2007/30. Notater. Nina Hagesæther. Notater. Bruk av applikasjonen Struktur. Stabsavdeling/Seksjon for statistiske metoder og standarder

Størrelse: px
Begynne med side:

Download "2007/30. Notater. Nina Hagesæther. Notater. Bruk av applikasjonen Struktur. Stabsavdeling/Seksjon for statistiske metoder og standarder"

Transkript

1 007/30 Notater Nna Hagesæter Notater Bruk av applkasjonen Struktur Stabsavdelng/Seksjon for statstske metoder og standarder

2

3 Innold 1. Innlednng Hva er Struktur, og va kan applkasjonen brukes tl? Hvem kan benytte seg av Struktur? Krav tl datasett Bruk av Struktur Modell Homogen modell Ratemodell Enkel lneær regresjonsmodell Fler Varabler Statstkkvarabler Startvekt Ident Forklarngsvarabel Stratum Enkel stratumtype Sammensatt stratumtype Grupper Klar - ferdg - kjør! Resultater Resultater Coeffcent of varaton Predksjonsntervall Parameterestmater Kontroll Robust varansestmerng Regresjonsdagnostkk Vekter Eksempel: Forsknng og utvklng Populasjonen og utvalget Estmerngsopplegget Resultater Appendks... 1 A.1 Resultater og Parameterestmater... 1 A.1.1 Homogen modell...1 A.1. Ratemodell... A.1.3 Enkel lneær regresjonsmodell... 4 A. Robust varansestmerng... 5 A.3 Regresjonsdagnostkk

4 1. Innlednng Dette notatet er lagt opp som en åndbok for bruk av applkasjonen Struktur, utvklet av Lev Solem, Matz Ivan Faldmo, Jan Sander og L-Cun Zang. Notatet baserer seg stor grad på en tekst av Lev Solem tlgjengelg på Q:\Metodekurs\SM03\tekst, kalt "Predksjon og uskkeret S-KJR modeller - prnspper, metoder, produksjon og eksempler", et upublsert notat av L-Cun Zang og en tdlgere versjon av jelpemenyen tlgjengelg selve applkasjonen, skrevet av Jan Sander. Notatet er forsøkt skrevet så enkelt som mulg. Alle formlene er lagt Appendks, slk at bare de som er nteressert teoren trenger å lese dette. Det vktgste er tross alt å vte vordan man skal bruke Struktur og å kunne tolke resultatene! Hvs du ar forslag tl forbedrnger av notatet eller applkasjonen, eller det er noe du kke forstår eller får tl, ta gjerne kontakt med supportgruppen. Faglge og metodemessge problemstllnger: Nna Hagesæter (Seksjon for statstske metoder og standarder, Oslo) L-Cun Zang (Seksjon for statstske metoder og standarder, Kongsvnger) Lev Solem (Seksjon for samferdsels- og reselvsstatstkk, Kongsvnger) Spørsmål av teknsk art: Jan Sander (Nærngsstatstkk IT, Kongsvnger) Matz Ivan Faldmo (Nærngsstatstkk IT, Kongsvnger) 1.1 Hva er Struktur, og va kan applkasjonen brukes tl? Applkasjonen startes ved å klkke på Start, Mtt SSB og dobbeltklkke på konet Struktur. Struktur er en SAS applkasjon som brukes for å estmere totaler og totalenes uskkeret utvalgsundersøkelser og for å kjøre statstske kontroller som grunnlag for revsjon. Den er menybasert og meget enkel å ta bruk. To SAS datasett kreves for beregnngene; en populasjonsfl og en utvalgsfl. Du ledes gjennom fem arkfaner, der ønskede valg gjøres underves. En jelpemeny er tlgjengelg gjennom alle arkfanene. Beregnngene som utføres av Struktur kan baseres på tre ulke modeller (omogen modell, ratemodell eller enkel regresjonsmodell), der du velger den som passer best tl dtt formål. Struktur kan beregne flere tng, og det er opp tl deg vlke: Estmerng av ukjente totaler (oblgatorsk), på stratum- og landsnvå. Varansestmerng. Flere ulke robuste varansestmater gs (se senere avsntt for detaljer). Parameterestmater. Ut fra vlken modell du velger, beregnes parameterestmatene for tlørende modell. Kontroll, en oppsummerng av varable nnen strata. Regresjonsdagnostkk. Dersom noen av enetene ar stor nnflytelse på estmatene, avsløres dette er. Vekter eller oppblåsnngsfaktorene for den spesfserte modellen.

5 1. Hvem kan benytte seg av Struktur? Det er et mål at flest mulg av fagseksjonene skal kunne bruke Struktur. Forløperen tl Struktur, S- KJR, er benyttet ved seksjonene 80, 430, 440 og 460, tl blant annet følgende statstkker/områder: KOSTRA (Kommune-Stat-rapporterng) Jordbruksstatstkk IKT (Informasjons- og kommunkasjonsteknolog) Detaljomsetnngsndeksen Investerngsstatstkk 1.3 Krav tl datasett Før du starter må du a to SAS-datasett klare, en populasjonsfl og en utvalgsfl. De må nneolde følgende varable: Stratumvarable av karakterformat. Gjelder BEGGE datasettene. Identfkator av numersk format. Gjelder BEGGE datasettene. En startvekt av numersk format (vs du skal beregne vekter). Gjelder BEGGE datasettene. En statstkkvarabel av numersk format. Gjelder KUN utvalgsflen. En forklarngsvarabel av numersk format. Gjelder BEGGE datasettene. Det står mer om krav og spesfkasjoner de påfølgende avsnttene. Eksempler på enkle kommandoer for å konvertere en numersk varabel tl en karaktervarabel og motsatt er gtt Håndbok SAS (Lønø, 000): karakter = COMPRESS(PUT(numersk, Z.)); numersk = karakter + 0; Her er numersk den numerske varabelen og karakter er karaktervarabelen. Varabelen foran = er den du oppretter, mens den etter = må fnnes på datasettet.. Bruk av Struktur Struktur er en menybasert applkasjon. Gjennom fem arkfaner, Modell, Fler, Varabler, Stratum og Grupper, blr du bedt om å spesfsere valg. For å bevege deg mellom fanene kan du enten klkke på fanenavnet eller knappene Forrge / Neste. Alle valg gjøres ved markerng av opplstede mulgeter. Hjelp-knappen er tlgjengelg ele tden, og er kan du få forklarnger og tps slk at du lettere kan gjøre de rktge valgene. Tlbakeblkk-knappen gr en oppsummerng av valgene du ar foretatt, og er også tlgjengelg ele tden. V skal nå gå gjennom valgene steg for steg, den rekkefølgen som er gtt Struktur. Overskrftene.1-.5 svarer tl en arkfane ver. 3

6 .1 Modell Du får valget mellom tre ulke modeller: Homogenmodell Ratemodell Enkel lneær regresjonsmodell Under oppsett-knappen kan du velge tdlgere oppsett (foreløpg kke mplementert). I de tre påfølgende avsnttene skal v se nærmere på modellene og gjøre rede for vlke antagelser som lgger tl grunn for de enkelte. Generelt ser v bort fra frafall og andre problemer med data, slk at v kan bruke ele utvalget tl å estmere de ukjente parametrene, den ukjente totalen og beregne uskkereten tl denne..1.1 Homogen modell Den stratfserte omogene modellen kan beskrves på følgende måte: = μ + ε ; = 1,,..., ; ( ε) = σ y N Var Stratum betegnes med, statstkkvarabelen med y, enet med, gjennomsntt populasjonen med μ, felledd med ε og antall eneter populasjonen med N. V antar at for et gtt stratum bestemmes statstkkvarabelen av et gjennomsntt som er felles for ele stratumet, pluss et ndvduelt 4

7 felledd. V antar også at alle felleddene ar samme standardavvk nnenfor samme stratum. Dette er en modell som brukes veldg ofte utvalgsundersøkelser der person er enet. Den omogene modellen ble for eksempel brukt for å produsere foreløpge tall Jordbrukstellngen 1999 (se Solem, Faldmo og Sve, 00), der det ble stratfsert etter landsdel, jordbruksareal, kornareal og antall kyr. Motvasjonen for modellen var at for et gtt stratum (samme landsdel, jordbruksareal, kornareal og antall kyr) var for eksempel statstkkvarabelen "antall arbedstmer året på bruket" ganske lk for alle bruk. Stort sett ga dette svært gode resultater sammenlknet med de endelge tallene. Dersom ver enet utvalget tldeles en vekt basert på den omogene modellen, vl summen av vektene g oss tlbake den totale summen av eneter populasjonen. V kan derfor s at modellen er konsstent med antallet eneter populasjonen..1. Ratemodell Den stratfserte ratemodellen kan beskrves på følgende måte: = β + ε ; = 1,,..., ; ( ε ) = σ y x N Var x Her antar v at det er en varabel x som bdrar tl å forklare statstkkvarabelen, og sammenengen mellom forklarngsvarabelen og statstkkvarabelen er tlnærmet lneær. Et plott av y mot x vl da fortone seg om en tlnærmet rett lnje gjennom orgo. For et gtt stratum bestemmes statstkkvarabelen av forklarngsvarabelen x multplsert med stgnngstallet eller raten β, som er lk for alle eneter stratumet, pluss et ndvduelt felledd. Avvket fra den rette lnjen øker med økende x. Det betyr at dersom v plotter resdualene ( y yˆ ) mot predkerte y -verder ( y ˆ ) vl v få et plott som mnner om dette: y y ˆ ŷ Ratemodellen brukes ofte når forklarngsvarabelen måler antallet personer som produserer eller forbruker den størrelsen som er målt ved statstkkvarabelen. Dersom ver enet utvalget tldeles en vekt basert på ratemodellen, vl summen av vekt multplsert med x g oss tlbake den totale summen av x populasjonen. Det er derfor rktg å s at ratemodellen er konsstent med totalen tl forklarngsvarabelen populasjonen. Dersom forklarngsvarabelen er én for alle personer nnen et stratum, blr ratemodellen lk den omogene modellen, og β representerer da gjennomsnttet stratumet. 5

