikk 3, høst Energibalanse

4 Energibalanse. TKT4124 Mekanikk 3, høst Energibalanse 4 Energbalanse Innhold: Potensell energ Konservatve krefter Konserverng av energ Vrtuelt arbed for deformerbare legemer Vrtuelle forskvnngers prnspp Vrtuelle krefters prnspp Ltteratur: Irgens, Fasthetslære,

Detaljer

Bruksanvisning. Romtemperaturregulator med klokke 0389..

Bruksanvisning. Romtemperaturregulator med klokke 0389.. Bruksanvsnng Romtemperaturregulator med klokke 0389.. Innholdsfortegnelse Normalvsnng på dsplayet...3 Grunnleggende betjenng av romtemperaturregulatoren...3 Overskt over dsplayvsnnger og taster...3 Om

Detaljer

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Magnetsk nvåregulerng Prosjektoppgave faget TTK 45 Ulneære systemer Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Innholdsfortegnelse Innholdsfortegnelse... Innlednng... Oppgave

Detaljer

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid Makroøkonom Publserngsoppgave Uke 48 November 29. 2009, Rev - Jan Erk Skog Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td I utsagnet Fast valutakurs, selvstendg

Detaljer

Innholdsfortegnelse. Innledning. I. Teorigrunnlag, s. 5

Innholdsfortegnelse. Innledning. I. Teorigrunnlag, s. 5 Innholdsfortegnelse Innlednng I. Teorgrunnlag, s. 5 a) Nyklasssk nytteteor, s. 5 b) Utvdet nyttebegrep, s. 6 c) Lneære utgftssystemer, s. 7 d) Mellom-menneskelg påvrknng, s. 8 e) Modernserng og bostedspåvrknng,

Detaljer

Sluttrapport. utprøvingen av

Sluttrapport. utprøvingen av Fagenhet vderegående opplærng Sluttrapport utprøvngen av Gjennomgående dokumenterng fag- og yrkesopplærngen Februar 2012 Det å ha lett tlgjengelg dokumentasjon er en verd seg selv. Dokumentasjon gr ungedommene

Detaljer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 orsk akkredterng Dok.d.: VII..5 A Dok. 5: Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Utarbedet av: Saeed Behdad Godkjent av: ICL Versjon:.00 Mandatory/Krav Gjelder fra: 09.05.008 Sdenr: av 7 A

Detaljer

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir)

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir) 2009/48 Notater Bjørn Gabrelsen, Magnar Lllegård, Bert Otnes, Brth Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdr) Notater Indvdbasert statstkk for pleeog omsorgstjenesten kommunene (IPLOS) Foreløpge resultater

Detaljer

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken 2005/8 Rapporter Reports Bente Halvorsen, Bodl M. Larsen og Runa Nesbakken Prs- og nntektsfølsomet ulke usoldnngers etterspørsel etter elektrstet, fyrngsoler og ved Statstsk sentralbyrå Statstcs Norway

Detaljer

Analyse av strukturerte spareprodukt

Analyse av strukturerte spareprodukt NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, Høst 2007 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe Veleder: Professor Petter Bjerksund Utrednng fordypnngs-/spesalområdet: Fnansell

Detaljer

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet Auksjoner og mljø: Prvat nformasjon og kollektve goder Erk Romstad Handelshøyskolen Auksjoner for endra forvaltnng Habtatvern for bologsk mangfold Styresmaktene lyser ut spesfserte forvaltnngskontrakter

Detaljer

Trykkløse rørsystemer

Trykkløse rørsystemer Trykkløse rørsystemer har kabel- og avløpsrørsystemer PVC, PP og PE med komplette delespektre. PE benyttes trykkrør som utslppslednnger, som lednng dårlge masser (myr) og ved høy overdeknng og/eller høy

Detaljer

Kapittel og Appendix A, Bævre og Vislie (2007): Næringsstruktur, internasjonal handel og vekst

