Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.18).
|
|
- Elling Borge
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Econ 2130 HG mars 2012 Supplement tl forelesnngen 19. mars Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og ltt om heltallskorreksjon (som eksempel 5.18). Regel 5.19 ser at summer, Y = X1+ X2 + + Xn, av uavhengge og dentsk fordelte (ud) tlnærmet, er tlnærmet normalfordelt, ~ ( ( ), Var( )) varable, X1, X2,, Xn er for lten (tommelfngerregel n 20 ). Dette gjelder uansett hvlken fordelng Y N EY Y, når n kke enkeltvarablene ( X ) har! Om fordelngen tl X er det nok å vte hva forventnngen ( µ = EX ( )) er og hva standardavvket ( σ = SD( X) = Var( X) ) er. I så fall kjenner v også forventnngen og standardavvket for Y: Regel 4.12 og 4.17 gr nemlg at ( ) EY = E X + X + + X = µ + µ + + µ = nµ ( ) 1 2 n ( ) Var( Y) = Var X + X + + Xn = σ + σ + + σ = nσ = σ n 1 2 tlnærmet Dermed har v at Y ~ N( n, n) µσ når n 20 kumulatve sannsynlgheter for Y tlnærmet: 1. Tlnærmelsen brukes tl å beregne (1) Y nµ y nµ y nµ y nµ PY ( y) = P P Z = G σ n σ n σ n σ n der Z ~ N (0, 1) med kumulatv fordelngsfunksjon, Gz ( ) = PZ ( z), som er tabulert tabell D3. boka. Dette teoremet er særdeles nyttg prakss sden den eksakte fordelngen tl Y ofte er meget komplsert og vanskelg å beregne. 1 Av dette følger drekte den tlsvarende regelen 5.18 om gjennomsntt, nemlg at tlnærmet ( ) ( µ σ ) X ~ N E( X), Var( X) = N, n når n 20. Dette skyldes regel 1 notatet om normalfordelng (på kurssden på web) som ser at at hvs Y er (tlnærmet) normalfordelt, må også en konstant ganger Y være det, hvorav X = ( 1 n) Y ~ tlnærmet normalfordelt med E( X) = ( 1 n) EY ( ) og ( ) 2 Var X (1 n) Var( Y) =.
2 2 Som llustrasjon vl v se på et par tlfeller der denne tlnærmelsen vrker dårlg og et par tlfeller der den vrker bra. La oss se nærmere på eksempelet v dskuterte på forelesnngen om de statstske egenskapene tl sum antall øyne ved flere kast med en rettferdg ternng. På forelesnngen dskuterte v gjennomsnttlg antall øyne, mens v her skal se på sum antall øyne. La X være antall øyne v får kast nr. med ternngen, og Y = X1+ X2 + + Xn antall øyne for n kast. Alle er sum X -ene har samme fordelng beskrevet tabell 1 og er uavhengge. Tabell 1 Fordelng for X x PX ( = x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Sjekk selv at forventnng, varans og standardavvk er gtt ved 2 = E( X ) = 3.5, = Var ( X ) = , og ( ) µ σ σ = Var = X 1. Tlfellet n = 1 kast La oss først se på tlfellet med bare ett kast ( n = 1), slk at Y = X1. Dette er et tlfelle der normaltlnærmelsen antakelg kke fungerer bra. La oss lkevel prøve å tlnærme fordelngen for Y (som er gtt tabell 1) med en normalfordelng. Det er mange normalfordelnger å velge blant, men, som antydet regel 5.19, den normalfordelngen som vanlgvs anses som gr den beste tlnærmelsen, er den som har samme forventnng og standardavvk som Y, som dette tlfellet blr ( ) ( ) EY ( ) = E X = 3.5, SD( Y) = SD X = Den beste tlnærmngen er derfor normalfordelngen N (3.5,1.7078). I fgur 1 har jeg plottet både den eksakte fordelngen for Y fra tabell 1 sammen med den beste normale tlnærmngstettheten. Det er vanskelg å få tl et slkt dobbeltplott Excel, så jeg brukte stedet STATA som bl.a. brukes Statstkk Plottet er ltt msvsende og med at normaltettheten egentlg fortsetter på begge sder av ntervallet mellom 1 og 6.
3 3 Fgur 1 Eksakt fordelng for Y = sum øyne ved 1 kast med ternng og tlnærmet normalfordelng N(EY, SD(Y)) = N(3.5, ) Densty y De eksakte sannsynlghetene fra tabell 1 framkommer som flatennholdet av søylene hstogrammet. Merk at flatennholdet av en søyle også er lk høyden på søylen sden lengden av grunnlnjen søylen er lk 1. Anta v er nteressert å se hvor god tlnærmelse normalfordelngen gr for PY ( 2) = / 6 = 1/ 3 = I hstogrammet er denne (eksakte) sannsynlgheten lk flatennholdet av de to første søylene tl sammen. I normalfordelngen framkommer den tlsvarende sannsynlgheten som flatennholdet under tetthetsfunksjonen opp tl 2. V ser mdlertd av fguren at denne beregnngen mster halvparten av sste søyle som er over ntervallet 1.5 tl 2.5. En bedre tlnærmelse vlle være å ta flatennholdet under normaltettheten opp tl 2.5 stedet. Det er dette som kalles heltallskorreksjon (Løvås sde 188), som er aktuelt når man forsøker å tlnærme en dskret fordelng for en stokastsk varabel som bare kan ta hele tall som mulge verder. Merk at begvenhetene ( Y 2) og ( Y 2.5) er logsk ekvvalente 3 og derfor lke sannsynlge, PY ( 2) = PY ( 2.5), sden Y kun kan ta hele tall som verder. 3 Hvs den ene begvenheten nntreffer så må den andre nntreffe og omvendt.