8 .1.3 Enkel lneær regresjonsmodell Den enkle lneære regresjonsmodellen kan beskrves på følgende måte: = α + β + ε ; = 1,,..., ; ( ε) = σ y x N Var Også er antar v at det er en varabel x som bdrar tl å forklare statstkkvarabelen, og sammenengen mellom forklarngsvarabelen og statstkkvarabelen er tlnærmet lneær. Et plott av y mot x vl fortone seg om en tlnærmet rett lnje som krysser y -aksen α ( motsetnng tl 0 som for ratemodellen). V antar altså at verden av statstkkvarabelen bestemmes ved en gjennomsnttlg stratumverd, en forklarngsvarabel multplsert med en rate felles for ele stratumet, samt et ndvduelt felledd. Avvket fra den estmerte regresjonslnjen antas å være lk for alle statstkkvarabler. I stedet for å få et resdualplott som avsntt.1. vl v få resdualer som fordeler seg tlfeldg rundt y ˆ. Denne modellen kan være et naturlg valg dersom v for utvalget observerer et plott av x mot y som beskrevet over. En annet argument for å velge en lneær regresjonsmodell er at selv om x er 0, antar v at y kan være ulk 0. Som et eksempel, la x være ansatte og y omsetnng for en bedrft. V kan velge en lneær regresjonsmodell dersom v tenker oss at selv om en bedrft kke ar noen ansatte, kan allkevel omsetnngen være ulk 0. En lneær regresjonsmodell er en utvdelse av ratemodellen det α nkluderes, og av den omogene modellen, det x nkluderes. Summen av vekt multplsert med x vl på samme måte som for ratemodellen g oss tlbake den totale summen av x populasjonen, og summen av vektene (uten å multplsere med x ) vl g oss totalt antall eneter. Modellen er derfor konsstent med både totalen tl forklarngsvarabelen og antall eneter populasjonen. 6

9 . Fler Denne fanen er uavengg av vlken modell du velger. Beregnngene kjøres på Unx, så det første du må gjøre er å logge deg på. Oslo-brukere velger Ovbos eller Ursus, mens Kongsvnger-brukere velger Kodak eller Sarepta. Det er en fordel å velge den serveren som jemmekatalogen dn lgger på. Trykk Koble tl-knappen og skrv nn brukernavn og passord. Hvs tlkoblngen lykkes, vl Koble tl dmmes ut, og Koble fra-knappen bl tlgjengelg. Hvs kke dette skjer, ar du kanskje skrevet fel passord. Trykk da Koble tl på nytt. Deretter gjør du følgende: Ang plattformen vor SAS datasettet dtt er lagret (Unx eller Wndows, der Wndows kan være for eksempel X-området). Velg populasjonsfl og utvalgsfl ved å klkke på Åpne-knappen og bla deg frem tl rette katalog. Velg plattformen du vl lagre resultatene på. Ang om du vl åpne resultatene Excel. Resultatene åpnes da automatsk Excel etter at kjørngene er fullført. Etter at flene er på plass angr du vlke beregnnger du ønsker at Struktur skal utføre, ved å klkke på Lagre som-knappen. Velg området du vl lagre resultatene på. Et flnavn blr automatsk foreslått, men du kan selvfølgelg endre dette. Resultat er oblgatorsk, mens de andre beregnngene er valgfre. Ønsker du å utføre alle sammen, kan du enkelt og gret klkke på Bruk katalogen tl Resultat. Da får alle resultatflene foreslåtte navn og lagres samme katalog som Resultat. Dersom du ar valgt en 7

10 beregnng du allkevel kke ønsker, kan du fjerne den ved å klkke på Fjern-knappen. Skrv ut kan markeres, og du får da en utskrft av resultatene SAS-output vnduet. Det kan være ensktsmessng å kke skrve ut vekter, ettersom lsten gjerne blr lang. Legg også merke tl at dersom du velger å beregne vekter, må du ang startvekter på neste arkfane. Dersom du er nteressert varansestmatet, anbefaler v at du alltd velger å kjøre robust varans tllegg tl oblgatorsk resultat. V skal fortsette å gå gjennom ver arkfane de påfølgende avsnttene, og kommer tlbake tl resultatene avsntt 3. Der skal v se nærmere på vlke resultater v bør legge vekt på forskjellge stuasjoner, og dessuten forklare va resultatene egentlg betyr..3 Varabler Denne fanen endrer seg etter vlken modell du velger, og etter om du velger å beregne vekter eller kke. For alle modeller må du ang en eller flere statstkkvarabler og en dentfkator (kalt dent). Velger du ratemodell eller enkel lneær regresjonsmodell må du tllegg ang en forklarngsvarabel. Velger du å beregne vekter, må du er ang startvekter. Ingen varabelnavn kan a mer enn 7 tegn. Varabler som fnnes både populasjonsflen og utvalgsflen må a samme varabelnavn begge datasettene. 8

11 .3.1 Statstkkvarabler En statstkkvarabel er den avengge varabelen du ønsker å fnne estmater for. Du kan velge flere statstkkvarable ved å markere dem, men maksmalt 50. Har du valgt en varabel du allkevel kke vl a med, klkk på den en gang tl slk at den kke lenger er svart. Varabelen må være numersk og kun fnnes på utvalgsflen (vs varabelen fnnes på populasjonsflen ar v jo fulltellng, og estmerng er kke nødvendg!). Fra Arbedskraftsundersøkelsen (AKU) kan et eksempel på en statstkkvarabel være arbedsledgetsstatus, der verden 1 betyr at personen er arbedsledg og 0 betyr kke arbedsledg. Dersom det er KOSTRA-tall som skal analyseres, kan statstkkvarabelen for eksempel være brutto drftsnntekter for en kommune..3. Startvekt Vektene blåser opp tall fra utvalgsnvå tl populasjonsnvå. Ofte vl man ta ensyn tl trekksannsynlgetene når man beregner vekter, ved å la startvekter være lk nvers av trekksannsynlgeten. Dersom alle eneter ar lke startvekter vl vektene for enoldsvs omogen modell, ratemodell og enkel lneær regresjonsmodell bl som beskrevet Appendks. Det vl s at dersom du ar et enkelt tlfeldg utvalg (alle eneter ar lk trekksannsynlget) spller det ngen rolle om du lar startvekten være lk nvers av trekksannsynlget eller om du rett og slett lar startvekten være for eksempel 1 for alle eneter. Vektene ar egenskaper som nevnt avsntt.1. Starter du med ulke vekter blr vektene noe annerledes enn beskrevet Appendks, men de vl fremdeles a de nevnte egenskapene..3.3 Ident Med en dentfkator menes en varabel som angr enetene, der varabelen er unk for ver enet. For AKU kan dette være fødselsnummer, sden enetene er personer. For KOSTRA kan dentfkatoren være kommune. Varabelen må være numersk og fnnes på både populasjons- og utvalgsflen. En dentfkator er blant annet nødvendg for å utføre regresjonsdagnostkken..3.4 Forklarngsvarabel Forklarngsvarabel må angs om du ar valgt rate- eller enkel lneær regresjonsmodell. Det er den varabelen som er med på å forklare varasjonen statstkkvarabelen. Dersom statstkkvarabelen er omsetnng for en bedrft kan forklarngsvarabelen være for eksempel antall ansatte bedrften. For brutto drftsnntekter rapportert gjennom KOSTRA kan det være antall nnbyggere kommunen. V regner altså med at det er en vss sammeneng mellom omsetnng og antall ansatte, og mellom drftsnntekter og nnbyggere. Forklarngsvarabelen kan kke nneolde negatve tall, den må være numersk og fnnes på både populasjons- og utvalgsflen. 9

12 .4 Stratum Her velger du stratum som landet er delt nn. Stratum er oblgatorsk, kan kke nneolde manglende verder, må være karaktervarabel og fnnes på både populasjons- og utvalgsflen. Modellen du ar valgt tlpasses nnen vert stratum, det vl s at kun eneter fra det gjeldende stratumet vl bl brukt tl estmerng av verder for dette stratumet. Du får altså estmerngsresultater for vert stratum separat, og tllegg ele landet ett. Du kan velge mellom to stratumtyper; enkel eller sammensatt. Ønsker du kke å dele datasettet nn stratum, kan du velge/opprette en varabel som er lk for alle eneter..4.1 Enkel stratumtype Denne velger du om du allerede ar stratumvarabelen på datasettene. For eksempel dersom du ønsker å stratfsere AKU etter alder og kjønn, må det fnnes en varabel som kombnerer dsse tl én varabel på begge datasettene. Dersom kjønn er 1 for menn og for kvnner, og alder går fra 01 (16-19 år) tl 1 (70-74 år), kan stratumvarabelen (av typen karaktervarabel) for eksempel se slk ut for en 18 år gammel mann: 101. For en kvnne på 74 år vl stratumverden være 1. KOSTRA datasettet kan stratfseres etter SSB-standarden KOSTRA-gruppe, defnert ved folkemengde, bundne kostnader per nnbygger og fre dsponble nntekter per nnbygger..4. Sammensatt stratumtype Her kan du konstruere strata ved å sette sammen varable som fnnes på begge datasettene. Skjermbldet endrer seg det du velger sammensatt stratumtype, og varablene du kan velge dukker opp rullemenyen. Dersom v gjen ønsker å stratfsere AKU etter alder og kjønn, men kke ar laget stratumvarabelen på forånd, kan v ente nn alder og kjønn ved jelp av rullemenyene. Da blr stratumvarabelen lk som avsntt

13 .5 Grupper Denne fanen avenger av va slags stratumtype du velger på fanen Stratum. Ved å opprette grupper kan du aggregere estmater over grupper, der stratum er den mest detaljerte gruppenndelngen du kan a. Det vl s at modellen fortsatt er tlpasset nnen stratum, men du kan få Struktur tl å beregne andre aggregerte estmater enn kun landstotalen (alle strata tl sammen). Et eksempel er gtt nedenfor. Når enkelt stratum er valgt, lager du en gruppe ved å velge en del av stratumvarabelen. Ang startpossjon stratumvarabelen samt lengde og skrv nn en kort beskrvelse. Du kan vse nnoldet de 10 første gruppevarablene på populasjonen og utvalget ved å trykke på foråndsvsnng-knappen. Dermed kan du kontrollere at du ar truffet rktg med possjonsangvelsen. Som et eksempel, la oss anta at du velger å stratfsere AKU som avsntt.4.1, altså med tre possjoner der den første angr kjønn og de to sste alder. Dette gr oppav tl kjønn x 1 aldersklasser = 4 strata. Nå vl v a resultater for nvåene kjønn og alder separat tllegg, det vl s at v også får + 1 = 14 estmater, et for vert kjønn og et for ver aldersklasse. Da gjør v følgende: For Gruppenr 1, velg 1 for "start" og 1 for "lengde" og kall for eksempel "Beskrvelse" for "Kjønn". For Gruppenr, velg for "start" og for "lengde", og kall for eksempel "Beskrvelse" for "Alder". Det er mulg å krysse grupper. Anta for eksempel at tllegg tl kjønn og alder stratfserer v AKU etter sysselsettng regsteret. Stratum består nå av tre sffer for kjønn og alder, pluss et sffer som kan være 0 for regstersysselsatte personer og 1 for kke-regstersysselsatte personer. Hvs v ønsker at en gruppe skal bestå av for eksempel kjønn og regsterstatus for sysselsettng, gjør v følgende: 11