Kapittel og Appendix A, Bævre og Vislie (2007): Næringsstruktur, internasjonal handel og vekst 1 Frelesnng 9 Kapttel.6-3.1 g Appendx A, Bævre g Vsle (007: Nærngsstruktur, nternasjnal handel g vekst Egenskaper ved betngete etterspørselsfunksjner Hmgentet Kstnadsfunksjnen er hmgen av grad 1 faktrprsene,

Detaljer

Bruksanvisning. For brukeren. Bruksanvisning. eloblock. Elektrisk veggmontert varmeapparat

Bruksanvisning. For brukeren. Bruksanvisning. eloblock. Elektrisk veggmontert varmeapparat Bruksanvsnng For brukeren Bruksanvsnng eloblock Elektrsk veggmontert varmeapparat NO Innhold Innhold 1 Merknader om dokumentasjon...3 1.1 Følge andre gjeldende dokumenter...3 1.2 Ta vare på dokumenter...3

Detaljer

Innhold og forelesningsplan Eksempler på LP Begreper Løsning av enkelt eksempel Praktisk relevans Leksjon 2: Simpleksmetoden for løsning av LP

Innhold og forelesningsplan Eksempler på LP Begreper Løsning av enkelt eksempel Praktisk relevans Leksjon 2: Simpleksmetoden for løsning av LP Lekso 2 Mål for kurset teoretisk forståelse, gruleggede optimerig løsigsmetoder LP og utvidelser algoritmisk forståelse avedelser LP og utvidelser modellerig og løsig v.h.a. verktøy Ihold og forelesigspla

Detaljer

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 0102 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO

FOLKETELLINGEN 1. NOVEMBER 1960. Tellingsresultater Tilbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 0102 STATISTISK SENTRALBYRÅ - OSLO FOLETELLINGEN. NOVEBER 0 Tellngsresultater Tlbakegående tall - Prognoser SARPSBORG 00 STATISTIS SENTRALBYRÅ - OSLO ERNADER TIL ART OG TABELLER I seren "Tellngsresultater - Tlbakegående tall - Prognoser"

Detaljer

Arbeidpartiets stortingsgruppe, tilkn),ttet informasjons- og kommunikasjonsavdelingen. Trainee-perioden varer i tre måneder, så det er vel

Arbeidpartiets stortingsgruppe, tilkn),ttet informasjons- og kommunikasjonsavdelingen. Trainee-perioden varer i tre måneder, så det er vel TRÅNEE TRANEE Som tranee for Arbederpartets stortngsgruppe har Brgt Skarsten har.net mdt smørøyet. 23-årngen har tatt ett års pause fra studene statsvtenskap ved Unverstetet Oslo, ford hun har påtatt seg

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende: Makroøkonom Innlednng Mundells trlemma 1 går ut på følgende: Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td Av de tre faktorene er hypotesen at v kun kan velge

Detaljer

Spinntur 2017 Rotasjonsbevegelse

Spinntur 2017 Rotasjonsbevegelse Spnntur 2017 Rotasjonsbevegelse August Geelmuyden Unverstetet Oslo Teor I. Defnsjon og bevarng Newtons andre lov konstaterer at summen av kreftene F = F som vrker på et legeme med masse m er lk legemets

Detaljer

Hvordan får man data og modell til å passe sammen?

Hvordan får man data og modell til å passe sammen? Hvordan får man data og modell tl å passe sammen? Ekstremverd-analyse Målet er å estmere T-års-ekstremen (flommen). T-års-ekstremen er slk at etter T år vl det forventnng være én overskrdelse av T-års-ekstremen.