4 4 Med heltallskorreksjon blr derfor tlnærmelsen (1) generelt seende ut som (2) Y nµ y+ 0.5 nµ y+ 0.5 nµ y+ 0.5 nµ PY ( y) = PY ( y+ 0.5) = P P Z = G σ n σ n σ n σ n der y er et helt tall og Z ~ N (0, 1). Bruker v (2), får v (3.5) Tabell D3. PY ( 2) = PY ( 2.5) G = G( 0.59) = (1.7078) 1 som er betydelg forskjellg fra den eksakte verden ( men kke så altfor galt). Ved bruk av (1) uten heltallskorreksjon får v (sjekk selv) tlnærmelsen G( 0.88) = som er betydelg verre. 2. Tlfellet n = 2 kast Her er Y = X1+ X2, og, sden X1, X 2 er uavhengge og dentsk fordelte (ud), har de samme forventnng og varans, og v får av regel 4.12 og 4.17 Løvås EY ( ) = 2 E( X) = 2(3.5) = 7, Var( Y) = 2 Var( X) = og 1 1 SD( Y) = Var( Y) = Hvs v vl tlnærme fordelngen tl Y med en normalfordelng, bør v altså bruke N(7, ) -fordelngen. V trenger også den eksakte fordelngen tl Y for å kunne sammenlgne. Dette er kke så 2 vanskelg dette tlfellet. Det er 6 = 36 mulge kombnasjoner av verder for paret ( X1, X2) som alle er lke sannsynlge (1 36 ). De mulge verdene for Y = X1+ X2 er 2, 3, 4,,11, og 12. Tabell 2 vser hvlke kombnasjoner som gr en gtt verd av Y. For eksempel ser v at begvenheten ( Y = 8) nntreffer for 5 forskjellge kombnasjoner, slk at PY= ( 8) = 5 36.
5 5 Tabell 2 Verder av Y for forskjellge kombnasjoner av X1 og X 2. X 1 X Den eksakte fordelngen for den dskrete varabelen Y blr derfor som gtt tabell 3. Tabell 3 Eksakt fordelng for sum øyne, Y, ved to kast. y PY ( = y) I fgur 2 har jeg plottet denne sammen med den beste normal-tlnærmelsen Fgur 2 Eksakt fordelng for Y = sum øyne ved 2 kast med ternng og tlnærmet normalfordelng N(EY, SD(Y))=N(7, ) Densty y
6 6 Regneeksempel: Eksakt blr etter tabell PY ( 4) = = = Med normaltlnærmelsen, Med heltallskorreksjon som (2) tlnærmet Y ~ N (7, ), får v: Y PY ( 4) = PY ( 4.5) = P P Z = G( 1.04) = , altså en fel på ca 0.016, som kke er så verst. Uten heltallskorreksjon (1) får v 4 7 PY ( 4) P Z = G( 1.24) = , altså en fel på ca Tlfellet n = 5 kast Her er Y = X1+ X2 + X3+ X4 + X5, og, sden X1, X2,, X5 er uavhengge og dentsk fordelte (ud), har de samme forventnng og varans, og v får av regel 4.12 og 4.17 Løvås EY ( ) = 5 E( X) = 5(3.5) = 17.5, Var( Y) = 5 Var( X) = og 1 1 SD( Y) = Var( Y) = Hvs v vl tlnærme fordelngen tl Y med en normalfordelng, bør v altså bruke N(17.5, ) -fordelngen. V trenger også den eksakte fordelngen tl Y for å kunne sammenlgne. Dette er ltt verre nå. 5 Det er 6 = 7776 mulge kombnasjoner av verder for ( X1, X2,, X5) som alle er lke sannsynlge ( ). De mulge verdene for Y = X1+ X2 + + X5 er 5,6,7,,29,30. Å gå gjennom alle dsse for å fnne ut hvor mange som gr en gtt verd av Y er kjedelg å gjøre manuelt, så jeg laget et lte program GAUSS (et kraftg og elegant
7 7 programmerngsspråk som flere på nsttuttet benytter) som løste oppgaven for meg 4. Resultatet er gtt tabell 4. Tabell 4 Antall kombnasjoner av X, X,, X som gr gtte verder av summen Y y Antall kombn. med Y = y Antall kombn. med Y y y Antall kombn med Y = y Antall kombn med Y y 5 Sannsynlgheter for Y får v ved å dele tallene tabell 4 med 6 = La oss for eksempel se på sannsynlgheten for at PY ( 15). I følge tabellen er det 2373 kombnasjoner av X -ene som har sum 15. Sden alle kombnasjoner er lke sannsynlge, blr den eksakte sannsynlgheten 2373 PY ( 15) = = I fgur 3 har jeg plottet både den eksakte fordelngen for Y og den normalfordelngstettheten som passer best henhold tl regel Det er mulg at dette kan gjøres Excel, men jeg tror kke det er lett. I stedenfor å kaste bort tden på å prøve å fnne på noe lurt Excel, brukte jeg heller GAUSS med en gang der programmerngen kke var vanskelg.
8 8 Fgur 3 Eksakt fordelng for Y = sum øyne for 5 kast med ternng og tlnærmet normalfordelng N(EY, SD(Y))=N(17.5, ) Densty y V ser at normaltlnærmelsen begynner å bl bedre. Med normaltlnærmelsen, Med heltallskorreksjon som (2): tlnærmet Y ~ N (17.5, ), får v: Y PY ( 15) = PY ( 15.5) = P P Z = G( 0.52) = , altså en fel på ca som er ganske bra. Uten heltallskorreksjon (1) får v: PY ( 15) P Z = G( 0.65) = , altså en fel på ca som kke er så bra.
9 9 4. Tlfellet n = 10 kast Her er Y = X1 + X2 + + X10, og, sden X1, X2,, X10 er uavhengge og dentsk fordelte (ud), har de samme forventnng og varans, og v får av regel 4.12 og 4.17 Løvås EY ( ) = 10 E( X) = 10(3.5) = 35, Var( Y) = 10 Var( X) = og 1 1 SD( Y) = Var( Y) = Hvs v vl tlnærme fordelngen tl Y med en normalfordelng, bør v altså bruke N(35, ) -fordelngen. V trenger også den eksakte fordelngen tl Y for å kunne sammenlgne. Dette mye verre nå. 10 Det er 6 = mulge kombnasjoner av verder for ( X1, X2,, X10) som alle er 10 lke sannsynlge ( 16 ). De mulge verdene for Y = X1 + X2 + + X10 er 10,11,12,,59,60. Som regneeksempel skal v se på PY ( 30). Jeg lot GAUSS-programmet gå gjennom dsse 60.5 mllonene kombnasjoner (det tok laptop-en mn ca 30 sekunder (!)) og laget en tabell som tabell 4 (kke rapportert her). Ifølge den tabellen var det kombnasjoner som hadde sum 30. Den eksakte sannsynlgheten blr derfor PY ( 30) = = I fgur 4 har jeg plottet både den eksakte fordelngen for Y og den normalfordelngstettheten som passer best henhold tl regel 5.19.