14 Lag gruppe 1 med startpossjon 1 og lengde 1 Lag gruppe med startpossjon 4 og lengde 1 Velg 1 på rullemenyen under "Gruppenr" Når sammensatt stratum er valgt, kan du velge enkeltvs som gruppe de varablene som stratum er satt sammen av. Du kan også krysse grupper ved å velge samme gruppenummer som forrge rad, på samme måte som ved enkelt stratum. Det er beskrvelsen av gruppevarabelen som kommer utskrften. Det er derfor en fordel at denne er kort og press. For å ang beskrvelse for en varabel (er stmnace) SAS kan du bruke denne kommandoen: label stmnace = 'Sysselsettng regsteret';.6 Klar - ferdg - kjør! Nå ar v gått gjennom alle valgene, og da kan du kjøre programmet ved å klkke på Kjør. Dersom det er noe du ar glemt, får du en beskjed og mulgeten tl å rette på det før du gjen kjører applkasjonen. Kjørngen skal gå raskt, men tden vl avenge av antall eneter datasettene dne. 3. Resultater I dette avsnttet skal v se nærmere på resultatene Struktur beregner, og vlke v bør legge vekt på forskjellge stuasjoner. Struktur lagrer alle resultatene du ber om som SAS-datasett på det spesfserte området. Dsse datasettene kan brukes vdere statstkkproduksjonen. Selve ovedresultatene (kalt Resultat) blr skrevet ut automatsk tl et eget vndu SAS, andre resultater (kalt Parameterestmater, Kontroll, Robust varans, Regresjonsdagnostkk og Vekter), kan du velge om skal skrves ut. V anbefaler at du alltd velger robust varans dersom du er nteressert uskkereten tl estmatet av totalen. I tllegg kan du velge å åpne resultatene Excel, noe som kan være en fordel om du skal lage nye tabeller eller bruke resultatene vdere beregnnger. Dersom det er færre enn to eneter mnst ett stratum, får du en meldng om du ønsker å fortsette (det er jo umulg å estmere varans for én observasjon!). Velger du ja, vl du kke få varansestmat for de aktuelle strataene (se for eksempel avsntt 3.4, KOSTRA gruppe 9 og 15, der 9 ar en observasjon og 15 ngen). 3.1 Resultater V starter med et eksempel: Varabelen av nteresse (statstkkvarabelen) er antall arbedsledge enold tl Arbedskraftsundersøkelsen (AKU). V kjenner kke antall arbedsledge populasjonen, og ønsker å beregne dette, både for ele landet og enkelte strata. V lar populasjonsflen være AKU utvalget for første kvartal 005. Utvalgsflen konstrueres på følgende måte: Populasjonsflen sorteres etter fødselsnummer, og de med lavest fødselsnummer defneres som utvalget. Identfkator er possjonen tl eneten den sorterte populasjonsflen. En omogen modell velges, ford v er ar med et personutvalg og en 0/1 varabel å gjøre. Dessuten ønsker v et etterstratfsert estmat (etterstratfserte estmater brukes dagens AKU opplegg). Ved å stratfsere og tlpasse en omogen modell nnen vert stratum, oppnår v et etterstratfsert estmat, der etterstrata er lk de strata v 1

15 tlpasser modellen nnen. Sammensatt stratum konstrueres Struktur av varablene Sysselsettng regster (1,, 3 eller 4) og kjønn (1 eller ). Grupper er Sysselsettng regster og kjønn. Ved kun å velge de oblgatorske resultatene, får v en fredelt utskrft som vst nedenfor; en for resultater for ele landet, en for resultater per stratum, en for gruppen Sysselsettng regster og en for gruppen kjønn. Følgende estmater lstes ut: T_ledg: Et estmat for totalt antall arbedsledge. CV_ledg: Et estmat for varasjonskoeffsenten (coeffcent of varaton = CV ). LB_ledg og UB_ledg: Nedre og øvre grense (lower bound) for predksjonsntervallet Coeffcent of varaton Anta at v estmerer en total (for eksempel totalt antall arbedsledge Norge, som eksempelet over). Standardavvket tl den estmerte totalen forteller oss noe om vor uskkert estmatet er. Ofte er det slk at jo større estmatet er, jo større standardavvk kan v akseptere. Det kan derfor være ensktsmessg å uttrykke standardavvket som en andel av selve estmatet. Estmatet av denne 13

16 andelen kaller v for estmert varasjonskoeffsent eller bare varasjonskoeffsent, og den er oppgtt prosent Struktur. Hvor stor prosentandel som er akseptabel kan varere fra statstkk tl statstkk. V skal er kalle varasjonskoeffsenten for CV. Av defnsjonen over ser v at CV avenger av to tng; standardavvket tl et estmat og estmatet selv. Jo øyere standardavvk, jo øyere CV, og jo øyere estmat, jo lavere CV. I AKU eksempelet er CV for ele landet på crka 7 %. Forklarngen på øy CV nnen strata lgger at antall arbedsledge er veldg lavt, det vl s et lavt estmat. Dersom du kjører robust varansestmerng, lster Struktur ut tre andre estmater for CV. Det er kke gtt vlken CV som er den beste alle tlfeller, men avsntt 3.4 kan du få en ndkasjon på vlken som kan være best egnet dtt tlfelle Predksjonsntervall Struktur regner ut et 95 % predksjonsntervall for den sanne totalen, basert på den estmerte totalen. Det er 95 % sjanse for at ntervallet nneolder den sanne totalen. Fra AKU eksempelet ser v at strata med få arbedsledge ar predksjonsntervallene en tendens tl å nkludere negatve tall, noe som selvfølgelg er umulg. 3. Parameterestmater Nå går v over tl Kommune-Stat-Rapporterng (KOSTRA) som eksempel. Målet er å beregne estmater for brutto drftsnntekt for alle kommuner på grunnlag av de kommunene som ar rapportert tl KOSTRA 00. Dersom v antar at det er en sammeneng mellom brutto drftsnntekt for en kommune (statstkkvarabelen) og kommunens nnbyggertall (forklarngsvarabelen), og det er naturlg å tllegg anta at en kommune med 0 nnbyggere også ar 0 brutto drftsnntekt, kan en ratemodell være passende. Stratum er KOSTRA-grupper, nummerert fra 1 tl 16. Innen ver KOSTRA gruppe antar v at raten er lk, det vl s at foroldet mellom brutto drftsnntekter og bosatte kommunen er omtrent lkt for alle kommuner nnen et stratum. 14

17 Det beregnes 15 forskjellge estmater av β, kalt BETA utskrften (Oslo er fjernet fra datagrunnlaget, ford kommunen alene utgjør stratum 15, og fnnes kke utvalget totalen vl da være et estmat for ele populasjonen med unntak av Oslo). Du kan be om parameterestmater for omogen modell også, da vl utskrften nneolde ALFA. Velger du en regresjonsmodell estmeres både ALFA og BETA. 3.3 Kontroll Kontroll jelper deg med å få en overskt over summen av eneter populasjonen og utvalget, fordelt på strata. Hvs du ar valgt ratemodell eller enkel lneær regresjonsmodell, nneolder utskrften også nformasjon om summen av forklarngsvarabelen. Utskrften for parameterestmater nneolder foreløpg den samme nformasjonen som Kontroll, men tllegg parameterestmater for vert stratum. Det vl s at dersom du ar bedt om parameterestmater, trenger du egentlg kke å be om kontroll tllegg. For samme eksempel som avsntt 3. får v følgende utskrft: 3.4 Robust varansestmerng Ved å skrve ut Robust varans får du tre nye estmater for CV (se Appendks for nærmere beskrvelse av estmatorene). Resultatene er vst ved KOSTRA eksempelet. CV1: Baserer seg på en varansestmator som består av vektede summer av resdualene. Teoretsk sett ar CV1 en negatv skjevet for en gtt utvalgsstørrelse. CV: Som CV1, men resdualene er justert enold tl noe v kaller -verdene. Summen av -verdene nnen vert stratum er 1, og eneter med stor verd for forklarngsvarabelen får stor -verd. CV er tlnærmet forventnngsrett, men kan være noe ustabl dersom det fnnes noen veldg store -verder. CV vl alltd være større enn CV1. CV er den som er gjengtt ovedresultatet som CV. 15

18 CVA: Som CV, men justert på en ltt annen måte. Regnes for å a mndre skjevet enn CV1 og kan være mer stabl enn CV. Generelt er CV tlnærmet lk CVA, og under den omogene modellen er CV = CVA. CV3: Som CV, men faktoren resdualene er justert med er kvadrert. CV3 baserer seg på en konservatv varansestmator som prakss fungerer som en øvre grense for varansestmatene. Den ar en postv skjevet, og CV3 > CV. Så, vlket estmat av CV bør brukes når? Det fnnes ngen fastsvar, men v kan få en ndkasjon på det beste valget ved å se på dfferansen mellom de ulke CV ene. Er det lten forskjell, kan valget være bortmot vlkårlg. For KOSTRA eksempelet er dfferansene små, og alle CV ene vl være et godt valg. CV er forventnngsrett, så det er fornuftg å velge denne. Er forskjellen mellom CV fra ovedresultatet og de mer robuste CV ene dermot store, bør v velge en av de mer robuste. Er dfferansen mellom CV1 og CV stor, er det grunn tl å tro at varansestmatet førstnevnte nneolder en betydelg skjevet. Er dfferansen mellom CV og CVA stort, kan førstnevnte påvrkes av unormale observasjoner (dsse observasjonene avsløres neste avsntt, der v også forklarer va som menes med unormal), slk at fordelen med å få et forventnngsrett estmat (ved å gå fra CV1 tl CV) går på bekostnng av estmatets stabltet. Da kan det være en fordel å velge for eksempel CVA. Er alle estmatene varerende, kan det være tryggest å velge det konservatve estmatet CV3. Hva som menes med uttrykk som "stor" eller "varerende" er eller kke entydg, og må vurderes vert enkelt eksempel. 3.5 Regresjonsdagnostkk I mange praktske stuasjoner vl v ofte støte på problemet at en eller flere av verdene tl statstkkvarabelen avvker svært mye fra de andre. V skal nå se på vordan v kan undersøke om en enet er avvkende forold tl de andre utvalget. Selve deen er enkel, nemlg å utforme krterer for 16