Detaljer

2007/30. Notater. Nina Hagesæther. Notater. Bruk av applikasjonen Struktur. Stabsavdeling/Seksjon for statistiske metoder og standarder

2007/30. Notater. Nina Hagesæther. Notater. Bruk av applikasjonen Struktur. Stabsavdeling/Seksjon for statistiske metoder og standarder 007/30 Notater Nna Hagesæter Notater Bruk av applkasjonen Struktur Stabsavdelng/Seksjon for statstske metoder og standarder Innold 1. Innlednng... 1.1 Hva er Struktur, og va kan applkasjonen brukes tl?...

Detaljer

1653B/1654B. Installasjonstest på et IT anlegg i drift

1653B/1654B. Installasjonstest på et IT anlegg i drift 65B/654B Installasjonstest på et IT anlegg drft Utførng av testene Spennngsmålnger Testeren kan brkes som et ac voltmeter hvor spennng og frekvens kan vses samtdg ved å sette rotasjonsbryteren tl V. Alle

Detaljer

HR92. 2. Kort veiledning. 1. Leveringsomfang

HR92. 2. Kort veiledning. 1. Leveringsomfang 2. Kort velednng 2443 Radatortermostaten HR92 er eu.bacsertfsert.. Leverngsomfang HR92 Trådløs Elektronsk Radatortermostat I paknngen med radatortermostaten fnner du: 2 3 4 Honeywell HR92 er en trådløs

Detaljer

2006/27 Notater 2006 Om samordning av utvalg ved bruk av PRN-tall

2006/27 Notater 2006 Om samordning av utvalg ved bruk av PRN-tall 2006/27 Notater 2006 Johan Heldal og Audun Rust Notater Om samordnng av utvalg ved bruk av PRN-tall Seksjon for statstske metoder og standarder Forord Dette notatet beskrver hvordan permanente tlfeldge

Detaljer

Referanseveiledning. Oppsett og priming

Referanseveiledning. Oppsett og priming Referansevelednng Oppsett og prmng Samle følgende utstyr før Oppsett: Én 500 ml eller 1000 ml pose/flaske med prmngløsnng (0,9 % NaCl med 1 U/ml heparn tlsatt) Én 500 ml eller 1000 ml pose med normalt

Detaljer

Klassisk Mekanikk IVER H. BREVIK. KOMPENDIUM i faget TEP4145 Til L A TEXved Simen Ellingsen

Klassisk Mekanikk IVER H. BREVIK. KOMPENDIUM i faget TEP4145 Til L A TEXved Simen Ellingsen Klasssk Mekankk IVER H. BREVIK KOMPENDIUM faget TEP4145 Tl L A TEXved Smen Ellngsen Insttutt for Energ og Prosessteknkk, Norges Teknsk Naturvtenskapelge Unverstet Mars 2006 Klasssk Mekankk Iver H. Brevk

Detaljer

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme,

Løsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme, Løsnngssksse tl eksamen TFY11 Elektromagnetsme, høst 003 (med forbehold om fel) Oppgave 1 a) Ved elektrostatsk lkevekt har v E = 0 nne metall. Ellers bruker v Gauss lov med gaussflate konsentrsk om lederkulen.

Detaljer

www.olr.ccli.com Introduksjon Online Rapport Din trinn for trinn-guide til den nye Online Rapporten (OLR) Online Rapport

www.olr.ccli.com Introduksjon Online Rapport Din trinn for trinn-guide til den nye Online Rapporten (OLR) Online Rapport Onlne Rapport Introduksjon Onlne Rapport www.olr.ccl.com Dn trnn for trnn-gude tl den nye Onlne Rapporten (OLR) Vktg nfo tl alle mengheter og organsasjoner Ingen flere program som skal lastes ned Fortløpende

Detaljer

STK1100 våren 2015 P A B P B A. Betinget sannsynlighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksemplet motiverer definisjonen:

STK1100 våren 2015 P A B P B A. Betinget sannsynlighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksemplet motiverer definisjonen: STK00 våren 05 etnget sannsynlghet Svarer tl avsntt.4 læreboa Esempel V vl først ved help av et esempel se ntutvt på hva betnget sannsynlghet betyr V legger fre røde ort og to svarte ort en bune Ørnulf

