EKSAMENSOPPGAVE I SØK1004 STATISTIKK FOR ØKONOMER STATISTICS FOR ECONOMISTS

Transkript

1 NTNU Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for samfunnsøkonom EKSAMENSOPPGAVE I SØK004 STATISTIKK FOR ØKONOMER STATISTICS FOR ECONOMISTS Faglg kontakt under eksamen: Hldegunn E Stokke Tlf: Eksamensdato: Fredag 8 jun 0 Eksamenssted: Eksamenstd: Dragvoll 4 tmer Studepoeng: 7,5 Tllatte hjelpemdler: Alle trykte og håndskrevne hjelpemdler, samt godkjent kalkulator Ctzen SR-70x el HP 30S Sensur: 9 jun 0 Antall sder bokmål: Antall sder nynorsk: Antall sder engelsk:

2 Bokmål SØK004 Statstkk for økonomer Eksamensoppgaven består av fre oppgaver, og alle skal besvares Vektng er gtt parentes Oppgave (5%) Da Anne var på besøk Roma, fkk hun raskt problemer med språket Anne snakker engelsk, men kke talensk, og kun av 5 talenere behersker engelsk Lkevel, på tur sentrum av byen er det noe lettere å treffe noen som snakker engelsk, da av 4 personer som befnner seg Roma sentrum er utenlandske turster Og blant de utenlandske turstene er det hele av som behersker engelsk Merk at v for enkelhets skyld antar at alle som befnner seg Roma sentrum enten er talenere eller utenlandske turster For en vlkårlg person trukket fra Roma sentrum, defner hendelsene, E = personen snakker engelsk, I = personen er talener og T = personen er utenlandsk turst a) Forklar ved Venn-dagram eller på annen måte at E = ( E I) ( E T) Er hendelsene ( E I) og ( E T) dsjunkte? Forklar b) Fnn følgende sannsynlgheter: PE ( I ) og PE ( I) c) Hva er sannsynlgheten for at en tlfeldg person som Anne treffer snakker engelsk? d) Hva er sannsynlgheten for at vedkommende er talener, gtt at hun/han snakker engelsk? e) Hva er sannsynlgheten for at vedkommende er talener, gtt at hun/han kke snakker engelsk? f) I en gate treffer Anne på 4 personer La den stokastske varabelen X være antall utenlandske turster blant dsse fre ) Drøft kort hvlken grad v kan anta at X er bnomsk fordelt ) Anta nå at X er bnomsk fordelt Beregn sannsynlgheten for at det er to eller flere utenlandske turster blant de fre som Anne møter denne gaten Oppgave (5%) a) Anta at X er normalfordelt med mddelverd µ = 6 og varans σ = 5 Fnn: ) PX> ( 0) ) P(0 < X < 5) ) PX< ( 0) v) P( < X < 4) b) Anta at den stokastske varabelen Z er standard normalfordelt Fnn verden k slk at P( 06 < Z < k) = 043

3 SØK004 Statstkk for økonomer Oppgave 3 (0%) Et tlfeldg utvalg bestående av 3 jusstudenter vser seg å ha en gjennomsnttlg studetd per uke løpet av semesteret på 3 tmer, med standardavvk lk 7 tmer For et tlfeldg utvalg bestående av 6 økonomstudenter er gjennomsnttlg studetd per uke løpet av semesteret 38 tmer med standardavvk lk 55 tmer Studetd antas normalfordelt begge populasjoner a) Test om varansen studetd er forskjellg de to populasjonene Benytt 5% sgnfkansnvå b) Test om gjennomsnttlg studetd er høyere for økonomstudenter enn for jusstudenter Bruk både 5% og % sgnfkansnvå Oppgave 4 (40%) De følgende dataene gr antall tmer studetd per uke (Y) og antall tmer per uke lønnet arbed (X) for et tlfeldg utvalg av 0 studenter: Y X X = 5 Y = 40 0 ( X X) = 35 0 ( Y Y) = 8 0 ( X X)( Y Y) = 76 a) Anta at Y = α + βx + ε, hvor ε er restledd, og bruk mnste kvadraters metode (ordnary least squares, OLS) tl å estmere koeffsentene α og β G en tolknng av estmatene b) Antall tmer studetd er uavhengg av antall tmer lønnet arbed Formuler denne påstanden som en hypotesetest og test om påstanden kan forkastes Bruk 5% sgnfkansnvå c) Dersom en bruker en tme mer per uke lønnet arbed, reduseres td brukt på studer med en tme Formuler denne påstanden som en hypotesetest og test om påstanden kan forkastes Bruk 0% sgnfkansnvå d) Beregn både 95% og 99% konfdensntervall for β Kommenter resultatene e) Beregn hvor mange studenter du mnst må ha med utvalget for å få et 99% konfdensntervall for β på formen b ± 078 eller mndre, der b er estmatet beregnet oppgave a) Anta uendret standardavvk for b f) Hva menes med modellens forklarngskraft (også kalt R )? Beregn denne