19 når en enet er farlg den forstand at den både avvker sterkt fra resten av utvalget og dessuten påvrker resultatet betydelg tllegg. KOSTRA eksempelet brukes for vse vordan resultatene kan se ut dersom du ber om regresjonsdagnostkk. I regresjonssammeneng er en observasjon ekstrem dersom absoluttverden av tlørende resdual er uvanlg stor, og/eller vs x ar en uvanlg plasserng blant alle x -ene. Ekstreme observasjoner på den ene eller andre måten trenger nødvendgvs kke å bekymre oss. En observasjon som er ekstrem på begge måter samtdg kan dermot a store nnvrknnger på resultatene. V kaller observasjonene for en krtsk verd. Kun de tre første med G-verd større enn den krtske verden er tatt med på utskrften (det var alt 1). Struktur lster ut tre verder som kan brukes tl dagnostkk (se også Appendks); H er det samme som -verden, forklart ballpunkt avsntt 3.4, og er en ndkasjon på om observasjonen ar en uvanlg x -verd. Dersom H er større enn p / n for en observasjon, der p er antall parametere modellen (en for den omogene modellen og ratemodellen og to for regresjonsmodellen), er x -verden uvanlg. For den omogene modellen ar v at x = 1 og H = 1/n for alle observasjoner, og dermed overstger ngen H den krtske grensen. R er absoluttverden tl det jackknfe standardserte resdualet, og gr en ndkasjon på om resdualet tl en observasjon er uvanlg stort. R ar som krtsk grense, ford v antar at de standardserte resdualene er normalfordelte. Dersom R er større enn, ser v at observasjonen ar et uvanlg stort resdual. G er absoluttverden tl DFFITS, og er en standard dagnostkk på mulge krtske observasjoner for estmatene av regresjonskoeffsentene (α for en omogen modell, β for en 17

20 ratemodell og begge for en regresjonsmodell). G er en kombnasjon av R og H, og dens 0,5 krtske grense er gtt ved ( p / n ). Alle verdene kan beregnes prosedyren proc reg SAS, der de betegnes med enoldsvs, r og dffts. Den krtske grensen er basert på en del antagelser, og v kan derfor være ltt fleksble når v avgjør vlke observasjoner som er krtske og kke. 3.6 Vekter For å kunne beregne vekter ut fra de forskjellge modellene, må du ang en startvekt. Ønsker du kke å ta ensyn tl trekksannsynlgeter, kan startvekten være lk for alle eneter utvalget. Vektene oppfyller som nevnt tdlgere følgende krav: Summen av vektene nnen et stratum svarer tl antall eneter populasjonsstratumet (omogen modell og enkel lneær regresjonsmodell) Summen av vektene multplsert med forklarngsvarabelen svarer tl summen av forklarngsvarabelen populasjonsstratumet (ratemodell og enkel lneær regresjonsmodell). Det er teoretsk mulg å få negatve vekter. Hvs dette er tlfellet, burde vektene de aktuelle strataene justeres. 4. Eksempel: Forsknng og utvklng 004 FoU (forsknng og utvklng) statstkken går blant annet ut på å kartlegge foretakenes totale utgfter tl egenutført FoU (oppgtt kroner) og FoU-personale alt (oppgtt antall personer). V skal nå se på vordan Struktur kan brukes tl dette formålet. V benytter tall fra Populasjonen og utvalget Populasjonen består av foretak, der kun foretak som ar 10 eller flere sysselsatte er nkludert. Foretakene er fordelt på fem sysselsettngsgrupper (10-19, 0-49, 50-99, og 50 eller flere sysselsatte) og 41 nærnger. Foretak som ar 50 eller flere sysselsatte fulltelles, med unntak av foretak nærng 45 og 51. Dsse fulltelles om antall sysselsatte er 100 eller flere. Fulltelte foretak er kke med estmerngsopplegget, de får vekt = 1 og teller bare for seg selv. Det fnnes også et tlleggsutvalg av foretak som året før var med utvalget og adde utgfter tl egenutført FoU på kroner eller mer, og/eller utgfter tl nnkjøpt FoU på kroner eller mer. Dsse får også vekt = 1 og oldes utenfor estmerngsopplegget. Fulltellng og tlleggsutvalg utgjør tl sammen foretak, slk at populasjonen det skal trekkes et utvalg (som kalles sannsynlgetsutvalg) fra utgjør foretak. Det endelge utvalget består altså av tre deler; fulltellng, tlleggsutvalg og sannsynlgetsutvalg. De to førstnevnte utgjør tl sammen foretak, mens sannsynlgetsutvalget utgjør

21 4. Estmerngsopplegget Foretakene sannsynlgetsutvalget må blåses opp slk at de gjelder for alle foretakene sannsynlgetspopulasjonen. For statstkkvarabelen utgfter tl egenutført FoU (INTFOU) brukes en ratemodell som vst avsntt.1., der antall sysselsatte er forklarngsvarabelen. For FoU-personale alt (FOUPER) brukes en omogenmodell som vst avsntt.1.1. Identteten er organsasjonsnummeret. Det stratfseres etter nærng og sysselsettngsgruppe, tl sammen 81 strata. Ved ratemodellen og omogenmodellen kan v beregne vekter, slk at v enkelt kan estmere totaler for andre statstkkvarable enn de to v skal se på er, gtt at også dsse statstkkvarablene følger en av de to modellene. 4.3 Resultater I Struktur får v resultater per stratum tllegg tl en total. T ˆ betegner estmatet av totalen mens CV betegner varasjonskoeffsenten. CV en som er oppgtt er, baserer seg kun på resultatene fra sannsynlgetsutvalget og sannsynlgetspopulasjonen. I dette estmerngsopplegget ar v tllegg en fulltellng og et tlleggsutvalg. Her er Var( Tˆ T ) = CV ( Tˆ T ) = 0, mens T ˆ = T 0. For å fnne den reelle CV en, må v først beregne varansen basert på tallene Struktur ved følgende formel: Var ( T ˆ T ) = Var ( T ˆ T ) = [ CV ( T ˆ T ) T ˆ ] = [ CV ( T ˆ T ) T ˆ] Deretter må v legge sammen T fra fulltellngen og tlleggsutvalget og T ˆ fra sannsynlgetsutvalget, betegn denne for T ˆ*. Nå kan v beregne CV basert på ele utvalget: ˆ ˆ ˆ SE( T T ) [ Var( T T )] CV ( T T ) = = ˆ* ˆ* T T Her ser v en lten del av resultatene fra Struktur, statstkkvarabelen er INTFOU oppgtt 1000 kroner ( CV er lk dersom alle enetene skaleres opp eller ned med den samme faktoren). Den øverste tabellen gjelder for ele landet, mens den nederste er et utvalg av strata. I stratum 11 er det fulltellng, og dermed er CV = 0. Legg merke tl at CV basert kun på sannsynlgetsutvalget er 7,06. Når tall fra fulltellng og tlleggsutvalg er lagt tl, blr CV = 1,15. 0,5 19

22 For ver enet utvalget får v en vekt. Tabellen nedenfor vser vektene ved ratemodellen for et utvalg av strata, og dsse er uavengg av statstkkvarabelen. Alle enetene samme stratum får samme vekt. Dersom v antar at en annen varabel også kan beskrves ved ratemodellen, kan v enkelt beregne totalen for den nye varabelen ved å multplsere vekten og verden for statstkkvarabelen, og så summere over alle enetene utvalget. 0

23 Appendks A.1 Resultater og Parameterestmater I dette avsnttet skal v se på utlednngene av de verdene som omtales avsntt 3.1 og 3., nemlg et estmat av totalen for statstkkvarabelen, predksjonsvaransen tl estmatet av totalen, øvre og nedre grense for predksjonsntervallet og parameterestmatene. A.1.1 Homogen modell Anta at statstkkvarabelen populasjonen kan beskrves ved en omogen modell. Modellen er gtt ved uttrykket: = μ + ε ; = 1,,..., ; ( ε) = σ y N Var Stratum betegnes med, verder av statstkkvarabelen med y, enet med, gjennomsntt populasjonen med μ, felledd med ε og antall eneter populasjonen med N. Det er to parametere som må estmeres fra enetene utvalget, μ og σ. Estmerngen bygger på mnste kvadraters metode, og v fnner følgende estmatorer: 1 ˆ μ = s y = y s (1.1) n ˆ σ = s ( y ˆ μ ) n 1 (1.) Antall eneter utvalget er gtt ved n, og utvalget betegnes s. For å fnne et estmat av den ukjente totalen stratumet, må v predkere en verd for alle enetene utenfor utvalget (enetene utvalget kjenner v jo!). Dette gjør v ved å sette nn utvalgsgjennomsnttet (1.1) for ver av verdene utenfor utvalget: yˆ = ˆ μ, vs s. Da er estmatoren for totalen gtt ved følgende uttrykk: ˆ N T = s y + ˆ ( ) ˆ ˆ s y = s y + N n μ = s y = N μ n (1.3) De to sste uttrykkene (1.3) er ensktsmessge måter å beregne totalen drekte på. I det nest sste uttrykket er totalen gtt ved å summere over enetene utvalget multplsert med en vekt. Vekten er lk foroldet mellom antall eneter populasjonen og antall eneter utvalg og kalles w. Summen av vektene vl g oss tlbake antall eneter populasjonen: s N N w = = n = N (1.4) s n n 1

24 Modellen er derfor konsstent med antall eneter populasjonen. For å beregne uskkereten predksjonen (1.3) kan v se på det andre uttrykket: σ N n σ ˆ μ s σ n N n VT ( ˆ T) = V[( N n) y ] = ( N n) + ( N n) = N Ved å sette nn (1.) får v et uttrykk for den emprske varansen tl avvket mellom den predkerte verden for totalen og totalen selv: N n ˆ σ N n ˆ( ˆ VT T) = N (1.5) Nå kan v skrve opp standardfelen (SE), en estmator for varasjonskoeffsenten (CV) og et 95 % predksjonsntervall (PI) for den ukjente totalen, basert på (1.5): ˆ N ˆ n σ SE( T T) = N N n ( ˆ ˆ SE T ) ˆ ( ) T N n σ CV T T = = (1.6) Tˆ N ˆ μ n PI = [ Tˆ 1.96 SE( Tˆ T ), Tˆ SE( Tˆ T )] (1.7) De estmatene som fnnes Resultater avsntt 3.1 og Parameterestmater avsntt 3. er nå gtt ved (1.1), (1.3) og (1.7). Resultatene for Desgnvekter er gtt ved w (1.4). I stedet for (1.6) ar v valgt å g en CV som er basert på et robust varansestmat ovedresultatet, se avsntt A.4. A.1. Ratemodell Anta at statstkkvarabelen populasjonen kan beskrves ved en ratemodell. Modellen er gtt ved: = β + ε ; = 1,,..., ; ( ε ) = σ y x N Var x Her er x en kjent forklarngsvarabel og β stngstallet eller raten, som er lk for alle eneter stratumet. Se ellers avsntt A.1 for defnsjoner. Det er to parametere som må estmeres fra enetene utvalget, β og σ. Estmerngen bygger på mnste kvadraters metode, og v fnner følgende estmatorer: ˆ s y β = = x s y x s s (.1) ˆ σ ˆ 1 ( y βx ) = s (.) n 1 x