10 10 Fgur 4 Densty Eksakt fordelng for Y = sum øyne for 10 kast med ternng og tlnærmet normalfordelng N(EY, SD(Y)) = N(35, ) y V ser at normaltlnærmelsen har bltt enda bedre. Med normaltlnærmelsen, Med heltallskorreksjon som (2): tlnærmet Y ~ N (35, ), får v: Tabell D3 Y PY ( 30) = PY ( 30.5) = P P Z = G( 0.83) = , altså en fel på ca , som er ganske bra og bedre enn for n = 5. Uten heltallskorreksjon (1) får v: PY ( 30) P Z = G( 0.93) = , altså en fel på ca 0.028, som vser at heltallskorreksjon fortsatt lønner seg.
11 11 4. Tlfellet n = 20 kast Her er Y = X1 + X2 + + X20, og, sden X1, X2,, X20 er uavhengge og dentsk fordelte (ud), har de samme forventnng og varans, og v får av regel 4.12 og 4.17 Løvås EY ( ) = 20 E( X) = 20(3.5) = 70, Var( Y) = 20 Var( X) = og 1 1 SD( Y) = Var( Y) = Hvs v vl tlnærme fordelngen tl Y med en normalfordelng, bør v altså bruke N(70, ) -fordelngen. Å fnne den eksakte fordelngen for Y for sammenlgnng blr svært mye vanskelgere nå. Det er ( ) = 6 = ( ) mulge kombnasjoner av verder for ( X1, X2,, X20) som 20 alle er lke sannsynlge ( 16 ). De mulge verdene for Y = X1 + X2 + + X20 er 20, 21, 22,,119,120. Som regneeksempel skal v se på PY ( 60). Her kommer nok det fne GAUSS-programmet mtt tl kort. Hvs v regner med ca et halvt mnutt på å gå gjennom 60.5 mlloner 20 kombnasjoner med mn laptop, vl det ta ca 60.5 mlloner halvmnutter å gå gjennom 6 kombnasjoner, dvs ca tmer som svarer tl ca 58 år. Nå er det skkert mulg å utvkle smarte formler og algortmer for å redusere beregnngstden tl et praktsk nvå for akkurat denne stuasjonen, men jeg gjorde kke noe forsøk på det. Grunnen tl det er ganske enkelt at denne oppgaven er komplett overflødg når formålet er å beregne sannsynlgheter for Y. V har nemlg sentralgrenseteoremet som formulert regel 5.19, og beregnngene ovenfor som vser at v kan regne (med kun neglsjerbar tap av realsme) at Y ~ N (70, ) fordelt Med denne normaltlnærmelsen får v: Med heltallskorreksjon som (2) Tabell D3 Y PY ( 60) = PY ( 60.5) = P P Z = G( 1.24) = V kan regne at felen lgger godt under felen (0.002) som v hadde når n = 10. Uten heltallskorreksjon (1) får v PY ( 60) P Z = G( 1.31) =
12 12 V ser at forskjellen på beregnngen med og uten heltallskorreksjon er redusert tl ca 0.012, slk at poenget med heltallskorreksjon har nesten bltt borte. Når n blr enda større, vl forbedrngen som oppnås med heltallskorreksjon forsvnne etter hvert. Dette poenget er relevant ved forståelse av regel 5.20 som ser at v kan bruke tlsvarende normalfordelngstlnærmelser for bnomske, hypergeometrske og possonfordelte stokastske varable. Det er først og fremst grenseområdet for n der normaltlnærmelsen begynner å bl 2 effektv, at heltallskorreksjon har noe for seg. For større n (eller varans, σ, regel 5.20) er den overflødg. Sluttmerknad. I dette eksemplet vste normaltlnærmelsen seg å g akseptable resultater selv for så lten n som 5. Dette skyldes først og fremst symmetren og formen på utgangsfordelngen tabell 1. For andre fordelnger, for eksempel skjeve og flertoppete fordelnger, vl n måtte være større før normaltlnærmelsen skal være tlfredstllende. En mengde av smulernger og beregnnger lgger bak tommelfngerregelen, n 20 Løvås. Denne tommelfngerregelen burde g akseptable sannsynlghetsberegnnger basert på normalfordelngen de fleste stuasjoner man kan havne, og, kke mnst, stuasjoner der man vet lte eller ngentng om fordelngen tl enkeltvarablene, X.
Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.20).
Econ 130 HG mars 017 Supplement til forelesningen 7. februar Illustrasjon av regel 5.19 om sentralgrenseteoremet og litt om heltallskorreksjon (som i eksempel 5.0). Regel 5.19 sier at summer, Y X1 X X
DetaljerLøsningskisse for oppgaver til uke 15 ( april)
HG Aprl 01 Løsnngsksse for oppgaver tl uke 15 (10.-13. aprl) Innledende merknad. Flere oppgaver denne uka er øvelser bruk av den vktge regel 5.0, som er sentral dette kurset, og som det forventes at studentene
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.
ECON30: EKSAMEN 05 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt
Detaljer(iii) Når 5 er blitt trukket ut, er det tre igjen som kan blir trukket ut til den siste plassen, altså:
A-besvarelse ECON2130- Statstkk 1 vår 2009 Oppgave 1 A) () Antall kke-ordnede utvalg: () P(Arne nummer 1) = () Når 5 er bltt trukket ut, er det tre gjen som kan blr trukket ut tl den sste plassen, altså:
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Utsatt eksamen : ECON130 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 15.0.015 Sensur kunngjøres senest: 0.07.015 Td for eksamen: kl. 09:00 1:00 Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:
DetaljerStatistikk og økonomi, våren 2017
Statstkk og økonom, våren 7 Oblgatorsk oppgave Løsnngsforslag Oppgave Anta at forbruket av ntrogen norsk landbruk årene 987 99 var følgende målt tonn: 987: 9 87 988: 8 989: 8 99: 8 99: 79 99: 87 99: 9
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i << >>.