4 Nynorsk SØK004 Statstkk for økonomar Eksamensoppgåva nneheld fre oppgåver, og alle skal svarast på Vektng er gtt parentes Oppgåve (5%) Då Anne var på besøk Roma, fekk ho raskt problem med språket Anne snakkar engelsk, men kkje talensk, og berre av 5 talenarar beherskar engelsk Lkevel, på tur sentrum av byen er det noko lettare å treffe nokon som snakkar engelsk, då av 4 personar som oppheld seg Roma sentrum er utanlandske turstar Og blant de utanlandske turstane er det hele av som beherskar engelsk Merk at v for enkelhets skuld antar at alle som oppheld seg Roma sentrum anten er talenarar eller utanlandske turstar For en vlkårleg person trekt frå Roma sentrum, defner hendngane, E = personen snakkar engelsk, I = personen er talenar og T = personen er utanlandsk turst a) Forklar ved Venn-dagram eller på annan måte at E = ( E I) ( E T) Er hendngane ( E I) og ( E T) dsjunkte? Forklar b) Fnn fylgjande sannsyn: PE ( I ) og PE ( I) c) Kva er sannsynet for at en tlfeldg person som Anne treffer snakkar engelsk? d) Kva er sannsynet for at vedkommande er talenar, gtt at ho/han snakkar engelsk? e) Kva er sannsynet for at vedkommande er talenar, gtt at ho/han kkje snakkar engelsk? f) I e gate treff Anne på 4 personar La den stokastske varabelen X vere talet på utanlandske turstar blant dsse fre ) Drøft kort kva for grad v kan anta at X er bnomsk fordelt ) Anta no at X er bnomsk fordelt Berekn sannsynet for at det er to eller flere utanlandske turstar blant de fre som Anne møter denne gata Oppgåve (5%) a) Anta at X er normalfordelt med mddelverd µ = 6 og varans σ = 5 Fnn: ) PX> ( 0) ) P(0 < X < 5) ) PX< ( 0) v) P( < X < 4) b) Anta at den stokastske varabelen Z er standard normalfordelt Fnn verden k slk at P( 06 < Z < k) = 043

5 SØK004 Statstkk for økonomar Oppgåve 3 (0%) Et tlfeldg utval beståande av 3 jusstudentar vser seg å ha en gjennomsnttleg studetd per veke løpet av semesteret på 3 tmer, med standardavvk lk 7 tmer For et tlfeldg utval beståande av 6 økonomstudentar er gjennomsnttlg studetd per veke løpet av semesteret 38 tmer med standardavvk lk 55 tmer V antek at studetd er normalfordelt begge populasjonane a) Test om varansen studetd er forskjelleg de to populasjonane Bruk 5% sgnfkansnvå b) Test om gjennomsnttleg studetd er høgare for økonomstudentar enn for jusstudentar Bruk både 5% og % sgnfkansnvå Oppgåve 4 (40%) De fylgjande data gr talet på tmer studetd per veke (Y) og talet på tmer per veke løna arbed (X) for et tlfeldg utval av 0 studentar: Y X X = 5 Y = 40 0 ( X X) = 35 0 ( Y Y) = 8 0 ( X X)( Y Y) = 76 a) Anta at Y = α + βx + ε, der ε er restledd, og bruk mnste kvadrats metode (ordnary least squares, OLS) tl å estmere koeffsentane α og β G e tolkng av estmata b) Talet på tmer studetd er uavhengg av talet på tmer løna arbed Formuler denne påstanden som en hypotesetest og test om påstanden kan forkastast Bruk 5% sgnfkansnvå c) Dersom en bruker en tme mer per veke løna arbed, reduserast td brukt på studar med en tme Formuler denne påstanden som en hypotesetest og test om påstanden kan forkastast Bruk 0% sgnfkansnvå d) Berekn både 95% og 99% konfdensntervall for β Kommenter resultata e) Berekn kor mange studentar du mnst må ha med utvalet for å få et 99% konfdensntervall for β på forma b ± 078 eller mndre, der b er estmatet berekna oppgåve a) Anta uendra standardavvk for b f) Kva menes med modellen s forklarngskraft (også kalla R )? Berekn denne