25 Neste trnn er å predkere verdene tl enetene utenfor utvalget, og det gjør v ved å multplsere den estmerte raten med forklarngsvarabelen: yˆ = ˆ β x, vs s. Da er en estmator for totalen gtt ved følgende uttrykk, der X er summen av statstkkvarabelen populasjonen: ˆ ˆ X T ˆ ( ) ˆ = s y + s y = s y + X xs β = s y = X β x (.3) De to sste uttrykkene (.3) er ensktsmessge måter å beregne totalen drekte på. I det nest sste uttrykket er totalen gtt ved å summere over enetene utvalget multplsert med en vekt. Vekten er lk foroldet mellom totalen av x -ene populasjonen og x -ene utvalget og kalles w. Summen av vektene multplsert med x vl g oss tlbake totalen av x -ene populasjonen: s X X x w = x = x = X (.4) s s xs x s Modellen er derfor konsstent med totalen tl forklarngsvarabelen populasjonen. For å beregne uskkereten predksjonen (.3) kan v se på det andre uttrykket: ˆ σ s σ s β s s s σ xs X xs VT ( ˆ T) = V[( X x ) y ] = ( X x ) + ( X x ) = X Ved å sette nn (.) får v et uttrykk for den emprske varansen tl avvket mellom den predkerte verden for totalen og totalen selv: s ˆ σ X xs s X x X x VT ˆ( ˆ T) = X (.5) Nå kan v skrve opp standardfelen (SE), en estmator for varasjonskoeffsenten (CV) og et 95 % predksjonsntervall (PI) for den ukjente totalen, basert på (.4): SE( Tˆ T) = X X xs X ˆ σ xs ( ˆ ˆ SE T ) ˆ ( ) T X xs σ CV T T = = (.6) Tˆ ˆ X β xs PI = [ Tˆ 1.96 SE( Tˆ T ), Tˆ SE( Tˆ T )] (.7) De estmatene som beregnes for Resultater avsntt 3.1 og Parameterestmater avsntt 3. er nå gtt ved (.1), (.3) og (.7). Resultatene for Desgnvekter er gtt ved w (.4). I stedet for (.6) ar v valgt å g en CV som er basert på et robust varansestmat ovedresultatet, se avsntt A.4. 3

26 A.1.3 Enkel lneær regresjonsmodell For en enkel lneær regresjonsmodell er utregnngen noe mer komplsert, men samme fremgangsmåte brukes. En enkel lneær regresjonsmodell kan beskrves på følgende måte: = α + β + ε ; = 1,,..., ; ( ε) = σ y x N Var Se avsntt A.1 og A. for defnsjoner. Det er tre parametere som må estmeres fra enetene utvalget, og utregnngene bygger på mnste kvadraters metode: α = y ˆ β x (3.1) ˆ s s ˆ β = s s y ( x x ) s ( x xs ) (3.) 1 ˆ σ ( ˆ α ˆ β ) (3.3) = s y x n Neste trnn er å predkere verdene tl enetene utenfor utvalget, og det gjør v ved følgende uttrykk: yˆ = ˆ α + ˆ β x, vs s. Da er en estmator for den ukjente totalen gtt ved følgende uttrykk: Tˆ = y + yˆ = y + ( N n ) ˆ α + ( X x ) ˆ β s s s ˆ ˆ N = N + X = x x x X v y ( α β) s { [1 ( )( ) ]} s s s n s (3.4) Her er v s s ( x x ) s =. De to sste uttrykkene (3.4) er ensktsmessge måter å beregne n totalen drekte på. I det sste uttrykket er totalen gtt ved å summere over enetene utvalget multplsert med en vekt. Summen av vektene vl g oss tlbake antall eneter populasjonen, mens summen av vektene multplsert med x vl g oss tlbake totalen av x -ene populasjonen, med samme fremgangsmåte som avsntt A.1 og A.. Modellen er derfor konsstent både med totalt antall eneter populasjonen og totalen tl forklarngsvarabelen. For å beregne uskkereten predksjonen (.3) kan v se på det andre uttrykket: α s β s ( ) n X xs σ N vs n ( ˆ ) [( ) ˆ ( ) ˆ N VT T = V N n + X x y ] = N[ + ] Ved å sette nn (3.3) får v et uttrykk for den emprske varansen tl avvket mellom den predkerte verden for totalen og totalen selv: ( ) n X xs ˆ σ N vs n ˆ( ˆ N VT T) = N[ + ] (3.5) 4

27 Nå kan v skrve opp standardfelen (SE), en estmator for varasjonskoeffsenten (CV) og et 95 % predksjonsntervall (PI) basert på (3.5): ( ˆ N SE T T) = N + ( ) ˆ n X xs σ N vs n ( ˆ ) ( ) ˆ SE T ˆ ( ) T N n CV T T = = + Tˆ X n X x s σ N ( ˆ ˆ vs α + β ) (3.6) PI = [ Tˆ 1.96 ( ˆ ), ˆ 1.96 ( ˆ SE T T T + SE T T)] (3.7) De estmatene som beregnes for Resultater avsntt 3.1 og Parameterestmater avsntt 3. er nå gtt ved (3.1), (3.), (3.4), (3.5) og (3.7). Resultatene for Desgnvekter er gtt ved {} (3.4). I stedet for (3.6) ar v valgt å g en CV som er basert på et robust varansestmat ovedresultatet, se avsntt A.4. A. Robust varansestmerng I A.1 er varansstrukturen gtt ved Var( ε) = σν, der v antar at ν = 1 for den omogene modellen og den enkle lneære regresjonsmodellen, og x for ratemodellen. V skal nå se på en robust varansestmerng for et gtt stratum, og dropper derfor betegnelsen. Med robust mener v at stedet for å anta en varansstruktur ν, lar v Var( ε ) = σ. Uskkereten predksjonen kan deles opp to; VT ( ˆ ) ( ˆ ) ( ) ( ˆ s T = V sy + V sy = VTr) + VT ( r), der r ndkerer at summene gjelder for eneter utenfor utvalget. Det første leddet kan skrves som VT ( ˆ r) = saσ. Vektene a er modellavengge, generelt gtt T 1 T 1 1 ved a = Xr ( j sν j xjxj ) ν x. Her er X r = X sx, altså summen av x -verdene tl T enetene utenfor utvalget. For en omogen modell vl X = N og x = ν = 1 for alle j og, slk at T a = Nr / n for alle. For ratemodellen er x = x, og for en enkel lneær regresjonsmodell er T x = [1 x]. I ltteraturen 1 fnner v fre varansestmater for σ som er mer robuste enn den som følger av antagelsene om ν : CV CV 1 sa d sa d =, der =, der s CV A = a d, der CV 3 sa d d = e d = e /(1 ) j sa jν j d = e j sajν j j = =, der d e /(1 ) r (1 ) r j 1 Vallant, R., Dorfman, A.H. og Royall, R.M. (001). Fnte Populaton Samplng and Inference: A Predcton approac. Wley, New York. 5

28 T Her er e ˆ = y xθ det estmerte resdualet. For omogen- og ratemodellen er ˆ θ gtt ved enoldsvs (1.1) og (.1). For en enkel lneær regresjonsmodell er ˆ θ = [ ˆ α ˆ β ] T, der ˆα og ˆβ er gtt ved (3.1) og (3.). Verden T 1 T 1 1 ( j sν j j j ) ν = x x x x kalles -verden tl den -te eneten. Det andre leddet er det kke mulg å estmere uten å bruke den antatte varansstrukturen, ford v kke kjenner resdualene utenfor utvalget. Det er lkevel vanlg å bruke en ndrekte estmator gtt ved VT ˆ( ) d ν / ν d som brukes. Begrunnelsen =. Estmatoren varerer etter vlken sν / sν sσ/ sσ. Denne antagelsen er kke krtsk så lenge r s s s lgger å anta at trekkandelen er lav, sden VT ( r ) da er mye mndre enn VT ( ˆ r ). For en omogen modell ar v VT ˆ( r ) sdn r / = nog VT ˆ( ˆ r) = sdn r / n, slk at jo større N r er, jo mndre nnflytelse får VT ( ˆ r ) på uskkereten predksjonen. I tlfeller der trekkandelen er stor, må v bare stole på den antatte varansstrukturen. A.3 Regresjonsdagnostkk I avsntt 3.5 ser v på regresjonsdagnostkk. Struktur lster ut H, R og G, defnert på følgende måte: T 1 T 1 1 j s ν j j ν j H = = x ( x x ) x yˆ j( j) yj R = r = SD( yˆ y ) j( j) G = DFFITS r /(1 ) j H er forklart A., og av formelen ser v at H er et tall mellom 0 og 1. Dersom H > p / n der p er antall parametere modellen, antar v at eneten er avvkende ved at x ar en uvanlg plasserng blant de andre x -ene. R er den standardserte dfferansen mellom estmatet for enet j når eneten oldes utenfor og den faktske observasjonen. Hvordan estmatet for enet j beregnes, avenger av vlke modellantagelser som blr gjort. Dersom v antar at y-ene er dentsk normalfordelte vl R være student t-fordelt, med n 1 fretsgrader. Ved store n vl t-fordelngen nærme seg normalfordelngen, og derfor brukes krteret R > for å plukke ut eneter som avvker kraftg fra resten av utvalget ved at resdualet er uvanlg stort. G er en kombnasjon av R og H, og krteret G > p / n brukes for å fnne eneter som avvker betydelg fra resten av utvalget, enten på grunn av uvanlg x eller stort resdual. Dersom H = 0,5 vl G = R. To tng kan forårsake en lav G; H er nær en av grenseverdene, eller R er lav ved at den observerte verden av y lgger nær den estmerte verden. 6

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:

(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså: A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:

Detaljer

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.

TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>. ECON13: EKSAMEN 14V TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt >. Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).

Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18). Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + +

Detaljer

Notater. Anna-Karin Mevik. Estimering av månedlig omsetning innenfor bergverksdrift og industri 2008/57. Notater

Notater. Anna-Karin Mevik. Estimering av månedlig omsetning innenfor bergverksdrift og industri 2008/57. Notater 008/57 Notater Anna-Karn Mevk Notater Estmerng av månedlg omsetnng nnenfor bergverksdrft og ndustr Stabsavdelngen/Seksjon for statstske metoder og standarder 1. Innlednng.... Omsetnngsstatstkken for ndustren...