ECON13: EKSAMEN 14V TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt >. Oppgave 1 Innlednng. Rulett splles på en rekke kasnoer
DetaljerOppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å veie like mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet inn mellom <<, >>, Oppgave 1
ECON 213 EKSAMEN 26 VÅR SENSORVEILEDNING Oppgaven består av 9 delspørsmål som anbefales å vee lke mye, Kommentarer og tallsvar er skrevet nn mellom , Oppgave 1 I en by med 1 stemmeberettgete nnbyggere
DetaljerTMA4240/4245 Statistikk Eksamen august 2016
Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA44/445 Statstkk Eksamen august 6 Løsnngssksse Oppgave a) Ved kast av to ternnger er det 36 mulge utfall: (, ),..., (6, 6). La Y
DetaljerTALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller likt uansett variasjon i vanskelighetsgrad. Svarene er gitt i <<< >>>.
ECON: EKSAMEN 6 VÅR - UTSATT PRØVE TALLSVAR. Det anbefales at de 9 deloppgavene merket med A, B, teller lkt uansett varasjon vanskelghetsgrad. Svarene er gtt
DetaljerRegler om normalfordelingen
1 HG Revdert mars 013 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg
DetaljerTMA4240 Statistikk H2010
TMA440 Statstkk H00 Statstsk nferens: 9.6: Predksjonsntervall 9.8: To utvalg, dfferanse µ µ Mette Langaas Foreleses mandag 8.oktober, 00 Predksjonsntervall for fremtdg observasjon, normalfordelng For en
DetaljerAppendiks 1: Organisering av Riksdagsdata i SPSS. Sannerstedt- og Sjölins data er klargjort for logitanalyse i SPSS filen på følgende måte:
Appendks 1: Organserng av Rksdagsdata SPSS Sannerstedt- og Sjölns data er klargjort for logtanalyse SPSS flen på følgende måte: Enhet År SKJEBNE BASIS ANTALL FARGE 1 1972 1 0 47 1 0 2 1972 1 0 47 1 0 67
DetaljerOversikt 1. forelesning. ECON240 Statistikk og økonometri. Utdanning og lønn. Forskning. Datainnsamling; utdanning og inntekt
Overskt. forelesnng ECON40 Statstkk og økonometr Arld Aakvk, professor Insttutt for økonom Hva er statstkk og økonometr? Hvorfor studerer v fagområdet? Statstkk Metoder, teknkker og verktøy tl å produsere
DetaljerRegler om normalfordelingen
1 HG mars 2009 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette
DetaljerX ijk = µ+α i +β j +γ ij +ǫ ijk ; k = 1,2; j = 1,2,3; i = 1,2,3; i=1 γ ij = 3. i=1 α i = 3. j=1 β j = 3. j=1 γ ij = 0.
UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : Eksamensdag: 7. jun 2013. Td for eksamen: 14.30 18.30. Oppgavesettet er på 8 sder. Vedlegg: Tllatte hjelpemdler: STK2120 LØSNINGSFORSLAG
DetaljerRegler om normalfordelingen
HG mars 0 Notat tl kapttel 5 Løvås Regler om ormalfordelge Kjeskap tl reglee for ormalfordelge er gruleggede for de statstske aalyse kapttel 6 Løvås, og studetee må kue beherske dsse skkkelg dette kurset.
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT
Utsatt eksamen : ECON13 Statstkk 1 UNIVERSITETET I OSLO ØKONOMISK INSTITUTT Eksamensdag: 11.8.16 Sensur kunngjøres senest: 6.8.16 Td for eksamen: kl. 9: 1: Oppgavesettet er på 4 sder Tllatte hjelpemdler:
DetaljerAnvendelser. Kapittel 12. Minste kvadraters metode
Kapttel Anvendelser I dette kaptlet skal v se på forskjellge anvendelser av teknkke v har utvklet løpet av de sste ukene Avsnttene og eksemplene v skal se på er derfor forholdsvs uavhengge Mnste kvadraters
DetaljerDe normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Median og kvartiler for hver gruppe.
STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave I et tlfeldg utvalg på normalvektge personer, og overvektge personer, måles konsentrasjonen av 2 ulke protener blodet.
DetaljerTMA4265 Stokastiske prosesser
orges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA4265 Stokastske prosesser Våren 2004 Løsnngsforslag - Øvng 6 Oppgaver fra læreboka 4.56 X n Antallet hvte baller urna Trekk tlf.
DetaljerØVINGER 2017 Løsninger til oppgaver
ØVINGER 017 Løsnnger tl oppgaver Øvng 1 7.1. Med utgangspunkt de n 5 observasjonsparene (x 1, y 1 ), (x, y ),..., (x 5, y 5 ) beregner v først mddelverdene x 1 5 Estmert kovarans blr x 3. ȳ 1 5 s XY 1
DetaljerSeleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden
ato: 07.01.2008 aksbehandler: DH Seleksjon og uttak av alderspensjon fra Folketrygden Dette notatet presenterer en enkel framstllng av problemet med seleksjon mot uttakstdpunkt av alderspensjon av folketrygden.
DetaljerLøsningsforslag ST2301 Øving 8
Løsnngsforslag ST301 Øvng 8 Kapttel 4 Exercse 1 For tre alleler, fnn et sett med genfrekvenser for to populasjoner, som gr flere heterozygoter enn forventa utfra Hardy-Wenberg-andeler for mnst én av de
DetaljerEksamen i emne SIB8005 TRAFIKKREGULERING GRUNNKURS
Sde 1 av 5 NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET Fakultet for bygg- og mljøteknkk INSTITUTT FOR SAMFERDSELSTEKNIKK Faglg kontakt under eksamen: Navn Arvd Aakre Telefon 73 59 46 64 (drekte) / 73
DetaljerNotater. Marie Lillehammer. Usikkerhetsanalyse for utslipp av farlige stoffer 2009/30. Notater
009/30 Notater Mare Lllehammer Notater Uskkerhetsanalyse or utslpp av arlge stoer vdelng or IT og metode/seksjon or statstske metoder og standarder Innhold 1. Bakgrunn og ormål.... Metode....1 Fastsettelse
DetaljerSTK desember 2007
Løsnngsfrslag tl eksamen STK0 5. desember 2007 Oppgave a V antar at slaktevektene tl kalkunene fra Vrgna er bserverte verder av stkastske varabler X, X 2, X, X 4 sm er uavhengge g Nµ, σ 2 -frdelte, g at
DetaljerMASTER I IDRETTSVITENSKAP 2012/2014. Individuell skriftlig eksamen. MAS 402- Statistikk. Tirsdag 9. oktober 2012 kl. 10.00-12.00
MASTER I IDRETTSVITESKAP 0/04 Indvduell skrftlg eksamen MAS 40- Statstkk Trsdag 9. oktober 0 kl. 0.00-.00 Hjelpemdler: kalkulator Eksamensoppgaven består av 9 sder nkludert forsden Sensurfrst: 30. oktober
DetaljerAlle deloppgaver teller likt i vurderingen av besvarelsen.