Detaljer

SNF-rapport nr. 19/07

SNF-rapport nr. 19/07 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe SNF-prosjekt nr. 7000 SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER 2007 Dette eksemplar er fremstlt etter avtale

Detaljer

Forelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II)

Forelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II) STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 19 og 0 Regresjo og korrelasjos (II) 1. Kofdestervall (CI) og predksjostervall (PI) I uka 14, brukte v leær regresjo for å fage leær sammehege mellom Y og

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Arbed og potensell energ 5.3.4 YS-MEK 5.3.4 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d d energbevarng vertkal kast: mg d d mg fjær: k d k d atom krstall: b cos b b d d sn b YS-MEK 5.3.4

Detaljer

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse Ltt om emprsk Markedsavgrensnng form av sjokkanalyse Frode Steen Konkurransetlsynet, 27 ma 2011 KT - 27.05.2011 1 Sjokkanalyse som markedsavgrensnngsredskap Tradsjonell korrelasjonsanalyse av prser utnytter

Detaljer

Felles akuttilbud barnevern og psykiatri. Et prosjekt for bedre samhandling og samarbeid rundt utsatte barn og unge i Nord-Trøndelag

Felles akuttilbud barnevern og psykiatri. Et prosjekt for bedre samhandling og samarbeid rundt utsatte barn og unge i Nord-Trøndelag Felles akuttlbud barnevern og psykatr Et prosjekt for bedre samhandlng og samarbed rundt utsatte barn og unge Nord-Trøndelag Sde 1 Senorrådgver Kjell M. Dahl / 25.02.2011 Ansvarsfordelng stat/kommune 1.

Detaljer

Referanseveiledning. Oppsett og priming med forhåndstilkoblet slangesett

Referanseveiledning. Oppsett og priming med forhåndstilkoblet slangesett Referansevelednng Oppsett og prmng med forhåndstlkoblet slangesett Samle følgende utstyr før Oppsett: Én 500 ml eller 1000 ml pose/flaske med normalt saltvann med (1) enhet (U) heparn per mlllter (ml)

Detaljer

SIF4012 og MNFFY103 høst 2002: Sammendrag uke 44 (Alonso&Finn )

SIF4012 og MNFFY103 høst 2002: Sammendrag uke 44 (Alonso&Finn ) SIF402 og MNFFY03 høst 2002: Sammendrag uke 44 (Alonso&Fnn 26.4-26.6) Magnetsme To effekter når et materale påvrkes av et ytre magnetfelt B:. nnrettng av permanente atomære (evt. molekylære) magnetske

Detaljer

Arbeid og potensiell energi

Arbeid og potensiell energi Arbed og potensell energ.3.7 YS- MEK.3.7 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d energbevarng vertkal kast: mg d mg fjær: k k d atom krstall: b π cos π b b d π sn b YS- MEK.3.7 kraft

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1410

Forelesning nr.3 INF 1410 Forelesnng nr. INF 40 009 Node og mesh-analyse 6.0.009 INF 40 Oerskt dagens temaer Bakgrunn Nodeanalyse og motasjon Meshanalyse 009 Supernode Bruksområder og supermesh for node- og meshanalyse 6.0.009

Detaljer

Postadresse: Pb. 8149 Dep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas vei 8 - Tlf. 02-466850. Bankgiro 0629.05.81247 - Postgiro 2 00 0214

Postadresse: Pb. 8149 Dep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas vei 8 - Tlf. 02-466850. Bankgiro 0629.05.81247 - Postgiro 2 00 0214 A "..'. REW~~~~~OO ~slnmtlre STATENS ARBESMLJØNSTTUTT Postadresse: Pb. 8149 ep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas ve 8 - Tlf. 02-466850. Bankgro 0629.05.81247 - Postgro 2 00 0214 Tttel: OPPLEE AV HEE OG

Detaljer

Kontraktstildeling med mindre prisfokus

Kontraktstildeling med mindre prisfokus Kontraktstldelng med mndre prsfokus Anskaffelsesstrateger Entreprsekjøp Oktober 014 Dr. ng Øysten H. Meland Dr. ng Øysten Meland Dr. ng Øysten Meland 3 Brukermedv./ programmerng Partnerng Kun egen spesaltet

Detaljer

Er verditaksten til å stole på?