Detaljer

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir)

Notater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir) 2009/48 Notater Bjørn Gabrelsen, Magnar Lllegård, Bert Otnes, Brth Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdr) Notater Indvdbasert statstkk for pleeog omsorgstjenesten kommunene (IPLOS) Foreløpge resultater

Detaljer

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00

MASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00 MASTER I IDRETTSVITESKAP 0/04 Indvduell skrftlg eksamen MAS 40- Statstkk Trsdag 9. oktober 0 kl. 0.00-.00 Hjelpemdler: kalkulator Eksamensoppgaven består av 9 sder nkludert forsden Sensurfrst: 30. oktober

Detaljer

MA1301 Tallteori Høsten 2014

MA1301 Tallteori Høsten 2014 MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................

Detaljer

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte:

Appendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte: Appendks 1: Organserng av Rksdagsdata SPSS Sannerstedt- og Sjölns data er klargjort for logtanalyse SPSS flen på følgende måte: Enhet År SKJEBNE BASIS ANTALL FARGE 1 1972 1 0 47 1 0 2 1972 1 0 47 1 0 67

Detaljer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 orsk akkredterng Dok.d.: VII..5 A Dok. 5: Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Utarbedet av: Saeed Behdad Godkjent av: ICL Versjon:.00 Mandatory/Krav Gjelder fra: 09.05.008 Sdenr: av 7 A

Detaljer

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Oppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesnng 3 MET359 Økonometr ved Davd Kreberg Vår 0 Oppgaver Alle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Multple regresjon Oppgave.* Ta utgangspunkt

Detaljer

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen.

Alle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen. STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave a) De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Medan og kvartler for

Detaljer

Sluttrapport. utprøvingen av

Sluttrapport. utprøvingen av Fagenhet vderegående opplærng Sluttrapport utprøvngen av Gjennomgående dokumenterng fag- og yrkesopplærngen Februar 2012 Det å ha lett tlgjengelg dokumentasjon er en verd seg selv. Dokumentasjon gr ungedommene

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 015 Antall dager med hjemmekontor Spørsmål: Omtrent hvor mange dager jobber du hjemmefra løpet av en gjennomsnttsmåned (n=63) Prosent

Detaljer

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden

Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.

Detaljer

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS

Eksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73

Detaljer

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april)

Løsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april) HG Aprl 01 Løsnngsksse for oppgaver tl uke 15 (10.-13. aprl) Innledende merknad. Flere oppgaver denne uka er øvelser bruk av den vktge regel 5.0, som er sentral dette kurset, og som det forventes at studentene

Detaljer

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt?

Norske CO 2 -avgifter - differensiert eller uniform skatt? Norske CO 2 -avgfter - dfferensert eller unform skatt? av Sven Egl Ueland Masteroppgave Masteroppgaven er levert for å fullføre graden Master samfunnsøkonom Unverstetet Bergen, Insttutt for økonom Oktober

Detaljer

Notater. Nina Hagesæther og Li-Chun Zhang. Om estimeringsusikkerhet og utvalgsplan i AKU 2007/22. Notater

Notater. Nina Hagesæther og Li-Chun Zhang. Om estimeringsusikkerhet og utvalgsplan i AKU 2007/22. Notater 007/ Notater Nna Hagesæter og L-Cun Zang Notater Om estmerngsuskkeret og utvalgsplan AKU Stabsavdelng/Seksjon for metoder og standarder Innold 1. Innlednng...3. Om utvalgs- og estmerngsenet...3.1 Problemstllng...3.

Detaljer

SNF-rapport nr. 23/05

SNF-rapport nr. 23/05 Sykefravær offentlg og prvat sektor av Margt Auestad SNF-prosjekt nr. 4370 Endrng arbedsforhold Norge Prosjektet er fnansert av Norges forsknngsråd SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER

Detaljer

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland

Magnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Magnetsk nvåregulerng Prosjektoppgave faget TTK 45 Ulneære systemer Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Innholdsfortegnelse Innholdsfortegnelse... Innlednng... Oppgave

Detaljer

Alternerende rekker og absolutt konvergens

Alternerende rekker og absolutt konvergens Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne

Detaljer

Studieprogramundersøkelsen 2013

Studieprogramundersøkelsen 2013 1 Studeprogramundersøkelsen 2013 Alle studer skal henhold tl høgskolens kvaltetssystem være gjenstand for studentevaluerng mnst hvert tredje år. Alle studentene på studene under er oppfordret tl å delta

Detaljer

www.olr.ccli.com Introduksjon Online Rapport Din trinn for trinn-guide til den nye Online Rapporten (OLR) Online Rapport

www.olr.ccli.com Introduksjon Online Rapport Din trinn for trinn-guide til den nye Online Rapporten (OLR) Online Rapport Onlne Rapport Introduksjon Onlne Rapport www.olr.ccl.com Dn trnn for trnn-gude tl den nye Onlne Rapporten (OLR) Vktg nfo tl alle mengheter og organsasjoner Ingen flere program som skal lastes ned Fortløpende

Detaljer

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00

EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00 Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 9 Faglg kontakt under eksamen: Enar Rønqust, tlf. 73 59 35 47 EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Trsdag 15. ma 2001 Td:

Detaljer

Hvordan får man data og modell til å passe sammen?

Hvordan får man data og modell til å passe sammen? Hvordan får man data og modell tl å passe sammen? Ekstremverd-analyse Målet er å estmere T-års-ekstremen (flommen). T-års-ekstremen er slk at etter T år vl det forventnng være én overskrdelse av T-års-ekstremen.

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt

Detaljer

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken 2005/8 Rapporter Reports Bente Halvorsen, Bodl M. Larsen og Runa Nesbakken Prs- og nntektsfølsomet ulke usoldnngers etterspørsel etter elektrstet, fyrngsoler og ved Statstsk sentralbyrå Statstcs Norway

Detaljer

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater

Notater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater 009/30 Notater Mare Lllehammer Notater Uskkerhetsanalyse or utslpp av arlge stoer vdelng or IT og metode/seksjon or statstske metoder og standarder Innhold 1. Bakgrunn og ormål.... Metode....1 Fastsettelse

Detaljer

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken

Bente Halvorsen, Bodil M. Larsen og Runa Nesbakken 2007/7 Raorter Reorts Bente alvorsen, Bodl M. Larsen og Runa Nesbakken Smulerng av usoldnngenes elektrstetsforbruk Dokumentason og anvendelser av mkrosmulerngsmodellen SE Statstsk sentralbyrå Statstcs

Detaljer

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering

Simpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng

Detaljer

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015

Fleksibelt arbeidsliv. Befolkningsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Fleksbelt arbedslv Befolknngsundersøkelse utført for Manpower September 2015 Prvate gjøremål på jobben Spørsmål: Omtrent hvor mye td bruker du per dag på å utføre prvate gjøremål arbedstden (n=623) Mer

Detaljer

Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet.

Tema for forelesningen var Carnot-sykel (Carnot-maskin) og entropibegrepet. FORELESNING I ERMOYNMIKK ONSG 29.03.00 ema for forelesnngen var arnot-sykel (arnot-maskn) og entropbegrepet. En arnot-maskn produserer arbed ved at varme overføres fra et sted med en øy temperatur ( )

Detaljer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer

IT1105 Algoritmer og datastrukturer Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun 2004 0900-1300 Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle

Detaljer

Jobbskifteundersøkelsen Utarbeidet for Experis

Jobbskifteundersøkelsen Utarbeidet for Experis Jobbskfteundersøkelsen 15 Utarbedet for Expers Bakgrunn Oppdragsgver Expers, ManpowerGroup Kontaktperson Sven Fossum Henskt Befolknngsundersøkelse om holdnnger og syn på jobbskfte Metode Webundersøkelse

Detaljer

Statistikk og økonomi, våren 2017

Statistikk og økonomi, våren 2017 Statstkk og økonom, våren 7 Oblgatorsk oppgave Løsnngsforslag Oppgave Anta at forbruket av ntrogen norsk landbruk årene 987 99 var følgende målt tonn: 987: 9 87 988: 8 989: 8 99: 8 99: 79 99: 87 99: 9

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov

Forelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt parallelle kretser Krchhoffs

Detaljer

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT

UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Utsatt eksamen : ECON13 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 11.8.16 Sensur kunngjøres senest: 6.8.16 Td for eksamen: kl. 9: 1: Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:

Detaljer

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse)

C(s) + 2 H 2 (g) CH 4 (g) f H m = -74,85 kj/mol ( angir standardtilstand, m angir molar størrelse) Fyskk / ermodynamkk Våren 2001 5. ermokjem 5.1. ermokjem I termokjemen ser v på de energendrnger som fnner sted kjemske reaksjoner. Hver reaktant og hvert produkt som nngår en kjemsk reaksjon kan beskrves

Detaljer

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.

X ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0. UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG

Detaljer

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet

Investering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet Investerng under uskkerhet Rsko og avkastnng Høy rsko Lav rsko Presserng av rskobegreet Realnvesterng Fnansnvesterng Rsko for enkeltaksjer og ortefølje-sammenheng Fnansnvesterng Realnvesterng John-Erk

Detaljer

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.

Sparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk. ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl

Detaljer

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser

Alderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser Alderseffekter NVEs kostnadsnormer - evaluerng og analyser 2009 20 06 20 10 20 10 20 10 21 2011 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 R A P P O R T 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20

Detaljer

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder.

må det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder. 40 Metoder for å måle avkastnng Totalavkastnngen tl Statens petroleumsfond blr målt med stor nøyaktghet. En vktg forutsetnng er at det alltd beregnes kvaltetsskret markedsverd av fondet når det kommer

Detaljer

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende:

Makroøkonomi - B1. Innledning. Begrep. Mundells trilemma 1 går ut på følgende: Makroøkonom Innlednng Mundells trlemma 1 går ut på følgende: Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td Av de tre faktorene er hypotesen at v kun kan velge

Detaljer

Innholdsfortegnelse. Innledning. I. Teorigrunnlag, s. 5

Innholdsfortegnelse. Innledning. I. Teorigrunnlag, s. 5 Innholdsfortegnelse Innlednng I. Teorgrunnlag, s. 5 a) Nyklasssk nytteteor, s. 5 b) Utvdet nyttebegrep, s. 6 c) Lneære utgftssystemer, s. 7 d) Mellom-menneskelg påvrknng, s. 8 e) Modernserng og bostedspåvrknng,

Detaljer

Er verditaksten til å stole på?