STK H-26 Løsnngsforslag Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Oppgave a) De normalfordelte: x og sd for hver gruppe. De skjevfordelte og de ekstremt skjevfordelte: Medan og kvartler for
DetaljerSTK1000 Innføring i anvendt statistikk Eksamensdag: Tirsdag 12. desember 2017
Eksamen : STK000 Innførng anvendt statstkk Eksamensdag: Trsdag 2. desember 207 Alle deloppgaver teller lkt vurderngen av besvarelsen. Lkke tl! Dette er et løsnngsforslag. Studenter som har kommet frem
DetaljerTMA4265 Stokastiske prosesser
Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag TMA65 Stokastske prosesser Våren Løsnngsforslag - Øvng Oppgaver fra læreboka.6 P er dobbelt stokastsk P j j La en slk kjede være rredusbel,
DetaljerMA1301 Tallteori Høsten 2014
MA1301 Tallteor Høsten 014 Rchard Wllamson 3. desember 014 Innhold Forord 1 Induksjon og rekursjon 7 1.1 Naturlge tall og heltall............................ 7 1. Bevs.......................................
DetaljerStudieprogramundersøkelsen 2013
1 Studeprogramundersøkelsen 2013 Alle studer skal henhold tl høgskolens kvaltetssystem være gjenstand for studentevaluerng mnst hvert tredje år. Alle studentene på studene under er oppfordret tl å delta
DetaljerSimpleksmetoden. Initiell basistabell Fase I for å skaffe initiell, brukbar løsning. Fase II: Iterativ prosess for å finne optimal løsning Pivotering
Lekson 3 Smpleksmetoden generell metode for å løse LP utgangspunkt: LP på standardform Intell basstabell Fase I for å skaffe ntell, brukbar løsnng løse helpeproblem hvs optmale løsnng gr brukbar løsnng
DetaljerOppgaver. Multiple regresjon. Forelesning 3 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011
Forelesnng 3 MET359 Økonometr ved Davd Kreberg Vår 0 Oppgaver Alle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Multple regresjon Oppgave.* Ta utgangspunkt
DetaljerAvdeling for estetiske fag, folkekultur og lærerutdanning BOKMÅL 29. mai 2007
Høgskole Telemark Avdelg for estetske fag, folkekultur og lærerutdag BOKMÅL 9. ma 7 EKSAMEN I MATEMATIKK, Modul 5 studepoeg Td: 5 tmer Hjelpemdler: Kalkulator og vedlagt formelsamlg (bakerst oppgavesettet).
DetaljerIT1105 Algoritmer og datastrukturer
Løsnngsforslag, Eksamen IT1105 Algortmer og datastrukturer 1 jun 2004 0900-1300 Tllatte hjelpemdler: Godkjent kalkulator og matematsk formelsamlng Skrv svarene på oppgavearket Skrv studentnummer på alle
DetaljerOBLIGATORISK OPPGAVE 1 INF 3340/4340/9340 HØSTEN 2005
OBLIGATORISK OPPGAVE INF 0/0/90 HØSTEN 005 Levergsfrst: 0. september 005 Arbedsform: Løses dvduelt Ileverg tl: Aja Bråthe Krstofferse (ajab@f.uo.o Levergskrav: Det forutsettes at du er kjet med holdet
DetaljerForelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer
Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer 009 04 Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov 30.0.04 INF 4 Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt
DetaljerINF 2310 Digital bildebehandling
INF 30 Dgtal bldebehandlng FORELESNING 4 GRÅONE-RANSFORMASJONER Frtz Albregtsen emaer dag Hstogrammer Lneære gråtonetransformer t Standardserng av blder med lneær transform Ikke-lneære, parametrske transformer
DetaljerNotater. Bjørn Gabrielsen, Magnar Lillegård, Berit Otnes, Brith Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdir)
2009/48 Notater Bjørn Gabrelsen, Magnar Lllegård, Bert Otnes, Brth Sundby, Dag Abrahamsen, Pål Strand (Hdr) Notater Indvdbasert statstkk for pleeog omsorgstjenesten kommunene (IPLOS) Foreløpge resultater
DetaljerNOEN SANNSYNLIGHETER I BRIDGE Av Hans-Wilhelm Mørch.
NOEN SANNSYNLIGHETER I BRIGE A Hans-Wlhelm Mørch. SANNSYNLIGHETER FOR HVORAN TRUMFEN(ELLER ANRE SORTER) ER FORELT Anta at du mangler n kort trumffargen. Ha er sannsynlgheten for at est har a a dem? La
DetaljerHvordan får man data og modell til å passe sammen?
Hvordan får man data og modell tl å passe sammen? Ekstremverd-analyse Målet er å estmere T-års-ekstremen (flommen). T-års-ekstremen er slk at etter T år vl det forventnng være én overskrdelse av T-års-ekstremen.
DetaljerEKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Tirsdag 15. mai 2001 Tid: 09:00 14:00
Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 9 Faglg kontakt under eksamen: Enar Rønqust, tlf. 73 59 35 47 EKSAMEN I FAG SIF5040 NUMERISKE METODER Trsdag 15. ma 2001 Td:
DetaljerInvestering under usikkerhet Risiko og avkastning Høy risiko. Risikokostnad prosjekt Snøskuffe. Presisering av risikobegrepet
Investerng under uskkerhet Rsko og avkastnng Høy rsko Lav rsko Presserng av rskobegreet Realnvesterng Fnansnvesterng Rsko for enkeltaksjer og ortefølje-sammenheng Fnansnvesterng Realnvesterng John-Erk
DetaljerEKSAMEN Ny og utsatt Løsningsforslag
. jun 0 EKSAMEN Ny og utsatt Løsnngsorslag Emnekode: ITD50 Dato:. jun 0 Emne: Matematkk, deleksamen Eksamenstd: 09.00.00 Hjelpemdler: To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Formelhete. Kalkulator er
DetaljerForelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011
Løsnnger lle oppgaver er merket ut fra vanskelghetsgrad på følgende måte: * Enkel ** Mddels vanskelg *** Vanskelg Hypotesetestng testng av enkelthypoteser Oppgave 1.* Når v tester enkelthypoteser ved hjelp
DetaljerEcon 2130 Forelesning uke 11 (HG)
Eco 130 Forelesig uke 11 (HG) Mer om ormalfordelige og setralgreseteoremet Uke 1 1 Fra forrige gag ~ betyr er fordelt som. ~ N( µσ, ) E( ) = µ, og var( ) = σ Normalfordelige er symmetrisk om μ og kotiuerlig
DetaljerOversikt over tester i Econ 2130
HG Revdert aprl 2 Overskt over tester Eco 23 La θ være e ukjet parameter (populasjos-størrelse e statstsk modell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ populasjoe er ukjet. Når v setter
DetaljerTMA4300 Mod. stat. metoder
TMA4300 Mod stat metoder Norges teknsk-naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Løsnngsforslag - Eksamen jun 2007 Oppgave Pseudokode for å evaluere θ: Generer uavhengge realsasjoner x,,x
Detaljeri kjemiske forbindelser 5. Hydrogen har oksidasjonstall Oksygen har oksidsjonstall -2
Repetsjon 4 (16.09.06) Regler for oksdasjonstall 1. Oksdasjonstall for alle fre element er 0 (O, N, C 60 ). Oksdasjonstall for enkle monoatomske on er lk ladnngen tl onet (Na + : +1, Cl - : -1, Mg + :
Detaljersom vi ønsker å si noe om basert på data Eksempel. Uid-modellen: X1, X ,,,
HG Eco30 07 9/3-07 Supplemet tl forelesg uke 0 (6 mars) (Det jeg kke rakk å ta på forelesg) Termolog (estmerg) Data (kokrete tall), x, x, er ervasjoer av stokastske varable, X, X, De statstske modelle
DetaljerAlternerende rekker og absolutt konvergens
Alternerende rekker og absolutt konvergens Forelest: 0. Sept, 2004 Sst forelesnng så v på rekker der alle termene var postve. Mange av de kraftgste metodene er utvklet for akkurat den typen rekker. I denne
DetaljerNA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer
Sde: av 7 orsk akkredterng Dok.d.: VII..5 A Dok. 5: Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Utarbedet av: Saeed Behdad Godkjent av: ICL Versjon:.00 Mandatory/Krav Gjelder fra: 09.05.008 Sdenr: av 7 A
DetaljerSeminaroppgaver for uke 13
1 ECON 2130 2016 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver) La X og Y være to uavhegge
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen mai 2016
Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Lar X være kvadratprse. Har da at X N(µ, σ 2 ), med µ 30 og σ 2 2, 5 2. P (X < 30) P (X < µ) 0.5 ( X 30 P (X > 25)
DetaljerSeminaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3))
1 ECON 2130 2017 vår Semarpla fra og med uke 13 Semaroppgaver for uke 13 (Oppgave (1), (2), og (3)) (1) Fra eksame Eco 2130, 2004 høst: Oppgave 3: (Fel oppgave på ststuttets overskt over gamle eksamesoppgaver)
DetaljerEksamensoppgave i SØK Statistikk for økonomer
Insttutt for samfunnsøkonom Eksamensoppgave SØK004 - Statstkk for økonomer Faglg kontakt under eksamen: Hldegunn E. Stokke, tlf 7359665 Bjarne Strøm, tlf 7359933 Eksamensdato: 0..04 Eksamenstd (fra-tl):
DetaljerLøsningsforslag øving 10 TMA4110 høsten 2018
Løsnngsforslag øvng TMA4 høsten 8 [ + + Projeksjonen av u på v er: u v v u v v v + ( 5) [ + u v v u [ 8/5 6/5 For å fnne ut om en matrse P representerer en projeksjon, må v sjekke om P P a) b) c) [ d)
DetaljerDynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet
Dynamsk programmerng Hvlke problemer? Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton) på -tallet. Har ngen tng med programmerng å gøre. Dynamsk er et ord som kan aldr brukes negatvt. Skal v
DetaljerEcon 2130 uke 15 (HG)
Eco 130 uke 15 (HG) Kofdestervall Løvås: 6.1., 6.3.1 3. (Avstt 6.3.4 6 leses på ege håd. Se også overskt over kofdestercvall ekstra otat på ettet.) 1 Defsjo av kofdestervall La θ være e ukjet parameter
DetaljerEcon 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling
Econ 2130 Forelesning uke 10 (HG) Geometrisk og normal fordeling 1 Geometrisk fordeling Binomisk forsøks-serie En serie likeartete forsøk med to mulige utfall, S og F, i hvert. (Modell) forutsetninger
DetaljerSIF5072 Stokastske prosesser Sde 2 av 6 b) Hva vl det s at en Markov-kjede er rredusbel? Er Markov-kjeden fx n g denne oppgaven rredusbel? Er den aper
Norges teknsk naturvtenskapelge unverstet Insttutt for matematske fag Sde 1 av 6 Faglg kontakt under eksamen: Bo Lndqvst 73 59 35 20 EKSAMEN I FAG SIF5072 STOKASTISKE PROSESSER Mandag 13. august 2001 Td:
DetaljerLøsningsforslag (ST1201/ST , kontinuasjonseksamen) ln L. X i = 2n.