Er verditaksten til å stole på? NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 2006 Er verdtaksten tl å stole på? En analyse av takstmannens økonomske relasjon tl eendomsmegler av Krstan Gull Larsen Veleder: Professor Guttorm Schjelderup Utrednng

Detaljer

Oppvarming og innetemperaturer i norske barnefamilier

Oppvarming og innetemperaturer i norske barnefamilier Ovarmng og nnetemeraturer norske barnefamler En analyse av husholdnngenes valg av nnetemeratur Henrette Brkelund Masterogave samfunnsøkonom ved Økonomsk Insttutt UNIVERSITETET I OSLO 13.05.2013 II ) Ovarmng

Detaljer

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm COLUMBUS Lærervelednng Norge og fylkene ved Rolf Mkkelsen Cappelen Damm Innlednng Columbus Norge er et nteraktvt emddel som nneholder kart over Norge, fylkene og Svalbard, samt øvelser og oppgaver. Det

Detaljer

Ambulanseflystruktur og operativ/teknisk kravspesifikasjon. Høringsuttalelser (ajour 26.01.2007) Kommentarer beredskap

Ambulanseflystruktur og operativ/teknisk kravspesifikasjon. Høringsuttalelser (ajour 26.01.2007) Kommentarer beredskap Ambulanseflystruktur og operatv/teknsk kravspesfkasjon. Hørngsuttalelser (ajour 26.01.2007) Hørngsnstans Kommentar basestruktur Kommentarer beredskap Kommentarer tlbudsdok/ kravspek Andre kommentarer RHF:

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON13 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 11.8.16 Sensur kunngjøres senest: 6.8.16 Td for eksamen: kl. 9: 1: Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 NA Dok. 5 Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Dokument kategor: Krav Fagområde: Kalbrerngslaboratorer Dette dokumentet er en oversettelse av EA-4/0 European Cooperaton for Accrédtaton of

Detaljer

En teoretisk studie av tv-markedets effisiens

En teoretisk studie av tv-markedets effisiens NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 007 Utrednng fordypnng: Økonomsk analyse Veleder: Hans Jarle Knd En teoretsk stude av tv-markedets effsens av Odd Hennng Aure og Harald Nygård Bergh Denne utrednngen

Detaljer

Studieprogramundersøkelsen 2013

Studieprogramundersøkelsen 2013 1 Studeprogramundersøkelsen 2013 Alle studer skal henhold tl høgskolens kvaltetssystem være gjenstand for studentevaluerng mnst hvert tredje år. Alle studentene på studene under er oppfordret tl å delta

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 HG Revdert aprl 2 Overskt over tester Eco 23 La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ populasjoe er ukjet. Når v setter

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00 MASTER I IDRETTSVITESKAP 0/04 Indvduell skrftlg eksamen MAS 40- Statstkk Trsdag 9. oktober 0 kl. 0.00-.00 Hjelpemdler: kalkulator Eksamensoppgaven består av 9 sder nkludert forsden Sensurfrst: 30. oktober

Detaljer

TheraPro HR90. 2. Kort veiledning. 1. Leveringsomfang

TheraPro HR90. 2. Kort veiledning. 1. Leveringsomfang . Kort velednng TheraPro HR9. Leverngsomfang Elektronsk radatortermostat I paknngen med radatortermostaten f nner du: 4 Den elektronske radatortermostaten regulerer romtemperaturen nøyaktg tl nnstlt verd

Detaljer