Er verditaksten til å stole på? NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 2006 Er verdtaksten tl å stole på? En analyse av takstmannens økonomske relasjon tl eendomsmegler av Krstan Gull Larsen Veleder: Professor Guttorm Schjelderup Utrednng

Detaljer

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid

Fast valutakurs, selvstendig rentepolitikk og frie kapitalbevegelser er ikke forenlig på samme tid Makroøkonom Publserngsoppgave Uke 48 November 29. 2009, Rev - Jan Erk Skog Fast valutakurs, selvstendg rentepoltkk og fre kaptalbevegelser er kke forenlg på samme td I utsagnet Fast valutakurs, selvstendg

Detaljer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer

NA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer Sde: av 7 NA Dok. 5 Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Dokument kategor: Krav Fagområde: Kalbrerngslaboratorer Dette dokumentet er en oversettelse av EA-4/0 European Cooperaton for Accrédtaton of

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v

Detaljer

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet

Dynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for

Detaljer

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Løsnnger lle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Hypotesetestng testng av enkelthypoteser Oppgave 1.* Når v tester enkelthypoteser ved hjelp

Detaljer

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning

Automatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning Bruksanvsnng System 2000 Art. Nr.: 0661 xx /0671 xx Innholdsfortegnelse 1. rmasjon om farer 2. Funksjon 2.1. Funksjonsprnspp 2.2. Regstrerngsområde versjon med 1,10 m lnse 2.3. Regstrerngsområde versjon

Detaljer

2006/27 Notater 2006 Om samordning av utvalg ved bruk av PRN-tall

2006/27 Notater 2006 Om samordning av utvalg ved bruk av PRN-tall 2006/27 Notater 2006 Johan Heldal og Audun Rust Notater Om samordnng av utvalg ved bruk av PRN-tall Seksjon for statstske metoder og standarder Forord Dette notatet beskrver hvordan permanente tlfeldge

Detaljer

Analyse av strukturerte spareprodukt

Analyse av strukturerte spareprodukt NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, Høst 2007 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe Veleder: Professor Petter Bjerksund Utrednng fordypnngs-/spesalområdet: Fnansell

Detaljer

Oppvarming og innetemperaturer i norske barnefamilier

Oppvarming og innetemperaturer i norske barnefamilier Ovarmng og nnetemeraturer norske barnefamler En analyse av husholdnngenes valg av nnetemeratur Henrette Brkelund Masterogave samfunnsøkonom ved Økonomsk Insttutt UNIVERSITETET I OSLO 13.05.2013 II ) Ovarmng

Detaljer

Masteroppgave i statistikk. GAMLSS-modeller i bilforsikring. Hallvard Røyrane-Løtvedt Kandidatnr. 160657

Masteroppgave i statistikk. GAMLSS-modeller i bilforsikring. Hallvard Røyrane-Løtvedt Kandidatnr. 160657 Masteroppgave statstkk GAMLSS-modeller blforskrng Hallvard Røyrane-Løtvedt Kanddatnr. 160657 UNIVERSITETET I BERGEN MATEMATISK INSTITUTT Veleder: Hans Julus Skaug 1. Jun 2012 1 GAMLSS-modeller blforskrng

Detaljer

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet

Auksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet Auksjoner og mljø: Prvat nformasjon og kollektve goder Erk Romstad Handelshøyskolen Auksjoner for endra forvaltnng Habtatvern for bologsk mangfold Styresmaktene lyser ut spesfserte forvaltnngskontrakter

Detaljer

TMA4240 Statistikk H2010

TMA4240 Statistikk H2010 TMA440 Statstkk H00 Statstsk nferens: 9.6: Predksjonsntervall 9.8: To utvalg, dfferanse µ µ Mette Langaas Foreleses mandag 8.oktober, 00 Predksjonsntervall for fremtdg observasjon, normalfordelng For en

Detaljer

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm

COLUMBUS. Lærerveiledning Norge og fylkene. ved Rolf Mikkelsen. Cappelen Damm COLUMBUS Lærervelednng Norge og fylkene ved Rolf Mkkelsen Cappelen Damm Innlednng Columbus Norge er et nteraktvt emddel som nneholder kart over Norge, fylkene og Svalbard, samt øvelser og oppgaver. Det

Detaljer

Håkon Skullerud, Barbara K. Frøyen, Olav Skogesal og Anne Vedø Estimering av materialfordelingen til husholdningsavfall i 2004

Håkon Skullerud, Barbara K. Frøyen, Olav Skogesal og Anne Vedø Estimering av materialfordelingen til husholdningsavfall i 2004 Rapporter 42/2010 Håkon Skullerud, Barbara K. Frøyen, Olav Skogesal og Anne Vedø Estmerng av materalfordelngen tl husholdnngsavfall 2004 Statstsk sentralbyrå Statstcs Norway Oslo Kongsvnger Rapporter I

Detaljer

Thor Herman Christensen, Einar Eide og Arild Thomassen

Thor Herman Christensen, Einar Eide og Arild Thomassen 2006/2 Rapporter Reports Thor Herman Chrstensen, Enar Ede og Arld Thomassen Prsndeks for nye flerbolghus Statstsk sentralbyrå Statstcs Norway Oslo Kongsvnger Rapporter Reports I denne seren publseres statstske

Detaljer

Løsningsforslag ST2301 Øving 8

Løsningsforslag ST2301 Øving 8 Løsnngsforslag ST301 Øvng 8 Kapttel 4 Exercse 1 For tre alleler, fnn et sett med genfrekvenser for to populasjoner, som gr flere heterozygoter enn forventa utfra Hardy-Wenberg-andeler for mnst én av de

Detaljer

SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat 07. Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU

SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat 07. Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU SOS3003 Anvendt statstsk dataanalyse samfunnsvtenskap Forelesngsnotat 07 Erlng Berge Insttutt for sosolog og statsvtenskap NTNU Erlng Berge 2004 Forelesng VII Logstsk regresjon I Hamlton Kap 7 s27-234

Detaljer

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse

Litt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse Ltt om emprsk Markedsavgrensnng form av sjokkanalyse Frode Steen Konkurransetlsynet, 27 ma 2011 KT - 27.05.2011 1 Sjokkanalyse som markedsavgrensnngsredskap Tradsjonell korrelasjonsanalyse av prser utnytter

Detaljer

Notater. Asif Hayat og Terje Tveeikrem Sæter. Prisindeks for rengjøringsvirksomhet 2008/49. Notater

Notater. Asif Hayat og Terje Tveeikrem Sæter. Prisindeks for rengjøringsvirksomhet 2008/49. Notater 2008/49 Notater Asf Hayat og Terje Tveekrem Sæter Notater Prsndeks for rengjørngsvrksomhet Avdelng for nærngsstatstkk/seksjon for bygg- og tjenestestatstkk Innhold 1. Innlednng... 2 2. Internasjonale

Detaljer

Laser Distancer LD 420. Bruksanvisning

Laser Distancer LD 420. Bruksanvisning Laser Dstancer LD 40 no Bruksanvsnng Innhold Oppsett av nstrumentet - - - - - - - - - - - - - - - - Innlednng- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Overskt - - - - - - - - - -

Detaljer

Dårligere enn svenskene?

Dårligere enn svenskene? Økonomske analyser 2/2001 Dårlgere enn svenskene? Dårlgere enn svenskene? En sammenlgnng av produktvtetsveksten norsk og svensk ndustr * "Productvty sn t everythng, but n the long run t s almost everythng."

Detaljer

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f).

Eksamen ECON 2200, Sensorveiledning Våren Deriver følgende funksjoner. Deriver med hensyn på begge argumenter i e) og f). Eksamen ECON 00, Sensorvelednng Våren 0 Oppgave (8 poeng ) Derver følgende funksjoner. Derver med hensyn på begge argumenter e) og f). (Ett poeng per dervasjon, dvs, poeng e og f) a) f( x) = 3x x + ln

Detaljer

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober

Forelesning 17 torsdag den 16. oktober Forelesnng 17 torsdag den 16. oktober 4.12 Orden modulo et prmtall Defnsjon 4.12.1. La p være et prmtall. La x være et heltall slk at det kke er sant at x 0 Et naturlg tall t er ordenen tl a modulo p dersom

Detaljer

Denne anvisningen er en del av produktet og skal være hos sluttkunden. Bilde 1: Trådløs håndsender dobbel og firedobbel

Denne anvisningen er en del av produktet og skal være hos sluttkunden. Bilde 1: Trådløs håndsender dobbel og firedobbel Radohåndsender 2 kanaler Best.-nr. : 5352 10 Radohåndsender 4 kanaler Best.-nr. : 5354 10 Bruksanvsnng 1 Skkerhetsnformasjon Knappeceller skal oppbevares utlgjengelg for barn! Hvs knappecellene svelges

Detaljer

Felles akuttilbud barnevern og psykiatri. Et prosjekt for bedre samhandling og samarbeid rundt utsatte barn og unge i Nord-Trøndelag

Felles akuttilbud barnevern og psykiatri. Et prosjekt for bedre samhandling og samarbeid rundt utsatte barn og unge i Nord-Trøndelag Felles akuttlbud barnevern og psykatr Et prosjekt for bedre samhandlng og samarbed rundt utsatte barn og unge Nord-Trøndelag Sde 1 Senorrådgver Kjell M. Dahl / 25.02.2011 Ansvarsfordelng stat/kommune 1.