Løsgsforslag ST20/ST620 205, kotuasjoseksame. a Rmelghetsfuksjoe blr Logartme Derverer Løser lgge Løsge er SME: L = 2 e l L = 2 l X X. X + l X. l L = 2 + 2 X = 2. ˆ = 2 X. X. b Her ka ma beytte trasformasjosformele,
DetaljerSluttrapport. utprøvingen av
Fagenhet vderegående opplærng Sluttrapport utprøvngen av Gjennomgående dokumenterng fag- og yrkesopplærngen Februar 2012 Det å ha lett tlgjengelg dokumentasjon er en verd seg selv. Dokumentasjon gr ungedommene
DetaljerSpinntur 2017 Rotasjonsbevegelse
Spnntur 2017 Rotasjonsbevegelse August Geelmuyden Unverstetet Oslo Teor I. Defnsjon og bevarng Newtons andre lov konstaterer at summen av kreftene F = F som vrker på et legeme med masse m er lk legemets
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Eksamen : STK1000 Innførng anvendt statstkk Eksamensdag: Trsdag 12. desember 2017 Td for eksamen: 14.30 18.30 Oppgavesettet er på 5 sder Tllatte
DetaljerFormler og regler i statistikk ifølge lærebok Gunnar Løvås: Statistikk for universiteter og høgskoler
Formler og regler statstkk følge lærebok Guar Løvås: tatstkk for uversteter og høgskoler Kap. Hva er fakta om utvalget etralmål Meda: mdterste verd etter sorterg Modus: hyppgst forekommede verd Gjeomstt:
DetaljerJobbskifteundersøkelsen Utarbeidet for Experis
Jobbskfteundersøkelsen 15 Utarbedet for Expers Bakgrunn Oppdragsgver Expers, ManpowerGroup Kontaktperson Sven Fossum Henskt Befolknngsundersøkelse om holdnnger og syn på jobbskfte Metode Webundersøkelse
DetaljerAdaptivt lokalsøk for boolske optimeringsproblemer
Adaptvt lokalsøk for boolske optmerngsproblemer Lars Magnus Hvattum Høgskolen Molde Lars.M.Hvattum@hmolde.no Arne Løkketangen Høgskolen Molde Arne.Lokketangen@hmolde.no Fred Glover Leeds School of Busness,
DetaljerEKSAMEN ny og utsatt løsningsforslag
8.. EKSAMEN n og utsatt løsnngsorslag Emnekode: ITD Dato:. jun Hjelpemdler: - To A-ark med valgrtt nnhold på begge sder. Emnenavn: Matematkk ørste deleksamen Eksamenstd: 9.. Faglærer: Chrstan F Hede -
DetaljerDynamisk programmering. Hvilke problemer? Overlappende delproblemer. Optimalitetsprinsippet
Dynamsk programmerng Metoden ble formalsert av Rchard Bellmann (RAND Corporaton på -tallet. Programmerng betydnngen planlegge, ta beslutnnger. (Har kke noe med kode eller å skrve kode å gøre. Dynamsk for
DetaljerAutomatisk koplingspåsats Komfort Bruksanvisning
Bruksanvsnng System 2000 Art. Nr.: 0661 xx /0671 xx Innholdsfortegnelse 1. rmasjon om farer 2. Funksjon 2.1. Funksjonsprnspp 2.2. Regstrerngsområde versjon med 1,10 m lnse 2.3. Regstrerngsområde versjon
DetaljerForelesning nr.3 INF 1411 Elektroniske systemer. Parallelle og parallell-serielle kretser Kirchhoffs strømlov
Forelesnng nr.3 INF 4 Elektronske systemer Parallelle og parallell-serelle kretser Krchhoffs strømlov Dagens temaer Parallelle kretser Kretser med parallelle og serelle ster Effekt parallelle kretser Krchhoffs
DetaljerOversikt over tester i Econ 2130
1 HG Revdert aprl 213 Overskt ver tester Ec 213 La θ være e ukjet parameter (ppulasjs-størrelse) e statstsk mdell. Uttrykket ukjet parameter betyr at de sae verde av θ ppulasje er ukjet. Når v setter pp
DetaljerSparing gir mulighet for å forskyve forbruk over tid; spesielt kan ujevne inntekter transformeres til jevnere forbruk.
ECON 0 Forbruker, bedrft og marked Forelesnngsnotater 09.0.07 Nls-Henrk von der Fehr FORBRUK OG SPARING Innlednng I denne delen skal v anvende det generelle modellapparatet for konsumentens tlpasnng tl
DetaljerAnalyse av strukturerte spareprodukt
NORGES HANDELSHØYSKOLE Bergen, Høst 2007 Analyse av strukturerte spareprodukt Et Knderegg for banknærngen? av Ger Magne Bøe Veleder: Professor Petter Bjerksund Utrednng fordypnngs-/spesalområdet: Fnansell
DetaljerSNF-rapport nr. 23/05
Sykefravær offentlg og prvat sektor av Margt Auestad SNF-prosjekt nr. 4370 Endrng arbedsforhold Norge Prosjektet er fnansert av Norges forsknngsråd SAMFUNNS- OG NÆRINGSLIVSFORSKNING AS BERGEN, OKTOBER
DetaljerSannsynlighet seier noko om kor truleg det er at ei hending får eit bestemt utfall. Ein matematisk definisjon på sannsynlighet er:
Dette notatet bygger på Append C I Dngamn, og er et forsøk på å gje en kort og enkel nnførng vktge statskske begrep me vl få bruk for GF-GG4. Sannsynlghet seer noko om kor truleg det er at e hendng får
DetaljerAuksjoner og miljø: Privat informasjon og kollektive goder. Eirik Romstad Handelshøyskolen Norges miljø- og biovitenskapelige universitet
Auksjoner og mljø: Prvat nformasjon og kollektve goder Erk Romstad Handelshøyskolen Auksjoner for endra forvaltnng Habtatvern for bologsk mangfold Styresmaktene lyser ut spesfserte forvaltnngskontrakter
DetaljerSamfunnsøkonomi andre avdeling, mikroøkonomi, Diderik Lund, 18. mars 2002
Samfunnsøkonom andre avdelng, mkroøkonom, Dderk Lund, 8. mars 00 Markeder under uskkerhet Uskkerhet vktg mange (de fleste? markeder Uskkerhet omkrng framtdge prser og leverngsskkerhet (f.eks. om leverandør
DetaljerMasteroppgave i statistikk. GAMLSS-modeller i bilforsikring. Hallvard Røyrane-Løtvedt Kandidatnr. 160657
Masteroppgave statstkk GAMLSS-modeller blforskrng Hallvard Røyrane-Løtvedt Kanddatnr. 160657 UNIVERSITETET I BERGEN MATEMATISK INSTITUTT Veleder: Hans Julus Skaug 1. Jun 2012 1 GAMLSS-modeller blforskrng
DetaljerOvervåking hjortevilt - rein Årsrapport Hardangervidda og Snøhetta 1991
"k Overvåkng hjortevlt - ren Årsrapport Hardangervdda og Snøhetta 1991 Terje Skogland Olav Strand Morten Hem '. NORSK NSTTUTT FOR NATURFORSKN1NG Overvåkng hjortevlt- ren Årsrapport Hardangervdda og Snøhetta
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
UNIVERSITETET I OSLO Det matematsk-naturvtenskapelge fakultet Deleksamen MAT-INF Modellerng og beregnnger. Eksamensdag: Onsdag 7. oktober 29. Td for eksamen: 5: 7:. Oppgavesettet er på 6 sder. Vedlegg:
DetaljerLøsningsskisse til eksamen i TFY112 Elektromagnetisme,
Løsnngssksse tl eksamen TFY11 Elektromagnetsme, høst 003 (med forbehold om fel) Oppgave 1 a) Ved elektrostatsk lkevekt har v E = 0 nne metall. Ellers bruker v Gauss lov med gaussflate konsentrsk om lederkulen.