6 Englsh SØK004 Statstcs for Economsts The exam conssts of four questons, and all of them should be answered Weghts are gven n parenthess Queston (5%) When Anne was vstng Rome, she quckly got problems wth the language Anne speaks Englsh, but not Italan, and only of 5 Italans knows Englsh Stll, n the center of the cty t s somewhat easer to meet someone who speaks Englsh, snce of 4 persons n the center of Rome are foregn toursts And among the foregn toursts as much as of knows Englsh Note that for smplcty we assume that everyone who s n the center of Rome s ether Italan or foregn toursts For a random person drawn from the center of Rome, defne the events, E = the person speaks Englsh, I = the person s Italan and T = the person s a foregn tourst a) Explan by Venn-dagram or otherwse that E = ( E I) ( E T) Are the events ( E I) and ( E T) mutually exclusve? Explan b) Fnd the followng probabltes: PE ( I ) and PE ( I) c) What s the probablty that a random person that Anne meets speaks Englsh? d) What s the probablty that he/she s Italan, gven that he/she speaks Englsh? e) What s the probablty that he/she s Italan, gven that he/she does not speak Englsh? f) In a street Anne meets 4 persons Let the random varable X be the number of foregn toursts among these four ) Dscuss shortly to what extent we can assume that X s bnomally dstrbuted ) Assume now that X s bnomally dstrbuted Calculate the probablty that there are two or more foregn toursts among the four that Anne meets n ths street Queston (5%) a) Assume that X s normally dstrbuted wth mean µ = 6 and varance σ = 5 Fnd: ) PX> ( 0) ) P(0 < X < 5) ) PX< ( 0) v) P( < X < 4) b) Assume that the random varable Z s standard normally dstrbuted Fnd the value k so that P( 06 < Z < k) = 043

7 SØK004 Statstcs for Economsts Queston 3 (0%) A random sample of 3 law students turns out to have an average study tme per week durng the semester of 3 hours, wth a standard devaton of 7 hours For a random sample of 6 economcs students the average study tme per week durng the semester s 38 hours wth a standard devaton of 55 hours The study tme s assumed normally dstrbuted n both populatons a) Test whether the varance n study tme s dfferent n the two populatons Use 5% sgnfcance level b) Test whether the mean study tme s hgher among economcs students than among law students Use both 5% and % sgnfcance level Queston 4 (40%) The followng data gve the number of hours study tme per week (Y) and the number of hours per week n pad employment (X) for a random sample of 0 students: Y X X = 5 Y = 40 0 ( X X) = 35 0 ( Y Y) = 8 0 ( X X)( Y Y) = 76 a) Assume that Y = α + βx + ε, where ε s a dsturbance, and use ordnary least squares (OLS) to estmate the coeffcents α and β Gve an nterpretaton of the estmates b) The number of hours study tme s ndependent of the number of hours pad employment Formulate ths statement as a hypothess test and test whether the statement can be rejected Use a sgnfcance level of 5% c) If you spend one hour more per week n pad employment, the tme spent on studes s reduced by one hour Formulate ths statement as a hypothess test and test whether the statement can be rejected Use a sgnfcance level of 0% d) Calculate both the 95% and 99% confdence nterval for β Comment on the results e) Calculate how many students you at least need n the sample to get a 99% confdence nterval for β n the form b ± 078 or less, where b s the estmate calculated n subqueston a) Assume the same standard devaton for b as before f) What s meant by the model s coeffcent of determnaton (also called R )? Calculate ths coeffcent