Detaljer

Sannsynlighet seier noko om kor truleg det er at ei hending får eit bestemt utfall. Ein matematisk definisjon på sannsynlighet er:

Sannsynlighet seier noko om kor truleg det er at ei hending får eit bestemt utfall. Ein matematisk definisjon på sannsynlighet er: Dette notatet bygger på Append C I Dngamn, og er et forsøk på å gje en kort og enkel nnførng vktge statskske begrep me vl få bruk for GF-GG4. Sannsynlghet seer noko om kor truleg det er at e hendng får

Detaljer

Prisindeks for godstransport på vei

Prisindeks for godstransport på vei Notater Documents 40/2012 Ftw Wolday Prsndeks for godstransport på ve Dokumentasjonsnotat Notater 40/2012 Ftw Wolday Prsndeks for godstransport på ve Dokumentasjonsnotat Statstsk sentralbyrå Statstcs

Detaljer

1653B/1654B. Installasjonstest på et IT anlegg i drift

1653B/1654B. Installasjonstest på et IT anlegg i drift 65B/654B Installasjonstest på et IT anlegg drft Utførng av testene Spennngsmålnger Testeren kan brkes som et ac voltmeter hvor spennng og frekvens kan vses samtdg ved å sette rotasjonsbryteren tl V. Alle

Detaljer

SNF-rapport nr. 19/07

SNF-rapport nr. 19/07 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe SNF-prosjekt nr. 7000 SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER 2007 Dette eksemplar er fremstlt etter avtale

Detaljer

Forelesning nr.3 INF 1410

Forelesning nr.3 INF 1410 Forelesnng nr. INF 40 009 Node og mesh-analyse 6.0.009 INF 40 Oerskt dagens temaer Bakgrunn Nodeanalyse og motasjon Meshanalyse 009 Supernode Bruksområder og supermesh for node- og meshanalyse 6.0.009

Detaljer

Oversikt over tester i Econ 2130

Oversikt over tester i Econ 2130 HG Revdert aprl 2 Overskt over tester Eco 23 La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ populasjoe er ukjet. Når v setter

Detaljer

Årbeidsretta tiltak og tjenester

Årbeidsretta tiltak og tjenester skal være ledende og framtdsrettet nnen tlrettelagt arbed og arbedsrelatert opplærng Hallngdal Å R S R Å P P O R T 2 0 5 Årbedsretta tltak og tjenester INNHOLD SIDE Innlednng Om : Eerforhold og lokalserng

Detaljer

TheraPro HR90. 2. Kort veiledning. 1. Leveringsomfang

TheraPro HR90. 2. Kort veiledning. 1. Leveringsomfang . Kort velednng TheraPro HR9. Leverngsomfang Elektronsk radatortermostat I paknngen med radatortermostaten f nner du: 4 Den elektronske radatortermostaten regulerer romtemperaturen nøyaktg tl nnstlt verd

Detaljer

Postadresse: Pb. 8149 Dep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas vei 8 - Tlf. 02-466850. Bankgiro 0629.05.81247 - Postgiro 2 00 0214

Postadresse: Pb. 8149 Dep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas vei 8 - Tlf. 02-466850. Bankgiro 0629.05.81247 - Postgiro 2 00 0214 A "..'. REW~~~~~OO ~slnmtlre STATENS ARBESMLJØNSTTUTT Postadresse: Pb. 8149 ep. 0033 Oslo 1. Kontoradresse: Gydas ve 8 - Tlf. 02-466850. Bankgro 0629.05.81247 - Postgro 2 00 0214 Tttel: OPPLEE AV HEE OG

Detaljer

Audun Langørgen Alternative metoder for beregning av kostnadsnøkler for utgiftsutjevning mellom kommuner

Audun Langørgen Alternative metoder for beregning av kostnadsnøkler for utgiftsutjevning mellom kommuner Rapporter 23/2011 Audun Langørgen Alternatve metoder for beregnng av kostnadsnøkler for utgftsutjevnng mellom kommuner Statstsk sentralbyrå Statstcs Norway Oslo Kongsvnger Rapporter I denne seren publseres

Detaljer

Oppgaver. Hypotesetesting testing av enkelthypoteser. Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011

Oppgaver. Hypotesetesting testing av enkelthypoteser. Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Forelesnng 4 og 5 MET359 Økonomer ved Davd Kreberg Vår 11 Oppgaver lle MC-oppgaver er merke u fra vanskelghesgrad på følgende måe: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg ypoeseesng esng av enkelhypoeser

Detaljer

Adaptivt lokalsøk for boolske optimeringsproblemer

Adaptivt lokalsøk for boolske optimeringsproblemer Adaptvt lokalsøk for boolske optmerngsproblemer Lars Magnus Hvattum Høgskolen Molde Lars.M.Hvattum@hmolde.no Arne Løkketangen Høgskolen Molde Arne.Lokketangen@hmolde.no Fred Glover Leeds School of Busness,

Detaljer

ECON 2915 forelesning 3. Malthus teori. Befolkningsvekst. Solow-modellen. Malthus teori. Befolkningsvekst i. Solowmodellen. Fredag 6.

ECON 2915 forelesning 3. Malthus teori. Befolkningsvekst. Solow-modellen. Malthus teori. Befolkningsvekst i. Solowmodellen. Fredag 6. forelesnng 3 Malthus teor. Befolknngsvekst ECON 2915 forelesnng 3 Malthus teor. Befolknngsvekst Solow-modellen. Fredag 6.september, 2013 forelesnng 3 Malthus teor. Befolknngsvekst Fgure 4.1: Relatonshp

Detaljer

HR92. 2. Kort veiledning. 1. Leveringsomfang

HR92. 2. Kort veiledning. 1. Leveringsomfang 2. Kort velednng 2443 Radatortermostaten HR92 er eu.bacsertfsert.. Leverngsomfang HR92 Trådløs Elektronsk Radatortermostat I paknngen med radatortermostaten fnner du: 2 3 4 Honeywell HR92 er en trådløs

Detaljer

En teoretisk studie av tv-markedets effisiens

En teoretisk studie av tv-markedets effisiens NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, våren 007 Utrednng fordypnng: Økonomsk analyse Veleder: Hans Jarle Knd En teoretsk stude av tv-markedets effsens av Odd Hennng Aure og Harald Nygård Bergh Denne utrednngen

Detaljer

Kapitalbeskatning og investeringer i norsk næringsliv

Kapitalbeskatning og investeringer i norsk næringsliv Rapport Kaptalbeskatnng og nvesternger norsk nærngslv MENON-PUBLIKASJON NR. 28/2015 August 2015 av Leo A. Grünfeld, Gjermund Grmsby og Marcus Gjems Thee Forord Denne rapporten er utarbedet av Menon Busness

Detaljer

Avvisning av klage på offentlig anskaffelse

Avvisning av klage på offentlig anskaffelse Klagenemnda for offentlge anskaffelser Advokatfrmaet Haavnd AS Att. Maranne H. Dragsten Postboks 359 Sentrum 0101 Oslo Deres referanse Vår referanse Dato 1484867/2 2010/128 08.03.2011 Avvsnng av klage

Detaljer

Leica DISTO TM D410 The original laser distance meter

Leica DISTO TM D410 The original laser distance meter Leca DISTO TM D410 The orgnal laser dstance meter Innholdsfortegnelse Oppsett av nstrumentet - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Introduksjon - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Detaljer

MSKOMNO. kó=ñê~w. pfabufp=ud. aáöáí~ä=ê åíöéå=l=îáçéçjëçñíï~êé=j=sfabufp hçêí=äêìâë~åîáëåáåö= kçêëâ

MSKOMNO. kó=ñê~w. pfabufp=ud. aáöáí~ä=ê åíöéå=l=îáçéçjëçñíï~êé=j=sfabufp hçêí=äêìâë~åîáëåáåö= kçêëâ kó=ñê~w MSKOMNO pfabufp=ud aáöáí~ä=ê åíöéå=l=îáçéçjëçñíï~êé=j=sfabufp hçêí=äêìâë~åîáëåáåö= kçêëâ 0123 Dette produktet bærer CE-merket overensstemmelse med bestemmelsene drektvet 93/42EEC av 14 jun 1993

Detaljer

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch.

NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch. NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIGE A Hans-Wlhelm Mørch. SANNSYNLIGHETER FOR HVORAN TRUMFEN(ELLER ANRE SORTER) ER FORELT Anta at du mangler n kort trumffargen. Ha er sannsynlgheten for at est har a a dem? La

Detaljer

SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat 11. Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU

SOS3003 Anvendt statistisk dataanalyse i samfunnsvitenskap Forelesingsnotat 11. Erling Berge Institutt for sosiologi og statsvitenskap NTNU SOS3003 Anvendt statstsk dataanalyse samfunnsvtenskap Forelesngsnotat Erlng Berge Insttutt for sosolog og statsvtenskap NTNU Erlng Berge 2004 Forelesng XI Logstsk regresjon II Hamlton Kap 7 s27-235 Erlng

Detaljer

Lise Dalen, Pål Marius Bergh, Jenny-Anne Sigstad Lie og Anne Vedø. Energibruk î. næringsbygg 1995-1997 98/47. 11 Notater

Lise Dalen, Pål Marius Bergh, Jenny-Anne Sigstad Lie og Anne Vedø. Energibruk î. næringsbygg 1995-1997 98/47. 11 Notater 98/47 Notater 998 Lse Dalen, Pål Marus Bergh, Jenny-Anne Sgstad Le og Anne Vedø Energbruk î. nærngsbygg 995-997 Avdelng for økonomsk statstkk/seksjon for utenrkshandel, energ og ndustrstatstkk Innhold.

Detaljer

2007/15 Notater Brukerveiledning for SHE-AR- modellen Statistisk sentralbyrå Statistics Norway

2007/15 Notater Brukerveiledning for SHE-AR- modellen Statistisk sentralbyrå Statistics Norway 2007/5 Notater Bente Halvorsen Notater Brukervelednng for SHE-ARmodellen En regnearkmodell for smulerng av usoldnngenes aggregerte elektrstetsetterspørsel Forsknngsavdelng/Seksjon for energ og mljøøkonom

Detaljer

Bruksanvisning. Romtemperaturregulator med klokke 0389..

Bruksanvisning. Romtemperaturregulator med klokke 0389.. Bruksanvsnng Romtemperaturregulator med klokke 0389.. Innholdsfortegnelse Normalvsnng på dsplayet...3 Grunnleggende betjenng av romtemperaturregulatoren...3 Overskt over dsplayvsnnger og taster...3 Om

Detaljer

Kultur- og mediebruk blant personer med innvandrerbakgrunn Statistisk sentralbyrå Statistics Norway

Kultur- og mediebruk blant personer med innvandrerbakgrunn Statistisk sentralbyrå Statistics Norway Odd Frank Vaage Kultur- og medebruk blant personer med nnvandrerbakgrunn Resultater Kultur- og medebruksundersøkelsen 2008 og tlleggsutvalg blant nnvandrere og norskfødte med nnvandrerforeldre Statstsk

Detaljer

DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT. prisbestemmelsen

DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT. prisbestemmelsen DET KONGELIGE FISKERI- OG KYSTDEPARTEMENT Fskebãtredernes forbund Postboks 67 6001 ALESUND Deres ref Var ref Dato 200600063- /BSS Leverngsplkt for torsketrálere - prsbestemmelsen V vser tl Deres brev av

Detaljer

Notat 1: Grunnleggende statistikk og introduksjon til økonometri

Notat 1: Grunnleggende statistikk og introduksjon til økonometri Notat : Gruleggede statstkk og troduksjo tl økoometr Gruleggede statstkk Populasjo vs. utvalg Statstsk feres gjør bruk av formasjoe et utvalg tl å trekke koklusjoer (el. slutger) om populasjoe som utvalget

Detaljer

Årsplan: Matematikk 4.trinn Uke Tema

Årsplan: Matematikk 4.trinn Uke Tema Årsplan: Matematkk 4.trnn Uke 33 34 35 36 37 38 39 Repetsjon Kap1. Koordnatsystemet Les av, plassere og beskrve possjoner rutenett, på kart og koordnatsystem, både med og uten verktøy. Samle, sortere,

Detaljer