DetaljerDEN NORSKE AKTUARFORENING
DEN NORSKE AKTUARFORENING _ MCft% Fnansdepartementet Postboks 8008 Dep 0030 OSLO Dato: 03.04.2009 Deres ref: 08/654 FM TME Horngsuttalelse NOU 2008:20 om skadeforskrngsselskapenes vrksomhet. Den Norske
DetaljerSTK1100 våren 2015 P A B P B A. Betinget sannsynlighet. Vi trenger en definisjon av betinget sannsynlighet! Eksemplet motiverer definisjonen:
STK00 våren 05 etnget sannsynlghet Svarer tl avsntt.4 læreboa Esempel V vl først ved help av et esempel se ntutvt på hva betnget sannsynlghet betyr V legger fre røde ort og to svarte ort en bune Ørnulf
DetaljerForelesning 19 og 20 Regresjon og korrelasjons (II)
STAT111 Statstkk Metoder Yushu.L@ub.o Forelesg 19 og 0 Regresjo og korrelasjos (II) 1. Kofdestervall (CI) og predksjostervall (PI) I uka 14, brukte v leær regresjo for å fage leær sammehege mellom Y og
DetaljerAlderseffekter i NVEs kostnadsnormer. - evaluering og analyser
Alderseffekter NVEs kostnadsnormer - evaluerng og analyser 2009 20 06 20 10 20 10 20 10 21 2011 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 R A P P O R T 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20 10 20
DetaljerKultur- og mediebruk blant personer med innvandrerbakgrunn Statistisk sentralbyrå Statistics Norway
Odd Frank Vaage Kultur- og medebruk blant personer med nnvandrerbakgrunn Resultater Kultur- og medebruksundersøkelsen 2008 og tlleggsutvalg blant nnvandrere og norskfødte med nnvandrerforeldre Statstsk
DetaljerTMA4245 Statistikk Eksamen august 2014
Norges teksk-aturvteskapelge uverstet Isttutt for matematske fag Løsgssksse Oppgave a) Y 5 PY > 53) PY 53) P ) 53 5 Φ5) 933 668 Vekte av e fylt flaske, X + Y, er e leærkombasjo av uavhegge ormalfordelte
DetaljerLøsningskisse seminaroppgaver uke 17 ( april)
HG Aprl 14 Løsgsksse semaroppgaver uke 17 (.-5. aprl) Oppg. 5.6 (begge utgaver) La X = atall bar utvalget som har lærevasker. Adel bar med lærevasker populasjoe av bar atas å være p.15. Utvalgsstørrelse
DetaljerMagnetisk nivåregulering. Prosjektoppgave i faget TTK 4150 Ulineære systemer. Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland
Magnetsk nvåregulerng Prosjektoppgave faget TTK 45 Ulneære systemer Gruppe 4: Rune Haugom Pål-Jørgen Kyllesø Jon Kåre Solås Frode Efteland Innholdsfortegnelse Innholdsfortegnelse... Innlednng... Oppgave
DetaljerEcon 2130 uke 19 (HG) Inferens i enkel regresjon og diskrete modeller
Eco 3 uke 9 (HG) Iferes ekel regresjo og dskrete modeller De ekle regresjosmodelle. Resultater fra 5m og 5m for me fra EM på skøyter Heerevee 4. ( er 5m-tde og y 5m-tde sekuder for løper.) Spredgdagram
DetaljerNA Dok. 52 Angivelse av måleusikkerhet ved kalibreringer
Sde: av 7 NA Dok. 5 Angvelse av måleuskkerhet ved kalbrernger Dokument kategor: Krav Fagområde: Kalbrerngslaboratorer Dette dokumentet er en oversettelse av EA-4/0 European Cooperaton for Accrédtaton of
DetaljerArbeid og potensiell energi
Arbed og potensell energ 5.3.4 YS-MEK 5.3.4 Konservatve krefter: v kan fnne en potensalfunksjon slk at: d d energbevarng vertkal kast: mg d d mg fjær: k d k d atom krstall: b cos b b d d sn b YS-MEK 5.3.4
DetaljerUNIVERSITETET I OSLO
øsnngsforslag UNIVERSIEE I OSO Det matematsk-naturvtenskaelge fakultet Eksamen : INF3 Dgtal bldebehandlng Eksamensdag : Onsdag 6. jun d for eksamen : 9: 3: øsnngsforslaget er å : sder Vedlegg : Ingen llatte
DetaljerLitt om empirisk Markedsavgrensning i form av sjokkanalyse
Ltt om emprsk Markedsavgrensnng form av sjokkanalyse Frode Steen Konkurransetlsynet, 27 ma 2011 KT - 27.05.2011 1 Sjokkanalyse som markedsavgrensnngsredskap Tradsjonell korrelasjonsanalyse av prser utnytter
Detaljermå det justeres for i avkastningsberegningene. se nærmere nedenfor om valg av beregningsmetoder.
40 Metoder for å måle avkastnng Totalavkastnngen tl Statens petroleumsfond blr målt med stor nøyaktghet. En vktg forutsetnng er at det alltd beregnes kvaltetsskret markedsverd av fondet når det kommer
Detaljer